6. Capitalização. Vamos supor que vou receber daqui a dez anos Quanto é que esse dinheiro vale agora?

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Margarida Taveira Caetano
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1 1 2 Sumário (17ª aula) 6. Capitalização s 7.1. Variáveis stock e fluxo Vamos supor que vou receber daqui a dez anos Quanto é que esse dinheiro vale agora? Posso pedir um empréstimo e paga-lo com esse dinheiro Quanto posso pedir emprestado hoje? 25 Nov Vamos supor que vou receber daqui a dez anos Preciso de saber a taxa de juro. E.g. 3,5% ao ano X.(1+3,5%)^10 = X = (1+3,5%)^ -10 = ,88 X é o valor descapitalizado dos X é o valor descontado dos juros Em termos práticos serve para trazer valores de um período no futuro para valor num período mais passado. Desta forma podemos somar dinheiro e valores que estão disponíveis em instantes diferentes, Descontando-os todos ao mesmo instante 5 6 Por exemplo. Um indivíduo recebe de herança daqui a 5 anos e mais daqui a 10 anos. Ele decide ir a BSD e trocar isso por dinheiro já. Se a taxa de juro for de 2,5%, quanto recebe? X = x1,025^(-5) x1,025^(-10) X = = A soma dos valores descontados ao presente denominam-se de VALOR ACTUAL A soma dos valores capitalizados ao futuro denominam-se de VALOR FUTURO Podemos também descontar e capitalizar os valores a um outro período que não o presente

2 7 8 Exemplo, Comprei um pinhal em 1950 por Em 1970 cortei a madeira do pinhal que rendeu e em 1990 anos vendi-o por Quanto ganhei a dinheiro de 1970 se a taxa de juro foi de 3,5% ao ano? X = x1,035^ x1,035^(-20) X = , , ,32 X = 153,43 Apesar de ter pago apenas e recebido o triplo, só ganhei 150!!!, a valores de 1970 A valores de 2004, ganhei cerca de 500 (494,17 ) 9 10 Ao somar valores em instantes diferentes, considero aplicações financeiras a uma determinada taxa. Mas posso pretender saber o poder aquisitivo dos valores considerados. E.g., O João ganhava por mês 500 em 1989 e agora ganha Será que ganha mais? O que ganha agora terá mais poder aquisitivo? Está subjacente no conceito de poder aquisitivo que o preço médio varia ao longo do tempo: que existe inflação. Quando comparamos valores não pode ser em termos nominais ou correntes quanto de facto eram em Euros Temos que compara-los em termos reais- referidos a um mesmo instante de tempo E.g., O João ganhava por mês 500 em 1989 e agora ganha Será que ganha mais? O que ganha agora terá mais poder aquisitivo? = IPC com base 100 em 1995 é em ,321 e em 2004 é 129,760. Então, a preços de hoje, Bens que comprava com 500 = 500/62,321 =7,896 Quanto custariam hoje esses bens X = (500/62,321).129,760 = 1024,6 (ganhava mais) Vejamos a evolução do salário mínimo ao longo do tempo (em escudos). Como variou o seu poder aquisitivo? ,300 10,700 35,000 58, ,300 13,000 40,100 61, ,000 15,600 44,500 63, ,500 19,200 47,400 67, ,700 22,500 49,300 69, ,500 25,200 52,000 71, ,000 27,200 54,600 73, ,700 30,000 56,700

3 13 14 A B C D E F G H I Ano B.Mund E.Stat IPC Preço C Preço Const. Contos Euros ,54 4,54 3,3 3,3 470, ,466 5,466 3,3 2, , ,464 6, , , ,217 8,217 4,5 2, , ,082 10,082 5,7 2, , ,464 12,464 7,5 2, , ,536 14, , , ,449 17,449 10,7 2, , ,416 21,416 10,7 2, , ,792 26, , , ,642 34,642 15,6 2, , ,34 41,34 19,2 2, , ,163 46,163 22,5 2, , ,503 50,503 25,2 2, , ,342 55,342 27,2 2, , ,321 62, , ,57 A B C D E F G H I Ano B.Mund E.Stat IPC Preço C Preço Const. Contos Euros ,653 70, , , ,673 78,673 40,1 2, , ,708 85,708 44,5 2, , ,536 91,536 47,4 2, , ,04 96,04 49,3 2, , , , , ,22 54,6 2, , ,35 101,9 105,47 56,7 2, , ,27 104,2 108,23 58,9 2, , ,8 106,4 110,6 61,3 2, , ,98 109,4 113,69 63,8 2, , ,94 114,2 118, , , ,4 122,92 69, , , ,3 126,96 71, ,6 2, , ,7 130,49 73, ,6 2, , Fiz a mudança de base com um salto relativo Em 1974 o poder aquisitivo do SMN em 1974 era equivalente a 470,46 aos preços de 2004 Em 2004 o SMN é de 365,6 Em contos de 1974, era 3.300$ e é 2.550$ Em termos reais, em 30 anos houve uma perda de 22,2%, uma taxa média de perda do poder de compra de 0,84% por ano. Questão 1: i) Uma aplicação financeira garante a uma pessoa que tem 30 anos 300 por cada 100 quando ela fizer 75 anos. Sendo que se prevê uma taxa anual média de inflação de 2%, qual será o poder aquisitivo desse dinheiro aos preços de hoje? A) 123,06 B) 132,60 C) 141,26 D) 143,06 ii) Qual será a taxa de juro real média anual? A) 0,64 B) 0,46% C) 2,47% D) 1,74% Questão 1: i) Uma taxa anual média de inflação de 2%, X = 300x1,02^(-45) = 123,06 A) 123,06 B) 132,60 C) 141,26 D) 143,06 ii) Qual será a taxa de juro real média anual? A preços constantes (1+r)^45 = 1,2306 -> r = 1,2306^(1/45) = 0,46% A preços nominais retiro a inflação: 3^(1/45) / 1,02 = 0,46% A) 0,64 B) 0,46% C) 2,47% D) 1,74% Questão 2: i) Uma pessoa vendeu um terreno recebendo três prestações de 25000, daqui a 2, 4 e 6 anos. Se a taxa de inflação for de 2%, em termos actuais quanto vale o terreno? A) ,64 B) ,46 C) ,26 D) ,37 ii) Se conseguisse uma aplicação financeira a 2,5%, quanto vale o terreno? A) ,55 B) ,54 C) ,73 D) ,56

