RESULTADOS DE UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE A APRENDIZAGEM DE ALGUNS CONCEITOS ALGÉBRICOS E GEOMÉTRICOS RESUMO

Transcrição

1 RESULTADOS DE UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE A APRENDIZAGEM DE ALGUNS CONCEITOS ALGÉBRICOS E GEOMÉTRICOS Ms. Cristiane Fernandes de Souza-UFRN cris.educ@pop.com.br Dr. Francisco Peregrino Rodrigues Neto-UFRN peregrin@ufrnet.br RESUMO O presente trabalho mostra os resultados de uma avaliação diagnóstica sobre a aprendizagem de alguns conceitos algébricos e geométricos. Tal estudo faz parte de uma pesquisa que está sendo desenvolvida a nível de Doutorado, e tem por objetivo geral a aplicação de um módulo de ensino para um estudo de manipulações algébricas nas fórmulas de área de polígonos e a obtenção da fórmula para a área do círculo. A avaliação diagnóstica foi aplicada em 51 alunos da 8ª série do Ensino Fundamental de uma escola particular de Natal/RN. A análise dos dados mostrou que, de modo geral, os alunos não apresentaram domínio no conhecimento sobre os conceitos algébricos e geométricos que são abordados na pesquisa. Palavras-chave: Álgebra; Geometria; Ensino/aprendizagem. 1. Apresentação A pesquisa de Doutorado que está sendo desenvolvida consiste numa intervenção metodológica para aplicação de um módulo de atividades de ensino, fundamentado em Dienes (1974), Dokweiller (1992, apud RODRIGUES NETO, 1998, p ) e Fossa (2001), com base em teoria construtivista (PIAGET 1995) do ensino de Matemática, que visa promover o ensino/aprendizagem de conceitos geométricos e algébricos para alunos das 8ª séries do Ensino Fundamental. A intervenção metodológica contempla também fases de avaliação (ver GIL, 1993; LAVILLE e DIONNE, 1999). Foi aplicada uma avaliação diagnóstica inicial, com 8 questões subjetivas ilustradas (ver

2 2 anexo), com o objetivo de investigar os conhecimentos dos alunos sobre os conceitos geométricos e algébricos, referentes ao objeto de estudo de nossa pesquisa, a serem abordados no módulo de atividades de ensino (cf MIRAS e SOLÉ, 1996). O presente trabalho apresenta uma síntese de resultados dos dados coletados na avaliação diagnóstica de uma turma 51 alunos de uma 8ª série de uma escola tradicional de grande porte da rede particular de ensino de Natal/RN, aplicada em Novembro/2005. Os conceitos geométricos investigados foram: medida de segmentos, perímetro e área de polígonos obtidos com suas fórmulas, além de comprimento da circunferência e área do círculo. Nos conceitos algébricos, as questões tratam da escrita simbólica de expressões matemáticas para perímetro e área de figuras planas, resolução de equações do 1 grau e propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. As questões tratam da determinação de valores numéricos e da obtenção de expressões simbólicas para perímetro e área de polígonos. Em algumas o aluno deve expressar sua opinião baseado em observação como, por exemplo, a comparação entre o comprimento da circunferência (e a área do círculo), e o perímetro (e área) do hexágono regular inscrito e circunscrito ao mesmo círculo (circunferência), com base nos cálculos realizados. 2. Sobre a análise das respostas dos alunos A análise e interpretação das respostas dessa avaliação se baseiam na teoria de Skemp (1980) sobre a compreensão de conceitos matemáticos, que o autor categoriza em Compreensão Instrumental e Compreensão Relacional. Dito de modo resumido, na Compreensão Instrumental o aluno se limita a realizar cálculos matemáticos que utilizem a aplicação direta de fórmulas ou conceitos, sem uma maior reflexão sobre os mesmos. Já na Compreensão Relacional, o aluno ao responder uma questão estabelece relações entre seus esquemas mentais, buscando associar conceitos e obter conclusões através da reflexão sobre os conhecimentos adquiridos. O objetivo é categorizar o nível de compreensão dos alunos quanto aos conteúdos da avaliação. Para proceder a análise segundo essa teoria, estabelecemos critérios de julgamento das respostas dos alunos de acordo com os objetivos determinados para cada

