ANÁLISE DE MALHAS COMPUTACIONAIS EM TORNO DE PEÇAS DE INTERESSE EM ENGENHARIA AERONÁUTICA

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Gonçalo Araújo Palma
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1 ANÁLISE DE MALHAS COMPUTACIONAIS EM TORNO DE PEÇAS DE INTERESSE EM ENGENHARIA AERONÁUTICA Bruno Quadros Rodrigues IC Nide Geraldo docouto R. F. Jr PQ Instituto Tecnológico de Aeronáutica Praça Marechal Eduardo Gomes, 50 Vila das Acácias CEP São José dos Campos SP - Brasil Resumo A Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD), em franca expansão, constitui a principal motivação do presente trabalho, no qual é introduzido um método em que um sistema de equações diferenciais parciais elípticas é resolvido com o objetivo de transformar o domínio físico de interesse, que é contínuo, num domínio computacional, que é um conjunto discreto de pontos uniformemente distribuídos (malha estruturada). Esse método é aplicado à análise de um aerofólio NACA-001 e um bocal convergentedivergente. Abstract In this work we introduce a partial differential method from Computational Fluid Dynamics in which a system of elliptical partial differential equations has to be solved in order to locate points on a relevant physical region whilst the computational domain is a discrete rectangular set of uniformly distributed points. This method is approached with the purpose of applying it to the analysis of a NACA-001 aerofoil and a convergent-divergent nozzle. 1. PROCEDIMENTOS 1.1 Domínio físico x Domínio Computacional O domínio físico é a região, em torno da peça, sobre a qual serão feitas as análises inerentes à dinâmica dos fluidos. Já o domínio computacional, como já foi mencionado, é uma região retangular cujos pontos internos estão igualmente espaçados (malha estruturada). Infelizmente a maioria dos domínios físicos de interesse não são simples como os retangulares. Portanto impor um domínio computacional retangular a tais problemas, que é o que se espera, exigiria algumas interpolações para a implementação das condições de contorno, o que causaria imprecisões nas regiões de maior sensibilidade. Para vencer esse tipo de dificuldade, deve ser usada uma transformação de coordenadas tal que se consiga converter o domínio físico no computacional, como ilustrado a seguir. Figura 1: domínio físico (esboço acima) e domínio computacional (abaixo).

expansão, constitui a principal motivação do presente trabalho, no qual é introduzido um método em que um sistema de equações diferenciais parciais elípticas é resolvido com o objetivo de transformar

2 1. Soluções numéricas das EDPs elípticas 1..1 Distribuição de pontos Antes de resolver as EDPs elípticas deve-se estabelecer uma distribuição inicial de pontos em torno da peça. Para a construção dessa malha rudimentar o primeiro passo é discretizar as abscissas dos pontos entre (0,0) e (1,0). Posteriormente passa-se à implementação da geometria do NACA-001. Deve-se dar atenção ainda à geometria do bordo de fuga do aerofólio a fim de fechar a curva que define o seu perfil. Feito isso, o próximo passo é a implementação da fronteira externa que delimita o domínio físico, a qual será circular, centrada na peça. A partir de então devem-se ligar os pontos da fronteira externa com os pontos sobre o perfil por meio de retas que não devem ter pontos em comum. Também deve-se dividir cada reta obtida em um número definido de pontos, que por sua vez serão unidos por novas retas. Assim serão geradas varias circunferências concêntricas nas regiôes mais distantes do aerofólio, e ao mesmo tempo curvas que se adaptem à sua geometria nas regiôes mais próximas. O resultado é mostrado abaixo. Figura a: Malha inicial Figura b: Detalhe da malha inicial A partir de agora é que começará a ser feito o refinamento desta malha a partir das EDPs. Já se sabe a princípio que a resolução dessas equações depende do tipo de discretização do domínio de interesse e da discretização delas próprias. Será usado aqui um sistema de equações elípticas de Laplace, como mostrado a seguir: ξ xx + ξ yy = 0 η xx + η yy = 0 onde ξ e η são as coordenadas no domínio computacional. Entretanto, para que seja possível resolver essas equações no domínio computacional, as variáveis dependentes (x e y) e as independentes (ξ e η) devem ser permutadas segundo uma transformação inversa (vide Ref.1), obtendo-se: onde α x ξξ β x ξη + γ x ηη = 0 α y ξξ β y ξη + γ y ηη = 0 α = x η + y η β = x ξ x η + y ξ y η γ = x ξ + y ξ Essas equações irão fornecer a localização dos pontos no domínio físico. Note-se que elas são não-lineares e, por isso mesmo, de difícil resolução. Daí a importância do emprego dos métodos numéricos.

