Lógica Formal e Booleana

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1 1 Instituto Federal de Santa Catarina Campus Chapecó Ensino Médio Integrado em Informática Unidade Curricular: Lógic is just the beginning of wisdom, not the end. Dr. Spock Professora: Lara P. Z. B. Oberderfer 2011.

2 2 Sumário 1 Lógica Formal Construção da tabela-verdade para as 1.1 Para que serve a Lógica?...3 Fórmulas Proposicionais Conceitos de Lógica Tautologia Argumento Contradição Contradição Contingência Falácia Implicação ou Equivalência Lógica Breve histórico da Lógica Argumentos Lógicos Forma clássica antiga ou lógica grega Validade de Argumentos...37 antiga Validade de um argumento através 2.2 Forma escolástica ou medieval...6 da Tabela-verdade Forma matemática Avaliação de um Argumento: 3 Linguagens Formais: Cálculo Proposicional...7 Dedução e Indução Charada: uma introdução ao uso de Validade dos argumentos mediante símbolos...7 Regras de Inferência Argumentos ou Proposições Elementos Básicos de Organização Princípios Fundamentais da Lógica Transistores Aplicação: Discussão da Família 4.2 Interruptores...45 Logus Portas Lógicas Operações lógicas sobre as proposições 4.4 Álgebra booleana e Circuitos Lógicos Teoremas e Postulados Booleanos Conjunção Gerando Tabelas Verdade através Disjunção...16 de Expressões Booleanas Disjunção Exclusiva Gerando Expressões Booleanas Negação...18 através de Tabelas Verdade Proposição condicional Gerando Expressões Booleanas Proposição bicondicional...19 através de Circuito Lógico Tabelas-verdade Bibliografia Fórmulas Proposicionais...22

3 3 1 Lógica Formal Ela, a lógica, lhe dará clareza de pensamento, a habilidade de ver seu caminho através de um quebra-cabeça, o hábito de arranjar suas ideias numa forma acessível e ordenada, e, mais valioso que tudo, o poder de detectar as falácias 1 e despertar os argumentos ilógicos e inconsistentes que você encontrará tão facilmente nos livros, jornais, na linguagem quotidiana e mesmo nos sermões e que tão facilmente enganam aqueles que nunca tiveram o trabalho de instruir-se nesta fascinante arte. Lewis Carroll 1 Falácias: são formas de argumentos/proposições que parecem válidas, mas se examinadas mas detidamente não são. 1.1 Para que serve a Lógica? Todo conhecimento logicamente perfeito tem sempre alguma utilidade possível. Mesmo que ela nos escape no momento, pode ser que a posteridade a descubra. (Kant, A Lógica) O objeto de estudo da lógica é o argumento, também chamado de proposição e também entender se o argumento é válido ou não. A lógica serve, em última instância, para nos dizer quando e estamos ou não diante de argumentos e quando estes são válidos. O homem, no entanto, é um animal essencialmente prático e tem sempre a necessidade de perguntar sobre a utilidade daquilo que estuda. Muitas vezes, entretanto, por nos impacientarmos ao não conseguimos determinar a utilidade imediata de algumas coisas, desistimos delas e perdemos grandes oportunidades em nossas vidas. Muitas pessoas abandonam os estudos, achando que eles não lhe são úteis. O tempo passa, e esse indivíduo um dia se depara com uma situação em que percebe a falta que o conhecimento lhe faz. Ele pode voltar a estudar, é claro, mas recuperar o tempo perdido é impossível.

