Emerson Marcos Furtado

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1 Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde Professor do Curso Positivo de Curitiba desde Professor da Universidade Positivo de 2000 a Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde Sócio-diretor da Empresa Teorema Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições desde Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

2 Introdução A próxima tabela apresenta informações relativas a determinado país. Probabilidade de... Negros ou pardos Brancos ser pobre 48% 22% ser desempregado 7% 6% não ter carteira assinada 17% 12% ser empregador 3% 7% As informações indicam, por exemplo, que de cada 100 negros ou pardos, 48 deles são pobres. Isso significa que, escolhendo ao acaso um negro ou pardo no país, a probabilidade de ele ser pobre é de 0,48 ou 48%. Essa probabilidade foi obtida dividindo-se, no país, o número de negros ou pardos que são pobres pelo número total de negros ou pardos. As probabilidades são designadas por eventos. Na tabela, alguns eventos seriam uma pessoa branca não ter carteira assinada ou uma pessoa negra ou parda ser empregadora. Cada evento tem uma probabilidade de ocorrência que pode ser expressa por um número de 0 a 1, ou de forma equivalente, em porcentagem, por um número de 0 a 100%. A probabilidade de que você venha a morrer algum dia é 1 ou 100%, pois a morte, algum dia, é certa. Em contraste, a probabilidade de um evento impossível é 0. Por exemplo, a probabilidade de o falecido cantor Renato Russo reaparecer e cantar a música Pais e Filhos é 0 ou 0%. Na realização de um experimento aleatório, ou seja, imprevisível, dois conjuntos descrevem a situação relacionada com as probabilidades: o Espaço Amostral e o Evento Aleatório. Suponha, por exemplo, que um dado comum composto por seis faces distintas seja lançado. 189

3 O conjunto formado por todos os resultados possíveis é denominado Espaço Amostral. Representando o Espaço Amostral por S, temos: S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Entre os resultados pertencentes ao Espaço Amostral, poderíamos, por exemplo, desejar um número ímpar. Representando esse subconjunto do Espaço Amostral por A, temos: A = {1; 3; 5} Esse conjunto A é definido como Evento Aleatório ou, simplesmente, Evento. De uma forma geral, Evento é qualquer subconjunto do Espaço Amostral. Com base nesses conjuntos, como poderíamos calcular a probabilidade de ocorrer um número ímpar em um único lançamento de um dado comum? Como um dado comum possui números ímpares em 3 das 6 faces existentes, a probabilidade de ocorrer um número ímpar no lançamento do dado é dada por: 3 1 p( A)= = = 050= , % A probabilidade de um Evento A de um Espaço Amostral S é dada por: na p( A)= ns em que n(a) é o número de elementos do Evento A e n(s) é o número de elementos do Espaço Amostral S. Observe que a probabilidade é obtida por um quociente. O numerador é formado pela quantidade de resultados favoráveis ao evento que se deseja. 190

4 Já o denominador é formado pela quantidade de resultados possíveis do experimento, determinada no Espaço Amostral S. favoráveis de A p( A) = possíveis de S A probabilidade de qualquer evento A é representada por um número decimal que varia de 0 a 1, ou, em porcentagem, de 0% a 100%: 0 p(a) 1 ou 0% p(a) 100% Um evento é denominado Certo quando a correspondente probabilidade é igual a 1 e Impossível quando a probabilidade é igual a 0. Se a probabilidade de um evento qualquer é maior do que 50%, mas menor do que 100%, dizemos que o evento é Provável, e quando é menor do que 50%, porém maior que 0%, dizemos que é Improvável. Caso a probabilidade de ocorrer seja igual a 50%, dizemos que as Chances são iguais, ou seja, a probabilidade de ocorrer é igual à probabilidade de não ocorrer. Probabilidade da união de eventos Suponha, por exemplo, que uma urna seja formada por 20 bolinhas, cada uma contendo um número distinto de 1 a 20. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de se obter um número múltiplo de 2 ou múltiplo de 5? Na retirada de uma bola, existem 20 bolas possíveis, ou seja, o Espaço Amostral é dado por: S = {1; 2; 3; 4;...; 20} n(s) = 20 Vamos considerar o Evento A formado pelos números do Espaço Amostral que são múltiplos de 2: A = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20} n(a) =

