Vimos até agora os mais variados conceitos relacionados a distribuições de

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1 Capítulo Distribuições de Probabilidades Discretas 6 Vimos até agora os mais variados conceitos relacionados a distribuições de probabilidades: Sabemos que: + f() - ou + f()d b P(a < < b) f() a P (a < < b) b a f() d Entretanto até agora admitimos sempre que f(), seja no caso discreto (fmp) ou contínuo (fdp), fosse conhecido! Na vida real, entretanto, o usuário dos métodos estatísticos não é capaz de gerar informação suficiente para caracterizar totalmente a distribuição de probabilidade. As amostras normalmente são pequenas, mas podem fornecer informação sobre a distribuição de probabilidades a que fazem parte. E. : Tiro ao alvo (dou 5 tiros) sucesso acertar o alvo fracasso errar o alvo P(S) P(F) ½ E.: Tirar o n o 4 jogando o dado sucesso 4 fracasso,,, 5, 6 P(S) /6 e P(F) 5/6 E. : Tirar um rei de paus (c/ reposição) de baralho de 5 cartas sucesso rei de paus fracasso outra carta P(S) /5 e P(A) 5/5 E. 4: Tirar um rei de paus (s/reposição) º. P(S) /5 º. P(S) /5 ou (se já tiver saído!) º. P(S) /5 ou (se já tiver saído anteriormente) Os eperimentos, e são completamente diferentes, mas a estrutura deles é a mesma! Todas as variáveis aleatórias representando o n o de sucessos em tentativas

2 independentes, onde a probabilidade de sucesso permanece constante ao longo do eperimento, têm o mesmo comportamento e podem ser descritas pela mesma fórmula. Diversos comportamentos de variável aleatória já foram estudados são as distribuições de probabilidades empíricas (ou teóricas), como por eemplo, a Binomial, Geométrica, Hipergeométrica, Binomial Negativa, Poisson, Normal, Gama, Lognormal, etc. Como estas distribuições já têm um comportamento conhecido e o cálculo de suas probabilidades é dado por uma fórmula já estabelecida, tentamos encontrar uma distribuição na qual os nossos dados (valores assumidos pela variável aleatória estudada) se ajustem. O grau de ajustamento é medido pelos testes de aderência.. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DISCRETAS Em capítulo anterior vimos como representar uma f.m.p. graficamente, de forma tabular ou por fórmulas. A despeito do modo de apresentação, o comportamento da variável aleatória era descrito. Muitas variáveis aleatórias associadas a eperimentos diferentes têm propriedades semelhantes e podem ser descritas pela mesma distribuição de probabilidades e podem ser representados pela mesma fórmula... DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES UNIFORME A mais simples de todas as distribuições de probabilidades discretas é aquela na qual a variável aleatória assume cada um de seus valores com igual probabilidade. Tal distribuição de probabilidade é chamada distribuição de probabilidade Uniforme, sendo que fmp dada por: f (;),,... Usamos uma nova notação para a f.m.p. no lugar de f() colocamos f(;) para indicar que a distribuição Uniforme depende do parâmetro.

3 Eercício 6. Uma caia contém 4 lâmpadas: 4 w 6 w 75 w w Cada um dos elementos do espaço amostral S {4, 6, 75, } ocorre com probabilidade igual a /4. Logo, temos uma distribuição de probabilidades Uniforme, com: f (;4), 4, 6, 75, variável aleatória:" tipodelâmpadas" Eercício 6. Quando um dado é lançado, cada elemento do espaço amostral {S,,, 4, 5, 6} ocorre com probabilidade igual a /6. Assim, a f.m.p. Uniforme é: f (; ) 6 variável,,,, 4, aleatória " face 5, 6 do dado" Sendo assim, o gráfico que representa a sua distribuição de probabilidade de é um conjunto de retângulos de altura igual: Sua média é dada por: Por definição: µ E [X] f() f (,). f (). i i

4 4 Então, a média é igual a : µ i i Sua variância é dada por: Por definição: σ [(X ] E µ ) g() é função de! [ ] E g(x) g().f () Então: σ [ µ ) ] E (X ( i µ ).f (; ) i variância: σ i ( µ ) i Eercício 6. Calcule E () e σ para o eemplo do dado µ,5 6 σ (,5) + (,5) (6 -,5) 5.. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES BINOMIAL Nesta distribuição de probabilidades, o eperimento (E) consiste em n tentativas repetidas, cada uma com apenas possibilidades de ocorrência fracasso ou sucesso.

