CARTAS DE CONTROLE MULTIVARIADAS

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO DANILO MARCONDES FILHO CARTAS DE CONTROLE MULTIVARIADAS BASEADAS NO MÉTODO KERNEL-STATIS PARA MONITORAMENTO DE PROCESSOS EM BATELADAS Poro Alegre 009

2 DANILO MARCONDES FILHO CARTAS DE CONTROLE MULTIVARIADAS BASEADAS NO MÉTODO KERNEL-STATIS PARA MONITORAMENTO DE PROCESSOS EM BATELADAS Tese sumeda ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção da Unversdade Federal do Ro Grande do Sul como requso parcal à oenção do íulo de Douor em Engenhara de Produção, na área de concenração em Ssemas de Qualdade. Orenador: Flávo Sanson Foglao, Ph D. Poro Alegre 009

3 3 DANILO MARCONDES FILHO CARTAS DE CONTROLE MULTIVARIADAS BASEADAS NO MÉTODO KERNEL-STATIS PARA MONITORAMENTO DE PROCESSOS EM BATELADAS Esa ese fo julgada adequada para oenção do íulo de Mesre em Engenhara de Produção e aprovada na sua forma fnal pelo Orenador e pela Banca Eamnadora desgnada pelo Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção da Unversdade Federal do Ro Grande do Sul. Prof. Flávo Sanson Foglao, Ph.D. PPGEP/UFRGS Prof. Flávo Sanson Foglao, Ph.D. Coordenador PPGEP/UFRGS Banca Eamnadora: Carla Schwenger en Caen, Dra. (PPGEP/UFRGS) Lus Paulo Luna de Olvera, Dr. (PIPCA/UNISINOS) Eugêno Kahn Epprech, Dr. (DEI/PUC-RJ)

4 4 AGRADECIMENTOS Ao professor PhD. Flávo Sanson Foglao, pela sua orenação eremamene crerosa e ncenvadora. Ao professor e colaorador Dr. Lu Paulo Luna de Olvera, pela grande ajuda em odas as eapas dese raalho e pelos ensnamenos recedos. Ao professor Dr. Cláudo Roso Jung e ao esudane de engenhara da UFRGS Rafael Duare Alcoa, pelo menso apoo compuaconal recedo. Ao professor Ms. Ângelo Márco Sananna, por ser além de um colega de pesqusa, um grande amgo e ncenvador dese raalho. Aos professores, funconáros e alunos do Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção da Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, pelos apoos recedos. À mnha querda mãe, pela grande força que sempre me deu.

5 5 RESUMO Processos ndusras que ocorrem em aeladas são empregados com freqüênca na produção de alguns ens. Tas processos dsponlam uma esruura de dados asane pecular e, dane dsso, ese um crescene neresse no desenvolvmeno de caras de conrole mulvaradas mas apropradas para seu monorameno. Desaca-se aqu uma aordagem recene que ula caras de conrole aseadas no méodo Sas. O Sas consu-se numa écnca eploraóra que perme avalar smlardade enre mares de dados. Enreano, esa écnca avala a smlardade no coneo lnear, so é, nvesga esruuras de correlação lneares nos dados. Propõe-se nesa ese a ulação de caras de conrole aseadas no Sas em conjuno com um kernel para monorameno de processos com presença de nãolneardades fores. Aravés dos kernels, defnem-se funções não lneares dos dados para melhor represenação da esruura a ser caracerada pelo méodo Sas. Esa nova aordagem, denomnada Kernel-Sas, é desenvolvda e avalada ulando dados de um processo smulado. Palavras-chave: Caras de Conrole. Processos em aeladas. Kernel. Méodo Sas.

6 6 ABSTRACT Indusral ach processes are wdely used n he producon of some ems. Such processes provde a pecular daa srucure; herefore, here s a growng neres n he developmen of cusomed mulvarae conrol chars for her monorng. We nvesgae a recen approach ha uses conrol chars ased on he Sas mehod. Sas s an eploraory echnque for measurng smlares eween daa marces. However, he echnque only assesses smlares n a lnear cone,.e. nvesgang srucures of lnear correlaon n he daa. In hs hess we propose conrol chars ased on he Sas mehod n conjuncon wh a kernel for monorng processes n he presence of srong non-lneares. Through he kernels we defne non-lnear funcons of daa for eer represenng he srucure o e characered y he Sas mehod. The new approach, named Kernel-Sas, s developed and llusraed usng smulaed daa. Key words: Conrol Chars. Bach processes. Kernel. Sas mehod.

7 7 LISTA DE FIGURAS Fgura - Eemplo de um algormo de classfcação (adapado de Scholkopf & Smola, 00)... Fgura - Esruura de dados não lnearmene separável (gráfco da esquerda) e esruura lnearmene separável (gráfco da drea)...6 Fgura 3 - Esquema comparavo da KPCA e da PCA lnear. Adapado de Scholkopf & Smola, Fgura 4 - Esquemaação de uma aelada...36 Fgura 5 - Trajeóras de rês varáves de processo oservadas em 0 nsanes, durane 30 aeladas consecuvas...37 Fgura 6 - Arqueura da rede neural auo-assocava...46 Fgura 7 - (a) Prmero PC lnear represenado por uma rea () Prmero PC não lnear represenado por uma curva...49 Fgura 8 - Arranjo de dados para análse va Sas...56 Fgura 9 - Esquema geral da meodologa de análse da ner-esruura...60 Fgura 0 - Esquema geral da meodologa de análse da nra-esruura...63 Fgura - Esquema geral para deermnação da regão de conrole...7 Fgura - Trajeóras das duas varáves de processo amosradas em 00 aeladas de referênca...87 Fgura 3 - (a) CCs CO * e () CCs k CO *...9

8 8 LISTA DE TABELAS Taela - Mar X conendo a represenação dos dados num processo em aeladas para análse va MPCA...38 Taela - Quadro comparavo do desempenho das CCs kis e IS para α=0,0...89

9 9 SUMÁRIO INTRODUÇÃO.... TEMA E SUA JUSTIFICATIVA OBJETIVOS Ojevo Geral Ojevos Específcos MÉTODO Méodo de Pesqusa Méodo de Traalho DELIMITAÇÕES ESTRUTURA DO TRABALHO...6 REFERENCIAL TEÓRICO...8. KERNELS Kernel como Medda de Smlardade Um algormo smples de classfcação escro em função de Kernels Kernel Polnomal Fundamenação do Kernels Kernels a Pror Análse de Componenes Prncpas va Kernel (Kernel PCA)...9. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Processo em Baeladas MPCA MPCA não lnear NLPCA va rede neural auo-assocava NLPCA va redes neuras e curvas prncpas NLPCA va kernel PCA Procedmenos para Dagnósco MÉTODO STATIS Consderações Incas Análse da Iner-Esruura Análse da Inra-Esruura Consderações Fnas METODOLOGIA STATIS VIA KERNEL POLINOMIAL (INTER-ESTRUTURA) STATIS VIA KERNEL POLINOMIAL (INTRA-ESTRUTURA) CARTAS DE CONTROLE PARA A INTER E A INTRA-ESTRUTURAS Cara kis Conrole Off-Lne aravés da CC kis Cara kco...74

10 Conrole Off-Lne aravés das CCs kco Conrole On-Lne Dagnósco CONSIDERAÇÕES FINAIS ESTUDO DE CASO SIMULADO SISTEMA E BARELADAS DE REFERÊNCIA ANÁLISE DA INTER-ESTRUTURA VIA CCs kis E IS ANÁLISE DA INTRA-ESTRUTURA VIA CCs kco E CO CONSIDERAÇÕES FINAIS CONCLUSÕES SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...96

11 . INTRODUÇÃO Processos ndusras auomaados dsponlam uma grande quandade de nformações sore seu desempenho. Em as processos são geradas medções smulâneas e em empo real de dversas varáves de processo. Oêm-se enão dados em quandade sufcene para halar um monorameno precso do desempenho de operações ndusras. Pare dessas ndúsras condu seus processos em aeladas. Processos em aeladas apresenam uma sére de operações e evenos compleos que provocam efeos não lneares sgnfcavos nos dados, so é, correlações não lneares enre as varáves de processo. Frene a essa evdênca, caras de conrole (CCs) mulvaradas mas apropradas para seu monorameno foram desenvolvdas. As aordagens lneares de conrole de processos em aeladas proposas na leraura aseam-se fundamenalmene na Análse de Componenes Prncpas Muldreconas (MPCA, Mulway Prncpal Componen Analyss). A MPCA consse em aplcar a Análse de Componenes Prncpas (PCA, Prncpal Componen Analyss) no arranjo de dados sugerdo orgnalmene por Nomkos & MacGregor (994). Aravés da PCA oém-se uma represenação resumda dos dados consderando correlações lneares enre as varáves. As prncpas aordagens não lneares de conrole de as processos aseam-se em eensões não lneares da PCA, denomnadas Non-Lnear PCA (NLPCA). As CCs aseadas em NLPCA são odas a parr do uso da PCA em conjuno com modelos de redes neuras, algormo de curvas prncpas e kernels. Marn & Morrs (996) e Lee e al. (004a;), apresenam uma dscussão comparava de CCs aseadas em NLPCA. Uma aordagem alernava, denomnada Sas, proposa recenemene, ula um arranjo de dados dsno em relação à MPCA, (LAVIT e al., 994). O Sas consu-se em uma écnca eploraóra que oferece uma represenação sumára do grau de smlardade enre mares de dados aravés da ulação da PCA nese arranjo. As CCs aseadas no méodo Sas foram proposas orgnalmene por Scep (00) e formaladas para o monorameno on-lne e off-lne de processos em aeladas por Foglao & Nang (008). A caraceração dos dados oferecda pelo Sas ra um acréscmo em relação ao arranjo usado na MPCA, pos perme a consrução de CCs para avalar o desempenho do processo eplcamene a cada nsane. Enreano, assm como as demas aordagens lneares, a

12 écnca avala a smlardade no coneo lnear, so é, nvesga apenas esruuras de correlação lneares nos dados. Esa ese propõe o desenvolvmeno de CCs aseadas em uma modfcação do Sas que ncorpore amém não-lneardades presenes nos dados e que será denomnada Kernel- Sas. Aravés dos kernels, defnem-se funções não lneares dos dados para melhor represenação da esruura a ser caracerada pelo méodo Sas.. TEMA E SUA JUSTIFICATIVA Processos em aeladas ou sem-aeladas são ulados, com freqüênca, na oenção de produos químcos, oquímcos e almenícos. Para uma caraceração sufcene deses processos, compuadores e equpamenos supervsóros conecados on-lne com a produção fornecem dados coleados roneramene sore as varáves de processo, as como emperauras, pressões e fluos. Tas processos endem a apresenar caraceríscas não lneares acenuadas (LEE e al., 004), vso que: () não são esaconáros e, conseqüenemene, a méda das varáves de processo não é consane (so é, as varáves apresenam uma rajeóra não lnear ao longo da aelada); () e operam em dferenes eságos, aumenando assm a ncdênca de efeos não lneares no ssema. Segundo Ramaker e al. (006), o monorameno de processos gera um acréscmo de conhecmeno sore os mesmos e possla a melhora da qualdade do que é produdo, denre ouros enefícos. Nese coneo, as CCs aqu proposas devem cumprr os segunes ojevos:. Ser capaes de ncorporar e represenar de manera resumda as nformações orundas de grandes massas de dados mulvarados, consderando a complea esruura de correlação e auocorrelação não lnear das varáves de processo. Dessa forma, as caras podem oferecer snalações mas precsas (so é, com um menor número de alarmes falsos) sore o esado do processo. Como decorrênca, oém-se um melhor conhecmeno sore o processo.

13 3. Ser capaes de oferecer dagnóscos precsos que permam uma rápda ação correva quando o processo esver fora de conrole. Os dagnóscos são úes para a melhora do processo e conseqüene melhora da qualdade do que é produdo. Decorrem amém ouros enefícos, as como a dmnução de cusos de produção (decorrene de um menor desperdíco de recursos) e a redução do mpaco de resíduos químcos no meo amene. Dane desa realdade, pesqusadores com dferenes formações vêm concenrando esforços no desenvolvmeno de esraégas de conrole para processos com presença de efeos não lneares domnanes. Desacam-se ncavas precursoras aseadas em NLPCA aravés de redes neuras e curvas prncpas, proposas por Kramer (99) e Dong & MacAvoy (996a), e ncavas recenes de NLPCA aseadas em Kernel PCA (KPCA), proposas por Lee e al. (004a;) e Yoo (006), denre ouros. A coneualação apresenada respalda a proposa desa ese de desenvolver uma modfcação não lnear para uma aordagem que ula CCs aseadas no méodo Sas (e que será denomnada Kernel-Sas).. OBJETIVOS Como decorrênca do que fo eposo na seção aneror, jusfcam-se os ojevos apresenados a segur... Ojevo Geral Desenvolver uma modfcação não lnear na meodologa Sas de conrole de processos em aeladas, ulando caras de conrole aseadas no Kernel-Sas... Ojevos Específcos a) Apresenar o desenvolvmeno das CCs não lneares aseadas no Kernel-Sas. ) Comparar o desempenho das CCs aseadas no Sas e das CCs aseadas no Kernel-Sas.

14 4 c) Propor uma aordagem para dagnósco do processo a parr das CCs aseadas no Kernel- Sas..3 MÉTODO Uma ve defndos os ojevos dese raalho, orna-se necessáro esaelecer o méodo pelos quas os mesmos serão uscados..3. Méodo de Pesqusa O méodo de pesqusa a ser ulado nese raalho será caracerado de acordo com a esruura proposa por Slva e Menees (005). Segundo os auores, as formas clásscas de classfcação são: do pono de vsa da sua naurea (aplcada e ásca), da forma de aordagem do prolema (quanava e qualava), de seus ojevos (descrva, eplcava e eploraóra) e dos procedmenos écncos a serem adoados (lográfca, documenal, esudo de caso, epermenal, epos-faco, levanameno, parcpane e pesqusa-ação). A parr da classfcação proposa, ese raalho se caracera como: () uma pesqusa aplcada, uma ve que ojeva gerar conhecmenos para aplcação práca drgdos à solução de prolemas específcos, envolvendo verdades e neresses locas. A pesqusa aplcada é dfundda no empo e no espaço, mas é lmada no coneo da aplcação, pos se adme que os prolemas possam ser enenddos e resolvdos apenas com o conhecmeno; () uma pesqusa quanava, pos requer o uso de écncas esaíscas na análse de nformações odas; () uma pesqusa eplcava, pos vsa denfcar faores, a parr de caraceríscas de relação enre as varáves, que deermnam ou conruem para eplcar a raão de ocorrênca do fenômeno. Quando ulada nas cêncas eaas, requer uso de méodos epermenas;

15 5 (v) uma pesqusa epermenal, pos é defndo um ojeo de esudo e as varáves que podem nfluencá-lo. Essa classfcação susena o méodo de raalho ulado nesa ese..3. Méodo de Traalho As prncpas eapas no desenvolvmeno da ese compreendem:. Revsar a ase eórca dos kernels, as prncpas aordagens não lneares de conrole de processos em aeladas e a ase eórca do méodo Sas.. Desenvolver uma modfcação no Sas a parr da ulação de um kernel (Kernel- Sas). 3. Apresenar o desenvolvmeno eórco das CCs aseadas no Kernel-Sas. 4. Valdar o procedmeno a parr de um processo em aeladas smulado. Os dados ulados para análse serão gerados supondo-se que les físcas que regem o processo são descras por um ssema dscreo de equações recorrenes com duas varáves. Aravés desse ssema, são gerados dados do processo em conrole esaísco e, poserormene, dados do processo fora de conrole com dferenes graus de desconrole mposos no ssema. 5. Comparar o desempenho das CCs aseadas no Sas e no Kernel-Sas a parr de dados gerados pelo mesmo ssema. 6. Propor uma aordagem para dagnósco dos dsúros deecados pelas CCs aseadas no Kernel-Sas..4 DELIMITAÇÕES A meodologa de conrole proposa nesa ese apresena algumas froneras écncas e de mplemenação:

16 6 a) As CCs aseadas no Kernel-Sas aqu proposas são apropradas para processos em aeladas de empo fo e cujas causas de varaldade não desejadas ncdem unformemene nos nsanes. Processos em aeladas de empo varável não faem pare do escopo da ese. Assm, a nvesgação das modfcações necessáras no Kernel-Sas dane de as processos podem ser proposas em raalhos suseqüenes. ) No caso eemplo apresenado no Capíulo 4, smulou-se um processo cujas les físcas esavam descras por um ssema onde foram mposas não-lneardades do po quadrácas. Nese caso, ulou-se um kernel polnomal de segunda ordem (em comnação com o Sas) para caracerar a esruura dos dados gerados. Enreano, em um processo real não se sae, a pror, que po de esruura não lnear ese nos dados. Dessa forma, necessa-se de uma eapa de pré-processameno para nvesgar os dados e, a parr dsso, propor um kernel adequado. Esa ese não conempla essa eapa. c) Esse raalho apresenou o desenvolvmeno eórco das CCs aseadas no Kernel-Sas. Enreano, para valar a efeva eecução desse conrole, necessa-se de sofware que ncorpore a eora proposa. São necessáras ferramenas compuaconas que forneçam aos operadores, em cada nsane de empo, nformações sore o processo aravés da geração e aualação das CCs proposas. O desenvolvmeno dessas ferramenas compuaconas ranscende o escopo desa ese. d) Fnalmene, é proposo um procedmeno para dagnósco de desconroles aponados pelas CCs kco aravés das CCs CO p. Enreano, a valdação dessa aordagem não esá prevsa nese eo..5 ESTRUTURA DO TRABALHO A ese é composa de cnco capíulos. Nese capíulo, fo apresenada uma nrodução sore as CCs não lneares para monorameno de processos em aeladas. Dscuram-se amém a relevânca do ema, os ojevos a serem alcançados, os méodos empregados, a esruuração da ese, em como as lmações dese raalho.