4 19 20 Questão 2: i) Se a taxa de inflação for de 2%: X = x1,02^(-2) x1,02^(-4) x1,02^(-6) X = 24029, , ,28 = ,64 A) ,64 B) ,46 C) ,26 D) ,37 ii) Se conseguisse uma aplicação financeira a 2,5: X = x1,025^(-2) x1,025^(-4) x1,025^(-6) A) ,55 B) ,54 C) ,73 D) ,56 Já vimos que quando se reduz o período de capitalização, diminui a taxa de juro E.g., uma taxa de juro anual de 3,5% corresponde a 1,035^(1/2)-1 = 1,735% ao semestre 1,035^(1/4)-1 = 0,864% ao trimestre 1,035^(1/12)-1 = 0,287% ao mês 1,035^(1/365)-1 = 0,00943% ao dia Mas em termos anualisado são a mesma taxas E se capitalizarmos de forma simples vem 1,735%x2 = 3,4700% 0,864%x4 = 3,4550% 0,287%x12 = 3,4451% 0,0943x365= 3,4403% O limite quando passamos ao segundo é 3,4401% Este valor é Ln(1+3,5%) A esta grandeza chama-se taxa instantânea, O valor 3,5% denomina-se por taxa de juro média anual enquanto que O valor Ln(1+3,5%) se denomina por taxa de juro instantânea anualisada Usa-se numa factorização instantanea Sendo i = Ln(1+r), então temos Vt = V 0 e t i Todos nós já ouvimos falar de investimentos O investimento em educação é rentável Investir num filho é perda de dinheiro Investir num Mestrado é dinheiro certo Investir no sector das TI é muito arriscado Todos nós já ouvimos falar de investimentos O investimento em educação é rentável Investir num filho é perda de dinheiro Investir num Mestrado é dinheiro certo Investir no sector das TI é muito arriscado

5 25 26 Será a aplicação de recursos no presente em troca de retornos no futuro Por exemplo, um estudante aplica no presente tempo e dinheiro a estudar porque pensa que vai receber um acrescento no salário no futuro. Em termos estilizados, podemos dizer que é aplicado o capital Vo agora que permite o retorno Vt decorridos t períodos. Um investimento concreto é mais complexo que isso, havendo várias aplicações e vários retornos Variáveis fluxo e variáveis stock Já vimos que podemos investir 1000 mas também podemos investir 100 por mês. Estas duas quantidade são diferentes nas unidades. Uma é uma soma de dinheiro que acontece num instante A outra é um caudal de dinheiro que vai caindo a cada instante. No exemplo, corresponde a 3,33 por dia, a 0,137 por hora, etc. Variáveis fluxo e variáveis stock É como a diferênça entre termos consumido 33,895m3 de água ou termos consumido 0,013 litros por segundo Uma torneira medianamente aberta debita 0,1 litros por segundo Num poço de aldeia médio nasce 0,25 litros/s, o que corresponde ao consumo de 20 casas Variáveis stock e fluxo As variáveis que são uma soma denominam-se por variáveis stock As variáveis que são por tempo denominam-se por variáveis fluxo Por exemplo: Se invistir num andar (um stock), passo a receber de renda 350 por mês (um fluxo). Variáveis stock e fluxo Se eu multiplicar uma variáveis fluxo pelo tempo em que ela se verifica, obtenho uma variáveis stock. Por exemplo, hoje tenho 100 e recebo 10 por dia. Quanto tenho de hoje a um mês? /d x 30d = 400 O tempo corta com o tempo, e fica em Euros

6 31 32 O investimento vai ser um conjunto de entregas no tempo mais próximo do presente e um conjunto de recebimentos que se localizam mais distantes para o futuro. Positivo: retorno Quer as entregas quer os recebimentos tanto podem ser modelizáveis por variáveis stock ou variáveis fluxo Negativo: investimento tempo

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