Unidade Curricular Matemática Aplicada Prof. Angelo Gonçalves da Luz Teoria dos Conjuntos

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1 Unidade Curricular Matemática Aplicada Prof. Angelo Gonçalves da Luz Teoria dos Conjuntos 1) O tipo float está contido dentro de quais conjuntos? (Mais de uma alternativa pode ser marcada como correta). [ ] N [ ] Z [ ] Q [ ] R 2) O tipo int está contido dentro de quais conjuntos? (Mais de uma alternativa pode ser marcada como correta). [ ] N [ ] Z [ ] Q [ ] R 3) Dentre os tipos numéricos primitivos do Java (int, long, short, double, float e byte) aponte quais fazem parte de quais conjuntos. 4) Assinale V ou F. JUSTIFIQUE as falsas. a. ( ) O conjunto N está contido no conjunto Z. b. ( ) Conjunto Q contém Z. c. ( ) O conjunto N contém o conjunto Q. 5) Assinale V ou F com relação aos tipos primitivos em Java. JUSTIFIQUE as falsas. a. ( ) int está contido em short, e também em long. b. ( ) double está contido em float. c. ( ) short está contido em long. d. ( ) int está contido em double, e também está contido float. e. ( ) short contém byte. 6) Represente as expressões do exercício anterior utilizando os símbolos de relação entre conjuntos. Créditos deste conteúdo:

2 Teoria Conjuntos Numéricos Números Naturais (N) Como o próprio nome diz, são aqueles que surgiram naturalmente, da necessidade do homem de enumerar as coisas. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} Números Inteiros (Z) Além do conjunto N, o conjunto Z considera os números negativos inteiros. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Números Racionais (Q) Ao conjunto dos números racionais, acrescentamos as frações positivas e negativas. Isso inclui as decimais exatas (finitas) e as decimais periódicas (infinitas). Q = {..., -2, -3/2, -1, 0, 2/5, 1,...} Números Irracionais (I) O conjunto dos números irracionais é composto pelos números que não podem ser escritos em forma de fração, tais como, 2 e 6. I = {...,- 6, - 2, 3, } Números Reais (R) Por fim, o conjunto dos números reais inclui os números irracionais, além dos números naturais, inteiros e racionais. R = {..., -2, - 2, -1, 0, 1, 3, 2, 3, } Teoria de Conjuntos Todo o conjunto é uma coleção de elementos. Um conjunto pode ser representado por:

3 Extensão A = {a, b, c} Compreensão (propriedades) A = {x x N e x < 2} diagrama de Venn Conceitos Básicos Dois conjuntos são iguais somente quando possuem os mesmos elementos. Conjunto vazio é um conjunto que não possui elementos, representado por { } ou. Por exemplo, o conjunto dos números primos maiores que 13. Conjunto Universo é o conjunto ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos que estão sendo estudados. Exemplo: o conjunto dos números quando estudamos matemática. Conjunto Infinito é um conjunto com elementos infinitos, que não se acabam. Um exemplo de conjunto infinito é o conjunto dos números reais. Conjunto Finito é um conjunto com determinado número de elementos, que podem ser contados e representados. Por exemplo, o conjunto dos números pares maiores que 2 e menores que 10. Como principais símbolos, destacam-se pela frequência de uso durante o estudo de conjuntos: Símbolos Lógicos = tal que = para todo = existe ao menos um = implica = equivalente Relação entre conjuntos = está contido = não está contido = contém = não contém Relação entre elementos = pertence = não pertence Subconjuntos Se tivermos dois conjuntos, dizemos que um é subconjunto do outro se cada elemento daquele é também elemento deste. Por exemplo, se A = {2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8, 10}, dizemos que A é um subconjunto de B. Representamos a relação entre conjuntos utilizando os símbolos está contido, não está contido, contém e não contém. Nesse caso, representamos A B, pois todo o subconjunto de um conjunto está contido neste conjunto ou B A, pois todo o conjunto contém seu subconjunto. Conjunto das partes

