3 Geometria analítica no plano

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1 Geometria analítica no plano.. Referencial ortonormado. Distâncias no plano Atividade de diagnóstico Pág... A(, ), B(, ), C(, ), D(, ), E(, ), F(, ), G(, ).. Não pertencem a qualquer quadrante os pontos A, B, C, D e E... Os pontos R, P e Q pertencem aos.º,.º e.º quadrantes, respetivamente... F(, ), F, a) F b).. F (, ).. (, ) e (, ) m.. (, ) e (, ) m +.. (, ) e (, ) ( ) m.., e, m 9. t: x + x u: x + x Pág.. Reta r: Sejam os pontos (, ) e (, ). r: mx+ b m ; b r: x + Reta s: Sejam os pontos (, ) e (, ). s: mx+ b m ; b s: x + Assim: r: x+ ; s: x+ ; t: x e u: x 7 x x ( x ) x x x S x x 8 {(, 8) } x+ x x x x x 8 S, 8 ( x ) x + x x+ + + ( 6) ( 6) 6 6 S 6x 9+ 6x x+ x x 6x x+ 9 6x 6 x x {(, ) } x x x x x + x x x x 7 x x + 6 x 7 S,

2 .. Referencial ortonormado. Distâncias no plano x 6x x 6x ( x ) x x x x S {, } x x 6 x x + 6 x x x x x S {, } x x+ x x x x x + 8 x 8 x 6 x x x x S, Atividade inicial.. d( F C ), d( F B ), +.. d( C E ), + Pág... A(, ), B(, ), C(, ), D(, ), E(, ) e F(, ),,, D,,.. a) A, B, C, E (, ) e F (, ) b) A (, ), B (, ), C (, ), D (, ), E (, ) e F (, ).. x, a) x > > x> < x> < b) x < < x< > x< >. Sejam os pontos A(, ) e B(, ). AB d A, B.. Sejam os pontos A(, ) e B(, ). d A, B Sejam os pontos A(, ) e B(, ). d A, B Sejam os pontos A(, ) e B(, ). d A, B M(, ) ; A(, ) e R(, ) d M, A a) d A, R b) d M, R c) 6.. O triângulo [MAR] é isósceles, porque d M, A d A, R d M, R. Pág. Pág. P(, 6) e Q(, ) ou R (, ) e S (, ). A, B, C e D, Pág.

3 .. Referencial ortonormado. Distâncias no plano , Pág. 7. Sejam os pontos A(, ); B(, ); C(, ) e D(, )..., +,.., (, ) +.., (, ).. + 7,, 6. Sejam os pontos A(, ), M, e B x,. 6.. a) Seja N, é o ponto médio de [AB]. N,. x + +,, x + x + x Logo, B (, ). C x,. b) Seja M, é o ponto médio de [AC]. x + +,, x + x + 8 x 6 Logo, C (, 6). 6.. Sejam os pontos A(, ), B(, ) e C(, 6). AB + 9+ AC BC Perímetro de [ABC] O perímetro do triângulo [ABC] é Sejam os pontos A(, ), B(, ) e P(x, ). Pág. 9 (, ) (, ) d P A d P B ( x ) ( ) ( x ) ( ) x + x+ x + x + x x Mediatriz de [AB]: x 7.. Sejam os pontos B(, ), C(, ) e P(x, ). d P, B d P, C ( x ) ( ) ( x ) ( ) x + x x + 6x x+ x + Mediatriz de [BC]: x A(, ), C(, ) ; P(x, ) d P, A d P, C 8.. ( x ) ( ) ( x ) ( ) x + x x + 6x x+ x + Mediatriz de [AC]: x + x ( x ) ( ) ( x ) ( ) x+ + π 9.. ( x ) ( ) + + C (, ), r 9.. ( x ) ( ) (, ) r + + C, 9.. x ( ) + C(, ) ; r C, ; r x + π 9.. C, ; r π. ( x ) ( ) + + x x x + x Pág. 6

4 .. Referencial ortonormado. Distâncias no plano.. x + + x+ 8 8 ( x x ) ( ) Pág ( x ) ( ) Circunferência de centro (, ) e raio 7.. x + x x + x x x x Circunferência de centro, e raio.. x + x+ + ( x x ) ( ) ( x ) ( ) + A condição é impossível, pelo que define o conjunto vazio... x + 6x+ + ( x x ) ( ) ( x ) ( ) + + A condição define o ponto de coordenadas (, ).. Por observação da figura: c e b. a + a> a 9+ Assim: (, ), (, ) A B.. Por observação da figura: a, c e a > b. a b + c b> 9 b + b 8 b 8 b Equação da elipse: Vértices: A(, ), B(, ), (, ) Focos: F ( ) e F,, C e D (, ).. Por observação da figura: b 6, c e b > a. b a + c Pág. 6 Pág. 6 a a a ; b 6 Como a 6 e b 6, então, a equação da elipse é: a 6 ; b 6 6 Vértices: A(, ), B(, ), C(, 6) e D(, 6) Focos: (, ) e (, ).. Por observação da figura: a > b e c a b + c ; a b a b b + 9 b 7 Como P, pertence à elipse, vem: b + ( b + 9) b ( b + 9) b + 9 b 6 b + 9b + b + b 6b 9b 9± b 9± 7 b b 7 b 6 b 7 a b Equação da elipse: a 6 ; b 7 Vértices: A(, ), B(, ), C(, 7 ) e D(, 7 ) Focos: F ( ) e F, x, x a e b ; a > b a b + c + c c ; a e b Vértices: A(, ), B(, ), C(, ) e D(, ) Distância focal: c x x a> a 6 a ; a > b ; a b + c c> b> b b 6 + c c c Vértices: A(, ), B(, ), C(, ) e D(, ) Distância focal:.. 6x a> a 9 a ; b > a ; b a + c b> b b 9+ c c c c Vértices: A(, ), B(, ), C(, ), D(, ) Distância focal: 6 Pág. 6

5 .. Referencial ortonormado. Distâncias no plano. a a Considerando um referencial adequado, temos: x + b Neste referencial, o ponto P( ;,8) pertence à elipse. Então: (,8) , b b + b b> 9b 9 b b O pavilhão tem uma altura máxima de m. Atividades complementares 6.. A, B d A, B A e B 7 d A, B A, B d( A, B ), 7.. d( A B ), d( B D ), d( C D ), d( C B ), Sejam A(, ) e B(, ). d A, B Sejam A, e B, d( A, B ) Sejam A, 8 eb, ;. d( A, B ), , 9.. A(, ), B(, ), C(, 8) Pág. 67 d A, B + 6+ d A, C d B, C ( ) + ( ) ( ) P [ ] ABC 9.. O triângulo [ABC] é retângulo e isósceles.. Sejam os pontos A(, ), B(, 6) e C(, )... AB AC BC AB AC BC 9 8 O triângulo [ABC] é isósceles... AC AB BC ( 8) ( 8) BC Como AC + AB BC, então o triângulo [ABC] é retângulo em A. 8 8 A [ ] 9 ABC Logo, a área do triângulo [ABC] é 9 cm.. Sejam os pontos A(, ) e B(, ). A,.. a) b) B (, ).. a) d( A B ), , b) d( A A ) c) d( B B ) + ( ), d A, B d) 8.. Sejam os pontosa e B. +.. Sejam os pontos A e B. +.. Sejam os pontos A e B.. Sejam os pontos A(, ), B(, ) e C(, ). +, + M ; M, + N, ; N, + R, ; R, Pág. 68

6 .. Referencial ortonormado. Distâncias no plano. Sejam os pontos A(, ),.. N, e M,. (, ) (, ) d P A d P B x + x x + + x x x x 9 6 x 9.. a) Seja B(x, ). x+ + x+ +,, x+ + 6 x Assim, B(, ). Seja C(x, ). x +, + x+ +, x+ + x Assim, C(, ). Seja P o ponto médio de [EC]. + P,, pelo quep,. b) P é o ponto médio de [AD] dado que as diagonais de um paralelogramo se bissetam. Seja D(x, ). x +, + x+ +, x+ + x D (, ). Por observação da figura: A(, ), D(, ), B(, ) e C(, ). + Mediatriz de [AD] e de [BC]: x x Mediatriz de [AB] e de [DO]: 6. SejamM,, A(, ) e B(x, ). x +, + +, x + 6 x x Assim, B, Seja P(x, ) um ponto da mediatriz de [AB]. x 7. Sejam os pontos A(, ), B(, 6) e C(, ) a) Mediatriz de [AB]: b) Mediatriz de [BC]: Seja P(x, ) um ponto da mediatriz de [BC] d P, B d P, C ( x ) ( 6) ( x ) ( ) x 6x x x x x 9 x A equação reduzida da mediatriz de [BC] é: 9 x 7.. a) Ponto de interseção das mediatrizes de [AB] e de [BC]: 9 9 x x 6x 9 6x 9 x ( x, ), O centro da circunferência é o ponto D,. + b) r CD O raio da circunferência é 9 c) A equação reduzida é. 9 x + +.