17 7 No segundo capíulo é apresenado o referencal eórco necessáro para o enendmeno da meodologa de conrole aqu proposa. Esse referencal dvde-se em rês eapas: descrção da eora dos kernels, apresenação das prncpas aordagens não lneares de conrole de processos em aeladas e descrção da ase eórca do Sas. No ercero capíulo é apresenado o desenvolvmeno eórco do Kernel-Sas, das CCs aseadas no Kernel-Sas e de uma aordagem para dagnósco de desconroles. No quaro capíulo é apresenado um esudo de caso smulado para comparar o desempenho das CCs aseadas no Kernel-Sas e no Sas usual para deecção de desconroles. No quno capíulo são apresenadas as consderações fnas odas com o desenvolvmeno da ese e sugesões para fuuros raalhos.

18 8 REFERENCIAL TEÓRICO Ese capíulo apresena uma revsão sore o referencal eórco necessáro para fundamenar o méodo de análse proposo no capíulo 3. Para ano, o eo esá organado em rês seções: a seção. ra a ase eórca sore kernels; a seção. ra uma revsão sore as prncpas esraégas de conrole mulvaradas para monorameno não lnear de varáves de processos em aeladas; e a seção.3 apresena a fundamenação do méodo Sas para análse mulvarada de dados.. KERNELS Esa seção apresena uma descrção da eora dos kernels aplcada ao conrole esaísco mulvarado não lnear. Nese coneo, a ulação dos kernels permem a projeção dos dados em um espaço de maor dmensão em relação ao espaço orgnal (denomnado espaço dos aruos), de onde é possível erar nformações adconas sore a esruura não lnear das varáves de um processo so nvesgação. Esa análse é realada sem acessar dreamene o espaço dos aruos aravés do uso de funções kernel desses dados de enrada. A seção.. apresena de manera nformal os kernels como meddas de smlardade enre dados. A seção.. apresena um algormo geral de classfcação escro como um kernel. A seção..3 apresena a ulação de um kernel polnomal e uma aplcação em um prolema de classfcação não lnear. A seção..4 apresena algumas defnções e eoremas que fundamenam os kernels. Na seção..5 são descros alguns kernels comumene usados a pror para erar a esruura não lnear de correlação enre dados de enrada. Fnalmene, na seção..6 é apresenada a Análse de Componenes Prncpas (que se consu em uma écnca de análse mulvarada) como um algormo escro em função de kernels para eração de não-lneardades no processo... Kernel como Medda de Smlardade Consdere um prolema de classfcação aplcado a um processo ndusral. As realações de um processo organadas em um hsórco de M rodadas de produção, geram produos conformes e não conformes. Adma que cada rodada do processo seja monorada

19 9 aravés de nformações condas no veor lnha (=,...,M), de dmensão ( N), que represena uma realação de cada uma de N varáves conínuas de processo, so é, IR N (IR N represena o conjuno dos reas no espaço de dmensão N). Para classfcar uma nova rodada do processo, compara-se a nformação a ela assocada com os dados de referênca. Para ano, deve-se defnr um medda de smlardade enre esses dos conjunos de dados. Consdere a segune medda de smlardade: k: IR N IR N IR ( ) k(, ),, onde k é a função que gera um número real para represenar a smlardade enre os veores e, com k( ) k(, ), =. A função k é denomnada Kernel (GUYON e al., 993) e a sua jusfcava é apresenada na seção..4. As meddas de smlardade comumene usadas em análse mulvarada de dados ulam o produo nerno canônco, dado por: N, = [ ] [ ], () w= w w onde ] e ] [ w [ w represenam a w ésma coluna dos veores lnha e, respecvamene. A medda de smlardade na eq. () perme raalhar com consruções geomércas formuladas em ermos de ângulos, comprmenos e dsâncas. Sae-se que o produo nerno na eq. () é a medda do co-seno do ângulo enre os veores e. Adconalmene, o comprmeno (ou norma) de um veor e a dsânca eucldana enre dos veores é odo amém em função do produo nerno canônco: o prmero é dado por =,, e a segunda por =, +,,. Ressala-se que as écncas esaíscas clásscas de análse mulvarada lnear as como Análse de Componenes Prncpas (PCA, Prncpal Componen Analyss), Análse Dscrmnane (DA, Dscrmnan Analyss), Análse de Cluser (CA, Cluser Analyss), Análse de Regressão Lnear (LRA, Lnear Regresson Analyss) e o méodo Sas, enre ouras, ulam esas consruções.

20 0 Meddas de smlardade mas geras podem ser odas a parr da consrução de um mapa não lnear Φ. Tem-se: Φ: IR N F Φ (), () onde F represena o espaço dos produos nernos ou espaço dos aruos, com dmensão (N F ) maor ou gual ao espaço de enrada IR N. Noe que o veor Φ() é a represenação do veor no espaço dos aruos F. A aplcação dos dados de enrada em F, aravés de Φ, perme consruções geomércas aseadas em produos nernos modfcados no espaço de enrada. Iso é realado aravés da aplcação de uma função k (kernel) nos dados de enrada. Tem-se: (, ) Φ( ), Φ( ) k =. (3) A escolha do mapa Φ perme consrur uma sére de meddas alernavas de smlardade (as como correlações e dsâncas num coneo não lnear), raalhando apenas no espaço de enrada IR N, va k. Por eemplo, Φ pode ser um mapa polnomal, com Φ ) e Φ () represenando veores conendo produos enre os elemenos dos veores e, respecvamene. Nese caso, pode-se eecuar o produo nerno Φ( ), Φ( ) no espaço F, (sem acessá-lo) aravés de um produo nerno modfcado aproprado (, ) ( k nos dados de enrada, para nvesgar não-lneardades enre e. Na seção..3 ese eemplo é descro em dealhes... Um algormo smples de classfcação escro em função de Kernels Consdere novamene o eemplo cado no níco da seção aneror, onde se desejava classfcar o produo gerado em uma nova rodada do processo. Deseja-se enão verfcar a smlardade do veor de nformações da nova rodada com os veores das M rodadas de referênca. A parr dessas rodadas de referênca, oém-se o veor c + que ra a méda das M + realações conformes, e o veor c que ra a méda das Oêm-se, enão, duas classes de referênca: M realações não conformes.

21 M c e c. (4) M + + = M + = = M = O algormo ulado para classfcar uma nova rodada (proposo em SCHOLKOPF & SMOLA, 00) é aseado numa consrução geomérca que ula o produo nerno canônco. Prmeramene oém-se o pono médo enre c + e c=( c + e c )/. Deermna-se a classe do veor calculando o ângulo enre o veor veor que lga as duas classes o ângulo enre à classe + c, so é, c e o w = c c. Compua-se o produo nerno enre c e w. Se c e w for menor do que 90 0, o seu co-seno será posvo e será desgnado c, so é, será classfcado como rodada não conforme. Caso conráro, será enquadrado na classe c +, so é, será classfcado como rodada conforme. A Fgura apresena um esquema geral do algormo proposo. Noe que a lnha ponlhada represena o plano de decsão onde o co-seno do ângulo enre nerno, muda de snal. c e w, dado pelo correspondene produo A parr da esraéga apresenada no parágrafo aneror, formala-se a segune função de classfcação: Y = SINAL ( c), w. Susundo c e w pelas suas epressões, em-se: Y SINAL(, c, + ), (5) = + c onde = ( c c+ ), com norma dada por =,. Se os veores c e c + apresenarem a mesma norma, so é, se as médas das duas classes verem a mesma dsânca da orgem, enão =0.

22 Fgura - Eemplo de um algormo de classfcação Fone adapada de Sholkopf & Smola (00) A epressão lnear dada na eq. (5) pode ser escra eplcamene com os dados de enrada usando o kernel k para calcular os produos nernos. Ulando a nformação na eq. (4), em-se: Y M + M = SINAL(,, + ) M M + = = M + M = SINAL( k(, ) k(, ) + ), M M + = = onde k (, ), nese caso, represena o produo nerno usual ou canônco. Dessa forma, o snal de Y para classfcar uma nova oservação é odo smplesmene calculando a soma ponderada dos produos nernos enre e, compuados va k. Oserve que para M + o valor de k é mulplcado por / M +, e para M o valor de k é mulplcado por / M. De uma manera geral, o algormo de classfcação apresenado na eq. (5) pode ser escro da segune forma: Y = SINAL( M = α k(, ) + ). (6) A função acma reorna o snal da comnação lnear dos k dado pelos coefcenes α, onde α represena o peso aruído para o produo nerno k (, ), defndo segundo algum

23 3 créro de ponderação das oservações de referênca (no eemplo smplfcado apresenado, α = / M + para M + e α = / M para M ). O algormo de classfcação descro acma é frequenemene usado para reconhecmeno de padrões e fa pare de uma área denomnada Suppor Vecor Machnes (SMVs). Os coefcenes α são enconrados aravés da resolução de um prolema de programação quadráca (ver VAPNIK & CHERVONENKIS, 979). Cae salenar que qualquer algormo que pode ser escro em função de produos nernos enre oservações, como, por eemplo, a PCA (apresenada na seção..6), pode ser escro em função de um kernel (SCHOLKOPF e al., 998). Imporane ressaler que para k, ) =,, a eq. (6) apresena o produo nerno ( usual ou canônco enre e, conforme defndo na eq. (). Enreano, aravés do mapa não lnear Φ [descro em ()], pode-se defnr um produo nerno modfcado k (, ) dado na eq. (3). Um eemplo dessa modfcação será dado na seção..3; a ase eórca que fundamena esa modfcação é apresenada na seção Kernel Polnomal A seção.. apresenou o kernel como medda de smlardade aravés do produo nerno canônco enre oservações e [eq. ()] e poserormene defnu mapas não lneares Φ num espaço dos aruos F [eq. ()], onde o kernel reala um produo nerno modfcado das oservações e aravés dos Φ( ) e Φ() [eq. (3)]. Esa seção apresena uma classe de kernels conceda para raar esruuras de dados com deermnado po de não lneardade: raa-se do Kernel Polnomal. Sem perda de generalação, consdere um veor de oservações, de dmensão ( ), so é, com valores, e uma função Φ() cujos elemenos represenam odos os monômos de ordem odos para os valores em. Defne-se um mapa não lnear do po: Φ: IR F=IR 3 = ([ ],[ ] ) Φ( ) = ([ ],[ ],[ ] [ ] ). (7)

24 4 Aravés desa função, as nformações do veor passam a ser analsadas no espaço dos produos de ordem de seus elemenos. No espaço F, ular o produo nerno canônco enre veores Φ( ) e Φ() equvale a mulplcar monômos de ordem nos dados de enrada. Enreano, podem-se compuar esses produos sem ular os veores Φ( ) e Φ() eplcamene, defnndo um kernel aproprado, al que ( ), Φ( ) = k,. Φ ( ) Consdere o mapa apresenado na eq. (7) com uma modfcação escra da segune forma: Φ ) = ([ ],[ ],[ ] [ ],[ ] [ ] ). (8) ( Os monômos [ ] [ ] ) e [ ] [ ] ) são consderados dsnos (so é, monômos ( ( ordenados). Para monômos dese po, o produo nerno no espaço dos aruos F enre os veores Φ( ) e Φ() é da segune forma: ), Φ( ) [ ] [ ] + [ ] [ ] + [ ] [ ] [ ] [ ] Φ( =, ou Φ( ), Φ( ) =, = k(, ). Conclu-se enão que se pode oer os produos nernos enre monômos de ordem no espaço dos aruos sem ular Φ dreamene, ulando o kernel que calcula o quadrado do produo nerno canônco enre as oservações orgnas (so é, do espaço de enrada). Dessa forma, aravés do kernel polnomal de segunda ordem, analsam-se esruuras não lneares quadrácas, as como correlações de segunda ordem enre varáves, por eemplo. O resulado acma pode ser generalado para os veores e IR N e para um espaço F dos monômos ordenados de ordem d, aplcado aos elemenos de e. Nese caso, o kernel que calcula o produo nerno enre os veores Φ( ) e Φ() em F é dado por (POGGIO, 975, Lema ): (, ) k = ( ), Φ( ) = Φ d,. (9) É mporane noar que para deermnada escolha de N e d, o espaço F em dmensão muo superor ao espaço de enrada N, sendo dada por:

25 5 d + N N F = = d ( d + N )!. d!( N )! Por eemplo, consdere um processo ndusral com oservações perodcamene coleadas acerca de 0 varáves de processo (so é, IR 0 ) e monômos de ordem d=5. Nese caso o espaço dos aruos F raalha com veores Φ() de dmensão ( 4504) e, porano, compuaconalmene dfíces de serem raados. Enreano, ese mapa não é eplcamene acessado, e não-lneardades desa ordem enre as varáves de processo podem ser analsadas no espaço dos dados enrada [de dmensão ( 0)] aravés do kernel na eq. (9). O kernel polnomal amém pode ser odo aravés de uma modfcação no mapa Φ (que será denoada por C d ). Consdere novamene d=. O mapa na eq. (8) pode ser escro apenas com monômos não-ordenados (so é, sem consderar a ordem da mulplcação das enradas de ) da segune forma: C ( ) = ([ ],[ ], [ ] [ ] ). (0) Deve-se oservar que como o veor C () não consdera a ordem dos elemenos que represenam produos cruados dos elemenos de, o ercero elemeno de C () é mulplcado por. Dessa forma, o produo nerno enre os veores C ( ) e C () forma um quadrado perfeo, como na eq. (9); so é, C ), C ( ), ( =. O kernel polnomal apresenado na eq. (9) possu formulações alernavas. Pode-se esar neressado em um mapa dos monômos de ordem aé d, so é, consderando amém odas as ordens nferores a d. Nese caso, defne-se o kernel aproprado escrevendo-se (, ) k = ( +. d, ) Consdere um eemplo smples de aplcação do kernel polnomal de segunda ordem a um prolema de classfcação não lnear de dados condos em veores IR. A Fgura (a) mosra a esruura orgnal dos dados de referênca, onde esem dos padrões represenados por ponos em forma de losangos e rângulos. A Fgura. () mosra no IR a esruura ransformada aravés do mapa não lnear da eq. (0), com C ( ) = ([ ],[ ], [ ] [ ] ) = ([ ],[ ],[ ] 3). O ercero elemeno 3 de C () fo omdo no gráfco sem perda de nformação.

