MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL FARROUPILHA CAMPUS ALEGRETE PIBID

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1 PROPOSTA DIDÁTICA 1. Dados de Identificação 1.1 Nome do bolsista: Gabriel Prates Brener 1.2 Público alvo: 8º e 9º Ano 1.3 Duração: 2,5 horas 1.4 Conteúdo desenvolvido: Polinômios. 2. Objetivo(s) da proposta didática Compreender o conceito de polinômios; Operar com polinômios; Decompor figuras geométricas e expressar suas áreas através de polinômios. 3. Desenvolvimento da proposta didática (10 minutos) - Destinados a acomodação dos alunos em sala de aula e realização da chamada através da lista de presença. Breve relato do que será desenvolvido na presente oficina. (30 minutos) Introdução ao estudo dos polinômios Levando em consideração a metodologia de Resolução de Problemas, que será utilizada no desenvolvimento desta proposta didática, iremos solicitor aos alunos a resolução de uma atividade inicial. Essa atividade envolverá conteúdos geometria, cálculo de área mais precisamente, e polinômios aonde eles deverão calcular a área total de uma figura que será formada com as peças do algeplan. Nesse momento começará a aplicação da metodologia de Resolução de Problemas, pois será proposto uma atividade um pouco desafiadora, pois há diversas maneiras de resolve-lá. Os alunos deverão aplicar seus conhecimentos de geometria e de de polinômios para resolver a situação proposta. Após essa atividade inicial será formalizado o conceito de polinômio.

2 Atividade 1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Observe a figura abaixo, sabendo que os polígonos que a compões tem as seguintes medidas: i. Quadrado Vermelho Tem como medida do lado x u.m; ii. iii. Quadrado Verde Tem como medida do lado y u.m; Quadrado azul Tem como medida do lado 1 u.m; iv. Retângulo Azul Claro Tem lados medindo y e 1; v. Retângulo Rosa Tem lados medindo x e 1; vi. Retângulo Amarelo Tem lados medindo x e y. a) Represente a área de cada polígono através de um polinômio. R: O Quadrado Vermelho tem área de x² u.a O Quadrado Verde tem área de y² u.a O Quadrado Azul tem área de 1 u.a O Retangulo Azul tem área de y u.a O Retangulo Rosa tem área de x u.a O Retangulo Amarelo tem área de x.y u.a b) Qual é o valor da área total da figura? R: x² + 9y² + 6xy + 2x +6y + 1

3 Alguns questionamentos: 1) A área total foi uma expressão algébrica, como podemos chamar? R: Polinômio, devido a sua composição através de uma soma de monômios. 2) Observamos que há diversos quadrados e retângulos, como podemos fazer o cálculo de suas áreas? R: Pode ser calculada suas áreas, através das formulas de maneira individual e posteriormente multiplicando pelo o número de figuras semelhantes à que foi calculada a área. 3) Para encontrar a área total após o cálculo das áreas que compõe a figura, como devemos proceder? R: Fazer a soma das áreas individual ou, para facilitar, já ter somada as áreas semelhantes e apenas escrever o polinômio que representa a mesma. Formalização do conteúdo Após a discussão inicial sobre polinômios, a partir da primeira atividade, será formalizado os conceitos relativos a polinômio. O que é um Polinômio? Em 1638, o filósofo e matemático francês René Descartes ( ) usou as primeiras letras do alfabeto para designar os números conhecidos e as últimas letras para as incógnitas. Ele avançou assim no longo processo evolutivo do simbolismo algébrico. Definição: Toda expressão que indica uma soma algébrica (adição ou subtração) de monômios não semelhantes é chamada de polinômio. Exemplos: a) x²+x³+5 b) a²+b²+c² c) x 12 +y 45 +x

4 (20 minutos) Operações com polinômios Adição e Subtração O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes. Para adicionarmos ou subtrairmos polinômios devemos aplicar as mesmas propriedades estudas para os números. Exemplos: a) (a+4ab) + ( 9a - ab - 6) = 10a + 3ab - 6 b) (8x³+6x²-7) - (7x² - 5) = 8x³ - x² - 2 c) Se A = x - 2xy - y², B = 3x-4y² e C = -x+6xy - y², determine A - B + C. (x - 2xy - y²) - (3x - 4y²) + ( -x + 6xy - y²) = -3x + 4xy +2y² Multiplicação A multiplicação de polinômios se baseia no produto de monômios, na propriedade distrubitiva da multiplicação em relação à adição e nas regras de potenciação de multiplicação de potências de mesma base. Exemplos: 1. (x²+5). x³ = x².x³ +5. x³ = x 5 +5x³ 2. (x 4 -x²-x). 10x = x 4.10x - x².10x - x. 10x = 10x 5-10x³ - 10x² Atividade 2: Calcule a área vermelha, sabendo que o quadrado vermelho tem como medida do lado a e o retângulo verde tem como medida b de altura e c de comprimento. Resolução. Aréa do quadrado = a² Área do Retangulo = b.c Logo a área vermelha é: Área do Quadrado - Área do Retângulo = a² - bc.

