Material de apoio Matemática Financeira

Transcrição

1 UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO UNINOVE Material de apoio Matemática Financeira Curso: Ciências Contábeis Elaboração: Prof. Paulo Sergio Pereira da Silva São Paulo, 2012

2 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 2 ÍNDICE APRESENTAÇÃO...03 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA...04 INTRODUÇÃO...04 REGRA DE TRÊS SIMPLES...04 PORCENTAGEM...05 JUROS...09 JUROS SIMPLES...11 DESCONTOS.SIMPLES...19 JUROS COMPOSTOS...23 DESCONTOS COMPOSTOS...28 OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS...30 SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS...38 POSTECIPADA...38 ANTECIPADA...43 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO...49 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO-SFA./PRICE...52 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE-SAC...61 EXERCICIOS SUPLEMENTARES...64 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...72 ANEXO 1 - PEQUENO MANUAL HP 12C...73 Todos os direitos reservado e protegidos pela Lei de 19/02/98. Nenhuma parte desta apostila, sem autorização prévia por escrito do autor, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem o meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros.

3 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 3 APRESENTAÇÃO Caro(a) aluno(a), Ao longo de nossa vida acadêmica, são grandes as novidades e os desafios que se colocam diante de nós. As relações entre professores e alunos são mediadas por linguagens e regras específicas, diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e profissional. Esse universo desconhecido desperta, a um só tempo, curiosidade e temor. A final será que conseguiremos dominar todas essa novidades e sobreviver a elas? Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e linguagens e, assim, ajudá-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas que seguem, oferecer-lhe algumas ferramentas úteis para o seu desenvolvimento profissional e a acadêmico. Não pretendo fazer com que você domine todo esse instrumental logo de saída., longe disso. Você só aprenderá tudo o que aqui está contido à medida que for empregando cada uma das ferramentas. No início lhe parecerão complexas, com o passar do tempo você aprenderá a decodificá-las e a utilizá-las corretamente, de modo que elas passarão a fazer parte tanto do seu vocabulário quanto de seu repertório de práticas. O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o desejo de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes aspectos da realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, os conceito da matemática financeira e suas aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil compreensão. Vale salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, e apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não substitui, em hipótese alguma, a pesquisa em livros específicos. O autor,

4 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 4 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA INTRODUÇÃO A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de estudo do valor do dinheiro tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos o objetivo da matemática financeira. Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nas operações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir o risco envolvido em várias operações de créditos. Prejuízo (ou despesa): Em qualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamento de juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros como pagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou de despesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira. Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-o como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ou simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda a calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado. REGRA DE TRÊS Chamamos de regra de três simples os problemas nos quais figuram uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. A regra de três simples trabalha com apenas duas grandezas. Exemplos: 1) Comprei 6 m de tecidos por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m? Resolução: (grandezas diretamente proporcionais) Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. Chamamos de x o valor que desejamos conhecer. Então dispomos em duas colunas: Comprimento(m) Preço(R$) x Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra x, com a ponta voltada para ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo, colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim: x

5 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 5 Armamos à proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas: 6 = 15 8 x e determinamos o valor de x: x = x = 120 x = Logo, o preço procurado é: R$ 20,00 2) Se seis operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra? Resolução: (grandezas inversamente proporcionais) Então dispomos em duas colunas: Operários Dias x A coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrário. Assim: x Em seguida, invertemos os valores da coluna do numero de operários ( por ser uma grandeza inversamente proporcional à de número de dias): x Daí: 20 = 10 6 x e determinamos o valor de x: x = x = 60 x = Logo, serão necessários: 3 dias.

6 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 6 PERCENTAGEM (%) Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como as relacionadas abaixo: Desconto de até 30% na grande liquidação de verão. Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira. A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%. O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em maio. Todas essas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem. Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa. Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem. No entanto, o principal, a percentagem e a taxa são elementos do cálculo percentual. Representando: O principal por P; A porcentagem por p; A taxa por i; Temos, genericamente: p P i 100 3) Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00? Resolução: Neste caso teremos que: p p = p = 8000 p = 8000/100 p = 80 Logo, a comissão é de R$ 80,00