5 5 Eercício 6.4 Considere um baralho, no qual as cartas são retiradas, com reposição, e rotuladas de sucesso (se for vermelha) e fracasso (se for preta). Eercício 6.5 Jogar um dado e rotular sucesso (a face 4) e fracasso (qualquer outra face). Os dois eperimentos descritos têm propriedades semelhantes cada tentativa é independente da outra e a probabilidade de sucesso permanece constante nas várias tentativas. Este processo é chamado de Processo de Bernoulli e cada tentativa é chamada de Tentativa de Bernoulli. Processo de Bernoulli Para ser considerado um processo de Bernoulli, o eperimento tem que possuir as seguintes características:. o eperimento consiste de n tentativas repetidas;. cada resultado do eperimento (Evento) pode ser classificado como sucesso ou fracasso;. a probabilidade de sucesso p permanece constante de tentativa para tentativa; 4. as tentativas são independentes. Eercício 6.6 Considere um conjunto de tentativas de Bernoulli onde itens são selecionados de um processo produtivo e classificado como defeituoso e não-defeituoso. Suponha que sucesso seja o item defeituoso. S NNN, NND, NDN, DNN, DDN, DND, NDD, DDD

6 6 Se a fábrica produz 5% de produtos defeituosos, calcule a probabilidade de dois itens serem defeituosos: P() P(N D N) P (N). P(D). P(N) LEMBRANDO: P (A B) P (A /B) P (B) Se A é independente de B P (A /B) P(A) P (A B) P (A). P(B) E a distribuição de probabilidades de X é dada por: f () 7/64 7/64 9/64 /64 O número de sucessos (variável aleatória X ) em n tentativas de Bernoulli é denominada variável aleatória binomial,sua fmp é denominada Distribuição Binomial e seus valores são denotados por b (; n, p), uma vez que dependem do número de tentativas n e da probabilidade de sucesso p. Deduzindo a Fórmula Geral (Introdução à Estatística, Editora Ática, pág. 9) Numa população onde a probabilidade de uma pessoa ser canhota é %, selecionaremos as pessoas e obteremos canhotos. Neste eperimento estamos considerando: S canhoto F não canhoto p probabilidade de sucesso número de sucessos

7 7 Suponha que as n pessoas foram entrevistadas e o resultado obtido tenha sido: pessoa n o S p S p S p 4 S p 5 S p... S p + F q... n F q A probabilidade que os eventos acima ocorram nesta seqüência eata é: (p.p.p...p). (q.q...q) vezes (n-) vezes p. q (n-) Mas os sucessos podem ocorrer em várias seqüências, ou ainda, de n C modos, onde n C n n!!(n )! Assim, a probabilidade de ocorrerem sucessos em n tentativas será de: n p. q (n ) b (; n, p) n p. q (n ) BINOMIAL Porque o nome BINOMIAL? (Ang and Tang, pag 88) n n!!(n - )! é conhecido como:

8 8 Epansão Binomial n ( + y) n o n.y o n + n.y n + n.y +... n n o.j n n n. n-. y n. (n - ) n. y.... y n p() p() p() p(n) A distribuição Binomial leva este nome porque p(), p(), p()... e p(n) são os termos do desenvolvimento (q + p) n. Eercício 6.7 A probabilidade de que um certo componente sobreviva a um dado teste de choque é de /4. Ache a probabilidade de que eatamente componentes dos próimos 4 componentes a serem testados sobrevivam. b (;n, p) Sabemos que: n p. q n p ¾ q ¼ b (; 4, ) n 4.. A Função Repartição da Binomial Sabemos que, por definição, F () P(X < ) f()

9 9 Eercício 6.8 No eemplo anterior, f() b(; 4, /4) 4 4 ( n )., 4 4, outros valores Qual a probabilidade de <? F () P ( X < ) b ; 4, b (; 4, /4) P ( ) + P ( ) 4 + b (; 4, /4) Qual a probabilidade de? F () P ( ) P ( ) + P ( ) + P ( ) b (; 4, ¾) + b (; 4, ¾) + b (; 4, ¾) Eercício 6.9 A probabilidade de que um paciente sobreviva de uma doença rara é,4. Se 5 pessoas contraíram a doença, qual a probabilidade de que: a) no mínimo sobrevivam; b) entre e 8 sobrevivam; c) eatamente sobrevivam p,4 n 5 a) P( ) P( ) + P() +... P(5) ou P( < ) 9 b (;5,, 4) 44 44,966 (ver Walpole, pg 675),8