26 6 Fgura - (a) Esruura de dados não lnearmene separável. e () esruura lnearmene separável Fone - adapada de Sholkopf & Smola (00) Oserva-se claramene que o mapa não lnear C oferece uma represenação lnearmene separável dos dos padrões. Dessa forma pode-se usar de ferramenas lneares para análse e classfcação de fuuras oservações. Ressala-se que, aravés dos mapas não lneares, podem-se nvesgar esruuras não lneares aravés das écncas lneares de classfcação de dados (como por eemplo, a SVMs, anerormene menconada), e écncas esaíscas clásscas (as como PCA, DA, CA, LRA, Sas, enre ouras), sem acessar dreamene ese espaço, va ulação de kernels. Rafca-se que as écncas de análse cadas se consuem em algormos que podem ser escros aravés de kernels (esá no escopo dese raalho descrever o algormo do méodo Sas va kernel). Adconalmene, mesmo que a dmensonaldade aumene demasadamene, o espaço dos aruos não é acessado, pos, aravés de um kernel aproprado, pode-se consrur um produo nerno modfcado no IR N que corresponda ao produo nerno enre os Φ no espaço F (como fo eemplfcado aravés de um kernel polnomal ). Uma quesão relevane é a defnção de uma classe de kernels que perma a represenação (, ) k = ( ), Φ( ). Em ouras palavras, dado um kernel, deve-se Φ denfcar um mapa Φ no espaço dos aruos F, al que a gualdade acma se verfque. Para ano, é necessáro enender algumas propredades e eoremas que fundamenam um kernel, e que são apresenados a segur.

27 7..4 Fundamenação do Kernels Esa seção apresenada de manera nformal algumas propredades e eoremas que fundamenam um kernel. Prmeramene, defne-se uma classe de kernels que geram uma medda de smlardade em defnda (so é, um produo nerno em defndo). Num segundo momeno, a quesão levanada no fnal da seção aneror é esclarecda aravés da defnção de uma classe de kernels que auam como produo nerno no espaço dos aruos, so é, (, ) k = Φ( ), Φ( ). Consdere M veores de oservações; sejam e j dos veores dese conjuno. Defne-se a mar quadrada: K j = k( ),, () j de ordem (M M), cujas enradas represenam produos nernos enre as oservações, defndos por um kernel. Esa mar é denomnada Mar Kernel. Ese raalho em como foco a aplcação de funções kernel em mares smércas. Dessa forma, consdere a mar na eq. () como sendo smérca, ou seja, k( ) k(, ), =. j j O prmero ojevo dessa seção é jusfcar a ulação de um kernel como medda de smlardade. A condção mporane que jusfca um produo nerno como medda de smlardade é que ele seja posvo defndo. Assm, o kernel que gera um produo nerno modfcado, mas que seja posvo defndo, pode ser usado como medda de smlardade. elemeno k( ) Incalmene, defne-se uma mar posva defnda. A mar smérca com, IR é posva defnda se possu odos os auovalores não negavos. De j posse dessa defnção, pode-se conceuar um kernel posvo defndo: A função k( ), que gera uma mar kernel posva defnda, é posvo defnda. j O ermo kernel derva da eora de análse funconal na área de operadores negras. Os kernels posvos defndos esão descros na leraura com denomnações dsnas, as como Mercer Kernel, Suppor Vecor Kernel, Função de Covarânca, ec.

28 8 A segunda quesão colocada nesa seção agora pode ser eplorada. Que classe de kernels auam como produo nerno no espaço F va um mapa não lnear Φ? O eorema de análse funconal denomnado Teorema de Mercer (BOSER e al., 99) demonsra que se k é um kernel conínuo de um operador negral posvo enão se pode consrur um mapa Φ num espaço F onde k aua como produo nerno (SCHOLKOPF & SMOLA, 00). Em ouras palavras, se k é posvo defndo, ese um mapa Φ onde k( ), = Φ ), Φ( ). j ( j Fnalmene, como decorrênca do eorema de Mercer, dado um algormo que é escro em função de um kernel k posvo defndo, pode-se consrur uma versão alernava escra em função de um ouro kernel k posvo defndo. Ese resulado é conhecdo como Kernel Trck (SCHOLKOPF & SMOLA, 00). Ese úlmo resulado é de parcular neresse, vso que oa pare das aordagens de conrole de processos mulvarados são aseadas na ulação da Análse de Componenes Prncpas (PCA). A PCA gera, a parr de um conjuno de varáves, novas varáves de análse não correlaconadas aravés da dagonalação da mar de covarâncas (S). Enreano, essa mar pode ser reescra como uma mar K j = k( ), posva defnda, so é, com os seus elemenos represenando produos nernos canôncos enre as oservações e j (resulado que será demonsrado na seção..6). A parr dessa nova represenação (so é, ao usar K no lugar de S na análse), defnem-se dferenes kernels posvo defndos (ou seja, produos nernos não canôncos) para eração de esruuras não lneares nos dados. Em ouras palavras, essa modfcação perme a escolha do kernel a ser usado em S (escra em função de K), a parr do po de não lneardade a ser nvesgada. A seção.3.3 apresena uma revsão sore uma aordagem de conrole não lnear de processos ulando a PCA descra acma, denomnado Kernel PCA. Adconalmene, o foco desse raalho esá na apresenação de uma modfcação não lnear no méodo Sas aravés do seu uso comnado com kernels. O méodo Sas de análse é revsado na seção 3 e consu-se na aplcação da PCA em mares do po K para avalar de forma sumára a smlardade enre conjunos de dados. Dessa forma, novamene o Kernel Trck permrá a consrução de uma versão não lnear do Sas (resulado que será apresenado no capíulo 3). j

29 9..5 Kernels a Pror Esa seção apresena alguns kernels que são ulados com freqüênca na nvesgação de esruuras não lneares das varáves de enrada (SCHOLKOPF e al., 998). Desaca-se o kernel polnomal (descro na seção..3), apresenado como: ( ) k, = j j d,, para d IN, () ou aravés da forma alernava k( ), = j ( +. d, j ) Ouros kernels ulados com freqüênca são o Gaussano, cuja forma é: ( ) k, = j ep j σ, para σ > 0; e o kernel Sgmóde, empregado com freqüênca em algormos de Redes Neuras, com forma dada por k( ), = anh( w, + Θ), para w, Θ IR. Ese úlmo não é posvo defndo, j j porém apresena resulados neressanes em prolemas raados aravés da aplcação de Redes Neuras...6 Análse de Componenes Prncpas va Kernel (Kernel PCA) A PCA se consu numa écnca esaísca mulvarada que usca capurar nformação sore a esruura de correlação lnear de um grupo de varáves so análse. Esa nformação é condensada em um número menor de varáves não correlaconadas denomnadas Componenes Prncpas, que represenam as projeções das varáves orgnas em eos orogonas. Tas projeções são geradas aravés dos auoveores odos pela dagonalação da mar de covarâncas ou de correlações. Os desenvolvmenos da PCA aplcada ao Conrole Esaísco Mulvarado de Processo (MSPC, do nglês Mulvarae Sascal Process Conrol) devem-se a Jackson & Mudholkar (979), Jackson (99), Kour & MacGregor (996) e MacGregor (997).

30 30 Esa seção apresena uma generalação da PCA, denomnada Kernel PCA (KPCA), que consse na realação da PCA no espaço dos aruos F odo aravés de um mapa não lnear Φ, como da eq. (). A parr dese mapa, capuram-se caraceríscas não lneares relaconadas com as varáves de enrada, como, por eemplo, correlações não lneares. Na KPCA, oêm-se auovalores e auoveores aravés da dagonalação da mar de covarâncas modfcada, escra em função de kernels das oservações orgnas. Incalmene, defne-se a mar de covarâncas da manera usual. Reornando ao eemplo nroduóro apresenado na seção.., consdere N varáves de enrada e M veores lnha de oservações cenradas ( IR N ), para =,...,M. A mar de covarâncas correspondene pode ser escra da segune forma: M S =, (3) M = onde represena o veor ransposo de. A PCA consse em dagonalar a mar (3), oendo os auovalores e auoveores aravés da solução da segune equação: u λ = Su, (4) onde λ 0 (porque S é posva defnda), u é um veor lnha de dmensão ( N), e u represena o veor ransposo de u. No segundo momeno, é mosrado que a mar S pode ser escra em função de um produo nerno enre as oservações, so é, em função de um kernel k(, ) eq. (3) na eq. (4), em-se: j. Susundo a M u λ = u. M = Assm, M M u = u =, u, Mλ = Mλ = pos u =, u. Como, u gera para cada um escalar, enende-se que odas as soluções para u, com λ 0, esão no espaço gerado pelos veores,..., M. Escreve-se enão:

31 3 M u = αk k. (5) k = Susundo as equações (3) e (5) na eq. (4), em-se: Mλ M M M α k = α k. (6) k k k = = k = Mulplcando amos os lados da equação (6) por j, para j=,...,m, em-se: M jmλ α = α k, M M k k j k k = = k = que equvale a: Mλ M k = α k( k j, k M ) = α k(, ) k(, ), (7) k = k j k k onde k(, ) = é o kernel que fornece o produo nerno usual enre as oservações j j k j k e k. A epressão (7) é enão condensada em: MλαK= αk, ou, Mλα=αK, (8) onde K é a mar kernel smérca [defnda na eq. ()] cujos elemenos são os produos nernos k( ),, e α represena o veor, de dmensão ( M), conendo os coefcenes α k. j k Assm, o prolema de dagonalação da mar S aravés da solução da equação (4), como se fa na PCA usual, pode ser resolvdo aravés da dagonalação da mar K soluconando a equação (8). A mar K, assm como a mar S, é posva defnda (ver demonsração SCHOLKOPF e al., 998). Dessa forma esa rá gerar M auovalores λ w não negavos, para w=,...,m. O passo segune consse na normalação dos auoveores α w assocados aos auovalores λ w dferenes de ero. Consdere que L (L<M) auovalores λ s (para s=,...,l) são dferenes de ero. Dessa forma, normalam-se os referenes auoveores α s para oer a normalação dos correspondenes veores u s, so é,

32 3 = u s,u s, para s=,...,l. A parr das equações (5) e (8), pode-se noar que a normalação de u s mplca na normalação de α s, pos: M = αs, αs, j, j = αs, αs, jkj = α s, Kα s, j = M, j = = λ s αs, αs.. O úlmo passo consse em oer as projeções de uma oservação (que pode ser referene a um dos M veores de referênca ou a uma nova oservação ) nos novos eos orogonas aravés dos auoveores u s, para s=,...,l. Tem-se enão: s = u, = M s α s =,,, so é, (9) M s = us, = αs, k(, ), (0) = onde s é o escore que represena a projeção de fea pelo auoveor u s. Noe que a projeção é oda aravés de uma comnação lnear dos produos nernos de cada oservação no espaço de enrada com a nova oservação. Oserve que a eq. (0) é semelhane à eq. (6); a dferença é que esa úlma fo oda a parr de um prolema de classfcação, no coneo de SMVs (seção..), e a eq. (0) é ulada para eração de nformação sore as correlações enre as oservações (Feaure Eracon). A nova ase de análse descra na eq. (0) perme a nvesgação de esruuras não lneares nos dados a parr de uma modfcação no kernel (,) k = ( ), Φ( ), ulado na Φ mar K. Para o caso da aplcação do kernel polnomal de ordem d, as equações (9) e (0) são reescras como: s = u M s,φ ) = αs,, = (, d

33 33 k = Φ( ), Φ( ) = onde (, ), d, com Φ( ) e Φ() odos aravés da eq. (8). Emora se eseja num espaço F de dmensões superores em relação ao IR N (nese caso, no espaço F dos monômos de ordem d das varáves de enrada), a KPCA não raalha dreamene nese espaço, mas sm compua os produos nernos nese espaço va (, ) k =, d (produo nerno modfcado no IR N ). Iso é feo resolvendo a eq. (8), ulando a mar K modfcada com K j =, j d, para, j=,...,m. Consderando que o veor de oservações amplado Φ() eseja cenrado, s represena agora a projeção dessa oservação na dreção do veor u s do espaço amplado F dos monômos de ordem d dos elemenos do veor. É mporane desacar que a KPCA nada mas é do que a realação da PCA usual (lnear) no espaço F aravés do mapa Φ, aonde Φ rá (no coneo desse raalho) represenar correlações não lneares enre as varáves do espaço de enrada IR N. Enende-se que F é o espaço de lnearação do espaço orgnal. A Fgura 3 lusra a déa da KPCA. O gráfco mas acma lusra a projeção na maor dreção de varaldade, dada pelo auoveor (rea em negro), num espaço dmensonal com comporameno não lnear. Os dos gráfcos na pare nferor da Fgura 3 mosram a déa da KPCA, que consse em aplcar a PCA lnear no espaço F, de dmensão acenuada (gráfco à drea). Como F represena a não lneardade das varáves do espaço de enrada, va Φ, a projeção dada pelo auoveor (rea em negro) nese espaço equvale a uma projeção não lnear no espaço de enrada (gráfco à esquerda). Enreano, efevamene esa projeção não lnear não ese, pos não ese um auoveor no espaço de enrada que corresponda a uma pré-magem do auoveor no espaço F. Imporane desacar que a KPCA capura as não- lneardades do espaço de enrada sem acessar F, apenas calculando os produos nernos nese espaço aravés de funções kernel do espaço de enrada. Na Fgura 3, ( ) k, =, represena o kernel polnomal [eq. ()]. j j d

34 34 Fgura 3 - Esquema comparavo da KPCA e da PCA lnear Fone adapada de Scholkopf & Smola (00) Quando se ula o produo nerno canônco k( ), j = Φ ( ), Φ( j ) =, j, com Φ( )= (kernel dendade), a KPCA, realada aravés da eq. (8), gera os mesmos auovalores não negavos da PCA usual realada aravés da eq. (4). Assm, realar a KPCA no espaço caracerísco F represena apenas uma mudança de referencal de eração (so é, dagonalar K ao nvés de S) e equvale a realar a PCA usual no IR N, pos F = IR N. Nese caso as projeções das oservações são odas aravés da eq. (9). É amém mporane desacar que como a KPCA dagonala a mar K [de dmensão (M M)], pode-se oer aé M auovalores não negavos, dependendo do mapa não lnear Φ ulado; já a PCA usual pode gerar no mámo N auovalores não negavos [pos, dagonala a mar S, de dmensão (N N)]. Isso sgnfca que, se M>N (caso mas comum), o número de KPCs odos para análse poderá eceder a dmensonaldade do espaço de enrada IR N. Dessa forma, a KPCA jamas podera ser aplcada na mar de covarâncas usual S. Dsso decorre que a KPCA apresena um poder de eração da esruura dos dados de enrada superor ao da PCA usual. A KPCA, realada com um kernel que sasfaça as condções apresenadas na seção..4, apresena as mesmas propredades maemácas e esaíscas da PCA usual [apresenadas em Jollffe (986), enre ouros]. Deve-se, enreano, consderar essas

35 35 propredades no espaço F das oservações Φ(), e não no espaço de enrada IR N das oservações. Consderando os auovalores em ordem decrescene e os respecvos auoveores, as segunes propredades se aplcam à KPCA: a) Os r prmeros KPCs (para r=,...,l, onde L represena o número de auovalores dferenes de ero) capuram a maor pare da covarânca dos dados Φ(), so é, as r maores dreções orogonas comuns de varaldade dos dados, mapeados va Φ no espaço F, são descras pelas r prmeras projeções orogonas. ) O erro quadráco médo de represenação de uma oservação Φ() pelos r KPCs redos é mínmo. c) Os KPCs são não correlaconados. Assumndo que as oservações Φ() apresenem dsrução Normal Mulvarada, pode-se consderar que os KPCs são ndependenes.. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Nesa seção é apresenada uma revsão das prncpas meodologas de análse mulvarada não lnear de varáves oservadas em um processo em aeladas. Na seção.. é apresenada uma reve descrção sore a esruuração de um processo em aeladas de empo fo, em como uma dscussão sore alguns aspecos mporanes que devem ser consderados para monorameno de as processos. A seção.. apresena uma descrção da Análse de Componenes Prncpas Muldreconas (MPCA, Mulway Prncpal Componen Analyss) que se consu na prncpal aordagem de monorameno lnear de processos por aeladas. Fnalmene, na seção..3, são apresenadas proposas de modfcações na MPCA para processos em aeladas cujas varáves apresenam correlações não lneares sgnfcavas... Processo em aeladas O cenáro de neresse nese raalho são ndúsras químcas e de processos que conduam processos em aeladas. Processos em aelada ou sem-aeladas são ulados com freqüênca na oenção de produos químcos, oquímcos, farmacêucos e almenícos.

