Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

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1 Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 02 Expoentes e Radicais. Conteúdo 3. Introdução Parte Expoentes ou Potências Propriedades dos Expoentes Notação Científica Radicais Raiz Quadrada Raiz Múltipla Como calcular a raiz quadrada Ordem das Operações Logaritmo Bases Base Decimal Base Binária Memorize para a prova Exercícios de Fixação Gabarito Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos Bibliografia

2 3. Introdução Parte 3 É, chegamos à aula 2 (na verdade, a aula 3, se considerarmos a aula demonstrativa). Antes de iniciar a aula propriamente dita, gostaria de esclarecer duas dúvidas para que não fiquemos com dívidas para a continuação do curso. Dúvida 1: Como fazer a conta: 1 1 x = 5 Repare que, para resolver esta equação, temos que achar o m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores, ou, para facilitar, multiplicar em cruz. Vou fazer das duas maneiras: I Maneira 1: Achar o m.m.c dos denominadores x = 1 x = 1 Como temos um denominador que é 1, o m.m.c vai ser justamente o outro denominador: (1-x). Portanto, teríamos: x = 1 x x 1 5 (1 x) = 1 x 1 x Como os denominadores dos dois termos da igualdade são iguais, podemos cortar um com outro: 1 5 (1 x) = 1= 5 (1 x) 1= 5 5x 1 x 1 x 4 5x= 5 1 5x= 4 x= 5 Beleza? Então, vamos ver a maneira 2. II Maneira 2: Multiplicar em cruz, ou seja, multiplicar o denominador de uma fração com o numerador de outra fração e vice-versa = 5 = 1 x 1 x 1 1 1= 5 (1 x) 4 1= 5 5x 5x= 5 1 5x= 4 x= 5 2?

3 Está é bem mais rápida, não? Portanto, quando aparecer uma igualdade entre frações, podemos multiplicar em cruz. Dúvida 2: Como fazer a conta: 1 Repare que em 1 x 1 1 x = 1 x 1?, o sinal de menos está multiplicando o numerador, certo? Portanto, se multiplicarmos tanto o numerador como o denominador por -1 (menos um), a fração não se altera. Veja: 1 1 ( 1) ( 1) 1 = = 1 x 1 (1 x) ( 1) (1 x) ( 1) Agora se fizermos somente a conta do denominador, teríamos: (1 x) ( 1) = 1 ( 1) x ( 1) = 1+ x= x 1 Lembre-se que, na multiplicação, (-) x (-) = (+) (menos multiplicado por menos é igual a mais). Logo, o resultado seria: 1 1 = 1 x x 1 Como houve muitas perguntas sobre a questão 3 da aula passada, cujas dúvidas acima estão relacionadas, vou resolver novamente, de forma mais detalhada. 3.(Analista de Finanças e Controle-STN-2008-Esaf) A calculadora de Eliane tem duas teclas especiais, T1 e T2, que realizam operações diferentes. A tecla T1 transforma o número t que está no visor em 1/t. A tecla T2 transforma o número t que está no visor em 1 t. Eliane digita um número no visor. A seguir, de forma sucessiva e alternadamente, ela digita as duas teclas especiais, iniciando por T1, isto é: T1, T2, T1, T2, T1, T2.... Sabendo-se que após 1204 operações o visor mostrava o número 5, pode-se corretamente concluir que o número que Eliane digitou no visor é igual a: a) 0,8 b) 0,7 c) 2,5 d) 0,42 e) 0,36 Resolução Para resolvermos a questão temos que descobrir alguma regra de formação para a seqüência: T1, T2, T1, T2, T1, T2... Suponha que Eliane digitou, inicialmente, um número x. A partir daí começou a digitar as teclas na seqüência: T1, T2, T1, T2, T1, T

4 Repare que T1 transforma t em 1/t, ou seja, transforma um número em seu inverso. Exemplos: Se digitar 2 e apertar a tecla T1, o resultado será 1 2. Se digitar 1 2 e apertar a tecla T1, o resultado será 2. Se digitar 3 e apertar a tecla T1, o resultado será 1 3. Se digitar e apertar a tecla T1, o resultado será = 1 = Por outro lado, a tecla T2 transforma t em 1 t. Exemplos: Se digitar 2 e apertar a tecla T2, o resultado será 1 2= 1. Se digitar -3 e apertar a tecla T2, o resultado será 1 ( 3) = 1+ 3= 4. Beleza até aqui? Então, continuando a questão: Se eu digitar, inicialmente, x: Tecla 1: Entrada = x T1 Saída = 1/x x 1 x 1 Tecla 2: Entrada = 1/x T2 Saída = 1 = = = x 1 x 1 x x x (lembre-se que o m.m.c dos denominadores 1 e x é x). Tecla 3: Entrada = x 1 1 x x T1 Saída = = 1 = x x 1 x 1 x 1 x (Divisão de frações: muda o sinal para multiplicação e inverte a fração do denominador) Tecla 4: Entrada = Saída = x x 1 T2 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 1 = = = = x 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (lembre-se que o m.m.c dos denominadores 1 e x-1 é x-1). 4

5 1 Tecla 5: Entrada = x 1 1 x 1 T1 Saída = = 1 = x x 1 (Divisão de frações: muda o sinal para multiplicação e inverte a fração do denominador) Tecla 6: Entrada = 1 x T2 Saída = 1 (1 x) = x = x Ou seja, na sexta tecla, o valor retorna ao valor inicial x e começa tudo novamente: Tecla 7: T1 = 1/x Tecla 8: T2 = 1 (1/x) = (x 1)/x Tecla 9: T1 = x/(x 1) Tecla 10: T2 = 1 - x/(x 1) = (x 1 x)/(x 1) = -1/(x 1) = 1/(1 x) Tecla 11: T1 = 1 x Tecla 12: T2 = 1 (1 x) = x = x (.) A questão pede o valor após operações, ou seja, quando for digitada a tecla Primeiro, vamos verificar o resultado da divisão de por 6. Aqui, a divisão é por 6, pois refere-se ao ciclo a partir do qual o número x aparece novamente (ocorre, primeiro, após a tecla 6, depois, após a tecla 12, e assim sucessivamente): : 6 = 200 com resto 4. Logo, o valor apurado será o equivalente à tecla 4, cujo resultado da divisão por 6 também dá resto 4. Veja: Tecla 1: se dividir 1 por 6, dá 0 com resto 1. Tecla 2: se dividir 2 por 6, dá 0 com resto 2. Tecla 3: se dividir 3 por 6, dá 0 com resto 3. Tecla 4: se dividir 4 por 6, dá 0 com resto 4. Tecla 5: se dividir 5 por 6, dá 0 com resto 5. Tecla 6: se dividir 6 por 6, dá 1 com resto 0. Tecla 7: se dividir 7 por 6, dá 1 com resto 1. Tecla 8: se dividir 8 por 6, dá 1 com resto 2. Tecla 9: se dividir 9 por 6, dá 1 com resto 3. Tecla 10: se dividir 10 por 6, dá 1 com resto 4. Tecla 11: se dividir 11 por 6, dá 1 com resto 5. Tecla 12: se dividir 12 por 6, dá 2 com resto 0. (...) Portanto, as teclas que, ao dividir o número representativo da tecla por 6, terão resto 4 são: Tecla 4 = Tecla 10 = Tecla 16 =... = Tecla = 1/(1 x) 5

6 Logo, de acordo com a questão: 1 1 x = 5 Multiplicando em cruz: 1 = 5. (1 x) 1 = 5 5x 5x = 5-1 5x = 4 5x = 4 5 x 4 = (se dividir os dois lados por 5, não altera a igualdade) 5 5 x = 4 5 = 0,8 GABARITO: A Pronto para continuar? Então, como diria John Lennon, let s go. 6

7 3.1. Expoentes ou Potências Expoente ou potência é um número sobrescrito à direita de um número real, chamado de base, que indica quantas vezes você multiplica o número real por ele mesmo. Ou seja, foi um símbolo criado pelos matemáticos para que não ficássemos escrevendo, repetidas vezes, o número multiplicado por ele mesmo. X n = X.X.X.X...X (X multiplicado por ele mesmo n vezes). Onde, X = base (pode ser qualquer número real) n = expoente (indica o número vezes que o número é multiplicado por ele mesmo e também pode ser qualquer número real, positivo ou negativo). Relações importantes: x 0 = 1 qualquer número elevado a zero é igual a 1. Exemplos: 2 0 = 1; 3 0 = 1. x 1 = x qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo. Exemplo: 20 1 = n = 0 zero elevado a qualquer número é igual a 0. Exemplo: 0 10 = 0. n X -n = =... X X X X X expoente negativo inverte a base e o sinal do expoente, ou seja, se um número X tiver um expoente negativo -n, pode ser representando por 1 X elevado a um número positivo n. Exemplos: 5-1 = = 5 5 = = = = = = n X -n = =... X X X X X ( 1 X multiplicado por ele mesmo n vezes). 7

