Análise da Propagação de Impulsos em Fibras Ópticas

Transcrição

1 Análise da Propagação de Ipulsos e Fibras Ópicas Arleh Manuela Gonçalves Disseração para obenção do Grau de Mesre e Engenharia Elecroécnica e de Copuadores Júri Presidene: Prof. Dr. José Manuel Bioucas Dias Orienador: Prof. Dr. Anónio Luís Capos da Silva Topa Vogal: Profª. Drª. Isabel Maria Veni Neves Abril

2

3 Agradecienos Agradeço: E prieiro lugar a Deus por periir que acorde odos os dias co saúde; À inha faília e ao eu noivo Felisbero Cauege, por e apoiare sepre e sere a inha aior oivação nos uios oenos difíceis que passei durane o eu percurso universiário; Ao Prof. Dr. Anónio Topa pela orienação, conselhos, disponibilidade, apoio e uio boa disposição deonsrada durane odas as reuniões que iveos; Às inhas aigas Ana Zenilda, Edna Lucia e Ariana Chipalavela pela aiade e oivação oferecidas sepre que precisei ao longo dos anos; Aos eus colegas do Insiuo Superior Técnico por odo apoio e as uias noies perdidas durane a realiação de projecos e rabalhos e grupo. A odos, uio obrigada! i

4 ii

5 Resuo Nese rabalho fa-se ua análise do coporaeno dos ipulsos ao propagare-se nua fibra ópica operando e regie linear e não-linear. Inicia-se o rabalho co ua breve inrodução as fibras ópicas, passando-se depois à eoria odal que explica coo é possível os ipulsos de lu viajare pela fibra. Procede-se à análise da propagação de ipulsos e regie linear onde se foca o ea da dispersão nas fibras. Dedu-se ainda a equação que rege a propagação de ipulsos nesse regie linear, sendo que a sua resolução passa pela aplicação de u algorio siplificado o qual foi noeado de Algorio RIMF, coo é encionado ao longo do rabalho. Ua ve que o fenóeno da dispersão liia a largura de banda do sinal, aborda-se os éodos de copensação da dispersão: o uso de fibras copensadoras de dispersão e a propagação de soliões. E regie não linear esuda-se o efeio não-linear de Kerr, o qual explica o aparecieno da auoodulação de fase AMF, que e conjuno co a dispersão da velocidade de grupo DVG perie o surgieno dos soliões. Parindo-se depois para a Equação não-linear de Shrondinger que rege a propagação de ipulso nesse regie, deerina-se as suas soluções analíicas, faendo-se ua pequena abordage sobre o solião fundaenal, após encionar-se o éodo nuérico que é uiliado para a siulação de ipulsos e regie não-linear. Palavras-chave: Fibras ópicas, dispersão, propagação de ipulsos, soliões. iii

6 iv

7 Absrac In his hesis, we analye he perforance of pulse propagaion hrough a fibre opic counicaion syse, operaing in he linear and nonlinear regies. This work sars wih a brief inroducion o fibre opics counicaion syses. Then, he odal heory is used o sudy how ligh pulses ravel along he fibre. The pulse propagaion in he linear regie is hen addressed o analye he dispersion of pulses hrough he fibre. The equaion ha governs he pulse propagaion along he fibre is derived. Is resoluion involves he applicaion of a siulaion algorih, ered here as RIMF algorih, as referred along he hesis. I is concluded ha dispersion is he ain liiing facor, causing pulse spreading and liiing he bandwidh of he signal. The ehods of dispersion copensaion are proposed: The use of dispersion copensaing fibres and he propagaion of solions. In he non-linear regie, we focus on he non-linear Kerr effec, which explains he appearance of he self-phase odulaion SPM. In conjuncion wih he group velociy dispersion GVD, hese wo effecs, whenever copensaed, allow he appearance of solions. The non-linear Shrondinger NLS equaion, governing pulse propagaion in his regie, is derived o find is analyical soluions. A nuerical ehod is inroduced o siulae he pulse propagaion in he non linear regie. Finally, he fundaenal solion is considered. Keywords: Fibre opics, dispersion, pulse propagaion, solions. v

8 vi

9 Índice Agradecienos... i Resuo... iii Absrac... v Lisa de Figuras... ix Lisa de Síbolos... xi Lisa de Acrónios... xv Capíulo - Inrodução Inrodução as fibras ópicas Counicações ópicas Lu Especro elecroagnéico LED vs LASER Esqueas de odulação e uliplexage e fibras ópicas Eleenos de ua ligação por fibra ópica Moivações e objecivos da ese Esruura da ese Conribuições... Capíulo - Teoria Modal Lei de Snell Fibras ópicas operadas e regie linear Parâeros noraliados Modos de propagação na fibra ópica... 6 Capíulo 3- Propagação de ipulsos e regie Linear Dispersão e fibras ópicas Equação de propagação de ipulsos e regie linear Coeficienes Siulação Nuérica da Propagação de Ipulsos e Regie linear Desvio dinâico de frequência Chirp Propagação de ipulsos Gaussianos co Chirp e regie linear Ipulsos Super-Gaussianos Copensação da dispersão Exeplo de Aplicação das DCF s Capíulo 4 - Propagação de ipulsos e regie não-linear Efeio não-linear de Kerr nua fibra ópica Equação não-linear de Shrodinger... 6 vii

10 Soluções analíicas da equação NLS Soluções analíicas da equação NLS para ondas soliárias Soluções Analíicas da Equação NLS para ondas periódicas Siulação nuérica da equação NLS: Spli-Sep Fourier Mehod Caracerísicas do solião fundaenal Capíulo 5 - Conclusões Conclusões principais Perspecivas de rabalho fuuro Bibliografia Anexo A Equações de Maxwell Anexo B Equação odal e core dos odos híbridos... 9 B.I Equação odal... 9 B.II Modos híbridos EH e HE e ransversais TM e TE Anexo C Inerpreação geoérica da propagação guiada na fibra... 3 viii

11 Lisa de Figuras Figura. - Consiuição da fibra [].... Figura. - Coparação de diensões da fibra ópica e cabo usual [8]... 3 Figura. 3 - Especro Elecroagnéico e frequências ópicas [5]... 4 Figura. 4 - Janelas de ransissão ao longo dos anos [5]... 5 Figura. 5 - Eleenos de ua ligação por fibra ópica [5]... 8 Figura. - Confinaeno na fibra [6]... Figura. - Fibras co vários perfis []... Figura. 3 - Fibra ópica de perfil e degrau [3] Figura. 4 - Solução da equação odal.8 para o odo fundaenal.... Figura. 5 - Prieiros seis odos LP da fibra ópica: diagraas bv.... Figura. 6 - Influência do conrase dielécrico sobre a curva de dispersão bv para o odo fundaenal.... Figura. 7 - Variação do conrase dielécrico co o raio do núcleo, para dois valores diferenes do coprieno de onda de core do odo LP o prieiro a propagar-se iediaaene a seguir ao odo fundaenal LP. Considera-se n = Figura 3. - Dispersão nula [5] Figura 3. - Dispersão anóala [5] Figura Dispersão noral [5]... 8 Figura Coparação do ipulso a enrada e a saída e regie linear Figura Evolução do ipulso Figura Ipulso inicial Gaussiano co C= Figura Coparação do ipulso Gaussiano a enrada e a saída co C= Figura Evolução do ipulso Gaussiano co C= Figura Coparação do ipulso Gaussiano a enrada e a saída co C= Figura 3. - Evolução do ipulso Gaussiano co C= Figura 3. - Coparação do ipulso Gaussiano a enrada e a saída co C= Figura 3. - Evolução do ipulso Gaussiano co C= Figura Evolução espacial da largura especral dos ipulsos na ona de dispersão anóala para diferenes valores do parâero C Figura Ipulso inicial Super-Gaussiano co C= Figura Coparação do ipulso Super-Gaussiano a enrada e a saída para C=... 5 Figura Evolução do ipulso Super-Gaussiano para C= Figura Coparação do ipulso Super-Gaussiano a enrada e a saída para C=... 5 Figura Evolução do ipulso Super-Gaussiano para C= Figura Coparação do ipulso Super-Gaussiano a enrada e a saída para C= Figura 3. - Evolução do ipulso Super-Gaussiano para C= ix

12 Figura 3. - Coparação do ipulso a enrada e a saída, na prieira fibra Figura 3. - Coparação do ipulso a enrada e a saída, na segunda fibra Figura 4. - Poência de u ipulso Gaussiano [9] Figura 4. - Evolução do solião fundaenal Figura Evolução do solião de erceira orde x

13 Lisa de Síbolos NA : Aberura nuérica P : Poência ópica a enrada da fibra en P : Poência ópica a saída da fibra sai f : Frequência ópica : c : : Coprieno de onda Velocidade da lu no vaio Conrase dielécrico n : Índice de refracção do núcleo n : Índice de refracção da bainha : Ângulo de incidência i : Ângulo de ransissão : Ângulo críico c : Ângulo de aceiação áxio ax E : Coponene longiudinal do capo elécrico E : Apliude do capo elécrico F r : Função odal : : a : k : Consane de propagação longiudinal Frequência angular Raio do núcleo da fibra Consane genérica de propagação k : Consane de propagação no vácuo q : h : u : w : : b : v : n : Consane de propagação na bainha Consane de propagação no núcleo Consane de propagação ransversal noraliada Consane de propagação na bainha noraliada Consane de aenuação Índice de refracção odal noraliado Frequência noraliada da fibra Índice de refracção odal v : Frequência de core noraliada c xi

14 : Coprieno de onda de core c a : Raio áxio do núcleo para que o regie seja onoodal ax J u : Função de Bessel da ª espécie K u : Função de Bessel da ª espécie ' J u : Derivada da função de Bessel da ª espécie ' K u : Derivada da função de Bessel da ª espécie E : H : n : : Capo elécrico Capo agnéico Índice de variação radial Índice de variação aiual D : Dispersão no guia L : Coprieno na fibra : Araso de grupo g v : Velocidade de grupo g n : Índice de grupo g : Coeficiene da DVG A, : Envolvene do ipulso a enrada da fibra A, : Envolvene do ipulso que se propaga na fibra F x, y : Função odal que represena a variação ransversal do odo fundaenal r : : Coordenada ransversal nu sisea de coordenadas cilíndricas Desvio de frequência e relação a poradora : Frequência angular da poradora : Tepo caracerísico de duração do ipulso L : Coprieno de dispersão D : : : C : Coprieno noraliado Tepo noraliado Frequência noraliada Parâero Chirp : Facor de Henry c A : Apliude do ipulso, : Desvio de frequência provocado pela exisência do Chirp xii