5 O Evento B será formado pelos números do Espaço Amostral que são múltiplos de 5: B = {5; 10; 15; 20} n(a) = 4 Se adicionarmos a quantidade de números múltiplos de 2 à de números múltiplos de 5, estaremos considerando duas vezes os múltiplos comuns, ou seja, os múltiplos de 10. Assim, devem também ser considerados os múltiplos de 10 para que não ocorra uma contagem repetida. A B = {10; 20} n(a B) = 2 Portanto, a probabilidade de ocorrer um número múltiplo de 2 ou de 5, representada por p(a B), é igual à quantidade de números múltiplos de 2, adicionada à quantidade de múltiplos de 5, subtraída da quantidade de múltiplos de 10 e, ainda, tal resultado deve ser dividido pela quantidade de elementos do Espaço Amostral: p( AÈ B)= p( AÈ B)= = = 060= , % Observe, inclusive, que o cálculo da probabilidade da união de A com B faz uso de três probabilidades: p( AÈ B)= p( AÈ B)= = + - ( Ç ) p AÈ B p A p B p A B 192

6 Dessa forma, podemos dizer que a probabilidade da união de eventos A e B é igual à probabilidade de A, adicionada à probabilidade de B e subtraída da probabilidade da intersecção dos Eventos A e B. Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, então A B =. Nesse caso, a relação da probabilidade da união pode ser escrita da seguinte forma: p( AÈ B)= p( A)+ p( B) Eventos complementares Dois eventos de um mesmo Espaço Amostral, A e B, são denominados eventos complementares quando satisfazem as seguintes condições: A B = A B = S Por exemplo, no lançamento de um dado comum, os eventos A número menor que 3 na face superior, e B número maior que 2 na face superior, são complementares: A = {1; 2} B = {3; 4; 5; 6} S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Quando dois eventos A e B são complementares, a soma das probabilidades é igual a 1, observe: = + - ( Ç ) p AÈ B p A p B p A B = + - ( Æ) p S p A pb p 1= p( A)+ pb 193

7 Probabilidade da intersecção de eventos Para compreendermos melhor esse tópico de probabilidades, considere a seguinte situação: Uma urna composta por 5 bolas, sendo 2 azuis e 3 brancas. Retirando-se ao acaso duas bolas, sem reposição, qual a probabilidade de que a primeira bola seja azul e a segunda seja branca? Vamos definir alguns eventos: evento A: a primeira bola retirada é azul; evento B: a segunda bola retirada é branca; evento A B: a primeira bola é azul e a segunda é branca. A probabilidade do evento A B é representado por p(a B) e definido por: p(a B) = p(a). p(b/a) em que p(b/a) é igual à probabilidade do evento B dado o evento A. Assim, a probabilidade do evento A B é igual à probabilidade do evento A multiplicada pela probabilidade do evento B dado A. Se a urna possui 5 bolas, sendo 2 azuis e 3 vermelhas, a probabilidade de a primeira ser azul é igual a: p( A)= 2 5 Uma vez retirada uma bola azul, restam na urna 4 bolas, sendo 1 azul e 3 brancas. Dado que a primeira é azul, a probabilidade de a segunda ser branca é dada por: pb ( / A)=

