COMPARAÇÃO DA TRANSIÇÃO COLUNAR-EQUIAXIAL PREVISTA ATRAVÉS DE MODELOS ESTOCÁSTICO E DETERMINISTICO 1 Vinicius Bertolazzi Biscuola 2

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1 COMPARAÇÃO DA TRANSIÇÃO COLUNAR-EQUIAXIAL PREVISTA ATRAVÉS DE MODELOS ESTOCÁSTICO E DETERMINISTICO 1 Vinicius Bertoazzi Biscuoa 2 Marceo Aquino Martorano 3 Resumo Os resutados de um modeo estocástico impementado com base na técnica do autômato ceuar oram comparados com os resutados obtidos através de um modeo determinístico apresentado na iteratura. O modeo determinístico ornece diretamente a posição da transição counar-equiaxia (CET), enquanto o modeo estocástico ornece a macrograia competa dos grãos. A CET oi extraída destas macrograias para uma comparação com o modeo determinístico através da deinição de uma razão de aspecto dos grãos, o que permitiu identiicar a região de transição entre os grãos equiaxiais e counares. As simuações oram reaizadas para a iga A-7%Si em condições unidirecionais de extração de caor e orneceram curvas de resriamento muito semehantes para os dois tipos de modeo. Simuações para dierentes super-resriamentos críticos para a nuceação dos grãos equiaxiais mostraram que a posição da CET obtida peos dois modeos também é semehante. No entanto, quando uma distribuição de super-resriamentos para a nuceação é utiizada no modeo estocástico, os seus resutados dierem signiicativamente dos resutados do modeo determinístico. Paavras-chave: Transição counar-equiaxia; Modeo estocástico; Modeo determinístico; Autômato ceuar. Abstract Resuts rom a stochastic mode o soidiication based on the ceuar automaton technique were compared with those rom a deterministic mode. The deterministic mode cacuates the position o the coumnar-to-equiaxied transition (CET) directy, whie the stochastic mode gives the whoe grain macrostructure image, rom which the CET must be extracted. The CET was obtained rom these images by the deinition o an aspect ratio or the grains, which aowed the identiication o coumnar and equiaxed regions, as we as the transitiona region between them. The simuations were carried out or an A-7%Si aoy under unidirectiona heat extraction and the cacuated cooing curves obtained with the two modes showed very good agreement. The CET position cacuated with the modes or dierent critica nuceation undercooings o equiaxed grains were aso simiar. Nevertheess, when a distribution o critica nuceation undercooings is adopted or the stochastic mode, its resuts dier signiicanty rom those obtained with the deterministic mode. Key words: Coumnar-to-equiaxed transition; Stochastic mode; Deterministic mode; Ceuar automaton Contribuição técnica apresentada na 61º Congresso Anua da ABM, de 24 a 27 de juho de 2006, Rio de Janeiro RJ Engenheiro de Materiais e auno de mestrado do Departamento de Engenharia Metaúrgica e de Materiais da Escoa Poitécnica da Universidade de São Pauo, Av. Pro. Meo Moraes, 2463, São Pauo, SP, Brasi, CEP Proessor, Departamento de Engenharia Metaúrgica e de Materiais da Escoa Poitécnica da Universidade de São Pauo, Av. Pro. Meo Moraes, 2463, São Pauo, SP, Brasi, CEP

2 1 INTRODUÇÃO A previsão da transição counar-equiaxia (CET) é importante para o projeto de peças undidas, já que esta deimita a transição entre duas regiões com propriedades signiicativamente dierentes, apresentando estruturas de grãos counares ou equiaxiais. Ta previsão pode ser obtida através de métodos empíricos ou modeos matemáticos, que são divididos em modeos determinísticos e estocásticos. O primeiro grupo caracteriza-se pea utiização de equações que independem de probabiidades estatísticas e não procura simuar os grãos individuamente, mas sim de orma média. Estes modeos apresentam agumas desvantagens, como a necessidade da escoha de um critério para se determinar o boqueio da rente counar peos grãos equiaxiais. Aém disso a apicação deste critério a situações