7 .. Referencial ortonormado. Distâncias no plano 8. Sejam os pontos A(, ), B(, ) e P(x, )... r AB Como r 6 e C(, ), então: ( x ) ( ) AP BP ( x ) ( ) ( x ) ( ) x 6x x + x x x+ 8.. AP ( x ) ( ) BP ( x ) ( ) C ( ),, 9.. r, r e r 9.. Por exemplo: C : Para x : C, 7 e C, A (, ) e B (, ) (, 7) e B (, 7) C : Para 7 : x x x A C: Para x : + + A, e B,. Sejam os pontos A(, ), B(, ) e C(, )... a) Ponto médio de [AB]: + + M,, logo M,. 6 Raio: r AM r ; x + b) Ponto médio de [BC]: N,, logo N,. 9 Raio: r BN + + r 9 x +... x+ + x + x+ + x + x+ + x + x ( x x ) ( ) ( x ) ( ) + + Circunferência de centro (, ) e raio.. x + 6x+ + ( x x ) ( ) ( x ) ( ) + + Pág. 69 É uma condição impossível, logo define o conjunto vazio... x + x+ x + x+ x x x + A condição define o ponto de coordenadas,... O comprimento da corda é igual ao comprimento do eixo maior... a 6 a b, 6 b,8 Pretende-se determinar a distância focal (c). a b + c c>,8 + c c 9, c,76 c, c,,8 A distância entre as estacas é igual a,8 m.. Por observação da figura: a e b.. Por exemplo, A(, ), B(, ), C,.. b ; +, F, a e.. F e a 8 a ; c a > b (focos no eixo Ox) a b + c 6 b + 9 b 7 Equação da elipse: F,, F, (focos no eixo O).. b > a e D,.

8 .. Referencial ortonormado. Distâncias no plano a 6 a c b a + c b + Equação da elipse:.. a e b a e b x x x + 6 Assim, a, b, tal que a > b. a b + c 6 6 c> 9 + c c c F, e F, 6.. 6,x +, ,x, ,6,6 6,,76 +,76 6, c Assim, a,76 e b 6,, tal que b > a. b a + c c> 6,,76+ c c,9 c,7 F ( ) e F ;,7 ;, Assim, a 8 a 9 e b 7, tal que a > b. a b + c c> 8 7+ c c 9 c A(, ), B(9, ) AB 9 6 O ponto C tem abcissa igual à de A porque AC é perpendicular ao eixo Ox. C(, ) e C pertence à elipse, logo: Como >, então 8. C(, 8) A altura do triângulo [ABC] é AC 8. AB AC 6 8 A [ ] ABC A área do triângulo [ABC] é. 8.. a) AB BC CD AD + EF FG GH HE + Pág. 7 Os quadriláteros são losangos porque têm os quatro lados iguais. b) DB EG e AC HF 6 A área de cada um dos losangos é 6 Os quadriláteros são equivalentes porque têm a mesma área A(, ), B(, ), C(, ), D(, ) AB BC CD AD + 7 AC BD + [ABCD] é um quadrado porque tem os lados iguais e as diagonais iguais , + M M, 9.. Seja P(x) um ponto da mediatriz de [BC]. d P, B d P, C ( x ) ( x ) ( ) + + x x+ + x 6x x+ x+ 8.. Mediatriz do segmento de reta [AB].. Circunferência de centro A e raio.. Elipse de focos A e B e eixo maior igual a.. A reta de equação x e a reta AC são paralelas e intersetam as retas concorrentes BC e BA nos pontos M, M e A, C, respetivamente. Logo, pelo Teorema de Tales: BC BA BM BM BM + MC BM BM BM BM MC MC + + BM BM BM MC MC BM BM M BC e MC BM, então M é o ponto Como [ ] médio de [BC]. +.. M, M,. Sabe-se que: A(, ), T(, ), B(x, ) e ( x, ) (, ) TA TB (T pertence à mediatriz de [AB]) ( ) ( ) ( x ) ( ) x 6x x + x 6 8. Sejam os pontos E(, ) e F (, ). BABM BC BM + MC Pág. 7

9 .. Referencial ortonormado. Distâncias no plano.. Seja P(x, ) um ponto da mediatriz de [EF] d P, E d P, F ( x ) ( ) x ( ) a) x + x+ + + x x+ 8 x + x+ x+ x x,, x+ x x.. x + b) ( x, ) (, ) k Se, k + pertence à mediatriz de [AB], então: + k k + k+ k+ k k.. C : x + + x 8 ( x x ) ( ) ( x ) ( ) C : x + 6 C x + + x : 6 ( x x ) Assim, A(, ), B(, ) e C(, )... O centro de C é o ponto B(, ) (V) Logo, B C (V) Logo, B C... AC BC AC BC. Logo, o triângulo [ABC] é isósceles... C(, ) ; r ( x ) ( ) +.. C(, ); r ( x ) ( ) C(, ) ; r 6. ( x ) ( ) r 8 ( x x ) ( ) ( x ) ( ) Seja a o lado do quadrado. a + a ( r ) a r a r a 8 a 6 A área do quadrado é 6 unidades quadradas. Acírculo πr 8π Acolorida ( 8π 6) u. a. 6 k, k + R 6 k + x k x + k + 9 ] [ k+ 9> k > 9k 9, Por 7.., o centro da circunferência é (, ). O raio terá de ser igual a, pelo que: k+ 9 k 7.. k 6 ; x + ; C(, ) ; r + 8 e Assim, x, x, 8e. 8. O comprimento do retângulo é igual a a e a largura é igual a b. PF + PF a 7 a b 7 b 7 Aretângulo b 6 a+ b Pretângulo O perímetro do retângulo é 6 cm. 6, F 6, e P(x, ). 9. Sejam os pontos F, d x+ + + x ( 6) ( 6) d PF + PF Logo, d a. 9.. Seja a, c 6 e a > b. a b + c b + 6 b 6 Equação da elipse: + 6 Avaliação. Ponto B x ; B(, ) x x x Pág. 7

10 .. Referencial ortonormado. Distâncias no plano Ponto A x+ x x ; A(, ) OAe OB AB + 6+ P [ ] OAB Resposta: (A). O centro da circunferência é um ponto C da forma C a, a, com a >.. r OC a a a + Equação da circunferência ( x a) ( a) ( a ) a + + a Para a, temos: ( x ) ( ) + + Resposta: (A) M ; Resposta: (D). PF + PF 8 a 8 a BF a Resposta: (B). x + + ; P(k, ) ( k ) ( k ) 7 M ( k ) k Resposta: (A) 6. A mediatriz do segmento de reta [CD] interseta AB no ponto médio do segmento de reta [AB]. AB ; OA OB x, x > x + x x x x> x x A,, B, + + M,, Resposta: (B) 7. A afirmação (B) é falsa. Por exemplo, a circunferência de diâmetro [AB] da figura seguinte não passa em C. 8. Sejam os pontos A(, ), B(, ) e C(, ). 8.. Centro + M, ; M, Raio 9 r AM x+ + Pág Sejam A(, ), B(, ) e P(x, ) um ponto da mediatriz de [AB]. d P, A d P, B x x x + 6x x + x (Mediatriz de [AB]) Sejam A(, ), C(, ) e P(x, ) um ponto da mediatriz de [AC]. d P, A d P, C x + + x x 6x x+ x (Mediatriz de [AC]) Centro da circunferência: x x x x x x D(, ) Raio da circunferência: r DA + Equação da circunferência: x ( ) a a ; ; b 9 Adotando um referencial conveniente, a equação da semielipse é: + 8 A altura pedida é a ordenada do ponto de abcissa. ( ) A altura do túnel no ponto indicado é, aproximadamente,,9 m.. PF + PF ; a a C(, ), b a b + c C> C C 7 C 7 C + C.. a) A(, ) b) B(, ) c) D(, ) FF c Resposta: (B). Sejam os pontos A(, ), B(, ) e C(, ).