8 Assim, a probabilidade de a primeira ser azul e a segunda ser branca é dada por: = p AÇ B p A. p B/ A 2 3 p( AÇ B)= p( AÇ B)= = = 030, = 30% A probabilidade da interseção pode também ser utilizada em situações em que são avaliados mais de dois eventos. Observe: p(a B C) = p(a). p(b/a). p(c/a B) Probabilidade condicional Considere a seguinte situação: Uma pesquisa foi realizada sobre a preferência entre a música nacional e a estrangeira entre as pessoas provenientes da capital e do interior de um estado. Os resultados foram organizados na tabela: Música Nacional Estrangeira Total Capital Interior Total Em relação aos dados da pesquisa, vamos analisar algumas questões. Se uma pessoa que participou da pesquisa é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ser do interior? Observe que a tabela indica que 100 pessoas participaram da pesquisa e, dessas 100 pessoas, exatamente 40 delas são do interior. 195

9 Assim, sendo p(i) a probabilidade de a pessoa ser do interior, temos: pi ()= O resultado destaca a probabilidade de um evento simples. Se uma pessoa é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ser do interior e preferir música nacional? Os dados indicam que existem 25 pessoa do interior cuja preferência é a música nacional. Logo, se p(n I) a probabilidade de a pessoa preferir música nacional e ser do interior, então: pn ( Ç I)= A probabilidade encontrada refere-se à probabilidade de intersecção de dois eventos. Mais uma questão a ser analisada: Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de preferir música nacional dado que é do interior? Observe que ao se considerar que a pessoa escolhida é do interior, o Espaço Amostral se restringe apenas às pessoas provenientes do interior, ou seja, 40 pessoas. Dessas 40 pessoas que vêm do interior, exatamente 25 delas preferem música nacional. Dessa forma, se p(n/i) representa a probabilidade de a pessoa escolhida preferir música nacional, dado que é do interior, então: pn ( / I)= Essa probabilidade é condicional, ou seja, é a probabilidade de um evento dada a ocorrência de outro. Em p(n/i) o evento I é certo, enquanto o evento N é incerto. Para relacionarmos os três resultados obtidos nessas questões, vamos, sem alterar o quociente, dividir numerador e denominador do último resultado por 100, que é a quantidade de pessoas que participaram da pesquisa: 196

10 pn ( / I)= æ 25 ö è ç ø 100 æ 40 ö è ç ø 100 Observe agora que: pn ( Ç I)= pi e ()= Logo, substituindo na expressão anterior, temos: () pnçi pn ( / I)= pi De uma forma, se A e B são dois eventos possíveis de um mesmo Espaço Amostral S, então a probabilidade de A dado B é igual a: p AÇ B p( A/ B)= pb Observe nesta última relação que se multiplicamos ambos os membros por p(b), obtemos a fórmula da probabilidade de intersecção de dois eventos A e B: Simplificando, temos: p AÇ B p( A/ B)= pb pb p A B p B p A Ç. ( / )=. B pb = ( Ç ) pb. p A/ B p A B Assim, não estamos necessariamente apresentando uma nova fórmula, mas sim, uma maneira diferente de expressar a mesma relação, destacando o cálculo da probabilidade condicional. 197

11 É importante destacar que, salvo casos particulares, p(a / B) p(b / A), pois: p AÇ B p( A/ B)= pb p AÇ B pb ( / A)= p A Resolução de questões 1. (Esaf) Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com cara em uma face e coroa na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem cara em ambas as faces. A outra tem coroa em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é cara. Considerando todas essas informações, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja coroa é igual a: a) 1/2. b) 1/3. c) 1/4. d) 2/3. e) 3/4. 2. (Esaf) Todos os alunos de uma escola estão matriculados no curso de Matemática e no curso de História. Do total dos alunos da escola, 6% têm sérias dificuldades em Matemática e 4% têm sérias dificuldades em História. Ainda com referência ao total dos alunos da escola, 1% tem sérias dificuldades em Matemática e em História. Você conhece, ao acaso, um dos alunos dessa escola, que lhe diz estar tendo sérias dificuldades em História. Então, a probabilidade de que este aluno esteja tendo sérias dificuldades também em Matemática é, em termos percentuais, igual a 198