mutidimensionais é compexa. Por outro ado, o grupo dos modeos estocásticos, também denominados de modeos de autômato ceuar (CA), apresenta agum tipo de variáve aeatória em aguma de suas etapas de cácuo e, portanto, depende de probabiidades estatísticas. Estes modeos acompanham ainda a nuceação e o crescimento de cada grão, mostrando a macroestrutura como resutado ina. Entretanto, ao contrário dos modeos determinísticos, os modeos estocásticos não inormam diretamente a posição da CET. A macroestrutura cacuada deve ser anaisada e a posição da CET identiicada. Estes modeos também apresentam agumas desvantagens, tais como a necessidade de uma grande capacidade computaciona devido à utiização de mahas numéricas reativamente reinadas. Cho et a. (1) utiizaram um modeo de CA para a soidiicação unidireciona e obtiveram uma boa aderência a resutados experimentais. Estes autores compararam a veocidade da rente counar e o gradiente de temperatura com resutados de um modeo determinístico, mas não compararam a posição da CET. Martorano et a. (2) também apicaram um modeo estocástico à soidiicação direciona, considerando a interação entres os campos de souto na rente de crescimento counar e entre os grãos equiaxiais sem a necessidade de deinir um parâmetro para a ocorrência da CET. Através deste modeo, Martorano et a. (2) anaisaram os resutados de ração de sóido, temperatura, concentração e também evantaram um mapa da posição da CET em unção do super-resriamento para nuceação instantânea. Gandin e Rappaz (3) utiizaram um modeo estocástico para a simuação de um caso de resriamento unidireciona reaizado experimentamente e obtiveram uma boa aderência entre as curvas de temperatura e a posição da CET. Cho et a. (4) veriicaram a inuência de aguns parâmetros de nuceação nas macroestruturas cacuadas através de um modeo de CA. Vários aspectos de ambos os modeos oram anaisados separadamente, mas nenhuma anáise comparativa entre os resutados dos modeos determinísticos e estocásticos oi reaizada. O presente trabaho visa comparar a posição da transição counar-equiaxia (CET) obtida através de dois tipos de modeos matemáticos para a soidiicação de igas binárias: um modeo estocástico, baseado na técnica do autômato ceuar (CA), e um modeo determinístico proposto na iteratura. (2) A posição da CET oi determinada na macroestrutura do modeo de CA através de uma razão de aspecto para os grãos. O eeito de aguns parâmetros de nuceação oi anaisado na posição da CET prevista peos dois modeos e os resutados comparados. 2913

3 2 MODELOS MATEMÁTICOS 2.1 Modeo Estocástico O modeo estocástico impementado no presente trabaho oi baseado no modeo proposto por Rappaz e Gandin. (5) A principa modiicação introduzida oi a utiização do método dos voumes initos, em ugar do método dos eementos initos, para resoução numérica da equação de condução de caor. Anaogamente a Rappaz e Gandin, (3) o modeo oi dividido em duas partes: um submodeo macroscópico, responsáve peo cácuo da transerência de caor, e um submodeo microscópico, responsáve peo cácuo da microestrutura, havendo assim a necessidade de um acopamento posterior entre os submodeos, que estão descritos abaixo. Submodeo Macroscópico No submodeo macroscópico, utiizado para modear a transerência de caor, a equação de condução de caor bidimensiona abaixo, escrita em coordenadas retanguares, oi soucionada H T T = K + K [1] t x x y y onde H é a entapia; T é a temperatura; K é a condutividade térmica; t é o tempo e x e y são as coordenadas espaciais. Esta equação dierencia oi soucionada em um domínio retanguar que estava em contato com paredes isoantes em seus contornos aterais e superior e com uma base rerigerada a água no contorno inerior. As seguintes condições de contorno oram utiizadas para simuar esta situação: q=0 contornos aterais e superior [2] q=h(t - T W ) contorno inerior [3] onde q é o uxo de caor saindo através dos contornos do