3 3 questão da avaliação diagnóstica. Além disso, para subsidiar esse julgamento, entrevistamos 13 alunos, para melhor compreender seu pensamento sobre os procedimentos e respostas encontradas nas avaliações. 3. Resultados Os resultados a seguir são apresentados de uma forma bastante sucinta, mas sem discutir objetivo e critérios de julgamento das questões devido a limitação do número de páginas estabelecida para esse trabalho. De acordo com os objetivos e os critérios estabelecidos para análise das respostas da 1ª questão, concluímos que nenhum aluno se encontra em nível de compreensão relacional sobre a aplicação da propriedade distributiva no cálculo da área do retângulo. Alguns se encontrariam entre o nível de compreensão instrumental e o relacional, pois mesmo tendo escrito corretamente duas formas diferentes de calcular a área do retângulo, não demonstraram segurança sobre a propriedade distributiva. Notamos ainda que muitos alunos não explicitaram o símbolo de igualdade (=) nos seus cálculos, o que não os classifica sequer no nível instrumental e indica a necessidade de trabalhar as propriedades da igualdade. Cerca de 10% deixou em branco. Para a 2ª questão julgamos que os alunos que encontraram o valor aproximado de 28 quadradinhos, sem os questionamentos da entrevista (aprox. 8%), se encontram no nível de compreensão relacional quanto a obtenção de uma medida aproximada da área do círculo. Já os que também chegaram a essa resposta, mas com mediação, demonstraram que o uso de uma fórmula faz mais sentido para eles do que uma contagem de quadradinhos; consideramos que estão no nível de compreensão instrumental. O número de respostas em branco nessa questão alcançou 25% dos alunos. Na 3ª questão 32% dos alunos conseguiram encontrar o valor da incógnita apenas no primeiro caso, enquanto 24% determinaram o valor da incógnita nos dois casos. Entretanto, dessa porcentagem, não foram todos os alunos que conseguiram escrever uma equação do 1 grau. Alguns escreveram mas não resolveram a equação. Cerca 24% dos alunos realizaram cálculos incorretos. Entre esses cálculos incorretos realizados, notamos que alguns alunos estabeleceram uma proporção entre os segmentos em cada caso. Vinte

4 4 por cento dos alunos deixaram essa questão sem resposta. Nesse caso em compreensão relacional podem ser categorizados 17% dos alunos. O restante que conseguiu encontrar o valor da incógnita nos dois casos ou apenas no primeiro, estaria em compreensão instrumental, pois não conseguiram transferir a relação observada entre as medidas dos segmentos no 1 caso e no 2 caso para expressar uma relação simbólica entre os segmentos. Na 4ª questão 37% dos alunos encontraram o valor correto para o comprimento do retângulo e seu perímetro. Os procedimentos mais comuns foram: (i) usar uma letra para representar a medida do comprimento do retângulo, encontrando seu valor e calculando o valor do perímetro; (ii) dividir a medida da área pela da altura, obter o comprimento e calcular o perímetro. Também nessa questão nem todos esses alunos explicitaram em linguagem simbólica a relação entre a área do retângulo, a medida da altura e a medida do comprimento, bem como para o cálculo do perímetro. Mais uma vez, o símbolo de igualdade (=) não foi explicitado para estabelecer as relações. Nessa 4ª questão apenas cerca de 6% do total de alunos fizeram os procedimentos esperados. Como demonstraram compreensão do problema e habilidade para resolvê-lo, julgamos que estão no nível de compreensão relacional. Quanto aos outros que também encontraram os valores corretos e demonstraram compreensão do problema proposto, mas sem no entanto expressar seus procedimentos matemáticos simbolicamente, classificamos o conhecimento no nível de transição entre o instrumental e o relacional, Na 5ª questão cerca de 10% dos alunos conseguiram escrever a fórmula para área do trapézio corretamente, substituir os valores e calcular a medida da base maior corretamente. Outros 16% substituíram os valores certos, mas erraram na equação. Erros comuns: distributividade, simplificações, e igualdade. Noutras expressões o valor da área não foi substituído. Outros 43% não conseguiram resolver essa questão por erros desse e outros tipos. Dos cinco alunos (10%) que realizaram os procedimentos corretos, 3 explicitaram a unidade de medida cm na base maior. Classificamos apenas esses alunos no nível de compreensão relacional. Os outros dois se encontrariam num nível de transição entre o instrumental e o relacional. Em compreensão instrumental classificamos 16%. Respostas em branco: 31%.