12 a) 50%. b) 25%. c) 1%. d) 33%. e) 20%. 3. (Esaf) Em uma caixa há oito bolas brancas e duas azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Após, sem haver recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, também o acaso, uma segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola é azul. Dado que essa segunda bola é azul, a probabilidade de que a primeira bola extraída seja também azul é: a) 1/3. b) 2/9. c) 1/9. d) 2/10. e) 3/ (Esaf) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a a) 1/7. b) 1/3. c) 2/3. d) 5/7. e) 4/7. 199

13 5. (Esaf) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a: a) 1/3. b) 1/5. c) 9/20. d) 4/5. e) 3/5. 6. (Esaf) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à frente de três portas e lhe diz: Atrás de uma dessas portas encontra-se uma barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolheste, atrás da qual sei que se encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderás mudar a tua escolha. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portas não escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitando-se do que dissera o imperador, muda sua escolha e diz: Temível imperador, não quero mais a porta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia escolhido, aquela que não abriste. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Luís tenha escolhido a porta que conduz à barra de ouro é igual a: a) 1/2. b) 1/3. c) 2/3. d) 2/5. e)

14 7. (Esaf) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor? a) 11,53%. b) 4,24%. c) 4,50%. d) 5,15%. e) 3,96%. 8. (FCC) Em uma caixa há 8 processos a serem arquivados, em cada um dos quais foi colocada uma etiqueta marcada com um único dos números de 1 a 8. Se no interior da caixa os processos não estão ordenados e, para dar início à execução de tal tarefa, um funcionário do Tribunal de Contas pegar aleatoriamente dois desses processos, a probabilidade de que nessa retirada os números marcados em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos é de a) 25%. b) 20%. c) 12,5%. d) 10%. e) 7,5%. 9. (Esaf) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a: a) 0,624. b) 0,064. c) 0,216. d) 0,568. e) 0,

15 10. (Cesgranrio) Para responder à próxima questão, utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta as frequências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos. Idades (anos) Frequência acumulada Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o jovem escolhido tenha menos de 18 anos, sabendo que esse jovem terá 16 anos ou mais? a) 8/14. b) 8/16. c) 8/20. d) 3/14. e) 3/ (Esaf) Ana é enfermeira de um grande hospital e aguarda com ansiedade o nascimento de três bebês. Ela sabe que a probabilidade de nascer um menino é igual à probabilidade de nascer uma menina. Além disso, Ana sabe que os eventos nascimento de menino e nascimento de menina são eventos independentes. Desse modo, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é igual a a) 2/3. b) 1/8. c) 1/2. d) 1/4. e) 3/4. 202

16 Dica de estudo Probabilidades constituem-se em um dos tópicos mais importantes do Raciocínio Matemático. Dominá-lo exige perseverança e considerável prática de exercícios. Você começa a compreender melhor esse assunto quando domina as regras de adição e multiplicação de probabilidades. Comece praticando com os exercícios mais simples e aumente progressivamente o seu potencial. Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blumenau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.) LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.) LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, v. 1. LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, v. 1. TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, Gabarito 1. Vamos resolver esta questão de duas maneiras distintas. A primeira dessas maneiras será utilizando o conceito de probabilidade condicional. Sejam os seguintes eventos: A: a moeda escolhida possui duas caras; B: a moeda escolhida possui uma cara e uma coroa; C: a moeda escolhida possui duas coroas. 203