15 : Facor de alargaeno dos ipulsos : Disância ínia para o qual o ipulso ainge a sua largura ínia in : Tepo que o ipulso leva a aingir a sua largura ínia in : Tepo de duração para o qual a inensidade do ipulso auena de % a 9% do r seu valor de pico : Largura efeciva do ipulso q : Moenos : Largura inicial do ipulso : Largura efeciva da fone V : Largura especral da fone noraliada L : Coprieno da fibra a funcionar na ona anóala L : Coprieno da fibra de copensação a funcionar na ona noral : Coeficiene da DVG na secção : Coeficiene da DVG na secção n x, y : Índice de refracção da fibra : Consane dielécrica relaiva ' : Consane dielécrica relaiva perurbada ' : Consane de propagação perurbada E : Capo elécrico ficício * I : Inensidade ópica y : Adiância apropriada * P, : Poência ransporada : Área efeciva r : Raio efecivo ef P : Poência de enrada do ipulso in : Fase não-linear NL : Coprieno efecivo : Desvio de frequência insanânea local e relação a poradora provocada pela AMF P : Poência de pico L : Coprieno não-linear NL N : Orde do solião xiii

16 q : Cenro do ipulso e relação a : Fase para : Período da evolução do solião E : Energia do solião s : Largura oal a eade do valor áxio s A : Área do solião fundaenal S : Densidade especral de poência N : Parâero da não-linearidade D : Parâero da dispersão : : Facor de perdas Tero de dispersão da 3ª orde u : Ipulso incidene h : Passo longiudinal : Coprieno da fibra noraliado L E : Energia inicial in E : Energia final fin : Erro coeido c J : : D : B : Vecor de densidade de correne Vecor de densidade de carga Densidade de fluxo elécrico Densidade de fluxo agnéico : Peressividade élecrica no vácuo : Pereabilidade agnéica do vácuo P : M : Polariação induida élecrica Polariação induida agnéica P L r, : Polariação induida da pare linear P NL r, : Polariação induida da pare não-linear : Suscepibilidade linear 3 : Suscepibilidade não-linear xiv

17 Lisa de Acrónios LAN: Local Área Nework WAN: Wide Area Nework WDM: Wavelengh Division Muliplexing EDFA: Erbiu Doped Fiber Aplifier AM: Apliude Modulaion FM: Frequency Modulaion DM: Digial Modulaion LED: Ligh Eiion Diode ILD: Injecion Laser Diode TE: Transversais Elécricos TM: Transversais Magnéico TEM: Transversais Elecro-Magnéicos LP: Linearene Polariado IIS: Inerferência Iner Sibólica DVG: Dispersão da Velocidade de Grupo DCF: Dispersion Copensaion Fiber FFT: Fas Fourier Transfor IFFT: Inverse Fas Fourier Transfor AMF: Auo-Modulação de Fase RLND: Regie Linear Não-Dispersivo RLD: Regie Linear Dispersivo RNLD: Regie Não-Linear Dispersivo RNLND: Regie Não-Linear Não-Dispersivo NLS: Não-Linear de Scho dinger IST: FWHM: SSFM: FWM: XPM: Inverse Scaering Transfor Full Wich a Half Maxiu Slip-Sep Fourier Mehod Four Wave Mixing Cross Phase Modulaion xv

18 xvi

19 Capíulo - Inrodução Nese capíulo fala-se inroduoriaene do aparecieno das fibras ópicas, da sua invenção, por que raão udara drasicaene o paradiga de ransissão de dados, as principais vanagens que orna a fibra ópica especial quando coparada co os cabos eálicos, ou seja, ua breve inrodução as fibras ópicas. Descreve-se abé os eleenos básicos de ua ligação por fibra ópica, referindo-se de ua fora breve o especro elecroagnéico e as counicações ópicas, faendo-se ua coparação básica enre os eissores ópicos usados pela fibra, se esquecer de apresenar os objecivos e oivações da disseração, ua esruura resuida do rabalho realiado e as suas principais conribuições... - Inrodução as fibras ópicas Co base nos esudos efecuados pelo físico inglês Jonh Tyndall e 87, de que a lu poderia descrever ua rajecória curva denro de u aerial, apenas e 95 o físico indiano Narinder Singh Kapany concluiu as suas experiencias levando-o a invenção da fibra ópica, pois só co a invenção e desenvolvieno dos disposiivos LASER s e LED s capaes de converer ipulsos elecrónicos e ipulsos de lu é que era possível ransiir a inforação que aé ao oeno era elécrica, udando desde enão o paradiga de ransissão de dados sinal []. A fibra ópica é principalene uiliada e siseas que exige ala largura de banda, ais coo siseas elefónicos, siseas de vídeo-conferência, redes de copuadores locais LAN s e de longas disancias WAN s e capos universiários, hospiais e epresas, TV s a cabo fuuraene e siseas bidireccionais, conrole e auoação indusrial, aplicações iliares, na edicina endoscopias por exeplo, enre ouros. As fibras ópicas, não são nada ais que aérias isolanes, cilíndricos filaenos consiuídos por ua região cenral denoinada núcleo, por onde passa a lu, e ua região periférica denoinada bainha que envolve o núcleo, coo osra a Figura.. Tal filaeno pode apresenar diâeros variáveis, dependendo da aplicação, indo desde diâeros infinios da orde dos icróeros ais finos que u fio de cabelo aé vários ilíeros [].

20 Figura. - Consiuição da fibra []. Exise duas vanagens principais que orna a fibra ópica especial e coparação aos cabos eálicos: A fibra ópica é oalene iune a inerferências elecroagnéicas, por esa ser consiuída de aerial dielécrico pedaço de vidro ou aerial poliérico co capacidade de ransiir lu, o que significa que os dados não serão corropidos durane a ransissão. E o faco das fibras ópicas não conduire correne elécrica, logo não haverá probleas co elecricidade, coo probleas de diferença de poencial elécrico ou probleas co descargas elecricas. O principio fundaenal que rege o funcionaeno das fibras ópicas é o fenóeno físico denoinado reflexão Inerna oal da lu. Para que haja a reflexão Inerna oal, a lu deve sair de u eio co índice de refracção aior para u eio co índice de refracção enor e o ângulo de incidência deve ser superior ao ângulo críico, couene designado por ângulo liie. Exise duas caegorias de fibras ópicas: Muliodais e Monoodais, definindo assi a fora coo a lu se propaga no inerior do núcleo. As fibras uliodais possue diâero do núcleo superior ao das onoodais, de odo a que a lu enha vários odos de propagação, ou seja, a lu percorre o inerior da fibra ópica por diversos cainhos. Tais fibras são ais usuais para curas disâncias, pois são basane sensíveis ao fenóeno da dispersão, que ais adiane se explicará. Enquano nas onoodais a lu possui apenas u odo de propagação, ou seja, a lu percorre o inerior do núcleo por apenas u cainho, as e copensação, são as ais adequadas para aplicações que envolva grandes disâncias, ebora requeira conecores de aior precisão e disposiivos de alo cuso [7].

21 .. - Counicações ópicas As counicações ópicas consiue hoje o supore da ransissão da rede fixa. Counicações e frequências basane elevada Opo - elécricos PIN. 93TH, recorrendo a conversores elecro-ópicos LAZERs e Pelo faco da fibra ópica apresenar aenuações basanes reduidas ~.db k, perie ligações enre várias deenas de quilóeros. E ligações longas, é necessário usar repeidores aplificadores ou regeneradores [5] Lu As principais quesões que se colocara fora: coo é que a lu, passando por eio da fibra ópica, consegue ransiir inforação? Coo iso pode ser ão ais eficiene que as ransissões radicionais, por conduores eálicos? A Figura. osra ua coparação enre as diensões e eros de capacidade de u cabo usual e ua fibra ópica. Figura. - Coparação de diensões da fibra ópica e cabo usual [8]. Para enar perceber esudareos coo as ondas funciona, pois a lu é ua gaa de coprienos de onda a que o olho huano é sensível ou qualquer radiação elecroagnéica que se siue enre a radiação infraverelha e radiação ulraviolea. As rês grandeas físicas básicas da lu são: brilho apliude, cor frequência e polariação ângulo de vibração, devido a dualidade onda-paricula, a lu exibe siulaneaene propriedades de onda e parícula [8]. A ransissão de lu pela fibra, independeneene do aerial usado ou da aplicação, é feia lançando u feixe de lu o qual ranspora a inforação à enrada da fibra sob u cone de aceiação, e que ese deerina o ângulo por que o feixe de lu deverá ser injecado, para que ese possa propagar-se ao longo da fibra, pelas suas caracerísicas. O feixe percorre-a por eio de reflexões sucessivas, se esquecer que para iniciar a ransissão fa-se o uso de u conversor que 3

22 ransfora ipulsos de ensão na linha de enrada, nu feixe laer, o qual é direccionado para o núcleo da fibra. Da enrada segue-se o princípio de funcionaeno da fibra, e no final da fibra abé é colocado u ouro conversor que reconvere os ipulsos de lu e ensão elécrica [5] Especro elecroagnéico O especro elecroagnéico é o inervalo que coné odas as radiações elecroagnéicas, que vão desde as ondas de rádio aé aos raios gaa [5]. O conhecieno sobre as ondas elecroagnéicas e evoluído desde a época de Maxwell. As ondas elecroagnéicas são ondas foradas pela cobinação dos capos elécrico e agnéico que se propaga perpendicularene u e relação ao ouro. Figura. 3 - Especro Elecroagnéico e frequências ópicas [5]. A relação enre frequência ópica, e o coprieno de onda, λ é: f c Onde c é a velocidade da lu no vaio, à qual é ua consane de valor aproxiado à 3. 8 /s. Na Figura.4 são ilusradas as regiões de coprieno de onda ao longo das décadas usadas pela fibra, onde as erceira janela valores viinhos ao coprieno de onda cenral ou noinal e segunda janela são as ais aracivas pois oferece enores valores de aenuação por kilóero percorrido. 4