Deve-se dar atenção ainda à geometria do bordo de fuga do aerofólio a fim de fechar a curva que define o seu perfil.

3 Se forem substituídas as equações de diferença finita centrada de segunda ordem no sistema acima (vide Ref.1), teremos então equações puramente algébricas, que serão solucionadas iterativamente e que devem ser satisfeitas para cada ponto do domínio computacional. Feitas as devidas substituições, obtêm-se as seguintes equações: X i,j = { a.[x i+1,j + x i-1,j ] / ( ξ) + c.[x i,j+1 + x i,j-i ] / ( η) b.[x i+1,j+1 x i+1,j-1 + x i-1,j-1 x i-1,j+1 ] / ξ η} / [a / ( ξ) + c / ( η) ] y i,j = { a.[y i+1,j + y i-1,j ] / ( ξ) + c.[y i,j+1 + y i,j-i ] / ( η) b.[y i+1,j+1 y i+1,j-1 + y i-1,j-1 y i-1,j+1 ] / ξ η} / [a / ( ξ) + c / ( η) ] A figura 3 mostra o que se obtém a partir da resolução das equações acima para todos os pontos do domínio computacional. Trata-se de uma malha com linhas mais suaves e cuja distribuição confirma o caráter elíptico das EDPs em torno da geometria do aerofólio. Figura 3: Detalhe da malha suavizada Para que se possa refinar a malha, devem-se usar funções capazes de alterar a distribuição das linhas da malha. Para esse fim será usado o sistema de equações elípticas de Poisson abaixo: ξ xx + ξ yy = P(ξ, η) η xx + η yy = Q(ξ, η) Manipuladas segundo o mesmo procedimento de permuta de variáveis usado nas equações de Laplace, essas equações fornecem: αx ξξ βx ξη + γx ηη = -g [Px ξ + Qx η ] αy ξξ βy ξη + γy ηη = -g [Py ξ + Qy η ] onde α = x η + y η β = x ξ x η + y ξ y η γ = x ξ + y ξ g = (x ξ y η + x η y ξ ) P(ξ, η) = - a n.sgn(ξ ξ n ).exp[-c n ξ -ξ n ] -b m. sgn(ξ ξ m ).exp{-d m [(ξ ξ m ) + (η -η m ) ] 1/ } Q(ξ, η) = -a n.sgn(η η n).exp[-c n η - η n ] -b m. sgn(η η m).exp{-d m [(ξ ξ m ) + (η -η m ) ] 1/ }

Feitas as devidas substituições, obtêm-se as seguintes equações: X i,j = { a.[x i+1,j + x i-1,j ] / ( ξ) + c.[x i,j+1 + x i,j-i ] / ( η) b.

