Aula 5 Senado Federal Parte 1

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1 Aula 5 Senado Federal Parte 1 1. Probabilidade Espaço Amostral Evento Probabilidade de Laplace Combinações de eventos Propriedades sobre probabilidades Exercícios Resolvidos Probabilidade Condicional Exercícios Questões FGV Relação das questões comentadas Gabaritos

2 1. Probabilidade A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida desta probabilidade, a qual é portanto uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos os casos possíveis. Pierre Simon Laplace, Ensaio filosófico sobre as Probabilidades A Teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria modelos que são utilizados para estudar experimentos aleatórios. Um experimento é dito aleatório quando ele pode ser repetido sob as mesmas condições inúmeras vezes e os resultados não podem ser previstos com absoluta certeza. Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento aleatório, em geral podemos descrever o conjunto que abriga todos os resultados possíveis. Quando é possível fazer uma previsão do resultado de um experimento, ele é chamado de determinístico. Experimentos ou fenômenos aleatórios acontecem com bastante frequência em nossas vidas. Diariamente ouvimos perguntas do tipo: Choverá próxima semana? Qual a minha chance de ganhar na Mega Sena? Vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios: i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. O que os experimentos acima têm em comum? As seguintes características definem um experimento aleatório. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento, somos capazes de descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 2. Espaço Amostral Para cada experimento do tipo que estamos considerando (aleatório), definiremos o espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Denotaremos este conjunto pela letra U. 2

3 Vamos considerar os experimentos acima e descrever um espaço amostral para cada um deles. i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Quando jogamos um dado, o resultado pode ser 1,2,3,4,5 ou 6. Portanto: 1,2,3,4,5,6 ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima., Resumindo: ao efetuar um experimento aleatório, o primeiro passo consiste em descrever todos os resultados possíveis, ou seja, explicitar o conjunto de possíveis resultados e calcular o número de elementos que pertencem a ele. Este conjunto é chamado de Espaço Amostral. 3. Evento Chamaremos de evento todo subconjunto do espaço amostral. Voltemos ao lançamento do dado. Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Por exemplo, o subconjunto 1,2,3,4,5,6 2,3,5 é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é um número primo. Vejamos outros eventos relativos a este espaço amostral. B: ocorrência de número menor que 5. 1,2,3,4. C: ocorrência de número menor que 8. 1,2,3,4,5,6 D: ocorrência de número maior que 8. (conjunto vazio). Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. 3

4 4. Probabilidade de Laplace Passemos agora à segunda etapa: calcular a probabilidade de um evento. Consideremos o caso do evento 2,3,5 que vimos anteriormente. Como são 6 resultados possíveis no lançamento de um dado e são 3 números primos nas faces, intuitivamente percebemos que se repetimos o experimento um grande número de vezes obteremos um número primo em aproximadamente a metade das vezes. O que está por trás do nosso raciocínio intuitivo é o seguinte: i) Cada um dos elementos que compõem o espaço amostral são igualmente prováveis. ii) O número de elementos do evento 3 é justamente a metade dos elementos do espaço amostral 6. Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento A da seguinte forma: Como vimos o texto no início da aula, Laplace referia-se aos elementos do evento como os casos favoráveis (ou desejados). Os elementos do espaço amostral são chamados de casos possíveis. Desta forma: ú á ú í 5. Combinações de eventos Podemos empregar as várias técnicas de combinar conjuntos (eventos) para formar novos conjuntos (eventos). União de dois eventos Considere dois eventos A e B. O evento união é denotado por e ocorre se e somente se ao menos um dos eventos ocorrerem. Podemos dizer que ocorre se e somente se A ou B (ou ambos) ocorrerem. Interseção de dois eventos Considere dois eventos A e B. O evento interseção é denotado por e ocorre se e somente se os dois eventos ocorrerem (A e B ocorrerem). Complementar de um evento 4

5 Considere um evento A. O evento complementar de A é denotado por e ocorre se e somente se não ocorre A. Vejamos alguns exemplos: Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Considere os seguintes eventos. 1,2,3,4,5,6 A: ocorrência de um número ímpar. 1,3,5. B: ocorrência de um número par: 2,4,6. C: ocorrência de um número menor ou igual a 3. 1,2,3 Desta forma, temos os seguintes eventos. : ocorrência de um número ímpar ou número par. 1,2,3,4,5,6 : ocorrência de um número ímpar ou de um número menor ou igual a 3. 1,2,3,5 : ocorrência de um número par ou de um número menor ou igual a 3. 1,2,3,4,6 : ocorrência de um número ímpar e par. O resultado foi o conjunto vazio porque não existe número que seja simultaneamente par e ímpar. Neste caso dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. : ocorrência de um número ímpar e menor ou igual a 3. 1,3 : ocorrência de um número par e menor ou igual a 3. : não ocorrer um número ímpar. 2 2,4,6 5