8 1 X n n = X = X X X... X (X multiplicado por ele mesmo n vezes). Repare que é a mesma regra anterior para expoentes negativos: inverte a base (de 1/X para X) e muda o sinal do expoente (de n para n). Nota: Se X for igual a 0, n não pode ser negativo, pois, neste caso, teríamos um número dividido por 0, fato que não é possível. Mais Exemplos: 5 3 = 5 x 5 x 5 (5 multiplicado por ele mesmo 3 vezes) = = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (2 multiplicado por ele mesmo 5 vezes) = = 3 x 3 x 3 x 3 (3 multiplicado por ele mesmo 4 vezes) = = 7 x 7 (7 multiplicado por ele mesmo 2 vezes) = = 2-6 = = = = = Memorize para a prova: X n = X.X.X.X...X (X multiplicado por ele mesmo n vezes). Onde, X = base (pode ser qualquer número real) n = expoente (indica o número vezes que o número é multiplicado por ele mesmo e também pode ser qualquer número real, positivo ou negativo). x 0 = 1 qualquer número elevado a zero é igual a 1. x 1 = x qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo. 0 n = 0 zero elevado a qualquer número é igual a 0. n X -n = =... X X X X X n 1 n = X = X X X... X X Propriedades dos Expoentes I) x n. x m = x n + m multiplicação de potências de mesma base conserva a base e soma os expoentes. Atenção! As bases devem ser iguais! Exemplo: 2 2 x 2 4 = =

9 Repare que, se houver mais de uma base, você poderá aplicar a propriedade acima por bases iguais. Veja o exemplo: 2 2 x 3 3 x 2 4 x 3= x = 2 6 x 3 4 II) x n : x m = x n m divisão de potências de mesma base conserva a base e subtrai os expoentes. Atenção! As bases devem ser iguais! Exemplo: 2 8 : 2 2 = = 2 6 Repare que, se houver mais de uma base, você poderá aplicar a propriedade acima por bases iguais. Veja o exemplo: = 22-4 x = 2-2 x 3 2 III) (x n ) m = x n. m potência da potência multiplica os expoentes. Exemplo: (2 4 ) 2 = = 2 8 IV) (x. y) m = x m. y m potencia de multiplicação multiplicação de cada termo elevado à potência. Exemplos: (2 x 3) 2 = 2 2 x 3 2 = 4 x 9 = 36 (5-3 ) 5 = 5 (-3)x5 = 5-15 (3-3 ) -5 = 3 (-3)x(-5) = 3 15 V) x y m à potência. Exemplo: x = y m m, y 0 potencia de divisão divisão de cada termo elevado = 2 = E para resolver a expressão abaixo? Como faríamos? (x 2. y 4 ) -3. (x -2. y -3 ) -5. Primeiro temos que saber qual seria a ordem das operações. A ordem é: 1. Calcular primeiro os valores entre parênteses: (x 2. y 4 ) -3 = x 2x(-3). y 4x(-3) = x -6. y -12 (x -2. y -3 ) -5 = x (-2)x(-5). y (-3)x(-5) = x 10. y Multiplicar as expressões obtidas no item 1: x -6. y -12. x 10. y 15 = x y = x 4. y 3 9

10 Memorize para a prova: Propriedades: I) x n. x m = x n + m. As bases devem ser iguais. II) x n : x m = x n m. As bases devem ser iguais. III) (x n ) m = x n. m IV) (x. y) m = x m. y m V) x y m x = y Notação Científica É uma forma padrão de representar números muito grandes (Exemplo: distâncias entre planetas) e números muito pequenos (Exemplo: tamanho dos átomos), para que esses números possam caber em uma linha de um livro ou caderno e possam ser comparados com maior facilidade. Forma padrão: X. 10 n m m, y 0 Onde, X = número entre 1 e 10 (Não pode ser menor que 1 e maior ou igual a 10); e n = número inteiro positivo ou negativo A potência de 10 vai ser positiva ou negativa, a depender que como moveremos a vírgula. Se a vírgula for para a direita, o expoente n será negativo. Se for para a esquerda, o expoente n será positivo. Difícil? Vamos ver exemplos numéricos então. Exemplos: Notação Científica = 9,0 x 10 4 Repare que andei a vírgula quatro vezes para a esquerda: O número era ,0 e ficou 9,0000. Portanto, se andei a vírgula quatro vezes para a esquerda, n = 4 (positivo) Notação Científica = 1,23 x 10 8 Repare que andei a vírgula oito vezes para a esquerda: O número era ,0 e ficou 1, Portanto, se andei a vírgula oito vezes para a esquerda, n = 8 (positivo). 0,25 Notação Científica = 2,5 x 10-1 Repare que andei a vírgula uma vez para a direita: O número era 0,25 e ficou 2,5. Portanto, se andei a vírgula uma vez para a direita, n = -1 (negativo). 10

11 0, Notação Científica = 4,3 x 10-5 Repare que andei a vírgula cinco vezes para a direita: O número era 0, e ficou 4,3. Portanto, se andei a vírgula cinco vezes para a direita, n = -5 (negativo). Qual é o número maior? ou ? Notação Científica = 1,23 x Repare que andei a vírgula catorze vezes para a esquerda: O número era ,0 e ficou 1, Portanto, se andei a vírgula catorze vezes para a esquerda, n = 14 (positivo) Notação Científica = 9,16 x Repare que andei a vírgula onze vezes para a esquerda: O número era ,0 e ficou 9, Portanto, se andei a vírgula catorze vezes para a esquerda, n = 11 (positivo). Número 1 = 1,23 x Número 2 = 9,16 x Como a potência de 10 do número 1 (n = 14) é maior que a potência de 10 do número 2 (n = 11), então, 1,23 x > 9,16 x Agora, você deve estar se perguntando: E se as potências forem iguais? Neste caso, comparamos os números antes da potência. Veja um exemplo. Quem é maior? 0, ou 0, , Notação Científica = 3,1 x 10-6 Repare que andei a vírgula seis vezes para a direita: O número era 0, e ficou 3,1. Portanto, se andei a vírgula seis vezes para a direita, n = -6 (negativo). 0, Notação Científica = 4,3 x 10-6 Repare que andei a vírgula seis vezes para a direita: O número era 0, e ficou 4,3. Portanto, se andei a vírgula seis vezes para a direita, n = -6 (negativo). Como, os expoentes são iguais (10-6 ), comparemos os números: 4,3 > 3,1. Portanto, 4,3 x 10-6 > 3,1 x Memorize para a prova: Notação Científica Forma padrão: X x 10 n Onde, X = número entre 1 e 10 (Não pode ser 10); e n = número inteiro positivo ou negativo 11

12 3.2. Radicais Raiz Quadrada Uma raiz quadrada é representada pelo símbolo (também conhecido como radical). Portanto, para calcular a raiz quadrada de X teríamos: Y = X. Em português, Y é igual a raiz quadrada de X ou Y multiplicado por ele mesmo é igual X. Portanto: Y = X Y 2 = X. Como cheguei a esse resultado? A raiz quadrada de um número também é representada por este número elevado ao expoente 1 2 (o denominador 2 indica, justamente, que é raiz quadrada). X = 1 X 2 Portanto, teríamos: 1 Y X 2 =. Se elevarmos os dois termos ao quadrado, não alteramos a igualdade: Y = X Y = X Y = X Y = X Raízes quadradas mais comuns: 1= 1 121= 11 4= 2 144= 12 9= 3 169= 13 16= 4 196= 14 25= 5 225= 15 36= 6 256= 16 49= 7 289= 17 64= 8 324= 18 81= 9 361= = = = = = = = = = = =

13 (*) Os números 1 (1 2 ), 4 (2 2 ), 9 (3 2 ), 16 (4 2 ), 25 (5 2 ), 36 (6 2 ), 49 (7 2 ), 64 (8 2 ),... são quadrados perfeitos, ou seja, um número da forma: X = A 2 é um quadrado perfeito. Memorize para a prova: Raiz Quadrada: X = 1 X 2 Y = X Y 2 = X Raiz Múltipla Agora, se eu quisesse calcular a raiz cúbica de X. Neste caso, a representação seria: 3 X. Repare que, na parte superior esquerda do radical apareceu o número 3. Fazendo o mesmo procedimento anteriormente descrito: 3 X = 1 X 3 1 Portanto, teríamos: Y = X 3. Se elevarmos os dois termos ao cubo, não alteramos a igualdade: Y = X Y = X Y = X Y = X Nota: Quando é raiz quadrada, não há necessidade de colocar o 2 na parte superior esquerda do radical. Poderíamos calcular também a raiz cúbica de X elevado ao quadrado. Veja: X ( X ) 2 = = denominado do expoente. Portanto, teríamos: 2 3 X. Lembre que o índice do radical vai sempre para o 2 Y X 3 =. Se elevarmos os dois termos ao cubo, não alteramos a igualdade: Y = X Y = X Y = X Y = X 13

14 Vamos generalizar, então? ( ) m n x, x R e n, m N, n> 1 Outra forma de representação de raízes: m x n Propriedades: I) n x + n. Estes radicais não podem ser combinados (a menos que se y calcule o resultado de cada um e realize a soma, pois os valores dentro dos radicais são diferentes). Exemplo: Estes radicais podem ser combinados, pois os valores dentro n n II) a. x b. x dos radicais são iguais e os índices dos radicais também são iguais. Exemplo: = (1+ 3) 2= 4 2 n n III) a. x b. x dos radicais são iguais e os índices dos radicais também são iguais. Exemplo: = (5 3) 2= 2 2. Estes radicais podem ser combinados, pois os valores dentro n IV) x. n y = n xy. A multiplicação pode ser realizada, pois os índices dos radicais (n) são iguais. Exemplos: 3 9= 3 9= 27 = = 2 5= 10 x y =. A divisão pode ser realizada, pois os índices dos radicais y V) n n n x (n) são iguais. Exemplos: = 3 9 = 3 = = =