4 onde P e Q são denominadas Funções de Controle, cujos coeficientes (a n, c n, b m e d m ) são responsáveis por concentrar linhas nas áreas de maior sensibilidade. Definidos os coeficientes dessas funções, obtém-se a malha ilustrada abaixo. Deve-se notar a concentração de linhas nas proximidades do aerofólio, onde as análises de escoamento necessitam de maior precisão. Figura 4: Malha refinada em torno do aerofólio A malha acima, comumente denominada O-grid, pode ser mais convenientemente usada quando se quer analisar as regiões próximas à superfície do aerofólio. Entretanto, muitas vezes é necessário conhecer as soluções das equações da dinâmica dos fluidos em pontos distantes, como no caso da análise de turbulência na esteira que se forma à jusante do aerofólio submetido a um escoamento. Neste caso um outro tipo de malha melhor se aplica. Trata-se da malha conhecida como C- grid,cujo detalhe é ilustrado abaixo. Figura 5: Detalhe da malha -C inicial Um outro tipo de geometria muito utilizada em aerodinâmica é o bocal convergentedivergente. Quanto à disposição das linhas dentro do bocal, usa-se o modelo abaixo.

Deve-se notar a concentração de linhas nas proximidades do aerofólio, onde as análises de escoamento necessitam de maior precisão.

5 H Figura 6: Linhas dentro do bocal y 5 y 4 y 3 y y 1 Assim, segue-se à seguinte idealização matemática: Δ Δ Δ Δ Δ y1+ y + y3 + y4 + y5 = H Δ Δ ε y = y1(1 + ) Δ Δ ε Δ ε y3 = y(1 + ) = y1(1 + ) Δ Δ ε Δ ε 3 y4 = y3(1 + ) = y1(1 + ) Δ Δ ε Δ ε 4 y = y (1 + ) = y (1 + ) Somando-se os termos acima, obtém-se: Δ ε ε ε ε 3 4 y 1 (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) = H Na expressão acima o termo ε é um escalar denominado fator de esticamento da malha, que faz o papel das Funções de Controle usadas nas malhas anteriores. Raciocínio análogo é usado para as linhas verticais da grade. Analogamente aos casos anteriores, obtêm-se a malha rudimentar e a malha refinada, mostradas abaixo, com devida atenção dada à região da garganta. Figura 7: Malha inicial

expressão acima o termo ε é um escalar denominado fator de esticamento da malha, que faz o papel das Funções de Controle usadas nas malhas anteriores.

6 Figura 8a: Malha inicial na garganta Figura 8b: Malha refinada na garganta A figura 9b acima mostra a malha refinada na garganta, obtida impondo-se valores adequados para os fatores de esticamento em x e y. Como resultado, o que se tem agora é uma malha com maior densidade de linhas na região da garganta e nas proximidades das paredes do bocal. 3. CONCLUSÃO As malhas obtidas neste trabalho não foram testadas, ou seja, sobre elas não foram feitas quaisquer simulações de escoamento para comprovar se a densidade de linhas imposta pelos dados de entrada é suficiente para que se obtivessem resultados precisos. A principal preocupação aqui foi como gerar malhas computacionais e, como se pode perceber, o objetivo foi atingido na medida em que foi possível gerar malhas manipuláveis em torno de corpos de interesse em aerodinâmica, que no presente contexto foram o aerofólio NACA-001 e o bocal convergente-divergente. Vale ressaltar ainda que as as malhas obtidas neste trabalho podem ser aproveitadas para casos em que os corpos de interesse apresentam geometrias semelhantes, como flaps ou aerofólios com multielementos. No caso do bocal, este pode ser aproveitado para os casos de malhas internas a vasos sanguíneos com bifurcações, por exemplo. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Anderson, Tanehill, Pletcher; Computational Fluid Dynamics; McGrawHill Ed.; Anderson Jr., John D; Fundamentals of Aerodynamics; McGrawHill Ed.; 3 th ed.; Hofmann, K.; Chiang, S.; Computational Fluid Dynamics For Engineers, Vol. I, 001.

CONCLUSÃO As malhas obtidas neste trabalho não foram testadas, ou seja, sobre elas não foram feitas quaisquer simulações de escoamento para comprovar se a densidade de linhas imposta pelos dados de

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