23 Figura. 4 - Janelas de ransissão ao longo dos anos [5]. Apesar de a aenuação ser basane reduida e fibras ópicas, não deixa de ser ua caracerísica iporane de ransissão, reflecindo-se esa no faco de que a edida que a lu se propaga pela fibra perde pare da sua poência pelas iperfeições do aerial ao ser fabricado sílica e absorção da lu pela casca, reduindo assi a poência ópica disponível [6], [7]. E siseas ópicos é cou apresenar-se o valor de aenuação por unidade de coprieno da fibra L, por via da coparação da poencia ópica a enrada e a saída da fibra, co α a represenar o coeficiene de aenuação e expresso e. P L log P sai en.a Coo se observa na Figura.4, de odo a reduir a aenuação, a ransissão na fibra não uilia lu visível, as si lu infraverelha co coprienos de onda a rondare enre os 85 à 55 nanóeros, por isso nunca deveos olhar direcaene para ua fibra ópica quando esa esiver ransiindo, pois correos sérios riscos de perder a visão [3]. Acualene e fibras ópicas a aenuação já é basane reduida, pelo que, e odas as deonsrações aqui apresenadas, considera-se a aenuação nula face ao efeio da dispersão na fibra. 5

24 LED vs LASER A fibra ópica convere o sinal e ipulsos de lu aravés de u eissor ópico, a chaada conversão elecro-ópica. Para siseas ópicos, enconraos dois ipos de fones ópicas fones de lu que são frequeneene uiliadas: LED Ligh Eiion Diode e ILD Injecion Laser Diode, abos seiconduores odulados direcaene pela variação de correne a enrada. Cada u deses dois ipos de fones oferece ceras vanagens e desvanagens, e diferencia-se enre si sob diversos aspecos: - Poência luinosa: os lasers oferece aior poência ópica quando coparados co os LEDs. - Largura especral: os lasers ê largura especral enor que os LEDs, o que proporciona enor dispersão aerial. - Tipos e velocidades de odulação: os lasers ê velocidade aior que os LEDs, as necessia de circuios coplexos para aner ua boa linearidade. - Acoplaeno co a fibra ópica: o feixe de lu eiido pelo laser é ais concenrado que o eiido pelo LED, periindo ua eficiência de acoplaeno aior. - Variações co eperaura: os lasers são ais sensíveis à eperaura que os LEDs. - Vida úil e degradação: os LEDs ê vida úil aior que os lasers aproxiadaene vees ais, alé de er degradação be definida. - Cusos: os lasers são ais caros que os LEDs, face dificuldade de fabricação. - Ruídos: os lasers apresena enos ruídos que os LEDs. Abos pode ser fabricados do eso aerial, de acordo co o coprieno de onda desejado: * AlGaAs arseneo de aluínio e gálio para 85 n. * InGaAsP fosfao de arseneo de índio e gálio para 3 e 55 n. Dadas as caracerísicas de abos, os lasers são couene usados nas fibras onoodo, enquano os LED s são ais usados nas fibras uliodo Esqueas de odulação e uliplexage e fibras ópicas A odulação é o processo pelo qual o sinal e ve de ser ransiido e sua fora original é ransiido co udança de apliude, frequência ou dígios, aravés de ua poradora ou canal. A ransissão de inforação basicaene realia-se odulando a inensidade do capo poência ópica que se propaga na fibra ópica [], []. A fibra ópica pode usar 3 esqueas de odulação, os quais aqui se refere: 6

25 Apliude Modulaion AM: a odulação é feia na apliude, coo o próprio noe indica, o que requer siseas basane lineares, para copensar a disorção do sinal ao aravessar a fibra. Frequency Modulaion FM: a inforação é ransiida a parir de ua variação de frequência da poradora, faco que orna enos vulnerável às variações de apliude. Digial Modulaion DM: apesar de requerer a enrada u conversor de sinal A/D, é a odulação enos afecada pela disância, ruído do eissor de lu ou eso disorção, e consequeneene a odulação co cusos ais elevados. A uliplexage é a écnica que perie enviar pelo eso canal e siulâneo, varias ensagens disinas []. A uliplexage ais usada e fibras é a chaada uliplexage por divisão no coprieno de onda, ou coo é couene conhecida WDM Wavelengh Division Muliplexing. Essa ecnologia baseia-se no faco das fibras ópicas podere ransporar vários coprienos de onda e siulâneo canais se que haja ieração enre eles, periindo o aueno da largura de banda. Já o Muliplexer, e conjuno co filros apropriados, perie cobinar os diferenes coprienos de onda nua única fibra, no final da ransissão usa-se u Deuliplexer para separar os diferenes coprienos de onda Eleenos de ua ligação por fibra ópica A quanidade de inforação que pode ser ransiida esá direcaene relacionada co a frequência da poradora na qual a inforação é ipressa, enão u aueno da sua frequência iplica, e eoria, u aueno da largura de banda de ransissão e, e consequência, ua aior capacidade de ransiir inforação. Assi, a endência e siseas de counicação é o uso de frequências cada ve ais elevadas ou, equivaleneene, de coprienos de onda ais curos [5]. A Figura.5 abaixo apresena os eleenos básicos de ua ligação por fibra ópica. É de realçar que quano aior for a ligação por fibra ópica, ao longo desa requer-se o uso de aplificadores de sinal apropriado, coo por exeplo EDFA Erbiu Doped Fiber Aplifier ou o uso de regeneradores de sinal por exeplo a cada K de disância, de odo a iniiare-se as perdas de ransissão aenuação e dispersão []. 7

26 Figura. 5 - Eleenos de ua ligação por fibra ópica [5] Moivações e objecivos da ese As principais oivações a escria desa ese fora enar perceber que ecnologias envolvidas esão por derás da ransissão de dados por fibra ópica, coo u conduor co diâero inferior a u fio de cabelo é capa de ransiir quanidades enores de inforação co perdas basane insignificanes, o que aconece a inforação ao passar por al eio e coo iso pode ser uio ais vanajoso que os siseas de ransissão de dados convencionais. O objecivo principal passa por enar esclarecer de odo conciso e abrangene as oivações que levara a escria dese rabalho, incidindo principalene sobre o que aconece co os ipulsos de lu ao viajare pela fibra Esruura da ese O rabalho esa esruurado por cinco capíulos, onde o prieiro capíulo descreve inroduoriaene as fibras ópicas, counicações ópicas, fala-se u pouco do especro elecroagnéico, fa-se ua breve coparação enre os lasers e LED s e osra-se os eleenos de ua ligação por fibra 8

27 ópica. É abé no prieiro capiulo onde se descreve as oivações e objecivos da ese, coo esá esruurada e quais as principais conribuições. No segundo capíulo fala-se breveene da eoria odal, pois é esa eoria que explica por que raão é possível a ransissão de lu denro da fibra, as equações que rege a propagação de ondas e regie linear e quais os odos de propagação na fibra. No erceiro capíulo apresena-se ua descrição sobre o que aconece aos ipulsos ao propagarese na fibra e regie linear, pois os siseas ópicos sob o efeio de pequenas perurbações ê u coporaeno uio próxio aos siseas lineares e por essa raão fa-se o esudo dos ipulsos ao propagare-se e regie linear. Coo não se pode falar de propagação de ipulsos se se ocar no ea dispersão e fibras, fa-se ua breve descrição sobre por que raão os ipulsos sofre o efeio da dispersão ao propagare-se, quais as equações que rege o principio da dispersão. Deonsra-se a equação que rege a propagação de ipulsos e regie linear e no fi arranja-se u algorio siples para a resolução de al equação o qual foi noeado de Algorio RIMF. Mais adiane fae-se alguas siulações nuéricas para ilusrar o efeio DVG sobre o ipulso secane-hiperbólica. Ao inroduir-se o parâero Chirp o qual quanifica o desvio de frequência insanânea, fae-se uas siulações nuéricas dos ipulsos Gaussianos e Super- Gaussianos, osrando-se coo o parâero Chirp pode influenciar na evolução da largura especral de ais ipulsos ao propagare-se na fibra. Por fi arranja-se ua solução adissível ao problea da dispersão, co o uso da écnica de fibras copensadoras de dispersão a cada duas secções da fibra, o que revela ser ua écnica basane efica para colaar o efeio da dispersão na fibra e regie linear. No quaro capíulo descreve-se a propagação de ipulsos e regie não-linear, pois sabe-se que os eleenos na naurea copora-se de fora não linear a perurbações exeriores. Mosra-se que a propagação de ipulsos e regie não-linear dispersivo é governada pela auo-odulação de fase que e conjuno co dispersão de velocidade de grupo perie o aparecieno de soliões, que são ipulsos que não uda a sua fora ao longo da propagação na fibra, sendo esa a fora de copensar a dispersão nese regie. Fala-se da equação não-linear de Schrondinger que é a equação que rege a propagação de ipulsos e regie não linear, acha-se as suas soluções analíicas, que para ondas não periódicas raa-se de ua onda que se propaga se deforação, que coo já se havia referido, é o solião. Por iso, osra-se a evolução do solião de prieira orde e as suas caracerísicas principais. Para o caso de ondas periódicas, que ao conrário do solião fundaenal não aê a sua fora ao longo da propagação, ilusra-se a evolução de u solião de erceira orde. Por fi fala-se da siulação nuérica da equação não-linear de Schrondinger, que baseia-se na aplicação, e eros copuacionais do algorio RIMF ieraivaene para o caso da resolução das equações não-lineares, onde quano aior o núero de ierações ais eficiene se osra o éodo. 9

28 É de realçar que considerara-se as perdas de poência aenuações nulas, pois esas são insignificanes coparadas ao fluxo de inforação ransiida pela fibra. O que não quer dier que não fora referidas. O quino capíulo é reservado as conclusões do rabalho e as perspecivas de rabalhos fuuros Conribuições A principal conribuição desa disseração é ua visão inegrada da propagação de ipulsos e siseas de fibras ópicas. E paricular, a caraceriação da propagação de ipulsos e fibras ópicas e regie linear, analiando o fenóeno de dispersão eporal, e e regie não-linear, analiando o efeio conjuno da auo-odulação de fase e da dispersão eporal. A siulação nuérica da propagação de vários ipos de ipulsos nua ópica, quer e regie linear e quer e regie não-linear, be coo a análise de écnicas de copensação da dispersão para regie linear fibras copensadoras de dispersão e e regie não-linear propagação de soliões, são abé aspecos iporanes dese rabalho.

29 Capíulo - Teoria Modal A ransissão de lu denro da fibra só é possível graças a diferença de índice de refracção enre o núcleo e a bainha, sendo que o núcleo possui sepre aior índice de refracção, al caracerísica associada a u cero ângulo de incidência do feixe de lu, possibilia o fenóeno de reflexão inerna oal. A eoria odal explica a ransissão da lu denro da fibra [3], [9]... - Lei de Snell A Lei de Snell explica que não pode haver refracção quando o ângulo de incidência é uio grande, ou seja, exise u valor críico que perie que a lu cainhe pelo vidro. O fenóeno de reflexão inerna oal é o fenóeno que ané e susena a lu confinada denro da fibra, ou seja, a reflexão inerna deve ser proporcionada co oda energia de odo a que os raios de lu sale para o inerior da fibra obedecendo a lei de Snell [6]. n sini n sin.a Figura. - Confinaeno na fibra [6].