domínio; h é o coeiciente de transerência de caor na interace meta-mode; T W é a temperatura da água de rerigeração e T é a temperatura da superície do domínio. A equação [1] oi discretizada utiizando-se o método numérico dos voumes initos, com uma ormuação expícita. (6) Submodeo Microscópico O submodeo microscópico é anáogo ao modeo proposto por Rappaz e Gandin. (5) Desta orma, somente os principais aspectos serão descritos a seguir, porque maiores detahes podem ser obtidos na iteratura. (5) Neste modeo, o domínio oi subdividido em pequenas céuas quadradas com o intuito de simuar a nuceação e o crescimento dos grãos, prevendo a macroestrutura ina. Primeiramente, diversos substratos para a nuceação heterogênea são distribuídos aeatoriamente entre as céuas e, a cada substrato, associa-se um super-resriamento crítico para sua ativação. O número de grãos que nuceiam em cada temperatura oi determinado através de uma distribuição de super-resriamentos críticos para a nuceação, cuja unção densidade de distribuição oi assumida obedecer a uma distribuição norma ou Gaussiana, com a seguinte equação: (3) 2914

4 2 dn n max 1 ΔT ΔTnuc = exp [4] d( ΔT ) 2π ΔT 2 ΔT σ σ onde n é a densidade de número de substratos que são ativados em um superresriamento crítico Δ T ; n max é a densidade tota de número de substratos, Δ Tnuc e Δ T σ são a média e o desvio padrão, respectivamente, da distribuição Gaussiana assumida. Logo, a densidade de número de substratos ativados para uma diminuição de temperatura pode ser obtida pea integração da equação [4]. Esta distribuição oi apicada com parâmetros dierentes na superície e no interior da cavidade quadrada do mode, para desta orma simuar o dierente potencia para a nuceação heterogênea existente nestes ocais. Quando o super-resriamento em uma região atinge o super-resriamento crítico para a nuceação dos seus substratos, as céuas correspondentes são ativadas e a estas são atribuídas orientações cristaográicas escohidas aeatoriamente entre 48 casses, divididas iguamente na aixa de 45º a 45º. A cada céua ativa é associado um quadrado que representa o enveope dendrítico, cujas diagonais são atuaizadas segundo a equação de crescimento dendrítico descrita a seguir: n v = A ΔT [5] onde v representa a veocidade de crescimento da diagona do quadrado; Δ T é o super-resriamento Δ T = ( T L T ), onde T L é a temperatura iquidus, cacuado no centro da céua; e A e n são constantes que podem ser determinadas experimentamente ou através de agum modeo matemático. Desta orma os quadrados que representam o enveope dendrítico crescem e, ao utrapassarem o centro de aguma céua vizinha, esta é ativada. Na ativação, a céua recebe um quadrado centrado em seu interior e com duas arestas coincidentes com as do quadrado que ativou esta céua, conservando assim o tamanho do enveope. Este quadrado recebe a mesma orientação do quadrado que ativou a sua céua. Uma céua quaquer é desativada quando as quatro céuas vizinhas estiverem ativas. Acopamento entre Submodeos Macroscópico e Microscópico Um acopamento entre os submodeos macroscópico e microscópico é necessário para possibiitar um cácuo consistente do campo de temperaturas, do crescimento dos enveopes dendríticos e da ração de sóido. Neste acopamento, o submodeo macroscópico ornece a variação de entapia do voume inito (equação [1]) para o submodeo microscópico. Como o número de céuas do modeo microscópico é geramente maior do que o número de voumes initos do modeo macroscópico, a entapia e a temperatura são interpoados inearmente para o centro das céuas a partir do centro dos voumes initos. A temperatura interpoada é utiizada para o cácuo da veocidade de crescimento dos enveopes através da equação [5]. Por outro ado, a variação de entapia interpoada ( δ HCA ) é utiizada para o cácuo da variação de ração de sóido, δ, através da equação s, CA t+ δt δ δ t+ δt H CA s, CA = t ( k 2 ρ Cp TL T k [ s CA ] ) [6] ( ) ( 1) 1, + ΔH ρ onde ρ é a densidade; C p é o caor especíico; T L é a temperatura iquidus da iga; T é a temperatura de usão do meta puro; k é o coeiciente de partição; Δ H é o caor 2915