15 VI) ( ) n n x = x. Quando se eleva a uma potência igual a do radical, o resultado é o próprio número. Exemplo: 5 5 ( ) ( ) = 3 = 3 VII) m n x = m. n x. Quando fazemos o radical do radical, o resultado pode ser expresso por um único radical cujo índice será o valor correspondente à multiplicação dos índices dos dois radicais. Exemplo: 4 = 4= Outros pontos importantes: 1 x 2 = a x = ± a =± a 2 Exemplo: (-2) 2 = (-2) x (-2) = +4 (número par de sinais menos na multiplicação) (-2) = - 4 = -2 (ok) (2) 2 = 2 x 2 = 4 2 = 4 = 2 (ok) x 3 = a x = a = a Exemplo: (-2) 3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8 (número ímpar de sinais menos na mult.) (-2) = 3 8 = -2 (ok) (2) 3 = 2 x 2 x 2 = 8 2 = 3 8 = 2 (ok) x 4 = a x = ± a =± a Exemplo: (-2) 4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (número par de sinais menos na mult.) (-2) = = -2 (ok) (2) 4 = 2 x 2 x 2 x 2= 16 2 = 4 16 = 2 (ok) Repare, por estes exemplos, que não existem, entre os números reais, radicais com índice par de número negativo. Não existe, por exemplo, 2, pois não há número real elevado ao quadrado que dê número negativo, tendo em vista que um número negativo elevado ao quadrado se torna positivo (dois sinais menos na multiplicação). 15

16 Por outro lado, para radicais com índice ímpar, o valores dentro dos referidos radicais podem ser positivos ou negativos, tendo em vista que um número negativo elevado, por exemplo, ao cubo, continuará negativo (três sinais menos na multiplicação). Memorize para a prova: Raiz Múltipla: ( ) m n x, x R e n, m N, n> 1 Outra forma de representação de raízes: m x n Memorize para a prova: Propriedades: n I) + n. Estes radicais não podem ser combinados (a menos que se x y calcule o resultado de cada um e realize a soma, pois os valores dentro dos radicais são diferentes). n n II) a. x+ b. x. Estes radicais podem ser combinados, pois os valores dentro dos radicais são iguais e os índices dos radicais também são iguais. n n III) a. x b. x. Estes radicais podem ser combinados, pois os valores dentro dos radicais são iguais e os índices dos radicais também são iguais. n IV) x. n y = n xy. A multiplicação pode ser realizada, pois os índices dos radicais (n) são iguais. V) n n x n x y =. A divisão pode ser realizada, pois os índices dos radicais y (n) são iguais. VI) ( n x) n = x. Quando se eleva a uma potência igual a do radical, o resultado é o próprio número. VII) m n x = m. n x. Quando fazemos o radical do radical, o resultado pode ser expresso por um único radical cujo índice será o valor correspondente à multiplicação dos índices dos dois radicais. 16

17 Como calcular a raiz quadrada Como poderíamos fazer um cálculo simplificado para a raiz quadrada. Vamos lá. Vou ensinar por meio de exemplos: Para utilizar o método abaixo, você precisa saber os quadrados perfeitos até 99: 1 2 = 1 x 1 = = 2 x 2 = = 3 x 3 = = 4 x 4 = = 5 x 5 = = 6 x 6 = = 7 x 7 = = 8 x 8 = = 9 x 9 = 81 Exemplo 1: Calcule a raiz quadrada de 529. Passo 1: Da direita para esquerda, divida o número de dois em dois algarismos: 5.29 Primeiro grupo: 5 Segundo grupo: 29 Passo 2: Verifique qual o quadrado perfeito que é mais próximo (menor ou igual) do número do primeiro grupo (5): 4. Logo, o primeiro número do resultado da raiz quadrada é 2 (2 2 = 4). Passo 3: Subtraia o número do primeiro grupo (5) pelo quadrado perfeito mais próximo: 5 4 = 1. Passo 4: O resultado do passo 3 vai para o segundo grupo (colocar à esquerda do número): Segundo grupo: 129. Passo 5: Multiplicar o primeiro número do resultado (2) encontrado por 2: 2 x 2 = 4. Passo 6: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema: (Número obtido no Passo 5) Número x Número = Número x Número = 129. Tentativas: 41 x 1 = 41 Não serve 42 x 2 = 84 Não serve 43 x 3 = 129 (ok). Logo, 3 é o segundo número da raiz quadrada. Passo 7: A raiz quadrada de 529 é igual a 23. Exemplo 2: Calcule a raiz quadrada de Passo 1: Da direita para esquerda, divida o número de dois em dois algarismos: Primeiro grupo: 54 Segundo grupo:

18 Passo 2: Verifique qual o quadrado perfeito que é mais próximo (menor ou igual) do número do primeiro grupo (54): 49. Logo, o primeiro número do resultado da raiz quadrada é 7 (7 2 = 49). Passo 3: Subtraia o número do primeiro grupo (54) pelo quadrado perfeito mais próximo: = 5. Passo 4: O resultado do passo 3 vai para o segundo grupo (colocar à esquerda do número): Segundo grupo: 576. Passo 5: Multiplicar o primeiro número do resultado (7) encontrado por 2: 7 x 2 = 14. Passo 6: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema: (Número obtido no Passo 5) Número x Número = Número x Número = 576. Tentativas: 141 x 1 = 141 Não serve 142 x 2 = 284 Não serve 143 x 3 = 429 Não serve 144 x 4 = 576 (ok). Logo, 4 é o segundo número da raiz quadrada. Passo 7: A raiz quadrada de é igual a 74. Exemplo 3: Calcule a raiz quadrada de Passo 1: Da direita para esquerda, divida o número de dois em dois algarismos: Primeiro grupo: 8 Segundo grupo: 12 Terceiro grupo: 25 Passo 2: Verifique qual o quadrado perfeito que é mais próximo (menor ou igual) do número do primeiro grupo (8): 4. Logo, o primeiro número do resultado da raiz quadrada é 2 (2 2 = 4). Passo 3: Subtraia o número do primeiro grupo (8) pelo quadrado perfeito mais próximo: 8 4 = 4. Passo 4: O resultado do passo 3 vai para o segundo grupo (colocar à esquerda do número): Segundo grupo: 412. Passo 5: Multiplicar o primeiro número do resultado (2) encontrado por 2: 2 x 2 = 4. Passo 6: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema: 18

19 (Número obtido no Passo 5) Número x Número = 412 (ou o mais próximo) 4 Número x Número = 412. Tentativas: 41 x 1 = 41 Não serve 42 x 2 = 84 Não serve 43 x 3 = 129 Não serve 44 x 4 = 176 Não serve 45 x 5 = 225 Não serve 46 x 6 = 276 Não serve 47 x 7 = 329 Não serve 48 x 8 = 384 Este é o mais próximo, antes de x 9 = 441 Não serve Logo, o segundo número do resultado da raiz quadrada é 8. Diferença = = 28 Passo 7: Transfira a diferença acima para o terceiro grupo: Terceiro grupo: 2825 Passo 8: Multiplicar o número do resultado obtido até o momento (28) encontrado por 2: 28 x 2 = 56. Passo 9: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema: (Número obtido no Passo 8) Número x Número = Número x Número = Tentativas: 561 x 1 = 56 Não serve 562 x 2 = Não serve 563 x 3 = Não serve 564 x 4 = Não serve 565 x 5 = (ok). Logo, 5 é o terceiro número da raiz quadrada. Passo 10: A raiz quadrada de é igual a 285. Exemplo 4: Calcule a raiz quadrada de Passo 1: Da direita para esquerda, divida o número de dois em dois algarismos: Primeiro grupo: 12 Segundo grupo: 18 Terceiro grupo: 01 Passo 2: Verifique qual o quadrado perfeito que é mais próximo (menor ou igual) do número do primeiro grupo (12): 9. Logo, o primeiro número do resultado da raiz quadrada é 3 (3 2 = 9). 19

20 Passo 3: Subtraia o número do primeiro grupo (12) pelo quadrado perfeito mais próximo: 12 9 = 3. Passo 4: O resultado do passo 3 vai para o segundo grupo (colocar à esquerda do número): Segundo grupo: 318. Passo 5: Multiplicar o primeiro número do resultado (3) encontrado por 2: 3 x 2 = 6. Passo 6: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema: (Número obtido no Passo 5) Número x Número = 318 (ou o mais próximo) 6 Número x Número = 318. Tentativas: 61 x 1 = 61 Não serve 62 x 2 = 124 Não serve 63 x 3 = 189 Não serve 64 x 4 = 256 Este é o mais próximo, antes de x 5 = 325 Não serve Logo, o segundo número do resultado da raiz quadrada é 4. Diferença = = 62 Passo 7: Transfira a diferença acima para o terceiro grupo: Terceiro grupo: 6201 Passo 8: Multiplicar o número do resultado obtido até o momento (34) encontrado por 2: 34 x 2 = 68. Passo 9: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema: (Número obtido no Passo 8) Número x Número = Número x Número = Tentativas: 681 x 1 = 68 Não serve 682 x 2 = Não serve 683 x 3 = Não serve 684 x 4 = Não serve 685 x 5 = Não serve 686 x 6 = Não serve 687 x 7 = Não serve 688 x 8 = Não serve 689 x 9 = (ok). Logo, 9 é o terceiro número da raiz quadrada. Passo 10: A raiz quadrada de é igual a