6 : não ocorrer um número par. 1,3,5 : não ocorrer um número menor ou igual a 3. 4,5,6 6. Propriedades sobre probabilidades A probabilidade do evento impossível é 0 e a probabilidade do evento certo é igual a 1. Vamos lembrar: Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. Para ilustrar esta propriedade, vamos voltar ao exemplo do dado. Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. Considere os eventos. 1,2,3,4,5,6 A: ocorrência de número menor que 8. 1,2,3,4,5,6 B: ocorrência de número maior que 8. (conjunto vazio). Já sabemos que: Desta forma, ú ú ç Se A é um evento qualquer, então

7 Esta propriedade afirma que qualquer probabilidade é um número maior ou igual a 0 e menor ou igual a 1. A probabilidade será igual a 0 se o evento for impossível e a probabilidade será igual a 1 se o evento for certo. Se o evento A nem for o evento certo nem o evento impossível, então a probabilidade é um número positivo e menor que 1. Se A é um evento qualquer, então 1. É muito fácil ilustrar esta propriedade. Imagine que alguém te informa que a probabilidade de chover amanhã seja de 30%. Você rapidamente conclui que a probabilidade de não chover é de 70%. Isto porque a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1. Lembre-se que o símbolo % significa dividir por 100. Desta forma, podemos dizer que a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1 ou 100%. Já que: Probabilidade do evento união 100% Se A e B forem dois eventos quaisquer, então Podemos ilustrar esta propriedade utilizando conjuntos. O evento interseção é aquele formado pelos elementos comuns entre A e B. O evento união é o representado abaixo. 7

8 Quando somamos as probabilidades dos eventos contidos em são computadas duas vezes (uma por estarem em A e outra vez por estarem em B). Para eliminar esta dupla contagem, subtraímos para que nenhum elemento seja contado mais de uma vez. Falei anteriormente que quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio eles são chamados de mutuamente excludentes. Neste caso, quando, tem-se que. 7. Exercícios Resolvidos 01. (INSS 2009/FUNRIO) João encontrou uma urna com bolas brancas, pretas e vermelhas. Ele verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. João, então, colocou outras bolas pretas na urna, e a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Diante disso, a quantidade de bolas colocadas por João na urna é igual a(o) A) quantidade de bolas brancas. B) dobro da quantidade de bolas brancas. C) quantidade de bolas vermelhas. D) triplo da quantidade de bolas brancas. E) dobro da quantidade de bolas vermelhas. 8

9 João verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. Vamos considerar que a urna contém bolas brancas. A quantidade de bolas pretas é o dobro da quantidade de bolas brancas. Desta forma, tem-se 2 bolas pretas. Sabemos ainda que a quantidade de bolas pretas é a metade da quantidade de bolas vermelhas. Concluímos que são 4 bolas vermelhas. Resumindo: bolas brancas. 2 bolas pretas. 4 bolas vermelhas. João colocar mais bolas pretas na urna. Vamos considerar que João acrescentou bolas pretas na urna. O nosso quadro com a quantidade de bolas ficará assim: bolas brancas. 2 bolas pretas. 4 bolas vermelhas. Total de bolas: A probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. 0,5 1 2 Sabemos que probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. ú á ú í 1 2 Há um total de 2 bolas pretas (número de casos favoráveis) e um total de 7 bolas na urna (número de casos possíveis O produto dos meios é igual ao produto dos extremos

10 O número de bolas pretas acrescentadas por João é igual a 3. Como o número de bolas brancas é igual a, então o número de bolas pretas acrescentadas por João é o triplo do número de bolas brancas. Letra D (PRF 2003/CESPE-UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. 02. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,2. Há um total de relatórios. Este é o número de casos possíveis. Queremos calcular a probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão. 10

11 De acordo com a tabela, ocorreram acidentes no estado do Maranhão. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é: ú á ú í ,21 Portanto, a probabilidade pedida é superior a 0,2 e o item está certo. 03. A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%. Há um total de relatórios. Este é o número de casos possíveis. Queremos calcular a probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino. De acordo com a tabela fornecida, há um total de acidentes ocorridos com mulheres. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é: ú á ú í A probabilidade pedida é inferior a 23% e o item está errado ,218 22%

12 04. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5. Neste caso, o número de casos possíveis não é O enunciado nos manda considerar que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino. Devemos, portanto, desconsiderar os acidentes com pessoas do sexo feminino. O nosso espaço amostral (casos possíveis) está representado na tabela abaixo. Desta forma, o número de casos possíveis será igual a Queremos calcular a probabilidade de que o acidente mencionado no relatório tenha ocorrido no estado do Paraná. Lembre-se que devemos olhar apenas para os acidentes ocorridos com vítimas do sexo masculino!! O número de casos desejados (favoráveis) é, portanto, igual a 532. A probabilidade pedida é igual a: ,48 12

13 Que é inferior a 0,5. Portanto, o item está errado. 05. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,27. O enunciado nos manda considerar que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná. Desta forma, o nosso espaço amostral será reduzido. Eis o nosso espaço amostral: O total de elementos do nosso espaço amostral (casos possíveis) é igual a.. Estamos interessados em calcular a probabilidade de o acidente ser com uma vítima do sexo masculino no estado do Maranhão. Eis o nosso evento (em verde). A probabilidade pedida é igual a: 13

