Diferenciais Parciais

Transcrição

1 Capítulo Solução Numérica de Equações Diferenciais Parciais. Introdução Uma equações diferencial parcial (EDP) pode ser escrita na forma geral a φ x + b φ x y + φ c y + d φ x + e φ + fφ+ g = 0 (.) y onde a, b, c, d, e, f e g podem ser funções das variáveis independentes x e y e da v ariável dependente φ, emumaregião no plano R, em coordenadas cartesianas. As EDPs podem ser classificadas em elípticas, parabólicas ou hiperbólicas, dependendo do valor de b 4ac ser negativo, zero ou positivo, respectivamente. Como exemplos de EDPs elípticas podemos citar a equação de Poisson φ x + φ y = g (.) edelaplace φ x + φ y = 0 (.3) as quais são associadas geralmente a problemas em equilíbrio. Uma maneira de se expressar o potencial de velocidade de um fluido incompressível, não-viscoso, em regime estável éatravés da equação de Laplace: a taxa com a qual tal fluido entra em uma determinada região é igual àquela com a qual ele sai. Já na teoria eletromagnética, o teorema de Gauss nos diz que o fluxo elétrico que passa através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície; isto pode ser expresso por uma equação de Poisson, V x + V y + ρ ɛ = 0 (.4) onde V éopotencialelétrico associado a uma distribuição bi-dimensional de carga de densidade ρ e ɛ éaconstantedielétrica. Até hoje, apenas um número limitado de equações elípticas foram resolvidas analiticamente, com sua utilidade restrita a casos onde a região de estudo considerada tem uma forma geométrica simples. O mesmo pode ser dito de equações parabólicas e hiperbólicas. Por essa razão, a solução dessas equações é feita, essencialmente, de forma numérica, com métodos específicos para cada tipo de EDP.

2 . Equações parabólicas Começaremos investigando a solução numérica de EDPs parabólicas com um dos mais simples exemplos: a equação adimensional t = U x (.5) a qual expressa a distribuição de temperatura U em uma barra isolada termicamente ao longo de seu comprimento, x, t segundos após ter sido aquecida (ou resfriada). Em tal problema, as temperaturas nos dois extremos da barra são conhecidas ao longo do tempo ou seja, as condições de fronteira são conhecidas. Étambém usual conhecer a distribuição de temperatura na barra em um certo instante, o qual é chamado de tempo zero; essa distribuição é chamada de condição inicial. Vejamos, então, um diagrama que explica o processo de integração a ser efetuado (ver [4]). Suponha uma barra de comprimento l, C uma curva de fronteira e S aregião englobada por essa curva, conforme a figura.. Veja que C éumacurvaabertanoplanox t; eaárea S limitada f r o n te i r a i j t C S C f r o n te i r a C (i,j) C valores iniciais l linha i+, valores a determinar linha i, valores conhecidos x Figura.: Malha de pontos para uma EDP parabólica. por 0 t<, 0 x l. O processo de integração em S através de diferenças-finitas consiste em colocar-se uma malha com espaçamento k e h nas direções t e x respectivamente, e aproximar as derivadas em cada um dos pontos de intersecção nessa malha... Método explícito Para a equação (.5), aproximaremos as derivadas de primeira e de segunda ordem através de diferenças-finitas (vide seção.5), i.e. u t u i+,j u i,j k u t u i+,j u i,j + u i,j+ h onde k e h são os espaçamentos nas direções t e x, respectivamente. Substituindo essas aproximações em (.5), vem u i+,j u i,j = u i+,j u i,j + u i,j+ k h e, isolando o termo u i+,j,obtemos u i+,j = ru i,j +( r)u i,j + ru i,j+, r = k h (.6) A.L. de Bortoli, C. Cardoso, M.P.G. Fachin, R.D. da Cunha 3