7 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 7 E X E R C I C I O S REGRA DE TRÊS 1) Ao comprar 2 kg de pães paguei R$ 12,50. Quanto pagaria se tivesse comprado 6 kg? R. R$ 37,50 2) Comprei 5 m de corda por R$ 4,00. Quanto pagarei por 14 m? R. R$ 11,20 3) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias? R. R$ 1463,00 4) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? R. 112 voltas 5) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? R. 8 horas 6) Com 12 operários podemos construir um muro em 4 dias. Quantos dias levarão 8 operários para fazer o mesmo muro? R. 6 dias 7) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? R. 40 dias 8) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? R. 10 kg 9) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? R. 90 dias 10) Um ônibus, a uma velocidade media de 60km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? R. 3 horas 11) Trabalhando 5 horas por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 6 horas por dia? R. 20 dias 12) Cinco máquinas impressoras, trabalhando simultaneamente executam um determinado serviço em 5 horas. Em quanto tempo o mesmo serviço seria executado se forem utilizadas apenas três máquinas impressoras? R. 8,33 horas ou 8 horas e 20 minutos PORCENTAGEM 13) Calcule as porcentagens: a) 8% de R$ 700,00 R p = 56 b) 5% de R$ 4.000,00 R. p = 200 c) 12% de R$ 5.000,00 R. p = 600 d) 1,2% de R$ 40,00 R. p = 0,48 14) Qual a taxa percentual que: a) 125 representa de 250? R. i = 50% b) 112 representa de 320? R. i = 35% c) 28 representa de 80? R. i = 35% d) 352 representa de 1800? R. i = 19,55%

8 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 8 15) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4.200,00, já incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente ás taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem á vista. Então é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem: (R. c) a) R$ 3.672,00 b) R$ 3.780,00 c) R$ 3.792,00 d) R$ 3.900,00 16) De 4000 funcionários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa percentual dos funcionários ausentes? R. i = 3% 17) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia: R$ 367,20 x 4 ou R$ 1.080,00 à vista Pergunta-se: Quem comprar a prazo, pagará a mais quantos por cento? R. 36% 18) Represente a taxa de porcentagem do ingrediente sabão do desinfetante PINHO CHEIRO: R. 7% DESINFETANTE PINHO CHEIRO Água 47g Álcool 12g Sabão 7g Óleo pinho 34g TOTAL 100g 19) Numa pesquisa sobre a preferência de cores, foram entrevistadas 50 pessoas e o resultado obtido foi o seguinte: PREFERENCIA NÚMERO DE PESSOAS Azul 11 Branco 9 Preto 1 Verde 10 Amarelo 14 Vermelho 5 Pergunta-se: Qual a taxa percentual de cada cor pesquisada? R. 22%; 18%; 2%; 20%; 28%; 10%. 20) De 800 estudantes, 40 faltaram na escola num dia normal de aula. Qual a taxa percentual dos estudantes ausentes? R. i = 5%

9 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 9 JUROS (J) É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: - de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, etc. - de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc. Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital próprio ou de terceiros. Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P) É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ou simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros. Taxa (i) É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastante variados, como por exemplo: - taxa de inflação; - taxa real de juros; - taxa acumulada; - taxa unitária; - taxa percentual; - taxa over; - taxa equivalente; - taxa nominal, entre outras. - Prazo ou Tempo ou Períodos (n) É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para produzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um exemplo: - período inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc. - período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um período de 15 dias, um período de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos vai depender de como estão sendo tratados nos problemas. Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S) É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os juros (J). Assim temos: M = C + J Partindo da fórmula acima, temos que: J = M C e C = M - J

10 Exemplo 01: Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 10 Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78? Solução algébrica: J = 78,25 C= 1.568,78 M =? M = C + J M = 1,568, ,25 M = R$ 1.647,03 Solução pela HP-12C 1568,78 ENTER 78,25 + R$ 1.647,03 Exemplo 02: Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de R$ 1.250,18 e que gerou um montante de R$ 1.380,75? Solução algébrica: C = 1250,18 M= 1380,75 J=? J = M - C J = 1380, ,18 J = R$ 130,57 Exemplo 03: Solução pela HP-12C 1380,75 ENTER 1250,18 - R$ 130,57 Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1500,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 378,25? Solução algébrica: M= 1500,00 J=378,25 C=? C = M - J C = 1500,00 378,25 C = R$ 1.121,75 Regimes de Capitalização Solução pela HP-12C 1500 ENTER 378,25 - R$ 1.121,75 São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados em Matemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial, respectivamente. Exemplo 04: Seja um capital de R$ 1000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples? Solução algébrica: 01 Regime de Capitalização Simples n Capital aplicado(r$) Juros de cada período Montante , ,1= = 1100, , ,1 = = 1200, , ,1 = = 1300,00

11 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 11 JUROS SIMPLES Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros. Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples: J= PV. i. n Colocando o PV em evidência, teremos: PV = J i.n Colocando o n em evidência, teremos: n = J PV.i Colocando o i em evidência, teremos: i = J ou i = FV - 1 PV.n PV Exemplo 05: Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês. Solução algébrica: J = , J = R$ 343,75 Solução pela HP-12C 1250,00 ENTER 0,055 X 5 X R$ 343,75 Exemplo 06: Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% ao mês? Solução algébrica: Solução pela HP-12C R$ 1.121,75 J= 342,96 PV = 342,96 0, ,96 0,025 ENTER ENTER PV = 342,96 = R$ 1.247,13 0, X R$ 1.247,13

