// O angulo interno ao canto C e entao obtido utilizando-se a // definicao de produto escalar: A.B = A B cos(theta)

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1 1 Apendice Solução do Problema 1.2 usando o SCILAB No código a seguir definimos os cantos do triângulo através dos vetores A, B, e C. A partir desses vetores obtemos os vetores que definem os lados do triângulo, i.é, AB, CA e CB // Solucao do Problema 1.2 // Definimos os pontos A, B e C A=[4 1 2]; B=[1-1 0]; C=[5-3 -4]; // O vetor CA e definido por CA=A-C; // O vetor CB e definido por CB=B-C; // O angulo interno ao canto C e entao obtido utilizando-se a // definicao de produto escalar: A.B = A B cos(theta) THETA=acos(CA*CB /(norm(ca)*norm(cb)))*180/%pi // O vetor AB e definido por AB=B-A; // Para determinarmos se o triangulo e retangulo ou nao basta verificarmos // se dois dos vetores que definem os lados sao perpendiculares. Nesse caso // o produto escalar desses dois vetores sera igual a zero. // Verificando a ortogonalidade entre AB e CA AB*CA // Verificando a ortogonalidade entre AB e CB AB*CB // Fim do Problema 1.2

2 2 Definição da função ProdVet para obter produtos vetoriais No SCILAB o produto vetorial não é pré definido. A seguir apresentamos uma função que executa essa operação. Essa funcao sera utilizada nos códigos que executem produtos vetoriais, por exemplo, o Problema 1.3 a seguir. function [p] = ProdVet(u,v) // Calcula o produto vetorial de dois vetores u e v. // Os vetores u e v podem ser vetores linha ou coluna, mas // cada um deles deve ser tri-dimensional. [nu,mu] = size(u); [nv,mv] = size(v); if nu*mu <> 3 nv*mv <> 3 then error( Os vetores devem ser tri-dimensionais ) abort; end A1 = [ u(2), u(3); v(2), v(3)]; A2 = [ u(3), u(1); v(3), v(1)]; A3 = [ u(1), u(2); v(1), v(2)]; px = det(a1); py = det(a2); pz = det(a3); p = [px, py, pz] // Fim da funcao Solução do Problema 1.5 usando o SCILAB Esse código utiliza a função que executa a operação de produto vetorial definida acima. // Solucao do Problema 1.5 u=[6/7-3/7 2/7] v=[2/7 6/7 3/7] w=[-3/7-2/7 6/7] // Verificando se sao unitarios: norm(u), norm(v), norm(w) // Carregamos a funcao ProdVet para calculo de produtos vetoriais (ver

3 3 // funcao definida acima getf("cross") // Verificando se sao ortogonais e formam uma base direita. // Sabemos que da definicao de base ortogonal direita temos que // (u x v).w = (v x w).u = (w x u).v =1 ProdVet(u,v)*w ProdVet(v,w)*u ProdVet(w,u)*v // // A transformacao de coordenada e obtida por // u i.u j.u k.u i // v = i.v j.v k.v j // w i.w j.w k.w k // // A base antiga e dada pelos unitarios i, j e k, definidos como i=[1 0 0]; j=[0 1 0]; k=[0 0 1]; // Assim obtemos a matriz transformacao T=[i*u j*u k*u ; i*v j*v k*v ; i*w j*w k*w ] // Definimos os vetores a, b e c a=[0 3 2] b=[-1 4-3] c=[2-2 -2] // Os vetores na base nova sao dados por a=t*a b=t*b c=t*c // Fim do Problema 1.5