3 a qual nos dá a temperatura U em cada ponto j no (i +)-ésimo tempo. Note que os pontos discretos são x j = jh e t i = ik. Os exemplos a seguir mostram como resolver problemas com base na equação (.6). Exemplo. Suponha uma barra de metal isolada termicamente, com as suas duas extremidades em contato com blocos de gelo a 0 o C, e aquecida instantaneamente em seu ponto médio por um maçarico. Qual a temperatura da barra após um certo tempo? Solução: Note que, como a barra permanece em contato com gelo durante toda a simulação, devemos esperar que, após ter sido instantaneamente aquecida, sua temperatura deverá cairaté 0 o C, depois de um certo tempo. Suponha que a distribuição inicial de temperatura na barra seja dada por u =x, 0 x ; u =( x), x Pela formulação do problema, vemos que os extremos da barra estão a 0 o C. Então, podemos especificar as condições iniciais (CI) e de fronteira (CF) como: { u =x, 0 x CI : u =( x), x, t =0 { u =0,x=0 CF : u =0,x=, t > 0 Dividamos então a barra em dez pedaços e integremos a equação (.5) em mil passos, i.e., tomemos h =/ e k =/00, talquer = k/h =/. A equação (.6) pode ser simplificada eescritacomo u i+,j = (u i,j +8u i,j + u i,j+ ) (.7) e, identificando as variáveis envolvidas na malha, vemos que o cálculo dos u i+,j corresponde à seguinte molécula, onde os números dentro de cada átomo são os fatores multiplicadores de u nos pontos da malha, indicados ao lado de cada átomo : u i+,j u i,j 8 u i,j u i,j+ Figura.: Molécula computacional para o método explícito, r =/. Agora, aplicando a equação (.7), obtemos alguns valores, mostrados na tabela.. x 0, 0, 0, 3 0, 4 0, 4 0, 5 0, 6 t =0 0 0, 0, 4 0, 6 0, 8, 0 0, 8 t =0, , 0, 4 0, 6 0, 8 0, 96 0, 8 t =0, , 0, 4 0, 6 0, , 980 0, 7960 t =0, , 0, 4 0, , , 906 0, 7896 Tabela.: Alguns valores para a equação (.7), com r =/. Considerando que a solução analítica para o problema, sujeita àquelas CI e CF, é dada por u(x, t) = 8 π i= ( n sen nπ ) (sennπx)e n π t A.L. de Bortoli, C. Cardoso, M.P.G. Fachin, R.D. da Cunha 4

4 podemos calcular os erros correspondentes à solução numérica para alguns pontos, conforme mostra a tabela.. Nota-se que, para x =0, 3, oerroépequeno;jáparax =0, 5, oerroé maior, x =0, 3 t numérica analítica erro (%) 0, 005 0, 597 0, , 08 0, 0 0, 58 0, , 4 0, 0 0, , , 7 0, 0, 47 0, 444, x =0, 5 0, 005 0, , 8404, 3 0, 0 0, , 6 0, 0 0, 689 0, 6809, 0, 0, , 30, Tabela.: Erros na aproximação numérica da equação (.7), com r =/. particularmente devido às CI, pois u x x= = = u x x= + No entanto, à medida que o processo de integração prossegue, o erro diminui. Richtmeyer e Morton (967) mostraram que, para o esquema em diferenças-finitas utilizado no exemplo., se a função inicial e suas p primeiras derivadas são contínuas, e a p-ésima derivada édiscontínua de forma ordinária (i.e., varia em saltos finitos), então, para k pequeno, o erro é menor ou igual a k p+ p+4 No exemplo., p =,então o erro é k 3 5 =0, 06; comparando com os valores presentes na tabela., vemos que essa condição é satisfeita. Exemplo. Para o mesmo problema no exemplo., utilize h =/ e k =5/00. Solução: Nesse caso, r =/. A equação (.6) reduz-se a. u i+,j = (u i,j + u i,j+ ) (.8) Alguns dos valores calculados são mostrados na tabela.3; os erros em x =0, 3 são mostrados na tabela.4. Comparando com os dados na tabela., vemos que os erros aumentaram; isso x 0, 0, 0, 3 0, 4 0, 4 0, 5 0, 6 t =0 0 0, 0, 4 0, 6 0, 8, 0 0, 8 t =0, , 0, 4 0, 6 0, 8 0, 8 0, 8 t =0, 0 0 0, 0, 4 0, 6 0, 7 0, 8 0, 7 t =0, , 0, 4 0, 55 0, 7 0, 7 0, 7 Tabela.3: Alguns valores para a equação (.8), com r =/. nos leva a supor que o valor de k está intimamente ligado ao erro existente na solução. Exemplo.3 Para o mesmo problema no exemplo., utilize h =/ e k =/0. Solução: Nesse caso, r =. A equação (.6) reduz-se a u i+,j = u i,j u i,j + u i,j+ (.9) A tabela.5 mostra alguns dos valores calculados os quais, obviamente, não representam o comportamento físico esperado. A.L. de Bortoli, C. Cardoso, M.P.G. Fachin, R.D. da Cunha 5