14 ,3 A probabilidade calcular é superior a 0,27 e o item está certo. 06. A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. Voltamos a considerar o nosso espaço amostral com relatórios. Queremos calcular a probabilidade de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela. Vamos selecionar as vítimas do sexo feminino. Vamos agora selecionar as vítimas da região Sul. Queremos calcular a probabilidade do evento união (ou). Há um total de casos desejados. A probabilidade pedida é igual a:

15 Poderíamos ter utilizado a fórmula da probabilidade do evento união. Onde: ã Desta forma: A fórmula não foi útil na questão, por haver cálculos em demasia. Bom, a probabilidade é pedida é: Portanto, o item está errado ,73 73% 07. (SEFAZ-SP 2009/ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56% Para facilitar a resolução do exercício, vamos supor que a cidade tenha 100 adultos. Homem Fumantes Não-fumantes Total 15

16 Mulher Total 100 O enunciado nos diz que 40% dos adultos são fumantes. 40% Logo, temos 40 fumantes. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher Total % dos fumantes são mulheres. 40% São 16 mulheres fumantes. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher 16 Total Se, das 100 pessoas, 40 são fumantes, então há 60 não-fumantes. Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher 16 Total O enunciado informa que 60% dos não-fumantes são mulheres. 60% ã 100 Fumantes Não-fumantes Total Homem Mulher Total Ao todo, temos 52 mulheres. Homem Fumantes Nãofumantes Total 16

17 Mulher Total Como estamos considerando que a cidade possui 100 adultos, então o número de casos possíveis é igual a 100. Queremos calcular a probabilidade de a pessoa escolhida ser uma mulher. Como há 52 mulheres, então o número de casos desejados é igual a 52. ú á ú í 52 52% 100 Letra B (SEBRAE-BA 2008/CESPE-UnB) Na eleição para prefeito de uma cidade de eleitores legalmente aptos a votar, concorrem os candidatos A e B. Uma pesquisa de opinião revela que eleitores não votariam em nenhum desses candidatos. A pesquisa mostrou ainda que o número de eleitores indecisos isto é, que, apesar de não terem ainda decidido, votarão em algum dos dois candidatos, que votariam apenas no candidato A ou que votariam apenas no candidato B são números diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Nessa situação, com base nessa pesquisa, escolhendo-se ao acaso um desses eleitores, é correto afirmar que a probabilidade dele 08. votar em algum dos candidatos é superior a 80% 09. ser um eleitor indeciso é inferior a 15%. 10. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a 70%. Vamos analisar o enunciado e, em seguida, avaliar cada um dos itens. Há um total de eleitores. Como eleitores não votariam nos candidatos A e B, então os dois candidatos juntos computarão um total de votos. A quantidade de candidatos indecisos, dos que votarão em A e dos que votarão em B são diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Se a constante de proporcionalidade for igual a, então: 2 pessoas estão indecisas. 3 pessoas votarão em A. 5 pessoas votarão em B. Somando estas quantidades temos pessoas. 17

18 Desta forma: pessoas estão indecisas pessoas votarão em A pessoas votarão em B. É correto afirmar que a probabilidade dele 08. votar em algum dos candidatos é superior a 80% Sabemos que pessoas votarão nos candidatos A e B. Temos casos favoráveis e casos possíveis. A probabilidade pedida é igual a O item está certo ,85 85% ser um eleitor indeciso é inferior a 15%. Sabemos que pessoas estão indecisas. Como há um total de eleitores, a probabilidade pedida é igual a: ,17 17% O item está errado. 10. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a 70%. Sabemos que pessoas votarão em A e pessoas votarão em B. O total de decididos é igual a A probabilidade pedida é igual a ,68 68% O item está certo. 11. (MPOG 2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está 18

19 comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendose que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a: a) 30 % b) 80 % c) 62 % d) 25 % e) 75 % Vamos listar todas as comissões, excluindo Denílson: - Arnor, Bruce, Carlão - Arnor, Bruce, Eleonora - Arnor, Carlão, Eleonora - Bruce, Carlão, Eleonora São 4 comissões possíveis. Em três delas nós temos a participação de Carlão. São 3 casos favoráveis em 4 possíveis. Letra E 3 Logo: P = = 75% 4 8. Probabilidade Condicional Imagine a seguinte situação: você está sentado em um teatro assistindo a uma peça. Há 400 homens e 600 mulheres no teatro. De repente, é anunciado que será sorteado um carro entre os espectadores. Desta forma, como há pessoas na platéia, então a probabilidade de um homem ser sorteado é igual a ,4 40% e a probabilidade de uma mulher ser sorteada é igual a ,6 60% Se eu, Guilherme, estivesse sentado neste teatro, a minha chance de ganhar este carro seria de 19