21 3.3. Ordem das Operações Quando for calcular expressões com soma, subtração, divisão multiplicação, potências, raízes a ordem de cálculo a ser adotada é: 1. Potências e raízes 2. Multiplicações e divisões 3. Adições e subtrações Contudo, se houver sinais de agrupamento, como parênteses ( ), colchetes [ ], chaves { }, você deve fazer primeiro as operações que estão dentro desses sinais. Exemplos: I) 10 4 x Como a multiplicação tem prioridade sobre adição e subtração, temos: Após a multiplicação, faremos a adição e subtração (operações com a mesma prioridade não possuem prioridade entre si): = = 4 II) 3 (5+ 1) 2 Como há parênteses (sinal de agrupamento), primeiro devemos fazer a operação que está dentro dos parênteses (5 + 1 = 6). 3 (5+ 1) 3 6 = 2 2 Após isso, faremos a multiplicação e a divisão ou vice-versa, pois operações com a mesma prioridade não possuem prioridade entre si: 3 (5+ 1) = = = III) x x (6 1) A primeira operação a ser realizada é a que está entre parênteses: x x (6 1) = x x 5 Após isso, seguiremos a ordem de prioridade: Potências: x x 5 = x x 5 Multiplicações: x x 5 = Adições: = 103 Memorize para a prova: Ordem das Operações: 1. Potências e raízes 2. Multiplicações e divisões 3. Adições e subtrações Contudo, se houver sinais de agrupamento, como parênteses ( ), colchetes [ ], chaves { }, você deve fazer primeiro as operações que estão dentro desses sinais. 21

22 3.4. Logaritmo Primeiramente, temos que conhecer o que é um logaritmo: x = log b a (em português, teríamos que o logartimo de a na base b é igual a x). a = logaritmando, a > 0. b = base, b 1 e b > 0. x = logaritmo x = log b a a = b x (se o logaritmo de a na base b é igual a x, então, a igual a b elevado a x, ou seja, você deve pegar a base do logaritmo e elevar ao logartimo para achar o logaritmando). Nota: Quando não aparecer o valor da base, a base é igual a 10. Exemplos: 1) log 3 x = 2 x = logaritmando 3 = base 2 = logaritmo log 3 x = 2 x= 3 2 = 9 2) log (x 50) = 2 (x 50) = logaritmando 10 = base (quando não aparecer, a base é 10) 2 = logaritmo log (x 50) = 2 x 50 = 10 2 x 50 = 100 x = 150 Propriedades dos logaritmos: 1) Logaritmo do produto: log b xy = log b x + log b y. Exemplo: log 3 (9.27) = log = x 3 x = 243 x = 5 ou aplicando a propriedade do logaritmo do produto: log 3 (9.27) = log log 3 27 = = 5 Logo, log 3 (9.27) = log log ) Logaritmo do quociente: log b x y = log b x - log b y Exemplo: log 3 ( 9 27 ) (como 27 e 9 são divisíveis por 9, podemos dividir o numerador e o denominador por 9 sem alterar a fração) 22

23 log 3 ( 9 27 ) = log 3 ( 1 3 ) = x 3x = 1 3 = 3-1 x = -1 ou aplicando a propriedade do logaritmo do quociente: log 3 ( 9 27 ) = log log 3 27 = 2-3 = -1 Logo, log 3 ( 9 27 ) = log log ) Logaritmo da potência: log b x n = n. log b x Exemplo: log = x 3 x = 3 2 x = 2 ou aplicando a propriedade do logaritmo da potência: log = 2. log 3 3 = 2. 1 = 2 Logo, log = 2. log 3 3 Nota: log b x 1/n = ( 1 n ). log b x Nota: Logaritmo Neperiano ou Logaritmo Natural (ln) é o logaritmo na base e, onde e é igual 2, (número de Euler). Representação: ln a = x a = e x Exemplos: ln e 2 = x e 2 = e x x = 2 ln ( 1 e ) = x 1 e = ex Lembra da propriedade da potência? X -1 = 1 X e -1 = e x x =

24 Memorize para a prova: Logaritmo: x = log b a a = b x a = logaritmando, a > 0. b = base, b 1 e b > 0. x = logaritmo Nota: Quando não aparecer o valor da base, a base é igual a 10. Propriedades dos logaritmos: 1) Logaritmo do produto: log b xy = log b x + log b y. 2) Logaritmo do quociente: log b x y = log b x - log b y 3) Logaritmo da potência: log b x n = n. log b x Logaritmo Neperiano ou Logaritmo Natural (ln): Representação: ln a = x a = e x 3.5. Bases A base indica a quantidade de algarismos utilizados para definir a numeração. Nós, normalmente, utilizamos a base de 10 (decimal) e representamos todos os números com algarismos de 0 a 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 = Total de 10 algarismos). Contudo, em prova, é possível aparecer questões com base binária (dois algarismos ou símbolos), base três (três algarismos ou símbolos), base seis (seis algarismos ou símbolos), base hexadecimal (dezesseis algarismos ou símbolos) Base Decimal A base decimal utiliza algarismos de 0 a 9 e as unidades, dezenas, centenas, milhares, etc, de um número são representadas por potências de 10 (como são 10 algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são potências de 10). As potências de 10 serão colocadas da direita para a esquerda de um algarismo, iniciando de 10 0 (primeiro número a direita = ordem zero) até 10 n (último número a esquerda = ordem n). Cada potência multiplicará seu respectivo algarismo e todos os resultados serão somados para achar o número. Não entendeu? Vamos ver exemplos numéricos: 24

25 Exemplos: I) 123 Algarismos da direita para a esquerda: 3 = Algarismo de ordem 0. Representa as unidades. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 1. Representa as dezenas. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 2. Representa as centenas. Será multiplicado por Portanto, o número 123, na base decimal, é representado por: 123 = 1 x x x 10 0 Sabemos que qualquer número elevado a zero é igual 1 e qualquer número elevado a 1 é igual ao próprio número. 123 = 1 x x x = = 123 (ok). II) Algarismos da direita para a esquerda: 2 = Algarismo de ordem 0. Representa as unidades. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 1. Representa as dezenas. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 2. Representa as centenas. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 3. Representa as milhares. Será multiplicado por Portanto, o número 123, na base decimal, é representado por: = 5 x x x x = 5 x x x = = (ok) III) Algarismos da direita para a esquerda: 2 = Algarismo de ordem 0. Representa as unidades. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 1. Representa as dezenas. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 2. Representa as centenas. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 3. Representa as milhares. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 4. Representa as dezenas de milhares. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 5. Representa as centenas de milhares. Será multiplicado por Portanto, o número 123, na base decimal, é representado por: = 1 x x x x x x = 1 x x x x x = = (ok) 25

26 Base Binária A base binária utiliza os algarismos 0 e 1 e o número é representadas por potências de 2 (como são dois algarismos, são potências de 2). O procedimento é o mesmo da base decimal (vale para todas as bases). Exemplos: I) 101 na base binária representa qual número na base decimal? Algarismos da direita para a esquerda: 1 = Algarismo de ordem 0. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 1. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 2. Será multiplicado por 2 2. Portanto, o número 101 (base binária), na base decimal, é representado por: 101 = 1 x x x = 1 x x x = (base binária) = 5 (base decimal) II) 1011 Algarismos da direita para a esquerda: 1 = Algarismo de ordem 0. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 1. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 2. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 3. Será multiplicado por 2 3. Portanto, o número 1011 (base binária), na base decimal, é representado por: 1011 = 1 x x x x = 1 x x x x = (base binária) = 11 (base decimal) III) Algarismos da direita para a esquerda: 1 = Algarismo de ordem 0. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 1. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 2. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 3. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 4. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 5. Será multiplicado por 2 5. Portanto, o número 123, na base decimal, é representado por: = 1 x x x x x x = 1 x x x x x x = (base binária) = 49 (base decimal) 26

27 Vai, pode me perguntar. Sei que você está curioso. Como fazer para passar de decimal para binário? Neste caso, você deve pegar o número decimal e ir dividindo por 2 (base binária) até que o quociente da divisão seja menor que a base e o número será formado pelo quociente da última divisão e todos os restos. Confuso? Vamos verificar com um exemplo: Qual seria a representação binária do número 49? (base decimal) = (base binária) 27

28 3.6. Memorize para a prova Expoentes ou Potências X n = X.X.X.X...X (X multiplicado por ele mesmo n vezes). Onde, X = base (pode ser qualquer número real) n = expoente (indica o número vezes que o número é multiplicado por ele mesmo e também pode ser qualquer número real, positivo ou negativo). Relações importantes: x 0 = 1 qualquer número elevado a zero é igual a 1. x 1 = x qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo. 0 n = 0 zero elevado a qualquer número é igual a 0. n X -n = =... X X X X X expoente negativo inverte a base e o sinal do expoente, ou seja, se um número X tiver um expoente negativo -n, pode ser representando por 1 X elevado a um número positivo n. Propriedades dos Expoentes I) x n. x m = x n + m multiplicação de potências de mesma base conserva a base e soma os expoentes. Atenção! As bases devem ser iguais! II) x n : x m = x n m divisão de potências de mesma base conserva a base e subtrai os expoentes. Atenção! As bases devem ser iguais! III) (x n ) m = x n. m potência da potência multiplica os expoentes. IV) (x. y) m = x m. y m potencia de multiplicação multiplicação de cada termo elevado à potência. V) x y m = à potência. x y m m, y 0 potencia de divisão divisão de cada termo elevado Notação Científica Forma padrão: X. 10 n Onde, X = número entre 1 e 10 (Não pode ser 10); e n = número inteiro positivo ou negativo A potência de 10 vai ser positiva ou negativa, a depender que como moveremos a vírgula. Se a vírgula for para a direita, o expoente n será negativo. Se for para a esquerda, o expoente n será positivo. Difícil? Vamos ver exemplos numéricos então. 28