5 x =0, 3 t numérica analítica erro (%) 0, 005 0, 6 0, , 57 0, 0 0, 6 0, , 5 0, 0 0, 55 0, , 0, 0, 484 0, 444, 6 Tabela.4: Erros na aproximação numérica da equação (.8), com r =/. x 0, 0, 0, 3 0, 4 0, 4 0, 5 0, 6 t =0 0 0, 0, 4 0, 6 0, 8, 0 0, 8 t =0, 0 0 0, 0, 4 0, 6 0, 8 0, 6 0, 8 t =0, 0 0 0, 0, 4 0, 6 0, 4, 0 0, 4 t =0, , 0, 4 0,, 0,, t =0, , 0, 0, 4,, 6, Tabela.5: Alguns valores para a equação (.9), com r =. O método explícito expresso pela equação (.6) é computacionalmente simples, porém ele apresenta uma restrição. O passo de integração temporal, k, deve ser necessariamente pequeno, uma vez que o processo de integração só v álido quando k h (.) Além disso, o particionamento em x deve ser suficientemente grande levando a um h pequeno para que as aproximações das derivadas espaciais, usando diferenças-finitas, sejam aceitáveis. No exemplo.3, a condição (.) foi violada, levando a resultados incorretos (do ponto de vista físico). A fim de remover essa restrição no passo de integração temporal, devemos recorrer a um outro método, conforme descrito a seguir... Método de Crank-Nicolson Em 947, Crank e Nicolson propuseram um método válido para quaisquer valores finitos de r. Eles consideraram que a EDP (.5 é satisfeita no ponto médio ( i + k, jh),ouseja, ( ) u = t i+,j ( ) u x i+,j e, substituindo estas derivadas pelas expressões em diferenças finitas já vistas, temos u i+,j u i,j = ( ui+,j u i+,j + u i+,j+ k h + u ) i,j u i,j + u i,j+ h ou ru i+,j +(+r)u i+,j ru i+,j = ru i,j +( r)u i,j + ru i,j+ (.) onde r = k/h. Na equação (.), temos três termos conhecidos e três a determinar, os quais referem-se ao tempo i +;daí, o método de Crank-Nicolson éditoserimplícito. Se cada linha da malha tiver n pontos, então (.) é um sistema de equações lineares de n equações a n variáveis, onde o termo independente de cada sistema, onde calculamos u no tempo i +, é composto pelos valores de u no tempo i. Note que a resolução do sistema de equações deve ser efetuada a cada passo de integração no tempo. O exemplo a seguir mostra como utilizar ométodo. A.L. de Bortoli, C. Cardoso, M.P.G. Fachin, R.D. da Cunha 6

6 Exemplo.4 Resolva o problema no exemplo. com o método de Crank-Nicolson, usando h =/. Solução: Ao selecionarmos k, devemos verificar que uma escolha cuidadosa de r permite simplificar a equação (.); p.ex., com r =,otermou i,j é removido. Para esse valor de r, temos k =/0. Então, a equação governante, nesse caso, é u i+,j +4u i+,j u i+,j+ = u i,j + u i,j+ cuja molécula computacional é mostrada na figura.3. Devido à simetria do problema, em u i+,j u i+,j+ u i+,j 4 u i,j u i,j+ Figura.3: Molécula computacional para o método de Crank-Nicolson, r =. relação ao quinto ponto, x =/, conforme mostrado na figura.4, podemos reduzir o esforço computacional necessário; basta obter os valores de u i+,, u i+,, u i+,3, u i+,4 e u i+,5. O u u u 3 u 4 u 5 u 4 u 3 u u u =0 u = Figura.4: Disposição dos pontos na malha. sistema de equações correspondente pode ser escrito na forma matricial como: 4 u i+, u i, 4 u i+, 4 u i+,3 4 u i+,4 = u i, u i,3 u i,4 4 u i+,5 u i,5 cuja matriz de coeficientes é levemente não-simétrica, apresentando dominância diagonal.... Aproximação ponderada Se considerarmos que a EDP (.5) é satisfeita, agora, num ponto (i + θk, jh), 0 θ, obtemos uma generalização do método de Crank-Nicolson: u i+,j u i,j k = h (θ(u i+,j u i+,j + u i+,j+ )+( θ)(u i,j u i,j + u i,j+ )) (.) Aequação (.) corresponde ao método explícito, para θ = 0; ao de Crank-Nicolson, para θ =/; e a um método completamente implícito, para θ =. Para/ θ, (.) éestável para qualquer valor de r; para0 θ /, devemos ter r (( θ)). A.L. de Bortoli, C. Cardoso, M.P.G. Fachin, R.D. da Cunha 7