20 ,001 0,1% Estas são as probabilidades a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos que o apresentador do sorteio realize o experimento e resolve fazer um tipo de suspense. Ele então informa que a pessoa sorteada é um homem. Ocorre uma frustração geral entre as mulheres. Por quê? Porque a chance de alguma mulher vencer agora é igual a 0. Esta é uma probabilidade a posteriori, isto é, depois de realizado o experimento. Por outro lado, os ânimos dos homens se exaltam. Suas chances aumentaram!! Ora, não temos mais concorrentes, e sim 400. Os casos possíveis agora totalizam 400 pessoas. A minha chance que antes era de 0,1%, agora será de: 1 0,0025 0,25% 400 A minha chance de ganhar o carro aumentou! Observe que o espaço amostral foi reduzido. Isto já foi trabalhado um pouco nas questões 05 e 06. Vejamos outro exemplo. Consideremos o experimento que consiste em jogar um dado não-viciado. Sejam o espaço amostral 1,2,3,4,5,6 e os eventos 2,4,6 e 1,2,5. Temos que a probabilidade de ocorrer o evento B é igual a: Esta é a probabilidade de B a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos que, uma vez realizado o experimento, alguém nos informe que o resultado do mesmo é um número par, isto é, que o evento A ocorreu. A nossa opinião sobre a ocorrência do evento B se modifica com esta informação, já que, então, somente poderá ter ocorrido B se o resultado do experimento tiver sido o número 2. Esta opinião é quantificada com a introdução de uma probabilidade a posteriori ou, como vamos chamá-la doravante, probabilidade condicional de B dado A, definida por. 1 3 Vamos ilustrar esta situação com um diagrama. 20

21 Sabemos que ocorreu um número par. O nosso espaço amostral (casos possíveis) deixa de ser U e passa a ser A. í Vamos representar o espaço amostral com a cor vermelha. O número de casos possíveis agora é igual a 3. í Para calcular a probabilidade de ocorrer o evento B, devemos nos restringir aos elementos comuns de A e B. Portanto, os casos desejados são os elementos da interseção entre A e B. Finalmente, a expressão probabilidade de ocorrer B sabendo que A ocorreu é expressa assim: 21

22 Chegamos à fórmula: A noção geral é a seguinte: Que pode ser expressa da seguinte forma: Esta fórmula é chamada de Teorema da Multiplicação e pode ser lida assim: A probabilidade de ocorrerem os eventos A e B é igual a probabilidade de A vezes a probabilidade de B depois que A ocorreu. Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se Vamos resolver alguns exercícios para por a teoria em prática. 9. Exercícios 12. (IJSN 2010/CESPE-UNB) A probabilidade de se obter um número menor que 5 no lançamento de um dado, sabendo que o dado não é defeituoso e que o resultado é um número ímpar, é igual a 2/3. CUIDADO!!! O problema nos informou que o resultado é um número ímpar. Devemos descartar os números pares. Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Nosso novo espaço amostral (casos possíveis) é {1, 3, 5}. Queremos calcular a probabilidade de se obter um número menor que 5. Há 2 casos desejados. Portanto, a probabilidade pedida é igual a O item está certo

23 (Paraná Previdência 2002/CESPE/UnB) Texto IV Uma empresa adotou uma política de contratação de deficientes físicos. Para avaliar se as deficiências afetam o desempenho desses empregados no trabalho, foi gerado o seguinte quadro, a partir de uma avaliação dos 400 empregados dessa empresa. Desempenho Tipo de deficiência Total Surdez Cegueira Outras Sem deficiência Bom Regular Total Com relação aos dados do texto IV, julgue os seguintes itens. 13. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado como tendo bom desempenho será igual a 0, Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como tendo bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego será de 0, Considere A o evento o empregado é surdo e B o evento o empregado tem desempenho regular. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os 400 avaliados, a probabilidade de ele ser surdo e ter sido avaliado como tendo desempenho regular, P(A B), será igual a P(A) P(B) = 0, Considere C o evento o empregado é cego e B o evento o empregado tem desempenho regular. Se um empregado for escolhido ao acaso, a P( B C) probabilidade condicional será P ( B C) = = 0, 1. P( B) 17. Considere B o evento o empregado tem desempenho regular e D o evento o empregado tem desempenho bom. Os eventos B e D são independentes, pois P ( B D) = O objetivo é calcular a probabilidade de um empregado, escolhido ao acaso, ter bom desempenho. Há um total de 400 funcionários com a mesma probabilidade de serem escolhidos. Como estamos interessados em um dos 200 empregados que têm bom desempenho, então são 200 casos favoráveis. O item está certo. á í ,5 23

24 14. Estamos considerando apenas os empregados com bom desempenho (este é o nosso espaço amostral). Dessa forma, o número de casos possíveis é igual a 200. Destes 200 empregados com bom desempenho, 40 são cegos. Assim sendo, o número de casos favoráveis é igual a 40. á í ,2 O item está certo. 15. O objetivo é calcular a probabilidade da intersecção de dois eventos. O empregado simultaneamente deve ser surdo e ter desempenho regular. De acordo com a tabela, há 5 funcionários surdos e com desempenho regular. á í 5 0, O item está errado Queremos a probabilidade de o evento B acontecer dado que ocorreu o evento C ocorreu. Trata-se de cálculo de probabilidade condicional. Vejamos: é lido como probabilidade de ocorrer B sabendo que C ocorreu. Se C ocorreu, então o nosso espaço amostral é C e não B. O denominador deveria ser. A fórmula dada no enunciado está errada!! O correto seria: Primeiro calculamos a probabilidade de os eventos B e C ocorrerem simultaneamente. Cegos com desempenho regular são apenas 20. Portanto: ,05 A probabilidade de um cego ser escolhido é: 24