10 b) P( 8) RELEMBRANDO: F(8) F() + P() ou seja 8 b(;5,, 4) b( ;5,, 4) ,95,7 Então: P( 8),8779 c) P(5) Se quiser usar a tabela da FDP da Binomial (Walpole, 67-77) 5 b (;5,, 4) b (;5,, 4) ,4 4,859,7 A média e a variância da distribuição Binomial b(; n, p) são dados por: (Demonstração: Walpole, ) µ n. p σ npq Eercício 6. a) Ache a média e a variância da variável aleatória binomial do eemplo anterior (doença rara). Por definição µ E () n. p 5.,4 6 σ E (- µ ) n. p. q 5.,4.,6,6

11 b)interprete o Teorema de Chebyshev no intervalo µ ± σ Pelo Teorema de Chebyshev Sabemos que: P( µ σ < < µ + σ) Então: µ 6 P(6 4 ()(,897) 444 < < ()(,897) 444 σ σ, 897 4,6 9,794 / 4,75 P (,6 < < 9,794),75 9 P( 9),75 Se quisermos saber o eato, temos que usar a tabela ou as fórmulas: 9 b(;5,.4) b (;5,. 4) ,966,99,7 (Chalés Haan, 7) Eercício 6. a) Em média, quantas vezes uma cheia com Tr anos ocorrerá em período de 4 anos? b) Qual a probabilidade de que eatamente este número ocorra em 4 anos? a) µ n. p por definição Tr P, P µ 4., 4 b) n b (; n, p) p. q n 4 6 b (4; 4,, ) 4 (,).(,9) 4,59 (Haan, 7) Eercício 6. A Secretaria de obras de uma determinada cidade decidiu construir um dique de proteção ao longo de um determinado rio. Fazendo a análise econômica da obra, foi decidido que seria construído um dique que protegesse a cidade de uma cheia de até 75. cfs. Foi determinado ainda que, se uma enchente de 75.

12 cfs ocorresse em um período de 5 anos, a Secretaria poderia consertar a obra e não ter prejuízo. Caso mais de uma enchente superasse 75. cfs, a Secretaria perderia dinheiro. Se a probabilidade de uma cheia eceder 75. cfs é de,5, qual a probabilidade da Secretaria ter lucro? a) Lucro 5 5 b(; 5,,5) (,5).(,85), 447 b) Empatar 5 5 b(; 5,,5) (,5). (,85), 95 c) Prejuízo,447,95,648 O investimento não é atrativo, pois a probabilidade de ter prejuízo, ou na melhor das hipóteses, empatar,95 +,648,56 (Haan, 7.) Eercício 6. Qual deve ser o Tr da cheia de projeto para que se tenha 9% de certeza de que a mesma não será ecedida em um período de anos? n b (;, p),9,9 p. q (-p) / [( p) ] [,9] / p (,9) / p,9895 p,9895,5 Tr 95,4 anos,5

13 b) Caso uma cheia com Tr anos fosse utilizada, qual seria a probabilidade dela ser ecedida? basta acontecer uma vez ( uma vez ou mais) b (;,,),487,65..DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL O eperimento binomial se transforma em um eperimento multinomial se permitirmos que o eperimento tenha mais de (sucessos e fracassos) resultados possíveis. Se uma dada tentativa pode resultar em K eventos E, E, E... E, com probabilidades p, p,... p, então a distribuição de probabilidades das variáveis aleatórias,,..., as quais representam o número de ocorrências dos eventos E, E, E... E, em n tentativas independentes é dado por: f (,...,p,p...p ;n) com i i j n e i n,... p i j p,p...p Eercício 6.4 Se um par de dados é jogado 6 vezes, qual a probabilidade de se obter: duas vezes um resultado que some 7 ou, os dois dados com faces iguais apenas vez e qualquer outra combinação vezes? Os possíveis eventos são: E total igual a 7 ou ; E faces iguais; E nem faces iguais, nem total de 7 e nem total de.