36 36 Um processo em aeladas passa pelas segunes eapas: () uma deermnada comnação de maéras-prmas é colocada em um recpene (por eemplo, um reaor); () durane a aelada, esas maéras-prmas sofrem uma sére de ransformações com vsas à oenção do produo fnal; as ransformações são conroladas aravés do monorameno de rajeóras específcas das varáves de processo, como, por eemplo, emperauras, pressões e aas de msura; e () ao érmno da aelada, o produo fnal é analsado em laoraóro quano às suas caraceríscas de qualdade. A Fgura 4 apresena os elemenos genércos de um processo em aelada. As varáves de qualdade Z são odas a parr de medções de qualdade feas sore as maéras-prmas. As varáves de processo X são oservadas aravés de mensurações on-lne do desempenho do processo, em ponos prómos no empo. As varáves de qualdade fnal do produo Y são mensuradas, no produo acaado, após o érmno da aelada. Fgura 4 - Esquemaação de uma aelada Fone elaorada pelo auor Desaca-se que o foco dese eo é a aplcação de écncas para monorameno do desempenho do processo que consderam apenas os dados acerca das varáves de processo (X). Aordagens que consderam smulaneamene as nformações condas em Z, X e Y no monorameno do processo podem ser enconradas em MacGregor e al. (994) e Kour e al. (995), enre ouros. Salena-se amém que o foco dese raalho são os processos em aeladas com empo fo, so é, odas as aeladas apresenam a mesma duração. O desenvolvmeno de aordagens que consderam aeladas de empo varável é enconrado em Kassdas e al. (998), Kasha e al. (004) e Foglao & Nang (008), denre ouros. A esruura dos dados odos em um processo em aeladas apresena dferenças em relação a processos conínuos. Processos em aeladas normalmene não são esaconáros; conseqüenemene, a méda ou valor alvo das varáves de processo não é consane (ou seja, ocupa dferenes paamares durane o decorrer de uma aelada), como eemplfcado na

37 37 Fgura 5. Quando o processo esver so conrole esaísco, cada varável deve apresenar varações oleráves em orno de sua rajeóra padrão (ou rajeóra méda). Para consrução de uma dsrução de referênca adequada e realação do monorameno efcene das novas aeladas, deve-se consderar não apenas a esruura de correlação das varáves de processo, mas amém uma esruura de auocorrelação de cada varável denro das aeladas. Esa esruura é eraída a parr de séres emporas amosras que descrevem as rajeóras das varáves de processo em aeladas em suceddas. A Fgura 5 apresena as rajeóras de rês varáves de processo, oservadas em 0 nsanes denro de cada aelada, durane 30 aeladas consecuvas em suceddas. As andas vermelhas, aus e roas represenam a magnude da varação de cada varável (oservada nas 30 aeladas amosradas) em cada nsane, em orno de suas médas (ou em orno de suas rajeóras médas). Quando se analsa uma varável no empo (so é, analsando apenas as andas de uma cor) oserva-se claramene uma esruura de auocorrelação. Quando se oserva a posção das rês andas em um únco nsane, pode-se vsualar a esruura de correlação apresenada pelas varáves em cada nsane. 4 3 OBSERVAÇÕES INSTANTES Fgura 5 - Trajeóras de rês varáves de processo oservadas em 0 nsanes, durane 30 aeladas consecuvas Fone elaorada pelo auor

38 38.. MPCA Nesa seção é apresenado de manera reve o procedmeno MPCA de monorameno de processos em aeladas, consderando apenas correlações lneares enre as varáves de processo. O MPCA fo proposo orgnalmene por Nomkos & MacGregor (994). Em um processo so monorameno, durane cada aelada são odas T amosras consecuvas de P varáves de processo gualmene espaçadas no empo. A parr de B aeladas de referênca (em suceddas), êm-se uma esruura rdmensonal de dados conendo B aeladas P varáves T nsanes de empo. Para analsar a varaldade enre aeladas nas rajeóras das varáves, decompõe-se essa esruura de dados em um arranjo dmensonal, gerando uma mar de dados X, de dmensão (B PT). Cada lnha desa mar ra os dados sore as rajeóras das P varáves de processo nos T nsanes da ésma aelada de referênca (para =,...,B). A Taela apresena o arranjo proposo. A mar X coném B veores lnha de oservações, de dmensão ( PT), dados por = (,,,,.., P,,,,,,.., P,,..., T,, T,..., P, T ), que raem as rajeóras padrão das P varáves nos T nsanes oservados nas aeladas de referênca, so é, que geraram produo fnal denro das especfcações. Taela - Mar X conendo a represenação dos dados num processo em aeladas para análse va MPCA Fone elaorada pelo auor A MPCA asea-se na aplcação da PCA na mar de covarâncas S [defnda na eq. (3)], de dmensão (PT PT), oda a parr das colunas de X. Dessa forma, a MPCA consdera P varáves oservadas T vees como PT varáves de análse dsnas e, por

39 39 conseqüênca, correlaconadas. Os PCs são odos aravés de comnações lneares das varáves de análse orgnas e represenam suas projeções nas maores dreções comuns de varaldade, apresenadas em novos eos orogonas. Esas projeções são realadas aravés dos auovalores λ e auoveores u assocados à mar S. Defne-se o segune modelo: L X = u + E. () = A mar X com dados padronados (so é, com a méda suraída e dvddos pelo desvo-padrão da respecva coluna da mar X) é reconsruída a parr da eq. (). A mar de resíduos E, de dmensão (B PT), ra o erro de represenação de X com PT varáves, se um número L<PT de PCs forem usados nesa represenação. O veor lnha u, de dmensão ( PT), corresponde ao ésmo auoveor de S. Para fns aplcados, cada veor u é normalado, so é, ula-se u / u. O veor, que represena o ransposo do veor lnha, de dmensão ( B), ra os escores padronados referenes ao ésmo PC nas B aeladas, odos aravés de X). u X, para =,..., L ( X represena a ransposa da mar = u aravés de Como cada PC represena uma comnação lnear (dada pelo respecvo auoveor u X ) das PT varáves de análse, pelo eorema do lme cenral (ver = NOMIKOS & MAcGREGOR, 995), consdera-se que o ésmo PC sga uma dsrução Normal com méda 0 (pos os dados de X são padronados) e desvo-padrão λ (onde λ represena o auovalor, e amém a parcela da varânca oal represenada pelo ésmo PC). A projeção do veor de oservações defndos pelos L PCs, é oda aravés de: da mar X nos novos eos orogonas, = U, =,..,B, ()

40 40 onde =,..., ] é o veor conendo os L escores referenes à ésma aelada; a mar [,, L, U = u u... ] coném nas suas colunas os L auoveores assocados. Assm, o veor de [ ul oservações pode ser reconsruído pelos L PCs redos na análse aravés de: ˆ U, =,...,B, (3) = onde U represena a ransposa da mar U. O erro de represenação do veor modelo é dado por: pelo e = ˆ, =,...,B, (4) onde o veor e represena a ésma lnha da mar E. O modelo descro na eq. () para um dado número L de PCs ulados é o de mínmo erro, no sendo de que a norma eucldana quadrada da mar E é mínma, so é, B = = E e e (5) é mínma. Os escores e os auoveores u referenes aos L PCs redos, a parr das B aeladas em suceddas, compõem enão a dsrução de referênca do processo so conrole esaísco. Deve-se enender que pcamene ese redundânca na caraceração do ssema, pos o número de fones de varaldade no processo é asane nferor ao número PT de varáves de processo monoradas. Iso sgnfca que cada varável em cada nsane ra uma pequena quandade de nformação junamene com uma grande quandade de ruído. Dessa forma, poucos PCs devem ser sufcenes para capurar as prncpas dreções comuns de varaldade do processo. Assm, seus auoveores u raem pare susancal da esruura de correlação e auocorrelação lneares conda na mar S. A proporção da varaldade em X eplcada pelos L PCs com os maores auovalores assocados λ redos no modelo, é oda L por ( λ / λ ) 00. = PT =

41 4 O monorameno de uma nova aelada, com dados organados no veor realado aravés dos segunes passos:. Projeção do veor nos novos eos orogonas, de forma a oer um veor de escores referenes aos L PCs. Ressala-se que os elemenos de, é são padronados consderando a méda e o desvo padrão das colunas correspondenes da mar X de referênca. A eq. () é rescra como: = U. (6). Os escores em são ulados no cálculo da esaísca de Hoellng, escra em função dos L (< PT) PCs redos no modelo (JACKSON, 99): T - = C, (7) onde C represena a mar de covarâncas, de dmensão (L L), dos PCs do modelo. Como os PCs represenam projeções orogonas, são não correlaconados por defnção. Dessa forma, a mar C é dagonal, apresenando os L auovalores λ redos na análse. A mar nversa C - é, assm, dada por: L 0 λ C = M O 0. 0 L λ L A esaísca T represena a dsânca quadrada, no plano defndo pelos L PCs redos no modelo, enre a posção da nova aelada (dada pelos L escores do veor orgem que represena o pono de varação mínma das prncpas fones de varaldade do processo. Os lmes de conrole da esaísca ) e a T são dados por (MONTGOMERY, 006): LSC = [ L( B α e LIC = 0, (8) / B( B L)] F, L, B L onde F α,,m- represena o percenl da dsrução F com L e B-L graus de lerdade, odo para uma proaldade α de alarme falso adoada. Se T > LSC, enão, nesa aelada, algumas das prncpas fones do processo apresenam varaldade além do olerado. Deve-

42 4 se enender enão que algumas varáves de processo apresenam desvos sgnfcavos em relação às suas rajeóras médas, odas a parr do modelo MPCA de referênca. 3. A segur monora-se o resíduo e Q., referene à nova aelada, aravés da esaísca como: Incalmene, a oservação é esmada pelo modelo, aravés de eq. (3) rescra ˆ U. (9) = reescra como: Oém-se enão o erro de represenação dessa oservação aravés da epressão (4) e = ˆ. (30) Tem-se enão: Q = e e. (3) orgnal A esaísca Q represena a dsânca perpendcular quadrada enre a oservação e a oservação ˆ, represenada no plano descro pelos L PCs do modelo. Os lmes de conrole são calculados a parr de uma apromação pela dsrução Qu- Quadrado ( χ ), sugerda por Nomkos & MacGregor (994). Tem-se: h LSC = gχ α,h e LIC = 0, (3) onde χ α,h represena o percenl da dsrução Qu-Quadrado com h graus de lerdade, odos para uma proaldade α de alarme falso adoada, onde g=v/m e h=m /v. Os valores de m e v represenam respecvamene a méda e o desvo padrão dos valores da esaísca Q, odos a parr das B oservações da mar X de referênca. Se um eveno ncomum ncdr sore o processo e alerar a esruura de correlação lnear das varáves de processo, um alo valor de Q será odo, pos a oservação correspondene não será sasfaoramene descra pela eq. (9).

43 43 esaísca O monorameno efevo das novas aeladas é feo, assm, ulando-se a T para conrolar a varaldade das prncpas fones do processo [eqs. (6), (7) e (8)], e a esaísca Q para monorar os resíduos do modelo [eqs. (9), (30), (3) e (3)], deecando a presença de possíves evenos aípcos durane a aelada. Como menconado anerormene, a MPCA desdora a esruura rdmensonal de dados aravés do modelo proposo na eq. (). Dos modelos alernavos à MPCA, e menos populares (denomnados PARAFAC e TUCKEY3), esão dsponíves na leraura. Eles dferem da MPCA quano ao desdorameno dos dados. Lowerse & Smlde (000) apresenam uma dscussão comparava enre MPCA, PRAFAC e TUCKEY3. Fnalmene, desaca-se o número grande de pulcações apresenando a aordagem MPCA aplcada no monorameno de processos ndusras em aeladas. Ver, por eemplo, os raalhos de Flores-Cerrlo & MacGregor (00) e Kour (003). Marcondes Flho (00) apresena uma aplcação dessa aordagem no conrole de um processo ndusral...3 MPCA não lnear A MPCA descra na seção aneror consdera apenas correlações e auocorrelações lneares enre as varáves de processo. Enreano, processos ndusras modernos apresenam uma sére de operações e evenos compleos que podem gerar efeos não lneares não despreíves nas varáves de processo, so é, correlações não lneares enre as varáves. Adconalmene, os processos por aeladas anda apresenam caraceríscas não lneares mas acenuadas em relação aos processos conínuos, vso que: () não são esaconáros, so é, as varáves apresenam uma rajeóra não lnear ao longo da aelada (conforme eposo na seção..) e () operam em dferenes eságos, aumenando assm a ncdênca de efeos não lneares no ssema. Mesmo que os dados da mar X esejam padronados para dmnur as não- lneardades do processo (pos aravés da padronação em-se um processo esaconáro, onde se monoram os desvos em orno da méda ero), anda assm a MPCA clássca oferece uma descrção nsasfaóra de as processos. Nese caso, o monorameno gera snalações

44 44 e dagnóscos mprecsos sore o desempenho das varáves de processo (ver, por eemplo, YOO e al., 006). Alguns auores vêm nvesgando modfcações na MPCA descra acma dane de processos conínuos ou em aeladas com presença de efeos não lneares domnanes. Esem ascamene rês esraégas de conrole de as processos va PCA não lnear (NLPCA, Non-Lnear Prncpal Componen Analyss) dsponíves na leraura, e que serão descras nesa seção: () NLPCA aravés um modelo de rede neural auo-assocavo de cnco camadas; () NLPCA aravés de uma esraéga que comna dos modelos de redes neuras com o algormo de curvas prncpas; e () NLPCA aravés de Kernel PCA (KPCA, Kernel Prncpal Componen Analyss). Ese úlmo é conhecdo como Kernel Mulway Prncpal Componen Analyss (KMPCA) para o coneo específco de conrole de processos em aeladas. Aplcações das esraégas de NLPCA descras acma são enconradas em Dong & McAvoy (996a;), Ja e al. (00), Lee e al., (004a;) e Yoo e al. (006), denre ouros...3. NLPCA va rede neural auo-assocava O procedmeno descro nessa seção fo proposo ncalmene por Kramer (99). Consdere o modelo MPCA descro na eq. (). Os escores assocados aos L PCs do modelo são odos aravés da projeção das oservações da mar X, ulando a eq. (), que pode ser reescra da segune forma: = F, =,...,B, (33) onde F = f f... f ] represena a mar que coném L veores coluna, cada um [ L represenando uma função lnear das oservações. A MPCA reala as projeções dos (dadas por ) nos novos eos orogonas, va funções f. Oserve que a MPCA radconal defne uma ransformação lnear de PT L IR IR dada pelos auoveores u, ou seja, f = u f = u,..., f L = u L, ( u é o veor ransposo do veor lnha u ).

45 45 Da mesma forma, a eq. (3), que reconsró as oservações orgnas ˆ no modelo da eq. () em função dos PCs, pode ser reescra da segune forma: ˆ G, =,...,B. (34) = onde G = g g... g ] represena a mar que coném PT veores coluna, cada um [ PT represenando uma função lnear dos L PCs (represenados por ). A MPCA reconsró as oservações (que passam a ser desgnadas por ˆ ) va funções g. Defne-se agora uma ransformação lnear nversa de elemeno do veor L PT IR IR realada aravés dos veores g q. O q ésmo ˆ é formado pela mulplcação do veor =,..., ] pelo veor [,, L, coluna g q, cujos elemenos são formados pela q ésma enrada de cada auoveor u e represenam os pesos da comnação lnear aplcada aos elemenos de, para q=,...,pt e =,...,L. O procedmeno descro por Kramer (99) usa uma rede neural auo-assocava para gerar PCs não lneares aravés da eq. (33), va funções f não lneares dos dados de enrada. Poserormene, as oservações são reconsruídas aravés da eq. (34), va funções g não lneares dos PCs. A arqueura da rede neural proposa é apresenada na Fgura 6. A rede é composa de cnco camadas: () camada de enrada, conendo as oservações = m, m,..., m ] da mar X (noação smplfcada dos elemenos do [,, PT, veor em relação à noação usada na Ta. ); () camada de projeção, conendo N (>L) nódulos com as funções de ransferênca f não lneares; () camada de compressão com os L PCs (represenados por =,,..., ]) que serão eraídos va funções f da camada [,, L, aneror; (v) camada de reconsrução, conendo M (>L) nódulos com as funções de ransferênca g não lneares; e (v) camada de saída, conendo os veores de oservações reconsruídas ˆ.