29 Radicais Raiz Quadrada Y = X Y 2 = X. Raízes quadradas mais comuns: 1= 1 121= 11 4= 2 144= 12 9= 3 169= 13 16= 4 196= 14 25= 5 225= 15 36= 6 256= 16 49= 7 289= 17 64= 8 324= 18 81= 9 361= = = = = = = = = = = = Raiz Múltipla ( ) m n x, x R e n, m N, n> 1 Outra forma de representação de raízes: m x n Propriedades: n I) + n. Estes radicais não podem ser combinados (a menos que se x y calcule o resultado de cada um e realize a soma, pois os valores dentro dos radicais são diferentes). +. Estes radicais podem ser combinados, pois os valores dentro dos radicais são iguais e os índices dos radicais também são iguais. n n II) a. x b. x n n III) a. x b. x. Estes radicais podem ser combinados, pois os valores dentro dos radicais são iguais e os índices dos radicais também são iguais. n IV) x. n y = n xy. A multiplicação pode ser realizada, pois os índices dos radicais (n) são iguais. V) n n x n x y =. A divisão pode ser realizada, pois os índices dos radicais y (n) são iguais. 29

30 VI) ( ) n n x = x. Quando se eleva a uma potência igual a do radical, o resultado é o próprio número. VII) m n x = m. n x. Quando fazemos o radical do radical, o resultado pode ser expresso por um único radical cujo índice será o valor correspondente à multiplicação dos índices dos dois radicais. Outros pontos importantes: x 2 = a x = x 3 = a x = x 4 = a x = 1 ± a =± a a = a ± a =± a Ordem das Operações Quando for calcular expressões com soma, subtração, divisão multiplicação, potências, raízes a ordem de cálculo a ser adotada é: 1. Potências e raízes 2. Multiplicações e divisões 3. Adições e subtrações Contudo, se houver sinais de agrupamento, como parênteses ( ), colchetes [ ], chaves { }, você deve fazer primeiro as operações que estão dentro desses sinais. Logaritmo x = log b a a = b x a = logaritmando, a > 0. b = base, b 1 e b > 0. x = logaritmo Nota: Quando não aparecer o valor da base, a base é igual a 10. Propriedades dos logaritmos: 1) Logaritmo do produto: log b xy = log b x + log b y. 2) Logaritmo do quociente: log b x y = log b x - log b y 3) Logaritmo da potência: log b x n = n. log b x Nota: Logaritmo Neperiano ou Logaritmo Natural (ln) é o logaritmo na base e, onde e é igual 2, (número de Euler). Representação: ln a = x a = e x 30

31 Base Decimal A base decimal utiliza algarismos de 0 a 9 e as unidades, dezenas, centenas, milhares, etc, de um número são representadas por potências de 10 (como são 10 algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são potências de 10). Exemplo: I) 123 Algarismos da direita para a esquerda: 3 = Algarismo de ordem 0. Representa as unidades. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 1. Representa as dezenas. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 2. Representa as centenas. Será multiplicado por Portanto, o número 123, na base decimal, é representado por: 123 = 1 x x x 10 0 Sabemos que qualquer número elevado a zero é igual 1 e qualquer número elevado a 1 é igual ao próprio número. 123 = 1 x x x = = 123 (ok). Base Binária A base binária utiliza algarismos de 0 a 1 e o número é representadas por potências de 2 (como são dois algarismos, são potências de 2). O procedimento é o mesmo da base decimal (vale para todas as bases). Exemplo: I) 101 na base binária representa qual número na base decimal? Algarismos da direita para a esquerda: 1 = Algarismo de ordem 0. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 1. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 2. Será multiplicado por 2 2. Portanto, o número 101 (base binária), na base decimal, é representado por: 101 = 1 x x x = 1 x x x = (base binária) = 5 (base decimal) Qual seria a representação binária do número 49? (base decimal) = (base binária) 31

32 3.7. Exercícios de Fixação 1.(Analista de Planejamento e Orçamento-APO-2008-Esaf) Sabe-se que os números x, y e z são números racionais. Sabe-se, também, que Com essas informações, conclui-se que: a) x. y = 6 b) x + y = 6 c) x. y = 0 d) x/y = 6 e) x. y = 6 x 2 3 z= 3 y 3 2.(Auditor do Tesouro Municipal-Prefeitura de Natal/RN 2008-Esaf) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade: f(x) (x + 1) f( 2 x) = 3 x, para todo x inteiro. Com estas informações, conclui-se que f(0) é igual a: a) 2-1/3 b) 2-1/3 c) 2 1/3 d) 2-2/3 e) 2-2/3 3.(Auxiliar de Administração-TJ-CE-2002-Esaf) Qual a fração que dá origem à dízima 2, em representação decimal? a) / 990 b) / 999 c) / 990 d) / 900 e) / (Analista-Serpro-2001-Esaf) Um certo número X, formado por dois algarismos, é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. O valor absoluto da diferença entre os dois números (isto é, entre X e o número obtido pela inversão de seus algarismos) é o cubo de um número natural. A soma dos algarismos de X é, por conseguinte, igual a: a) 7 b) 10 c) 13 d) 9 e)

33 5.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) Um televisor custa, inicialmente, R$ 1.000,00 e tem seu preço reajustado a cada semestre a uma taxa de 10%, significando, portanto, que o preço do televisor, vigente em cada semestre é acrescido de 10%. Neste processo de reajuste, o número de semestres necessários para que o televisor atinja o valor de R$ ,00, será de a) Log 10 (10) -1 b) Log 10 (1,1) -1 c) Log d) 1 - Log 10 1,1 e) [Log 10 1,1] -1 6.(TTN-1997-Esaf) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da seqüência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito na seqüência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a (1 x 2 3 ) + (0 x 2 2 ) + (1 x 2 1 ) + (1 x 2 0 ). Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a a) 15 b) 13 c) 14 d) 12 e) 16 7.(Analista Judiciário-Administrativa-TRF/15R-2010-FCC) No arquivo morto de um setor de uma Repartição Pública há algumas prateleiras vazias, onde deverão ser acomodados todos os processos de um lote. Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9 processos, que serão acomodados na única prateleira restante. Entretanto, se forem colocados 13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e a outra acomodará apenas 2 processos. Nessas condições, é correto afirmar que o total de processos do lote é um número (A) par. (B) divisível por 5. (C) múltiplo de 3. (D) quadrado perfeito. (E) primo. 33

34 8.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) Suponha que apenas um dentre 12 Técnicos Judiciários se aposenta e é substituído por um concursado que tem 24 anos de idade e, como consequência, a média das idades dos Técnicos diminui de 3,5 anos. Assim sendo, a idade do Técnico que se aposentou é um número (A) menor que 65. (B) quadrado perfeito. (C) primo. (D) divisível por 4. (E) múltiplo de (Engenheiro-Dnocs-2010-FCC) Chama-se fração decimal toda fração da x forma 10 n, em que x Z e n N. Com base nessa definição, se x 0,00342 n = 10 0,36 (A) x < 100 e n > 5 (B) 50 < x < 80 e n < 5 (C) x + n = 100 (D) x é ímpar e n é par (E) x e n são ímpares, é correto concluir que: 10.(Analista Judiciário-Informática-TRF/4R-2010-FCC) Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser representado como: N = a n.10 n + a n-1.10 n-1 + a n-2.10 n a a a , em que 0 a i < 10, para todo 0 i n. Nesse sistema, por exemplo, = Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja unidade monetária era o delta. Após ter gasto deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era (A) 155. (B) 152. (C) 145. (D) 143. (E)

35 11.(Analista Judiciário-Informática-TRF/4R-2010-FCC) Um número escrito na notação científica é expresso pelo produto de um número racional x por 10 n, sendo 1 x < 10 e n um número inteiro. Dessa forma, a expressão do número (A) 2, (B) 2, (C) 2, (D) 2, (E) 2, , N = 0, na notação científica é 12.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP FCC) Considere o conjunto numérico constituído por números da forma p q, com p pertencente ao conjunto dos inteiros positivos, e q pertencente ao conjunto dos números inteiros. Um número real que pertence a esse conjunto é (A) -1 (B) 1 2 (C) 0 (D) 1 (E) 2 13.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP FCC) O valor da expressão log 8 log 25 log é um número x tal que 2 1 (A) < x< (B) < x< (C) < x< (D) 1< x< (E) < x<