25 ,15 Portanto, a probabilidade de ser escolhido um empregado com desempenho regular, dado que foi escolhido um cego, é de: 0,05 0, Item errado. 17. Não há funcionário que tenha, ao mesmo tempo, um desempenho bom e um desempenho regular. Portanto: P ( B D) = 0 A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter um desempenho regular é: 200 P ( B) = = 0,5 400 A probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter um desempenho bom é: Concluímos que: 200 P ( D) = = 0,5 400 P ( B D) P( B) P( D) Portanto, os dois eventos não são independentes. Item errado. Note que o CESPE tentou confundir EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES com EVENTOS INDEPENDENTES. Eventos mutuamente excludentes são aqueles cuja interseção é o conjunto vazio. Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se 18. (CGU 2008/ESAF) A e B são eventos independentes se: a) P ( A B) = P( A) + P( B) b) P ( A B) = P( A) P( B) c) P( A B) = P( A) P( B) 25

26 d) P ( A B) = P( A) + P( B A) e) P ( A B) = P( A) P( B) Aplicação direta da fórmula vista. Letra E 19. (STN 2008/ESAF) Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se: a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. : Aplicação direta do conceito visto acima. Letra D 20. (Administrador FUNAI 2009/FUNRIO) O vírus X aparece nas formas X 1 e X 2. Se um indivíduo tem esse vírus, a probabilidade de ser na forma X 1 é 3/5. Se o indivíduo tem o vírus na forma X 1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X 2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Nessas condições, a probabilidade do indivíduo portador do vírus X sobreviver é a) 11/15 b) 2/3 c) 3/5 d) 7/15 e) 1/3 Se o indivíduo tem o vírus X, a probabilidade de ser na forma X 1 é 3/ Como o vírus só aparece nas formas X 1 e X 2, então a probabilidade de aparecer na forma X 2 é:

27 Isto porque a soma das probabilidades deve ser igual a 1. Se o indivíduo tem o vírus na forma X 1, a probabilidade desse indivíduo sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X 2, a probabilidade dele sobreviver é 5/6. Queremos calcular a probabilidade de um portador do vírus X sobreviver. Há dois casos a considerar. Os portadores na forma X 1 e os portadores na forma X 2., Probabilidade de ser portador do vírus na forma X 1 Probabilidade de sobreviver com o vírus na forma X 1 Probabilidade de ser portador do vírus na forma X 2 Probabilidade de sobreviver com o vírus na forma X 2 Letra A (TCE-ES 2004/CESPE-UnB) Considere que dois controladores de recursos públicos de um tribunal de contas estadual serão escolhidos para auditar as contas de determinada empresa estatal e que, devido às suas qualificações técnicas, a probabilidade de José ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, enquanto a probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. Em face dessas considerações, julgue os itens subseqüentes. 27

28 1. Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a probabilidade de José ser escolhido é 1/5. Nessas condições, a probabilidade de José e Carlos serem ambos escolhidos é menor que 1/4.. Temos os seguintes dados: é é 1 5 E queremos calcular: P ( Jose Carlos) =? Aplicando a fórmula da probabilidade da intersecção, temos: P ( Jose Carlos) = P( Carlos) P( JoseCarlos) O item está certo. 5 1 P ( Jose Carlos) = = (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Os eventos A e B são independentes e suas probabilidades são P(A) = 0,5 e P (B) = 0,4. Quanto vale P(A B)? (A) 0,5 (B) 0,6 (C) 0,7 (D) 0,8 (E) 0,9. Vimos anteriormente que quando dois eventos são independentes: 0,5 0,4 0,2 Aplicando a fórmula da união... 0,5 0,4 0,2 0,7 Letra C 28

29 23. (CGU 2008/ESAF) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,4; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a: a) 0,04 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,45 e) 0,95 : Seja R o evento que ocorre quando, escolhendo-se ao acaso um dia em que Paulo vai ao futebol, ele encontra Ricardo. Seja F o evento que ocorre quando Paulo encontra Fernando. Temos: P ( R) = 0,4 P ( F) = 0,1 P ( R F) = 0,05 Queremos calcular a probabilidade da união: Basta aplicar a fórmula diretamente: 0,4 0,1 0,05 0,45 Letra D 24. (Ministério da Fazenda 2009/ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50%. 29