46 46 Fgura 6 - Arqueura da rede neural auo-assocava Fone elaorada pelo auor Esem dferenes pos de não-lneardades de neresse para nvesgação. Dessa forma, dferenes funções f e g podem ser usadas dependendo da naurea da não lneardade enre as varáves de deermnado processo a ser monorado. Cyenko (989) demonsra que funções não lneares do po y=f() ou y=g() podem ser apromadas com algum grau de precsão a parr da segune função ase: y = N v= w N v,, k+ ( ws, v, k s + θ s ) s= σ, (35) onde σ ( ) = (36) + e represena a função sgmóde. Esa função apresena um comporameno que perme convergênca de resulados no renameno da rede neural. As equações descras em (35) e (36) compõem uma rede neural arfcal (do nglês feedforward arfcal neural nework) conendo N enradas; uma camada escondda de N nódulos conendo funções de ransferênca do po sgmóde; e um nódulo lnear de saída. Na eq. (35), w s v, k, represena o peso da coneão enre o s ésmo nódulo da camada k e o v ésmo nódulo da camada k+; e θ s

47 47 represena o parâmero de vés assocado a cada coneão, sendo esmado assm como os pesos w s v, k,. Não ese coneão enre os nódulos de uma mesma camada. Pode-se enender que o esquema descro na Fgura 6 é a unão de duas redes neuras: a rede neural para projeção (com rês camadas: de enrada, de projeção e de compressão), que gera os L PCs não lneares a parr dos dados de enrada, e a suseqüene rede neural para reconsrução (com rês camadas: de compressão, de reconsrução e de saída), que em como enrada os L PCs enconrados na rede aneror, e, a parr de, reconsró as oservações de enrada, esmadas por ˆ. O modelo descro na eq. () é defndo com as equações (33) e (34), parameradas segundo a eq. (35). Tem-se, enão: N PT j, = wv, j, ( ws, v,ms, + θ s ) v= s= mˆ σ, para j=,...,l ; (37) M L, = w,,4 ( w j,,3 j, + θ j ) = v= σ, para =,...,PT, (38) onde j, represena a j ésma enrada de e ˆ represena a ésma enrada de ˆ. m, A rede neural comnada descra na Fgura 6 é supervsonada, so é, são conhecdas as enradas (que são os veores ) e as saídas desejadas (que amém são as oservações em, esmadas por ˆ ). Como as enradas são guas às saídas, raa-se de um modelo de rede neural auo-assocava. O renameno da rede é feo uscando a dendade aravés do algormo de rero-propagação (do nglês ackpropagaon; ver RUMELHARD e al., 986). O créro de omaldade usado no renameno é o mesmo da PCA lnear descra na seção., so é, uscam-se os valores dos parâmeros w s e θ s que mnmam o quadrado da norma eucldana da mar E dos resíduos. Iso é feo aravés da eq. (5), onde e é enconrado ulando a eq. (4). Os números N e M de nódulos das camadas de projeção e de reconsrução, respecvamene, são deermnados aravés de alguns créros descros em Ljung (987). Kramer (99) apresena resulados smplfcados com N=M. Ressala-se que se forem usados um número redudo de nódulos nesas camadas, pode-se oer uma caraceração

48 48 nsufcene das não-lneardades presenes no processo em análse. Dessa forma, o modelo odo para monorameno ende a apresenar a mesma mprecsão da MPCA lnear. Em conraparda, a ulação de um número demasado de nódulos pode resular em um ssema que modela, além das não-lneardades mporanes, ruído aleaóro (ou seja, varações aleaóras no processo passam a ser capuradas e nerpreadas erroneamene pela rede neural como padrões mporanes). A parr da rede neural renada, uma aelada nova é projeada nos eos defndos pelos L PCs aravés dos, calculados a parr da eq. (37). Adconalmene, a parr de, oém-se a reconsrução ˆ da aelada nova, ulando a eq. (38). O monorameno dessa aelada é feo enão aravés das esaíscas (8), (3) e (3)]. T e Q [eqs. (7), Fnalmene, desaca-se que o raalho de Kramer (99) represena a consoldação de alguns raalhos anerores que comnam PCA e redes neuras, aplcados a dferenes áreas de neresse. Denre eses, ressala-se o raalho precursor de Oja (98)...3. NLPCA va redes neuras e curvas prncpas O procedmeno aqu descro fo proposo orgnalmene por Dong & MacAvoy (996a), sendo semelhane à esraéga de análse apresenada na seção aneror. Enreano, as duas redes neuras (de projeção e de reconsrução), consderadas conjunamene no modelo auo-assocavo (esquemaado na Fgura 6), são agora renadas separadamene. A rede neural para projeção, com rês camadas, é renada uscando a assocação, enquano que a rede neural para reconsrução, amém com rês camadas, é renada uscando a assocação. Para que haja um renameno supervsonado, os valores de assocados aos PCs não lneares são enconrados aravés do algormo de curvas prncpas, vso que na rede de projeção se conhece a enrada e não se conhece, a pror, a saída desejada; já na rede para reconsrução não se conhece, a pror, a enrada desejada, somene a saída. O algormo de curvas prncpas fo proposo ncalmene por Hase & Suele (989), sendo uma eensão não lnear naural da PCA clássca. Na PCA, o prmero PC

49 49 represena a rea que melhor se ajusa à dreção prncpal de varaldade comum dos dados, so é, que mnma a soma dos quadrados das dsâncas orogonas enre a rea e as oservações ; ver Fg. 7 (a). Analogamene, a curva prncpal, que defne o prmero PC não lnear, represena a mínma soma de quadrados das dsâncas orogonas enre as oservações e a própra curva, so é, a curva cuja B T E = e e = é mínma; ver Fg. 7 (). O algormo garane que cada pono da curva represena a méda (dada a dsrução de ) de odos os ponos projeados nela. Essa propredade é chamada de auo-conssênca (ou selfconssency) e amém vale para a PCA lnear. A descrção do algormo pode ser enconrada em Hase & Suele (989). Fgura 7 - (a) Prmero PC lnear represenado por uma rea () Prmero PC não lnear represenado por uma curva Fone elaorada pelo auor A curva prncpal é a eensão não lnear do prmero PC eraído na PCA lnear. Alguns raalhos propõem algormos de generalação das curvas prncpas para eração de mas de um PC não lnear; ver LeBlanc & Tshran (994) e Vereek e al. (00). Ressala-se que o algormo de curvas prncpas não pode ser usado soladamene para monorameno de processos aravés das esaíscas T e Q, pos, a parr das oservações, oêm-se os escores sem uma lgação funconal paramérca enre e, já que ese úlmo não fo gerado aravés da eq. (33). Dessa forma, não esão dsponíves as funções f e g necessáras para projear uma nova aelada nos eos orogonas, defndos pelos L PCs aravés de. Por sso, os valores de enconrados pelo algormo de curvas prncpas são usados para renameno das duas redes neuras que defnrão os

50 50 parâmeros w s e θ s das funções não lneares f e g (amas as funções sgmódes). Novamene, e ˆ são odos aravés das equações (37) e (38), respecvamene. Harka e al. (003) propõem uma esraéga de monorameno semelhane ao que fo descro acma. No enano, os auores sugerem o uso de funções de avação de ase radal (RBF, Radal Bass Funcons) nas camadas de projeção e de reconsrução. Nese caso a função sgmodal da eq. (36) ulada acma é susuída por uma RBF gaussana. Tem-se: c σ ( ) = ep, (39) s onde c e s represenam parâmeros de posção e dspersão, respecvamene, e são esmados a parr dos dados. Os auores mosram que o uso de funções RBF possla o renameno mas rápdo das duas redes neuras. Enreano, na camada de compressão (so é, de saída da rede de projeção e de enrada da rede de reconsrução), os auores usam apenas um nódulo, so é, os parâmeros da rede são ajusados somene em função do prmero PC não lnear (L=) NLPCA va kernel PCA Esa seção apresena uma alernava de conrole não lnear de processos em aelada aravés da ulação de Kernel PCA (KPCA) (a ase eórca dos kernels fo descra na seção..6). O procedmeno aqu descro fo proposo orgnalmene num raalho de Scholkopf e al. (998). Nese raalho, os auores apresenam aplcações da KPCA a prolemas de reconhecmeno de padrões de escra e elmnação de ruído (denosng). Lee e al. (004a) foram os prmeros a propor o uso de caras de conrole mulvaradas aseadas em KPCA no monorameno de processos conínuos. Na seqüênca, Lee e al. (004) propuseram caras de conrole aseadas em KMPCA (Kernel Mulway Prncpal Componen Analyss) para o monorameno de processos em aeladas. A KPCA consse na realação da PCA no espaço das funções não lneares dos dados. O mapa não lnear apresenado na eq. () é enão redefndo: Φ: IR PT F

51 5 Φ( ), onde F represena o espaço dos aruos, com dmensão (N F ) maor do que PT; o veor Φ( ), de dmensão ( N F ), é a represenação do veor, de dmensão ( PT), no espaço dos aruos F, dada por alguma função não lnear pré-defnda Φ( ) dos dados de enrada do veor. A parr desse mapa, capuram-se caraceríscas não lneares dos dados, as como correlações não lneares enre as varáves de processo. Consdere novamene o modelo PCA descro na eq. (). Os escores assocados aos L KPCs (Kernel PCs) do modelo são odos projeando as oservações da mar X, ulando o mapa Φ [conforme apresenado nas eqs. (9) e (0)]. Assm, a eq. (33) é reescra da segune forma: = Φ( ) F, =,...,B. (40) Analogamene à PCA lnear, F = f f... f ] represena a mar cujas colunas [ L conêm L funções lneares dos veores Φ( ), onde Φ ( ) é uma função não lnear de defnda a parr de um mapa-não lnear Φ. O veor coluna f (para =,...,L) represena o auoveor normalado u da mar de covarânca modfcada K, = K (, ) [apresenada na eq. ()], de dmensão (B B), onde K (, ) é um kernel das oservações [ver eq. (0)]., A KPCA defne uma ransformação lnear de L F IR, dada pelos auoveores u, onde F represena o espaço IR PT aumenado aravés de uma função Φ ), oda a parr do mapa Φ defndo. Da mesma forma, a epressão (34) é reescra para permr a reconsrução das oservações orgnas no modelo () em função dos KPCs. Tem-se: ( Φ ˆ ( ) G, =,...,B, (4) = onde G = [ g g... g F ] represena a mar conendo F veores coluna g g, cada um represenando uma função lnear dos L PCs (represenados por ). A KPCA reconsró

52 5 Φ ( ) [que passam a ser desgnadas por Φ ˆ ( ) ] aravés das funções g. Novamene, de manera análoga à PCA lnear, defne-se uma ransformação lnear nversa de realada aravés de veores auoveor q=,...,f e =,...,L. IR L F, g q, cujos elemenos são formados pela q ésma enrada de cada u e represenam os pesos da comnação lnear aplcada aos elemenos de, para Analogamene à PCA usual, o modelo descro na eq. (), para um dado número L de KPCs ulados, é o que mnma a mar E dos resíduos [dado pela eq. (5) com e odo aravés da eq. (4), ulando Φ ˆ ( ) e Φ ( ) no lugar de ˆ e, respecvamene]. O monorameno de uma nova aelada é realado aravés da projeção de Φ ( ) nos eos defndos pelos L KPCs aravés dos escores, calculados ulando a eq. (40) va kernel K, ) das oservações orgnas [eq. (0)]. Adconalmene, a parr de (, oém-se a reconsrução Φ ˆ ( ) da nova aelada no espaço F, ulando a eq. (4). Lee e al. (004a) demonsram que os lmes de conrole das esaíscas T e Q para monorameno dos Φ ) permanecem os mesmos em relação à PCA usual. O ( monorameno novamene é feo aravés das equações (7), (8), (3) e (3). Deve-se enender que a NLPCA aravés da KPCA dfere das aordagens de NLPCA aseadas em redes neuras e curvas prncpas em alguns aspecos. A KPCA consse em aplcar uma PCA lnear no espaço F (e não no espaço IR PT ) das funções não lneares Φ das oservações. As funções para projeção (f) e reconsrução (g) são lneares e represenadas pelos auoveores u. Dferenemene, a NLPCA aravés de redes neuras e curvas prncpas ulam funções f e g não lneares para projeção e reconsrução das oservações [funções do po sgmóde ou do po RBF; ver equações (35), (36) e (39)]. Ressala-se amém que, ao conráro da PCA lnear e da NLPCA va redes neuras e curvas prncpas, a KPCA pode gerar um número L de KPCs maor do que o espaço de enrada IR PT. Apesar de L < N F, dependendo da escolha do mapa não lnear, o veor Φ () pode er dmensão muo superor à dmensão do veor (conforme dscudo na seção..3).

53 53 A KPCA apresena algumas vanagens em relação às redes neuras pelo fao de que os KPCs não são odos aravés de algormos de omação, mas sm apenas aravés de uma modfcação na mar de covarâncas, ulando álgera lnear (conforme vso na seção..6). Oura vanagem resde no fao de que a KPCA, a eemplo da PCA lnear, dsponla um número L, L + ou L - de KPCs de uma ve só. Dferenemene, as redes neuras são renadas para um número L pré-defndo de PCs, ou nódulos na camada de compressão (ver Fgura 6). Para L + PCs, por eemplo, nca-se o processo de renameno novamene. Por ouro lado, dferenemene dos modelos PCA e NLPCA va redes neuras, no modelo KPCA a eq. (4) reconsró apenas as oservações Φ () (so é, a KPCA gera auoveores u que represenam a projeção dos dados Φ () nas prncpas dreções de varaldade comum no espaço F). Enreano, para fns de nerpreação, necessa-se de alguma forma reconsrur as oservações orgnas., ou seja, oer as projeções nas dreções de varaldade comum no espaço de enrada IR PT. Burges (996) apresena uma proposa para esmar auoveores u do espaço IR PT a parr dos veores u gerados em F. Scholkopf & Smola (00) apresenam uma análse comparava do desempenho dos procedmenos NLPCA apresenados dane de prolemas de reconhecmeno de padrões de escra e elmnação de ruído...4 Procedmenos para Dagnósco A seção aneror apresenou uma revsão das prncpas aordagens de conrole para NLPCA. As écncas descras permem uma denfcação do esado do processo (so conrole ou fora de conrole) durane a realação de uma aelada nova. Em um segundo momeno, necessa-se dagnoscar as causas de um evenual pono fora de conrole assnalado pelas CCs, denfcando as varáves que apresenaram maores desvos em orno dos seus padrões. Algumas aordagens de dagnóscos para NLPCA esão dsponíves e consuem procedmenos a poseror em relação às CCs T e Q aseadas na KPCA (descras na seção.3.3). Desacam-se os raalhos de Cho e al. (005) e Cho e al. (008).