5 atente de usão e t e t + δt indicam os instantes de tempo correspondentes, sendo δt o passo de tempo do método numérico. Esta equação é o resutado da apicação do modeo de Schei (7) para o cácuo da ração de sóido em unção da temperatura. A equação [6] é utiizada para cacuar a variação de ração de sóido no interior de cada céua ativa no submodeo microscópico. A partir destes vaores, t t deine-se a variação de ração de sóido no interior do voume inito, δ +δ s, VF, como a t t média da variação de todas as céuas em seu interior. Utiizando-se δ +δ s, VF, ornecido t t peo submodeo microscópico, a temperatura do voume inito T + δ P é cacuada através da equação: t+ δt t+ δt δh CA + ΔH ρδ t+ δ t t s, VF TP = TP + [7] ρ Cp A ração de sóido de cada céua deve ser atuaizada após cada passo de tempo até que se atinja a temperatura do eutético. Neste instante, uma transormação isotérmica é imposta no sistema. 2.2 Modeo Determinístico O modeo matemático determinístico proposto por Martorano et a. (2) é baseado nas equações apresentadas por Wang e Beckermann. (8) Neste modeo assumiu-se a existência de três pseudoases, a saber, sóido (s), íquido interdendrítico (d) e íquido extradendrítico (). Deinem-se as duas ases íquidas após o posicionamento de um enveope dendrítico imaginário ao redor de cada grão, tocando a ponta dos braços primários e secundários de dendrita. O íquido interdendrítico é aquee ocaizado internamente a cada enveope e o extradendrítico, ocaizado externamente. As seguintes hipóteses oram ainda utiizadas para a deinição das equações dierenciais e agébricas do modeo: o uxo de caor é unidireciona; o transporte de caor e massa ocorrem apenas por diusão; o íquido interdendrítico (d) possui concentração de souto homogênea; a diusão de souto no sóido é desprezíve; a diusão macroscópica de souto no íquido é desprezíve; existe equiíbrio oca na interace sóido-íquido. A partir dos princípios de conservação de massa, energia e espécies químicas e considerando-se as hipóteses simpiicadoras apresentadas, o seguinte conjunto de equações oi obtido e utiizado para modear a soidiicação no sistema estudado: T T T εs ρcp = κ + κ + ρl [8] t x x y y t 4σ D m (k 1)C 1 V = [ Iv ( Ω) ] 2 [9] Γ C C Ω = C ( 1 k) ε t = S e V [10] [11] 2916

6 ε t C t D δ ( ) s 1 k C = ε + S (C C ) ( ε C ) t = T T C = m d ε C + t D S e δe e (C e C ) εs + εd + ε = 1 [15] onde ε é a ração voumétrica de cada ase, indicada peos subscritos 's', 'd' e ''; T é a temperatura; t é o tempo; ρ, c P e L são a densidade, o caor especíico e o caor atente, respectivamente; κ é a condutividade térmica média, deinida por κ = ε s κ s +(ε d +ε )κ ; [12] [13] [14] C é a concentração do íquido interdendrítico; C é a concentração média no íquido extradendrítico; D é o coeiciente de diusão de souto no íquido; k é o coeiciente de partição de souto; S e é a concentração de área supericia de enveope por voume; δ e é a distância eetiva de diusão de souto ao redor dos enveopes dendríticos; T é a temperatura do meta puro; m é a incinação da inha iquidus do diagrama de ases; C 0 é a concentração inicia de souto; V é a veocidade da ponta das dendritas equiaxiais; Ω é o super-resriamento adimensiona na ponta das dendritas; Γ é o coeiciente de Gibbs-Thomson; σ 1/(4π 2 ) é a constante de estabiidade margina e Iv -1 é o inverso da unção de Ivantsov (7). O sistema de equações [8] a [15] oi discretizado através do método dos voumes initos em sua ormuação impícita utiizando uma maha de voumes initos quadrados. O sistema de equações agébricas resutante do processo de discretização oi soucionado através do método de Gauss-Seide. 