12 Exemplo 07: Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 12 Pedro pagou ao Banco ECCOS S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de R$ 537,17. Qual o foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco? Solução algébrica: i = 2,14 537,17. 1 i = 2,14 = 0, ,17 i = 0, i = 0,3984% ao dia i mensal = 0, i mensal = 11,95% Solução pela HP-12C 2,14 ENTER 537,17 ENTER 1 X 100 X 30 11,95% ao mês X Exemplo 08: Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$ 226,45 com uma taxa de 1,5% ao mês? Solução algébrica: n =? PV = R$ 967,74 i = 1,5% ao mês J= R$ 226,45 n = 226,45 = 226,45 Solução pela HP-12C 967,74. 0,015 14,52 226,45 ENTER n =15,6 meses ou 15 meses e 18 dias OBSEVAÇÃO: 967,74 0,015 - A parte inteira 15 representa os 15 meses. -A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para calcularmos os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6. 30 = 18). X ENTER 15,60meses Exemplo 09: André emprestou R$ 15,00 de Almir. Após 6 meses Almir resolveu cobrar sua dívida. André efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros? Solução algébrica: PV = 15,00 FV = 23,75 N = 6 meses i (ac) =? i mensal =? i (ac) = 23, i (ac) = { 1, }. 100 i (ac) = 0, i (ac) = 58,33% a. p. ou ao semestre i mensal = 58,33 / 6 i mensal = 9,72% ao mês Solução pela HP-12C 15 23, ,33 a. p. ENTER % 9,72% ao mês

13 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 13 Montante (M) ou Valor Futuro (FV) Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos inicias, onde tenhamos que: FV = PV + J e J = PV. i. n Assim teremos: FV = PV ( 1 + i. n) Exemplo 10: Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ ,59 aplicados em um CDB pós-fixado de 90 dias, a uma taxa de 1,45% ao mês? Solução algébrica: n = 90 dias ou (3meses) PV = R$ ,59 i = 1,45% ao mês FV=? FV = ,59(1 + 0, ) FV = ,59(1 + 0,0435) Solução pela HP-12C FV = ,59(1,0435) FV = R$ , ,59 ENTER 1,45 3 % X + R$ ,03 Capital (C) ou Valor Presente (PV) A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da fórmula do Montante ou Valor Futuro (FV). Assim teremos: FV = PV(1 + i. n) Colocando PV em evidência: PV = FV (1 + i. n) Exemplo 11: Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ ,00 por um período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês. Solução algébrica: PV = ,00 (1 + 0, ) PV = ,00 = ,00 (1 + 0,0531 ) 1,0531 PV = R$ , , Solução pela HP-12C ENTER ENTER ENTER X + R$ ,00 x

14 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 14 E X E R C Í C I O S 1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês? R. J = R$ 875,00 2) Um capital de R$ ,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31. Determine a taxa correspondente. R. i = 2,5% 3) Uma aplicação de R$ ,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R. ianual = 17,655% 4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa de 5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = 16 trim 5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias? R. PV = R$ 2827,38 6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2500,00 a 7% a.a. durante 3 anos? R. J = R$ 525,00 7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 2,5% ao mês. R. FV = R$ 9834,51 8) Um financiamento de R$ ,41 é liquidado por R$ ,29 no final de 141 dias. Calcular a taxa mensal de juros. R. i = 5,73555 a m. 9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples anual ganha? R. i = 48% aa 10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 148,50? R. PV = R$ 221,50 11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre uma prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira? R. i = 21,1% am. 12) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00? R. PV = R$ 5000,00 13) Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao mês. R. J = R$ 343,75 14) Um capital de R$ R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de 12% a.a. Determine o juro obtido. R. J = R$ 1800,00 15) Um Capital de R$ R$ 7.000,00 é aplicado à juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de 8% a.s. Obtenha os Juros e o Montante. R. J = R$ 1680,00; FV = R$ 8680,00 16) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m.? R. PV = R$ 30000,00

15 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 15 17) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ ,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 4% ao mês? R. J = R$ ,00 18) Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$ ,00, à taxa de juros simples de 4% ao mês? R. PV = R$ ,00 19) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ ,00, durante 15 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês? R. FV = R$ ,00 20) Qual o capital investido, para que possa resgatar R$ ,00, no prazo de 6 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês? R. PV = R$ 20000,00 21) Que tempo de aplicação foi necessário, para que R$ ,00, se transforme à taxa de 3% ao mês, em R$ ,00? R. n = 6 meses 22) (EPCAR) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 130,00. O comprador pode pagar 20% de entrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$ 128,96, vencível em 3 meses. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anual cobrada na venda a prazo é de: R. (b) a) 94% b) 96% c) 98% d) 100%