36 14.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP FCC) Se a média de gols por partida em um torneio escolar de futebol é 1,625, o menor número possível de partidas é igual a (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) (Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Administração- Maranhão-2009-FCC)Sendo x e y números reais positivos, vamos definir a operação x (A) 3 (B) (C) (D) (E) y como sendo x 3 y. Nas condições estabelecidas, 8 2 é igual a 16.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP FCC)Como recurso didático para a discussão sobre a base de um sistema posicional de numeração, um professor elaborou a seguinte estrutura de um sistema ternário: zero, um, dois. Alguns exemplos de números escritos nesse sistema em correspondência com o sistema de numeração que usamos habitualmente são: No sistema elaborado pelo professor, o número 78 deve ser representado por 36

37 17.(Auxiliar Administrativo-Judiciária-TRF/2R-2007-FCC)Simplificando a expressão (A) 1 e 5 (B) 5 e 10 (C) 10 e 15 (D) 15 e 20 (E) 20 e (2,3) obtém-se um número compreendido entre 18.(Professor Adjunto-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2004-FCC) Um problema clássico consiste em calcular valores de x de modo que 10 x tenha resultados iguais a 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc, com boa aproximação. O valor de x em 10 x = 1 é x = 0, pois 10 0 = 1. Para calcular o valor de x em 10 x = 2, adotaremos a seguinte estratégia: vamos escrever potências de 10 e potências de 2 e procurar, dentre elas, os valores mais próximos = = = = = = = = = = para 1024, teremos: Extraindo a raiz décima de ambos os membros, ficaremos com o seguinte: , x 0,3 Com base nesse procedimento e considerando a aproximação entre = e 3 9 = , o valor de x para 10 x =3 é (A) 0,330 (B) 0,410 (C) 0,478 (D) 0,555 (E) 0,

38 3.8. Gabarito 1. E 2. A 3. A 4. D 5. E 6. E 7. E 8. E 9. D 10. E 11. D 12. D 13. A 14. D 15. E 16. B 17. A 18. C 38

39 3.9. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos 1.(Analista de Planejamento e Orçamento-APO-2008-Esaf) Sabe-se que os números x, y e z são números racionais. Sabe-se, também, que Com essas informações, conclui-se que: a) x. y = 6 b) x + y = 6 c) x. y = 0 d) x/y = 6 e) x. y = 6 Resolução x 2 3 z= 3 y 3 Lembra desta questão? Pois é, nesta aula, como já aprendemos os radicais, resolverei de outra maneira. Repare que, para tornar z um número racional, devemos, inicialmente, racionalizar o denominador e, depois eliminar os termos não racionais do numerador. Opa, professor. Como faremos isso? Calma, vou ensinar aqui e veremos em aulas posteriores novamente. a+ b x Se possuo uma fração do tipo z=, para racionalizar o denominador + y devo multiplicá-lo por c d y c d. Para não alterar a proporcionalidade da fração, devemos multiplicar também o numerador. Vejamos: a+ b x c d y z= c+ d y c d y Quando multiplico ( c+ d y ) ( c d y ) veja o resultado que dá: ( c+ d y ) ( c d y) = c. c c. d. y+ c. d. y d. d. y. y = = c d.( y) = c d. y = c d. y Ou seja, sumiu o radical e racionalizei o denominador. Pura mágica! Risos. Agora, se o denominador fosse c d y, bastava multiplicar o numerador e o denominador por c+ d y, ou seja, basta multiplicar por uma expressão com os mesmos termos invertendo o sinal entre os termos. 39

40 Disso tudo, tiramos uma expressão importante para memorizar para a prova (veremos novamente em outras aulas): (a + b).(a b) = a 2 b 2 Voltando a vaca fria, ou melhor, a nossa questão, teríamos: x 2 3 z= 3 y 3 Para racionalizar o denominador, devemos multiplicá-lo por 3+ y 3. Para não alterar a expressão, devemos multiplicar o numerador pelo mesmo valor. Portanto, teríamos: ( y ) ( ) ( x 2 3 ).( 3+ y 3) ( ) ( ) x y 3 z= = 3 y 3 3+ y 3 3 y y 3 z= x.3+ xy y 3 2 ( ) 3x+ xy y 3 z= y. 3 3x+ xy y.3 3x+ xy y z= = y y 2 Repare que o denominador já é um número racional (9 3y 2 ), pois y é racional. Para que o numerador seja um número racional, devo eliminar os termos com 3, ou seja: xy deve ser igual a zero. xy = 0 xy 3 = 6 3 x.y = 6 Deste modo, teríamos que 3x 6y z= (racional) y E aí? Preferiu esta resolução à resolução da aula 0? Bom, você pode resolver das duas maneiras. GABARITO: E 40

41 2.(Auditor do Tesouro Municipal-Prefeitura de Natal/RN 2008-Esaf) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade: f(x) (x + 1) f( 2 x) = 3 x, para todo x inteiro. Com estas informações, conclui-se que f(0) é igual a: a) 2-1/3 b) 2-1/3 c) 2 1/3 d) 2-2/3 e) 2-2/3 Resolução Para resolver a questão, temos que relembrar duas propriedades de potências: I) x n : x m = x n m divisão de potências de mesma base conserva a base e subtrai os expoentes. Ex: 2 4 : 2 2 = 2 2 II) (x n ) m = x n. m potência de potência multiplica os expoentes. Ex: (2 4 ) 2 = 2 8 Sabemos, de nossa aula que: 2 = 2 1/2 3 x = x 1/3 Portanto, podemos substituir a expressão f(x) (x + 1) f( 2 x) = 3 x por: f(x) (x + 1) f(2 1/2 x) = x 1/3 O enunciado da questão pede que calculemos f(0), ou seja, o valor da expressão para x = 0. Substituindo x na expressão, teríamos: x = 0 f(0) (0 + 1) f(2 1/2 0) = 0 1/3 f(0) 1 x f(2 1/2 ) = 0 f(0) = f(2 1/2 ) (I) Beleza. Sabemos que f(0) = f(2 1/2 ). Contudo, não temos o valor de f(2 1/2 ). Tudo bem, não temos ainda, mas podemos substituir x = 2 1/2 na mesma expressão, que vale para qualquer x, e calcular f(2 1/2 ). Vamos lá: x = 2 1/2 f(2 1/2 ) (2 1/2 + 1). f(2 1/2 2 1/2 ) = (2 1/2 ) 1/3 f(2 1/2 ) (2 1/2 + 1) f(0) = 2 (1/2).(1/3) f(2 1/2 ) (2 1/2 + 1) f(0) = 2 1/6 (II) Como calculamos, em (I), que f(0) = f(2 1/2 ), substituindo (I) em (II): f(2 1/2 ) (2 1/2 + 1) f(0) = 2 1/6 f(0) (2 1/2 + 1). f(0) = 2 1/6 f(0) 2 1/2. f(0) f(0) = 2 1/6 f(0) f(0) 2 1/2. f(0) = 2 1/6 2 1/2. f(0) = 2 1/6 41

42 f(0) = f(0) = 2 1/6 1/2 Repare que, no expoente de 2, temos que fazer o seguinte cálculo: = = = = O m.m.c dos denominadores 2 e 6 é igual a 6. f(0) = 2 (1-3)/6 f(0) = 2-2/6 = 2-1/3 GABARITO: A 3.(Auxiliar de Administração-TJ-CE-2002-Esaf) Qual a fração que dá origem à dízima 2, em representação decimal? a) / 990 b) / 999 c) / 990 d) / 900 e) / 999 Resolução Para calcular a fração, precisamos, justamente, eliminar as casas decimais. Vejamos: X = 2, (I) Se multiplicarmos (I) por 10 dos dois lados, a igualdade não se altera: 10.X = 10. 2, = 25, (II) Se multiplicarmos (I) por dos dois lados, a igualdade não se altera: X = , = 2.546, (III) Subtraindo (II) de (III), temos: (III) (II) X 10.X = 2.546, , X = X = Nota: Repare que você deve multiplicar o número por potências de 10 de modo que a parte do número após a vírgula seja igual nas duas multiplicações, pois, assim, ao realizar a subtração, é possível eliminar a parte do número após a vírgula. Por isso, multipliquei por 10 e e fiz a subtração de um resultado pelo outro. GABARITO: A 42

43 4.(Analista-Serpro-2001-Esaf) Um certo número X, formado por dois algarismos, é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. O valor absoluto da diferença entre os dois números (isto é, entre X e o número obtido pela inversão de seus algarismos) é o cubo de um número natural. A soma dos algarismos de X é, por conseguinte, igual a: a) 7 b) 10 c) 13 d) 9 e) 11 Resolução Vamos decifrar o enunciado: Informação 1: Um certo número X, formado por dois algarismos, é o quadrado de um número natural. I) X formado por dois algarismos (a 1 e a 2 ) X = a 1 a 2 = B 2 (igual ao quadrado de um número natural). Logo, como X só possui dois algarismos, pode ser: X = 16 = 4 2 X = 25 = 5 2 X = 36 = 6 2 X = 49 = 7 2 X = 64 = 8 2 X = 81 = 9 2 A partir de 10 2 já seriam 3 algarismos (10 2 = 100). Informação 2: Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtémse um número ímpar II) X = a 2 a 1 ímpar Logo, se trocamos os algarismos de X, o número formado X deve ser ímpar: X = 16 X = 61 ímpar (ok) X = 25 X = 52 par (eliminado) X = 36 X = 63 ímpar (ok) X = 49 X = 94 par (eliminado) X = 64 X = 46 par (eliminado) X = 81 X = 18 par (eliminado) Com isso, ficamos apenas com: X = 16 X = 61 ímpar (ok) X = 36 X = 63 ímpar (ok) 43

