ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS POR PLACAS DE MATERIAL COMPÓSITO VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS POR PLACAS DE MATERIAL COMPÓSITO VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Roberto C. Pavan Branca F. Olvera Gullermo J. Creus Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl, Unversdade Federal do Ro Grande do Sul PPGEC-UFRGS Av. Osvaldo Aranha, 99, 3 andar, 935-9, Porto Alegre RS - Brasl Resumo. Neste trabalho aresenta-se um modelo comutaconal ara smulação do comortamento de estruturas de concreto armado reforçadas or comósto. A formulação roosta nclu relações consttutvas elástcas ansotrócas com consderação de falhas, relações consttutvas vscoelástcas com envelhecmento em termos de varáves de estado, análse de falhas e análse de lastcdade, tudo no contexto de grandes deslocamentos e equenas deformações. As equações são colocadas na forma adequada ara análse numérca elo método dos elementos fntos (elementos trdmensonas degenerados ara casca) utlzando uma solução ncremental-teratva com consderação de efetos ós-crítcos. O modelo roosto é alcado a alguns exemlos. No exemlo fnal, modela-se uma vga de concreto armado reforçada com lacas de materal comósto, comarando os resultados obtdos com dados exermentas. Palavras Chave: Materas Comóstos, Elementos Fntos, Vscoelastcdade, Plastcdade, Falhas Progressvas.

2 . INTRODUÇÃO Atualmente exste um grande nteresse no reforço e recueração de estruturas através do uso de materas comóstos. O reforço, em geral, é necessáro quando a estrutura será submetda à condções de uso dferentes daquelas ara as quas fo rojetada. A recueração está relaconada a stuações onde, devdo a deteroração da estrutura, deve-se resttur sua caacdade de carga orgnal ara que a mesma contnue atendendo as exgênca de rojeto (ver or exemlo Karbhar & Zhao,, Emmons et al., 998 e Norrs et al., 997). O uso de comósto nas stuações de reforço e recueração deve-se às suas altas razões rgdez/eso e resstênca/eso (comóstos reforçados or fbras de carbono, or exemlo, ossuem razões a 5 vezes maores que o aço), excelente resstênca à corrosão, baxa exansão térmca, boa erformance em fatga e tolerânca a dano, facldade de transorte e manuseo, ossbldade de nclusão de "stran gages" dentro da estrutura ara um montoramento contínuo, baxo consumo de energa na fabrcação do materal e da estrutura em s (Barbero, 998). Desta forma, com o uso do comósto obtém-se ganho de resstênca e rgdez sem que ocorra aumento exressvo do eso róro da estrutura, o que é muto mortante ara alcações de reforço e recueração. Além dsto, ode-se rojetar o materal ara a stuação desejada, escolhendo-se o to e orentação das fbras e o materal emregado como matrz e, assm sendo, a estrutura ode ser otmzada ara erformance. Neste trabalho aresenta-se um modelo comutaconal caaz de smular o comortamento de vgas de concreto armado reforçadas or lacas de fbra de carbono e materal olmérco (CFRP - Fyfe Co., 998). Na seção aresenta-se o modelo de elementos fntos. Na seção 3 o modelo de vscoelastcdade do materal é descrto. Na seção 4 aresentam-se os rocedmentos ara solução numérca da equação ncremental dada na seção. Na seção 5 aresenta-se a formulação de falhas rogressvas utlzada no resente modelo e na seção 6 o modelo de lastcdade é descrto. Na seção 7 são mostrados alguns exemlos que são comarados aos resultados exermentas obtdos or Wang & Chen (3) e na seção 8 aresentam-se as consderações fnas.. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS O modelo de elementos fntos utlzado no resente trabalho segue o rocedmento geral descrto or Bathe (996), nclundo, anda, efetos de deformações vscoelástcas e hgrotérmcas (Marques e Creus, 994). Desta manera, tem-se uma relação ncremental da segunte forma k k k+ k v T H ([ K ] + [ K ]){ U} { P} { F} + { F } + { F } + { } L NL F k onde [ K L ] e [ ] k NL ao asso k, { P} k+ é o vetor de cargas nodas externas na confguração k+, { k F} cargas nodas equvalentes às tensões no elemento no asso k e, fnalmente, { F v }, { T } H { F } são os vetores das cargas vscoelástcas, térmcas e hgroscócas, resectvamente. K são as matrzes de rgdez tangentes lnear e não-lnear, corresondentes () é o vetor de F e