4 4 Solução do Exemplo 2.13 usando o SCILAB Para exemplificarmos a utilização do SCILAB na solução de um problema de treliça vamos resolver, novamente, o exemplo 2.13 do texto. A idéia é resolvermos um sistema linear de equações. Sabemos que a treliça em questão, é plana e simples. Portanto, a condição de que a soma das forças atuando em cada nó tem que ser nula nos fornece 2 equações. O desenho abaixo ajuda-nos a entender o processo. A treliça é composta por 7 elementos, portanto, temos 7 forças a serem determinadas (as forças que atuam em cada elemento). No desenho elas são designadas por f a (forças no elemento a) até f g. Necessitamos 7 equações linearmente independentes. Os nós C, D e E nos fornecem 2 equações cada, e como sabemos que o apoio B é móvel na direção horizontal, esse nó nos fornece 1 equação, totalizando as 7 de que necessitamos. A a f a fb N D f d d f d f a 4 f c b c f c E f e e g f b f f f f 300 N f e C f g f f g 200 N B f 100 N D a f d f c (a) (b) O nó D fornece as seguintes equações: f a cos θ + f c cos θ + f d = 0 f a sen θ f c sen θ 100 = 0 Do nó C temos: f d f e cos θ + f g cos θ = 0 f e sen θ f g sen θ = 0 Do nó E, temos: f b f c cos θ + f e cos θ + f f = 0 f c sen θ + f e sen θ 300 = 0 E, finalmente o nó B, nos fornece a última equação necessária: f f f g cos θ = 0

5 5 Essas equações podem ser agrupadas para fornecer o seguinte sistema cos θ 0 cos θ sen θ 0 sen θ cos θ 0 cos θ sen θ 0 sen θ 0 1 cos θ 0 cos θ sen θ 0 sen θ cos θ f a f b f c f d f e f f f g = A solução desse sistema fornece o valor das forças (f a...f g ) que atuam em cada elemento. Observe que se o resultado for positivo, então a força tem o sentido indicado na Figura acima (ou seja, será uma força de tração sobre a barra, caso contrário, se o resultado for negativo, então o sentido que atribuimos na Figura está ao contrário do que é, e a força será, então, de compressão. // Resolveremos o seguinte sistema A. F = B onde a A e a // matriz que contem as direcoes das forcas, F e a matriz // unidimencional das forcas e B representa a carga sobre a trelica // Define-se o numero de elementos n=7; // Define-se as matrizes A(n,n) e B(n,1) com todos os elementos iguais // a zero A = zeros(n,n); B = zeros(n,1); // Angulo que define a inclinacao de alguns dos elementos da trelica angulo = atan(4/3); c=cos(angulo); s=sin(angulo); // Definicao das matrizes do sistema // Matriz A (elementos diferentes de zero) A(1,1) = -c; A(1,3) = c; A(1,4) = 1; A(2,1) = -s; A(2,3) = -s; A(3,4) = -1; A(3,5) = -c;

6 6 A(3,7) = c; A(4,5) = -s; A(4,7) = -s; A(5,2) = -1; A(5,3) = -c; A(5,5) = c; A(5,6) = 1; A(6,3) = s; A(6,5) = s; A(7,6) = -1; A(7,7) = -c; // Matriz B (elementos diferentes de zero) B(2,1) = 100; B(3,1) = -200; B(6,1) = 300; // matriz A A // matriz B B // Determinacao das forcas nos elementos (F = inversa{a} * B) F = inv(a)*b Solução do Problema 2.18 usando o SCILAB Como segundo exemplo de solução numérica de uma treliça simples, vamos resolver a treliça do Problema O método é identico ao utilizado no exemplo anterior. No caso da treliça do Problema 2.18 temos 13 elementos, o que significa 13 forças a serem determinadas. Cada um dos nós, representado na Figura abaixo pelas letras B, C, D, F, G e H, fornece 2 equações de equilíbrio. No caso do nó E, sabemos que a soma das componentes na horizontal tem que ser igual a zero. Portanto, temos as 13 equações necessárias à solução do problema. O código SCILAB é dado a seguir. A execução desse código fornece como resposta: f a = 10.0 kn f b = 5.83 kn f c = 5.83 kn

