Masters in Mechanical Engineering. Aerodynamics. Problems of ideal fluid. z = ζ e i π 4

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1 Masters in Mechanical Engineering Aerodynamics Problems of ideal fluid 1. Consider the steady, bi-dimensional, potential and incompressible flow around a circular cylinder. The cylinder is at the origin of the coordinate system ζ = ξ + iη and its radius is 1 meter. The uniform undisturbed flow is aligned with the real axis, ξ, and the velocity modulus U is 10m/s. The cylinder rotates in the clockwise direction at 60 r.p.m. Therefore, a line vortex is located at the origin of the coordinate system to introduce the circulation originated by the cylinder rotation. a) Determine the vortex intensity to simulate the effect of the cylinder rotation. b) Write the complex potential that describes this flow. Consider a conformal mapping applied to the domain ζ given above z = ( ζ ) e i π 4 ζ c) Determine the shape of the body in the transformed plane z. d) Determine the location of the stagnation points in the transformed plane. e) Sketch the flow in the transformed plane. f) Determine the force applied to the body in the transformed plane. 2. Consider the steady, bi-dimensional, potential and incompressible flow around a circular cylinder. The cylinder is at the origin of the coordinate system ζ = ξ + iη and its radius is 1 meter. The uniform undisturbed flow is aligned with the real axis, ξ, and the velocity modulus U is U. a) Write the complex potential that describes this flow. Consider a conformal mapping applied to the domain ζ given above z = ζ e i π ζ e i π 4 1

2 b) Determine the shape of the body in the transformed plane z. c) Determine the location of the stagnation points in the transformed plane. d) Determine the equation(s) that define the dividing streamline(s) in the transformed plane. e) Sketch the flow in the transformed plane. Make a rigorous drawing of the dividing streamlines. 3. Consider the steady, bi-dimensional, potential and incompressible flow around a circular cylinder. The cylinder is at the origin of the coordinate system ζ = ξ + iη and its radius is 1 meter. The uniform undisturbed flow is aligned with the real axis, ξ, and the velocity modulus U is 1m/s. a) Write the complex potential that describes this flow. b) Determine the minimum distance to the cylinder that guarantees a pressure coefficient C p larger than -1. c) Determine the equation of the streamline that contains the point ζ = 0+i2. d) Determine the volume flow rate (per unit width) between the real axis and the streamline of the previous question. Consider a conformal mapping applied to the domain ζ given above z = ζ ζ e) Determine the shape of the body in the transformed plan z. 4. Consider the steady, bi-dimensional, potential and incompressible flow around a circular cylinder. The cylinder is at the origin of the coordinate system ζ = ξ + iη and its radius is 1 meter. The uniform undisturbed flow is aligned with the real axis, ξ, and the velocity modulus U is U. Point P is defined by (ξ =-2,η=0.5) or ζ P = 2+i0.5 a) Determine the minimum distance to the cylinder of the streamline that contains point P. b) Determine the volume flow rate (per unit width) between the streamline that contains point P and the cylinder. 2

3 Consider a conformal mapping applied to the domain ζ given above z = ζ 0.36 ζ c) Determine the shape of the body and sketch the flow in the transformed plane z. d) Determine the minimum pressure coefficient on the surface of the body in the transformed plane. 5. Consider the steady, bi-dimensional, potential and incompressible flow around a circular rotating cylinder (with circulation Γ). The cylinder is at the origin of the coordinate system ζ = ξ + iη and its radius is 1 meter. The uniform undisturbed flow is aligned with the real axis, ξ, and the velocity modulus U =10m/s. The line vortex at the origin of the coordinate system has an intensity of Γ=43m 2 /s. a) Write the complex potential that describes this flow. b) Determine the angular velocity of the cylinder and the direction that the cylinder rotates. c) Determine the maximum and minimum pressure coefficient on the surface of the cylinder and its location. Consider a conformal mapping applied to the domain ζ given above z = ζ + 1 ζ d) Determine the shape of the body and sketch the flow in the transformed plane z. Make a rigorous drawing of the dividing streamlines. e) Determine the force applied to the body in the transformed plane. 6. Consider the steady, bi-dimensional, potential and incompressible flow around a circular cylinder with circulation Γ defined in the coordinate system ζ = ξ + iη. The radius of the cylinder is 1m. The velocity modulus of the uniform undisturbed flow U is 10m/s and U makes an angle of 5 degrees with the real axis ξ. The cylinder centre is located at (0,isenβ) with β = 5 o. 3