4 4 A lógica é uma ciência que pode ser aplicada em várias outras ciências e em vários ramos do conhecimento humano. Ela é de fundamental importância nas ciências da computação. Quando o profissional de informação elabora um programa, ele geralmente faz o fluxograma, ou seja, o desenho deste programa, que nada mais é do que a determinação dos passos lógicos necessários para a sua elaboração, a partir destes passos iniciais, os programas são desenvolvidos. Mundo Real Linguagem Metalinguagem Descreve o mundo real Fala da linguagem que uso para descrever o mundo real É a ciência dos princípios da validade formal da inferência (raciocínio realizado através de uma linguagem). Estudo dos métodos e princípios empregados para distinguir corretas (boas) e incorretas (más) argumentações. 1.2 Conceitos de Lógica Argumento Um argumento é constituído de Afirmações chamadas "Premissas". Todo argumento deve ter uma conclusão, que deve ser sustentada pelas premissas. As premissas podem ser falsas ou verdadeiras. Exemplo: Premissa 1: "Todo ser vivo é mortal" <Verdadeira> Premissa 2: "Pedro é um ser vivo" <Verdadeira> Conclusão: "Pedro é mortal". <Verdadeira> Contradição Um dos princípios básicos da lógica é a "Lei da não contradição". Ou seja, uma coisa não pode "ser" e "não ser" ao mesmo tempo. Por exemplo, não podemos afirmar que "Deus é justo" e ao mesmo tempo "Deus é injusto". Contradição é quando se tem duas premissas que anulam a si mesmas, fazendo com que qualquer conclusão a que se chegue, baseada nestas premissas, seja totalmente falsa.

5 5 Exemplo: Premissa 1: João não tem carro. Premissa 2: O carro de João é azul. Conclusão: Ora, como é que o carro de João é azul se ele não tem carro? Falácia Falácia é um raciocínio errado com aparência de verdadeiro. O termo deriva do verbo latino "fallere" que significa enganar. Paralogismos: Falácias cometidas involuntariamente Sofismas: São produzidas de forma a confundir alguém numa discussão. Na falácia, embora as premissas possam ser verdadeiras, não existe uma inferência lógica entre elas para sustentar a conclusão apresentada. Exemplo: Premissa 1: Todos os americanos falam Inglês <Verdadeira> Premissa 2: José fala inglês <Verdadeira> Conclusão: José é americano <Falsa> Ou seja, o fato de José falar Inglês não permite concluir que "José é Americano" porque "Nem todos que falam Inglês são americanos". 2 Breve histórico da Lógica Para entender melhor a linha de pensamento que estudaremos, veremos um breve histórico onde, pode-se dividir a lógica em três períodos ou fases principais, que caracterizam suas formas. 2.1 Forma clássica antiga ou lógica grega antiga Período compreendido entre os séculos IV ac até o século I dc. Destaca-se neste período o que se pode chamar de três grandes escolas: a dialética sofística, a lógica aristotélica e a lógica megárico-estóica. A lógica sofística destrutiva é transformada em dialética construtiva por Platão, que tem o mérito te abrir o caminho para a sistematização aristotélica, que se opõe à escola megárico-estóica (esboço de uma lógica sentencial) e a relega a segundo plano até data bem recente. Figura 1: Aristóteles, Museu do Louvre

6 Figura 3: George Boole, matemático e filósofo britânico, criador da Álgebra Booleana 6 Nesta forma, as proposições lógicas constam de palavras da linguagem corrente e sua base é o pensamento como se encontra expresso na linguagem natural, que fornece as leis e as regras formais. Os principais nome ligados à lógica megárico-estóica são: Crisipo, Diodor Cronos; à aristotélica, Aristóteles e Teofrasto; e à dialética sofística, Zenão de Eléia, Sócrates e Protágoras. 2.2 Forma escolástica ou medieval Período criativo compreendido entre os séculos XI e XV dc. Após a escola megárico-estóica, até o século XI praticamente, nada se fez em termo de novidade na lógica, pois simplesmente se repediam os ensinamentos de Aristóteles, com melhoria de algumas técnicas para o ensino. Foram os próprios medievais que estabeleceram uma periodização para a forma escolástica, que tem seu início com a Ars vetus, representada por Abelardo ( ). A preocupação central é o trabalho com as Figura 2: Guilherme de Occam Categorias e a Interpretação de Aristóteles. Ao mesmo tempo trabalha-se, como problema novo, com as propriedades dos termos. Em um segundo momento, a forma escolástica é caracteriza pela Ars Nova que tem como principais representantes Alberto Magno ( ) e Tomás de Aquino ( ). Trabalha-se, neste sentido, com a totalidade do Organon de Aristóteles. A lógica tem uma tarefa mais elevada a realizar, ou seja, fortalecer o ensino da ortodoxia católica. O terceiro momento se dá com a lógica modernorum, representada por Guilherme de Occam ( ) e que se caracteriza pela elaboração de uma lógica formal e semiótica. 2.3 Forma matemática Período que se inicia no século XVII. A época do Renascimento é marcada pelo interesse em descobrir novos métodos que auxiliem a pesquisa científica e considera que a lógica é estéril e acabada por Aristóteles desde sempre. A matemática assume o posto de orientadora da pesquisa, dando fundamento para os novos métodos. A exceção é representada por Port Royal, que concebe a lógica como