7 7 f d = 10.0 kn f e = 8.00 kn f f = 8.00 kn f g = 8.00 kn f h = 8.00 kn f i = 0.00 kn f j = 4.17 kn f k = 5.00 kn f l = 4.17 kn f m = 0.00 kn 2 kn 5 kn b G c 5 kn A H a i h B j k 3 m 1,5 m 1,5 m C f D F d 2 m 2m 2 m 2 m g l m e E // Ver a solucao do problema anterior para entender as // definicoes n=13; A = zeros(n,n); B = zeros(n,1); angulo = atan(3/4); c=cos(angulo); s=sin(angulo); A(1,1) = -c; A(1,2) = c; A(1,10) = c; A(2,1) = -s;

8 8 A(2,2) = s; A(2,9) = -1; A(2,10) = -s; A(3,2) = -c; A(3,3) = c; A(4,2) = -s; A(4,3) = -s; A(4,11) = -1; A(5,3) = -c; A(5,4) = c; A(5,12) = -c; A(6,3) = s; A(6,4) = -s; A(6,12) = -s; A(6,13) = -1; A(7,7) = 1; A(7,8) = -1; A(8,9) = 1; A(9,6) = 1; A(9,7) = -1; A(9,10) = -c; A(9,12) = c; A(10,10) = s; A(10,11) = 1; A(10,12) = s; A(11,5) = 1; A(11,6) = -1; A(12,13) = 1; A(13,4) = -c; A(13,5) = -1; B(2,1) = 5; B(4,1) = 2; B(6,1) = 5; // matriz A A // matriz B B F=inv(A)*B

9 9 Solução do Exemplo 3.9 usando o SCILAB O código a seguir foi escrito para resolver o exemplo 3.9 e desenhar o gráfico da velocidade do pistão e velocidade angular do braço 2 como função do ângulo do braço 1. // define-se um vetor contendo o valor do angulo theta, com // valor inicial igual a "arccos(-.6)", que e o angulo utilizado // no Exemplo 3.9. Os valores sao incrementados de radianos // (rotacao no sentido horario) ate realizar 2 voltas completas. theta=[acos(-.6):-.01:-4*%pi+acos(-.6)] ; // determina-se o tamanho do vetor theta s=size(theta); // define-se matrizes de dimensoes tamanho de theta X 3 // r1 e o vetor que localiza o ponto "A", r2 e o vetor que // localiza "B" com relacao a "A", v e a velocidade de "A" e // vb uma matriz de dimensao tamanho de theta X 2 que ser a obtida // como solucao do problema, onde vb(:,1) e a velocidade linear do // ponto "B" e vb(:,2) a velocidade angular do braco 2. r1 = zeros(s(1,1),3); r2 = zeros(s(1,1),3); v = zeros(s(1,1),3); vb = zeros(s(1,1),2); // Calcula-se as componentes do vetor r1 em funcao do angulo theta r1(:,1)=5*cos(theta); r1(:,2)=5*sin(theta); // Calcula-se as componentes do vetor r2 em funcao do angulo theta r2(:,1)=sqrt(13^2 - r1(:,2)^2); r2(:,2)=r1(:,2); getf("cross"); // A velocidade angular do braco 1 e igual a -10 rad/s na direcao // horaria w=[0 0-10];

10 10 // Calcula-se a velocidade linear do ponto "A" (va= omega X r1). // Em seguida monta-se o sistema que nos dara a velocidade angular // do braco 2 e a velocidade do ponto "B", impondo-se a condicao // de que a componente vertical ("y") dessa velocidade e igual a // zero (ver exemplo 3.9 do texto). for i = 1:s(1,1) v(i,:) = ProdVet(w,r1(i,:)); A=[1 -r2(i,2); 0 -r2(i,1)]; B=[v(i,1); v(i,2)]; vb(i,:)=(inv(a)*b) ; end // grafico de vb e da velocidade angular do braco 2. xbasc() plot2d(-theta,[vb(:,1) vb(:,2)*10],[1,2],"111",.. leg="vb@omega x 10",rect=[-2.5,-60,10.5,60])