O procedimento de cálculo da força de atrito é sumarizado a seguir: área da seção transversal do conduíte/canal perímetro molhado do conduíte/canal

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1 (recomendação principal para escoamento turbulento) Uso do diâmetro hidráulico O procedimento de cálculo da orça de atrito é sumarizado a seguir:!"para o cálculo da orça de atrito, a deinição e cálculo dos termos de Ec c, A c, e Re permanecem os mesmos para tubos exceto que o diâmetro interno do tubo é substituído pelo diâmetro equivalente ou diâmetro hidráulico, d, deinido como: d área da seção transversal do conduíte/canal = 4rh = 4 perímetro molhado do conduíte/canal sendo, r h conhecido como o raio hidráulico. Ou seja, teremos: π Fat = d Lρv 8 m ρv d µ m Reh =!"Para o cálculo da queda de pressão no BQM a área da seção transversal deve ser tomada em relação à área de um tubo com diâmetro equivalente ao diâmetro hidráulico (veja procedimento de cálculo da queda de pressão à p.104). Exemplo 01: Exemplo 0: tubo π d d 4 4 = = d π d espaço anular entre dois tubos πd πd1 d = = d d πd + πd 1 1 Exemplo 03: duto retangular de lados a e b d ab ab = 4 = a+ b a+ b Exemplo 04: canais retangulares abertos ou parcialmente enchidos d 4( by) = b + y (y altura de líquido pelo canal) UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 101

2 (Perry's Chemical Engineer's andbook) Outros exemplos consulte manual do Perry & Green Exercícios: exercício 01: Calcular o diâmetro hidráulico correspondente ao duto da igura a seguir, em que L=1m. exercício 0: Calcular o diâmetro hidráulico correspondente ao escoamento pela seção hachurada no duto da igura a seguir. O diâmetro do casco vale 1m e cada um dos quatro tarugos tem 10cm de diâmetro. Observações importantes: (é importante para a (1) É necessário saber deduzir as órmulas dos diâmetros equivalentes prática da engenharia), assim use os exemplos anteriores como exercícios! () A origem da deinição do raio hidráulico e diâmetro equivalente remonta à caracterização da área de atrito e da área da seção transversal de escoamento (veja exposição de White à página 50), ou seja, a idéia do uso do diâmetro hidráulico é substituir o duto não circular por um duto circular com diâmetro D h que tenha orneça um atrito equivalente ao duto não circular. (3) No diagrama de Moody (e correlações a ele equivalentes), no lugar do diâmetro usa-se o diâmetro equivalente e a rugosidade relativa é deinida como ε. A precisão do uso do diagrama de Moody é surpreendente. White aponta erros de apenas 15% na região de escoamento turbulento. Inelizmente para escoamento em regime laminar, erros bem mais signiicativos ocorrem! (4) Quando é possível obter o ator de atrito de considerações teóricas (é o caso dos escoamentos laminares), deve-se usar este ao invés da aproximação via o uso do diâmetro equivalente. É o caso de escoamento entre placas paralelas e no espaço anular de tubos. Para o último caso, o uso apenas do diâmetro equivalente nos projetos leva a erros de 10%. White mostra como minimizar este erro (p ). Daí se percebe a utilidade de se obter os peris de velocidade... UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 10 D h

3 Obtenção de correlações a partir de peris de velocidade conhecidos (escoamento laminar) O cálculo do ator de atrito para escoamento laminar em duto de seção anular cilindro interno de raio externo r 1 e cilindro externo de raio interno r é obtido da seguinte equação: 64ζ = Re h sendo ζ um ator de correção para o diâmetro hidráulico deinido na tabela a seguir (extraída de White, p. 54) : r1 Re h r ( r r ) r r1 ln r 1 r1 ζ = r r r r ( 1 ) ( 1 ) Para o cálculo do ator de atrito em dutos de retangulares e triangulares a seguinte tabela extraída de White (capítulo 6) pode ser usada: UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 103

4 CÁLCULO DA QUEDA DE PRESSÃO EM DUTOS NÃO CIRCULARES DE ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE A PARTIR DO BQM E DO USO DO DIÂMETRO IDRÁULICO Para escoamento em regime permanente, desenvolvido, incompressível, isotérmico, sem alteração de composição, em dutos horizontais de área constante, temos do BQM que: Fat P = (E1) A ST A órmula para o ator de atrito é dada como: 1 1 Fat = EccAc = ρvmac 4 8 Sendo a área característica do atrito A c obtida como sendo a área supericial do duto, a saber: Ac = PML sendo, P M o perímetro molhado e L o comprimento do duto De orma que: 1 Fat = ρvmpml (E) 8 Por exemplo podemos obter as seguintes equações para a orça de atrito: Para tubos: Para dutos de seção quadrada de lado l: 1 Fat = ρvmπdl 8 1 Fat = ρvml L 8 Substituindo (E) em (E1) temos que: 1 PM L P= ρvm (E3) 8 A ST Mas sabemos que: d A = 4 ST (E4) P M E assim, substituindo (E4) em (E3) temos que: UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 104

5 1 L P= ρvm (QP) d Exemplo de cálculo: Para tubos: 1 L P= ρvm d Para dutos de seção quadrada de lado l: d 1 L P= ρvm l Note que a dedução da equação (QP) corresponde a se calcular a queda de pressão como a seqüência a seguir: = l 1 Fat = ρvmπdl 8 π d AST = 4 Fat P = A ST Para tubos: L Fat = ρvmπdl P = ρv mπll = ρvm 8 8π d d Para dutos de seção quadrada de lado l: d = l L Fat = ρvmπll P = ρv mπll = ρvm 8 8πl l Observação 1: π d a não consideração que AST = leva a erros acentuados. Por 4 exemplo para o duto de seção quadrada o erro na previsão da queda π de pressão será de um ator de, ou seja, a não reinterpretação da 4 área leva a uma previsão de queda de pressão praticamente 5% menor. Observação : erros de previsão de queda de pressão sempre existirão, uma vez que a órmula do ator de atrito de Newton é empírica! Exemplos recomendados para leitura: White: exemplo 6.14, 6.15 UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 105