30 A probabilidade de sair 6 é 20% 6 20% 0,2 Sobram 80%. Para calcular a probabilidade de sair cada um dos números restantes, devemos dividir os 80% por 5. 80% 5 = 16% = 0,16 Queremos calcular a probabilidade de, em um dado lançamento, sair par Os eventos sair 2, sair 4 e sair 6 são mutuamente excludentes. A probabilidade da união é a soma das probabilidades ,16 0,16 0,2 0,52 Queremos que dois números pares ocorram em dois lançamentos. Seja A o evento que ocorre quando, no primeiro lançamento, o resultado é par. Seja B o evento que ocorre quando, no segundo lançamento, o resultado é par. Para que tenhamos dois números pares, A e B devem ocorrer. P ( A B) =? Ora, o resultado do primeiro lançamento não interfere no resultado do segundo lançamento, portanto os eventos são independentes. Como os dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades. Letra B 0,52 0,52 0, ,04% 25. (IJSN 2010/CESPE-UNB) Considere que de uma urna contendo 2 bolas azuis e 6 bolas brancas retira-se ao acaso uma bola, anota-se sua cor e repõese a bola na urna. Em seguida retira-se novamente uma bola da urna e anotase sua cor. Nessas condições, a probabilidade das duas bolas retiradas serem azuis é 1/4. Como a primeira bola retirada é colocada de volta na urna, então os eventos são independentes (a cor da bola retirada na primeira vez não vai influenciar na cor da bola retirada na segunda vez). Neste caso, 1ª 2ª O item está errado. 30

31 26. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? a) 100/729. b) 100/243. c) 10/27. d) 115/243. e) 25/81. Suponha que temos apenas uma bola vermelha. O número de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, logo temos 5 bolas amarelas. O número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas, logo temos 10 bolas azuis. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, logo temos 20 bolas pretas. Total de bolas: = 36 bolas. 20 bolas pretas e 16 não-pretas. Ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? Temos as seguintes possibilidades: - não preta, preta, preta. - preta, não preta, preta - preta, preta, não preta Seja X uma bola de cor não-preta. Letra B XPP, PXP, PPX (Administrador DNOCS 2010/FCC) Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado eletrodoméstico apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de venda: 31

32 A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a (A) 87,5%. (B) 80,0%. (C) 75,0%. (D) 60,0%. (E) 50,0%. O somatório de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Desta forma: A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodoméstico é igual a Letra C ,75 75% (Analista ANEEL 2006/ESAF) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vítor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e três pretas. Ana guardou todas essas blusas - e apenas essas - em uma mesma gaveta. Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vítor, Ana retira, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a: a) 4/5 b) 7/10 c) 3/5 d) 3/10 e) 2/3 Vamos resumir os dados do problema. 32

33 Mãe 4 blusas pretas e 5 brancas. Pai 4 blusas pretas e 2 blusas brancas. Namorado 2 blusas brancas e 3 blusas pretas. Na gaveta de Ana há, portanto, 20 blusas. Como queremos calcular a probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai, então o número de casos desejados é igual a 6. Letra D (Técnico MPU 2004/ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a a) 1/3 b) 1/5. c) 9/20. d) 4/5. e) 3/5. Pulseiras de João 4 de prata e 5 de ouro. Pulseiras de Pedro 8 de prata e 3 de ouro. Maria retirou uma pulseira de prata. Ela tem 12 pulseiras de prata (casos possíveis). Queremos saber a probabilidade de essa pulseira ser uma das que ganhou de João. Ela ganhou 4 pulseiras de prata de João (casos desejados) Assim, a probabilidade pedida é Letra A (TCE-RN 2000/ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5 33

34 Se os eventos são independentes, a probabilidade de os dois eventos acontecerem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades. Lembre-se que 1, onde é o evento complementar do evento. Por exemplo, se a probabilidade de chover é 40% = 0,4, então a probabilidade de não chover é 60% = 0,6, pois 0,4+0,6 =1. Calcular a probabilidade de somente o cão estar vivo é o mesmo que calcular a probabilidade de o cão estar vivo e o gato estar morto (coitado!). Se a probabilidade de o gato estar vivo daqui a 5 anos é igual a 3/5, então a probabilidade de ele não estar vivo é igual a 2/5. Assim, ã Letra B 31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a probabilidade de que sejam da mesma cor é de: a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60% São 5 bolas das quais 2 são brancas e 3 são pretas. Queremos calcular a probabilidade de sacar ao acaso duas bolas e as duas serem brancas ou as duas serem pretas. A probabilidade de a primeira bola ser branca é igual a 2/5 (pois são 2 bolas brancas num total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser branca é igual a 1/4 (pois agora há apenas uma branca e 4 bolas no total). A probabilidade de a primeira bola ser preta é igual a 3/5 (pois são 3 bolas pretas num total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser preta é igual a 2/4 (pois agora há 2 bolas pretas e 4 bolas no total). Letra C ,4 40% 32. (UNIPAMPA 2009/CESPE-UnB) Considerando duas moedas viciadas A e B, de modo que, jogando a moeda A, a probabilidade de dar cara é 0,7, e a moeda B tem probabilidade 0,5 de dar coroa, então a probabilidade de se 34