11 .. Referencial ortonormado. Distâncias no plano.. Consideremos P(x, ) um ponto da mediatriz de [AB]. d P, A d P, B ( ) + ( + ) ( ) x + x x x x x + 8 x ,.. C(, ), x + M ; M ( 6, ) + 6+ (V) Logo, o ponto C pertence à mediatriz de [AB]... Como C pertence à mediatriz de [AB], tem-se AC CB. Logo, o triângulo [ABC] é isósceles AB 6 Como o triângulo [ABC] é isósceles, a altura relativa à base [AB] é CM. CM A [ ] ABC A área do triângulo é u. a... A(7, ), B(, ), C(, ) AB BC AC Como AC AB+ BC, então os pontos A, B e C são colineares (se fossem vértices de um triângulo teria de ser AC< AB+ BC ). Logo, o ponto C pertence à reta AB... Sejam os pontos A(7, ), B(, ) e P(x, ) pertencente à mediatriz de [AB]. d P, A d P, B ( x 7) + ( ) ( x ) + ( ) x x x x x+ 6 x+.. a) Se D é equidistante de A e B, então pertence à mediatriz de [AB]. Como D pertence a O, então a sua abcissa é. D(, ) ; + D(, ) b) DA + c) Como D pertence à mediatriz de [AB], então DB DA r. Logo, D C. C é um ponto de reta AB e não pertence a C porque uma reta não pode intersetar uma circunferência em três pontos M, ; M, 7.. a).6. DM ( ) + ( 7 ) 6+ 9 ; D (, ) C : + b) DM é a mediatriz de [AB]. Logo, [DM] é perpendicular a AB. Como AB é perpendicular ao raio [DM] e interseta a circunferência em M, então AB é tangente à circunferência o ponto M. A A A π r π r π DA π DM π π π A área da coroa circular éπ u. a.

12 .. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano.. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano Pág. 7 Atividade inicial. a :V ; b :III ; c :VIII; d :II ; e:vi; f :IV; g :I ; h :VII. p: x + q: x + x r: x+ s: x x x x,,.. x x + x. Reta a (, ) e (, ) m ; b + a: x + Reta b (, ) e (, ) + m + x x b: x Reta c (, ) e (, ) m ; b c: x + Reta d (, ) e (, ) m ; b d: x +.. x > x.. x.. < x.. x x <.. x< x Pág x + Pág. 77

13 .. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano < x >.. ( x ).. A(, ) e B(, ) m ; r: x x x Condição:.. x ( x ).. A( 6, ) e O(, ) m ; r: x 6 Condição: x x x x.6. x+ x x.7. x x x x+ x. Por exemplo:.. x C (, ) e C (, ) r OC + r CC Condição: x + x +.. A(, ) e B(, ) m + r: x + C(, ) e D(, ) s: x Condição: x + > < x+ > x.. ( x ) ( x ) ( x ) 6.. x + 9 Pág. 8 Pág Por exemplo:.. A(, ) e O(, ) m ; r: x + Condição: x.. A(, ) e B(, ) m ; r: x + Condição: x+ x < Pág. 78

14 .. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano 7. A(, ) e B(, ) Reta AB: m + x + Condição: x+ x + 9 x < Atividades complementares 8. Por exemplo: 8.. < x 8.. x x 9.. Pág. 8.. < x.... x > x > < x x.. x + x.. x+ x...6. ( > x + ) ( > x )

15 .. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano. Por exemplo: ( x ) >.. Reta AB: A(, ) e B(, ) m AB: ( x ) x Condição: x x OB+ AC.. a) A[ ] OC OBAC A área do trapézio [OBAC] é 6 u. a. + 7 CD CA 7 b) A [ ODA] A área do triângulo [ODA] é 7 u. a... x + x x C(, ) r OC dado que.. + x + > 9 x> x + > x + > x> x + 9 x + x x C (, ) e r ; Condição: C, e r x + x +.. C(, ) ; Reta r O(, ) e C(, ) m, logo x r OC + Reta s C(, ) e D(, 6) 6 m x, logo x + 6 Condição: x x+ 6 ( x ) + ( ) (( x ) ( ) ) + Pág. 8 ou x x+ 6 ( ) + ( ).. (, ) e (, ) m, logo r: x + + Condição: x x ( ) + + > 9.. x x ( ) x ( ) x x x 9 6. C(, ) r OC + Circunferência: ( x ) ( ) Ponto B x x ( x+ ) + ( + ) ( + ) 9 x + + x 6 Como <, temos B(, 6). Reta AB A(, ), B(, 6) m ; x 6 Condição: 6 x+ + + > x 6 x

16 .. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano 7. Condição: + 9 ( ) + + x x a a ; a b + c, logo b b c> Assim, F (, ) e (, ) Reta FD: ( ) D F, e, m ; x + Reta DF F (, ) e D (, ) m ; x + + c c c F. Condição: + x+ x + 8. B(, ), D(, ), A(, ) Reta AB m ; x + Reta DE Ponto E x+ x+ x 6 E(6, ) 8.. BD DE 6 BD DE A π r 6 6 π r 9π A área da parte colorida é 8 u. a. 8.. Por exemplo: 9π 8 x x+ x Elipse: + a b b b ; a b + c a + 6 a Circunferência: Centro: (, ) c 6 c 6 C ; raio: OC +.. Seja M o ponto médio de [AC]. M + 8, M (, ) A proposição é falsa, porque a abcissa de D é... A ordenada de D é MD e MD AM. D(, ) e A (, ) Reta AD x x m ; Reta DC D(, ) ; C (, ) x x + m ; Condição: x x+ A proposição é verdadeira.. A(, ), B(, ), C(, ) e D(, ) AB ; CD 8; AD.. AB+ AD A [ ] ABC Pág. 8 A proposição é falsa, porque a área do triângulo [ABC] é... A(, ), B(, ), C(, ) Reta AC + m + 8 ( x ) x x 8. Reta BC + m + x Condição: x x 8 Proposição verdadeira x + x + ( x x ) ( ) ( x ) ( ) +.. Centro da circunferência: C(, ) A proposição é verdadeira, porque.

17 .. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano.. ( x ) ( ) ( x ) + + x x x x x + Condição: < x< + A proposição é verdadeira... O raio da circunferência é: r ordenada de C 9 Reta t: x + x x+ + ( ) 9 x x+ x+ x x As coordenadas são, e, x x. Equação da circunferência: ( x ) ( ) ( x ) ( ) ( x ) ( x ) 9 x x x 6 x x, 6, x,, ( x ) ( ) ( ) x x ( + ) x x 8 x x,, 8 x,, A circunferência interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas (6, ), (, ) e (, 8). Avaliação. Equação da circunferência: Centro: C(, ); raio: OC + ( x ) ( ) + Condição: ( x ) + ( ) ( x ) Resposta: (D).. Sejam os pontos C(, ), D(, ), B(, ) e A(, ). BC ; AD ; AB BC + AD + A[ ] AB ABCD Resposta: (C).. Equação da circunferência: r CD + Pág. 86 x + x x+ + + Condição: x + x + x + x Resposta: (D). + x x. ( x ) ( ) Centro (, ) ; raio: x x Resposta: (A) x + Centro (, ) e raio x + x A condição Resposta: (A) x + x x + define o conjunto.

18 .. Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano.. Sabe-se que OE OF e E(, ). + OE >, logo E (, ) OC + ED.. A + A área do trapézio [CDEO] é u. a... E(, ), D (, ), A(, ) e B(, ) Reta OE: x ; reta OA: x Reta ED: ; reta AB: Condição: Pág. 87 ( x ) + ( x x ) 6.. Equação da circunferência Centro (, ); raio + Ponto D A abcissa do ponto D é x. + Como <, vem Seja P(x, ). d P, A d P, D. Logo, (, ) ( x ) + ( x ) + ( + ) D e A (, ). x 8x 6 x x + 6x+ 6 x+ 6 x+ x+ 6.. x x + 7. B(, ) 7.. A(, k) AB k > ( k ) + + ( k ) ( k ) k + k + k k 6 Como k >, então k. A ordenada do ponto A é. 7.. A(, ), B(, ) 8.. Seja M o ponto médio de [BC]. M(, ) A ordenada do ponto A é (BC é paralela a O). A(k, ), com k < BC 6 AC BC (o triângulo é equilátero) ( k ) + 6 ( k ) ( k ) k 7 k 7 k 9 k + 9 k k + Como k <, vem k. A (, ) 8.. Centro: C(, ) Raio: OC + 8 ( x ) ( ) Centro: M(, ) Raio: MC + ( x ) ( ) 8.. M(, ) 9.. A (, ) MA AB MA 6 A [ ] 9 ABC A área do triângulo [ABC] é 9 u. a. + x 9 a a ; b 9 b 9.. ( x ) ( ) ( x x ) < > x< x > Por exemplo: x x B(, ), C(, )