30 Aravés da rigonoeria é possível definir u valor áxio para o ângulo de incidência e relação ao eixo da fibra e não à noral referida na Figura., chaado ângulo de aceiação áxio. Soene os raios que enra na fibra co u ângulo inferior ao ângulo de aceiação áxio se propaga pela fibra [4]. n Nas fibras ópicas, seja o índice de refracção do núcleo e n o índice de refracção da bainha, exise u parâero úil para descrever a capacidade de se colecar lu nua fibra ópica, que se relaciona co o ângulo de aceiação áxio, o qual é denoinado por aberura nuérica NA e é dado pela seguine fórula: NA n sin ax n n n. Onde n é o índice de refracção do eio e que a fibra esa inserida noralene o ar e por isso n =. Mas adiane explica-se o significado do parâero. A fibra ópica pode ser de perfil gradual ou e degrau [5]. A fibra ópica de perfil e degrau corresponde a fibras cujo índice de refracção enre o núcleo e a bainha varia abrupaene, coo osra a Figura.. Os diâeros do núcleo e da bainha depende do perfil da fibra. Figura. - Fibras co vários perfis [].

31 .. - Fibras ópicas operadas e regie linear As fibras ópicas operadas e regie linear, couene chaadas coo fibras ópicas e regie onoodal, são as fibras que perie o uso de apenas u sinal de lu pela fibra, possue diensões enores e aior banda passane, por possuíre enos dispersão. Sendo a diferença de índices relaiva dada pelo conrase dielécrico, o qual é definido aravés do parâero al que: n n n. Para elhor se esudar a propagação de ondas na fibra ópica, considereos a sua represenação de perfil e degrau. Figura. 3 - Fibra ópica de perfil e degrau [3]. Ao adiir-se u referencial e que a direcção de propagação de onda é a direcção do eixo, coo osra a Figura.3, podeos considerar a coponene longiudinal do capo elécrico e e coordenadas cilíndricas, a fora.3 E Onde represena a apliude do capo, Fr a respeciva função odal, o índice de o variação aiual e a consane de propagação longiudinal. No Anexo A apresena-se as equações de Maxwell que ajuda a inerprear elhor as coponenes longiudinais de capos [], [5], [4]. 3

32 Exise fibras ópicas especiais de secção e core ransversal no núcleo de ouras foras exeplo, elípicas as as ais usuais são as de núcleo circular. Considereos ua fibra co o raio a e bainha considerada infinia, co o perfil e degrau coo osra a Figura.3, significa enão que: k Sendo a consane genérica de propagação e k o a consane de propagação no c vácuo, e-se k h Se k q na bainha e no núcleo, ereos: k n, r a n r.4 n, r a r n r ko q n k o.5.6a h n k o.6b Por exisir ua onda superficial guiada, exise no enano reflexão oal na inerface núcleo-bainha, nesas condições q i, ereos enão: n k o Parâeros noraliados Há necessidade de se inroduire parâeros noraliados, ou seja, parâeros adiensionais, u ais coo, a consane de propagação ransversal no núcleo e, a consane de aenuação ransversal na bainha. w u ha wa.8a.8b Das Eqs..7 e.6b e-se u a k n o.9a w a k n o.9b 4

33 Inroduindo-se a chaada frequência noraliada da fibra v, que é dada por ou seja v k o v a n u w n k a o n.. Sabendo que v u a k n, n n, co auxilio da Eq.., se define o v u enão a consane de propagação longiudinal e função dos parâeros, e : a v u. Define-se ainda, o índice de refracção odal noraliado u b v w v k n o b n n da fora:.3 O índice de refracção odal fora: n dependerá da consane de propagação longiudinal da seguine n k o.4 Tereos enão a variar ou k n k, iplicando b. n n nn n o o Exise ua frequência ínia de funcionaeno chaada frequência noraliada de core v c, para a qual coeça a propagar-se odos na fibra ópica, ou seja, quando se inicia a reflexão oal na inerface núcleo-bainha, e que n k o. Por ouro lado, no liie das alas frequências, eos.5 k Pela Eq.. e podeos dier que é dada por o v c v c a n c.6 5

34 e que c é o coprieno de onda de core edido no vácuo, se isolaros o conrase dielécrico ereos: v c c na.6a v c é a frequência noraliada de core, sendo o parâero da fibra que indica se a fibra é onoodo ou uli-odo, ou seja, indica se na fibra propaga-se u ou ais odos. v. 448 Para que as fibras seja ono-odo deverá er-se, co, onde se pode calcular u raio áxio do núcleo, para que o regie seja ono-odal. v c v c a a ax v c n.7 Ou seja, para v v c a fibra é uli-odo guiando assi ouros odos alé do odo fundaenal de propagação Modos de propagação na fibra ópica A propagação da lu na fibra raa-se de u fenóeno elecroagnéico, e coo odo o fenóeno elecroagnenico, capos ópicos a ele esão associados. Os capos ópicos de propagação na fibra são governados pelas leis de Maxwell. Nos odos TE Transversais Elécricos não exise nenhua coponene do capo elécrico na direcção de propagação E =, já nos odos TM Transversais Magnéicos não exise nenhua coponene do capo agnéico na direcção de propagação H =, e nos TEM Transversais ElecroMagnéicos não exise nenhua coponene do capo elécrico e agnéico na direcção de propagação H =E = [3], [4]. Os odos híbridos são aqueles onde há coponenes do capo elécrico e agnéico na direcção de propagação, ou seja E e H [4]. Eses odos classifica-se e e EH onde e H represena os capos elécricos e agnéicos respecivaene. E geral as ondas superficiais guiadas na fibra ópicas são odos híbridos que saisfae a seguine equação odal HE n n E 4 u v u S u R v uw.8 6

35 E que R J ' u uj u K' u wk w w.9a S J' u uj u K' u wk w w.9b onde ' u J e ' u respecivaene, e são dadas por: K são as derivadas das funções de Bessel de ª e ª espécie J u J u J u.a ' n K w K w K w.b ' Os índices e refere-se as variações radial e aiual respecivaene. No Anexo B apresena-se a dedução da Eq..8, ao subsiuir-se a Eq. BI.3 na Eq. BI.3. A resolução da Eq..8 é basane coplexa, sendo eso necessário se recorrere aé a éodos nuéricos para se deerinare os odos de propagação. Apenas na condição do índice aiual ser nulo, é possível propagare-se os odos ransversais elécrico TE n e agnéico TM, onde obeos para a Eq..8 n TE n R u.a TM n S u.b De acordo co a aproxiação de Gloge aproxiação de pequeno conrase e que as fibras ópicas são fracaene guiadas, ou seja, que fará co que a Eq.. degenere e n n n. 7

36 endo-se R u S u, que fará co que a equação odal seja reduida a R v u.3 u w onde o sinal + corresponde aos odos a equação odal relaiva aos odos EH n EH n e o sinal - aos odos HE. Obé-se enão para n J u K uj u wk w w.4 Levando e consideração a seguine relação enre as derivadas e as funções de Bessel: K J ' ' J K u w u u J K u w.4a.4b Analogaene, a equação odal relaiva aos odos HE é dada por n J u K uj u wk w w.5 Onde se aendeu K J ' ' J K u w u J u K u w.5a.5b Levando e consideração que, J u J u.6a K w K w.6b 8

37 quando o índice aiual é nulo, as Eqs..4 e.5 redue-se à esa equação odal J u K w uj u wk w.7 Que coo se osra no Anexo B, os odos EH são, na realidade, odos n TM pela Eq. BII.9 n se se esquecer Δ<<. Analogaene os odos HE n são, os odos TE n pela Eq. BII.5. É de realçar que o único odo de propagação na fibra e regie uniodal o único odo cujo core corresponde a v é designado por odo fundaenal c HE. Na aproxiação de Gloge ou de pequeno conrase, os odos são quase linearene polariados e designados por LP pn. Sabendo que os odos degenerados são os odos que ê a esa frequência de core, ais co diferenes configurações de capos Os odos HE n dão orige aos odos LP n. Os odos TE n Os odos HE, n Teos enão: odos LP. n TM n e HE n são degenerados e dão orige aos odos LP n. EH,, co, abé são degeneras dando orige aos e n EH n LPpn co p ; HE n LP co pn p. Nas condições acia, para os odos LP pn ereos enão a seguine equação odal a qual é equivalene à J u K p u w J u K p p J u K p u w J u K p p p p w w w w.8.9 Para o odo fundaenal LP, as duas equações equivalenes que acia referios redue-se à Eq..3 endo e cona as Eqs..6. uj u K w wj u K w.3 9

38 A Figura.4 apresena u gráfico que osra a variação do índice de refração odal noraliado b e função da frequência noraliada v, para o odo fundaenal LP. Figura. 4 - Solução da equação odal.8 para o odo fundaenal. Verificando-se u aueno da frequência noraliada a edida que o índice de refração odal noraliado auena. O core dos odos LP corresponde a faer-se w nas Eqs..8 ou.9. Assi, sendo v c a pn frequência noraliada de core e aendendo à Eq.., u v quando w, eos: J p vc.3 Na Figura.5 esão represenados os seis prieiros odos LP da fibra ópica por resolução das Eqs..8 ou.9. Para se diensionar ua fibra ópica de odo a que esa funcione e regie onoodal, eos de conhecer o core do odo LP : v. 448, Eq..7. c

39 Figura. 5 - Prieiros seis odos LP da fibra ópica: diagraas bv. Pode-se observar pela Figura.5, que quano aior for a frequência noraliada, ais odos poderão propagar-se na fibra. É ineressane analisar, o quano o conrase dielécrico influência sobre a curva de dispersão bv do odo fundaenal HE, iso é, se qualquer aproxiação. Figura. 6 - Influência do conrase dielécrico sobre a curva de dispersão bv para o odo fundaenal. Verificando-se que o aueno do conrase dielécrico iplica u aueno da curva de dispersão b v, daí concluir-se que é possível reduir-se o efeio da dispersão ao se usare fibras co enor conrase possível.

40 Na Figura.7 esa ilusrada graficaene a Eq..6a, ou seja, coo varia o conrase dielécrico e função do raio da fibra ópica a para dois valores do coprieno de onda de core diferenes do odo LP. c Figura. 7 - Variação do conrase dielécrico co o raio do núcleo, para dois valores diferenes do coprieno de onda de core do odo LP o prieiro a propagar-se iediaaene a seguir ao odo fundaenal LP. Considera-se n =.5. Na figura acia se pode observar que quano aior for o raio do núcleo enor é o conrase dielécrico, e para o eso valor de conrase dielécrico, quano aior for o coprieno de onda de core, aior erá de ser o raio do núcleo.