5 5 Na 6ª questão, 16% dos alunos escreveram corretamente a sentença matemática para área do paralelogramo, 6% para o triângulo e 2% para a área do círculo. Eles explicitaram o símbolo de igualdade e escreveram cada sentença na forma mais simples. A porcentagem de erros de escrita incorreta foi: paralelogramo (29%); triângulo (29%); e círculo (47%). Os erros mais comuns para essas sentenças escritas incorretamente foram: usar a fórmula do paralelogramo no triângulo e vice-versa; fórmula do círculo sem π. Alguns tentaram usar a fórmula do trapézio no paralelogramo, o que é possível porque o paralelogramo é um trapézio de bases iguais, porém sem sucesso. Uma outra observação é que houve respostas em que os valores foram substituídos na fórmula, mas sem expressar a igualdade: paralelogramo (4%) e triângulo (12%). Notamos que alguns alunos desconsideraram que havia uma incógnita em uma das dimensões de cada figura e encontrou um valor para a área, ou desconsiderou que a área é um valor desconhecido e encontrou um valor para a incógnita. Respostas em branco: paralelogramo (24%); triângulo (14%) e círculo (47%). Categorizamos no nível de compreensão relacional os alunos que escreveram as sentenças matemáticas corretamente. Os que não escreveram as sentenças na forma mais simples se encontrariam no nível de transição, pois realizaram as substituições corretamente e expressaram a igualdade. Já os alunos que não expressaram o sinal de igualdade, mesmo que tenham escrito na forma mais simples, estariam no nível de compreensão instrumental, pois não compreendem a relação de dependência entre as variáveis, confundindo a fórmula com uma expressão algébrica (sem a igualdade). Na 7ª questão o índice de respostas corretas foi encontrado apenas no cálculo do perímetro do hexágono regular (22%). Nenhum aluno conseguiu determinar a área do hexágono. Na entrevista eles não souberam como calcular essa área sem a fórmula da área do hexágono regular inscrito. Cerca de35% dos alunos realizaram procedimentos incorretos no cálculo do perímetro e 45% no cálculo da área do hexágono. Apenas dois alunos apresentaram um entendimento sobre o cálculo da área do hexágono, mas ambos ao substituir o valor da altura do triângulo, escreveram o valor 3, e não o valor do apótema.

6 6 As respostas em branco foram: 43% para o cálculo do perímetro do hexágono e 55% para o cálculo da área. Dos alunos entrevistados, observamos que no cálculo do perímetro do hexágono apenas um deles justificou a medida do lado do hexágono ser igual ao raio da circunferência. Os outros usaram essa propriedade sem segurança. Concluímos que apenas um aluno estaria no nível de compreensão relacional, enquanto os outros que fazem parte de 22% estariam entre os dois níveis de compreensão. Sobre o cálculo da área do hexágono, dois alunos estariam no nível de transição, pois compreenderam a relação entre a área do triângulo eqüilátero e a área do hexágono. No entanto, os outros alunos não apresentaram sequer o nível de compreensão instrumental para esse cálculo. Mesmo na entrevista, poucos alunos perceberam que a área do hexágono poderia ser calculada a partir da área de um dos triângulos eqüiláteros e ainda assim não conseguiram calcular tal área. Para a 8ª questão, cerca de 27% dos alunos encontraram a medida do lado do hexágono e 24% calcularam o perímetro corretamente. Quanto à área do hexágono, dois alunos calcularam corretamente esse valor, aliás os mesmos que apresentaram uma compreensão sobre o cálculo da área do hexágono inscrito (7ª questão), mas erraram na altura do triângulo. Os índices de respostas incorretas e em branco para o cálculo do perímetro e da área foram bastante expressivos: perímetro (40%); área (45%). Quanto aos itens (c) e (d), as respostas em branco foram 69% para o item (c) e 78% para o item (d); mesmo os dois alunos que conseguiram responder aos itens de cálculo do perímetro e da área dos hexágonos inscrito e circunscrito, não conseguiram compreender o que os dois itens (c) e (d) estavam querendo expressar. As entrevistas mostraram falta de entendimento do enunciado dessas questões. 4. Algumas considerações O resultado dessa avaliação, não obstante a análise subjetiva em face da teoria de Skemp, indica que a maioria dos alunos testados apresentou conhecimentos insuficientes sobre álgebra e geometria para o nível em questão. Mesmo os alunos que tiveram contato com conteúdos geométricos, não souberam aplicá-los ou se limitaram ao uso de fórmulas memorizadas.

