c)observe que os vetores normais dos planos, obtidos pelas equações do sistema, são paralelos e

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET ÁLGEBRA LINEAR ASSUNTO: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Prof a CLÁUDIA SANTANA 1. Para cada um dos sistemas a seguir, decida se existem ou não soluções. No caso afirmativo, exiba todas as soluções do sistema em termos de um ou dois parâmetros independentes. x + 2y + 3z = 4 2x - y + 5z = 3 6x - 4y + 12z = 2 a) b) c) 2x + 3y + 4z = 5 4x - 2y + 10z = 5 9x - 6y + 18z = 3 Dica : No item a) Observe que os vetores normais dos planos, obtidos pelas equações do sistema, não são paralelos portanto, sua intersecção é uma reta. b) Observe que os vetores normais dos planos, obtidos pelas equações do sistema, são paralelos e como então os planos não são coincidentes e portanto a intesecção destes é o conjunto vazio. c)observe que os vetores normais dos planos, obtidos pelas equações do sistema, são paralelos e 9.2 = 6.3 e portanto os planos são coincidentes. 2. Dispondo de três ligas L 1, L 2, L 3, cujas percentagens de ouro e prata são dadas na tabela abaixo, L 1 L 2 L 3 ouro 30% 40% 80% prata 70% 60% 20% quero obter 100g de uma liga L 4 formada por igual quantidade de ouro e prata. Desejo fazer isso de modo a usar o máximo possível da liga L 1. Quantos gramas devo tomar de cada liga? RESPOSTA: Devemos colocar 60 g de L 1, 0 g de L 2, 40 g de L 3. Dica: Analise o sistema: x + y + z = 100 3x + 4y + 8z = 500, onde x, y e z representam as quantidades, em gra- 7x + 6y + 2z = 500 mas, das ligas L 1, L 2 e L 3 respectivamente. 1

2 3. Aço fino é uma liga de ferro, cromo e níquel. Um exemplo é o aço V2A, que contém 74% de ferro, 18% de cromo e 8% de níquel. Na tabela abaixo, têm-se ligas I, II, III, IV, as quais devemos misturar para obter uma tonelada de aço V2A. Quantos quilos de cada uma dessas ligas devemos tomar? I II III IV ferro 70% 72% 80% 85% cromo 22% 20% 10% 12% níquel 8% 8% 10% 3% RESPOSTA: w 100; x = w; y = w, z = 5 2 w. Dica: Analise o seguinte sistema: x + y + z + w = x + 72y + 80z + 85w = x + 20y + 10z + 12w = onde x, y, z e w são as quanti- 8x + 8y + 10z + 3w = 8000 dades, em quilos, das ligas I, II, III e IV respectivamente. 4. Resolva o sistema: 3x + 5y + 7z + w = 0 5x + 7y + z + 3w = 4 7x + y + 3z + 5w = 16 Escalonando o sistema temos: 3x + 5y + 7z + w = 0 5x + 7y + z + 3w = 4 7x + y + 3z + 5w = 16 3L 1 L 2 L 2 5L 1 L 3 L 3 7L 1 L 4 L 4 0x + 4y + 8z + 20w = 36 0x + 8y + 24z + 32w = 56 0x + 20y + 32z + 44w = 68 0x + 4y + 8z + 20w = 36 0x + 8y + 24z + 32w = 56 0x + 20y + 32z + 44w = 68 2L 2 L 3 L 3 5L 2 L 4 L 4 0x + 4y + 8z + 20w = 36 0x + 0y + 8z + 8w = 16 0x + 0y + 8z + 56w = 112 2