19 .. Vetores no plano.. Vetores no plano Atividade inicial A: direções; 8 sentidos; comprimentos B: direções; 8 sentidos; comprimentos C: 6 direções; sentidos; comprimentos Pág. 88 Pág. 9. Segmentos orientados: [A, M], [M, A], [A, I], [I, A], [A, R], [R, A], [M, I], [I, M], [M, R], [R, M], [I, R] e [R, I] Vetores: AM, MA, AI, IA, AR, RA, MR e RM.. 8 :. Por exemplo, GE. D, C, E, G e A, B.. [ ] [ ] [ ].. A+ DG A+ AE E.. I+ DI I+ IB B.. I EB I + BE I + IH H.. D+ DB B.. AI + IB AB.6. AG+ EB AG+ GC AC.7. DC IF DC+ FI DC+ CG DG.8. HG+ FI HG+ GD HD.9. AE+ FC+ IF AE+ EI + IF AI + IF AF.. HG+ FC EF + FC EC.. AE+ CG+ HF AE+ EA+ HF + HF HF Pág. 9 Pág. 9 Pág a b KJ + JL KL.. ( a+ b) ( OA+ AH) OH OC.. ( b a) ( OB+ BI) OI LF.. ( a+ b) ( OA+ AH) OH CP.. a+ b b a OJ + OB+ BN + JK ( OJ + JK) + ( OB+ BN) OK + ON OP.6. ( a b) + ( a b ) ( OA+ ON) + ( OJ + ON) OM + OL LF+ FH LH. Pág. 97 Sejam u AB e v BC. u+ v AB+ BC AC Os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes pelo critério LAL, dado que: AD u u AB u u AE ( u+ v) u+ v AC u+ v u+ v AD AE Logo, AB AC. Os ângulos DAE e BAC são iguais por serem verticalmente opostos. A razão de semelhança da ampliação é. Assim, DE BC v. Como BC e DE tem a mesma direção e sentidos contrários, então DE BC. Como + u v u+ v. 6. AD DE AE, vem que Pág. 98 u 6u tem a direção de u e sentido contrário ao de u. u tem a direção e sentido de u. Logo, ( ) u tem a direção de u e sentido contrário ao de u. u 6u 6 u 6 u ( u ) u u u 6 u u têm a mesma Portanto, os vetores ( ) u e direção, o mesmo sentido e a mesma norma. Logo, ( ) u ( u ). a b a b a b a+ b a+ b b a b a 6a b+ a a b a a+ a+ b a a+ a+ b a+ b λ v + λv ( λ+ λ) v v Se ( λ) + λ λ v λv v v, então b a a e a b 9.. c a e a c Pág. 99 9

20 .. Vetores no plano 9.. d a e a d.. DE CB.. DB DC+ CB x+.. BE CD DC x AB EB DC x.. DA DC+ CB+ BA x+ 8 AB x+ EB 8 x+ x x Pág Pág.. AB AC+ CB FC+ CE ( FC+ CE ) FE FD Como AB FD, então [ABDF] é um paralelogramo.. Seja [ABCD] um quadrilátero qualquer e M, N, O e P os pontos médios de [AB], [BC], [CD] e [AD], respetivamente. PO AC e MN AC Logo, PO MN, pelo que [MNOP] é um paralelogramo AB+ BC+ CD+ DA AB+ BC AB BC AB AB+ BC BC + CD AB DA BC Pág. Atividade complementares J, H e L, M ; G, H, O, N, B, A e D, C ;. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ K, L] e [ F, E ].. [A, B] e [D, C] ; [A, D] e [B, C] ; [B, A] e [C, D] ; [D, A] e [C, B].. a) Proposição falsa b) Proposição verdadeira c) Proposição falsa d) Proposição verdadeira e) Proposição verdadeira f) Proposição falsa Sejam u e v dois vetores não colineares e A um ponto do plano. B A+ u, C B+ v e D A+ u..

21 .. Vetores no plano Pela regra do triângulo: AC AB+ BC u+ v Seja E A+ ( u+ v ). AE ( u+ v) u+ v AC u+ v u+ v AD u u AB u u Os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes porque têm um ângulo comum e os lados que o fornam proporcionais, AD AE pois. AB AC A razão de semelhança da ampliação é, logo, ED BC. Assim, DE v e DE v. Como AD+ DE AE, então u+ v ( u+ v ). v v v v v v v v 9. ( v ) tem a direção e o sentido de v porque > v tem a direção de v e o sentido contrário ao de v, porque <. Logo, v tem a direção e o sentido de v. Portanto, ( v ) e v tem a mesma direção, o mesmo v v. sentido e módulos iguais, ou seja, a a+ b a+ b 7 a+ b u v u v u + v u + v u + v + u v v u v u v ( u) u v + u u v u + u u + u + u u... a ( a b) ( a b )..... [ ] Se ( u) ( u ), então ( a+ b ) v Como u v, entãou e v são colineares... u ( a+ b) ( a+ b ) ( a+ b) Pág. a+ b+ a+ b 6 a+ a+ b+ b 7 a+ b ( a+ 7 b) ( + 7 ) a b v Como u v, então u e v são colineares... u ( a b) ( a b )... a) Como B é o ponto médio de [OC], então OC OB e OC. b) BA BO+ OA + x x c) OM OA+ AM x+ AM OM OC+ CM AM + + OM OM x AM + AM OM x+ OM x +.. BH BA e BH ( x ).. OH OB + BH + ( x ) + x x + OM x + Portanto, OH x+ x OM. Logo, OH é colinear com OM. Como OH e OM são colineares, podemos concluir que O,. H e M são colineares (pertencem à mesma reta). AF AB FB AB CE CD ED CD As diagonais de um paralelogramo bissetam-se. Logo, BO OD. OE+ OF ( OD+ DE) + ( OB+ BF) OD ED+ DO FB OB DO OD OD CD AB ( AB) AB CD AB AB AB

22 .. Vetores no plano 6. BE EC AEB ˆ CEF ˆ (ângulos verticalmente opostos) ECF ˆ EBA ˆ 9 Logo, os triângulos [ABE] e [CEB] são iguais pelo critério ALA. Assim, EF AE e CF AB DC. Portanto, C é o ponto médio de [DF] pelo que DC CF, ou seja, DC FC. 7.. AB AM + MB AC AM + MC AB+ AC AM + MB+ AM + MC AM + MB MB AM + MC MB AM 7.. PB+ PC ( PM + MB) + ( PM + MC ) PM + PM + MB MB PM + PM Pág. 8. Considera-se o ponto B tal que AB F e determina-se o ponto C [ AB] tal que AC F. Com centro em B e raio igual a AC traça-se o arco de circunferência que interseta a semirreta d nos pontos P e Q. Tem-se que F BQ ou F BP são soluções do problema. Na representação seguinte optou-se por F BQ. 9.. A proposição é verdadeira porque d a. 9.. A proposição é verdadeira porque b e. 9.. A proposição é falsa porque c e b não são colineares.. BM BC+ CM + CM BM BA+ AM x+ MC BM + BM + x+ CM + MC BM x + CM CM BM x + BM ( x ) Resposta: (A).. a) M + AE M + AC M + MO O b) F+ ( MO PJ) F+ ( MO+ JP ) F+ MO+ OT F+ MT F+ FN N B+ HI OI B+ BD+ DT B+ BT T c) d) T + LP IT T + TU + TI U + TO U + UP P e) G+ FJ + EU G+ GJ + JU J + JU U.. a) RS LP ; k b) ( k+ ) PE CS ; PE CS k+ k k 6 c) kmn + OI TF TF TI + IF OI + NM MN + OI k d) klc+ kgm MS MS MH + HS LC GM + Logo, k k k. e) k SJ DQ DQ JS e DQ SJ k k + k k.. a) AD+ TQ AD+ DA b) FG + LM + UR + UR+ RS + US c) + RS PN LP RS+ SU + LM RU + LM QU Pág. 6 Avaliação.. A HL A+ LH A+ AJ J Resposta: (C).. AK CI AK+ HC AK+ KL AL Resposta: (C). BC BA+ AC AB+ AC AC AB Resposta: (B). u a+ b a+ b a+ b+ a b a b ( a b ) Resposta: (B)