4 a) Write the complex potential that describes this flow indicating clearly the selected coordinate system. b) Determine Γ to guarantee that the point (b,0) (intersection of the cylinder with the positive real axis) is a stagnation point. c) Determine the pressure coefficient Cp at the intersections of the cylinder with the imaginary axis. Consider the conformal mapping between the plane ζ and the plane z given by: d) Sketch the flow in the transformed plane. e) Determine the pressure coefficient Cp at the transformed points of the intersections of the cylinder with the imaginary and real axis on plane 7. Consider the steady, bi-dimensional, potential and incompressible flow around a circular cylinder with circulation Γ defined in the coordinate system ζ = ξ + iη. The radius of the cylinder is 1m. The velocity modulus of the uniform undisturbed flow U is 10m/s and U makes an angle of 12 degrees with the real axis ξ. The cylinder centre is located at ( 0.05,i0). a) Write the complex potential that describes this flow indicating clearly the selected coordinate system. Determine Γ to guarantee that the point (b,0) (intersection of the cylinder with the positive real axis) is a stagnation point. b) Determine the minimum pressure coefficient Cp on the surface of the cylinder. c) Determine the intersection of the streamline that contains the point (0,i) with the real axis ξ. Consider the conformal mapping between the plane ζ and the plane z given by: 4

5 d) Sketch the flow in the transformed plane. e) Determine the coordinates of the stagnation points in the transformed plane z. f) Calculate the pressure coefficient Cp at the transformed location of the point of minimum pressure coefficient Cp on the surface of the cylinder. 8. Consider the steady, bi-dimensional, potential and incompressible flow around a circular cylinder. The cylinder is at the origin of the coordinate system ζ = ξ + iη and its radius is 1 meter. The velocity modulus of the uniform undisturbed flow U is 10m/s and U makes an angle of 10 degrees with the real axis ξ. a) Write the complex potential that describes this flow indicating clearly the selected coordinate system. b) Determine the point of the imaginary axis where the modulus of the velocity is 11 m/s. c) Determine the point of intersection between the streamline that contains the point (-2,0) with the imaginary axis. Consider the conformal mapping between the plane ζ and the plane z given by: z = ζ 1 d) Sketch the flow in the transformed plane. e) Determine the coordinates of the stagnation points in the transformed plane z. f) Determine the point(s) of the imaginary axis of the transformed plane for which the modulus of the velocity is 11m/s. 9. Considere o escoamento irrotacional e incompressível em torno de um cilindro circular com circulação, Γ, centrado na origem do referencial ζ = ξ + iη. O raio do cilindro, a, é de 1m. O módulo da velocidade de aproximação, U, é de 5m/s e U faz um ângulo de -8 graus com o eixo horizontal, 5

6 a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento, indicando b) Determine Γ de tal forma que o ponto (1,0), intersecção do cilindro com o eixo real positivo, seja um ponto de estagnação. c) Determine o coeficiente de pressão, Cp, mínimo na superfície do cilindro. d) Calcule a distância ao cilindro do ponto do eixo imaginário negativo em que o módulo da velocidade é igual a 1.5U. Considere a transformação conforme do escoamento no plano ζ para o plano z dada por : z = ζ ζ e) Represente o escoamento no plano transformado, identificando claramente a forma do corpo no plano transformado. f) Calcule o(s) ponto(s) de estagnação no plano transformado. 10. Considere o escoamento irrotacional e incompressível em torno de um cilindro circular com circulação, Γ, no referencial ζ = ξ + iη. O raio do cilindro, a, é de 1m. O módulo da velocidade de aproximação, U, é de 10m/s e U faz um ângulo de -10 graus com o eixo horizontal, ξ. O centro do cilindro encontra-se no ponto (0.1,i0). a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento, indicando b) Determine Γ de tal forma que o ponto (1.1,0), intersecção do cilindro com o eixo real positivo, seja um ponto de estagnação. c) Determine o coeficiente de pressão, Cp, mínimo na superfície do cilindro e a sua localização. Considere a transformação conforme do escoamento no plano ζ para o plano z dada por : z = ζ ζ d) Determine a localização do(s) ponto(s) de estagnação no plano transformado. 6