41 Capíulo 3- Propagação de ipulsos e regie Linear Não se pode falar de propagação de ipulsos e regie linear se enrar no ea dispersão de ipulsos e fibras ópicas, pois a lu ao propagar-se na fibra ópica sofre o efeio da dispersão devido as caracerísicas aeriais e esruurais das fibras. Pode definir-se genericaene a dispersão coo sendo a disorção e o alargaeno que os ipulsos ransiidos sofre ao propagare-se na fibra, que para alé de liiare a largura de banda do sinal ransiido pode abé criar inerferência enre os síbolos ransiidos, couene chaada de inerferência iner-sibólica IIS Dispersão e fibras ópicas A dispersão nua fibra ópica e orige nas caracerísicas aérias e esruuras da fibra e resula do faco da velocidade de propagação da lu na fibra ser função do coprieno de onda. Quando o ipulso ópico co largura especral finia é lançado na fibra, cada coponene especral do ipulso viaja ao longo desa co ua velocidade que depende do respecivo coprieno de onda [5]. A diferença enre as velocidades de propagação das diferenes coponenes especrais é designada por Dispersão da Velocidade de Grupo DVG. Define-se enão a dispersão coo sendo o efeio e que os odos geradores de ua frene de lu são separados ao viajare pela fibra, ocasionando a chegada deses a oura exreidade da fibra espalhadas e relação ao epo, concluindo-se enão que a inerferência iner-sibólica ou dispersão do ipulso é a diferença enre a largura de banda do ipulso a enrada e a correspondene largura de banda do ipulso a saída da fibra. A dispersão é a principal responsável pela liiação da largura de banda do sinal ransiido. E fibras ópicas exise dois efeios principais de dispersão: dispersão inerodal enre odos e a dispersão inraodal sob o eso odo. A dispersão inerodal, a qual afeca apenas as fibras uliodo, resula no faco de cada odo guiado er u valor diferene da velocidade de grupo para o eso coprieno de onda. O ipulso ópico, ao ser injecado nese ipo de fibra, causa a exciação de vários odos de propagação, e que cada u ranspora ua pare da energia do ipulso. Coo os diferenes odos viaja co diferenes velocidades de grupo, a largura do ipulso à saída da fibra irá depender dos epos de ransissão do odo ais rápido odo fundaenal e do odo ais leno odo de orde ais elevada, dependendo de quanos odos pode propagar respeciva fibra, alargando assi o ipulso a saída da fibra. 3

42 As fibras uliodo não supora grandes axas de ransissão a longa disancia, e os siseas acuais de elecounicações exige elevadas axas de ransissão. Para dar resposa às exigências acuais, as fibras onoodo co apenas u odo a propagar-se são as ais usadas, pois supora axas de ransissão ais elevadas e eliina siulaneaene a dispersão inerodal que é a principal fone de dispersão nas fibras ópicas [7]. E regie onoodal ficaos enão co a dispersão inraodal ou couene chaada de dispersão croáica que consise no alargaeno eporal de u ipulso ópico denro de u odo de propagação sendo consequência da dependência que exise enre o índice de refracção co a frequência ω. Quando ua onda elecroagnéica inerage co os elecrões de u dielécrico, a resposa do eio depende da frequência ω [5]. A dispersão croáica é consequência de dois efeios: a disperção aerial e principalene do guia de onda. A dispersão aerial resula no faco do índice de refracção do aerial consiuine da fibra variar de ua fora não linear co o coprieno de onda. Coo a velocidade de grupo de u odo é função do índice de refracção, as várias coponenes especrais de u dado odo apresena u araso enre si, após a propagação ao longo da fibra, o que origina o alargaeno eporal do ipulso. A dispersão no guia de onda é consequência da dependência do índice de refracção efecivo de cada odo de propagação no coprieno de onda. Esa dependência verifica-se eso na ausência da dispersão aerial e resula no faco de a disribuição da energia de u dado odo pelo núcleo e pela bainha da fibra ser função do coprieno de onda. Ese ipo de dispersão é basane cou e fibras onoodo, viso que nessas fibras apenas 8% da poência ópica que se propaga na fibra peranece confinada no núcleo, propagando-se pela bainha os resanes % da poência, a velocidade de propagação do odo vária consuane a percenage de poência que se propaga no núcleo e na banhia, o que origina o alargaeno eporal dos ipulsos e é ainda ua fone de dispersão iporane [7]. Ao desprear-se a dispersão de orde superior, o parâero da fibra que descreve a sua dispersão é D, o qual reflece u araso eporal relaivo enre duas coponenes especrais separadas de n, após k de propagação e di-nos o significado físico da dispersão [7]. 4

43 Considerando-se sepre o caso das fibras ópicas de pequeno conrase, ou seja. Define-se enão, o coeficiene de dispersão D coo g D L 3.. sendo L o coprieno da fibra, g o araso ou epo de grupo, o qual é dado por g L v 3.. g e que v g represena a velocidade de grupo e é dada por Sabendo que v g k k 3..3 n g k 3..4 Levando e consideração Eq e levando e consideração a definição de k c, g v ve dada por c vg 3..4 n g subsiuindo a Eq. 3.. na Eq. 3.. eos para D D v g 3..5 Ua fora de caraceriar a dispersão inraodal é aravés dos coeficienes calculados na frequência da poradora do sinal, dos quais se fará ua análise ais dealhada ais adiane, os quais são definidos por levando e consideração a Eq eos para v g 5

44 sabendo 3..8 v g d v g dv g vg vg 3..9 e-se para, o qual é chaado de coeficiene da DVG v g v g 3.. Aendendo a Eq e subsiuindo na Eq eos sabendo que e D 3.. d d d d 3.. c 3..3 subsiuindo-se na Eq. 3.., o parâero que descreve a dispersão no guia D, finalene é dado por D c 3..4 Ou seja, quando D, esaos na presença da chaada ona de dispersão anóala e quando dispersão noral. D, esaos na couene designada ona de 6

45 Na dispersão nula D, os coponenes especrais e diferenes coprienos de onda, possue a esa velocidade de propagação, ou seja, o araso de propagação é consane para os diferenes coprienos de onda. Figura 3. - Dispersão nula [5]. Na dispersão posiiva D, couene designada por ona de dispersão anóala, os coponenes especrais nos violeas propaga-se ais rapidaene que nos verelhos Figura 3. - Dispersão anóala [5]. 7

46 Na dispersão negaiva D, couene designada por ona de dispersão noral, os coponenes especrais nos verelhos propaga-se ais rapidaene que nos violeas. Figura Dispersão noral [5]. Apenas co ua fone de lu onocroáica de ua cor apenas não exisirá dispersão croáica, o que orna essa fone, ais pura e co enor largura especral, efecivaene elhor que u LED convencional. Dese odo os acuais siseas de counicação ópica fora desenvolvidos de aneira a aproveiar a caracerísica da fibra ópica de sílica-padrão, cujo coeficiene de dispersão édio é nulo para u coprieno de onda próxio a.3 n, que é o único caso onde não ocorre o alargaeno de ipulsos [6] Equação de propagação de ipulsos e regie linear Coo já referios, devido a DVG, os ipulsos que se propaga na fibra sofre e regie linear u alargaeno eporal provocando inerferência enre síbolos. Agora vai-se deduir a equação que regula a propagação de ipulsos e regie linear nua fibra onoodo, levando e consideração as fibras ópicas de pequeno conrase, ua ve que, coo esaos e regie linear, a aproxiação dos odos LP é raoável. Adiindo que A, é u ipulso a enrada da fibra, ou seja, e. Adiindo ainda que o ipulso odula a ua poradora co frequência angular o e supondo que o capo elécrico esá polariado linearene segundo o eixo dos x, e-se para a equação do capo elécrico: E x, y,, xe ˆ F x, y B, 3.. B, A, exp i 3.. o 8

47 Onde F x, y é a função odal que represena a variação ransversal do odo fundaenal odo LP e é dada por: F r J K r J u, r a a u r K u, r a w a 3..3 r é a coordenada ransversal nu sisea de coordenadas cilíndricas, r x y. É de noar que F e F a J u, o que fará co que E seja a apliude do capo elécrico e r. Agora inroduir-se-á as ransforadas de Fourier que serve coo ferraena de ajuda para o cálculo do capo elécrico nu pono genérico, e coeçando por calcular a ransforada de Fourier do capo e. ~ A, A, exp i d 3..4a Co respecivas ransforadas inversas de Fourier ~ B, B, exp i d 3..4b ~ A, A, exp i d 3..5a ~ B, B, exp i d 3..5b As Eqs. 3.. e 3.. erão enão a seguine fora ~ E x, y,, xe ˆ F x, y B, 3..6 e que ~ ~ B, A, 3..7 O capo elécrico, nu pono genérico será dado por: E x, y,, xe ˆ F x, y B,

48 Sabendo que a consane de propagação do odo fundaenal é dada por, eos: ~ B, B ~, exp[ i ] 3..9 Só é possível escrever a Eq porque se adie que a fibra ópica ané a polariação, e coo a pare ais ineressane é a ransissão da inensidade do capo elécrico e não a sua fase, por fora a siplificar a noação e co a ajuda da Eq. 3..7, B, é dado por: ~, A, B exp{[ i ]} d 3.. Inrodu-se agora ua nova variável iporane, chaada desvio de frequência e relação à poradora, a qual se define. Faendo ua udança de variáveis na Eq. 3.., erse-á: ~, exp i A, exp{[ i B ]} d 3.. Para siplificar-se o cálculo da inegral acia, inrodu-se o desenvolvieno e série de Taylor para, e que ou seja: E e que,,...! Co a inrodução do desenvolvieno e serie de Taylor, e faendo ~ A, A, exp{[ i ]} d

49 A Eq. 3.. pode ser escria da seguine fora: B, A, exp[ i ] 3..5 É de noar que e geral pois os ipulsos são de banda esreia, pelo que exp i oscila co frequência uio enor do que exp i, por isso inroduiu-se a Eq. 3..4, ou seja, A, é ua função lenaene variável no epo, enquano que, rapidaene variável no epo. B é ua função As Eqs e 3..5 perie escrever E x, y,, xe ˆ F x, yexp i 3..6 Traando-se agora de calcular, A a parir de que A,, e para al precisa-se calcular a Eq. Tendo e cona as regras de derivação e inegração, derivando A e função de na Eq. 3..4, só precisaos separar a variável que depende de, que nese caso raa-se da exponencial exp[ i ], resula A i! ~ A, exp i exp i d 3..7 Definindo duas variáveis auxiliares, ~ A, A, Q, ; d 3..8 onde i exp i Q, ; exp 3..9 A Eq assue a fora: A i A!, 3.. 3