44 Informação 3: O valor absoluto da diferença entre os dois números (isto é, entre X e o número obtido pela inversão de seus algarismos) é o cubo de um número natural. III) Valor absoluto de X X = C 3 X = 16 X = 61 X X = = -45 = = 9. 5 = (não corresponde a um número elevado cubo) eliminado X = 36 X = 63 X X = = -27 = 27 = 3 3 (corresponde a 3 elevado ao cubo) ok Soma dos algarismos de X = = 9 GABARITO: D 5.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) Um televisor custa, inicialmente, R$ 1.000,00 e tem seu preço reajustado a cada semestre a uma taxa de 10%, significando, portanto, que o preço do televisor, vigente em cada semestre é acrescido de 10%. Neste processo de reajuste, o número de semestres necessários para que o televisor atinja o valor de R$ ,00, será de a) Log 10 (10) -1 b) Log 10 (1,1) -1 c) Log d) 1 - Log 10 1,1 e) [Log 10 1,1] -1 Resolução Para resolver a questão precisamos entender como funcionam os percentuais (%). Vou mostrar aqui, mas veremos em aula posterior: Percentual: p% = 100 Exemplo: 20% = = 0,20 p Em relação à questão, temos: Televisor Preço Inicial = R$ 1.000,00 Reajuste a cada semestre 10% = = 0,

45 Preço após o primeiro semestre = % x Preço após o primeiro semestre = ,10 x Preço após o primeiro semestre = (1 + 0,10) x Preço após o primeiro semestre = 1,10 x Preço após o segundo semestre = (1.000 x 1,10) + 10% x (1.000 x 1,10) Preço após o segundo semestre = (1.000 x 1,10) + 0,10 x (1.000 x 1,10) Colocando (1.000 x 1,10) em evidência, pois aparece nos dois termos: Preço após o segundo semestre = (1.000 x 1,10) x (1 + 0,10) Preço após o segundo semestre = x 1,10 x 1,10 Preço após o segundo semestre = x 1,10 2 = 1,10 2 x (...) Preço após o enésimo semestre (após n semestres) = 1,1 n x Semestres necessários para que o preço chegue a R$ ,00 Preço após o enésimo semestre = 1,1 n x = ,1 n = = 10 Para achar o n, vamos transformar a expressão em logarítmica (log 10 ). De que forma? Inclua o log 10 dos dois lados da equação: log 10 (1,1) n = log = 1 (*) log = x 10 x = 10 x = 1 Propriedade do logaritmo (relembrando): Logaritmo da potência: log b x n = n. log b x log 10 (1,1) n = log = 1 n. log 10 1,1 = 1 n = 1/ (log 10 1,1) n = (log 10 1,1) -1 GABARITO: E 45

46 6.(TTN-1997-Esaf) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da seqüência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito na seqüência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a (1 x 2 3 ) + (0 x 2 2 ) + (1 x 2 1 ) + (1 x 2 0 ). Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a a) 15 b) 13 c) 14 d) 12 e) 16 Resolução Vamos relembrar os conceitos: Repare que, para determinar um número, em uma base específica, eu devo multiplicar os seus algarismos pela base elevada à posição dos algarismos. Vejamos: Número: ABCD na base decimal. A algarismo da posição 3 (milhares) B algarismo da posição 2 (centenas) C algarismo da posição 1 (dezenas) D algarismo da posição 0 (unidades) Pode ser representado por: Número = A x B x C x D x 10 0 Exemplos: I) Número (base decimal) = Número = 3 x x x x 10 0 Número = 3 x x x x 1 Número = = II) Número (base decimal) = 641 Número = 6 x x x 10 0 Número = 6 x x x 1 Número = = 641 III) Número (base decimal) = Número = 4 x x x x x 10 0 Número = 4 x x x x x 1 Número = =

47 A base decimal é chamada assim, pois possui 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. A base binária só possui dois algarismos: 0 e 1 Na questão, devemos passar um número de binário (base 2) para decimal (base 10). Portanto, basta pegar o número binário e multiplicar pela base elevada à posição dos algarismos: Número Binário = posição posição posição posição Número Decimal = 1 x x x x 2 0 = = 11 Número Binário = posição posição posição Número Decimal = 1 x x x 2 0 = = 5 Soma dos números decimais = = 16 GABARITO: E 7.(Analista Judiciário-Administrativa-TRF/15R-2010-FCC) No arquivo morto de um setor de uma Repartição Pública há algumas prateleiras vazias, onde deverão ser acomodados todos os processos de um lote. Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9 processos, que serão acomodados na única prateleira restante. Entretanto, se forem colocados 13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e a outra acomodará apenas 2 processos. Nessas condições, é correto afirmar que o total de processos do lote é um número (A) par. (B) divisível por 5. (C) múltiplo de 3. (D) quadrado perfeito. (E) primo. Resolução Vamos decifrar a questão: Informação 1: Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9 processos, que serão acomodados na única prateleira restante. 47

48 Se considerarmos que o número de prateleiras é igual a p e o número de processos é igual a n, teríamos: 8 processos x (p 1) prateleira + 9 processos x 1 prateleira = n (em português 8 processos por prateleira até a penúltima e mais 9 processos na última) 8 x (p 1) + 9 = n 8p = n 8p + 1 = n (I) Informação 2: Entretanto, se forem colocados 13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e a outra acomodará apenas 2 processos. 13 processos x (p 2) prateleira + 2 processos x 1 prateleira = n (em português 13 processos por prateleira até a antepenúltima e mais 2 processos na penúltima e uma prateleira ficará vazia) 13 x (p 2) + 2 = n 13p = n 13p 24 = n (II) 8p + 1 = n (I) 13p 24 = n (II) Igualando as expressões, tendo em vista que ambas são iguais a n: (II) = (I) 8p + 1 = 13p 24 13p 8p = p = 25 p = 25/5 = 5 prateleiras Substituindo p em (I) (poderia ser em (II) também): n = 8p + 1 = 8 x = = 41 processos Vamos analisar as alternativas: (A) par. Incorreta, pois 41 é ímpar. (B) divisível por 5. Incorreta, pois 41 não é divisível por 5. (C) múltiplo de 3. Incorreta, pois 41 não é múltiplo de 3. (D) quadrado perfeito. Incorreta, pois 41 não é quadrado perfeito. (E) primo. Correta, pois 41 só é divisível por 1 e por ele mesmo sendo, por conseguinte, um número primo. GABARITO: E 48

49 8.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) Suponha que apenas um dentre 12 Técnicos Judiciários se aposenta e é substituído por um concursado que tem 24 anos de idade e, como consequência, a média das idades dos Técnicos diminui de 3,5 anos. Assim sendo, a idade do Técnico que se aposentou é um número (A) menor que 65. (B) quadrado perfeito. (C) primo. (D) divisível por 4. (E) múltiplo de 11. Resolução Vamos decifrar a questão: Informações: Apenas um dentre 12 Técnicos Judiciários se aposenta e é substituído por um concursado que tem 24 anos de idade e, como consequência, a média das idades dos Técnicos diminui de 3,5 anos. Suponha que as idades dos técnicos judiciários sejam: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K e L e suponha que a idade do técnico que se aposentou seja L. A média das idades inicial era: Média Inicial = A+ B+ C+ D+ E+ F+ G+ H + I+ J+ K+ L 12 Se o técnico com idade L se aposentar e entrar um técnico com 24 anos de idade em seu lugar, a nova média será: Média Final = A+ B+ C+ D+ E+ F+ G+ H + I+ J + K+ 12 De acordo com o enunciado, com a entrada do novo técnico no lugar do técnico aposentado, houve uma diminuição na média de 3,5 anos. Portanto, teríamos: Média Inicial Média Final = 3,5 anos A+ B+ C+ D+ E+ F+ G+ H + I+ J+ K+ L - 12 A+ B+ C+ D+ E+ F+ G+ H + I+ J + K = 3,5 12 A A+ B B+ C C+ D D+ E E+ F F+ G G+ H H+ I I+ J J+ K K+ L 24 =3,5 12 L 24 = 3,5 12 Multiplicando em cruz: L 24 = 12 x 3,5 L 24 = 42 L = L = 66 anos

50 Analisando as alternativas: (A) menor que 65. Incorreta, pois 66 é maior que 65. (B) quadrado perfeito. Incorreta, pois 66 não é um quadrado perfeito. (C) primo. Incorreta, pois 66, por exemplo, é divisível por 2 e, portanto, não é primo. (D) divisível por 4. Incorreta, pois 66 não é divisível por 4. (E) múltiplo de 11. Correta, pois 66 é múltiplo de 11 (11 x 6 = 66). GABARITO: E 9.(Engenheiro-Dnocs-2010-FCC) Chama-se fração decimal toda fração da x forma 10 n, em que x Z e n N. Com base nessa definição, se x 0,00342 n = 10 0,36 (A) x < 100 e n > 5 (B) 50 < x < 80 e n < 5 (C) x + n = 100 (D) x é ímpar e n é par (E) x e n são ímpares Resolução Para calcular, é correto concluir que: x 0,00342 n = 10 0,36 denominador da fração à direita para frações. 0,00342 = da fração decimal terá 5 zeros). 0,36 = , vamos, inicialmente, passar o numerador e o (como são 5 casas decimais após a vírgula, o denominador (como são 2 casas decimais após a vírgula, o denominador da fração decimal terá 2 zeros). Portanto, teríamos a seguinte expressão: 342 x = n x = n