4 O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto é determinado conjunto das partes deste conjunto, sendo indicado por P(A), sendo A = conjunto. Dado um conjunto A = {2, 4, 6}, teremos como conjunto das partes de A 2 n elementos, sendo n o número de elementos do conjunto A. No exemplo, n = 3, pois o conjunto A tem 3 elementos, logo, P(A) = 8, pois 8 = 2 3 : P(A) = {, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}} É importante lembrar que: o conjunto das partes é formado pelas possíveis combinações entre os elementos do conjunto mais o conjunto vazio, já que adota-se, por convenção, que para todo conjunto A, tem-se que A;, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6} são elementos do conjunto P(A), por isso P(A) e P(A), {2} P(A) e {2, 6} P(A). Operações com Conjuntos União A união de dois conjuntos é o conjunto formado por todos os elementos desses dois conjuntos. Sendo A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {0, 1, 7, 10}, então A B = {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10}. A B = {x x A ou x B} Intersecção A intersecção de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a esses dois conjuntos. Sendo A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {0, 1, 7, 10}, então A B = {0, 10}. A B = {x x A e x B} Subtração A diferença entre dois conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a um deles mas não pertencem ao outro. Sendo A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {0, 1, 7, 10}, então A - B = {2, 4, 6, 8}. A - B = {x x A e x B} É importante lembrar que se B A, a diferença A - B denomina-se complementar de B em relação a A e indica-se C A B. Em suma, o complementar de B em relação a A é o que falta para B ficar igual a A.

5 Exercícios 1) Sejam A = {1,2,3,5,10} B= {2,4,7,8,9} C = {5, 8, 10} subconjuntos de S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Encontre a. A B b. A B c. B (A C) 4) Sobre os vetores (conjuntos) abaixo, responda V ou F. Justifique as falsas. int c1[] = {1,3,5,7,9,11}; int c2[] = {2,4,6,8,10,12}; int c3[] = {1,2,4,5,7,8}; int c4[] = {1,2,4,8,16,32}; int c5[] = {1,2,3,4}; int c6[] = {1,2,8,9}; int c7[] = {1,2}; int c8[] = {5,11}; [ ] c1 c6 [ ] {1,2} c1 [ ] 1 c1 [ ] 2 c2 [ ] {2} c2 [ ] {(c7 c8)} c1 5) Represente matematicamente pelo menos 5 formas de representar os valores dos vetores da questão anterior. 6) Considerando os vetores da questão 4, monte os seguintes conjuntos: C1 6) Utilizando os vetores da questão 4, monte o diagrama de Venn de c1,c2,c3,c4, e responda: Qual o número total de elementos únicos entre os vetores? Quais os elementos que fazem parte apenas de c1. Quais os elementos que fazem parte apenas de c3. Quais os elementos fazem parte apenas do conjunto c1 e c3. Quais os elementos fazem parte dos conjuntos c1, c3 e c4. 7) Utilizando os vetores da questão 4, represente o diagrama de Venn de c1,c3,c6,c8. 8) Em um grupo de 42 turistas, todos falam inglês ou francês; existem 35 pessoas que falam inglês e 18 pessoas que falam francês. Quantas falam inglês e francês?

6 9) Todos os convidados de uma festa bebem whisky ou água de coco; 13 convidados bebem whisky, 10 bebem água de coco e 4 bebem whisky e água de coco. Quantas pessoas têm neste grupo? 10) O controle de qualidade em uma fábrica introduziu 42 peças com defeitos de pintura, embalagem ou na parte eletrônica na linha de montagem. Dessas peças, 28 tinham defeito de pintura, 17 tinham defeito na embalagem, 11 na parte eletrônica, 7 tinham defeito na embalagem e na parte eletrônica e 3 tinham defeitos na pintura e na parte eletrônica e 6 com defeito na pintura e na embalagem. Quantas peças tinham os três tipos de defeito? 12). 28 produtos diferentes para higiene bucal têm as seguintes estratégias: 13 veiculam que oferecem um hálito puro, 16 garantem que protegem a gengiva, 18 anunciam que reduzem a placa bacteriana, 9 prometem um hálito puro e a redução da placa, 10 dizem prevenir a gengiva e oferecer um hálito puro e 6 dizem prevenir a gengiva e reduzir a placa. a. Quantos produtos veiculam todas as três vantagens? b. Quantos produtos veiculam um hálito puro, mas não veiculam prevenir a formação da placa bacteriana?