16 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 16 Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros Taxas equivalentes Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o período da taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente. Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo período de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento. Exemplo 12: Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia de rendimento um investidor que aplicasse R$ ,00 durante 92 dias? Solução algébrica: PV = ,00 i = 28% ao ano n = 92 dias J =? Opção1: transformando a taxa J = , J = , J = R$ 1.073,33 Opção2: transformando o prazo J = , J = ,28. 0, J = R$ 1.073,33 Opção3: transformando o produto J = , = , J = R$ 1.073,33 Solução pela HP 12C ENTER 0,28 X 92 X 360 R$ 1.073,33 Juros Exato e Comercial Quando falamos em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do calendário, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como, por exemplo: Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias. No caso do juro comercial devemos considerar sempre um Mês de 30 dias, e, sendo assim, um ano comercial vai ter sempre 360 dias. Exemplo 13: Uma prestação no valor de R$ ,00 venceu em 01/02/03 sendo quitada em 15/03/03, com a taxa de 48% ao ano. Pede-se: a) Determinar os juros exato b) Determinar os juros comercial Solução algébrica: PV = R$ i = 48% ao ano a) Jexato = , = R$ 800,88 365

17 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 17 b) Jcomercial = , = R$ 812, Solução pela HP-12C , ENTER X + X R$ 800, , ENTER X x X R$ 812,00 E X E R C Í C I O S - JUROS PERIODO NÃO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE e JUROS EXATO E COMERCIAL Considerar o ano comercial (360 dias) 1) Calcular o rendimento de R$ ,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros simples de 40% ao ano. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano exato (365 dias). R. Jcom = R$ 3240,00 e Jex = R$ 3195,61 2) Uma prestação no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/00 sendo quitada em 17/05 do mesmo ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial. R. Jex = R$ 199,50 e Jcom = R$ 202,27 3) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para: a) 7 dias; R. 0,77% b) 29 dias; R. 3,22% c) 1 mês; R. 3,33% d) 32 dias; R. 3,56% e) 1 trimestre; R. aprox. 10% f) 45 dias; R. 5% g) 1 semestre; R. aprox. 20%

18 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 18 4) Calcular o valor dos juros de uma aplicação de R$ ,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazo de 32 dias. R. J = R$ 821,18 5) Calcular o rendimento de R$ ,00 aplicados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês. R. J = R$ 268,33 6) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao mês. R. i22dias = 2,24% 7) Calcule a taxa mensal proporcional a: a) 9% ao trimestre b)24% ao semestre c) 0,04% ao dia d)30% ao ano. R. a) 3% ao mês; b) 4% ao mês; c) 1,2% ao mês; d) 2,5% ao mês 8) Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. R$ 500,00 9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. R. R$ ,00 10) Uma aplicação de valor inicial de R$ 4.000,00 foi feita por um período de 72 dias, pelo regime de juros simples, sob a taxa de 9% ao mês. Podemos afirmar que o valor do Juro Exato e o valor do Montante final são: R. (c) a) R$ 946,67 e R$ 4946,67 b) R$ 946,67 e R$ 4864,00 c) R$ 864,00 e R$ 4864,00 d) R$ 946,67 e R$ 8644,00 e) R$ 360,00 e R$ 4864,00

19 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 19 DESCONTOS É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento. O Banco naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. Podemos classificar os tipos de descontos como Simples (método linear) e Composto (método exponencial). Desconto Racional ou Real Simples - desconto por dentro É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor atual ( ou valor de resgate) do papel. O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou de resgate) e o valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros simples. Vamos aplicar as seguintes fórmulas: Para calcular o desconto racional simples: DRS = VN VL O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte fórmula: DRS = VN. i. n ( 1 + i. n ) Para calcular o valor líquido: VL = VN - DRS. O Valor Líquido (VL) também pode ser encontrado pela seguinte fórmula: Exemplo 01: VL = VN. ( 1 + i. n ) Um título de valor nominal de R$ ,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido? Solução algébrica: Dados: VN = R$ ,00; n = 2 meses; i = 2,5% ao mês; DRS =? DRS = 25000,00. 0, ( 1 + 0, ) DRS = ,05 Solução pela HP-12C ENTER 0,025 X 2 X 1 ENTER 0,025 ENTER 2 X + CHS 25000,00 + R$ ,52

20 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 20 DRS = R$ 1190,48 VL = VN - DRS VL = ,48 VL = R$ ,52 Desconto Bancário ou Comercial - desconto por fora É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor nominal (ou valor de face) do papel. Na prática o que é utilizado é o desconto por fora. O valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula: DBS = VN. i. n e VL = VN DBS OBS.: CASO A DÍVIDA SEJA PRORROGADA: VL = VN + DBS Exemplo 02: Um título de valor nominal de R$ ,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial (bancário) e o valor líquido? Solução algébrica: Dados: VN = R$ ,00; n = 2 meses; i = 2,5% ao mês; DBS =? DBS = 25000,00. 0, DBS = R$ 1250,00 VL = ,00 VL = R$ ,00 Exemplo 03: Uma duplicata no valor de R$ ,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operações Financeiras) é 0,0041% ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção? Solução algébrica: Dados: VN = R$ ,00; n = 2 meses; id = 2,5% ao mês; i adm = 1%; i IOF = 0,0041%; i = 2,8% ao mês(empréstimo) VL =? DBS =? D IOF =? Dadm =? ONDE: D = despesas D IOF = despesas com IOF Dadm = despesas administrativas Solução pela HP-12C ENTER 0,025 X 2 X CHS R$ ,00