54 54 Cho e al. (005) propõem uma aordagem que perme verfcar o peso de mporânca de cada varável nos valores das esaíscas T e Q, compuando o gradene da função kernel aravés da écnca sugerda por Rakoomamonjy (003). Consdere veores lnha de oservações =[,,,,...,,,..., PT, ], onde, PT IR, para =,...,B, e o veor lnha represena a oservação da ésma varável em uma nova aelada so monorameno. Resumdamene, adoa-se o kernel RDB Gaussano ( ) k, = ep σ ; defne-se um faor de escala dado pelo veor lnha v=[v,v,..,v,...,v PT ], onde v represena o valor do faor de escala referene à, ; e escreve-se a função kernel defnda como ( v ) v, = k ep v v σ. Por ouro lado, sae-se que as esaíscas T e Q podem ser escras em função de kernels. Assm: T = C - e Q = k(, ), com B s, = αs, k(, ) = [eq. (0)]. represenando o s ésmo valor de, referene ao s ésmo PC A conrução da ésma varável em T e Q é dada, respecvamene, por C k T,, T = v e ( v v ) j C Q, =, que represena a dervada da função kernel v Q,, em relação à v. Os auores apresenam uma aplcação dessa aordagem de dagnósco dane de um processo smulado com duas varáves. Cho e al. (008) apresenam uma aordagem semelhane à proposa de Cho e al. (005). Enreano, numa fase de pré-processameno, eraem coefcenes de waveles dos veores e, gerando novos veores ~ e ~. A análse da conrução da ésma varável em T e Q é realada novamene aravés de C T,, T = v e

55 55 C Q -, =, onde T = C v Q, ( ~ ~,, Q = k, ) B com s, = α ( ~, ~ s, k ). =.3 MÉTODO STATIS Nesa seção é apresenado o méodo Sas para análse mulvarada de dados. A eemplo do que fo feo na seção. em relação ao kernel, o ojevo aqu é a ulação de al méodo no monorameno de varáves quanavas de um processo ndusral por aeladas. Aravés do méodo Sas são analsadas esruuras rdmensonas de dados ulando-se meddas de smlardade aseada em produos nernos canôncos. Na seção.3. são feas algumas consderações ncas sore o méodo, em como a esruuração de dados necessára para sua aplcação no coneo dese raalho. A seção.3. apresena a análse da ner-esruura dos dados. Na seção.3.3 é apresenada a análse da nra-esruura dos dados. Por fm, a seção.3.4 apresena as consderações fnas com uma dscussão comparava enre as meodologas aseadas no Sas e na MPCA..3. Consderações Incas O méodo Sas perme a análse de esruuras rdmensonas de dados, avalando a smlardade enre mares dmensonas em um plano de dmensões redudas (ESCOUFIER, 987; LAVIT e al., 994). Consderando que o neresse aqu é a análse de dados orundos de processos em aeladas (conforme descro na seção..), a esruura rdmensonal nese coneo ra dados de referênca acerca de B mares dmensonas X. Cada mar X, de dmensão (T P), coném veores lnha padronados (so é, cada varável em X esá com os valores suraídos da méda e dvddos pelo desvo padrão da sua coluna) que represenam medções de P varáves de processo durane T nsanes de empo, conforme esquemaado na Fgura 8. Tem-se enão uma esruura com P varáves T nsanes de empo B aeladas.

56 56 Fgura 8 - Arranjo de dados para análse va Sas Fone elaorada pelo auor O méodo Sas fo proposo ncalmene por Escoufer (973), e sua aplcação em MSPC de processos em aeladas fo proposa por Scep (00) e aprmorada por Foglao & Nang (008). A esruuração de dados apresenada acma cumpre dos ojevos: a) Represenar em um espaço de dmensões redudas a correlação enre as mares dmensonas apresenadas na Fg. 8. Mas especfcamene, verfca-se a correlação enre as P varáves das mares X e X, no conjuno dos T nsanes. Esá análse perme verfcar o comporameno gloal das varáves de uma nova aelada em relação à esruura de referênca capurada enre as B aeladas. Ese ojevo é alcançado aravés da análse da ner-esruura. ) Represenar em um espaço redudo a correlação méda (ou de compromsso) enre os T nsanes, dos a dos, consderando odas as P varáves de processo. Em ouras palavras, oém-se a correlação emporal méda do conjuno das varáves de processo, consderando as B aeladas na amosra de referênca. Esa análse usca denfcar, a cada nsane de empo ranscorrdo na nova aelada, possíves desvos sgnfcavos em relação ao comporameno emporal de compromsso do conjuno das varáves. Ese ojevo é alcançado aravés da análse da nra-esruura.

57 57.3. Análse da Iner-Esruura X, uma mar Para dar níco à descrção da análse da ner-esruura, defne-se, para cada mar W = XX, de dmensão (T T), onde Genercamene, pode-se escrever essa mar da segune forma: X ndca a ransposa da mar X. O N W =,, para, =,...,T e =,...,B. (4) N O Os elemenos dessa mar correspondem ao produo nerno enre os veores lnha e de X (Fg. 8), com medções das P varáves nos nsanes e, respecvamene. Consderando que os dados esão padronados, pode-se enender que a mar medda de correlação do conjuno das varáves enre nsanes de empo na ésma análse das nformações desa aelada por esa mar prora os nsanes de empo. W ra uma aelada. A Imporane oservar que se a esraéga é prorar uma descrção do comporameno das varáves sore odos os nsanes, a análse aravés do méodo Sas é realada ulando uma mar V = X X, de dmensão (P P), so é, uma mar que represena a correlação enre as varáves na ésma aelada. Esa esraéga é denomnada méodo Sas Dual. O ojevo prncpal aqu é eplcar uma caraceração resumda do comporameno conjuno de varáves em cada nsane de empo. Enreano, a meodologa de conrole que será apresenada no capíulo 3, ula o Sas Dual como complemeno do Sas para dagnoscar dsúros nas varáves de um processo so nvesgação. Calcula-se agora uma medda de smlardade enre pares de mares produo nerno canônco de Hler-Schmd (ESCOUFIER, 973), dado por: W aravés S = W W DW DW ), (43) = Tr ( HS onde Tr ( ) represena o operador de raço marcal, e D é uma mar dagonal, de dmensão (T T), conendo os pesos de mporânca para os nsanes de empo. Tem-se enão:

58 58 D L 0 D = M O. 0 L D T A dferencação de pesos de mporânca para os nsanes denro de uma aelada é aproprada em algumas suações. Prmero, quando em deermnados nsanes da aelada ocorrer mudanças relevanes no processo devdo à roca de maeras, realmenação de algum ssema, adção de maéras prmas, mudança de fase, ec. Essas poencas fones de desajuses das varáves do processo devem promover uma nensfcação do conrole e os nsanes de empo em que elas ocorrem devem, assm, receer maor peso de mporânca em relação aos demas. Segundo, quando processos forem caracerados por aeladas de empo varável. Nese caso, nem odos os nsanes de empo são oservados com a mesma freqüênca nas aeladas da amosra de referênca e os pesos de mporânca dos nsanes são proporconas à sua freqüênca. Ese raalho consdera apenas processos por aeladas de empo fo e cujas causas de varaldade não desejadas ncdem unformemene nos nsanes. Medane as pressuposos, odos os nsanes de empo receem mesmo peso, ou seja, D=I/T. (44) O valor de S ndca o grau de smlardade enre as P varáves nas mares W e W. Essa medda de smlardade enre mares é semelhane à medda de smlardade enre veores, pos a eq. (43) é uma eensão do produo nerno enre veores quando esamos dane de mares quadradas. Nese raalho consdera-se que as varáves esão padronadas e que as mares W esão normaladas (so é ula-se W / Tr( DW DW ) no lugar de W ). Nese caso, a eq. (43) represena o coefcene de correlação lnear veoral (coefcenes RV) enre as mares W e W. Esa medda represena o quadrado do coefcene de correlação lnear de Pearson enre as varáves das mares X e X (ver em LAVIT el al., 994). Por eemplo, se S = 0, enão as P varáves em X apresenam correlação lnear nula com as P varáves em X. Iso ndca que o perfl das varáves ao longo dos nsanes em X e X é dferene. Em

59 59 conraparda, se S =, a correlação lnear enre as P varáves de X e X é perfea, ndcando perfl gual das varáves em amas as mares. As correlações lneares veoras enre W e W esão descras na mar O N S = π S, (45) N O onde π = M 0 L O L 0 π B ra os pesos de mporânca π (para =,...,B) aruídos às B aeladas. A mar em dmensão (B B) e deve ser deermnada a parr da análse da conformdade do produo fnal resulane de cada aelada em relação às suas especfcações. Assm, aeladas com resulado mas prómo do alvo das especfcações devem receer maor peso nesa mar. Caso não se dsponha dessa nformação, consdera-se odas as aeladas com o mesmo peso; so é: = I B. (46) Imporane desacar que os elemenos na dagonal prncpal da mar descra na eq. (45) são guas a B, pos, como as mares W esão normaladas, so é, com W / Tr( W W ) no lugar de W, enão = π. S. Logo, S = B Para oer uma caraceração resumda da esruura de correlação enre as B aeladas, aplca-se a PCA na mar S. Iso é feo aravés da sua dagonalação para seleção dos maores auovalores λ e respecvos auoveores u (com =,...,B), que represenam a localação das mares W nas prncpas dreções orogonas de varaldade comum em S. Consderando que a correlação enre as B aeladas ende a ser sgnfcava, já que se raa de aeladas de referênca com comporameno smlar, espera-se oer uma

60 60 represenação sufcene da esruura descra em S com um número redudo de eos orogonas. Nese caso, poucos PCs eplcam pare susancal dessa esruura. O percenual da varânca gloal conda em S, eplcada pelo ésmo PC é dado por ( λ / B λ = ) 00. Créros para seleção do número de PCs sufcenes para a represenação da ner-esruura esão dsponíves na leraura. Mngo (005) apresena uma dscussão sore o assuno. A represenação das B aeladas nos novos eos orogonas é realada ulando os auoveores u. Assm, cada elemeno u, de u ponderado pelo desvo padrão do PC correspondene (dado pela ra quadrada do ésmo auovalor) represena a posção da ésma aelada no ésmo eo orogonal. Tem-se enão: =, (47) a, λ u, onde a, é a coordenada que represena essa posção. A Fgura 9 apresena, de manera resumda, o esquema geral da análse da ner-esruura. Fgura 9 - Esquema geral da meodologa de análse da ner-esruura Fone adapada de Foglao & Nang (008)

61 6.3.3 Análse da Inra-Esruura A análse da nra-esruura é realada a parr da oenção de uma mar de compromsso W, que represena a esruura de correlação méda em par (consderando as B aeladas de referênca) enre os T nsanes de empo. Enende-se que a mar W apresena o comporameno emporal do conjuno das varáves nos nsanes de uma aelada deal, so é, que ranscorreu na méda. A mar W é oda aravés da soma ponderada das B mares de referênca, ulando a segune epressão: B W = α W, = ou, a parr da mar mosrada na eq. (4), pode-se escrever eplcamene o elemeno genérco da mar W. Tem-se: O N B W = α,, para, =,...,T. (48) = N O Lav e al. (994) demonsram que a comnação lnear que melhor relacona as mares W com W esá assocada ao maor auovalor (λ ) da mar S e ao seu auoveor correspondene (u ). Assm, os pesos α são odos da segune forma: α = u, (49) λ B, onde u, represena o ésmo elemeno do veor u referene à ésma aelada. Para oer uma caraceração resumda da esruura de correlação de compromsso das P varáves nos T nsanes de empo, a eemplo do que fo feo na análse da ner-esruura, aplca-se uma PCA na mar WD. Iso é feo aravés da sua dagonalação para seleção dos maores auovalores δ e respecvos auoveores ε (com =,...,T), que descrevem a posção das oservações médas, so é, da mar X deal, em um número redudo de eos, dervados das prncpas dreções orogonas de varaldade comum em WD.

62 6 Assm como na análse da ner-esruura, ressala-se que nas B aeladas de referênca, o comporameno emporal do conjuno das varáves é smlar. Dessa forma, poucos PCs devem ser sufcenes para descrever de manera sasfaóra da esruura conda em WD. A represenação da esruura de compromsso (so é, do agregado das varáves em cada nsane de empo da aelada méda) nos novos eos orogonas é realada ulando os auoveores ε. Cada elemeno ε, de ε, ponderado pelo desvo padrão do PC correspondene (dado pela ra quadrada do seu ésmo auovalor ), represena a posção do ésmo nsane de empo de compromsso no ésmo eo orogonal. Tem-se enão: =, (50), δε, onde, é a coordenada que represena essa posção. Para comparar, em cada nsane, o comporameno do conjuno das P varáves da ésma aelada W, em relação à aelada de compromsso W, oém-se a represenação de cada mar W nos novos eos orogonas. Iso é feo modfcando a eq. (50) da segune forma:, = w ε, (5) δ T onde ε é o veor ransposo do veor lnha ε, w represena a ésma lnha de W e, é o valor que represena a posção no ésmo eo orogonal da ésma aelada no ésmo nsane de empo. A Fgura 0 apresena de manera resumda o esquema geral da análse da nraesruura.

63 63 Fgura 0 - Esquema geral da meodologa de análse da nra-esruura Fone adapada de Foglao & Nang (008) Em resumo, consderando uma nova aelada so nvesgação, a análse da ner-esruura permrá comparar o comporameno gloal das P varáves no conjuno dos T nsanes de empo dessa aelada, em relação à esruura de correlação de referênca enre as varáves de W e W, condas na mar S. Em conraparda, aravés da análse da nra-esruura usca-se denfcar, a cada nsane de empo, o comporameno das varáves dessa nova aelada em relação ao comporameno de compromsso nese nsane..3.4 Consderações Fnas É mporane desacar que a esruura rdmensonal de dados gerados a parr da oservação de um processo em aeladas pode ser desdorada em esruuras dmensonas

64 64 com arranjos dferenes em relação ao esquema mosrado na Fg. 8, dependendo da esraéga de monorameno de neresse das varáves de processo. O procedmeno de conrole de processos em aeladas consagrado denomnado Análse de Componenes Prncpas Muldreconas (MPCA, Mulway Prncpal Componen Analyss), fo descro na seção... A MPCA desdora esa esruura rdmensonal descra na Fg. 8 em uma únca mar dmensonal de dmensão (B TP); ver Fgura 6. Nese caso, cada uma das P varáves de processo é raada como uma varável de análse dsna, e, ao aplcar-se a PCA nas colunas dessa mar, capura-se de alguma forma uma esruura de correlação emporal das varáves no agregado das B aeladas de referênca. As caras de conrole geradas por esa meodologa (Cara de Hoellng e Cara Q para os resíduos; descras na seção..) fornecem apenas um escore gloal para classfcar uma nova aelada so nvesgação, so é, no agregado dos nsanes de empo. A MPCA amém ula uma cara de conrole aular a esas duas (denomnada Gráfco de Conrução; ver Marcondes Flho, 00) que perme de alguma forma verfcar o comporameno das varáves de processo denro de cada nsane de empo. Em conraparda, a meodologa proposa nese raalho (ulando a écnca Sas) perme, aravés da análse da nra-esruura, a ulação de caras de conrole para nvesgar o comporameno de uma nova aelada eplcamene em cada nsane de empo. Dessa forma, oém-se T caras, uma para cada nsane. Ressala-se oura dferença mporane enre a MPCA e o Sas. A MPCA defne caras de conrole a parr de um modelo esaísco ( X = L = u + E ); a cara de Hoelng raalha com um número redudo de varáves (ou PCs, represenados por, ), odos aravés das projeções das aeladas (realadas aravés de = ); e a cara Q, u, monora o erro de represenação (dado por E) do processo aravés dos PCs. O méodo Sas consu-se em uma écnca eploraóra para represenar dados mulvarados descros em mares X (conforme Fg. 8) em um número redudo de eos orogonas. Enreano, eses eos não se consuem em novas varáves de análse (ou PCs), mas apenas uma nova ase para posconar os dados da aelada X, ulando um número

65 65 menor de coordenadas, e que são dadas pelos elemenos u, dos auoveores u gerados pela PCA. Como o Sas, dessa forma, não se confgura em um modelo, não ese uma medda de ajuse dervado do erro de projeção em um número dedudo de PCs, pos a projeção não é realada. Nese caso, ula-se apenas uma medda de erro de represenação de cada aelada em um número menor de coordenadas. Essa medda é apresenada no capíulo 3. Fnalmene, a meodologa de conrole a ser apresenada no prómo capíulo comna os procedmenos de análse descros acma (análse da ner-esruura e da nraesruura) com a ulação de um kernel polnomal (descro na seção..3). Esa aordagem será proposa para monorameno do comporameno de aeladas geradas aravés de um ssema com não-lneardades presenes.