23 .. Vetores no plano FC+ CI ( λ+ ) AC FI FI CA FI AC λ+ λ λ. ( λ ) AC GB DH ( λ ) Resposta: (A) Resposta: (B).. (A) A proposição é falsa, porque AF e FJ não são colineares. (B) A proposição é falsa porque G+ DJ G+ GA A. (C) A proposição é verdadeira porque: F CH F+ HC F+ FK K Resposta: (C) 6. AF AD+ DF DA+ x Resposta: (D) 7. + x u a b a b a+ b a+ b 7 a+ b w é colinear com u. Logo, w ku, k R. w k u Portanto, k, pelo que k k. x Tem-se, assim: w a+ b a+ b ou w a b. 8.. B+ AJ B+ BF F 8.. F ( BD+ IH) F ( BD+ DC) F BC F+ CB F+ FE E 8.. AB+ FI + CG AB+ BF + FI AI 8.. BI CG IB GC + IF + FB IB + AC+ CB AB BA CA 8.. ( AC FE ) 8.6. Pág. 7 DJ + IB IJ + IF GJ + IF JG+ GC JC AD+ DJ AJ AD+ DJ + JA AD+ DA AD AD MN MD+ DC+ CN MN MA+ AB+ BN MD+ AB CN MN + MN MD+ DC+ CN MD+ AB CN MN AB+ DC.. BC BA+ AC Regra do triângulo AD+ AC AD BA AD+ EA e EA+ AD ED AE CA EA AC Propriedade comutativa Regra do triângulo.. O quadrilátero [BEDC] é um paralelogramo, pois tem dois. lados paralelos e com o mesmo comprimento: [ED] e [BC] OP OA e OQ OB PO AO e OQ OB Então: PQ PO+ OQ PQ AO+ OB PQ ( AO+ OB) PQ AB pois AO+ OB AB. Se PQ AB, podemos concluir que PQ e AB são colineares, ou seja, [PQ] // [AB]. Como [ABQP] é um quadrilátero com dois lados paralelos, então é um trapézio... AB+ a b AB b a EC+ a b EC b a.... OL a b LO a+ b LO+ OK a+ b + b a LK b a.. [ABKL] é um trapézio isósceles, porque [AB] // [KL] e BK AL.

24 .. Operações com coordenadas de vetores.. Operações com coordenadas de vetores Atividade inicial e + e a ; b 6e+ e ; c e e d e+ e ; e e e ; f e e g e e.... Pág. 8 Pág. a + ; b ; c ; d + OA,, OB (, ), OC (, ), OD (, ) e OE (, ) AB 6,, BC (, ), CD (, ), DE (, ) e EA (, ) AB ( 6, ), BC (, ), (, ) DE, EA,.... e. ( ) CD, Pág. u,, v, e w, u+ v, +,, + (, ) u v,, +, (, ).... +, +,,.. u v w +, +, u w v u w+ v.. +, +, u v,, (, ), (, ).. (, 6) (, 6) (, 6 6) (, ) u u v w u v + v w.6. + u v w, +,, +, 9+, u u+ v + v u u v + v u+ v (, ) + (, ) (, + ) (, ) u v u+ v u u u u v + v u + v (, ) + (, ) (, 9) + (, ) (, ) w w u v w u + 6v.9. + ( ), (, ) + 6 (, ), (, ) + (, ), + 6, a,, b (, ), c(, ) e d (, ) a+ b, +, (, ) a b,,, + (, ) a+ b d,,, (, ), a a+ b c + d c a a b + 6c+ d c a b + c+ d.. (, ) (, ) + (, ) + (, ) (, ) ( 6, 6) + (, ) + (, ) ( 6 +, ) (, 7) a b c d e Pág.

25 .. Operações com coordenadas de vetores, + 6,+ 6 7, 6,.6. f u, e v (, ) ; u e v não são colineares. u, e v ( 6, ) u e v são colineares. u, e v, 6. Como, então u e v não são 6.. colineares. 7 u, ; v 7, e v u u e v são colineares. u, e v, 7. Como, então u e v não são colineares. u, e v, m 7. m m m u, v ku v v k, k, k, k R 8. ( k, k) v ( k) k + k + k k k k k k k k k 6 v,, ou 6 v, 9. Sendo M(, ) e N(, ). 9.. MN N M (, ) (, ) (, ) 9.. NM MN (, ) 9.. M + NM (, ) + (, ) (, 7) 9.. N+ MN (, ) + (, ) (, 8) u,. A(, ) e Seja P(x, ). PA A P x, x PA u( x, ) (, ) x P (, ) Pág. Pág. 7 Atividades complementares. + a e e ; b e + e ; c e e ; d e + e. A(, ), B(, ), C(, ), D(, ) e E(, ).. OA (, ), OB (, ), OC (, ), OD(, ) e OE (, ).. a) AB (, ) b) CD (, ) c) DA (, ) d) CA ( 7, ) e) AE (, ) f) ED (, ).. BA (, ), DC (, ), AD (, ), AC ( 7, ),, DE, EA,..,..,.. e... u(, ) e v(, ).. + (, ) + (, ).. (, ) (, ).. u v (, ) (, ) u v (, ) u v (, ) + (, ) + (6, ) (9, 7) u + v, +,.. ( 6, 8) +,,.. u u+ v u v (, ) (, ),,, e + u e v e + u e + v + +, +, (6, 7).6. ( e e ) u v. ( 8, ) a, b,, c (, ) e d, 8, c,.. a) a e 8. Logo, a e c são colineares. b) b, e d,. Logo, b e d são colineares.

26 .. Operações com coordenadas de vetores a e b, 8 8 e 8. Logo, a e b não são colineares. a, e b λ +,.. ( 8, ) 6. λ+ λ+ 6 λ 6 6 λ λ, 7. v ( λ ) e e ; v ( λ, ) 7.. u (, ) v e u são colineares λ λ λ 7 u, v e u são colineares λ λ,, a b, e c, d b a, (, ) ( 6, ) (, 6) ( 6, 6) 6 6. Logo, c e d são colineares. 9.. a e e ; a, 9 a + ( ) b, b e e ; b c e e ; c c, d e + e ; d d, e e e ; e, e a(, ) e b (, ).. u u ka, com k < Pág. 8 u ka k (, ) ( k, k ) u k + k k + 9k k k Como k <, então k. u(, ) c a+ b, +,, v kc v v k, k, k.. v k + k 9k + 6k k k k k v, ou v, a+ λe, + λ,, + λ,.. ( + λ, ) a+ λe + λ, ( λ) ( λ) λ 6 + λ + λ λ λ 6 u,. A(, ), B(, ) e,,,,.. P A u, P, Q B u,,, 6, ( 7, ) Q ( 7, ).. PQ Q P 7,, 7 +, +, PQ,, u, ; v e k e ; v, k +.. u e v k+ são colineares k+ 6 k k. A(, ), B(, ) e D(, ).. a) AB B A (, ) (, ) (, ) b) AD D A (, ) (, ) (6, ) c) BD D B (, ) (, ) (, 6).. a) BA AB (, ) M D+ BA + (, ) (, ) (, 9)

27 .. Operações com coordenadas de vetores M (, 9) N A+ BD, +, 6, 9 b) N (, 9) P D+ AB, +, c) (, ) +,, C D+ DC D+ AB, +, 7,.. C (7, ). A(, ) e B(, ).. x + x+ ( x x ) ( ) ( x ) ( ) + + O centro P da circunferência tem coordenadas (, )... A(, ) B(, ) C P+ PC P+ AP P(, ) AP P A,, (, ) (, ) (, ) C P+ AP + (, 6) C (, 6).. D C+ BA BA A B (, ) (, ) (, 6) D (, 6) + (, 6) (, ) D (, ).. CBA ˆ 9 porque [AC] é um diâmetro e um ângulo inscrito numa semicircunferência é um ângulo reto. ADC ˆ 9 porque os ângulos opostos de um paralelogramo são iguais. DCB ˆ BAD ˆ 9 porque, num paralelogramo, os ângulos adjacentes ao mesmo lado são suplementares. Logo, [ABCD] é um retângulo. AB BC AB BC Um retângulo com dois lados consecutivos iguais é um quadrado. Logo, [ABCD] é um quadrado. AC e M(, ). B(6, ); ( 6, ).. M é o ponto médio de [DB]. D M + BM Pág. 9 BM M B ( 6, ) (, ) D (, ) + (, ) (, ) D (, ) As diagonais de um paralelogramo bissetam-se. Então: C M + AC, + 6, (, ) + ( 8, 7) (, 9) C (, 9) A M + CA M AC, 8, 7 6, A ( 6, ) DA A D 6,,, 8 DA ( ) + ( 8) DC C D (, 9) (, ) (, 6) DF kdc DF DA 8 (k > ) DF k(, 6) ( k, 6k ) DF 8.. ( k) ( k ) k + 6k 8 8k 8 k 9 k k Como k >, entãok. DF, 6 ( 8, ) F D+ DF + F (6, 7).. A(, ), B(, 8) (, ) ( 8, ) ( 6, 7) AP AB AB B A (, 8) (, ) (, 6) AB (, 6 ) (, ) P A+ AP A+ AB, +,, 6 A proposição é falsa porque P (, 6). a, e b, 8 OP a b (, ) (, 8)..,, ( 6, 7) Logo, P(6, 7). A proposição é verdadeira.