2.3 Determinação da CET no Modeo Estocástico Impementou-se um método de anáise de imagem para se cacuar a razão de aspecto, φ, dos grãos presentes na macroestrutura bidimensiona cacuada peo modeo de CA. A razão de aspecto impementada consiste no cácuo da razão entre as duas maiores dimensões ortogonais de um grão. Este cácuo oi reaizado através das seguintes etapas: (a) cacua-se o tamanho do maior segmento de reta que pode ser inserido no grão (r1); (b) cacua-se o maior segmento de reta possíve de ser inserido no grão, mas ortogonamente ao primeiro segmento (r2) e (c) cacuase a razão entre os comprimentos do menor e do maior segmento. A Figura 1 mostra esquematicamente este processo. Figura 1. Deinição do cácuo da razão de aspecto para uma eipse. Os atores de orma dos grãos aongados (grãos counares) apresentam vaores reativamente baixos, enquanto que os atores dos grãos com ormatos próximos ao de um círcuo (grãos equiaxiais) apresentam vaores mais próximos de 2917

7 um. Finamente, a posição da CET é deinida a partir da macrograia através dos seguintes passos: Cacua-se a razão de aspecto para cada grão da macroestrutura; Associa-se a cada céua da maha do modeo microscópico a razão de aspecto do grão ao qua ea pertence; Associa-se uma razão de aspecto ao voume inito igua à média dos vaores associados às céuas em seu interior; Levanta-se uma curva de razão de aspecto em unção da distância ao ongo da macroestrutura; Deine-se que as regiões com uma razão de aspecto menor que 0,3 são compostas por grãos counares, e, com uma razão de aspecto maior que 0,5, compostas de grãos equiaxiais; A região com razão de aspecto na aixa entre 0,3 e 0,5 oi considerada como a da transição counar-equiaxia, sendo que a posição do ponto médio nesta região oi deinida como a posição da CET, a ser comparada com os resutados do modeo determinístico. 2.4 Condições de Simuação Condições de reerência, istadas na Tabea 1, oram utiizadas para as simuações, que envoveram a iga A-7%Si com propriedades descritas na Tabea 2. Os parâmetros que deinem a distribuição Gaussiana de super-resriamentos críticos para a nuceação (equação [4]) estão apresentados na Tabea 3. Para a deinição das mahas, reaizaram-se testes de reino garantindo que as souções obtidas eram praticamente independentes do tamanho das mahas numéricas. Tabea 1. Parâmetros de simuação. Dimensões do domínio (m x m) 0,05 x 0,15 Passo de tempo (s) 0,002 Superaquecimento (K) 100 Temperatura do mode (K) 298 Maha do CA (direções x e y) 100 x 10 Maha do voume inito (direções x e y) 1 x 30 h (W m -2 K -1 ) 250 Tabea 2. Propriedades da iga A-7%Si. ρ (kg m -3 ) 2452,0 C 0 A-7%Si D (m 2 s -1 ) 5,5E-9 k 0,13 Cp (J kg -1 K -1 ) 1126,0 Γ (m K) 1,96E-7 K (W m -1 K -1 ) 60,5 T L (K) 891 N (m -3 ) 5E6 K s (W m -1 K -1 ) 137,5 T eut (K) 850 m (K %Si -1 ) -6,0 Δ H (J m -3 ) ,0 T (K) 933 R (mm) 3,63 A (m s -1 K -n ) 3E-6 n 2,7 λ 1 (mm) 1,5 Tabea 3. Parâmetros para distribuição dos substratos para nuceação instantânea (os subscritos indicam a posição de apicação destes parâmetros, sendo: v no interior da cavidade e s na parede do mode). 2918

8 Δ T S, nuc [K] T S, σ Δ [K] n S, max [m-1] Δ T [K] Δ T V, σ [K] n v, max [m-2] 0,0 0, ,0 0, RESULTADOS E DISCUSSÃO Após uma veriicação do modeo estocástico, comparando seus resutados com os resutados de Rappaz e Gandin, (3) as suas curvas de resriamento em sete pontos iguamente espaçados no domínio oram comparadas com as curvas obtidas através do modeo determinístico. Estas curvas mostraram uma exceente aderência e, com isso, pôde-se concentrar a anáise nas comparações entre as posições da CET. Anaisou-se o eeito do super-resriamento crítico médio para nuceação no interior da cavidade ( Δ T ) na posição da CET, como mostra a Figura 2. Nesta igura, a posição da CET cacuada peo modeo estocástico e aquea cacuada peo modeo determinístico em unção de Δ T oram sobrepostas às macroestruturas do modeo estocástico. Figura 2. Comparação da posição da CET prevista peos modeos, sobreposta