21 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 21 VL = VN DBS D IOF Dadm DBS = VN. id. n DBS = , = R$ 1250,00 Dadm = ,01 = R$ 250,00 D IOF = , = R$ 61,50 VL = ,50 VL= R$ ,50 Se considerarmos que o PV seja R$ ,50 e FV = ,00, então teremos que a taxa desta operação será: i = FV - PV FV. n i = ,50 = 1561,50 = 3,12 % ao mês (2) A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção. Operações com um conjunto de títulos Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou borderô de títulos ou duplicatas. Exemplo 04: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa? Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento) A 2.500,00 25 dias B 3.500,00 57 dias C 6.500,00 72 dias Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título. Solução algébrica: a)duplicata A: DBS = , = R$ 62,50 30 b)duplicata B: DBS = , = R$ 199,50 30 c)duplicata C: DBS = , = R$ 468,00 30 Valor líquido = ,50 199,50 468,00 = R$ ,00

22 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 22 E X E R C Í C I O S 1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? R. DBS = R$ 225,00 2) Qual a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal é de R$ 1000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00? R. i = 3% 3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o borderô a seguir: a) dias b) dias c) dias R. VL = R$ ,00 4) Uma duplicata de R$ ,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. R. VL = R$ 29408,00 5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário é de 2% ao mês. R. VL = R$ 4461,11 Duplicatas Valor (R$) Prazo (vencimento) X 800,00 13 dias Y 1350,00 29 dias Z 2430,00 53 dias 6) Um título com valor nominal de R$ ,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ ,29 7) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um DRS à taxa de 10% ao mês. De quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ 2.740,00 8) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ 5.300,00 9) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo o valor nominal é de R$ 2.040,00, 4 meses antes de seu vencimento. Qual o valor que deverá pagar pelo título, se a taxa racional simples usada no mercado é de 5% ao mês? R. VL = R$ 1.700,00

23 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 23 10) João deve a um banco R$ ,00 de um título, que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, o valor do novo título será de: R. VL = R$ ,00 11) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual empregada dever ser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples é de R$ 180,00, qual o valor nominal do título? R. VN = R$ 3.000,00 12) O DCS de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 800,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor nominal. R. VN = R$ 4.000,00 13) Você possui uma duplicata cujo o valor de face é de R$ 150,00. essa duplicata foi descontada 3 meses antes do vencimento, obtendo um DBS de R$ 9,50. Qual à taxa de desconto? R. i = 2,1% 14) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9800,00, que sofreu um DCS de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. R. n = 92 dias 15) Um título de R$ 2000,00 será descontado a 12% ao mês, 2 meses antes do vencimento. Determinar o valor atual (ou valor de resgate), considerando: a) Desconto simples bancário. R. R$ 1.520,00 b) Desconto simples racional. R. R$ 1612,90

24 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 24 JUROS COMPOSTOS Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre juros. O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. FÓRMULAS: Para calcular o Montante: FV = PV( 1 + i ) n Montante para taxa em meses consecutivos ( Obs.: n sempre igual a 1) FV = PV( 1 + i ) n. ( 1 + i ) n. ( 1 + i ) n... Para calcular o Capital: PV = FV ( 1 + i ) n Para calcular a Taxa em período quebrado: QQ/QT FV i = PV Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada) QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado) Taxa acumulada: i ac = FV - 1 PV Para calcular o prazo : n = LN (FV/ PV) LN(1 + i) Onde: LN = Logaritmo neperiano Para calcular os juros : J = PV[(1 + i ) n 1]

25 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 25 Exemplo 01: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. Solução algébrica: FV = 5000(1 + 0,04) 5 FV = 5000(1,04) 5 FV = 5000(1, ) FV = R$ 6.083,26 Solução pela HP-12C 5000 CHS PV 4 i 5 n FV V R$ 6.083,26 Exemplo 02: Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ ? Solução algébrica: PV = FV = ( 1 + i ) n (1,15) 6 PV = = R$ 6.052,59 2,31306 Exemplo 03: Solução pela HP-12C A loja Leve Tudo financia a venda de uma máquina no valor de R$ ,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ ,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? i CHS n PV V R$ 6.052,59 FV Dados: i =? PV = R$ ,72 FV = R$ ,68 n = 276 dias Solução algébrica: i = ,68 30/ ,72 i = {(1, ) 0, }. 100 i = {0, }. 100 i = 3,90% ao mês Solução pela HP-12C 10210, , i CHS FV V ENTER n 3,90% ao mês PV