7 ..3 Condições de fronteira O principal problema, ao se resolver uma equação diferencial parcial, é o tratamento adequado das condições de fronteira. Condições simples, como as de Dirichlet (u = 0), são facilmente tratadas. Por exemplo, considere a aproximação central por diferenças finitas da derivada u/ x, u j+ u j. h Se a condição é u =0emx =0,então para o ponto na malha em j =0,u 0 =0. Daí, a aproximaçãoparaaderivadanoprimeiroponto,x = h, i.e. j =,passaaser u 0 h O mesmo procedimento éválido para outras aproximações em diferenças finitas, como visto nos exemplos.-.3. Condições de fronteira envolvendo derivadas ocorrem com freqüência, normalmente para indicar ainexistência de fluxo naquela parte da região em estudo, ou a taxa com a qual uma dada quantidade varia. Por exemplo, quando a superfície de um objeto condutor de calor é termicamente isolado, podemos dizer que n =0 i.e., a derivada de U na direção normal àsuperfície (indicada por n) énula. Um outro exemplo refere-se à transmissão de calor. A taxa com que o calor é transferido por irradiação de uma superfície quente para o meio ao seu redor, e uma temperatura v,énormalmente assumida como proporcional a U v. Como na teoria de condução de calor a premissa fundamental é de que o calor que flui através de uma superfície é igual a κ n unidades de calor por unidade de tempo na direção normal àsuperfície, podemos escrever a condição de fronteira como κ = H(U v) n onde κ é a constante de condutividade térmica do material e H éaconstantedetransferência de calor da superfície. O sinal é tomado de forma a indicar que o fluxo de calor énadireção oposta àquela em que U cresce algebricamente. Podemos, então, simplificar a condição de fronteira acima para = s(u v), s > 0, n Considere, então, uma barra fina, termicamente isolada, e que irradia calor no seu extremo x = 0. A temperatura nesse extremo, em t =0,é, portanto, desconhecida, e necessitamos de uma outra equação; essa pode ser a própria condição de fronteira, se usarmos uma aproximação frontal para a derivada em U, pois = s(u v) x será aproximadopor u i, u i,0 = s(u i,0 v) h Um sinal negativo deve ser associado à derivada pois a normal, apontando para fora da barra, em x = 0, tem a direção x. Se desejarmos aproximar a derivada / x por uma aproximação central, então é necessário introduzir uma célula fictícia u i,, imaginando-se que a barra estende-se até h, conformea figura.5. Podemos, então, escrever u i, u i, = s(u i,0 v) h porém, agora, devemos eliminar u i,,jáqueeleéfictício,conformemostraoexemploaseguir. A.L. de Bortoli, C. Cardoso, M.P.G. Fachin, R.D. da Cunha 8