7 7 arte de pensar melhor e não como teoria, é uma disciplina prática. É neste cenário que surge Leibniz ( ), como pioneiro da que se pode chamar de lógica matemática contemporânea. Movido pelo ideal de uma língua característica universal e considerando que a silogística é capaz de assegurar a infalibilidade do raciocínio, reduzindo-o à forma, bem como o cálculo algébrico, que é outra forma de raciocínio, Leibniz se propõe elaborar um sistema que domine essas formas e seja aplicável a todos os domínios do pensamento. Este ideal de Leibniz determina o marco divisor do que se classifica como lógica clássica aristotélica e lógica simbólica moderna. A primeira forma matemática da lógica é desenvolvida por Boole ( ), que compara as leis do pensamento (lógica) às leis da álgebra. O passo seguinte no desenvolvimento da forma matemática é dado por Frege ( ), que pretende mostrar que a aritmética poderia ser construída exclusivamente das leis da lógica. Os estudos de Frege influenciaram os trabalhos de Bertrand Russel ( ) e Whitehead ( ), que, em Principia Mathematica, sistematizam a lógica simbólica, servindo-se, para tanto, da simbologia de Peano ( ), que conclui uma evolução anterior e é, ao mesmo tempo, ponto de partida para a constituição do que se chama metalógica. 3 Linguagens Formais: Cálculo Proposicional 3.1 Charada: uma introdução ao uso de símbolos Um homem estava olhando uma foto, e alguém lhe perguntou: De quem é esta foto? Ao que ele respondeu: Não tenho irmãs nem irmãos, mas o pai deste homem é filho de meu pai. De quem era a foto que o homem estava olhando? 1. Primeiramente devemos compreender o que está em questão: nesta charada queremos saber de quem é a foto que o homem olhava.

8 8 2. Devemos também verificar quais são os envolvidos na questão: Primeiro envolvido: A pessoa que pergunta De quem é esta foto?, que chamaremos de A. Segundo envolvido: O homem que estava olhando a foto, que chamaremos de B. Terceiro envolvido: O homem fotografado, que chamaremos de X, pois é a incógnita de nosso problema, ou seja, a pessoa que queremos saber quem é. 3. Para a resolução deste problema o sujeito A tem alguma importância? Não. Então vamos eliminá-lo. 4. Analisemos o segundo envolvido, ou seja, o sujeito B. Que informações temos de B? Informação 1: B não tem irmãos nem irmãs. Informação 2: O pai do homem da foto é filho do pai do homem que olhava a foto. Substituindo os termos da informação 2 por símbolos temos: O pai de X é filho do pai de B. Mas quem é filho do pai de B? Filho do pai de alguém será sempre este alguém e seus irmãos. Filho do pai de B é B e seus irmãos. Sabendo pela Informação 1, que B não tem irmãos nem irmãs, então o filho do pai de B é o próprio B. Dica: se você não entendeu, pergunte-se sobre quem é filho de seu pai. Substituindo temos: O pai de X é B. B é pai de X. Se B é pai de X, então X é filho de B. O problema está resolvido. Nossa incógnita, o X, é filho de B. Deste modo: O homem da foto (X) é filho do homem que olhava a foto (B). Portanto, o homem olhava a foto de seu filho.