35 obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente é igual a 0,2. Vejamos a moeda A. Se a probabilidade de dar cara é 0,7, então a probabilidade de dar coroa deve ser 0,3, pois a soma das probabilidades deve ser igual a 1. O resultado de uma moeda não interfere no resultado da outra moeda, portanto os eventos são independentes. A probabilidade de se obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente é igual a: O item está errado. 0,3 0,5 0,15 (FUB 2009/CESPE-UnB) A probabilidade de um edifício desmoronar é de 0,5 nos primeiros três anos após a sua construção, caso o planejamento do arquiteto tenha sido incorreto. No caso de planejamento correto, a probabilidade é de 0,1. Considerando que, na construção de um edifício, a probabilidade de o arquiteto errar seja igual a 0,1, julgue o item a seguir. 33. A probabilidade do edifício em questão desmoronar nos primeiros três anos após a sua construção é de 0,05. A probabilidade de o arquiteto errar o planejamento é de 0,1. Portanto, a probabilidade de o arquiteto acertar o planejamento é de 0,9 (a soma das probabilidades complementares deve ser igual a 1). Se o arquiteto erra o planejamento, a probabilidade de o prédio desmoronar é de 0,5. A chance de isto acontecer é igual a: é 0,1 0,5 0,05 Se o arquiteto acerta o planejamento, a probabilidade de o prédio desmoronar é igual a 0,1. A chance de isto acontecer é igual a: é 0,9 0,1 0,09 Portanto, a probabilidade de um prédio desmoronar nos seus três primeiros anos é igual a: O item está errado. 0,05 0,09 0,14 35

36 10. Questões FGV 34. (MPE Amazonas 2002/FGV) A análise dos dados obtidos das Declarações de Ajuste do Imposto de Renda, em um sistema econômico hipotético, mostrou o seguinte resultado, relativamente à renda anual dos contribuintes: Se uma pessoa for selecionada aleatoriamente para verificação de suas informações pela autoridade fiscal, a probabilidade de que essa pessoa tenha renda anual superior a R$ 8 000,00 será igual a: (A) 0,03 (B) 0,05 (C) 0,25 (D) 0,30 (E) 0,70 São casos favoráveis os contribuintes com renda superior a Estão nessa situação os contribuintes da segunda classe e os contribuintes da terceira classe. Casos favoráveis: = O número de casos possíveis é dado por: = A probabilidade pedida é: ,3 Letra D 35. (MINC 2006/FGV) Lança-se um dado não-tendencioso. Se o resultado é par, qual é a probabilidade de que tenha sido um "quatro"? (A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/5 (E) 1/6 36

37 A pergunta pode ser resumida como: qual a probabilidade de sair o número 4, dado que o resultado é par. Inicialmente temos o seguinte: - caso favorável: 4 - casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mas temos uma condição a ser obedecida. É dado que o resultado é par. Assim, precisamos rever nossa lista de casos possíveis e favoráveis. Devemos excluir todos os resultados que são ímpares. - caso favorável: 4 - casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. E a probabilidade pedida é: ú á ú í 1 3 Letra B 36. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A B) = 0,14. Então, pode-se dizer que A e B são eventos: (A) mutuamente exclusivos. (B) complementares. (C) independentes. (D) condicionais. (E) elementares. Letra A: Para que A e B sejam mutuamente exclusivos, a intersecção deveria ser nula (o que implica em probabilidade zero). Não é o que ocorre, pois P(A B) = 0,14. Se A e B são complementares, então a soma de suas probabilidades é igual a 100%. Não é o que ocorre (0,7 + 0,2 = 0,9). Letra C: Para que A e B sejam independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades. 0,7 0,2 0,14 Concluímos que os dois eventos são independentes. Letra D: não faz sentido falar em eventos condicionais. Letra E: Se A e B fossem elementares, eles não poderiam ser divididos em outros eventos menores. Mas, como a própria questão informou, existe o evento A B, com probabilidade não nula. Este evento tem probabilidade inferior às probabilidades de A 37

38 e de B. Logo, é um evento contido nos anteriores. Isso já permite concluir que A e B não são elementares. Letra C 37. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A tabela abaixo apresenta a distribuição de pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Viúvo). Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou Viúva é igual a: (A) 0,6. (B) 0,2. (C) 0,4. (D) 0,7. (E) 0,5. Seja A o evento que ocorre quando, selecionando aleatoriamente uma pessoa, ela é do sexo feminino. Seja B o evento que ocorre quando, selecionando aleatoriamente uma pessoa, ela é viúva. A partir da tabela, temos: 400 P ( A) = P ( B) = P ( A B) = Logo: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 38