3 3. MODELO DE VISCOELASTICIDADE DO MATERIAL A relação consttutva ara uma lâmna de materal comosto, referda às dreções rncas do materal, consderando cargas mecâncas e hgrotérmcas, ode ser escrta como t σ j ( τ ) T H ε ( t ) Dj(T,H,t τ) dτ + α (T, H ) dt + * β * (T,H ) dh τ T H ara, j,,...5 onde ε (t) são as comonentes do vetor de deformações { } { ε, ε, ε, ε3, ε3} são as comonentes do vetor de tensões { } { σ, σ, σ, σ σ } () ε e σ j (t) σ, ara o temo t, 3, consderadas em um esaço reduzdo de deformações e tensões onde as comonentes ε 33 e σ 33 são desconsderadas. T e H ndcam os camos de temeratura e umdade, resectvamente. Na Equação (), D j (T, H,T τ ) são as funções de fluênca do materal corresondentes às comonentes ε e σ j, α (T, H ) são os coefcentes de dlatação térmca e β (T, H ) são os coefcentes de exansão or umdade que, em geral, deendem das condções de temeratura * * e umdade. T e H são os valores de temeratura e concentração de umdade ara os quas o materal não aresenta deformação. Cabe ressaltar que ε, σ j, T e H são camos varáves e, desta forma, mudam, em geral, de onto a onto no materal anda que esta deendênca não aareça de forma exlícta. A deformação vscoelástca nstantânea e ε e a deformação dferda ε é formada or duas comonentes, a deformação v ε, dadas, resectvamente, or 3 e ε D ε j (T, H M 5 v qs(t ) s, ) σ j ( t ) (3) onde q s são as varáves de estado, T e H são os valores de referênca ara temeratura e concentração de umdade e M é o número de termos usados na exansão da sére acma e deende da recsão almejada na análse. As varáves de estado são dadas or q s t + qs D θ θ s s s σ (t ) (4) que é um sstema de equações dferencas desacoladas lneares de rmera ordem que, juntamente com a condção ncal q ara t, ermte à determnação das varáves de s estado conhecendo-se a hstóra de deformações. A extensão da formulação vscoelástca ara casos com envelhecmento é aresentada em (Olvera e Creus, 4) e (Olvera, 4). 4. SOLUÇÃO NUMÉRICA A solução numérca do roblema formulado na Seção ode ser obtda através de um rocedmento ncremental-teratvo usando a Eq. (). Para a solução das equações de equlíbro não-lneares, no resente trabalho, foram mlementados dos métodos, o Método