50 3 Ao se considerar as perdas, represenando o coeficiene de aenuação de poência por, a Eq. 3.. pode ser escria da seguine fora,,! A A i A 3.. Exise ua relação direca enre A, e, A, basa levar e cona que,, ia A 3..a,, A A 3..b,, ia A 3..c,, A A 3..d Podendo-se usar coo fórula geral,,, A i A 3..3 ou seja A i A,, 3..4 Subsiuindo a Eq. 3..4, na Eq. 3.., acha-se a equação diferencial linear que perie calcular, A a parir de, A, a qual é dada por,,!, A A i A 3..5

51 Coeficienes Os coeficienes de grande iporância e que,,..., inroduidos no segundo capiulo, os quais são dados por: 3..6 O coeficiene, represena o inverso da velocidade de grupo v g, ou seja v 3..7 g o pois v g 3..8 Ao coeficiene dá-se o noe de coeficiene da DGV e derivando a Eq. 3.7, eos v g vg o 3..9 Coo já foi referido aneriorene, os ipulsos são e geral de banda esreia, podendo-se considerar ua runcaura raoável aé 3, despreando assi odos os resanes eros de orde superior, a Eq pode ser escria A A i A A A Se se despreare as perdas, arranja-se enão u algorio não uio coplexo, o qual foi apelidado de Algorio de Resolução de IMpulsos na Fibra Algorio de RIMF, que osra os passos a seguir de odo a calcular, A parindo de, A : 33

52 ~ º Passo: Coeça-se por calcular A, A, exp i d ; ~ º Passo: Fa-se A, A, exp i ; ~ ~ 3º Passo: E por úlio calcula-se A, A, exp i d. Podendo-se subsiuir assi na Eq que represena o cálculo do capo elécrico nu pono genérico Siulação Nuérica da Propagação de Ipulsos e Regie linear Para a siulação nuérica da propagação de ipulsos e fibras ópicas recorre-se à FFT Fas Fourier Transfor coo se osra na secção anerior. Indica-se nesa secção coo se pode resolver nuericaene a Eq que governa a propagação de ipulsos nua fibra ópica onoodal e regie linear. Ao despreare-se os efeios dispersivos, e-se para. A Eq redu-se a A A 3..3 no doínio das FFT esa equação escreve-se na fora a solução é dada por ~ A ~ ia, ~ A, A, exp i ou seja, A, A,

53 A Eq di que na ausência dos efeios dispersivos o ipulso propaga-se se disorção co u araso de grupo g, represenado por g v g Coo se pode observar na Figura 3.. Para a aioria das siuações práicas, não é aceiável o despreo dos coeficienes e 3, as para odos os cálculos, desprea-se a influência da dispersão de orde superior, ou seja, considerase raoável faer 3, possibiliando assi a análise, isoladaene, do efeio da DVG dispersão da velocidade de grupo sobre a propagação de ipulsos. Sendo a largura caracerísica da duração do ipulso A,, é cosue definir-se o coprieno de dispersão L D por L D É de noar que os efeios dispersivos nua ligação de coprieno L são despreáveis apenas quando L D L. Define-se agora as seguines variáveis noraliadas, ou seja, adiensionais, para o espaço e o epo: L D Coo e são funções de,, aplicando a forula das derivadas parciais 3..38a 3..38b 35

54 ao passar das variáveis reais, para as variáveis noraliadas, eos L D E assi a equação de propagação de ipulsos, dada pela Eq para o doínio das novas variáveis, assue a fora A A i sgn 3..4 e que sgn 3..4 Ou seja, sgn. A Eq fica enão dada por A i sgn A Para resolver nuericaene a Eq , inrodu-se o par de Fourier ~ A, A, exp i d 3..44a ~ A, A, exp i d 3..44b E que é ua frequência noraliada, ou seja, abé adiensional, al que

55 No doínio da frequência noraliada, a Eq oa a fora ~ A ~ i sgn A, à qual e coo solução A ~, A ~, exp i sgn Subsiuindo na Eq b, eos A, i A ~, exp i d sgn 3..47a A resolução nuérica da Eq fica assi resuida, coo foi referido aneriorene, na aplicação do algorio RIMF: ~ A ; º Passo: Calcula-se, FFT [ A, ] A ~, A ~, exp i sgn º Passo: Calcula-se ; ~ 3º Passo: E por úlio calcula-se A, IFFT [ A, ]. 37

56 Nas próxias ilusrações, apresena-se o efeio da DVG sobre u ipulso co ua fora inicial A A, sech Figura Coparação do ipulso a enrada e a saída e regie linear. Figura Evolução do ipulso. Verificando-se pelas Figuras 3.4 e 3.5 u alargaeno eporal e ua diinuição da apliude do ipulso a edida que ese se propaga ao longo da fibra. 38

57 Desvio dinâico de frequência Chirp Os sinais ópicos, eiidos pelo laser seiconduor, apresena o parâero Chirp, que quanifica o desvio de frequência insanânea da poradora devido à odulação direca da correne de injecção. Na propagação de ipulsos e fibra ópica uilia-se u parâero adiensional C para caraceriar o Chirp que é siérico do facor de Henry c, sendo ese u parâero caracerísico do laser, o qual é couene chaado de facor de alargaeno da risca especral do laser. C c Propagação de ipulsos Gaussianos co Chirp e regie linear Nesa secção considera-se o caso que a Eq pode ser calculada analiicaene, a iulo de exeplo: a propagação de ipulsos Gaussianos co Chirp, e regie linear, considerando sepre o coeficiene 3. Considera-se o ipulso inicial Gaussiano incidene A, A ic exp 3.3. e que A é a apliude do ipulso e C é o parâero do Chirp. Figura Ipulso inicial Gaussiano co C=. 39

58 Há u desvio de frequência,, provocado pela exisência de Chirp, ou seja,, ao separar-se os coeficienes da exponencial do ipulso inicial, ese pode ser escrio e que co Assi A, A exp exp i C, C, A ransforada de Fourier de A, é A, ~ al que º passo do algorio RIMF ~ ic A, A exp exp i d Levando e consideração que exp b ax bx dx exp a 4a co e ic a 3.3.a b i 3.3.b 4

59 A Eq e a seguine solução A ~, A exp ic ic 3.3. A inensidade especral do ipulso é dada por A ~,, e coo Te-se A ~, ic ic A exp exp 3.3. C C C A ~, A C exp C cuja eia largura, definida para e do seu valor áxio, é C Ou seja, quano aior o valor de C aior largura especral o ipulso erá. A exisência de Chirp provoca ua aior largura especral ao ipulso. As Figuras que se segue ilusra a evolução do ipulso Gaussiano, sob a fora inicial dada pela Eq. 3.3., para vários valores do parâero Chirp C= -, e por fora a verificar-se a influência dese parâero na largura especral do ipulso. 4

60 Figura Coparação do ipulso Gaussiano a enrada e a saída co C=. Figura Evolução do ipulso Gaussiano co C=. Figura Coparação do ipulso Gaussiano a enrada e a saída co C=. 4

61 Figura 3. - Evolução do ipulso Gaussiano co C=. Figura 3. - Coparação do ipulso Gaussiano a enrada e a saída co C=-. Figura 3. - Evolução do ipulso Gaussiano co C=-. 43

62 44 Aplicando o º passo do algorio RIMF, que passa por subsiuir o valor calculado de, ~ A e, ~ A e levando e consideração que eos: i i ic ic A A exp, ~ Aplica-se agora o 3º passo do algorio RIMF, ou seja, calcula-se d i A A exp, ~,, fica d i i i ic ic A A exp, ~ Organiando de aneira a er e cona a forula da inegral inserida na Eq eos: d b a ic A A exp, co ic i C a 3.3.8a i b 3.3.8b endo e cona o resulado da inegral eos i C ic i C A A exp, inroduindo os parâeros C i q 3.3.a D L D L sgn sgn 3.3.b

63 45 A Eq fica exp, q ic i q q A A 3.3. faendo an exp C C C C i C C i i C i i q q 3.3. e definindo os parâeros e coo C an 3.3.3b onde sgn D D L L C a Eq fica exp i q q subsiuindo a Eq na Eq exp, i q ic i A A faendo exp, i C i C i C i ic i A A 3.3.6a

64 46 coo 3.3.7a e C 3.3.7b e-se para a Eq a, exp exp exp, i A i i C i ic i A A onde inroduiu-se o parâero, igual à, C C É de noar, que aendendo-se a Eq e, dado pela Eq , exp, A A A Eq revela que há alargaeno dos ipulsos a edida que eses se propaga devido a DVG: o coeficiene é o facor de alargaeno. É de noar, que e ve dos ipulsos alargare, os esos pode esreiar, basa que se enha C na Eq

65 Figura Evolução espacial da largura especral dos ipulsos na ona de dispersão anóala para diferenes valores do parâero C Quando C, disância ínia esreiar ais que cero liie. é sepre aior que. Para o caso de C, é possível calcular-se a in para o qual o ipulso ainge a sua largura ínia, ou seja, não pode Da Eq b Corresponderá a in, pelo que C C C C Aplicando regras de derivação básicas a Eq C C C C Igualando a Eq à ero e levando e consideração a Eq. 3.3.b in C C sgn L D C C É de realçar que a Eq só fa senido na ona e que C ipulso reoa o processo de alargaeno para in. 47 para que in. O

66 Podeos calcular o epo que o ipulso deora a aingir a sua largura ínia, para al basa subsiuir a Eq na Eq in C Ao considerar as Eqs e 3.3.9,, ve dado por: i,, 3.3.7a onde se consegue calcular o desvio de frequência, apresenado na Eq d,, C C d 3.3.7b De noar que in,. A Eq a redu-se à Eq para = Ipulsos Super-Gaussianos A dispersão induida na apliação é sensível à inclinação das aresas do ipulso, coo se pode ver nos exeplos aneriores, o ipulso aplia-se anendo a sua fora. Ao considerare-se foras de ipulso co as aresas relaivaene íngrees a esquerda e a direia, de odo geral, al ipulso aplia ais rapidaene a edida que se propaga, pois esse ipulso fica co u especro ais alargado. Para odelar os efeios de ipulsos co aresas ais íngrees à esquerda e à direia, pode usarse os ipulsos Super-Gaussianos, cuja a fórula do ipulso inicial é dada por A, A ic exp A fórula é idênica à do ipulso Gaussiano, co a inrodução apenas do parâero, que conrola o grau de inclinação das aresas. Para, esaos e presença do ipulso Gaussiano e para valores superiores de o ipulso adquire u forao ais quadriculado co as aresas ais afiadas ais íngrees à esquerda e à direia. 48