39 P ( A B) = = 0, Letra E 38. (Senado Federal 2008/FGV) A tabela a seguir apresenta o número estimado da população em cada região brasileira no ano de 2007 (fonte: IBGE), a porcentagem estimada de pessoas por região que possuem aparelho de telefone celular (fonte: TIC Domicílios do NIC.br), e a multiplicação dessas duas quantidades por região (pop x cel), com duas casas decimais de precisão: De acordo com a tabela acima, a probabilidade aproximada de um brasileiro que possui aparelho celular viver na região Norte ou na região Sul é: (A) 12,4%. (B) 20,2%. (C) 24,1%. (D) 35,8%. (E) 42,6%. É dado que o brasileiro escolhido tem aparelho celular. Ou seja, os casos possíveis são os 93,66 milhões de brasileiros que possuem celular. Os casos favoráveis são aqueles que possuem celular e moram na região Norte ou Sul. Estão nesta condição: A probabilidade fica: Letra C 6, , 29 = 22,57 milhões de habitantes. 22,57 P = = 0,241 93,66 39

40 39.(BESC 2004/FGV) Dois jogadores, X e Y, apostaram em um jogo de cara-e-coroa, combinando que o primeiro a conseguir 6 vitórias ganharia a aposta. X já obteve 5 vitórias e Y, apenas 3. Qual é a probabilidade de X ganhar o jogo? (A) 7/8 (B) 4/5 (C) 3/4 (D) 3/5 (E) 1/2 Para que X ganhe o jogo, há várias combinações possíveis. Dá um certo trabalho calcular a probabilidade para todas elas. Vamos então focar em Y, que é bem mais fácil. Para que Y ganhe o jogo, ele necessariamente deve ganhar as três próximas jogadas. A probabilidade de se ganhar uma jogada é de 1/2. Como os lançamentos da moeda são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades. Com isso, a probabilidade de Y ganhar a aposta é de: Sabemos que ou X ganha a aposta, ou Y ganha a aposta. Não tem outra opção. São dois eventos complementares. Se a probabilidade de Y ganhar é de 1/8, então a probabilidade de X ganhar a aposta é de 7/8. Letra A 1 2 =

41 11. Relação das questões comentadas 01. (INSS 2009/FUNRIO) João encontrou uma urna com bolas brancas, pretas e vermelhas. Ele verificou que a quantidade de bolas pretas é igual à metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. João, então, colocou outras bolas pretas na urna, e a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Diante disso, a quantidade de bolas colocadas por João na urna é igual a(o) A) quantidade de bolas brancas. B) dobro da quantidade de bolas brancas. C) quantidade de bolas vermelhas. D) triplo da quantidade de bolas brancas. E) dobro da quantidade de bolas vermelhas. (PRF 2003/CESPE-UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. 02. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0, A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%. 04. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0, Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja 41

42 do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0, A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. 07. (SEFAZ-SP 2009/ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não-fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56% (SEBRAE-BA 2008/CESPE-UnB) Na eleição para prefeito de uma cidade de eleitores legalmente aptos a votar, concorrem os candidatos A e B. Uma pesquisa de opinião revela que eleitores não votariam em nenhum desses candidatos. A pesquisa mostrou ainda que o número de eleitores indecisos isto é, que, apesar de não terem ainda decidido, votarão em algum dos dois candidatos, que votariam apenas no candidato A ou que votariam apenas no candidato B são números diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Nessa situação, com base nessa pesquisa, escolhendo-se ao acaso um desses eleitores, é correto afirmar que a probabilidade dele 08. votar em algum dos candidatos é superior a 80% 09. ser um eleitor indeciso é inferior a 15%. 10. já estar decidido em qual dos candidatos vai votar é superior a 65% e inferior a 70%. 11. (MPOG 2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendose que Denílson não pertence à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em termos percentuais, igual a: a) 30 % b) 80 % c) 62 % 42

43 d) 25 % e) 75 % 12. (IJSN 2010/CESPE-UNB) A probabilidade de se obter um número menor que 5 no lançamento de um dado, sabendo que o dado não é defeituoso e que o resultado é um número ímpar, é igual a 2/3. (Paraná Previdência 2002/CESPE/UnB) Texto IV Uma empresa adotou uma política de contratação de deficientes físicos. Para avaliar se as deficiências afetam o desempenho desses empregados no trabalho, foi gerado o seguinte quadro, a partir de uma avaliação dos 400 empregados dessa empresa. Desempenho Tipo de deficiência Total Surdez Cegueira Outras Sem deficiência Bom Regular Total Com relação aos dados do texto IV, julgue os seguintes itens. 13. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado como tendo bom desempenho será igual a 0, Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como tendo bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego será de 0, Considere A o evento o empregado é surdo e B o evento o empregado tem desempenho regular. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os 400 avaliados, a probabilidade de ele ser surdo e ter sido avaliado como tendo desempenho regular, P(A B), será igual a P(A) P(B) = 0, Considere C o evento o empregado é cego e B o evento o empregado tem desempenho regular. Se um empregado for escolhido ao acaso, a P( B C) probabilidade condicional será P ( B C) = = 0, 1. P( B) 17. Considere B o evento o empregado tem desempenho regular e D o evento o empregado tem desempenho bom. Os eventos B e D são independentes, pois P ( B D) = (CGU 2008/ESAF) A e B são eventos independentes se: a) P ( A B) = P( A) + P( B) b) P ( A B) = P( A) P( B) c) P( A B) = P( A) P( B) d) P ( A B) = P( A) + P( B A) 43