14 p 6 8 Capitulo 6 - Distribuição de Probabilidades (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) 4 (4,) (4,) (4,) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,) (5,) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,) (6,4) (6,5) (6,6) {(6,), (5,), (4,), (,4), (,5), (,6), (5,6), (6,5)} {(,), (,), (,), (4,4), (5,5), (6,6)} outros pares. n n n p p Assim, f(,,,,,, 6) ,, !!!, LEMBRETE O número de permutações distintas de n elementos onde n são de um tipo, n de outro tipo e n de um terceiro tipo é dado por: n! n! n! n!

15 5 Eercício 6.5 Em anos de chuva coletadas em uma localidade, foram considerados normais, 55 foram considerados secos e 5 foram considerados chuvosos. Calcule a probabilidade de em uma amostra de anos escolhidos aleatoriamente, termos normais, chuvosos e 4 secos. n E normal P 55 4 E secos P 5 E chuvosos P por definição: n f, p... ( ) p,, p os parâmetros da distribuição são n, os valores assumidos para as variáveis aleatórias,, e suas probabilidades. f,, ; 55, 5, ; A média (esperança matemática) e a variância da distribuição de probabilidade multinomial são dadas por: E σ ( X ) np ( p ) [X i] np i i i i Eercício 6.6 Em um certo rio a probabilidade de que a descarga máima anual seja inferior a 4 m /s é,. A probabilidade de que esteja entre 4 e 8 m /s é de,4 e de que eceda 8 m /s é de 4. a) Qual a probabilidade de 4 descargas máimas inferiores a 4 m /s, e 8 entre 4 e 8 ocorrerem nos próimos anos? descarga máima inferior a 4 m /s; descarga máima entre 4 e 8 m /s; descarga máima superior a 8 m /s.

16 6 n 4 p, 8 p,4 8 p,4 f ( 4; 8; 8;,;,4;,4; ) (,) 4 (,4) 8 (,4 ) 8! (,) (,4) (,4),4 4! 8! 8! b) O valor esperado para anos de observação de vazões máimas será: E [X ] np (,) 4 E [X ] np (,4) 8 E [X ] np (,4) 8.4.DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA Vejamos o problema de se retirar cartas do baralho sem reposição. Se as cartas não são colocadas de volta os eventos não são independentes, logo não se pode pensar em ajustar uma distribuição Binomial. Eercício 6.7 Seja um baralho de 5 cartas. Achar a probabilidade de se tirar cartas vermelhas em 5 cartas retiradas sem reposição. Sucesso carta vermelha Fracasso carta preta Mas p não é constante ao longo dos 5 eperimentos. Vejamos:

17 7 Tentativa : 6 p 5 Tentativa : 6 p (se a anterior foi vermelha) 5 ou 5 p (se a anterior foi preta) 5 p não é constante não é BINOMIAL! Se for para calcular a probabilidade de tirar cartas vermelhas em 5 cartas retiradas aleatoriamente: S {V, V, V, P, P} seqüência possível! 6 6 Eistem maneiras de se retirar vermelhas e para cada uma delas eistem maneiras de 6 6 se retirar pretas. Pelo Teorema da Contagem, eu tenho. maneiras de retirar vermelhas e pretas do baralho de 5 cartas. Mas a 5 cartas selecionadas podem ser tiradas de 5 5 maneiras. Logo a probabilidade de se selecionar 5 cartas sem reposição de um baralho de 5 cartas, sendo vermelhas e pretas é dada por: Eercício 6.8 Um comitê de 5 pessoas foi selecionado de um grupo formado por mulheres e 5 homens. Ache a f.m.p. do número de mulheres do comitê. X número de mulheres 5 pessoas selecionadas S {,,, }

18 8 Homem Mulher Se Homens Homem Mulher Se Homens Homem Mulher Se Homens Homem Mulher Se Homens Mulheres Então a f.m.p. de X é dada pela fórmula: Mulher Mulher Mulheres

19 9 Generalizando: Estamos interessados em calcular a probabilidade de selecionar sucessos de itens rotulados de sucessos e (n ) falhas de N K itens rotulados de falhas, quando uma amostra aleatória de tamanho n é selecionada entre N itens. Assim, h(; N; n; ) N - n - N,,,... n n A média e a variância de uma distribuição de probabilidades hipergeométrica h (; N, n, ) são: E[X] µ n N e σ N n N.n. N N (Demonstração: Walpole, 8) Eercício 6.9 (Haan) pág.69 Assuma que durante um certo mês de setembro, dias chuvosos ocorreram. Uma amostra de dias é selecionada aleatoriamente e seus dados climáticos analisados. a) Qual a probabilidade de 4 destes dias terem sido chuvosos? b) Qual a probabilidade de que menos de 4 dias terem sido chuvosos? N - n n - h(; N; n; ) N n,...n