4 de Newton-Rahson e o Método de Controle or Deslocamentos Generalzados roosto or Yang e Sheh (99). Ao emregar-se o Método de Newton-Rahson o valor do fator de carga ode ser fxado elo usuáro. A desvantagem aresentada or este método é a mossbldade de conduzr a análse em stuações em que o determnante da matrz de rgdez tangente da estrutura aroxma-se de zero. Nestes casos, o rocesso numérco torna-se, em geral, dvergente. No Método de Controle or Deslocamentos Generalzados, o ncremento é determnado elo algortmo. As exressões roostas elo método em questão, ara a determnação dos fatores de carga, nas terações corresondentes ao asso genérco k são e k { U} { U } k U λk ± λ ara (5) U k { U} k { U } k U k λk ara (6) U onde λ é o fator de carga ncal revamente estulado e ndca vetor lnha. O Método de Controle or Deslocamentos Generalzados é artcularmente arorado ara análse de estruturas em estágo ós-crítco. Para a determnação das cargas vscoelástcas na Eq. () deve-se ntegrar as varáves de estado no temo. Este rocedmento ode ser vsto em trabalhos como (Creus, 986), (Masuero e Creus, 993) e (Marques e Creus, 994). 5. FORMULAÇÃO PARA FALHAS PROGRESSIVAS 5. Modelos de degradação O modelo de degradação utlzado ntroduz reduções na rgdez do materal aós a detecção de cada falha. A análse termna com a ocorrênca da falha global da estrutura ou da últma camada do lamnado. Um modelo de degradação smlfcado que reduz os termos da matrz consttutva do materal de acordo com o modo de falha ocorrdo é emregado (Olvera, 999) e (Olvera e Creus, ). 5. Crtéro da máxma deformação Segundo o Crtéro da Máxma Deformação a falha ocorre quando uma das condções abaxo for satsfeta. Alongamento ε X εt Encurtamento ε X εc ε Y εt ε Y εc (7) (8)

5 Dstorção ε S εa ε S εa 3 ε S εt 3 (9) onde X εt lmte de deformação de alongamento na dreção X εc lmte de deformação de encurtamento na dreção Y εt lmte de deformação de alongamento na dreção Y εc lmte de deformação de encurtamento na dreção S εa lmte de deformação de csalhamento nos lanos - e -3 S εt lmte de deformação de csalhamento no lano -3 Estes lmtes devem ser obtdos exermentalmente. O crtéro da Máxma Deformação embora seja smles, fornece bons resultados (Hart- Smth, 993). A extensão da análse de falhas rogressvas ara casos com envelhecmento é aresentada em (Olvera e Creus, 4) e (Olvera, 4). 6. MODELO DE PLASTICIDADE PARA O AÇO Para a análse de lastcdade utlzou-se o crtéro de von Mses (Smo e Hugues, 998) e a reresentação do comortamento do materal aós a lastfcação é feta or meo da ntrodução de danos na matrz consttutva do mesmo. Utlza-se a formulação lástca descrta or (Smo e Hugues, 998). O crtéro de lastfcação é o crtéro de von Mses, que ara estado lano de tensões fca Y e σ + σ σσ + 3σ σ () onde A matrz consttutva elastolástca é dada or, T Y Y E E σ σ E e E () T Y Y H + E σ σ E - é a matrz consttutva elástca s - é o tensor de tensões H - é o encruamento (neste trabalho é assumdo como sendo zero) Exressando () matrcalmente, ara o caso de estado lano de tensões, tem-se

6 E e E S ν S5 E S S ν ν S5 S S3 S 5 E S S ν ν S5 E S ν S5 S S3 S 5 S S3 S5 S S3 S5 E S 3 ( ) + ν S 5 () sendo S E ν ( s + ν ) s E S + ν ( s ) ν s (3) (4) S E +ν 3 s (5) S + 4 S s + S s S3 s (6) onde 4 S H + 9 s 5 S 4 j σ j 3 ( trσ j ) δ j (7) (8) 7. EXEMPLOS 7. Análse lástca de uma laca de materal lamnado - tração No resente exemlo é feta a análse lástca da laca mostrada na Fg.. A laca é consttuída de um materal lamnado como lustrado na Fg.. As camadas e 4 são consttuídas or um materal com tensão de escoamento σ e 6MPa e as camadas e 3 or um materal com σ e 3 MPa. Ambos os materas ossuem E GPa e ν,3. O resultado obtdo na análse é mostrado na Fg. 3. y cm σ cm Fgura Geometra e carregamento da estrutura x