17 A pergunta do problema refere-se à probabilidade de se ter escolhido a moeda normal, considerando-se que a face cara está visível. Essa probabilidade será representada por P(B/Ca). Logo, utilizando o conceito de probabilidade condicional, temos: pbeca pb ( / Ca)= p Ca + + pbeca pb ( / Ca)= p AeCa p BeCa p CeCa + + pb. p Ca/ B pb ( / Ca)= p A. p Ca/ A pb. p Ca/ B p C. p Ca/ C 1 1. pb ( / Ca)= pb ( / Ca)= =. = Logo, se a moeda possui uma face cara visível, a probabilidade de a outra face ser coroa é igual a 1/3. Resposta: B Outra forma de se resolver esta questão seria raciocinar que, sendo visível uma face cara, certamente a moeda que possui duas faces coroa não poderia ter sido escolhida, de modo que ou a moeda escolhida foi a que possui duas caras, ou a moeda escolhida é a moeda normal, com uma cara e outra coroa. Ainda, se essas duas moedas são as únicas possíveis de serem escolhidas, então existem 4 faces possíveis sendo duas para cada moeda (cara e cara de uma moeda e cara e coroa de outra). Entretanto, uma das faces está visível e é cara. Se esta face cara já está determinada, 204

18 então restam 3 faces possíveis, sendo uma coroa e duas caras. Assim, se das 3 faces possíveis, exatamente uma delas é coroa, a probabilidade é igual a 1/3. 2. Sejam as seguintes probabilidades: p(m) = 6%: probabilidade de um aluno ter sérias dificuldades em Matemática; p(h) = 4%: probabilidade de um aluno ter sérias dificuldades em História; p(m e H) = 1%: probabilidade de um aluno ter sérias dificuldades em Matemática e História. Utilizando o conceito de probabilidade condicional, a probabilidade de um aluno ter sérias dificuldades em Matemática dado que tem sérias dificuldades em História é dada por: pm ( / H pmeh )= ph Resposta: B 1 pm ( / H)= =. = pm ( / H)= 025, = 25% 3. Não há diferença entre informar que a primeira bola é azul e verificar a probabilidade de a segunda ser azul ou de informar que a segunda bola é azul e verificar a probabilidade de a primeira ser azul. Assim, se a segunda bola retirada é azul, na caixa restarão 9 bolas sendo que apenas uma delas é azul. Logo, a probabilidade de a primeira ser azul, dado que a segunda é azul é igual a 1/9. Resposta: C 205

19 4. Sejam as seguintes probabilidades: p(a) = 3/7: probabilidade de Ana estar em Paris; p(b) = 2/7: probabilidade de Beatriz estar em Paris; p(a e B) = 1/7: probabilidade de Ana estar em Paris e Beatriz estar em Paris; P(B/A): probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana está em Paris. Utilizando o conceito de probabilidade condicional, temos: pbea pb ( / A)= p A p AeB pb ( / A)= p A Resposta: B 1 pb ( / A)= =. = Maria ganhou, ao todo, 20 pulseiras, sendo 12 de prata e 8 de ouro. Das 12 pulseiras de prata, 4 foram presentes de João e 8 foram presentes de Pedro. Se Maria retirou da caixa de joias uma pulseira de prata, então apenas 12 pulseiras de prata poderiam ter sido retiradas, já que se sabe que a pulseira retirada não é de ouro, ficam descartadas as 8 pulseiras de ouro. Assim, as 12 pulseiras de prata constituem o espaço amostral do experimento que consiste em retirar uma pulseira de prata. Se dessas 12 pulseiras de prata possíveis, exatamente 4 delas foram presentes de João, então a probabilidade é igual a 4/12 = 1/3. Resposta: A 206