66 66 3 METODOLOGIA Ese capíulo apresena uma meodologa de conrole para o monorameno de varáves de um processo em aeladas. Tal meodologa asea-se na ulação do méodo de análse Sas em comnação com um kernel polnomal para capurar a correlação não lnear enre as varáves so nvesgação. Nas seções que se seguem, são apresenados os susídos necessáros para enendmeno da proposa meodológca. A seção 3. apresena a descrção da análse da ner-esruura comnada com o kernel polnomal. A seção 3. apresena a descrção da análse da nra-esruura comnada com o kernel polnomal. A seção 3.3 apresena a ase eórca das Caras de Conrole para monorar a ner-esruura dos dados [denomnada CC kis (Kernel Iner Srucure)] e das Caras de Conrole para monorar a nra-esruura dos dados [denomnadas CCs kco (Kernel Compromse)]. Adconalmene, é proposa uma aordagem para dagnósco de desconroles aponados pelas CCs kco. Fnalmene, na seção 3.4 são apresenadas algumas consderações fnas sore a meodologa proposa. 3. STATIS VIA KERNEL POLINOMIAL (INTER-ESTRUTURA) Na seção 3. fo apresenada a ase eórca do méodo Sas para análse da neresruura, num coneo de correlações lneares enre varáves. Propõe-se agora uma modfcação nesa análse, redefnndo as esaíscas que passam a ser descras em função de um kernel polnomal. Ese procedmeno será denomnado Kernel-Sas. Consdere novamene os dados referenes a B aeladas. Têm-se enão B mares X, de dmensão (T P), composas por veores lnha, de dmensão ( P), de dados padronados represenando medções das P varáves de processo no ésmo nsane da ésma aelada (conforme apresenado na Fg. 8). Defne-se um mapa não lnear Φ, como proposo na eq. (). Tem-se enão: Φ: IR P F Φ ). (

67 O veor ) Φ, de dmensão ( N F ), onde N F = ( d + N ) ( 67!, esá no espaço de d!( N )! aruos F e represena o veor amplado, cujos elemenos represenam odos os monômos de ordem d dos elemenos do veor. Decorre dsso que, no espaço F, a mar X passa a er dmensão (T N F ), conendo assm T veores lnha Φ ). Aravés da eq. (4) oém-se a mar quadrada ( W, de dmensão (T T), onde cada elemeno represena o produo nerno canônco enre os veores Φ ( ), dos a dos. Enreano, esses produos nernos enre os Φ ( ) no espaço F podem ser realados em função das oservações orgnas, aravés do produo nerno modfcado enre as oservações descro na seção..3.. Ula-se, nesa proposa, o kernel polnomal ( ) k =,,, d Oém-se, enão, a mar kernel W (desgnada por k W ) a parr das mares X no espaço orgnal das oservações mar apresenada na eq. (4) é enão reescra como segue: [so é, X novamene com dmensão (T P)]. A k W = X X, onde X represena a mar ransposa de X, ou, eplcamene, como: k O N d W = k(, ) =,, para, =,...,T e =,...,B, (5) N O Cada elemeno da mar k W descreve uma medda de correlação emporal de ordem d enre os nsanes e, do conjuno das P varáves de processo, na ésma aelada. No passo segune as mares k W devem ser normaladas (assm como fo feo com as mares W ). Para ano, no lugar de W k reescreve-se k k W Tr( D W D W ), onde D represena a mar de pesos defnda na eq. (44). /

68 68 A segur oém-se a medda de smlardade enre as mares k W e k W, descra na eq. (43), em função do produo modfcado dado pelo kernel k, ) =, (. A d k k epressão S = Tr ( D W D W ) é, enão, reescra como: kernels = [ k(, T ) k(, ) + k(, ) k(, ) + + k(, ) k(, ) + + T T T T k(, ) k(, ) + k(, ) k(, )], para, u=,...,t e v (53), u u u Conforme dscudo na seção.3., quando se ula o produo nerno usual [so é, (, ), ] nos elemenos de W, k = S represena o quadrado do coefcene de correlação lnear de Pearson enre as P varáves das mares X e X. A ulação da mar k k W, defnda na eq. (5), gera uma medda kernel S (aqu desgnada por S ) que represena o quadrado da correlação não lnear (de ordem d) enre as varáves das mares X e X. Em ouras palavras, deve-se enender que o valor de k S ndca o grau de semelhança (agora no coneo não lnear ) no perfl das P varáves, no conjuno dos nsanes, em X e X. O resulado da análse da ner-esruura das B mares X é armaenado na mar S [eq. (45)], reescra da segune forma: k O S B N k = S N, (54) O onde = I B, como defndo na eq. (46). Na eapa segune, oém-se uma represenação resumda da ner-esruura, k aplcando a PCA na mar S. A represenação das aeladas X em um número redudo de eos orogonas é realada aravés dos respecvos auoveores u e auovalores λ assocados, conforme descro na seção.3..

69 69 3. STATIS VIA KERNEL POLINOMIAL (INTRA-ESTRUTURA) Analogamene ao que fo eposo na seção 3., esa seção apresena a análse da nra-esruura descra na seção.3.3, acrescda de um kernel polnomal. A análse nra-esruura é realada a parr da oenção de uma mar compromsso W que descreve uma medda de correlação emporal enre os nsanes e, do conjuno das P varáves de processo numa aelada de referênca., so é, descreve o comporameno emporal padrão do conjuno das varáves. A mar de compromsso W é oda aravés de uma comnação lnear das mares W, conforme descro nas eqs. (48) e (49). Consderando novamene a mar k W defnda na eq. (5), a mar W pode ser enão redefnda em função do kernel polnomal, da segune forma: k B k W = α W, = ou, eplcamene, como: k W O N B N B d α k(, ) = α,, para, =,...,T, (55) O = = = onde k W é a mar kernel de compromsso e α são os pesos da comnação lnear, dados k pelos respecvos elemenos do auoveor u (referene ao maor auovalor λ ) da mar S. A eapa segune consse em uscar uma represenação resumda da nra-esruura, aplcando a PCA na mar k W. Dessa forma, a represenação da correlação emporal (no coneo não lnear) enre os nsanes e da aelada padrão é oda em um número redudo de eos orogonas, realada aravés dos respecvos auoveores ε e auovalores δ assocados, conforme descro na seção.3.3.

70 CARTAS DE CONTROLE PARA INTER E INTRA-ESTRUTURAS Esa seção apresena a consrução das caras de conrole (CCs) conendo uma represenação resumda das aeladas X a parr do méodo Sas comnado com kernels (Kernel-Sas apresenado acma). As CCs kis e kco represenam uma complemenação das CCs proposas por Foglao & Nang (008), permndo a análse não lnear, va kernels, dos dados condos em X. A seção 3.3. descreve a cara kis, dervada da análse da neresruura, e a seção 3.3. descreve a cara kco, dervada da análse da nra-esruura Cara kis k A CC kis proposa apresena a esruura descra em S no prmero plano faoral resulane da aplcação da PCA nesa mar. Dessa forma, a represenação das B aeladas de referênca X nese plano é fea pelos dos auoveores u assocados aos dos maores k auovalores λ de S. Consdere, enão, λ e λ represenando os dos maores auovalores e u e u seus respecvos auoveores assocados. Aravés da eq. (47) oêm-se as coordenadas da ésma aelada no prmero plano faoral da CC kis, que são dadas por: a = a, a ) = ( λ u, λ u ), para =,...,B. (56) (,,,, A CC kis descreve no prmero plano faoral a confguração de referênca em B aeladas X odas num processo so conrole esaísco, ou seja, em-se a correlação não lnear de referênca enre as P varáves de ner-esruura é dado pela segune função perda: X e X. O erro relavo de represenação da FP INTER = B = 3 B = λ λ 00. (57) O passo segune consse em oer uma regão de conrole para a CC kis que esaeleça um lme de varação da correlação (não lnear) padrão enre as varáves de X e

71 7 X. Dferenemene do que usualmene é feo nas CCs mulvaradas, a regão de conrole será deermnada aravés de um procedmeno onde nenhuma dsrução de proaldade é assumda como geradora, a pror, do conjuno compleo de dados. O procedmeno que será apresenado consu-se numa adapação proposa por Foglao & Nang (008), para o coneo de CCs, do que esá descro em Zan e al. (998). Incalmene, calcula-se o pono que represena o veor méda ( a, a) dos veores a, a ), para =,...,B, onde a = a B) e ( a = a B). A segur, oém-se a (,, B ( =, dsânca de Mahalanos enre os veores a = a, a ) e a = ( a, a). Tem-se enão (RENCHER, 995): B = (,,, D = ( a a) H ( a a), para =,...,B, (58) onde ( a a) represena o veor lnha de dferenças enre os veores a e a, cujo veor ransposo é dado por ( a), e a, a, s e os s. a H é a mar nversa da mar H de covarâncas enre os A segur, as B dsâncas D são ordenadas em ordem crescene e as 50% menores dsâncas são redas. Os veores a correspondenes formarão o conve hull (polígono) de arangênca 50% no prmero plano faoral. A Fgura apresena um eemplo dese procedmeno com 40 veores a represenados em um plano faoral. Oserva-se que as aresas do polígono nerno (descro em verde) são composas por oo ponos lmírofes, formando, uma regão conendo apenas os 0 ponos de menor valor Defnu-se, assm, o conve hull de arangênca 50%. D no seu neror. Nese momeno, oém-se a epansão da regão formada pelo conve hull a parr de um faor de escala. Para ano, defne-se um múlplo l da dsânca D enre o cenróde (represenado pelo veor a, odo a parr dos veores represenados pelos ponos nernos do polígono) e os ponos lmírofes do polígono de arangênca 50%. O valor de l é deermnado a parr da proaldade de alarme falso α (ou erro do po I) desejada para a CC, com a suposção de que os dados a do neror do polígono (so é, apenas os 50% de menor valor

72 7 D ) sgam uma dsrução normal varada; ver dealhes em Zan e al. (998). A Fg. apresena o polígono nerno epanddo, formando o polígono eerno descro em vermelho. Nese caso, ulou-se o valor l=,68, para α=0,0. Fgura - Esquema geral para deermnação da regão de conrole Fone elaorada pelo auor Fnalmene, uma curva do po B-splne é ajusada aos novos ponos lmírofes, so é, que formam as aresas do polígono eerno (uma descrção sore B-splnes é enconrada em HASTIE e al., 00). Busca-se unr os novos ponos lmírofes crando um conorno suavado ao nvés de smplesmene unr os ponos por reas. A Fg. mosra a regão de conrole da cara delmada pelo conorno descro em aul. Deve-se noar que 4 ponos (denre 40) fcaram fora da regão de conrole. Ese resulado esá denro do esperado, dada a proaldade de alarme falso α=0,0 adoada na cara Conrole Off-Lne aravés da CC kis Aravés da regão de conrole, deermnada a parr das B aeladas X de referênca, e com proaldade α de alarme falso, procede-se o monorameno da aelada nova, aqu denoada por X B+. A mar X B+ em dmensão (T P), assm como X, e coném em cada lnha veores B+. B + com medções de P varáves de processo no ésmo nsane da aelada

73 73 Prmeramene, a eemplo do que fo feo em X, padronam-se as oservações B + da mar X B+. No passo segune, oém-se a mar k W B+ aravés da eq. (5) e, após, normala-se k k k esa mar (so é, ula-se W Tr( D W D W ) no lugar de k W B+ ). B+ / B+ B+ Cada elemeno da mar k W B+ descreve uma medda de correlação emporal (não lnear) enre os nsanes e, do conjuno das P varáves na aelada nova X B+. A segur, calcula-se a medda de smlardade enre a aelada nova X B+ e as aeladas de referênca X. Assm, aravés da eq. (53) oém-se o valor D k S, para =,...,B e D=I/T [eq. (44)]., B+ Fnalmene, oém-se a represenação da aelada X B+ no prmero plano faoral da CC IS aplcando a PCA na mar descra na eq. (54), com a nclusão dos valores k S. Em ouras palavras, dagonala-se a segune mar:, B+ k S B+ k S B = k S ( B B + ) O N k S B k S B k S B ( B+ ) N O k S B M k S B M M k S B k S( B B B B BB + ) B k S B k S B k S B k S ( B B B+ B+ BB+ + )( B+ ), (59) para, =,...,B. A mar, agora de dmensão [(B+) (B+)], é reescra da segune forma:

74 L 0 0 B 0 0 L 0 0 B = 0 0 L 0 0 B. (60) M M M O M M L 0 B L 0 0 Esa mar corresponde à mar da eq. (46), de dmensão (B B), com a nclusão da B ésma + lnha e B ésma + coluna, com odos os elemenos guas a ero. Dessa forma, a dagonalação da mar k S B+ rá gerar os valores para represenação da aelada nova X B+ no mesmo plano faoral onde as oservações X esão represenadas na CC kis [ou seja, no mesmo par de eos orogonas odos na dagonalação da mar eq. (54)]. k S, descra na O par de valores que represena a projeção da aelada nova na CC kis é dado pela eq. (56), reescra como: a a, a ) ( λ u, λ u ), (6) B+ = (, B+, B+ =, B+, B+ onde u, B+ e u, B+ represenam, respecvamene, o B ésmo + elemeno dos auoveores u e u, e λ e λ os seus auovalores assocados. Essa represenação ndca o grau de correlação no coneo não lnear enre as P varáves da nova aelada X B+ e das aeladas de referênca X, par a par. A CC kis rá snalar um ndíco de que o processo esá fora de conrole esaísco quando um pono a B+ esver fora da regão esaelecda. Essa suação ndca evdêncas de que, nesa aelada, pelo menos uma denre as P varáves apresenou correlação não lnear com as varáves das aeladas de referênca sgnfcavamene dferene do esperado Cara kco As CCs kco proposas apresenam a esruura de compromsso das mares k W, descra na mar k W [eq. (55)], no prmero plano faoral resulane da aplcação da PCA

75 75 nesa mar. A represenação das B mares de referênca k W (que raem uma correlação padrão não lnear enre os nsanes e do conjuno das P varáves das aeladas X ) no prmero plano faoral referene ao ésmo nsane é fea pelos dos auoveores ε assocados aos dos maores auovalores δ de k W. Consdere enão δ e δ represenando os dos maores auovalores e ε e ε seus respecvos auoveores assocados. Aravés da equação eq. (5), oêm-se enão as coordenadas do ésmo nsane da ésma aelada no prmero plano faoral das CCs kco, que são dadas por: c k k = ( c,, c, ) = ( w ε, w ε ), para =,...,T, (6) δ T δ T onde k w represena a ésma lnha da mar k W. das aeladas As CCs kco descrevem, no prmero plano faoral, a confguração de referênca k W, odas num processo so conrole esaísco, ou seja, o comporameno emporal padrão do conjuno das P varáves em uma aelada conforme. O erro relavo de represenação da nra-esruura é dado pela segune função perda: FP INTRA = T = 3 T = δ δ 00. (63) O procedmeno para a oenção da regão de conrole para as CCs kco é análogo ao da CC IS. Incalmene, calculam-se as dsâncas D,, ulando a eq. (58) em relação aos d veores c. A segur, ula-se o procedmeno descro na seção aneror e oém-se, assm, uma regão de conrole a parr do ajuse de curvas do po B-splne Conrole Off-Lne aravés das CCs kco Analogamene à CC kis, deermna-se a regão de conrole das CCs CO a parr das aeladas de referênca, com proaldade α de alarme falso. Consdere novamene a mar

76 76 X B+, cujos dados foram padronados e a mar k W B+ (com k k k W Tr( D W D W ) no lugar de k W B+ ). B+ / B+ B+ A represenação, no ésmo nsane, do comporameno emporal das P varáves em X B+ na cara kco é oda aravés da eq. (6), reescra da segune forma: c B+ B+ B+ k B+ k B+ = ( c,, c, ) = ( w ε, w ε ), para =,...,T, (64) δ T δ T onde k w represena a ésma lnha da mar k W B+. B+ pono As CCs kco rão ndcar que o processo esá fora de conrole esaísco quando um B+ c, para =,...,T, esver fora da regão esaelecda. Essa suação ndca evdêncas de que, no ranscurso da nova aelada, o comporameno emporal não lnear do conjuno das P varáves dferu sgnfcavamene em relação ao esperado (so é, em relação ao descro na mar de compromsso k W ) Conrole On-Lne O conrole on-lne de uma aelada nova é realado durane sua progressão no empo a cada nsane * T, onde * corresponde ao mas recene nsane de empo no qual as P varáves de processo foram amosradas. Assm, apenas uma pare da mar de dados X B+ esá dsponível, e as nformações falanes devem ser esmadas de alguma manera. O créro que será usado é análogo ao que fo proposo por Foglao & Nang (008). Incalmene, defne-se a mar ncomplea de dados X ~ B+ da segune forma:

77 77 ~ X B+ B M B g M B * = B * M B q M B T , (65) onde os veores lnha B + g, de dmensão ( P), para g *, coném oservações dsponíves das P varáves aé o nsane aual * da aelada; e B + q, para * + q T, represenam veores de oservações anda não dsponíves, relavas aos nsanes fuuros da aelada em curso. k ~ ~ ~ No passo segune, oém-se a mar W X ( X ), de dmensão (T T), B+ = B+ B+ ~ conendo os produos nernos enre os veores lnha de X B+ dados pelo kernel escolhdo. Enreano, dferenemene da mar k W B+ oda a parr da mar complea X B+, descra na epressão (5), a mar k ~ WB+ apresena apenas uma su-mar, de dmensão ( * * ), raendo as nformações dsponíves na mar X ~ B+. Os elemenos das demas su-mares de k ~ W B+ dependem de B+ q e são esmados a parr da mar de compromsso k W, apresenada na epressão (55). A déa é verfcar o comporameno emporal da aelada nova aé o nsane aual *, assumndo que nos prómos nsanes da aelada as varáves enham um comporameno denro do padrão apresenado nas B aeladas de referênca.