7 ,5 cm 4 3 Fgura Dsosção do lamnado 7 Tensão (MPa) Plastfcação das camadas e 3 Plastfcação das camadas e 4 Rutura Fnal da laca.e+.e-3 4.E-3 6.E-3 8.E-3.E-.E- Deformação Fgura 3 Curva tensão x deformação consderando a formulação lástca aresentada or (Smo e Hugues, 998) aós a lastfcação de cada ar de camadas Como eserado, a lastfcação das camadas (,3) e (,4) ocorreu ao atngr sua tensão de escoamento. 7. Análse lástca com falhas rogressvas - flexão Este exemlo trata da análse de um laca engastada-lvre submetda à flexão como mostra a Fg. 4. A laca é quadrada com cm de lado e é consttuída conforme mostrado na Fg. 5. O materal da arte sueror (concreto) ossu E GPa e o materal da camada fna nferor (aço) ossu EGPa. Fo consderado ν. Fgura 4 - Placa engastada-lvre submetda à flexão

8 , cm, cm Fgura 5 Placa de concreto com a camada nferor em aço O concreto está sujeto a falhas e adotou-se uma resstênca à tração de 3 MPa e resstênca à comressão de 3 MPa. O aço ossu uma tensão de escoamento de 3 MPa. Para a análse de falhas rogressvas fo emregado o Crtéro de Hashn (Hashn, 98). A arte de concreto fo dscretzada em dez camadas enquanto que o aço corresonde a uma únca camada. Os resultados obtdos são aresentados na Fg. 6. No gráfco ode-se observar a erda de rgdez devdo à falha das camadas traconadas do concreto e, com a lastfcação da camada de aço, tem-se o colaso da estrutura..45 Momento Dstrbuído (kn cm/cm) Rutura fnal da laca Rutura das camadas traconadas de concreto Rutura das camadas traconadas de concreto Deslocamento (cm) Fgura 6 - Curva carga x deslocamento no extremo lvre da laca

9 7.3 Análse de vga de concreto armado reforçada or lacas de materal comósto Neste exemlo é feta a análse de uma vga de seção T feta em concreto armado e reforçada or lacas de CFRP. Para a análse de falhas rogressvas fo emregado o Crtéro da Máxma Deformação e os resultados foram comarados aos obtdos or Wang & Chen (3). A Fg. 7 mostra a geometra e a seção transversal da vga. A Fg. 8 mostra a forma de alcação do carregamento. As barras de aço foram reresentadas or meo de lacas com gual área de seção transversal. As roredades dos materas são as seguntes: Concreto: E GPa, Deformação últma de falha.3% Aço (armadura sueror): E 97 GPa, Tensão de escoamento de 36 MPa Aço (armadura nferor): E 9 GPa, Tensão de escoamento de 35 MPa Aço (armadura da mesa): E 3 GPa, Tensão de escoamento de 365 MPa Placas de fbra de carbono e materal olmérco - CFRP (Fyfe Co.,998): E 65 GPa, Deformação últma de falha % 53 mm a) z 7 mm 5 mm 5 mm aço x y 6 8 b) aço 5 mm comósto Fgura 7 - Vga T a) Geometra b) Seção transversal

10 Carga ga 5 mm mm mm 5 mm 5 mm Fgura 8 Forma de alcação do carregamento A curva carga total x deflexão, no meo do vão, é aresentada na Fg. 9. Verfca-se que a degradação ocorreu de forma smlar a exermental e ocorreu boa estmatva da carga de rutura fnal. Carga total (kn) Analítco Wang & Chen, 3 Formulação Presente Exermental Wang & Chen, Deslocamento no meo do vão (mm) Fgura 9 - Vga T - Carga total x deflexão. A Fg. mostra as deformações longtudnas de tração meddas na laca de CFRP e na camada, adjacente, de concreto ara a carga de kn. A Fg. mostra as tensões longtudnas de tração meddas na laca de CFRP ara a carga de kn. Devdo ao fato da carga de rutura fnal obtda (37 kn) ser maor que a verfcada nos ensaos exermentas ( kn), as deformações e tensões calculadas ela resente formulação foram menores que as exermentas. Cabe ressaltar que a rutura fnal da vga ensaada or Wang & Chen (3) fo or delamnação da camada de CFRP, o que justfca a obtenção de uma carga de rutura maor elo resente modelo os, o mesmo, não consegue rever este to de falha.