7 7 Observamos que os alunos tiveram algumas dificuldades na manipulação das fórmulas, e estas estão ligadas à sintaxe da álgebra, com problemas de semântica. Noutros casos os alunos não alcançaram a solução geral do problema, começando pela falta de compreensão do enunciado, como observado na última questão da avaliação. O resultado desse diagnóstico, mesmo sendo uma pequena amostra do ponto de vista estatístico, confirma o de outras pesquisas que apontam sérios problemas no ensino de matemática. 5. Referências DIENES, Z. P. Aprendizado moderno da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar, FOSSA, J. A. Ensaios sobre Educação Matemática. Belém: EDUEPA, (Série Educação - n. 2). GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesquisa. 3. ed. São Paulo: Atlas, LAVILLE, C.; DIONNE, J. A construção do saber: manual de metodologia da pesquisa em ciências humanas. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, MIRAS, M. SOLÉ, I. A evolução da aprendizagem e a evolução do processo de ensino-aprendizagem. In: COOL, C.; PALACIOS, J.; MARCHESI, A. Desenvolvimento psicológico e educação: psicologia da educação. Tradução: Angélica Mello Alves. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, v. 2. PIAGET, J. et al. Abstração reflexionante: relações lógico-aritméticas e ordem das relações espaciais. Porto Alegre: Artes Médicas, RODRIGUES NETO, F. P. Um estudo sobre aprendizagem de conceitos algébricos fundamentais Tese (Doutorado em Educação) Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, SKEMP, R. R. Psicologia del Aprendizaje de las Matemáticas. Madri: Ediciones Moratas, ANEXO 1 Escreva duas formas diferentes de calcular a área do retângulo ao lado, utilizando a distributividade. figura 1 32 Estabeleça Com base na uma malha relação quadriculada, algébrica entre determine os comprimentos um valor dos seguimentos abaixo, encontre aproximado o valor para a de área M do em círculo cada ao caso: lado: (as medidas estão expressas numa mesma unidade de medida de comprimento) 1 ) 10 2 ) 2 M figura 2 M 3,2 M 2 6

8 8 4 A figura 5 representa um retângulo do qual foram apagados alguns quadradinhos unitários. Sabendo que a área desse retângulo mede 77 u 2, calcule o seu perímetro, mas você não pode completar os quadradinhos que estão faltando. 5 A área do trapézio da figura 6 mede 66 cm 2. De acordo com essa informação e as da figura 6, determine quanto mede a base maior desse trapézio. figura 5 5,5 cm 6 Para cada uma das figuras abaixo (7, 8 e 9) escreva uma sentença matemática que expresse a área A da figura. 4cm figura 6 4 h r 3x 5,6 figura 7 figura 8 figura 9 7 A figura 10 mostra um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio r = 6 cm, sendo λ 6 o lado do hexágono e a 6 = 3 3 cm seu apótema ( 3 1,73): a) Determine o perímetro P desse hexágono. b) Determine a área A desse hexágono. λ 6 λ 6 r a 6 figura 10 λ 6 8 A figura 11 mostra um hexágono regular circunscrito a uma circunferência de raio r = 6 2 cm. Sendo L 6 a medida o lado desse hexágono, expressa pela fórmula L 6 = r 3 : 3 a) Determine o perímetro desse hexágono. A L6 P L6 b) Determine a área desse hexágono. r L 6 figura 11 c) Estabeleça uma relação, utilizando a linguagem matemática, entre o valor do perímetro do hexágono regular inscrito na circunferência (questão 7) e o perímetro do hexágono regular circunscrito (questão 8), com o comprimento C da circunferência. Apresente uma conclusão. d) Agora estabeleça uma relação, utilizando a linguagem matemática, entre o valor da área do hexágono regular inscrito na circunferência (questão 7) e a área do hexágono regular circunscrito (questão 8), com a área A c do círculo. Apresente uma conclusão.