20 a) h(4; ; ; ) N n - 4-4,7!!! 4! 6!!. 6! 4!! 6 4 b) h (,,, ) + h(,,,,) + h(,,, ) + h(,,, ), Eercício 6. (Haan,69) Qual a probabilidade de se obter eatamente ases em 5 cartas selecionadas aleatoriamente de um baralho de 5 cartas? n 5 N 5 h(; N; n; ) 4 n N n N h(; 5; 5; 4)

21 Eercício 6. (Haan, pag 8, eercício 4.9) Em uma certa região eistem pequenas bacias apropriadas a um projeto de pesquisa. Seis tem características geológicas que permitem que uma grande quantidade de água superficial se infiltre e deie a bacia via escoamento subterrâneo. O projetista quer selecionar 6 destas bacias para estudar. a) Qual a probabilidade de que apenas destas bacias com características geológicas descritas anteriormente seja selecionada? b) Qual a probabilidade de destas bacias serem selecionadas? c) Qual a probabilidade de no mínimo destas bacias ser selecionada? d) Qual a probabilidade de todas estas 6 bacias serem selecionadas?: N n 6 6 a) h(; N; n; ) N n N n h(; ; 6; 6) 6-5, 6 6 b) 6 4 h (; ; 6; 6), 88 6 c) No mínimo a 6 h() + h() + h() + h(4) + h(5) + h(6) ou mais P( ) P( < )

22 P( ) h(;, 6, 6) h (;, 6, 6) pela tabela Haan, h(;, 6, 6), Assim, P( ) -,775,95 d) Qual a probabilidade das seis bacias serem selecionadas? h (6;, 6, 6) pela Tabela Kaan, h(6;, 6, 6) 8.76, APROXIMAÇÃO DA HIPERGEOMÉTRICA PELA BINOMIAL A distribuição Binomial pode ser usada como aproimação da Distribuição Hipergeométrica se a amostra selecionada for muito pequena em relação ao número total de itens N do qual a mesma é retirada. Neste caso a probabilidade de sucesso p pode ser considerada aproimadamente constante ao longo das tentativas.

23 Eercício 6. (Haan, 7) Compare as distribuições Binomial e Hipergeométrica para N 4, n 5, e,,,, 4, 5. Hipergeométrica h(; N, n, ) h(; 4, 5, ) Binomial b(; n, p) b(; 5, /4),66,7,465,955,777,67,79,879 4,96,46 5,4, Eercício 6. Um fabricante de pneus constata que dentre os 5. pneus enviados ao distribuidor,. estavam ligeiramente defeituosos. Se pneus são comprados deste lote ao acaso, qual a probabilidade de se obter eatamente defeituosos? N 5. n n << N aproimação pela Binomial. b(; n, p) b(;,. 5. ) b (;,, ) -. b(,,, ) b(,,, ), (TABELA!) ~ h(;5.,,.) (Segundo Paul Meyer, pág. 8) h(; N,, n) ~ b(; n, p) quando n << % N

24 4 Eercício 6.4 Uma companhia telefônica registrou que dentre os 5. telefones instalados,. são pretos. Se pessoas são escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de estarem falando de telefones pretos? N 5. K. n X h(; 5.,., ), 5 5. pretos 7 não-pretos E aproimando pela Binomial? p N b(; n, p)., 5. b(;,, ) p.q 7 (,) (,8) 7,.4.. DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA MULTIVARIADA A distribuição pode ser etendida aos casos onde N itens são fracionados em mais de duas categorias (sucesso e falha). Se N é fracionado em K células A, A, A... A n com a elementos na a célula, a na Segunda... e a na -ésima célula, a distribuição de probabilidades das variáveis aleatórias X, X... X, que representam o número de elementos selecionados de A, A,... A em uma amostra de tamanho n, é dada por: (,... ; a, a... a, N, n) h a a a... N n

25 5 Eercício 6.5 Um grupo de pessoas é usado em um estudo de caso biológico. O grupo contém: Sangue tipo O Sangue tipo A 4 Sangue tipo B Qual a probabilidade de que em uma amostra aleatória de 5 pessoas, contenha pessoa com sangue tipo O, pessoas do tipo A e pessoas do tipo B? X número de pessoas sangue O X número de pessoas sangue A variável aleatória X número de pessoas sangue B a a 4 a N n 5 h(,, ;, 4,,, 5) 4 5 4