28 .. Operações com coordenadas de vetores 6. AB+ BC AC BA+ AC+ BC BC+ BC BC BC B C A proposição é verdadeira se B C. 7. M(, ); I(, ); R(9, ) e A(8, ) 9 Ponto médio de [MR]: +, ; N, 8+ + Ponto médio de [IA]:, ; N, As diagonais bissetam-se. MR IA MR IA [MIRA] é um quadrilátero em que as diagonais são iguais e bissetam-se. Logo, o quadrilátero é um retângulo. 8. A(, ), B(, ), C(, ) e D(, ) 8.. AB B A (, ) (, ) (, ) AC C A (, ) (, ) ( 6, ) (, ) AB Como AC AB, os vetores AC e AB são colineares. Logo, os pontos A, B e C também são colineares. 8.. Se AE ED, o ponto E pertence à mediatriz de [AD]. Seja P(x, ) um ponto da mediatriz de [AD]: d P, A d P, D ( x ) ( ) ( x ) ( ) x x+ + + x x+ x + Mediatriz de [AD]: x + Reta CB C(, ) e B(, ) + m + ( x+ ) x+ + + x x+ Interseção mediatriz de [AB] com a reta CB: x+ x+ x+ + + x x x+ x+ 6 x+ x + ( x, ) (, ) Como < <, o ponto (, ) pertence ao segmento de reta [BC]. Portanto, E (, ). 9. A(, ) ; B(, 7) e C(, k) AB B A (, 7) (, ) (, 8) AC C A, k,, k + k+ k + 6 k 8. u, ;, e (, ) a v b w 9.. a) a b b) b b.. u+ v w, a + b, (, ) + b b 9 a+ a 9 u, e v, 9,, u v, 9 u v + +. A(, ), B(, ), C(, ) e D(7, a).. A(, ) e D(7, a) O declive de AO terá de ser igual ao declive de AD: a a a a AB terá de ser paralela a CD pelo que os vetores AB e CD terão de ser colineares. AB B A CD D A 7, a,, a (, ) (, ) ( 8, ) a a a a 8 Avaliação u,. B : : A :( ) :;, Resposta: (B).. A(, ), B(, ) e C(, ) w ( A C ) (, ) (, ) (, ) + 8 Resposta: (D) OA BC,,.. (, ) (, ) (, ) Resposta: (C) Pág.

29 .. Operações com coordenadas de vetores. A(, ), B(, ), C(, ) e P(x, ) PA AP P A ( x+, ) CA A C ( 6, ) BA A B (, ) PA CA BA x+, 6,, ( x+, ) ( 6, ) ( 6, ) ( x+, ) (, 7) x+ x 7 7 P(, 7) Resposta: (D). Se AB BC, então AB BC. Logo, AB e BC são colineares pelo que A, B e C também são colineares. Resposta: (B).. D+ ( CB ED) D+ ( CB+ DE ) D+ ( CB+ BA) D+ CA D+ DF F Resposta: (A).. OF+ DC OF+ FA OA OE OB OF+ AC+ OA OF+ FD+ DO OD+ DO OO Resposta: (D) u, ; A k, k+ e B, AB B A k, k k, k 6. k k k k k 9 k Resposta: (A) 7. QC+ QR BQ+ QR BR PR+ PA PR+ BP BP+ PR BR Logo: QC+ QR PR+ PA Resposta: (A) 8. A(, ), B(, ) e C(, ) AB B A (, ) (, ) ( 9, ) AC C A,, 8, 6 Pág Logo, AB e AC não são colineares pelo que os pontos A, B e C não são colineares.,, A B, e C, + + D, ; D (, ) E, ; E, DE E D,,, AC C A (, ),,, AC DEAC Logo, DE e AC são colineares Seja [ABC] um triângulo e M e N os pontos médios de [AC] e de [BC], respetivamente. MN MC+ CN MN MA+ AB+ BN MC+ AB CN MN MC+ CN MC+ AB CN MN AB MN AB Logo, [MN] é paralelo a [AB] e MN AB.. A(, ), B(, ) e C(, ) AB AC BC AB + AC BC e AB AC Logo, o triângulo [ABC] é isósceles e retângulo em A... A mediana é [AM] sendo M o ponto médio de [BC]. + + M,, logo M(, ). AM Sabemos que: AC QR AB PR BC QP ( 6, ) AB B A, 6 BC C B ( 8, ) Q B+ CA + AC C A ; (, ) ( 6, ) (, ) Q (, ) R B+ AC + (, ) ( 6, ) (, ) R (, ) P A+ BC + P (6, 9) (, ) ( 8, ) ( 6, 9)

30 .. Operações com coordenadas de vetores. A(, ), B(, ), C(7, 6) e D(, ).. +, + M ; M (, ) N, ; N (6, ) 7 6 P, ; P (, ) Q, ; Q (, ) MN NP PQ QM P [ ] MNPQ AC BD AC+ BD Logo, P[ ] AC+ BD. MNPQ.. a) AP AB ; a b) BQ BC ; b 7 7 c) AR AC ; c.. PR PA+ AR AP AC PR AB AC.. PQ PB+ BQ AB+ ( BC ) 7 AB+ ( BA+ AC) 7 AB+ ( AB+ AC ) 7 AB AB+ AC 7 7 AB+ AC AB+ AC PQ AB+ AC PQ AB AC 7 9 PQ PR 7 Logo, PQ e PR são colineares pelo que os ponto P, Q e R são colineares.. AD AB e AE AC DE ( DA+ AE ) DA+ AE AD+ AE AB+ AC BA+ AC ( BA+ AC ) BC DE BC BC DE Logo, BC e DE são colineares.. A(, ), B(, ), C(, ) e D(, ).. +, + M ; M (, ).. Reta AM m + x x + AM : x + C(, ) + (Verdadeiro) Portanto, C AM. AB B A, CD D A (, ) AC C A ( 6, 6) AB CD A, B, C e D não são colineares; AB e CD são colineares com sentidos opostos e AB CD... Logo, [ABCD] é um paralelogramo.

31 .. Equações de uma reta no plano.. Equações de uma reta no plano Atividade inicial.. Uma infinidade.. Uma reta.... A(, ) e B(, ); m AB +.. Reta AB: x + Para x : + +. Logo, a ordenada do ponto C é... A(, ), B(, ), C(, ) AB B A (, ) ; BC C B (, ) ; AC C A (, ) ; CB B C (, ) ; CA A C.. (, ),,,, As razões são todas iguais a. Pág.. A, e B(, ) AB B A,,.. 7, ( 7, ) x,, + k 7,, k R x, + 7 k, k, k R x + 7 k, k R k.. C(x, ) e 7 x + x + 7k x + 7k x k k k A abcissa do ponto C é... D(, ) + 7k k k k k.. O sistema é possível. Logo, D AB. x + 7k x + 7k x k k 7 x k k k E (, ) Pág. 6. x + ; m,. Por exemplo: u, v (, 6) e w (, ), m A e v (, ) mx+ b + b b b x,, w,. Por exemplo, u, v e Pág. Pág.. A(, ) e B( 7, ) AB B A 7,, 8,,.. ( x, ) (, ) + k(, ), k R.. (, ) (, ) + k(, ) (, ) ( + k, + k) + k k + k k O sistema é impossível. Logo, o ponto C não pertence à reta AB. 6. x+ x + k k, k R + k + k Equações cartesianas: x+ x x 7.. r: x+ x+ x + m. Logo, u (, ) é um vetor diretor da reta r. 7.. Por exemplo, o ponto A(, ) pertence à reta r. x,, + k,, k R Pág. 8 x + k, k R + k x+ x s : v, um vetor diretor. B(, ) é um ponto de s e ( x, ) (, ) + k(, ), k R x k x k 7.. t:, k R + k k t: x x+ x +