26 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 26 Exemplo 04: Em que prazo um empréstimo de R$ ,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ ,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês? Dados: n =? i = 3% ao mês PV = R$ ,43 FV = R$ ,33 Solução algébrica: LN , ,43 n = LN ( 1 + 0,03) n = LN(1,710338) LN(1,03) n = 0, , n = 18, meses f 41524,33 Solução1 pela HP-12C 6 ENTER 24278,43 g LN 1,03 g LN 18, meses Exemplo 05: Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10% ao mês. Dados: PV = R$ 1.000,00? Solução pela HP-12C i = 10% ao mês n = 5 meses 1000 CHS PV J =? Solução algébrica: J= 1000[(1 + 0,10) 5 1] 10 5 i n J= 1000[(1,10) 5 1] J= 1000[1, ] FV 1.610,51 J= 1000[0,61051 ] J= R$ 610,51 RCL PV + R$ 610,51 Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não Inteiros As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se adotarmos a convenção do prazo para dias, vejamos a seguir: 1 ano exato = 365 ou 366 dias; 1 ano = 360 dias; 1 semestre = 180 dias; 1 trimestre = 90 dias; 1 mês comercial = 30 dias; 1 mês exato = 29 ou 31 dias; 1 quinzena = 15 dias. Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo n = QQ (Quanto eu Quero), sempre considerando o prazo em dias. QT (Quanto eu Tenho) Solução 2 pela HP-12C 41524, ,43 3 n i CHS PV 19 meses FV

27 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 27 Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV): FV = PV (1 + i ) QQ/QT Exemplo 06: Determinar o montante de uma aplicação de R$ ,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos. Dados: PV = R$ ,00 i =25% ao ano n = 92 dias FV =? OBS.: neste caso a taxa está ao ano e o prazo está em dias. As perguntas: Qual é o prazo que eu Quero? Qual é o prazo que eu Tenho? Solução algébrica: FV = 13500(1 + 0,25) 92/360 FV = 13500(1,25) 0, FV = 13500(1,058683) FV = R$ ,22 Solução pela HP-12C ENTER ENTER 0, ENTER 360 y x X R$ ,22 E X E R C Í C I O S 1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ ,00, admitindo-se uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. R. FV = R$ 22824,27 2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo valor resgatado foi de R$ ,25. R.PV = 88296,69 3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ ,85 produziu um montante de R$ ,45 com uma taxa de 0,98% ao mês? R. n = 55,32 aprox. 56 4) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital R$ 2.500,00 produzir um montante de R$ 4.489,64 durante um ano? R. i = 5% am. 5) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% ao mês durante 7 meses. R. J = R$ 209,38 6) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, com uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses. R. PV = R$ 1253,46

28 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 28 7) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m.? R. J = R$ 875,97 8) Determinar o montante de uma aplicação de R$ ,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$ 11411,43 9) Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros efetivos de 4% ao mês, rende R$ ,00. R. PV = R$ 31652,40 10) Em que prazo um empréstimo de R$ ,00 pode ser quitado por meio de um único pagamento de R$ ,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano? R. n = 5 anos 11) Tenho R$ ,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de 2,5% ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do período? R. FV = R$ 2802,32 12) André pretende aplicar R$ ,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja a tabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco. BANCO X Y Z Taxa 2% ao mês 2% ao trim 2,5% ao mês Prazo 2 bimestre 2 trimestre 3,5 meses a) Calcule o montante referente as condições oferecidas por cada banco R. FVx = R$ ,96; FVy = R$ ,00 e FVz = R$ ,07 b) Qual é a melhor opção? 13) A loja MIX Ltda. vende um etrodoméstico por R$ 180,00 a unidade, sendo o pagamento feito em 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é de R$ 165,00. Qual a taxa mensal de juros cobrada no financiamento? R. i = 4,44% a.m 14) Em 3 meses consecutivos, um fundo rendeu, respectivamente, 1,2%, 1,5% e 1,8%. Se o capital aplicado no início do primeiro mês foi de R$ ,00, determine: a) o Montante no final do terceiro mês; R. FV = R$ ,69 b) a taxa de rentabilidade acumulada deste fundo no trimestre. R. i ac = 4,56% 15) O quadro abaixo indica, em reais, as quantias que dois investidores A e B dispunham e as respectivas taxas a que estas quantias foram aplicadas a juros compostos. Investidor Capital Taxa A % ao ano B % ao semestre Depois de um ano, a soma, em reais, dos montantes desses dois investidores será: R. (b) a) b) c) d) e)