3 0x + 4y + 8z + 20w = 36 L 3 + L 4 L 4 0x + 0y + 8z 8w = 16 0x + 0y + 8z + 56w = 112 Portanto w =2, z = 0, y = -1, x = 1. 0x + 4y + 8z + 20w = 36 0x + 0y + 8z + 8w = 16 0x + 0y + 0z + 64w = Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) determinou-se que: (a) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C. (b) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C. (c) O alimento III tem 3 unidades de vitamina A, 3 de vitamina C e não contém vitamina B. Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C, i. Encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II, III, que fornecem a quantidade de vitaminas desejada. ii. Se o alimento I custa R$ 0,60 por grama e os outros dois custam R$ 0,10, existe uma solução custando exatamente R$ 1,00?. RESPOSTA: i) 5 3 z 8 3 ; x = 5 + 3z; y = 8 3z. ii) x = 1g; y = z = 2g, onde x, y, z representam as quantidades, em gramas, dos alimentos I, II, III, respectivamente. Dica: Analise o seguinte sistema: x + 2y + 3z = 11 3x + 3y + 0z = 9 para solucionar o item i),onde x, y 4x + 5y + 3z = 20 e z são as quantidades, em gramas, dos alimentos I, II e III respectivamente. Analise o seguinte sistema: x + 2y + 3z = 11 3x + 3y + 0z = 9 para solucionar o item ii), onde x, y 6x + y + z = 10 e z são as quantidades, em gramas, dos alimentos I, II e III respectivamente. 3

4 6. Determinar os valores de m e n para os quais o sistema 2x y + 3z = 1 x + 2y z = 4 3x + y + mz = n é: (a) indeterminado (b) impossível RESPOSTA: (a) O sistema acima é indeterminado para m = 2 e n = 5. (b) O sistema acima é impossível para m = 2 e n Combinando quartzo (SiO 2 ) com lixívia de sódio (NaOH) obtém-se silicato de sódio (Na 2 SiO 3 ) e água (H 2 O), na reação química indicada por xsio 2 + ynaoh zna 2 SiO 3 + th 2 O Os números naturais x, y, z e t devem ser tais que os elementos químicos Si, O, Na e H ocorram em iguais quantidades em ambos os lados da reação. Como podem ser esses números ser tomados de modo a se ter a menor reação química possível? RESPOSTA daí x = t = z = 1 e y = 2. x = z y = 2z y = 2t 2x + y = 3z + t 4

5 8. Responda a questão análoga à questão anterior com respeito à reação xfes + yo 2 zfe 2 O 3 + tso 2 (geração de dióxido de enxofre a partir da pirita). RESPOSTA daí x = t = 4 ; z = 2 e y = 7. x = t 2y = 3z + 2t x = 2z 9. Resolva o sistema abaixo, sabendo que 0 < a < b < c:. ax + ay + cz = a 2 + c 2 bx ay + cz = c 2 b 2 (1) ax + cy bz = a 2 c 2 Observe que: P 0 = (a b,b,c), é uma solução do sistema:. ax + ay + cz = a 2 + c 2 bx ay + cz = c 2 b 2 Observe que: P 1 = ( a3 a 2 c ac 2 c 3 2c 2,,0), é uma solução do sistema: a (a c) (a c). ax + ay + cz = a 2 + c 2 ax + cy bz = a 2 c 2 Sejam v0 = (a,a,c) (b, a,c) e v1 = (a,a,c) (a,c, b). Considere r 0 = P 0 + m v 0 = (a b,b,c) + m(2ac,bc ac, a 2 ab). 5

6 r 1 = P 1 + m v 0 = (a3 a 2 c ac 2 c 3 2 2c, (a c),0) + k( ab c 2,ba + ac, a 2 + ac). a (a c) Observe que a condição 0 < a < b < c garante que r 0 r 1. Daí o sistema (1) é possível e determinado, ou seja, P = r 0 r 1. Sejam m e k tal que : (a b,b,c)+m(2ac,bc ac, a 2 ab) = (a3 a 2 c ac 2 c 3 2 2c, a (a c) (a c),0) +k( ab c 2,ba+ac, a 2 +ac) Daí, E portanto m = c 2 + ab 2a 2 c + bc 2 ac 2 + a 2 b + ab 2. P = (x 1,x 2,x 3 ) onde: x 1 = 1 2a 2 c + bc 2 ac 2 + a 2 b + ab 2 ( a2 c 2 + 2abc 2 c 2 b 2 + ba 3 2ac 3 ab 3 + 2ca 3 ) x 2 = 1 2a 2 c + bc 2 ac 2 + a 2 b + ab 2 (a2 bc + b 2 c 2 + a 2 b 2 + ab 3 bc 3 + ac 3 abc 2 + acb 2 ) x 3 = 1 2a 2 c + bc 2 ac 2 + a 2 b + ab 2 (3a2 c 2 + bc 3 ac 3 + a 2 bc + acb 2 + abc 2 ba 3 a 2 b 2 ) 6