26 6 5. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEGATIVA Considere um eperimento com as mesmas propriedades listadas para o eperimento Binomial, ou seja: realizado e repetidamente eperimento independentes p constantes Suponha que os eperimentos sejam repetidos até que um número fio de sucessos ocorra. Ou seja, no lugar de calcular a probabilidade de sucessos em n tentativas, onde o n é fiado, estamos interessados agora na probabilidade de que o -ésimo sucesso ocorra na -ésima tentativa. BINOMIAL? Qual a probabilidade de se obter sucesso em 5 tentativas n o número de sucesso era a variável aleatória n fio AGORA BINOMIAL NEGATIVA Qual a probabilidade do o sucesso ocorrer na 5 o tentativa? o número de tentativas necessárias para se obter o o sucesso (fio ). Dedução da Fórmula Eercício 6. Um Jogador de basquete acerta 6% dos seus lançamentos. Qual a probabilidade de sua 5 a cesta ocorrer no seu 7 o lançamento?

27 7 Uma seqüência possível é Lançamentos S fazer cesta F F S S S S S F não fazer cesta FIXO os 4 sucessos anteriores podem ser combinados de lançamentos 6 4 MANEIRAS sucessos (cesta) P ( 7) 6 5 (,6). (,4) 4 Se tentativas independentes podem ser repetidas com probabilidade de sucesso p e de falha igual a q p, então a distribuição de probabilidade da variável aleatória deslocada pelo número de tentativas necessárias para que o -ésimo sucesso ocorra é dada pôr: b* (;, p) - p q (-), +, + Eercício 6. Qual a probabilidade de que a quarta a probabilidade de que ao quarta ocorrência de uma cheia decenária ocorra no 4 o ano? Tr p, 4 4 b* (;, p ) p. q (-) 9 4 b* (4; 4,, ) (,) (,9) 6,

28 8 Eercício 6.4 (Ang É Tang, pág. (eercício.)) Uma torre de transmissão de rádio é projetada para um vento cinqüentenário. Qual a probabilidade da a ocorrência do vento ocorrer eatamente nos 5 a ano após a conclusão da obra? Tr 5 anos P, 5 5 b* (;, p ) p. q ( - ) 4 b* (5;,, ) (,) (,98),5 Eercício 6.5 (Walpole, 4) Calcule a probabilidade de uma pessoa jogando moedas conseguir ou todas caras ou todas coroas pela segunda vez no quinto lançamento. : 5 S ccc, cc, cc, cc, c, c, c, P 8 4 P 4 b* (;, p ) p. q ( - ) 4 b* (5;, ) (,5) (,75)

29 9 4.,65.,49,55 6. DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA Se considerarmos o caso particular da Binomial Negativa onde, teremos a distribuição de probabilidade do número de tentativas necessárias para que obtenha o primeiro sucesso. Uma vez que o termos constituem uma progressão geométrica, costuma-se chamar esta distribuição de Geométrica. g(; p) p. q -,,,, A media e a variância de uma variável aleatória que segue uma distribuição geométrica é dada por: µ p p σ p Resumo do Processo de Bernoulli (Haan, 75) Em um processo de Bernoulli, a cada tentativa, um evento pode ocorrer com probabilidade p ou não ocorrer com probabilidade q. A probabilidade do evento aconteceu e independente do que aconteceu nas tentativas anteriores. O número de sucessos em um dado número de tentativas segue uma distribuição Binomial. A probabilidade de que o o sucesso ocorra na -ésima tentativa é discrita pela Distribuição Geométrica. A probabilidade de que o -ésimo sucesso ocorra no - ésima tentativa é descrita pela distribuição Binomial Negativa.