67 Ao definir-se r coo o epo de duração para o qual a inensidade do ipulso auena de % à 9% do seu valor de pico, ese relaciona-se co o parâero da seguine fora ln9 r periindo assi que o parâero possa ser deerinado a parir dos edições de e r. As aresas dos ipulsos orna-se cada ve ais íngrees à edida que auena, a Eq osra que o epo de subida r é inversaene proporcional a, o que só confira que u ipulso co enor epo de subida aplie ais rapidaene. A Figura 3.4 ilusra o ipulso inicial Super-Gaussino =3 de odo a coparar-se co o ipulso inicial Gaussiano, osrado na Figura 3.6. As diferenças enre as duas figuras reflece-se na fora ais quadriculada das aresas a direia e a esquerda do ipulso Super-Gaussiano. Figura Ipulso inicial Super-Gaussiano co C=. As Figuras que se segue ilusra à evolução o ipulso Super-Gaussiano, usando 3, para valores disinos do parâero Chirp C= -, e. 49

68 Figura Coparação do ipulso Super-Gaussiano a enrada e a saída para C=. Figura Evolução do ipulso Super-Gaussiano para C=. Figura Coparação do ipulso Super-Gaussiano a enrada e a saída para C=. 5

69 Figura Evolução do ipulso Super-Gaussiano para C=. Figura Coparação do ipulso Super-Gaussiano a enrada e a saída para C=-. Figura 3. - Evolução do ipulso Super-Gaussiano para C=-. 5

70 É de noar que o ipulso Gaussiano ané a sua fora inicial durane a propagação, enquano o ipulso Super-Gaussiano, alé de apliar ais rapidaene o ipulso, abé disorce a fora inicial do sinal. Melhorar a apliação de u ipulso Super-Gaussiano pode ser enender-se coeçando por se observar que o seu especro é ais aplo do que u ipulso Gaussiano, devido às aresas ais íngrees à esquerda e à direia. À edida que o araso da DVG é inroduido para cada coponene de frequência, ese esá direcaene relacionada co a sua separação a parir da frequência cenral, obendo-se assi u resulado ais aplo do especro e ua axa de apliação ais rápida do ipulso []. Para essas foras de ipulso ais coplexas, a largura efeciva dos ipulsos pode ser descria pela rai quadrada Roo-Mean-Square: RMS a eia largura de banda, dada pelo parâero, o qual é definido por onde q q A, A, d d represena os oenos e A, a envolvene do ipulso que se propaga na fibra, coo e-se referido aé aqui. Define-se coo sendo a largura caracerísica inicial dos ipulsos, ou seja, a largura efeciva ou RMS da fone, podendo-se dessa fora definir a largura especral da fone, e noraliada coo sendo Coo e-se pode ser dado por V d c d c

71 Nesas condições, é possível avaliar analiicaene que o coeficiene de alargaeno para o ipulsos Gaussianos e de cero odo e geral, oferece ua esiaiva do alargaeno dos ipulsos. Quando se desprea o efeio da dispersão da 3ª orde 3, coo se e feio aé agora [3]. O coeficiene de alargaeno é dado por L L C Copensação da dispersão Ua das écnicas para copensar ou iniiar o problea da dispersão e regie linear é co o uso de fibras copensadoras de dispersão DCF- Dispersion Copensaion Fiber. Essa écnica cobina fibras co caracerísicas diferenes ais que a DVG édia da ligação se orne basane baixa. Enquano a DVG de cada secção da fibra é escolhida sendo grande o suficiene de odo a ornar os efeios de onda das secções e conjuno despreáveis [9]. Na práica é usado u apa de dispersão periódica, co o período igual ao espaçaeno enre os aplificadores ópicos. E cada par de aplificadores há apenas dois ipos de fibras, a qual ua de aior coprieno L funcionando na ona anóala e a de enor coprieno L funciona na ona noral, as co os ódulos dos coeficienes DVG de valores basane diferenes. A écnica de dispersão copensada leva a ua vanage de naurea linear ao considerar-se u pulso ópico propagando-se e duas secções de fibra ópica, cuja equação de propagação dos ipulsos é dada, coo osra a Eq por i A L A ~,, exp L L i d 3.4. onde L L L, e são os coeficienes de dispersão das secções e das fibras. O coprieno da fibra de copensação de dispersão L é escolhida de odo a que L L L L

72 No uso dessa écnica fa-se, para que L L, ou seja, nessa écnica é cou L ser na orde dos à k enquano L na orde de k. Coo A L, A, quando a Eq é saisfeia, o ipulso recupera a sua fora inicial à cada período de apa duas secções consecuivas, apesar da largura do ipulso udar significaivaene e cada secção Exeplo de Aplicação das DCF s Para exeplificar as aplicação das DCF s, usaos o exeplo de propagação na fibra para o caso e que o ipulso de enrada na prieira fibra fibra a funcionar na ona de dispersão anóala A A, sec h A nível de siulação, usaos a seguine abela de valores Parâeros L k ps L k ps Valores - O ipulso da Eq é o ipulso inicial de enrada na prieira fibra que depois de lhe aplicar o algorio RIMF, passa a ser o ipulso de enrada da ª fibra DCF - que possui u coprieno enor, à qual se vola a aplicar o algorios RIMF e, coo vereos nas figuras abaixo, a saída da ª fibra eos o exacaene o ipulso inicial da prieira fibra, ou seja, ao longo da ª fibra por ais que o ipulso alargue, ao aplicar-se no fi desa ua fibra copensadora de dispersão, o ipulso vola a sua fora inicial. Sendo assi, as fibras copensadoras de dispersão ua ópia aneira de se copensar a dispersão causada no ipulso ao longo de ua fibra de coprieno L. 54

73 Figura 3. - Coparação do ipulso a enrada e a saída, na prieira fibra. O Ipulso de saída na prieira fibra é o ipulso de enrada na segunda fibra DCF. Figura 3. - Coparação do ipulso a enrada e a saída, na segunda fibra. 55

74 56

75 Capíulo 4 - Propagação de ipulsos e regie não-linear Não se pode falar de propagação de ipulsos e regie não linear se se referir ao efeio ópico de Kerr, pois é devido a ese efeio que a propagação de ipulsos e regie não linear dispersivo RNLD nua fibra ópica é governada pela auo-odulação de fase AMF e pela DVG e siulâneo, alé de ouros efeios de orde superior. Exise u equilíbrio peranene e deerinadas circunsâncias, quando se propaga soliões fundaenais, ou seja, ao desprearese o efeio das perdas, os ipulsos não alera a sua fora durane a propagação Efeio não-linear de Kerr nua fibra ópica No plano ransversal x, y o índice de refracção da fibra é n n x, y al que x, y n x, y 4.. onde represena a consane dielécrica relaiva. A equação Helhol no regie linear é a equação que perie relacionar a consane de propagação longiudinal, inserida na Eq..4 e o índice de refracção n x, y da seguine fora F n x, y k F x, y 4.. onde F x, y é a função odal que represena a variação ransversal do odo fundaenal ou função odal inserida na Eq. 3..3, e e coordenadas reangulares F é dada por LP, F F F x y 4..3 Adie-se que H E no caso x y x LP na aproxiação de pequeno conrase dielécrico dos odos LP, E x pode-se considerar E x, y,, F x, y B,

76 e que B, A, exp i 4..5 onde é a frequência angular da porada. De noar que, rapidaene e e e enquano a apliude, B é ua função que varia A é ua função de variação lena a qual designou-se de envolvene do capo. Coo F x, y é adiensional, A, e as diensões do capo elécrico, ou seja, A V. Ao perurbar-se a consane dielécrica relaiva, y x 4..6 Independeneene do processo que deu orige a essa perurbação, a nova consane de propagação longiudinal é dada por 4..7 co k F F 4..8 e adopção de Ao levar-se e cona a Eq. 4.. eos ou seja, x, y dxdy 4..9 n n x, y 4..a n x, y n 4..b Se adiir-se a aproxiação n x, y n e levar e cona que nk, e-se nf k 4.. F 58

77 Inroduindo-se u capo ficício E *, nua fibra ópica de sílica, o efeio de Kerr esabelece para valores ípicos de n 3 / W que n * n x, y n E 4.. e que E* y* E I 4..3 W I represena a inensidade ópica, e * consideração as Eqs e 4..5 ve y é ua adiância apropriada. Levando e * x, y,, y* F x, y A, E 4..4 Se adiir-se n n E * 4..5 endo e cona a Eq. 4..4, ve dado por 4 F y* n k A, 4..6 F se a poência ransporada P, for dada por * F A, P, y 4..7a e inroduindo ua nova apliude Q, y F A, 4..7b * ao inserir-se o parâero, al que nk n

78 onde represena a área efeciva e é dada por F x, y dxdy F F 4 F x, y dxdy Na aproxiação gaussiana, que é ua écnica aproxiada usada para ouros ipos de perfis do índice de refracção que não seja e degrau, pois a análise desas é ua arefa coplexa, a função odal F x, y é dada por x y x, y exp w F 4.. onde o parâero w e ua relação co o raio efecivo r ef w 4.. ref e se verifica 4.. w Ao se uliplicar e dividir a Eq por esa fica siplesene dada por F e considerar-se as Eqs. 4..7, 4..8 e 4.9, P, 4..3a Q, 4..3b Por ouro lado, P, Pin exp 4..4 onde P in represena a poência de enrada na fibra e o coeficiene de aenuação, a fase nãolinear gerada pelo efeio Kerr será L L L d d P, d 4..5 NL e porque o coprieno efecivo ve dado por exp L

79 NL fica P 4..7 NL in Vê-se enão que a fase não-linear só depende de P in, daí o noe Auo-Modulação de Fase AMF. O desvio de frequência insanânea local e relação a poradora provocada pela AMF nu ipulso é d d dp d NL in 4..8 Assi levando e consideração a fora do ipulso a propagar-se, Figura 4. - Poência de u ipulso Gaussiano [9]. e-se na cauda do ipulso dp in d 4..9a originando assi, u desvio para o aul frequências aiores. Analogaene, na frene do ipulso, será dp in d Provocando porando, desvio para o verelho frequências enores. 4..9b 6