às macroestruturas cacuadas peo modeo estocástico. Os modeos apresentaram previsões da posição da CET reativamente próximas, mostrando um comportamento semehante. Veriica-se que os dois modeos apresentam um super-resriamento máximo onde, após este, não se observa uma CET, mas apenas grãos counares. Martorano et a. (2) já haviam mostrado ta comportamento para o modeo determinístico. Um exame mais detahado do comportamento dos dois modeos oi conduzido através da comparação da evoução da posição das rentes counares e do super-resriamento nestas rentes em unção do tempo, como iustra a Figura 3. Observa-se que a curva de super-resriamento da rente no modeo estocástico ( Δ Tco - Estoc) apresenta osciações mas, nota-se que estas ocorrem em torno de uma curva média que se apresenta próxima à do modeo determinístico (Determ). Apesar das osciações presentes na curva de super-resriamento para o modeo estocástico, não se observam osciações signiicativas na curva da posição desta rente (y co ) em unção do tempo. Nesta curva, nota-se que o tempo para a ocorrência da CET oi menor no modeo estocástico. 2919

9 CET Figura 3. Posição (y co ) e super-resriamento da rente counar ( Δ peos modeos utiizando Δ = 3 K. T Tco ) em unção do tempo previstos Como pode ser visto na Figura 2, a curva de posição da CET em unção do super-resriamento para a nuceação instantânea apresenta uma eevação abrupta para um super-resriamento de 4K nos dois modeos. Este comportamento oi examinado em detahes, no modeo estocástico, reaizando-se simuações com diversos vaores de super-resriamento médio para nuceação ( Δ T ) e de desvio padrão ( Δ T V, σ ), necessários para se deinir a distribuição Gaussiana de superresriamentos (equação [4]). Nas simuações, Δ oi aterado entre 2 e 15 K e os T vaores de Δ T V, σ oram deinidos para se ter uma razão ΔT V, σ ΔT que variou entre 0 e 3. Os resutados estão na Figura 4. Nota-se que um aumento na razão ΔT V, σ ΔT causa um aumento no tamanho da região counar, desocando a posição da CET, mesmo para os menores vaores de Δ σ. T V, ΔT Figura 4. Curva de CET em unção do super-resriamento médio para nuceação para diversas razões Δ σ apresentadas. T V, ΔT 2920

10 4 CONCLUSÕES As seguintes concusões oram obtidas a partir das comparações reaizadas entre os resutados dos modeos matemáticos estocástico e determinísticos: 1- As curvas de temperatura previstas peos modeos estocástico e determinístico apresentaram uma aderência reativamente boa; 2- O modeo estocástico com um modeo de nuceação instantâneo ( ΔT V, σ = 0 K ) apresenta o mesmo comportamento do modeo determinístico reportado por Martorano et a. (2) ; 3- Apesar do modeo estocástico não considerar o transporte de souto, os resutados dos modeos estocástico e determinístico apresentaram uma evoução com o tempo semehante para a posição e para o super-resriamento da rente de crescimento counar; 4- O aumento na dispersão da distribuição de super-resriamentos para a nuceação do modeo estocástico aumenta o tamanho da região counar, desocando a posição da CET. Agradecimentos Os autores agradecem ao Conseho Naciona de Desenvovimento Cientíico e Tecnoógico (CNPq) pea bosa de mestrado e à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Pauo (FAPESP) peo inanciamento através do projeto Jovem Pesquisador, proc. 03/ REFERÊNCIAS 1 CHO, In-Sung; Hong Chung-Pyo, ISIJ Internationa, v. 37 No. 11, p , MARTORANO, M.A.; BECKERMANN,C. Meta. Mater. Trans. A, v. 34A, p , GANDIN, Ch.-A.; RAPPAZ, M. Acta matter., v. 42 No. 7, p , CHO, S.-h.; OKANE, T.; UMEDA, T. Internationa Journa o Cast Metas Research, v. 13 No. 6, p , GANDIN, Ch.-A.; RAPPAZ, M. Acta mater., v. 45 No. 5, p , PATANKAR, S.V. Numerica Heat Transer and Fuid Fow, Minnesota: Tayor & Francis, 1980, p KURZ, W.; FISHER, D.J. Fundamentas o soidiication. Aedermannsdor, Trans Tech Pubications Ltd., WANG, C.Y.; BECKERMANN, C. Meta. Mater. Trans. A., v. 25A, p ,