8 u u 0 u u u n u n u n+ u n+ h 0 h h (n )h nh (n +)h (n +)h Figura.5: Malha com pontos fictícios. Exemplo.5 Seja uma barra fina, termicamente isolada, a uma temperatura diferente da temperatura ambiente, a qual irradia calor através das suas duas extremidades. A EDP é sujeita às t = U t CI : U =, 0 x, t =0 CF : { x x = U, x =0, t > 0 = U, x =, t > 0 Obtenha as equações governantes de acordo com o método explícito. Solução:Usando a equação (.6), podemos escrever, em x =0, u i+,0 = u i,0 + r(u i, u i,0 + u i, ) ACFemx =0, usando uma aproximação central, é u i, u i, = u i,0 h de onde u i, = u i, hu i,0 ; substituindo na equação para u i,0,temos u i+,0 = u i,0 + r(u i, hu i,0 u i,0 + u i, )= = u i,0 =r(u i, ( + h)u i,0 ) De forma similar, em x =,temoscomocf u i,n+ u i,n = u i,n+ h e, como a equação (.5) é expressa no ponto x =como podemos eliminar u i,n+,talque u i+,n+ = u i,n+ + r(u i,n u i,n+ + u i,n+ ) u i+,n+ = u i,n+ +r(u i,n ( + h)u i,n+ ) Para resolver esse problema, então, vamos utilizar três equações: uma para o ponto u i+,0,outra para o ponto u i+,n+ e a equação (.6) para os pontos u i+,j, j n..3 Equações diferenciais parciais elípticas As EDPs elípticas são normalmente relacionadas a problemas em equilíbrio e as suas soluções representam um máximo ou mínimo da integral que representa a energia do sistema. As mais conhecidas, e importantes são as equações de Poisson (.) e de Laplace (.3). Suas aplicações são as mais variadas: p.ex., a equação de Poisson representa o movimento de um fluido viscoso incompressível, a baixa velocidade; a equação de Laplace é empregada para descrever o potencial eletromagnético, dentre outras. A.L. de Bortoli, C. Cardoso, M.P.G. Fachin, R.D. da Cunha 9

9 O intervalo de integração de uma EDP elíptica ésempreumaárea S cercada por uma curva fechada C. As condições de fronteira especificam ou o valor da função ou de sua derivada em cada ponto de C; é comum, também, que em certas regiões de C seja especificado o valor da função e, noutras, o da sua derivada. Asolução de uma EDP elíptica atravésde sua discretização em diferenças finitas leva àsolução de um sistema de equações lineares, tipicamente grande e esparso, para os quais os métodos iterativos, apresentados no Capítulo 4, são particularmente indicados. Considere a equação u = f(x, y) (.3) na região R =[0, ] [0, ] (i.e., o quadrado unitário), sujeita às condições de fronteira u =0em ΩR. Discretizamos, então, a região com uma malha cartesiana com espaçamento h =/m, idêntico nas direções x e y, conforme o diagrama da figura.6. Note que temos n = m pontosao iy j x pontos na fronteira pontos u i,j Figura.6: Malha de pontos para uma EDP elíptica. longo de cada direção, totalizando n pontos u i,j onde obteremos a aproximação para a EDP. Aproximando as derivadas parciais de segunda ordem por diferenças finitas, temos u i,j u i,j + u i,j+ h + u i,j u i,j + u i+,j h = f(jh,ih), 0 <i,j<m (.4) onde jh = x j e ih = y i. Usando um ordenamento natural dos pontos u i,j na malha, ao longo das linhas verticais, obtemos um número k =(i )n + j, talqueu i,j u k, conforme mostrado na figura.7. O ordenamento natural ao longo das linhas horizontais é equivalente: nesse caso, teríamos k =(j )n + i. Avaliando a equação (.4) em cada um dos pontos i, j, obteremos iy j x Figura.7: Ordenação natural dos pontos na malha. um sistema de equações lineares, conforme mostra o exemplo abaixo. Exemplo.6 Calcule u que satisfaça a EDP u = (x + y ) na região R =[0, ] [0, ], sujeitaau =0nas linhas x =0e y =0; u = y na linha x =e u = x na linha y =. Solução: Apenas para fins de explanação, vamos utilizar uma malha quadrada com m =4, mas cabe ressaltar que, tipicamente, devemos utilizar m 0. Dessa forma, estaremos avaliando A.L. de Bortoli, C. Cardoso, M.P.G. Fachin, R.D. da Cunha 0