30 A distribuição de probabilidade que descreve o comprimento de tempo (discreto) entre ocorrências também é descrito pela distribuição Geométrica. Note que a probabilidade de que tentativas separem ocorrências é o mesmo. Eercício 6.6 Em um processo produtivo sabe-se que em média em cada itens são defeituosos. Qual a probabilidade de que o 5 o item inspecionado seja o primeiro item defeituoso encontrado? p, 5 g (; p) p. q ( - ) g (5;,),. (,99) 4,96 Eercício 6.7 Em uma dada cidade, em horário comercial, o número de chamadas está muito próimo da capacidade do sistema. Estamos interessados em obter o n o de tentativas necessárias para se completar a chamada. Imponha a probabilidade de se completar a chamada igual a p,6 (durante o horário comercial). Estamos interessados em calcular a probabilidade de que sejam necessárias 5 tentativas para se obter a coneão. p,5 5 g (5;,5) p. q ( - ) (,5 ). (,95) 4,4 Calcule o número médio de tentativas para se obter a primeira ligação completada. µ tentativas p, 5

31 Eercício 6.8 Ache a probabilidade de uma pessoa ter que jogar 4 vezes uma moeda para conseguir uma cara. 4 p / g (; p) q ( -). p g 4;. 4 6 Eercício 6.9 Em determinada localidade, a probabilidade da ocorrência de uma tormenta em algum dia durante o verão é igual a,. Admitindo independência de um dia para outro, qual a probabilidade da ocorrência da primeira tormenta da estação no dia de janeiro? (supor verão começando em o /dez). 4 dias p, g (; p) q ( -). p g (; p) (,9 ). (,), Eercício 6. Um motorista vê uma vaga para estacionamento em uma rua. Há cinco carros na frente dele, e cada um têm uma probabilidade de, de tomar a vaga. Qual a probabilidade de a vaga ser tomada pelo carro que está imediatamente adiante dele? 5 dias p, g (; p) q -. p g (5; ) (,8) 4. (,),8 Eercício 6. Se a probabilidade de um certo ensaio dê reação positiva for igual a,4, qual será a probabilidade de que menos de 5 reações negativa ocorram antes da primeira positiva?

32 g (; 4) q (-). p g (; 4) (,6) (-). (,4) Chamamos de y o número de reações negativas antes da primeira positiva. P (y < 5) P (y 4) + P (y ) + P (y ) + P (y ) + P (y ) Y Y (,6) 4. (,4) + (,6). (,4) + (,6). (,4) + Y (,6). (,4) + (,6). (,4),9 Y 4 Y 4 5 Eercício 6. Uma torre de transmissão é projetada para o vento que tem período de retorno de 5 anos. a) Qual a probabilidade que a velocidade de projeto do vento seja ecedida pela primeira vez no quinto ano depois da estrutura estar terminada? b) Qual a probabilidade deste vento ocorrer pela a vez nos primeiros cinco anos após o término da estrutura? a) Tr p p 5, 5 g (,,) (,98) 4. (,),8 p, 5 b) P ( 5) (,) (,98) -, +,96 +,9 +,88 +,84,96 7. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Eperimento cujo número de recessos ocorrem um dado em um dado intervalo de tempo ou em uma dada região são chamados de Eperimentos de Poisson. O intervalo de tempo pode ser de qualquer tamanho - um minuto, dia, mês, ano, verão, etc.

33 Eemplo: Número de chamadas telefônicas recebidas por hora em um escritório; Número de dias sem aula devido a neve durante o inverno. A região em estudo pode ser um segmento de reta, uma área, um volume, etc. Eemplo: Número de bactérias em uma cultura; Número de erros de datilografia por página. 7.. PROPRIEDADES. O número médio de sucessos (µ) que ocorre em um dado intervalo de tempo ou em uma dada região é conhecido.. A probabilidade de um único sucesso ocorrer durante um intervalo de tempo bem pequeno (ou uma área bem pequena) é proporcional ao comprimento deste intervalo (ou área) e não depende do número de recessos que ocorrem fora deste intervalo de tempo (ou região).. A probabilidade de ocorrência mais de um sucesso neste pequeno intervalo de tempo (ou área) é desprezível. A distribuição de probabilidade de variável aleatória de Poisson, a qual representa o número de sucessos em um dado intervalo de tempo (ou região) t é dado por: P(; λt) e λt ( λt)!,, K A média e a variância é dada por:

34 4 µ λt σ λt (dedução, Walpole 7) Média: E() fazendo y µ µ! f() µ µ e µ e µ ( )! e. µ E() µ µ c.d.q! y y! f ( y ) p ( y ; µ ) y A função repartição da distribuição de Poisson está tabelada na tabela A. do Walpole (págs. 678 à 68) τ τ a 7 p(; µ ) µ, a 8 Eercício 6. Durante um eperimento científico, o n o médio de partículas radioativas passando por um contador em um milionésimo de segundo é 4. Qual a probabilidade de que 6 partículas passem pelo contador em um dado milionésimo de segundo? λ 4/ms µ 4 t ms 6 Sabemos que: P ( P ( 6 ; λ t e ( λ t ) ; λ t )! 4 6 e ( 4 ) 4 ) 6! Ou, usando a tabela A P(6; 4) 6 p(; 4) p(; 4) 5,889,785,4

35 5 Eercício 6.4 O número médio de barris de óleo que chegam por dia em um porto de uma dada cidade é. A estrutura portuária pode lidar no máimo com 5 barris por dia. Qual a probabilidade de que num determinado dia barris tenham que ser reembarcados nos navios? - número de barris que chegam por dia P( > 5)? P( > 5) P( 5) p(; ),95,487 5 Eercício 6.5 (Walpole, 94 antigo) O número médio de dias s aula devido a neve em uma dada escola de uma cidade dos EUA durante o inverno é 4. Qual a probabilidade desta escola fechar por seis dias durante o inverno? λ 4/ inverno T inverno µλ 4 6 P(; λt) e 4 4 6! 6,4 Eercício 6.6 O número médio de defeitos em uma adutora de 45 m de etensão, durante o ano é,. Para outra adutora a ser construída com a mesma tecnologia e devendo receber os mesmos cuidados de manutenção, qual a probabilidade de ocorrerem no máimo defeitos por ano, sabendo-se que a nova adutora terá 5 m de etensão? λ, def / 45 Km λ, def / Km µ 5,7 defeitos t 5 Km P( )? p(; 5,7) não está tabelado p(; 5,7) + p(; Notas 5,7) de + Aula p(;5,7) - Profª Ticiana Marinho de Carvalho Studart,757

36 6 Eercício 6.7 (Jairo da Fonseca) Em média são feitas chamadas por hora num certo telefone a) calcular a probabilidade de recebermos no máimo chamadas em horas. b) calcular a probabilidade de nenhuma chamada em 9 minutos. a) chamadas / 6 minutos λ chamadas/hora µ 4 chamadas t horas P( )? p(; 4),45 b) chamadas / hora µ chamadas t,5 p(; ) e.!, APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL PELA POISSON Seja uma variável aleatória binomial com distribuição de probabilidade b(; n, p). Quando n, p e µ np permanece constante, teremos: b(; n, p) p(; ) Eercício 6.8 Em um processo produtivo onde vidro é produzido, ocasionalmente bolhas ocorrem (defeito). Sabe-se que em média em cada itens produzidos tem defeito. Qual a probabilidade de que uma amostra de 8 itens, menos que 7 itens tenham defeitos?

37 7 Este é essencialmente um eperimento binomial com n 8 e p,. Como p é muito próimo de e n é bastante grande, podemos aproimar com uma distribuição de Poisson usando: µ 8., 8 assim, P( < 7) 6 b(; 8,,) 6 p(; 8),4 Eercício 6.9 Qual a probabilidade de uma tempestade com tr anos ocorra uma vez em um período de anos? Binomial p Tr,5 n n (n ) n, p) p q b(; 9 (,5) (,95),5 Poisson n p,5,5 p(; µ) µ e. µ! e,5.,5!, Eercícios Propostos ) Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um estouro de pneu em cada 5. m.

38 8 a) Qual a probabilidade que num teste de. m haja no máimo um pneu estourado? b) Qual a probabilidade de que um carro ande 8. m, sem estourar nenhum pneu? ) Certo posto de bombeiros recebe em média chamadas por dia. Calcular a probabilidade de: a) receber 4 chamadas num dia; b) receber ou mais chamadas num dia. ) A média de chamadas telefônicas numa hora é. Qual a probabilidade de: a) receber eatamente chamadas numa hora? b) receber 4 ou mais chamadas em 9 minutos? 4) Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem defeitos numa parede de m? 5) Suponha que haja em média suicídios por ano numa população de 5. Em uma cidade de habitantes, encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido: a) ; b) ; c) ; d) ou mais suicídios. 6) Suponha 4 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 5 página. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha: a) nenhum erro; b) eatamente erros. 7) Uma loja atende em média clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora; a) atender eatamente clientes; b) atender clientes. 8) Aplicando as definições de média e variância, prove que a média e a variância de uma Poisson são iguais a λt.