51 x = n x 342 = n (repare que dividi o numerador e o denominador da fração à direita por 100) Se dividirmos 342 por 36: , Logo, a expressão final seria: x 9,5 = n Como x deve ser inteiro (de acordo com o enunciado e com a definição de fração decimal), vamos multiplicar a fração à direita por 10 (numerador e denominador) x 9,5 10 = n x 95 = n x 95 = n Ou seja: x = 95 e n = 4. Analisando as alternativas: (A) x < 100 e n > 5. Incorreta, pois n < 5. (B) 50 < x < 80 e n < 5. Incorreta, pois x > 80. (C) x + n = 100. Incorreta, pois x + n = = 99. (D) x é ímpar e n é par. Correta, pois x é ímpar (95) e n é par (4). (E) x e n são ímpares. Incorreta, pois n é par. GABARITO: D 51

52 10.(Analista Judiciário-Informática-TRF/4R-2010-FCC) Sabe-se que, no Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode ser representado como: N = a n.10 n + a n-1.10 n-1 + a n-2.10 n a a a , em que 0 a i < 10, para todo 0 i n. Nesse sistema, por exemplo, = Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja unidade monetária era o delta. Após ter gasto deltas em compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era (A) 155. (B) 152. (C) 145. (D) 143. (E) 134. Resolução Nesta questão, temos um sistema com base 6. Se é na base 6, os algarismos utilizados será 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e as potências terão como base o 6. I) na base seis representa qual número na base decimal? Algarismos da direita para a esquerda: 4 = Algarismo de ordem 0. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 1. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 2. Será multiplicado por = Algarismo de ordem 3. Será multiplicado por 6 3. Portanto, o número (base seis), na base decimal, é representado por: = 2 x x x x = 2 x x x x = (base seis) = 442 (base decimal) Como Benivaldo possuía 5 notas de 100 reais (500 reais), o troco, em reais, será: Troca = = 58 reais. Contudo a questão pede o troco em deltas, que é base 6. Para sair de uma base decimal (troco em reais) para a base 6, troco em deltas, temos que utilizar o seguinte procedimento: 52

53 Troco (na base 6) = 134 deltas GABARITO: E 11.(Analista Judiciário-Informática-TRF/4R-2010-FCC) Um número escrito na notação científica é expresso pelo produto de um número racional x por 10 n, sendo 1 x < 10 e n um número inteiro. Dessa forma, a expressão do número (A) 2, (B) 2, (C) 2, (D) 2, (E) 2, Resolução 0, N = 0, na notação científica é Vamos, inicialmente, achar as notações científicas de cada número: I) 0, Notação Científica = 2,45 x 10-7 Repare que andei a vírgula sete vezes para a direita: O número era 0, e ficou 2,45. Portanto, se andei a vírgula sete vezes para a direita, n = -7 (negativo). II) Notação Científica = 1,872 x 10 9 Repare que andei a vírgula nove vezes para a esquerda: O número era e ficou 1, Portanto, se andei a vírgula nove vezes para a esquerda, n = 9 (positivo). III) 0, Notação Científica = 3,25 x 10-8 Repare que andei a vírgula oito vezes para a direita: O número era 0, e ficou 3,25. Portanto, se andei a vírgula oito vezes para a direita, n = -8 (negativo). IV) Notação Científica = 4,9 x 10 4 Repare que andei a vírgula quatro vezes para a esquerda: O número era e ficou 4,9000. Portanto, se andei a vírgula quatro vezes para a esquerda, n = 4 (positivo). 53

54 A expressão ficaria da seguinte maneira: N 2, , = 8 4 3,5 10 4, Relembrando que, na multiplicação de potências de mesma base, os expoentes são somados e, na divisão de potências de mesma base, os expoentes são subtraídos, teremos: N , , , , , ,9 4 3, ,9 = = N = = 3, 25 4,9 3, 25 4,9 2 ( 4) 2, ,872 2,45 1, E aí? Precisamos fazer as contas precisas? É claro que não. Veja: 2,45 é exatamente a metade de 4,9. Portanto podemos dividir o numerador e o denominador por 2,45, sem alterar a proporção. 2, 45 1,872 2, 45 1,872 N = 10 = 10 3, 25 4,9 2, 45 3, Como o numerador (1,872) ficou menor que o denominador (3,25 x 2), vamos ceder um 10 da potência ao numerador, pois a notação científica ficaria erradamente representada por um número 0,...x ,872 1, ,872 5 N = 10 = 10 = 10 3,25 2 3,25 2 3, (repare que dividi o 10 do numerador pelo 2 do denominador). Se considerarmos que 1,872 é aproximadamente igual a 2 e que 3,25 é aproximadamente 3,3, teríamos a seguinte expressão: N = 10 = 10 3,3 3,3 5 5 Repare que 3,3 x 3 = 9,9. Portanto, podemos dizer que 10 divididos por 3,3 é, aproximadamente, 3. Finalmente, teríamos: ,3 5 5 N = =. A resposta que mais se aproxima é a letra d. (D) 2, Se você quiser fazer a conta exata: 1, ,36 N = 10 = 10 = 2, ,25 3,25 GABARITO: D

55 12.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP FCC) Considere o conjunto numérico constituído por números da forma p q, com p pertencente ao conjunto dos inteiros positivos, e q pertencente ao conjunto dos números inteiros. Um número real que pertence a esse conjunto é (A) -1 (B) 1 2 (C) 0 (D) 1 (E) 2 Resolução É um número da forma: p q. De acordo com o enunciado, p pertence ao conjunto dos inteiros positivos. Se p é um número positivo, um número positivo elevado a qualquer número será sempre um número positivo. Com isso, eliminamos as alternativas a (-1 é um número negativo), b ( é um número negativo) e c (0 não é um número positivo e nem negativo). Vamos analisar as alternativas d e e. (D) 1. Teríamos que achar um número p q = 1. Repare que, se p for igual a 1 (inteiro positivo previsto no enunciado) e q for igual igual a 1 (número inteiro de acordo com o enunciado), então: P q = 1 1 = 1. Esta alternativa está CORRETA. 1 2 (E) 2. Teríamos que achar um número p q = 2 = Nesta situação, p é um inteiro positivo (igual a 2), mas q não é inteiro, pois é igual a 1 2, o que é contrário à informação do enunciado. Portanto, a alternativa e está incorreta. GABARITO: D 55

56 13.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP FCC) O valor da expressão log 8 log 25 log é um número x tal que 2 1 (A) < x< (B) < x< (C) < x< (D) 1< x< (E) < x< 3 3 Resolução Na se assuste! Repare que a conta possui três logaritmos (log do log do log), mas basta fazer um de cada vez. Vamos lá! Primeiramente, vamos fatorar 243: Portanto, 243 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3 5 I) Cálculo do primeiro log: log = log = z 3 z = 3 5 z = 5 (resultado do primeiro log) II) Cálculo do segundo log: log 25 log = log 25 5 = y 25 y = 5 (5 2 ) y = y = 5 1 2y = 1 y = 1 2 (resultado do segundo log) III) Cálculo do terceiro log: Relembrando: X -n = log 8 log 25 5 = log n X 1 2 = x 8x = 2 (23 ) x = x = x = -1 x = (resultado final) Portanto, < x<. GABARITO: A

57 14.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP FCC) Se a média de gols por partida em um torneio escolar de futebol é 1,625, o menor número possível de partidas é igual a (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 10 Resolução O número de partidas de um torneio de escolar deve ser um número inteiro positivo, assim como o número total de gols. Como para achar a média, temos que dividir o número total de gols (G) pelo número de partidas (N), temos que: G 1,625 N = G = 1,625 x N (deve ser inteiro) Vamos testar as hipóteses: (A) 4 G = 1,625 x N = 1,625 x 4 = 6,5. Ou seja, por esta alternativa, percebe-se que se multiplicarmos o resultado mais uma vez por 2, encontraremos um número inteiro (6,5 x 2 = 13). Portanto, um número de partidas possível será 8 (4 x 2), o que nos remete à alteranativa d. (D) 8 G = 1,625 x N = 1,625 x 8 = 13 GABARITO: D 15.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Administração- Maranhão-2009-FCC)Sendo x e y números reais positivos, vamos definir a operação x (A) 3 (B) (C) (D) (E) y como sendo x y. Nas condições estabelecidas, é igual a 57

58 Resolução De acordo com a questão: x y = x y Portanto, teremos: = = 8 = = = Professor, não há alternativa correta!!! Calma, pois há alternativa correta, mas, mais uma vez, houve uma racionalização do denominador. Perceba que, para eliminarmos a raiz quadrada de 3 do denominador, basta multiplicar o denominador por raiz quadrada de 3. Para não alterar a fração, temos que multiplicar o numerador também por raiz quadrada de = = = = 2 GABARITO: E 16.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP FCC)Como recurso didático para a discussão sobre a base de um sistema posicional de numeração, um professor elaborou a seguinte estrutura de um sistema ternário: zero, um, dois. Alguns exemplos de números escritos nesse sistema em correspondência com o sistema de numeração que usamos habitualmente são: No sistema elaborado pelo professor, o número 78 deve ser representado por 58