5 Com isso podemos concluir que os monômios a² e bc, por serem números desconhecidos e estão representados de maneiras algébrica e com isso podemos concluir que são polinômios, pois um polinômio é uma soma algébrica (ou subtração) de monômios que é o caso da área vermelha. (30 minutos) Atividade com o Algeplan Algumas informações prévias para o desenvolvimento da atividade. Com o material manipulável algeplan, os deverão deverão construer as figuras propostas abaixo e determiner sua área total, apartir da soma das áreas dos retângulos e quadrados que a compõe, utilizando dessa forma o que foi abordado sobre polinômios. Para o desenvolvimento da atividade será dado o valores das medidas aos alunos. Quadrado Amarelo Tem como medida do lado x u.m; Quadrado Azul Tem como medida do lado y u.m; Quadrado Vermelho Tem como medida do lado 1 u.m; Retângulo Roxo Tem lados medindo y e 1; Retângulo Laranja Tem lados medindo x e 1; Retângulo Verde Tem lados medindo x e y;

6 (40 minutos) Composição e decomposição de áreas com o Tangram Inicialmente, apresentaremos o Tangram aos alunos e um pouco de sua história. O que é o tangram? Tangram, é um quebra-cabeça chinês formado de sete peças: um quadrado, um paralelogramo, dois triângulos isósceles congruentes maiores, dois triângulos menores também isósceles e congruentes e um triângulo isósceles médio. As sete peças formam um quadrado. O Tangram surgiu há mais de 2000 anos e seu nome original, Tchi Tchiao Pan, que tem como significado Sete Peças da Sabedoria. Como se originou o Tangram? Existe várias lendas sobre o surgimento do Tangram. Diz algumas escrituras que: uma pedra preciosa se desfez em sete pedaços e com eles era possível formar várias formas (animais, plantas, pessoas) outra diz que um imperador deixou seu explo cair, e esse se desfez em 7 pedaços que poderia ser usados para formar várias figuras. A lenda principal e mais difundida a respeito do surgimento do Tangram diz que o no século XII um monge taoísta deu ao seu discípulo um quadrado de porcelana, um rolo de papel de arroz, pincel e tintas e disse para ele viajar pelo o mundo e anotar tudo que ele visse de pelo e depois voltasse. O discípulo ficou tão emocionado com a tarefa que deixou cair o quadrado de porcelana partindo-o em 7 pedaços. O discípulo, tentando reproduzir o quadrado, percebeu uma imensidão de belas e conhecidas figuras a partir das 7 peças. Assim, percebeu que não precisava mais correr o mundo, pois tudo que era belo poderia ser formado em 7 peças do Tangram.

7 Atividade 1: Montagem do Tangram MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Cada aluno irá receber um quadrado em EVA e deverá realizer a montage do Tangram, apartir dos passos indicados. 1. Trace a diagonal CB. 2. Trace uma meia diagonal AD para encontrar o ponto médio E do segmento CB 3. Encontre os pontos médios dos segmentos CD e BD, para isso trace uma reta com origem no ponto E até estes segmentos. 4. Trace o segmento FG.

8 5. Trace um segmento na origem E em direção ao ponto D parando na intersecção com o segmento FG. 6. Trace um segmento na origem H em direção ao segmento AB ( para cima) 7. Trace um segmento na origem F em direção ao ponto médio do ponto CE.. 8. Pronto! Está construído o seu Tangram.

9 Atividade: MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Parte 1: Recorte as peças do seu Tangram tente montar a seguinte figura: Parte 2: Considerando que cada peça que compõe o gato que você construiu tem as medidas indicadas abaixo, determine sua área. Resolução: Determinando a área de cada polígono que compõe o gato, obtemos: Logo, a área total será: A = (3x) = 9x A â = 2x. 2 2 = 2x A â é = y. x 2 = xy 2 A â = 3y. 3 2 = 9y 2 A = y. x = xy A = A + 2. A + A + 2. A + A A = 9x + 2.2x + xy y 2 + xy A = 9x + 4x + xy 2 + 9y + xy A = 9x + 4x + 3xy 2 + 9y

10 (20 minutos) Aplicação do Jogo Dominó dos Polinômios MATERIAL: 20 cartas contendo operações com polinômios. OBJETIVO: Resolver as operações com polinômios corretamente e eliminar todas as cartas que possui. REGRAS: 1. Número de participantes: 2 ou 4; 2. As cartas são distribuídas igualmente entre os jogadores; 3. Na parte superior da carta está uma operação com um polinômio, que representa uma pergunta e na parte inferior está um polinômio ou um monômio que representa a solução de outra carta; 4. Sorteia-se o jogador que irá começar sendo que esse deve escolher qualquer uma de suas cartas e colocá-la sobre a mesa; 5. O jogador da direita verificará se possui uma carta com a resposta referente a pergunta da carta que fora jogada anteriormente; 6. Caso tenha a resposta certa, joga a carta sobre a mesa e o próximo jogador deverá verificar se possui a resposta para essa nova carta; 7. Os jogadores que não possuem a carta resposta vão passando a vez; 8. Ganha o jogo quem se livrar primeiro de todas as cartas.

11 4. Referências Bibliográficas MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO MORI, I. ONAGA, D. Matemática: Ideias e Desafios. 8º ano. 16. Ed. Reform. São Paulo: Saraiva, Iezze, G. Fundamentos de Matemática Elementar, 6: Complexos, polinômios, equações. 7º ed. São Paulo: Atual, O Tangram e suas formas e lendas, Blogspot. Passo a Passo de como fazer um Tangram. Disponível em: < Acesso em: 22 abr DANTE. L.R. Projeto Teláris: Matemática. 1º. ed. São Paulo: Atica, LUPINACCI, M. L. V. e BOTIN, M. L. M. Resolução de problemas no ensino de matemática. Anais do VIII Encontro Nacional de Educação Matemática, Recife, p. 1 5.