6 Exercícios recomendados da lista: White: P6.18, P6.89, P6.96 Exercícios: Exercício 01:(adaptado do exemplo 6.15 de White) Por um duto horizontal quadrado de 9mm de lado e 30m de comprimento de rugosidade 0.091mm escoa um luido à temperatura de 0 o C. Pede-se calcular a queda de pressão para o escoamento de: a-) ar a uma vazão de 0.708m 3 /s. Considere que o escoamento seja incompressível. Admita a massa especíica do ar e viscosidade cinemática como sendo 1. kg/m 3 e m /s. resp.: 58 Pa b-) glicerina a uma velocidade média de 5 m/s. Exercício 0: Ar à pressão atmosérica e a 0 o C escoa com uma velocidade média de 36 m/s pelo casco de um trocador casco e tubo de diâmetro interno de 6cm. Cada um dos 7 tubos internos ao casco tem cm de diâmetro externo, conorme a igura ao lado. Admitindo todas as superícies como sendo lisas, determine a queda de pressão por unidade de comprimento no lado do casco. Admita a pressão atmosérica local de 10 5 Pa, a massa molar do ar de 8.8 g/mol e a constante universal dos gases de (Pa m 3 )/(mol K). UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 106

7 Exercício 03: Fabricantes de válvulas para tubos citam que a seguinte equação, chamada de equação de válvula é válida para descrever a vazão volumétrica que escoa por uma válvula parcialmente aberta: P Q= cv ρ sendo, c v chamado de coeiciente ou constante da válvula e P a dierença entre a pressão na entrada e saída da válvula. Use o BQM e a órmula de Newton para a orça de atrito para obter a equação acima, mostrando o signiicado do termo c v e discuta se a constante da válvula é de ato um número constante ou uma variável. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 107

8 Observação: As iguras a seguir mostram válvulas de controle (aquelas que permitem uma manipulação automática da abertura da válvula) típicas. Para válvulas de controle, a recomendação da ISA (Instrumentation Society o America) para a apresentação da equação da válvula para luidos incompressíveis é: Q= c V P ρ O cálculo do ator depende da abertura da válvula e do tipo de válvula e as válvulas de controle podem ser agrupadas no que tange ao cálculo deste ator em dois grupos principais (Luyben, 1989): válvulas lineares: ( A v ) = A v sendo, A v a abertura da válvula. válvulas de igual percentagem: ( ) α A v Av 1 = sendo, α um ator dependente da válvula considerada e em geral compreendido na seguinte aixa de valores: 0 α 50. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 108

9 Ainda, para o cálculo do ator costuma-se adotar para a abertura da válvula a ração aberta, i.e. 0 A v 1 ao invés de 0 A v 100 (%). Reerência citada: LUYBEN, W,L., Process Modeling, Simulation and Control or Chemical Engineers, MacGraw ill, a edição, 1989 Exercício 04: (prova da turma 3E do o semestre de 00) A igura a seguir apresenta dois tubos concêntricos, sendo que nitrogênio a 5 o C e 1 atm (1atm= Pa) escoa pelo espaço anular em regime estacionário, laminar e desenvolvido. Pode-se demonstrar que o peril de velocidades nestas condições é representado pela seguinte equação: Pe P s r r1 r v= r r ln 4µ L r ln r r 1 Pede-se: 1. A equação do peril de velocidades obedece à condição de não escorregamento? Justiique. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 109

10 . Determine a expressão do diâmetro hidráulico para o escoamento. Lembre-se que o diâmetro hidráulico é deinido como: d área da seção transversal do conduíte/canal = 4rh = 4 perímetro molhado do conduíte/canal 3. Qual o valor da densidade do nitrogênio? (Dados: massa molar = 8 g/mol; constante universal dos gases = Pa m 3 mol -1 K -1 ) 4. Qual o valor da viscosidade do nitrogênio a 5 o C? É dada a seguinte tabela, extraída de Geankoplis (1993) Viscosidade de alguns gases em (cp 1cP=10-3 no SI) Temperatura ( o C) O N CO CO UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 110

11 5. A partir da tabela apresentada no item 4, percebe-se que a viscosidade dos gases aumenta com a temperatura. Este comportamento também é esperado para líquidos? Justiique. 6. Veriique se o escoamento é de ato laminar, sabendo-se que o diâmetro interno do tubo maior é.664cm e o diâmetro externo do tubo menor é de 1.373cm. A velocidade média do escoamento é m/s. 7. Pode-se mostrar que a velocidade média do escoamento pode ser calculada a partir da seguinte órmula: Pe P s r r vb = r + r 8µ L ln r1 1 1 r Qual o valor da queda de pressão ao longo de 1 m de tubulação? 8. Qual das seguintes órmulas você escolheria para calcular o ator de atrito de Darcy para o escoamento? Os tubos são de aço comercial. Justiique. 64 (a) = Re ε (b) = 1.8log + d Re 3.7 (c) = Re 0. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 111

12 9. Eetue um balanço de quantidade de movimento macroscópico e aplicando a órmula de Newton para a orça de atrito, veriique se o mesmo valor da queda de pressão é obtido em relação ao valor do item 7. UPM/EE/DEE&DEM/FT-I-3E/Proa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/004-S 11