9 9 Repare que se torna muito mais fácil resolver um problema se: utilizarmos símbolos ao invés de expressões; analisamos cuidadosamente todos os elementos do problema. Este é o procedimento padrão em Lógica. 3.2 Argumentos ou Proposições A lógica simbólica, também chamada de lógica formal, é a parte da lógica que se dedica ao estudo das formas dos argumentos. Ela é construída a partir de linguagens formais, que são constituídas apenas por símbolos, o que lhe permite abstrair o conteúdo das proposições e atingir um grau de precisão que a linguagem quotidiana não possui. É necessário, primeiramente estudar os símbolos que fazem parte dessa linguagem formal e quais são as regras para a formação de suas proposições (enunciados), após isso, é necessário analisar o significado lógico dos símbolos que são usados, isto é, a sua contribuição para a verdade ou falsidade das proposições ou argumentos em que eles ocorrem. Em função destes princípios, pode-se constatar que tal lógica é essencialmente binária, o que quer dizer que uma proposição terá apenas um dos dois valores possíveis: será verdadeira ou falsa. O raciocínio lógico opera com proposições. Uma proposição é o encadeamento de termos ou palavras através de uma cópula verbal ou não, que expressam o conteúdo de um juízo, como verdadeiro ou falso. Exemplo: Florianópolis é a capital de Santa Catarina. Dizemos que o valor lógico de uma proposição é a verdade (1) se a proposição é verdadeira; é a falsidade (0) se a proposição é falsa. Pode-se dizer então que o valor lógico da proposição acima é verdade (1). Neste sentido, vejamos a tabela abaixo: Proposição/Enunciado Tem sentido completo? Posso dizer se é V ou F? É proposição? Valor lógico A árvore tem galhos. Sim Sim Sim 1 Está chovendo. Sim Sim Sim 1 Eu cai. Sim Sim Sim 1 Cachorro. Não Não Não 0

10 10 Eu vi um cachorro na esquina. Sim Sim Sim 1 Traga-me um bife. Sim Não Não 0 Que horas são? Sim Não Não 0 Concluindo, pode-se dizer que proposição simples é a que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma, ou seja, é toda aquela proposição que não é composta. Indicaremos tais proposições por letras minúsculas de nosso alfabeto, da seguinte forma: Proposição A árvore tem galhos. Está chovendo. Eu cai. Representação Eu vi um cachorro na esquina. s As proposições são compostas quando duas ou mais proposições simples se combinam através de palavras especiais como e, ou, se...então e somente se... então. Indicaremos tais proposições por letras maiúscula de nosso alfabeto, exemplos: 1. A árvore tem galhos e eu vi um cachorro na esquina. 2. A árvore tem galhos ou eu vi um cachorro na esquina. 3. Se a árvore tem galhos então eu vi um cachorro na esquina. 4. Se, e somente se a árvore tem galhos então eu vi um cachorro na esquina. Exercício Proposto 1. Complete o quadro conforme o modelo anterior e diga se os segmentos linguísticos são proposições ou não: p q r Proposição/Enunciado Tem sentido completo? Posso dizer se é V ou F? É proposição? Ontem choveu. Os brutos também amam. Você gosta de laranja? Blz. Que dia bonito!

11 Princípios Fundamentais da Lógica Estes princípios foram propostos por Aristóteles e são considerados por alguns filósofos como sendo leis do raciocínio, à medida em que é impossível raciocinar desobedecendo a eles. Princípio da Não-contradição: É impossível que o mesmo atributo pertença e não pertença, ao mesmo tempo e sob a mesma relação, ao mesmo sujeito (Aristóteles, Metafísica, Livro G 20), ou seja, Não podemos afirmar e negar um enunciado ao mesmo tempo e sob o mesmo aspecto. ~(p.~p) Princípio do Terceiro Excluído: Não é possível que haja uma posição intermediária entre dois enunciados contraditórios: é necessário ou afirmar ou negar um único predicado, qualquer que ele seja, de um único sujeito, ou seja, Dado um enunciado ou ele é verdadeiro ou ele é falso. Não existe terceira hipótese. (p v ~p) Princípio de Identidade: Dado um enunciado, ele é sempre igual a ele mesmo. p = p Aplicação: Discussão da Família Logus Era uma vez três irmãos, Aristóteles, Dialéticos e Sofísticos, filhos de Dona Sophia e Seu Logus. A família vivia muito feliz, como geralmente viviam todas as famílias de classe média do mundo (naquele tempo não existia ainda crise econômica), sendo a paz familiar apenas abalada pelas constantes disputas entre Aristóteles, Dialéticos e Sofísticos, que tinham sérias e profundas divergências intelectuais e existenciais. Dialéticos era um sonhador e vivia no mundo da lua, como costumava dizer Dona Sophia. Rebelde com causa, vivia questionando Seu Logus e desrespeitando as regras familiares. Seu Logus costumava-se queixar-se, dizendo: Desrespeitando-me deste jeito, este menino não vai aprender nada e nunca vai ser alguém na vida. Sofísticos era o espertinho da família. Pedante como só ele, achava que sabia tudo e que era mais inteligente que todos. Tinha uma boa lábia, mas conhecimento mesmo tinha pouco. Dona Sophia e Seu Logus, quando faziam prole, constumavam dizer: Esse menino, se facilitar, é capaz de convencer os outros de que uma vaca tem cinco patas... Isto não é nada bom.