7 e) Determine a velocidade máxima no plano transformado e a sua localização. f) Desenhe qualitativamente as linhas de corrente no plano tranformado. 11. Considere o escoamento irrotacional e incompressível em torno de um cilindro circular com circulação, Γ, centrado na origem do referencial ζ = ξ + iη. O raio do cilindro, a, é de 1m. O módulo da velocidade de aproximação, U, é de 5m/s e U faz um ângulo de 5 graus com o eixo horizontal, ξ. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento, indicando b) Determine Γ de tal forma que a linha de corrente que intersecta o eixo real negativo no ponto ( 2, i0), intersecte o eixo imaginário positivo no ponto (0,i1.05). c) Determine a localização do pontos da superfície do cilindro em que o coeficiente de pressão, Cp = p p, 1 2 ρu2 é nulo, Cp = 0. Considere a transformação conforme do escoamento no plano ζ para o plano z dada por : z = ζ 0.8 d) Determine a localização do(s) ponto(s) de estagnação no plano transformado. e) Desenhe qualitativamente as linhas de corrente no plano tranformado. 12. Considere o escoamento irrotacional e incompressível em torno de um cilindro circular de raio 1 com o centro na origem do referencial z = x+iy. O escoamento de aproximação é uniforme, velocidade U, e está alinhado com o eixo real. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento, b) Determine a distribuição de pressão na superfície do cilindro em termos do coeficiente de pressão, Cp, e indique o valor do Cp mínimo e a sua localização. 7

8 Considere a transformação conforme ζ = z+ c2 z com c < 1. c) Mostre que o potencial complexo no plano transformado representa o escoamento em torno de uma elipse de eixos 2(1+c 2 ) e 2(1 c 2 ). d) Calcule a velocidade no plano tranformado nos pontos definidos por z = i e z = 2 2 (1+i), quando c = 0.8. e) Determine a velocidade máxima na superfície da elipse quando c = Considere o escoamento irrotacional e incompressível em torno de um cilindro circular de raio 1 com o centro na origem do referencial z = x+iy. O escoamento de aproximação é uniforme, velocidade U, e está alinhado com o eixo real. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento, b) Calcule o vector velocidade no ponto P, (P = 2+i2), e a intersecção da linha de corrente que passa no ponto P com o semi-eixo imaginário positivo, ponto Q. Considere a transformação conforme ζ = z 1 z c) Represente graficamente o escoamento no plano transformado. d) Calcule a localização dos pontos P e Q no plano transformado. Compare a distância dos pontos P e Q à linha de corrente divisória nos dois planos. Comente o resultado. e) Calcule o coeficiente de pressão, Cp, na superfície do corpo transformado e represente-o graficamente. 14. Considere o escoamento bi-dimensional, irrotacional e incompressível em torno de um cilindro circular de raio 1 com circulação. O escoamento de aproximação é uniforme, velocidade U, e faz um ângulo de 5 graus com o eixo real. O cilindro encontra-se centrado na origem do referencial (ξ,η) (plano ζ ). A circulação é introduzida por um vórtice situado na origem do cilindro, cuja intensidade faz com que o ponto (1,0) seja um 8

9 ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento, indicando b) Determine a distribuição de pressão na superfície do cilindro em termos do coeficiente de pressão, Cp, e indique o valor do Cp mínimo e a sua localização. c) Determine o ponto do eixo imaginário positivo para o qual o módulo da velocidade é igual a 1.25U. Considere a transformação conforme z = ζ + 1 d) Represente o escoamento no plano transformado. e) Determine as coordenadas do(s) ponto(s) de estagnação no plano transformado. f) Determine as coordenadas do(s) ponto(s) do corpo no plano transformado em que Cp = Considere o escoamento irrotacional e incompressível em torno de um cilindro circular com circulação, Γ. O raio do cilindro, a, é de 1m. O módulo da velocidade de aproximação, U, é de 10m/s e U faz um ângulo de 10 graus com o eixo horizontal, ξ. O centro do cilindro encontra- -se no ponto (0, 0.05i). a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento, indicando b) Determine Γ de tal forma que o ponto (b,0), intersecção do cilindro com o eixo real positivo, seja um ponto de estagnação. c) Determine o coeficiente de pressão, Cp, mínimo e máximo na superfície do cilindro e a sua localização. Considere a transformação conforme do escoamento no plano ζ para o plano z dada por : d) Desenhe qualitativamente as linhas de corrente no plano transformado. 9

10 e) Determine a localização do(s) ponto(s) de estagnação no plano transformado. 16. Considere o escoamento irrotacional e incompressível em torno de um cilindro circular com circulação, Γ, tal como ilustrado na figura. O raio do cilindro, a, é de 1m. O módulo da velocidade de aproximação, U, é de 10m/s e U faz um ângulo de 5 graus com o eixo horizontal, ξ. O centro do cilindro encontra-se no ponto ( 0.05, 0.05i). η (-0.5,-0.5) U α ξ a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento, indicando b) Determine Γ de tal forma que o ponto (b,0), intersecção do cilindro com o eixo real positivo, seja um ponto de estagnação. c) Determine o coeficiente de pressão, Cp, mínimo ao longo da linha de corrente que passa pelo ponto (0,i1.5). Considere a transformação conforme do escoamento no plano ζ para o plano z dada por : d) Determine a localização do(s) ponto(s) de estagnação no plano transformado. e) Desenhe qualitativamente as linhas de corrente no plano transformado. 17. Considere o escoamento irrotacional e incompressível em torno de um cilindro circular com circulação, Γ. O raio do cilindro, a, é de 1m e está 10