78 78 segue: Eplcamene, pode-se escrever a mar k ~ W B+ parconada como se Oserva-se que os elemenos das su-mares que deveram ser odos pelos B+ B+ B+ B+ B+ B+ produos nernos k(, ), k(, ) e k(, ) não esão dsponíves, e, porano, g q q g são esmados aravés da méda dos produos nernos k(, ) e (, ), respecvamene, descros na mar de compromsso k W. q q g q k q q A operaconalação do conrole on-lne va CC kis é realada aravés da mar k S B+ [epressões (53), (59) e (60)], oda a parr da mar apresenada na epressão (66). Após realar a PCA em k S B+, a represenação da aelada nova nas coordenadas (, B+, B+ a, a ) é oda aravés da epressão (6). Monora-se, dessa forma, a correlação no ~ coneo não lnear enre as P varáves da nova aelada X e das aeladas de referênca aé o nsane *. O conrole on-lne va CCs kco (que passam agora a ser denomnadas por CCs k CO * ) é realado ulando os veores lnha k ~ B+ w da mar k ~ W B+ descra na epressão k (66). Após aplcar a PCA na mar de compromsso W ~, oêm-se as coordenadas B +, +, B ( c, c ) para represenação da aelada nova aravés da epressão (64), reescra da segune forma: c B+ B+ B+ k ~ B+ k (, ) (, ~ B+ = c, c, = w ε w ε ), para =,...,T, (67) δ T δ T B+

79 79 onde k ~ B+ w represena a ésma lnha da mar k ~ W B+. Monora-se dessa forma o comporameno emporal não lnear das P varáves no ranscurso da aelada aé o nsane * Dagnósco Na seção..4 foram cados alguns procedmenos a poseror para dagnósco de dsúros no processo (so é, de causas especas de varação) em relação às CCs aseadas em KMPCA. Esa seção apresena uma aordagem de dagnósco em relação às CCs aseadas no Kernel-Sas, descras acma. Dada uma causa especal de varação assnalada pelas CCs kco (ou k CO * no conrole on-lne), as varáves que apresenaram maores desvos em relação ao padrão preesaelecdo (descro na mar k W denfcadas aravés do emprego do Sas Dual. de compromsso) são V O Sas Dual (cado na seção.3.) consse na análse Sas das mares = XX no lugar de XX W = (ou k W no Kernel-Sas), onde X represena a conhecda mar de dados, de dmensão T P, da ésma aelada. A parr dessa análse oêm-se as CCs CO p para aular no dagnósco de desconroles aponados pelas CCs kco. Consderando novamene que os dados da mar X esão padronados, a mar V, de dmensão P P, ra as correlações em par enre as varáves p e p, para p=,...,p. As mares V são usadas para oer uma caraceração do desempenho padrão de cada varáves no conjuno dos nsanes aravés da mar de compromsso V (semelhane a análse da nra-esruura realada a parr das mares W, descra na seção.3.3). Prmeramene, oém-se a mar R dos produos nernos enre as mares V. Analogamene ao que fo descro na epressão (43), em-se R = V V = Tr ( DVDV ), onde R represena o produo nerno canônco de HS Hler-Schmd. Adme-se que as varáves enham mesmo peso de mporânca na análse, D=I/P [eq. (44) adapada para o Sas Dual]. Consdera-se amém que as aeladas de referênca enham mesmo peso de mporânca, = I B [eq. (46)]. Dado que as mares V esão normaladas (so é, com V / Tr( DVDV ) no lugar de V ) a dagonal prncpal de R é dada por /B.

80 80 Em seguda, aplca-se a PCA na mar R para oer o auoveor h de maor auovalor ζ. A parr dsso, defne-se a mar de compromsso B V = β V, onde = h β =, com ζ B,, h represenando o ésmo elemeno do veor h, referene à ésma aelada. A mar V coném a esruura de correlação méda ou de compromsso enre as varáves no conjuno dos nsanes. Para oer uma caraceração desa esruura em um número redudo de eos orogonas, aplca-se a PCA na mar VD para gerar os maores auovalores θ e respecvos auoveores g (com =,...,P). A esruura de correlação das varáves condas em V é represenada em novos eos orogonas de manera semelhane ao descro na epressão (5). Oém-se enão y, p = v pg, onde g é o veor ransposo do veor lnha g, θ P v p represena a p ésma lnha de V e y, é o valor que represena a posção no ésmo eo p orogonal da p ésma varável na ésma aelada. As CCs CO p são enão consruídas conendo a esruura de correlação padrão das varáves no prmero plano faoral resulane da aplcação da PCA na mar VD. Consdere θ e θ represenando os dos maores auovalores, e g e g seus respecvos auoveores assocados. Analogamene ao que fo descro na epressão (6), enreano sem a ulação de kernels, oêm-se enão as coordenadas da p ésma varável da esíma aelada no prmero plano faoral da CC CO p, que são dadas por: c p = ( c, p, c, p ) = ( v pg, v pg ), para p=,...,p, (68) θ P θ P onde v p represena a p ésma lnha da mar V. O procedmeno para deermnação da regão de conrole das CCs CO p é o mesmo das CCs kco descro na seção Resumdamene, a parr dos ponos c p, oém-se uma regão de conrole ajusando uma curva do po splne ao conve hull gerado a parr das aeladas de referênca.

81 8 O dagnósco off-lne de uma nova aelada X B+ é realado comparando a esruura de correção das varáves conda na mar V B+ com a esruura de referênca conda nas CCs CO p. A represenação da p ésma varável em X B+ na cara é oda aravés da epressão (68), reescra da segune forma: c B+ p B+ B+ B+ B+ = ( c, p, c, p ) = ( v p g, v p g), para p=,...,p, (69) θ P θ P onde B+ v p represena a p ésma lnha da mar V B+. O conrole off-lne efevamene é realado aravés do uso comnado das CCs kco e CO p. Aravés das CCs kco, verfca-se se o comporameno emporal do conjuno das varáves ranscorreu denro do padrão esperado; enquano que nas CCs CO p verfca-se as varáves que apresenaram comporameno dferene do esperado no conjuno dos nsanes. Enreano, o dagnósco fca compromedo, pos, por eemplo, dado um snal de processo fora de conrole aponado nas CC k CO * para =7 (so é, no nsane 7 da aelada nova), não se sae se um evenual desvo aípco aponado pela CC CO p para p=3 (so é, na varável 3 ) aconeceu naquele nsane (so é, no nsane 7). Ese prolema é mnmado aravés do dagnósco on-lne. O dagnósco on-lne é realado aravés das CCs CO p adapadas para o monorameno on-lne realado pelas CCs k CO *, descras na seção 3.3.3, onde * T represena o mas recene nsane de empo da aelada nova em curso. As CCs CO p adapadas (que nese caso são denomnadas por CO p *) são odas ulando a mar ~ ~ ~ V ( ) B+ = XB+ XB+ no lugar de V B+, onde X ~ represena a mar ncomplea de dados defnda na epressão (65). B+ ~ A mar V ra as correlações em par enre as P varáves no conjuno dos B+ nsanes, odas aé o nsane *. A esruura conda na mar V B+ é comparada aravés das CCs CO p * com a esruura de correlação de referênca das varáves aé o nsane *, oda a parr das mares V ~ das aeladas de referênca. As regões de conrole das CCs CO p * são deermnadas analogamene ao que fo descro para as CCs k CO *.

82 A represenação da p ésma ~ varável em X na cara é oda aravés da epressão (69), reescra da segune forma: c B+ p B+ B+ ~ B+ (, ) (, ~ B+ = c, p c, p = v p g v p g), (70) θ P θ P B+ 8 onde ~ B+ v p represena a p ésma ~ lnha da mar V. B+ É mporane enender que o procedmeno de conrole va CCs kco (ou k CO * para o conrole on-lne) consdera correlações não lneares das P varáves empo a empo, pos ulam as mares W (ou Φ ( ) dos dados (mares k W ou W ~ ) modfcadas com a nclusão de uma função não lnear k W ~ ). Ressala-se que essas mares são orgnalmene do po K [como defndo na eq. ()], onde cada elemeno represena o produo nerno enre oservações, modfcado por um kernel k (, ) = Φ( ), Φ( ). Enreano, o procedmeno de dagnósco apresenado acma va CCs CO p (ou CO p* para conrole on-lne) consdera apenas correlações lneares enre as varáves, vso que ula a clássca mar de correlação lnear V (ou V ~ ). Dferenemene das mares W, as mares V são do po S [como defndo na eq. (3)], so é, cujos elemenos represenam produos nernos enre veores de varáves, e não enre veores de oservações. A seção..6 apresenou uma modfcação algérca na mar S, escrevendo esa mar como uma mar K para a KPCA. Tal como fo feo para KPCA, deve ser desenvolvda uma modfcação nas mares V que k perma a nclusão de funções kernels (, ) das oservações para dagnósco não lnear aravés do Kernel-Sas (mares k V, assm como k W ). O desenvolvmeno de CCs kco p (kernel CO p ) que consderem correlações não lneares enre as varáves devem ser proposas em raalhos fuuros. Ese raalho propõe uma aordagem para dagnósco não lnear que raalha dreamene no espaço caracerísco F dos veores de oservações Φ ), defndos a parr do mapa Φ polnomal (descro na seção..3). Sem perda de generaldade, suponha duas varáves de análse Z e Z (P =). Oémse enão, para cada veor = ([ ],[ ] ), o veor (

83 83 ) ] [ ],[ ],[ ],[ ],[ ] ([ ) ( Φ =, conendo odos os produos de segunda ordem dos elemenos de. Oserve que o veor ) ( Φ é odo a parr do mapa polnomal de segunda ordem [descro na eq. (7)], com a nclusão dos elemenos ],[ ] [ do veor. Ressala-se que o kernel polnomal de ordem d [eq. (8)] proposo para confecção das CCs kis e kco é defndo a parr desse mapa para d=. A parr daí, redefne-se a mar X, de dmensão T N F (com N F =5, para P= e d=), conendo em suas lnhas T veores ) ( Φ. Tem-se enão eplcamene a segune mar: Oém-se enão a mar X X V =, de dmensão N F N F (nese caso resro, 5 5), conendo em seus elemenos os produos nernos enre os veores p, para p=,..,5, onde ra os dados da varável Z, ra os dados da varável Z, e 3, 4, 5 são veores que raem os ermos quadrácos dos veores e. Eplcamene, em-se: = ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, V (7) A mar V defnda na eq. (7), perme a nvesgação de correlações não lneares (quadrácas) enre as varáves Z e Z. Ressala-se que a mar V não coném produos nernos do po ) ( ), ( Φ Φ nos seus elemenos, pos essa mar é do po S e não do po (7)

84 84 K. Dessa forma, não se pode nclur, por eemplo, um kernel polnomal k, ) = Φ( ), Φ( ) =, ( nesa mar. d Consdere novamene uma aelada nova so nvesgação. Tem-se dessa forma uma mar X B+, de dmensão T 5, al como defndo na eq. (7). CCs O dagnósco off-lne para ponos fora de conrole de X B+ aponados pelas caras kco é realado aravés das CCs CO p apresenadas acma, ulando a eq. (69), susundo P por N F (nese caso resro, N F =5). As CCs CO e CO refleem a esruura de correlação lnear enre Z e Z, e as CCs CO 3, CO 4 e CO 5 raem as correlações quadrácas enre as varáves Z e Z. ~ Analogamene, o dagnósco on-lne para desconroles em X B+ (mar ncomplea defnda nesa seção) aponados pelas CCs k CO * é realado aravés das CCs CO p* apresenadas acma, ulando a eq. (70), susundo P por N F (aqu, N F =5). 3.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Ese capíulo apresenou uma meodologa de conrole para monorameno de processos em aeladas que ula CCs aseadas no Kernel-Sas. O méodo consse na ulação das CCs kis e kco para monorar o desempenho de varáves de processo a parr de funções Φ ) das oservações ( (descras nas mares X ), defndas aravés do mapa não lnear Φ polnomal. As oservações Φ ), nese coneo, represenam o veor ( aumenado em um espaço F conendo os produos de ordem d dos seus elemenos. Enreano, conforme vso, os dados Φ ) esão sendo analsados sem acessar dreamene o espaço F, ( aravés da ulação do kernel polnomal k, ) = Φ( ), Φ( ) =, (. d Fnalmene, ressala-se que a ulação das CCs aseadas no Sas (CCs IS e CO ) já esão descras na leraura. A proposa orgnal é de Scep (00). Foglao & Nang (008) acrescenaram à proposa o monorameno de processos em aeladas de empo varável e o monorameno on-lne. Dane dsso, a conrução apresenada nesa seção esá relaconada

85 85 à nclusão de kernels (kernel polnomal, proposo aqu) para análse não lnear, e ao desenvolvmeno de procedmenos para dagnósco não lnear aravés das CCs CO p.

86 86 4 ESTUDO DE CASO SIMULADO Ese capíulo apresena uma aplcação da meodologa Kernel-Sas em um processo por aeladas, smulado a parr de um ssema não lnear de equações com duas varáves. A seção 4. descreve o ssema e suas peculardades, e apresena a confguração de parâmeros ulada para gerar as aeladas de referênca. A seção 4. apresena a análse da neresruura dos dados, comparando o desempenho das CCs kis e IS em relação a proaldade de alarme falso; a prmera ula kernels e a segunda ula a aordagem radconal. Analogamene, a seção 4.3 apresena a análse de nra-esruura dos dados, comparando o desempenho das CCs kco e CO no monorameno on-lne de aeladas conendo desconroles mposos no ssema. A seção 4.4 apresena algumas consderações fnas. 4. SISTEMA E BATELADAS DE REFERÊNCIA Consdere um processo ndusral em aeladas fcíco, cujo desempenho pode ser avalado aravés de duas varáves correlaconadas X e X. Suponha que as les físcas que regem esse processo são descras pelo segune ssema de equações dferencas: & & = a( = ( c c ) ( ) + a( c ) c ) + nl ( c ) (, (73) c ) onde a, e nl são consanes reas e os ponos sore as varáves denoam dervadas emporas de X e X. Noe que o ssema da eq. (73) é uma peruração não lnear do ssema lnear aao, & & = a( = ( c c ) ( ) + a( c ) c ). (74) O ssema na eq. (74) em o pono (c,c ) como pono de equlíro. Os dos auovalores assocados são números compleos;.e., λ, = a ±. Assm, em-se um comporameno osclaóro em orno do pono de equlíro (c,c ), que é esável se a < 0 e nsável se a > 0. O coefcene nl defne o grau de peruração na não lneardade.

87 87 Para ransformar a eq. (74) numa forma erava, adoou-se o esquema de Euler (PATEL, 993), o que as ransforma em: + + = = + [ a( + [( c c ) ( ) + ( a c c )] ) + nl ( c )( c )]. (75) Para as smulações das aeladas de referênca, foram adoados os segunes valores para os coefcenes da eq. (75): a =, =, c =0, c =0 e dferenes valores para nl (que serão descros mas adane). Nese raalho, é sufcenemene pequeno, al que a eq. (75) seja uma apromação do ssema conínuo (73). Esa confguração gerou as duas varáves de processo com rajeóras smlares às rajeóras de varáves oservadas em processos ndusras. Fgura - Trajeóras das duas varáves de processo amosradas em 00 aeladas de referênca Fone elaorada pelo auor As rajeóras das duas varáves envolvdas foram amosradas em T=0 nsanes, gualmene espaçados, em aeladas dsnas a parr do ssema descro na eq. (75). Pequenas varações foram mposas nas condções ncas, de aelada para aelada, oendo-se assm aeladas represenavas do processo so conrole esaísco. A Fgura