10 aedpacimaemn =(m ) =9pontos, o que nos levará a um sistema de equações lineares de 9 equações a 9 variáveis. O espaçamento é h =/4. Escrevendo, então, a equação (.4) para cada um dos pontos, utilizando o ordenamento natural conforme mostrado na figura.7, temos: : (0+u u 4 )+(0+u u )= h (h + h ) : (0+u u 5 )+(u +u u 3 )= h (h +4h ) 3 : (0+u 3 u 6 )+(u +u 3 h )= h (h +9h ) 4 : (u +u 4 u 7 )+(0+u 4 u 5 )= h (4h + h ) 5 : (u +u 5 u 8 )+(u 4 +u 5 u 6 )= h (4h +4h ) 6 : (u 3 +u 6 u 9 )+(u 5 +u 6 4h )= h (4h +9h ) 7 : (u 4 +u 7 h )+(0+u 7 u 8 )= h (9h + h ) 8 : (u 5 +u 8 4h )+(u 7 +u 8 u 9 )= h (9h +4h ) 9 : (u 6 +u 9 9h )+(u 8 +u 9 9h )= h (9h +9h ) onde os valores 0 correspondem àqueles pontos na fronteira, pois u = 0éacondição de fronteira. Multiplicando por todas as equações e combinando os termos, obtemos o seguinte sistema de equações, na forma matricial: cuja solução é u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 = 0, 056 0, 039 0, 056 0, 039 0, 065 0, 484 0, 056 0, 484 0, 944 u =(0, 0039, 0, 056, 0, 035, 0, 056, 0, 065, 0, 406, 0, 035, 0, 406, 0, 364) (.5) Note que, pela definição do problema, temos u = x y ; podemos confirmar que os valores obtidos como solução do sistema (.5) satisfaz a EDP, como mostra a tabela.6. k x y u = x y u k erro relativo 0, 5 0, 5 0, , , , 5 0, 50 0, 056 0, 056 0, , 5 0, 75 0, 035 0, , 50 0, 5 0, 056 0, 056 0, , 50 0, 50 0, 065 0, 065 0, 5 6 0, 50 0, 75 0, 406 0, , 75 0, 5 0, 035 0, , 75 0, 50 0, 406 0, 406 0, , 75 0, 75 0, 364 0, Tabela.6: Comparação entre os valores calculados para u pela solução direta do sistema e a solução exata. Como as matrizes que surgem da discretização em diferenças finitas de uma EDP são esparsas, é comum se utilizar métodos iterativos na resolução do sistema de equações lineares, como mostra oexemploaseguir. A.L. de Bortoli, C. Cardoso, M.P.G. Fachin, R.D. da Cunha

11 Exemplo.7 Resolvendo o sistema.5 através do método dos Gradientes-Conjugados (vide seção 4.7 e algoritmo 4.7.), a uma tolerância de,obtém-se como solução u =(0, 0039, 0, 056, 0, 035, 0, 056, 0, 065, 0, 406, 0, 035, 0, 406, 0, 364) A tabela.7 mostra que os erros relativos dessa solução também são aceitáveis. k x y u = x y u k erro relativo 0, 5 0, 5 0, , , , 5 0, 50 0, 056 0, 056 0, , 5 0, 75 0, 035 0, 035 0, , 50 0, 5 0, 056 0, 056 0, , 50 0, 50 0, 065 0, 065 0, , 50 0, 75 0, 406 0, 406 0, , 75 0, 5 0, 035 0, 035 0, , 75 0, 50 0, 406 0, 406 0, , 75 0, 75 0, 364 0, 364 0, Tabela.7: Comparação entre os valores calculados para u pela solução iterativa do sistema, através do método dos Gradientes-Conjugados, e a solução exata. Assim como nas equações parabólicas, pode-se especificar condições de Neumann (envolvendo derivadas) na fronteira..4 Exercícios Exercício. Considere a equação t = U κ x, κ < Estabeleça a condição necessária para convergência de um método explícito e mostre o que acontece quando κ =0, 5 e κ = 6. Exercício. Calcule a solução aproximada de U x + U y +cos(y) x sen(x) y =0 no retângulo unitário, com condições de Dirichlet na fronteira. Resolva o problema através de uma aproximação em diferenças-finitas, utilizando diferenças ascendentes para as derivadas de primeira ordem. Exercício.3 Resolva o exercício. utilizando diferenças centrais para as derivadas de primeira ordem. Explique o que ocorre. A.L. de Bortoli, C. Cardoso, M.P.G. Fachin, R.D. da Cunha