11 centrado na origem do referencial ζ = ξ +iη. O módulo da velocidade de aproximação, U, é de 10m/s e U faz um ângulo de 5 graus com o eixo horizontal, ξ. O centro do cilindro encontra-se no ponto ( 0.05, 0.05i). a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento, indicando b) Determine Γ de tal forma que o ponto (b,0), intersecção do cilindro com o eixo real positivo, seja um ponto de estagnação. c) Determine o coeficiente de pressão, Cp, mínimo ao longo da linha de corrente que passa pelo ponto (0,i1.5). Considere a transformação conforme do escoamento no plano ζ para o plano z dada por : d) Determine a localização do(s) ponto(s) de estagnação no plano transformado. e) Desenhe qualitativamente as linhas de corrente no plano transformado. 18. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado na origem do referencial ζ = ξ + iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ = b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de ataque, α, indicando b) Determine a gama de ângulos de ataque em que o coeficiente de pressão, C p, mínimo do escoamento é superior a -5 (C p > 5). Considere a transformação conforme dada por c) Represente qualitativamente o escoamento no plano transformado e 11

12 determine a velocidade no ponto transformado de ζ = b. d) Determine os valores máximos e mínimos do coeficiente de pressão, C p, no plano transformado e a sua localização em funcção do ângulo de ataque, α. 19. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto (-0.06,i0.04) do referencial ζ = ξ + iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α com o eixo real ξ e tem uma velocidade com módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ = b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de ataque, α, indicando b) Determine a gama de ângulos de ataque em que o módulo do coeficiente de força na direcção perpendicular ao eixo ξ, C Fη, é menor do que 0.5 ( C Fη < 0.5). C Fη = 1 2 ρu2 d em que F η é a força na direcção perpendicular ao eixo ξ, ρ é a massa específica do fluido e d é o diâmetro do cilindro. F η Considere a transformação conforme dada por c) Represente qualitativamente o escoamento e identifique detalhadamente a forma do corpo no plano transformado. (Faz parte da resolução saber o que quer dizer detalhadamente) d) Determine a gama de ângulos de ataque em que o módulo do coeficiente de força na direcção perpendicular ao eixo y, C Fy, é inferior a 0.5, ( C Fy < 0.5). Escolha o comprimento de referência mais indicado para adimensionalizar a força F y. 20. Considere o escoamento estacionário bi-dimensional potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m 12

13 e está centrado na origem do referencial ζ = ξ + iη = ρe iθ. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α de 10 graus com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ = b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento indicando b) Determine a região do escoamento em que o coeficiente de pressão, C p, é inferior a -3 (C p < 3). S o necessita de determinar a localização exacta dos pontos que se encontram na circunferência ou nos eixos ξ e η (com ρ 1). Para os restantes indique apenas como os determinava. Considere a transformação conforme dada por c) Represente qualitativamente o escoamento no plano transformado. d) Determine os valores máximos e mínimos do coeficiente de pressão, C p, no plano transformado e a sua localização em coordenadas adimensionais (faz parte da resposta saber como devem adimensionalizar as coordenadas). 21. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto (0,i0.02) do referencial ζ = ξ +iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ = b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de ataque, α, indicando b) Determine o ângulo de ataque em que o coeficiente de força na direcção 13

14 ) ξ, C Fξ, é máximo, (C. Fξ max C Fξ = F ξ 1 2 ρu2 d, em que d é o diâmetro do cilindro. Considere a transformação conforme dada por c) Represente qualitativamente o escoamento no plano transformado indicando claramente a forma do corpo transformado. d) Qual(is) o(s) ângulo(s) de ataque em que o coeficiente de pressão, C p, no plano transformado é sempre superior a -0.1? Qual o valor do C p mínimo para esse(s) ângulo(s) de ataque? 22. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto (-0.02,i0) do referencial ζ = ξ + iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α, (α < π/2), com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ = b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de ataque, α, indicando b) Determine o ângulo de ataque para o qual se obtem o valor mínimo do coeficiente de pressão, C p, no ponto de interseção do cilindro com o eixo imaginário positivo, P na figura. Considere a transformação conforme dada por c) Represente qualitativamente o escoamento no plano transformado indicando claramente a forma do corpo transformado. 14