7 10. A tabela abaixo exibe as porcentagens de albumina, carbohidrato e lipídio em cada um dos alimentos A, B e C. Mostre que não é possível combinar esses alimentos formando uma refeição que contenha 47% de albumina, 35% de carbohidrato e 18% de lipídio. Investigue se seria possível caso as exigências fossem 40% de albumina, 40% de carbohidrato e 20% de lipídio. A B C Albumina 30% 50% 20% Carbohidrato 30% 30% 70% Lipídio 40% 20% 10% RESPOSTA Analisando o sistema: x + y + z = w 30x + 50y + 20z = 47w 30x + 30y + 70z = 35w 40x + 20y + 10z = 18w onde x, y, z são quantidades doa alimentos A, B e C respsectivamente e w é o peso da refeição total. obtemos obtemos 17x + 3y 27z = 0 5x 5y + 35z = 0 22x + 2y 8z = 0 17x + 3y 27z = 0 5x 5y + 35z = 0 17x + 3y 27z = 0 5x 5y + 35z = 0 22x + 2y 8z = 0 22x + 2y 8z = 0 22x + 2y 8z = 0 daí 20x + 6z = 0, o que é um absurdo pois, x,y,z,w R +. 17x + 3y 27z = 0 x + y 7z = 0 Investigue se seria possível caso as exigências fossem 40% de albumina, 40% de carbohidrato e 20% de lipídio. Analisando o sistema: x + y + z = w 30x + 50y + 20z = 40w 30x + 30y + 70z = 40w 40x + 20y + 10z = 20w obtemos 10x + 10y 20z = 0 10x 10y + 30z = 0 20x + 0y 10z = 0 z = 2x y = 5x x = w 8 7

8 BIBLIOGRAFIA LIMA, Elon Lages. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária. IMPA. SBM. BOLDRINE, José Luiz. COSTA, Suelli I. Rodrigues. FIGUEREDO, Vera Lúcia. WET- ZLER, Henry G. Álgebra Linear. 3a edição. Editora: HARBRA ltda. 8

9 APÊNDICE Utilizando o Software computacional MAPLE para calular as soluções dos exercícios 2 e 3, temos: [> with(linearalgebra): [> sys := [ x[1]+ x[2]+ x[3] =100, 3*x[1]+ 4*x[2]+ 8*x[3] =500, 7*x[1]+6*x[2]+ 2*x[3]= 500 ]: var:= [x[1], x[2], x[3] ]: [> (A, b) := GenerateMatrix( sys, var); [> A Vector(var) = b; A,b : = , [> GenerateMatrix( sys, var, augmented=true ); [> LinearSolve(%); x[3] 200 5x[3] x[3] 9

10 [> with(linearalgebra): [> sys :=[70*x[1]+72*x[2]+80*x[3]+85*x[4] = 74000, x[1]+ x[2]+ x[3] +x[4]=1000, 8*x[1]+8*x[2]+ 10*x[3]+3*x[4]= 8000, 22*x[1]+20*x[2]+10*x[3]+12*x[4] = 18000]: [> var := [ x[1],x[2], x[3], x[4] ]: [> (A, b) := GenerateMatrix( sys, var ); A,b : = , [> A Vector(var) = b; x[1] + x[2] + x[3] + x[4] 70x[1] + 72x[2] + 80x[3] + 85x[4] 8x[1] + 8x[2] + 10x[3] + 3x[4] 22x[1] + 20x[2] + 10x[3] + 12x[4] = [> GenerateMatrix( sys, var, augmented=true ); [> LinearSolve( %); x[4] x[4] 5 x[4] 2 x[4] 10

11 aaaaa 11