ÁREAS DE POLIGONOS REGULARES COM PERIMETRO CONSTANTE DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA

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1 ÁREAS DE POLIGONOS REGULARES COM PERIMETRO CONSTANTE DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA Antônio dos Santos filho Rita de Cássia Barbosa Arouca Universidade Católica do Salvador UCSal I. OBJETIVO GERAL Demonstrar através de uma abordagem não padronizada da geometria plana, que de todas as figuras com um dado perímetro o circulo é o de maior área. II. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Comparar as Áreas de superfícies de polígonos regulares com perímetro constante; Mostrar que a Área é uma função do número de lados de um polígono regular (perímetro constante); Estabelecer uma fórmula para calcular a Área de um polígono regular, convexo de perímetro nl. III. - PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL Uma parte considerável do curso intitulada Oficina de Ensino de Matemática, que se realiza desde de 1995, desenvolvido em 80 horas, É destinado ao trabalho com Geometria, com destaque para a parte experimental, que inclui dentre alguns conceitos o de perímetro e o de área de superfície plana. Uma das atividades práticas consiste em distribuir 16 metros de barbante para os grupos de professores cursistas, para que sejam demarcadas superfícies, de forma mais conveniente para cada grupo. De um modo geral as formas são quadriláteros, embora a forma triangular, pentagonal, hexagonal apareça. A etapa que se segue á percepção dos

2 2 professores quanto á variação de quantidade de superfície, com a mesma quantidade de contorno. Isto é, áreas distintas para o mesmo perímetro. Essa constatação fica mais evidenciada, quando sugerimos ocupar a superfície com os próprios professores. Dependendo da forma geométrica escolhida pelos grupos, um número variável de professores preenche totalmente, a superfície demarcada, 10 a 12 professores, por exemplo, são suficientes para o preenchimento de algumas das figuras construídas; em outros casos, temos um número variando de 12 a 15, 15 a 20, 20 a 25 professores, necessários para a ocupação total. Os professores se divertem ao perceberem que dependendo da figura selecionada um grupo menor ou maior de colegas podem sentir-se abraçados dentro da superfície. As brincadeiras, os risos são constantes na realização da prática. A parte intuitiva dessa atividade É concluída, quando sugerirmos, ocupar a maior superfície através da borda, fazendo-se movimentos de tal forma, que a superfície considerada se aproxime da forma circular. O que observamos é que o grupo, formado em média por 35 professores, ocupa a superfície, sobrando ainda alguma parte. Numa fase posterior em sala de aula, discutimos a atividade realizada com o barbante e passamos a trabalhar com modelos recortados com cartolina para demonstrar de modo experimental as fórmulas de áreas dos polígonos notáveis. Em relação á desigualdade, comparamos os polígonos regulares de 3, 4, 6 e 8 lados, respectivamente, com o círculo, todos com o mesmo perímetro. A partir daí, duas principais conclusões são constatadas pelo grupo: 1 - O crescimento da área é uma função do número de lados; 2. - O círculo como polígono limite, quando o número de lados tende para o infinito é o que tem área máxima. Consideremos os seguintes polígonos regulares (todos eles de perímetro constante L):

3 3 1 - Triângulo Eqüilátero 2 Quadrado

4 4 3 - Hexágono Regular De A t 0,433 a² e A h 0,65 a² concluímos que A h = 1,5 ou seja, o hexágono possui 50% a mais de superfície Sejam o quadrado e o hexágono: A q =b 2 P = 4b = 6c A h = 3/2 c² 3 c = 2/3 b Daí,. Comparando, A q =b 2 e A h = 1,15555b 2 temos: A h = 1,15 A q. Ou seja, o hexágono regular possui aproximadamente 15% a mais de superfície. 4 - Octógono Regular P = 8d d medida do lado A o = 2d² ( )

5 5 5 - Círculo Comparando o círculo com o triângulo eqüilátero temos: A c = πr² P = 2πR A t = a² 3 / 4 R = 3a / 2π

6 6 Como A t 0,433a², conclui-se que A c 1,65 A t. Ou seja, o círculo possui 65% a mais de superfície. 6 - Curva de Crescimento A n recebe os valores verticalmente 0,00 a 0,80, iniciando de baixo para cima

7 7 7 - A área de um Polígono Regular em função do número de lados A n = ƒ (n) Consideremos um polígono regular convexo de n lados com perímetro 2 p fixo. ; ; = AÔB / 2 ; n = π = π / n Consideremos o triângulo retângulo OCB temos que: a n = BC / tg a segue, tg a = BC / OC. p / n = l n / 2 logo, A expressão da área A n do polígono de n lados será:

8 8 8 - A área A n cresce em função de n. A seqüência n. tg (π/n) é estritamente decrescente e (n = 3, 4, 5,...). Polígono (n) 5 tg π / 5 3,6325 0,2753p 2 0, tg π / ,1924p tg π / 4 4 0,25p tg π / 5 3,6325 0,2753 p 2 0, tg π / 6 3,4641 0,2887p 2 0, tg π / 8 3,3136 0,3018 p 2 0, tg π / 10 3,2492 0,3078 p 2 0, tg π / 12 3,1895 0,3135 p 2 0, tg π / 1 5 3,1875 0,3137 p 2 0, f3 tg π / ,3157p 2 0, tg π / 4 4 0,3165p 2 0, tg π / 5 3,6325 0,3171p 2 0, tg π / 6 3,4641 0,3175p 2 0, tg π / 180 3,142 0,3182 p 2 0,01746 nr +R

9 9 9) Área dos Polígonos de lado n = 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 36 e área do círculo. Perímetro constante. 2 p = 48 Medida l n Polígono com n lados Perímetro Área p = 48 p = 24 A 3 = 576 x 0,1924 = 110, p = 24 A 4 = 576 x 0,25 = p = 24 A 6 = 576 x 0,2887 = 166,3 6 8 p = 24 A 8 = 576 x 0,3018 = 173,8 4,8 10 p = 24 A 10 = 576 x 0,3078 = 177, p = 24 A 12 = 576 x 0,3135 = 180,6 3,2 15 p = 24 A 15 = 576 x 0,3137 = 180,7 2,4 20 p = 24 A 20 = 576 x 0,3157 = 181, p = 24 A 24 = 576 x 0,3165 = 182,3 1,6 30 p = 24 A 30 = 576 x 0,3171 = 182,6 1,33 36 p = 24 A 36 = 576 x 0,3175 = 182,9 Círculo 2πR = 48 R 24 / π A C = 576 x 0,3183 = 183,35

10 10 10) O valor máximo de A n (área) é p² / π isto ocorre quando aumenta o valor de n, o que acarreta o n-polígono regular se degenerando é no limite é num cãrculo de perímetro 2p. De Escrevendo 2p = L, temos:, onde L.-> perímetro 11) De 12) Área Constante ( A n constante) Considerando A n constante (área fixa) e como n tan (π/ n) é uma seqüência estritamente decrescente para n = 3, 4, 5, Então p decresce em função de n, atingindo um mínimo para n tan (π/ n) π Isto significa que P min = πa n P min = ππr 2 P min = πr 2p = 2πr - Comprimento da circunferência Daí a conclusão que de todas as figuras planas de mesma área, o círculo é o perímetro mínimo. Isto representa: L² 4πA n L 2 πa n L 2 ππr² L 2πr o menor valor de L ocorre quando A n = πr²

11 11 IV - METODOLOGIA O trabalho em matemática nas instituições regulares de ensino, na maioria das vezes, automatiza determinados procedimentos. A fim de não estarmos apenas repetindo processos, memorizando regras e fórmulas, devemos compreender os fundamentos das atividades a serem passadas aos estudantes. Utilizaremos meios para atuar como organizador de situações desafiadoras, selecionando atividades e materiais que despertem a curiosidade, fazendo com que os alunos assumam papel ativo, participando e contribuindo com suas idéias. O Mini-curso vivencia a construção e utilização de atividades matemática, em cursos regular do ensino fundamental, levando os alunos a formular conjecturas, generalizar, perceber e descrever os procedimentos. V - MATERIAIS DIDÁTICOS Neste trabalho criaremos possibilidades de facilitar a construção dos saberes, nas aulas de matemática, deve utilizar vários recursos didáticos: hinstrumento de construção: régua, compasso esquadro, transferidor, lápis, borracha, tesoura, cartolina hinst. de cálculo: Calculadora. hinst. didático: apostilas, retroprojetor. BIBLIOGRAFIA BARBOSA, João Lucas Marques - Geometria Euclidiana Plana - SBM, 1995 KENNEDY, Edward S. - História da Trigonometria. Atual, São Paulo, LINDQUIST, Mary, Montgomery, Shulte Alberto P. Organizadores. Aprendendo e Ensinando Geometria. São Paulo, Atual, NUNES, Alberto Serra - Tábua de Logaritmos, 5ª Edição, FENAME, RJ, SMOOTHEY, Marion - Atividades e Jogos com Áreas e Volumes. São Paulo, Scipione, TUNALA, Nelson, Revista de Matemática n º 6, C.G Editora São Paulo, ZARO, Milton, e HILDEBRAND, Vicente - Matemática Experimental, Óptica, 1992.