29 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 29 Desconto Racional Composto DESCONTOS COMPOSTOS O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV) ou (VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto. DRC = VN VL VL = VN. (1 + i) n Exemplo 01: Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento. Dados: VN = 5000; i = 3,5% ao mês; n = 3 meses; DRC?; VL =? Solução algébrica: VL = (1 + 0,035) 3 VL = 5000 = 5000 = R$ 4509,71. = (1,035) 3 1,10872 DRC = ,71 = R$ 490,29 Solução pela HP-12C 5000 FV 3,5 i 3 n PV 4509, R$ 490,29 Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos) O Desconto Bancário Composto praticamente só existe na teoria, já que o que é utilizado em nosso país é o desconto bancário simples. Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento em um período (n), e um Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a VN, quando aplicado por (n) períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamos verificar: Onde: DBC = Desconto Bancário Composto DBC = VN VL VL = VN (1 - i) n Exemplo 02: Uma duplicata no valor de R$ ,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido. Solução algébrica: Dados: VN = R$ ,00; n = 60dias (2 meses); i = 2,5% ao mês; VL =? DBC =? VL = 25000(1-0,025) 2 VL = 25000(0,975) 2 VL = (0,950625) VL = R$ 23765,63 DBC = ,63 = R$ 1.234,38 Solução pela HP-12C ENTER 1 ENTER 0,025-2 Y x X ,63 CHS R$ 1.234,38 FV 23795, R$ 1204,64

30 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 30 E X E R C Í C I O S 1) Um título no valor nominal de R$ ,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa mensal de desconto racional composto era 10%, de quanto era o valor líquido deste título? R. VL = R$ ,00 2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 3.000,00 considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento. R. DRC = R$ 206,62 3) Uma duplicata de R$ ,00, 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 1,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o Valor Líquido creditado na conta e o valor do Desconto Racional concedido. R. VL = R$ ,46 e DRC = R$ 742,64 4) Determine o valor do DRC de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do vencimento, sendo à taxa de 3% ao mês. R. DRC = R$ 851,82 5) Calcule o DRC obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do vencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano. R. DRC = 681,17 6) Um título no valor nominal de R$ ,00 é descontado 90 dias antes do vencimento à uma taxa de 1,5% ao mês. Qual o valor líquido e o DRC? R. VL = R$ ,89 e DRC = R$ 1.092,11 7) Uma nota promissória de R$ 5.000,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa de juros de 3% ao mês. Calcular o valor líquido recebido e o DRC. R. VL = R$ ,98 e DRC = R$ 287,02 8) Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título cujo valor nominal é de R$ 1.000,00. sabendo-se que o banco credor utiliza uma taxa de desconto composto de 3% ao mês, ache o valor líquido e o desconto racional. R. VL=R$ 915,14 e DRC= R$ 84,86

31 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 31 OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS Conforme o Banco Central do Brasil S. A., as taxas de juros de cada instituição financeira representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos cinco dias úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito. A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela soma da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais. Taxas Equivalentes a Juros Compostos Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmo capital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento. i eq = ( 1 + i c ) QQ/QT Onde: i eq = taxa equivalente i c = taxa conhecida QQ = Quanto eu Quero QT = Quanto eu Tenho Exemplo 01: Calcular a equivalência entre as taxas: Taxa Conhecida Taxa equivalente para: a) 79,5856% ao ano 1 mês b) 28,59% ao trimestre 1 semestre c) 2,5% ao mês 105 dias d) 0,5 ao dia 1 ano e) 25% (ano comercial) 1 ano exato ( base 365 dias) Solução algébrica: a) i eq = { ( 1 + i c ) QQ/QT - 1 } ,7958 i eq = { ( 1 + 0,7958) 30/360-1 }. 100 Solução pela HP-12C - a) ENTER i eq = { ( 1 + 0,7958) 0, } ENTER 360 i eq = { 1, }. 100 i eq = { 0, } X i eq = 5% ao mês x 5% ao mês Solução algébrica: Solução b) algébrica: i eq = { ( 1 + 0,2859) 180/90-1 }. 100 i eq = { ( 1 + 0,2859) 2-1 }. 100 i eq = { 1, }. 100 i eq = { 0, }. 100 i eq = 65,35% ao semestre Solução algébrica c) i eq = { ( 1 + 0,025) 105/30-1 }. 100 i eq = { ( 1, 025) 3,5-1 }. 100 i eq = { 1, }. 100 i eq = { 0, }. 100 i eq = 9,03 %ao período Y x