32 .. Equações de uma reta no plano 8.. r: x x x x ( x, ), x x ( x, ) (, ) Pág. 9 (, ) e, são os pontos de interseção da reta r com os eixos coordenados. 8.. r: x x m ; v, é um vetor diretor de r. (, ) é um ponto de r. r: x,, + k,, k R 8.. P( k k ), r ± 9 8 k k k k + k ± k k k Os valores são k ou k. 8.. s: x,, + k,, k R ( x, ) ( + k, k) + x + k x 9 + k k O ponto de s de ordenada tem abcissa 9. x,, + k,, k R x x + k k, k R, k R + k k x s: x 6 x + x λ t:, λ R λ λ λ λ ( ) λ λ O sistema é possível. Logo, A t. x λ x λ t:, λ R, λ R λ λ x x t: x B, p ; m 8.8. x+ b + b b p: x + Atividades complementares 9. r: x (m ) Por exemplo, (, ), r,. r, r e s: x+ x + (m ) Pág.,,, Por exemplo, s ( ), s ( ) e s ( ) t: Por exemplo, t (, ), t (, ) e t(, ).. P(, ) e v (, ) m ; r: x +.. P(, ) e v, m r: ( x+ ) x v,.. P(, ) e m (reta horizontal) r :. Por exemplo, para as quatro retas verticais:,, w, 7.. u, v e v, e A(, ) x,, + k,, k R,, + k, k (, ), + k k k + k k Como o sistema é impossível, B r. u,.. A(, ) e.. x,, + k,, k R x + k, k R k,, B e v e + e x,, + k,, k R x + k, k R + k v,.. C(, ) e x,, + k,, k R x x, k R, k R + k k, e,.. D v( ) x,, + k,, k R x k, k R k

33 .. Equações de uma reta no plano. x p t:, p R p v,, A (, ) e B (, )... Por exemplo,.. x,, + k,, k R.. m e A(, ) Por exemplo, x + x + k x k. r:, k R, k Z k + + k.. Por exemplo,.. A,,, B, v (, ) e u ( 6, ) x x x x x k k k + + k k + 6 Ponto de interseção com O:, 6 x k x x + k k k Ponto de interseção com Ox:, x + k, k R x,, + k, + k.. + k k k + k k + k k k + k k Os pontos P e Q pertencem a r, porque:,, + (, ),, (, ).. a) PQ Q P,, 6. ( 6, ) PQ ɺ : x,, k 6,, k + + ( ) R b) [ PQ] : ( x, ), + k( 6, ), k [, ] x x r : Pág. 6.. A(, ) é um ponto de r r, é um vetor diretor de r r: x,, + k,, k R 6.. B(x, ) x x x A abcissa do ponto é. 6.. C(, ) + (Falso) O ponto não pertence à reta. 7.. Reta s: A(, ) e B(, ) AB B A (, ) v 8, 6, Reta r: C(, ) e D(, ) CD D C ( 7, ) v ( 7, ) Reta t: E(, ) e F(, ) EF F E (, ) v r: v ; s: v ; t: v (, ) (, ) 7.. r: x,, + k 7,, k R x + 7k r:, k R k s: x,, + k,, k R x k s:, k R k t: x,, + k,, k R x k t:, k R + k v 7, 7.. A(, ) ; x x u: x 7 x+ 7 7 u, k. O vetor u é colinear em v ( 8, 6 ) k 8k k k x + 7k r:, k R k x+ r: x 6 7 x+ 7 7 x x ( x, ), x ( x, ), x+ 7 x A reta r interseta os eixos coordenados nos pontos, 7 e,.

34 .. Equações de uma reta no plano s: x,, + k,, k R mx+ b ; m ; b s: x + x + k r:, k R ; E(, ) 6 k x+ k x + k 9.. r:, k R, k R 6 k 6 k x+ 6 x 6 8 x+ x + x Ponto A x x x + A (, ) Ponto B x+ + 6 x x x B ( 6, ) 9.. Se [AB] é um diâmetro, o centro da circunferência é o ponto médio de [AB] M,, logo M(, ). 9.. O raio da circunferência é: r AB ( 6 ) + ( ) 6+ 6 ( x ) ( ) + x x x + 6x 9.. Sendo F o centro da circunferência: F(, ) C F + EF EF F E, : Para E(, ) e F(, ) e sendo C (, ) + (, ) (, ) C (, ) 9.6. Reta DC: Condição: ( ) + ( ) x x+.. x+ x e x x Pág. Se B e C pertencem às bissetrizes dos respetivos quadrantes e têm abcissa, então: A (, ), B (, ), C (, ) e D (, ).. OM + e OM e OM e + e OM, Logo, M,. ON + e ON e ON e ON e e ON, Logo, N,. DM M D,,, DN N D, (, ),.. a), DN DM. Como DN e DM são colineares, os pontos D, M e N também são colineares. AM M A,,, NC C N (, ),,, AM NC AM. Como os vetores NC e AM são b) colineares, as retas NC e AM são paralelas.. r: ax+ b+ c ; s: ax + b + c a c.. a) ax+ b+ c b ax+ c x+ b b O declive da reta r é m a b. (b ) r b a. Logo, um vetor diretor de r é, por exemplo, (, ) b) a c + + x+ b b b a O declive da reta s é m. b ax b c s b a. Logo, um vetor diretor da reta s é, por exemplo, (, ).. As retas r e s são paralelas se e só se os vetores diretores, s b, a forem colineares. r( b a ) e b a a b b a a b ( a b )

35 .. Equações de uma reta no plano. A(, ), B(, ) e C(, ). Seja M o ponto médio de [BC]: + + M, M, AM M A, (, ) 9, (, 9). ( p ) x+ ( p+ ), p R AM : x,, + k, 9, k R (por exemplo).. A reta é paralela ao eixo O (vertical) se: p+ p.. A reta é paralela ao eixo Ox (horizontal) se p p.. x e p + p + p + p+ 6 p p.. Se p +. ( p ) ( p ) x+ ( p+ ) x+ p+ p+ u p p é um vetor diretor da reta ( +, + ) x x x v, é um vetor diretor da reta As retas são paralelas se os vetores diretores forem colineares: p+ p+ p+ 6 p+ 7p p 7. ( x ) ( ) Pontos A e B ( x+ ) + ( ) 6 ( x+ ) + 6 x+ x+ ± x x + A (, ) e B ( +, ) Pontos C e D x x ( x+ ) + ( ) 6 ( ) x x ± + C(, + ) e D (, ).. P(, ) AC C A + (, ) (, ) (, ) + + u, é colinear com AC. O vetor r: x,, + k,, k R AB OC.. A [ ] ABC AB OC + + A [ ] + ABC A área do triângulo [ABC] é ( + ) u. a... a) A (, ), (, + ) (, ) (, ) d Q A d Q C C e Q(x, ) ( x ) x ( ) x + + x+ + + ( + ) x ( + ) x x m : x b) B ( +, ) O ponto B não pertence a m. Logo, AB BC. BA BC pelo que c) [AC] e [BC] são duas cordas da circunferência. As suas mediatrizes encontram-se no centro da P,. circunferência, ou seja, em.. P(, ) e D (, ) DP P D (, ( )) (, ) E P+ DP (, ) + (, ) (, + ) E (, + ) Avaliação x t x t x t. r: t t t x x x + x + ; u (, ) Resposta: (D). s: x π+ π x + + π π Resposta: (C) x ; u ( π, ) Pág.

36 .. Equações de uma reta no plano. x x define um reta vertical. Um vetor diretor é da forma (, k) com k. Resposta: (A) r: x,, + k,, k R r, é um vetor diretor de r.. x k x + k, k R, k R + k k x x 6 x x u r é um vetor diretor. (, ) Resposta: (D). A(, 6) e B(, ) AB B A r: mx+ b ( 6, ) (, ) m + b b x+ + x x+ Resposta: (B) 6. C(, ) AB (, ) ; AD (, ) AC AB+ AD + u, é um vetor diretor da reta AC AC: mx+ b (, ) (, ) (, ) (, ) m ; C(, ) é um ponto da reta + b b AC: x x Resposta: (A) 7. A(7, ) e B(, ) AB B A (, ) C(, ) e D(, ) CD D C (, ) Os vetores AB e CD são colineares se: Resposta: (C) 8. A(, ), B(, ) + AB: mx+ b ; m + b b b x x x Resposta: (A) 9. x + t r:, t R + t r, é um vetor diretor da reta r. A(7, 6) s: mx+ b ; m 6 7+ b b 6 b x + (, ) s? 6 + (verdadeiro) Como (, ) s, uma equação de s é: ( x, ) (, ) λ(, ), Resposta: (C) + λ R.. a) AB B A ( 7, ) AB: x,, + k 7,, k R b) mx+ b; m 7 + b b + b x AB ɺ : x,, + k 7,, k R +.. a) [ AB] : ( x, ) (, ) + k( 7, ), k [, ] b) ɺAB : x+ x 7 7 AB : x+ x 7 7,, 8 [ ].. a) Por exemplo: R, R, (, ) S (, ), T (, ) e T (, ) b) (, ) (, ) + k (, ) S, k + k + k + r:, s: e t: r, c) x + x+ x +, t, s ;.. t (, ) e m x r, ; s(, ) e.. r e s são retas do mesmo plano e não são paralelas. Logo, r e s são concorrentes.. kx kx ; x+ p.. k p R Pág.