20 6. A probabilidade de Luís escolher a porta que conduz à barra de ouro na primeira tentativa é igual a 1/3, pois existem 3 portas e apenas uma delas conduz à barra de ouro. Logo, a probabilidade de Luís escolher a porta que conduz a um tigre feroz é igual a 2/3. Se Luís não mudar a porta escolhida inicialmente permanecerá com 1/3 de probabilidade de escolher a porta que conduz à barra de ouro. Por outro lado, se Luís mudar a escolha da porta terá 1 1/3 = 2/3 de probabilidade de ter escolhido a porta que conduz à barra de ouro. Logo, a probabilidade é igual a 2/3. Resposta: C 7. É possível tirar três bolas da mesma cor em três situações: tirar três bolas azuis, tirar três bolas vermelhas ou tirar três bolas amarelas. Como as retiradas são simultâneas, não é possível tirar três bolas verdes, já que existem apenas duas bolas verdes. Logo, a probabilidade de as três bolas serem da mesma cor, representada por p(mc), é dada por: p(mc) = p(az e Az e Az) + p(ver e Ver e Ver) + p(am e Am e Am) pmc = pmc = Resposta: E pmc = 0, 0396 = 396, % Se existem 8 processos a quantidade de maneiras possíveis de se escolher 2 quaisquer processos é dada por: 2 C = =

21 Dessas 28 escolhas possíveis, exatamente 7 delas são de dois processos consecutivos. Senão, vejamos: se os processos fossem numerados de 1 a 8, as escolhas de dois processos consecutivos seriam 1 e 2, 2 e 3, 3 e 4, 4 e 5, 5 e 6, 6 e 7, 7 e 8, totalizando 7 escolhas de dois processos cujas etiquetas contenham números consecutivos. Logo, a probabilidade solicitada é dada por: Resposta: A 7 1 p = = = 025, = 25% Se a probabilidade de ocorrer uma venda em uma visita qualquer a um cliente potencial é igual a 0,4, então a probabilidade de não ocorrer a venda é igual a 1 0,4 = 0,6. As vendas constituem eventos independentes, ou seja, o fato de uma venda ser realizada, não altera a probabilidade de outra venda ser realizada. Da mesma forma, se uma venda não é realizada, isto não afeta a probabilidade de outra venda ser ou não realizada. A probabilidade de, em três visitas, nenhuma venda ocorrer, é dada por: p = 0,6. 0,6. 0,6 p = 0,216 Os eventos nenhuma venda em três visitas e no mínimo uma venda em três visitas são complementares. Assim, se a probabilidade de nenhuma venda ocorrer em três visitas é igual a 0,216, então a probabilidade de no mínimo uma venda ocorrer em três visitas é dada por: Resposta: E p = 1 0,216 p = 0,

22 10. Inicialmente, observe que as frequências da tabela são acumuladas. Então, para facilitar, vamos calcular as frequências absolutas simples: Idades (anos) Frequência acumulada Frequência simples = = = = = = 2 Se já se sabe que o jovem tem 16 anos ou mais, então o espaço amostral se restringe a apenas 16 jovens, ou seja, são excluídos os jovens com 14 ou 15 anos. Entre os que têm pelo menos 16 anos, exatamente 8 deles possuem menos que 18 anos, ou seja, possuem 16 ou 17 anos. Assim, sendo X a idade do jovem escolhido, a probabilidade é igual a 8/16. Apenas para esclarecer melhor, o seguinte procedimento de cálculo poderia também ser realizado: p X X p X< X ³ éë ( < 18)Ç ³ 16 ù ( 18 / 16 û )= p X³ 16 p 16 X< 18 p( X< 18 / X ³ 16)= p X³ 16 Resposta: B p( X< / X ³ )= =. =

23 11. Sejam as seguintes probabilidades: p(m M M) probabilidade de os três bebês serem do sexo masculino; p(f F F) probabilidade de os três bebês serem do sexo feminino; p(ms) probabilidade de os três bebês serem do mesmo sexo. Então, a probabilidade de os três bebês serem do mesmo sexo é igual à probabilidade de os três bebês serem do sexo masculino adicionada à probabilidade de os três bebês serem do sexo feminino: p(ms) = p(m M M) + p(f F F) Como os eventos são independentes, o fato de se saber o sexo de um dos bebês não altera as probabilidades de outro bebê, temos: Resposta: D p(ms) = p(m). p(m). p(m) + p(f). p(f). p(f) pms = pms = + = =

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