32 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 32 Solução algébrica d) i eq = { ( 1 + 0,005) 360/1-1 }. 100 i eq = { ( 1,005) }. 100 i eq = { 6, }. 100 i eq = { 5, }. 100 i eq = 502,265% ao ano Solução algébrica e) i eq = { ( 1 + 0,25) 365/360-1 }. 100 i eq = { ( 1, 25) 1, }. 100 i eq = { 1, }. 100 i eq = { 0, }. 100 i eq = 25,39% ao período Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operações correntes (financeiras e comerciais). Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando há inflação (I), a taxa aparente (i) é formada por dois componentes: - Um correspondente ao juro real e outro correspondente a inflação. Sendo: C: capital inicial Daí, R: taxa real de juros I: taxa de inflação i: taxa aparente (1 + i) = (1 + R). (1 + I) Exemplo 01: Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do período for 11,9%? Resolução: i =? R = 9%ao ano I = 11,9% (1 + i) = (1 + R). (1 + I) (1 + i) = (1 + 0,09). (1 + 0,119) (1 + i) = (1,09). (1,119) (1 + i) = 1,22 i = 1,22-1 i = 0, i = 22% ao ano Exemplo 02: Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflação do período for 11,9%? Resolução: i = 22% ao ano R =? I = 11,9% (1 + i) = (1 + R). (1 + I) (1 + 0,22) = (1 + R). (1+ 0,119) (1,22) = (1+ R). (1,119) 1,22 = (1 + R) 1,119 1,09 = (1 + R) 1,09 1 = R 0,09 = R R = 0, R = 9% ao ano Resolução pela HP 12C: 1,09 ENTER 1,119 X X 22 Resolução pela HP 12C: 1,22 CHS FV 1,119 PV 1 n i 9

33 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 33 Exemplo 03: Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real for no período 9%? Resolução: I =? R = 9%ao ano i = 22% ao ano (1 + i) = (1 + R). (1 + I) (1 + 0,22) = (1 + 0,09). (1+ I) (1,22) = (1,09). (1 + I) 1,22 = (1 + I) 1,09 1,119 = (1 + I) 1,119 1 = I 0,119 = I I = 0, I = 11,9% ao ano Taxa Acumulada de juros com Taxas Variáveis É normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral. A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positiva ou negativas, nesse caso podemos exemplificar as taxa positiva como do tipo 4%; 2% e 15% e a taxas negativa como do tipo -2%; -3,5% e -1,7%, etc. Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser representada (1+ i) e a taxa negativa (1 i). assim teremos a seguinte fórmula genérica: i ac = [(1+ i 1 ). (1+ i 2 ). (1+ i 3 )... (1+ i n ) 1]. 100 Resolução pela HP 12C: 1,22 CHS FV 1,09 PV 1 n i 11,9 Exemplo 04 Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte sequencia de taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% E 6,5%. Resolução: i ac = [(1+ 0,05) (1+ 0,03) (1-0,015) (1-0,02) (1+0,065)-1]. 100 i ac = [(1,05) (1,03) (0,985) (0,98) (1,065)-1]. 100 i ac = [1, ]. 100 i ac = 11,18% ao período Resolução pela HP 12C: 1,05 ENTER 1,03 X 1 ENTER 0,015 - X 1 ENTER 0,02 - X 1,065 X X 11,18% Taxa Média de Juros Imagine o conjunto de taxas ( 4%; 2% e 15%) neste exemplo, 3 é a quantidade de elementos deste conjunto de taxas. Temos a seguinte fórmula genérica: i me ={[(1+ i 1 ). (1+ i 2 ). (1+ i 3 )... (1+ i n )] 1/n - 1}. 100 onde n = número de taxas analisadas

34 Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 34 Exemplo 05 Com base nos dados a seguir calcular a taxa média. Dados: IGP-M/FGV (Jan/2001) = 0,62% IGP-M/FGV (Fev/2001) = 0,23% IGP-M/FGV (Mar/2001) = 0,56% IGP-M/FGV (Abr/2001) = 1,00% IGP-M/FGV (Mai/2001) = 0,86% Resolução: i m = {[(1+ 0,0062)(1+ 0,0023)(1+ 0,0056)(1+ 0,01)(1+ 0,0086)] 1/5 1}. 100 i m ={[(1,0062)(1,0023)(1,0056)(1,01)(1,0086)] 1/5 1}. 100 i m = {[1, ] 0,2 1}. 100 i m = {0,006536}. 100 i m = 0,6536%ao mês 1) Determinar a taxa: E X E R C I C I O S a) anual equivalente a 2% ao mês R. 26,82% b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. 3,99% c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. 78,57% d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. 18,09% Resolução pela HP 12C: 1,0062 ENTER 1,0023 X 1,0056 X 1,01 X 1,0086 X 5 1/X Y X X 0,65% ao mês 2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de juros reais quando a inflação for de 5% ao ano. R. i = 13,40%aa 3) A taxa de juros para aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano. Que remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R. R = 1,45%aa 4) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros reais, caso a taxa aparente seja de 25% ao ano? R.I = 11,60%aa 5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$ ,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflação for de 30% ao ano e o juro real for de 5% ao ano? R. i = 36,5%aa 6) Emprestam um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxa real da operação? R. R = 3,32%aa