37 .. Equações de uma reta no plano.. k p.. k p. A(, ) e D(, ) AC ( 9, ) C A+ AC. (, ) + ( 9, ) ( 7, ) C(7, ) BC AD D A, ; BC : mx+ b m 7+ b b BC : x x t x + t h:, t R, t R + t + t t 6, é um vetor diretor da reta t.., ( 6, ) i: x+ Se, entãox+ x. A(, ) r: x,, + k 6,, k R x x t t.. h:, t R + t t x h: O ponto de coordenadas ( p, p ) pertence à reta h se e só se p p p 6p 9 p 6p+ 9 ( p ) p.. A(, ) x h: x x+ 9 9 x+ x Se x : Se x : + 6 C, e B(, ) [OABC] é um trapézio retângulo OC+ AB A[ OABC] OA A área do quadrilátero [OABC] é u. a... a) A(, ) h: x,, + k,, k R,, + k, + k k k k k Proposição verdadeira b) A(, ) r: x Proposição falsa c) B(, ) x λ s:, λ R 9λ λ 9λ λ 9λ λ λ 9 Proposição falsa d) C(, ) x + t : + 7 Proposição falsa x λ x.. s:, λ R ; s : 9λ 9 x x x x x x x 9 9 x x Os pontos são(, ) e,. x x x x.. r: x x + ; m 9 s (, 9) ; m s x + t: + x x 6 m t h, ; m r é paralela a s e t é paralela a h... A reta s tem declive. Por exemplo: x+ b Avaliação global. x + x+ 6 + h ( x x ) ( ) ( x ) ( ) + + C(, ) e r Resposta: (A) r Pág. 6

38 .. Equações de uma reta no plano.. a 6, b, tal que b > a c> b a c c c c (, ) F, F e Resposta: (D) x + x Resposta: (D) r, a, é um vetor diretor de r. s (, ) é um vetor diretor de s. r e s são vetores colineares. a 7 a a + a. Resposta: (C). A(, ), B(, ), I(, ) AI I A (, ) BI I B (, ) C I + AI + D I + BI + Resposta: (B) (, ) (, ) (, 6) (, ) (, ) (, ) Pág Seja [ABCD] um trapézio e M o ponto médio da diagonal [AC]. BM BA+ AM CD+ MC MC+ CD MD CD BA MC AM Se BM MD, então BM MD. Portanto, se M é o ponto médio de [AC] também é o ponto médio de [BD], ou seja, as diagonais do paralelogramo bissetam-se. 7.. AC AD+ DC ( AP+ PD) + ( DQ+ QC ) AP PD PD+ DQ DQ DC ( PD+ DQ ) PQ 7.. a) A(9, ), P(6, ) e Q(, ) AP P A (, ) D P+ AP + ( 6, ) (, ) (, 8) D (, 8) DQ Q D ( 8, 6) C Q+ DQ + C (9, ) DC C D DC b) ( 6, ) (, ) ( 8, 6) ( 9, ) 6 + c) Se [ABCD] é um trapézio, então as bases [AB] e [CD] são paralelas. Logo AB e DC são vetores colineares, pelo que k R: AB kdc. DC AD d) Atrapézio AB+ DC AD AB+ AB + AB AB k DC AB e DC têm o mesmo sentido k k B A+ AB A+ DC ( 9, ) + ( 6, ), 8 ( 9, ) + (, 8) B (, 8) x k x + k r:, k R, k R 7 k 7+ k x 7 s: x 6 x x x+ + x x x x x 8 As retas r e s intersetam-se no ponto (8, ). 8.. x + x t: ( x, ) ( 8, ) + k(, ), k R 9. AE AB+ BE AB+ AB AB AGAD AF AE+ EF AE+ AG AB+ AD ( AB+ AD ) ( AB+ BC ) AC Como AF AC, os vetores AF e AC são colineares. Logo, os pontos A, C e F também são colineares.. A(, ), B(, ) e C(, ) BC C B 7,.... x,, + k 7,, k R x 7k, k R k + M, M, e B(, ) Pág. 8

39 .. Equações de uma reta no plano 7 MB B M, (, 7 ) 7 m: ( x, ) (, ) + k,, k R.. A(, ) e x + x,, + k,, k R x, k R x + k x+ x x + D(, ) ; m mx+ b + b b x + ( x, ) (, ) x k. r:, k R k r, é um vetor diretor da reta r. s: m x+ m m m x + Se m, as retas r e s não são paralelas (s é uma reta vertical). Se m : ( m ) x+ m m s m, m+ é um vetor diretor de s. r e s são paralelas se: m m+ m 9 m+ m m P, e B(, ) r PB x x x+ + + x + x ( x ) + ( x ) + ( x ) ( x ) x ± x x + Os pontos são A(, ) e ( +, ) C... x x 9 9 ( x ) + + x x ± x x x + As coordenadas do ponto D são D (, )... EF : x k O ponto G k, pertence à circunferência. Sendo G P+ PG : 9 PG ( r, ), porque PG // Ox. 9 9 G, +, +, 9 9 Portanto, E +, e F +,..6. ( ) + 9 x + x x AC OD.7. A [ ] ADC AC + ; OD A [ ] ADC A área do triângulo [ADC] é u. a. Pág. 9 x + λ. r: x+ ; s:, λ R λ x+ λ.. s:, λ R λ x+ x 9 s: x + 9 s: x +.. r: x+ x+ x +,, r r é um vetor diretor da reta r ; r: ( x, ) (, ) + k(, ), k R.. Declive de r: m Declive de s: m r s As retas r e s são estritamente paralelas (têm o mesmo declive e ordenadas na origem diferentes).

40 .. Equações de uma reta no plano Logo, o quadrilátero [PQRS] tem dois lados paralelos porque [PQ] está contido em r e [SR] está contido na reta s. Assim, [PQRS] é um trapézio de bases [PQ] e [SR]... Pontos P e Q x x ; P, x+ ; Q(, ) x + + x x Pontos S e R x x ; S, x+ 9 9 ; R(9, ) x x x A[ ] A[ ] A [ ] PQRS ORS OQP OR OS OQ OP A área do quadrilátero [PQRS] é u. a. OA,.. A(, ) e Declive da reta t: m t A reta r interseta Ox em Q(, ). mx+ b + b b x.6. r: x+ e A(, ) + (verdadeiro) A r.7. x + A(, ) e Q(, ) + (verdadeiro) O ponto A pertence à circunferência e à reta r OA e OQ ( ) ( ) AQ + + AQ ; OQ AQ + OA OA ; OQ Logo, o triângulo [AOQ] é retângulo em A. Assim, [ OA] AQ. Portanto, A r e [ OA] r, pelo que a reta r é perpendicular à circunferência no ponto A.. Seja [ABCD] um quadrilátero em que as diagonais [AC] e [BD] se bissetam e seja M o ponto de interseção das diagonais. AM MC e DM MB AB AM + MB MC+ DM DM + MC DC Como AB DC, o quadrilátero [ABCD] é um paralelogramo... Se [AB] é um diâmetro da circunferência, então o triângulo [AOB] é retângulo em O. AO OB AO OB A [ ] donde () ACB Sabemos que A pertence à reta de equação x. A a, a, com a > A ordenada de B é o dobro da ordenada dea: a a B( x, a ) Como B pertence à reta de equação x. a x x a 9 Logo, B, a. Temos, portanto: 9 A a, a e B, a, com a > AD a + + a a a a a porque a > a OB + a a + a a De (): a porque a > a a a Como a >, vem a. Logo, A (, ) e B (, ). AB B A 6,,.. AB: x,, + k,, k R Centro: C, ; C (, ) a 6 r AC Equação da circunferência:( x ) ( ) + +

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