80 Coo se viu aneriorene o coeficiene da DVG é dado por v g vg 4..3 Na ona de dispersão anóala e que, iplica v g 4..3 Coo a velocidade de grupo auena co a frequência, as frequências ais elevadas desloca-se ais rapidaene do que as frequências ais baixas para DVG. É noável que a AMF e u efeio conrário a DVG, pois no efeio DVG para a ona anóala, exise u desvio para o aul na frene do ipulso e u desvio para o verelho na sua cauda, coo osra a Figura 3.. Dese odo, os efeios AMF e DVG ê ua acção anagónica na ona de dispersão anóala, por esa raão, apenas nesa ona é possível a propagação de soliões de prieira orde claros, ou siplesene soliões, ou seja, propagação de ipulsos que conserva a sua fora ao longo da propagação. Na ona de dispersão noral e que, só se pode propagar soliões escuros ou opológicos Equação não-linear de Shrodinger Ao levar-se e consideração a aenuação de poência e despreando-se os eros de orde 4, eos para o regie linear, coo se descreveu aneriorene ~ A, A ~, f, 4.. e que f, exp i 3 3 exp Adiindo-se que e regie não-linear a perurbação induida pelo efeio ópico de Kerr não afeca a função odal F x, y, a consane de propagação varia de à 4..7b, deverá escrever-se para a nova apliude Q,, se levar e cona a Eq. ~ ~ Q, ; Q, g, ; 4.. 6

81 63 onde d Q i f d i f g, exp,, exp, ;, 4..3 definindo d g Q Q ;,, ~, 4..4 e usufruindo da regra de Leibni, que di x g d g dx d x a 4..5 Te-se,, Q d Q 4..6 Seguindo a esa lógica de pensaeno usada para se chegar a solução da Eq. 3..5, eos! Q Q i Q Q i Q 4..7 Ao eliinar os eros de orde superior 4 e-se Q Q i R Q, 4..8 co Q Q Q i Q R 6, Co a excepção do ero 3 e inclusão das perdas na fibra, esa equação coninua a represenar a pare linear da equação de propagação de ipulsos e fibras ópicas. Logo, ao uiliare-se as variáveis noraliadas inroduidas aneriorene no regie linear,, relebrando que ao se passare das variáveis, para, fa-se 4..a

82 E 4..b sgn 4..a 4..b L D L D 4..c onde, ou seja, 4..d L D L D 4..a 4..b 4..c 4..d 4..3a 4..3b c 4..3d infere-se enão para a Eq Q Q Q Q Q i 3 i Q Q Q 3 3 L D

83 Se uliplicaros oda equação por 4..d, eos onde L D e levaros e cona as Eqs. 4..a, 4..b, 4..c, 3 Q Q Q i sgn il 3 D Q 6 Q Q a L D 4..6b Se se inroduir ua nova apliude noraliada ou seja, adiensional U,, de odo a que e que P é a poência de pico do ipulso incidene. Q, U, 4..7 P E os parâeros: - Coprieno não-linear al que L NL 4..8 P - Coeficiene N, o qual não é necessariaene u núero ineiro e é dado por n P N 4..9 ao aplicar-se a aproxiação gaussiana, fica np N w 4..a N LD LDP 4..b L NL Co a inrodução dos novos parâeros, a Eq ransfora-se 3 U U U i sgn i N 3 U U i U

84 Inroduindo ainda, ua oura apliude noraliada u, NU,, a Eq. 4.. se pode escrever u i u sgn u 3 u u i u i As Equações não-lineares de propagação de ipulsos e fibras ópicas regie onoodal esão represenadas nas Eqs. 4.. e 4.., apesar de não represenare os efeios de orde superior e por esa raão não sere aplicáveis a ipulsos ulra-curos duração na orde dos fenosegundos. Ao despreare-se as perdas e a dispersão de orde superior redu-se à fora canónica da equação não linear de Shro dinger NLS, ou seja,, a Eq. 4.. u u i sgn u u 4..3 se a poência de pico do ipulso incidene, observar a relação P n L 4..4 ou seja, a propagação de ipulsos nua fibra ópica de coprieno para L, e eros siplisas, quando RL. L LNL é governada pelo regie não-linear RNL e para LNL Traando-se de ua classificação siplisa e por fala de elhor criério, quando L vigora o regie linear L LNL, considerase a equação não-linear de propagação [4]. É possível no enano, disinguir-se quaro regies de propagação nua classificação grosseira, as quais são: O regie linear não-dispersivo RLND quando LD O regie linear dispersivo RLD quando LD L e L LNL L e L LNL O regie não-linear não-dispersivo RNLND quando LD O regie não-linear dispersivo RNLD quando LD L e L LNL L e L LNL É de noar que, no RLD apenas acua a DVG e no RNLND apenas acua a AMF. Noe-se abé que ano no RNLND coo no RLND, é possível desprear-se a acção da DVG, enquano que por ouro lado, ano no RLND quano no RLD, é possível desprear-se a acção da AMF. Dese odo, apenas no RNLD, e que ano a AMF coo a DGV esão presenes, é possível se propagare soliões, propagando-se os soliões escuros na ona noral e soliões claros soliões na ona anóala [4]. 66

85 Mas na praica, a ocorrência do RLND, be coo o RNLND é rara, e no RLND só é possível desprear-se a DVG para ipulsos cujo L Soluções analíicas da equação NLS Averiguar-se-á agora, quais as soluções analíicas que a equação NLS adie. Coo os soliões claros apenas pode ocorrer na ona de dispersão anóala, vai-se resringir a análise apenas para esa ona. Dese odo, a equação NLS fica sgn u u i u Adiindo que a solução desa equação é dada por dado que, Y u e Z é real, ou seja u u, uy, exp iz, u Y Z u iy exp iz u Y u Y Z Z i iy Z Y exp iz u u u Y exp iz Ao subsiuíre-se essas equações na Eq e uliplicar-se a expressão final por u exp[ iz ], e-se Y Z Y i Y Y Z Z i iy Z Y u Y

86 separando a pare real da iaginaria e igualando abas as pares à ero, a Eq subdivide-se e e Y Z Y Z Y uy a Y Y Z Z Y 4.3.7b Ao resolvere-se essas equações, adie-se e udo o que se segue, que se pode escrever Y, y Z, a 4.3.8a 4.3.8b co Apesar de agora parecer esranho a inclusão do ero a, as adiane ver-se-á porque foi necessária al inclusão. A consane real significará ais adiane, a frequência noraliada, por enquano não e nenhu significado e especial. Segundo as Eqs a e e-se para as derivadas parciais ou seja, Y dy dy d d Y dy dy d d 4.3.a 4.3.b uiliando a esa analogia, para a Eq b e-se Y dy d 4.3. Z d d a a d d Z d d d d 4.3.a 4.3.b 68

87 o que significa, Z d dz a a d d se subsiuir-se a Eq na Eq b Y Y Z Z Y Inegrando a expressão acia, considerando C ua consane de inegração, e-se Z Y C ao considerar-se a Eq. 4.3.b e C, e-se aplicando ua inegral Z d d ou seja, d d 4.3.9a C 4.3.9b onde C represena ais ua consane de inegração. Das Eqs b, e 4.3.9b e faendo C, a função, Z resula Z, a 4.3. a Para o cálculo da função Y,, pode-se parir das derivadas parciais de Z, Z a Z 4.3.a 4.3.b 69

88 se esquecer as definições 4.3.8a e 4.3.b e subsiuindo essas derivadas na Eq a e-se y Y 3 Y a u Y 4.3.a ou seja d y d u y 3 a y 4.3.3b considerando u a e udando a variável de derivação para x, al que x u 4.3.5a ou seja, d x u d 4.3.5b dese odo, infere-se para a Eq b a enão couene chaada, equação cnoidal d y y dx 3 y As soluções desa equação são do ipo periódicas e ua solução do ipo onda soliária Soluções analíicas da equação NLS para ondas soliárias Para a onda soliária, considera-se a solução paricular da equação cnoidal, dada por y x x y sec h x desde que y 4.3.8a 4.3.8b 7

89 onde inroduiu-se a consane q, al que x uq 4.3.8c Coo y deve ser aior que ero, a única solução aceiável para a Eq b é a de considerando a Eq a, a Eq fica e y y sec h u q e assi fica enconra-se finalene a solução da equação cnoidal represenada na Eq. 4.3., levando e consideração as Eqs e 4.3.9, ou seja q i a u, u sec h u exp ao inroduir-se u parâero novo dado por u pode-se dese odo, copreender a inrodução do parâero a na Eq b, pois levando e consideração a Eq ese fica represenado por a A Eq oa a fora: i u, sec h q exp i i Se pode observar pela Eq , que quando a, e-se o que discorda oalene co a Eq , pois , esa ve u é u núero real. Ao faer-se na Eq q exp i u , sec h 7

90 coo veos na Eq , raa-se de ua onda que se propaga se deforação, revelando-se claraene raar-se de ua onda soliária. Traa-se de ua onda co envolvene localiada, ou seja,, quando ende para ais ou enos infinio o ódulo de, abaixo u, sec h q u não depende de, alé de que u ende para ero, coo se osra a li u, b O desvio noraliado de frequência e relação a poradora, é represenado pelo parâero, o qual é dado por. O parâero represena siulaneaene, a apliude e a largura do ipulso, o cenro do ipulso e relação a é definido pelo parâero q, e por úlio o parâero esabelece a fase para. Dá-se o noe de solião fundaenal, a solução represenada nas Eqs e , a sua fora canónica represena-se faendo, q e na Eq , de aneira que u, sec h exp i a A Eq a represena a fora canónica do solião fundaenal. Figura 4. - Evolução do solião fundaenal. 7

91 Soluções Analíicas da Equação NLS para ondas periódicas Para as ondas periódicas, há que levar e cona que usando o éodo inverso da dispersão ou IST inverse scaering ransfor, osra que qualquer ipulso incidene u u, Traando-se poré o IST de u éodo aeáico avançado, não é nese rabalho ais profundaene analisado. Onde u e a fora u N sec h onde N represena u nuero ineiro, o qual foi inroduido nas Eqs e 4..a e condu à propagação de solião de orde N. Os soliões de orde N, ao conrário do solião fundaenal N, não anê a sua fora ao longo da propagação, coo na Eq a, osrando ua evolução periódica e ve de disso, co período que, e unidades reais vai corresponder à LD Na Figura 4.3 represena-se o solião de erceira orde, ou seja N 3. Figura Evolução do solião de erceira orde. 73