15 d) Qual a gama de ângulos de ataque em que o coeficiente de pressão, C p, no bordo de ataque é maior do que zero, (C p ) bordo de ataque > 0? 23. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado na origem do referencial ζ = ξ + iη = ρe iθ. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ = b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento indicando b) Determine a gama de ângulos de ataque para os quais o coeficiente de pressão, C p, não é inferior a -3.5 em todo o escoamento (C p 3.5). Considere a transformação conforme dada por c) Determine os valores máximos e mínimos do coeficiente de pressão, C p, no plano transformado e a sua localização (coordenadas adimensionais) em função do ângulo de ataque α (faz parte da resposta saber como deve adimensionalizar as coordenadas). 24. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto (-0.02,-i0.04) do referencial ζ = ξ + iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ = b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de ataque, α, indicando b) Determine o ângulo de ataque para o qual o coeficiente de pressão 15

16 mínimo se encontra no eixo imaginário negativo. Considere a transformação conforme dada por que transforma o cilindro num perfil de Joukowski. c) Represente qualitativamente o escoamento no plano transformado para o ângulo de sustentação nula indicando claramente as características geométricas do perfil. d) Determine o ângulo de ataque para o qual o ponto de estagnação se encontra no bordo de ataque. 25. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado na origem do referencial ζ = ξ + iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ = b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de ataque, α, indicando b) Determine a gama de ângulos de ataque para a qual o coeficiente de pressão é sempre superior a -4. Considere a transformação conforme de Kármán-Treftz dada por z = kb (ζ + b)k +(ζ b) k (ζ + b) k (ζ b) k com k = 1.95 que transforma o cilindro num perfil. c) Determine a espessura relativa do perfil. d) Determine o coeficiente de sustentação do perfil a pequenos ângulos de ataque. 26. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m 16

17 e está centrado no ponto (-0.05,i0.01) do referencial ζ = ξ +iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ = b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento indicando b) Determine a gama de ângulos de ataque para a qual os pontos de estagnação se encontram na região definida por 0 η Considere a transformação conforme dada por que transforma o cilindro num perfil de Joukowski. c) Represente qualitativamente o escoamento no plano transformado indicando claramente as características geométricas do perfil. d) Determine a localização do(s) ponto(s) de estanagção no perfil em função do ângulo de ataque. 27. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto (0, i0.02) do referencial ζ = ξ + iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ = b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de ataque, α, indicando b) Determine, caso exista, o ângulo de ataque para o qual o coeficiente de pressão mínimo está localizado na intersecção do cilindro com o eixo imaginário negativo. c) Determine, caso exista, o ângulo de ataque para o qual o(s) ponto(s) de coeficiente de pressão máximo se encontra(m) apenas no eixo real (posi- 17

18 tivo e negativo). d) Considere a transformação conforme de Kármán-Treftz dada por z = kb (ζ + b)k +(ζ b) k (ζ + b) k (ζ b) k com k = 1,96 que transforma o cilindro num perfil. d.1) Determine o perfil no plano transformado e indique a sua espessura e flecha relativas. d.2) Determine o coeficiente de pressão mínimo na superfície do perfil para o ângulo de sustentação nula. 28. Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto ( 0,01,i0,02) do referencial ζ = ξ + iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ = b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de ataque, α, indicando b) Determine a gama de ângulos de ataque para a qual o coeficiente de pressão se encontra no intervalo [-3,5,1] ( 3,5 C p 1) em todo o escoamento (C p = (p p /(1/2ρU 2 ). Considere a transformação conforme ζ que transforma o cilindro num perfil de Joukowski c) Desenhe qualitativamente as linhas de corrente no plano transformado para o ângulo de sustentação nula e determine a espessura e flecha relativas do perfil. 18

19 d) Determine a gama de ângulos de ataque para a qual o coeficiente de pressão no bordo de ataque é maior do que 0, Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto (0, i0,01) do referencial ζ = ξ + iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um ângulo α com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U. No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ = b, seja um ponto de estagnação. a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de ataque, α, indicando b) Determine a gama de ângulos de ataque para a qual o coeficiente de pressão na intersecção do cilindro com o eixo real negativo (ξ = b,η = 0) se encontra no intervalo [0,8, 1] (0,8 C p 1, com C p = (p p /(1/2ρU 2 ). Considere a transformação conforme ζ que transforma o cilindro num perfil de Joukowski c) Desenhe qualitativamente as linhas de corrente no plano transformado para o ângulo de sustentação nula e determine a espessura e flecha relativas do perfil. d) Determine o coeficiente de pressão mínimo e máximo e a sua localização (em coordenadas adimensionais) para o ângulo de sustentação nula. 19