11 Deformação de Tração(%) Carga de kn WANG & CHEN, 3 Camada de Concreto Placa de CFRP FORMULAÇÃO PRESENTE Placa de CFRP Camada de Concreto Formulação Presente: Dstânca do Aoo(mm) Fgura - Vga T - Deformação longtudnal (CFRP x concreto) Carga kn Tensão de Tração na Placa de CFRP (MPa) Formulação Wang & Presente Chen, Dstânca do Aoo (mm) Formulação Presente Fgura - Vga T - Tensão σ xx na laca de CFRP

12 8. CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS Através dos dos rmeros exemlos rodados ode-se verfcar a recsão e robustez do modelo de lastfcação. No rmero exemlo, a curva tensão x deformação demonstra a formulação lástca mlementada no rograma e, no exemlo segunte, verfca-se o comortamento de uma laca engastada-lvre sob lastfcação, consderando falhas rogressvas. Da comaração entre os resultados analítcos e exermentas de Wang & Chen (3) ara uma vga T, b-aoada, reforçada or lacas de materal comósto, e os resultados fornecdos elo rograma, conclu-se que:. Há uma boa concordânca ara deslocamentos e carga de rutura demonstrando que o crtéro de rutura adotado (Máxma Deformação) é caaz de rever de forma adequada a rutura ncal e fnal dos consttuntes da estrutura.. A concordânca entre as deformações e tensões exermentas e as calculadas não fo tão satsfatóra, no entanto, as deformações longtudnas no comósto e na camada de concreto adjacente, meddas no ensao, são muto smlares entre s, confrmando a exectatva de que não há deslzamento de uma camada em relação a outra. 3. Embora o crtéro adotado ara degradação das roredades do materal seja smles frente à comlexdade dos fenômenos reas, a curva carga x deslocamento demonstra que esta degradação ocorreu de modo smlar ao exermental. Convém salentar que estamos trabalhando no sentdo de modfcar este crtéro de degradação ara um crtéro baseado na Teora do Dano Contínuo. Embora o exemlo analsado seja uma vga, o rograma de elementos fntos é bastante geral ermtndo a análse de tos estruturas comlexos, assm como, o cálculo de deformações dferdas. Na análse de falhas rogressvas város crtéros foram mlementados (Crtéro de Hashn (Hashn, 98), Crtéro de Lee (Lee, 98 e Lee, 98), Crtéro da Máxma Deformação). A oção ela utlzação do crtéro da Máxma Deformação deve-se ao to de dados exermentas fornecdos or Wang & Chen (3). Agradecmentos Os autores agradecem o suorte fnancero da CAPES, PROPESQ, CNPq e UNOCHAPECÓ. REFERÊNCIAS Barbero, E. J.,998. Introducton to Comoste Materals Desgn. Taylor and Francs, Phladelha, PA.. Bathe, K. J., 996. Fnte Element Procedures. Englewood Clffs N.J.: Prentce-Hall. Caroln, A.,. Strengthenng of concrete strucutres wth CFRP: shear strengthenng and full-scale alcatons. Deartment of Cvl and Mnng Engneerng Dvson of Structural Engneerng. Lulea Unversty of Technology. Lcentate thess. Creus, G. J., 986. Vscoelastcty - Basc Theory and Alcatons to Concrete Structures. Srnger-Verlag. Emmons, P. H.; Vaysburd, A. M.& Thomas, J., Mar. 998a. Strengthenng concrete structures, art I. Concrete Internatonal, Detrot, ACI, v., n.3,

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