12 12 Aristóteles era o orgulho da família. Rapaz educado, inteligente e vivo, impacientava-se com o comportamento de seus irmãos, que viviam a provocá-lo intelectualmente. Suportava tudo sem nada a dizer, até que um dia resolveu dar um fim a esta situação e chamou seus irmãos para o que ele denominou de uma discussão em família. Dialéticos disse Aristóteles você sabe o que é o princípio da não contradição? Claro! O princípio de não contradição diz que É impossível que o mesmo atributo pertença e não pertença ao mesmo tempo e sob a mesma relação ao mesmo sujeito. Exatamente. Poderíamos também dizer mais informalmente que o princípio de não contradição enuncia que nada pode ser e não ser ao mesmo tempo e sob o mesmo aspecto. Pois eu lhe pergunto, Dialéticos, se você acha que é possível desrespeitar este princípio. Pois eu lhe digo que é possível. E lhe digo, também, que o princípio de não contradição deve ser dialeticamente superado. Ah não, Dialéticos! Seu caso é pior do que eu pensava. Você está querendo me dizer que as coisas podem, ao mesmo tempo e sob o mesmo aspecto, ser e não ser? Sim. Veja bem, Aristóteles, as coisas estão sempre em movimento, o que mostra que aquilo que é hoje pode não ser mais amanhã. Nós nunca nos banhamos duas vezes no mesmo rio. As águas que nos banham hoje não serão mais as mesmas que nos banharão amanhã, porque amanhã as águas de hoje já terão passado. É realmente profundo, Dialéticos, mas acho que você está compreendendo mal o princípio da não contradição. O que o princípio diz é que as coisas não podem ser e não ser ao mesmo tempo e sob o mesmo aspecto. Isto significa que não podemos, em um mesmo instante, estar e não estarmos nos banhando em um rio. Afirmar isto seria contraditório. Nada impede, entretanto, que hoje estejamos nos banhando em determinado rio, com águas que amanhã não serão mais as mesmas. Em tempos diferentes, podemos ter diferentes estados de coisas no mundo. Explique isto melhor, Aristóteles! Quer dizer que você, como eu, acha que as contradições podem existir e que o mundo é movido a contradições? Pelo amor de Deus, Dialéticos, pare de querer forjar consensos e não coloque palavras na minha boca! Contradições jamais, eu digo, jamais podem existir. Jamais alguma coisa poderáser e não ser ao mesmo tempo e sob o mesmo aspecto. Por exemplo, mano, um mesmo indivíduo jamais poderá dizer: Eu vi e não vi o Gato Frajola sentado na cadeira às 19:00 horas. Se alguém dissesse isto, estaria dizerndo que viu e não viu determinado

13 13 acontecimento em um mesmo instante, o que é evidentemente impossível. Nada impede, entretanto, que alguém diga: Eu vi o Gato Frajola sentado na cadeira às 19:00 horas e Eu vi o Gato Frajola sentado na cadeira às 19:00 horas e 2 minutos. Obviamente o que aconteceu neste caso é que, ao passar o tempo, o Gato Frajola saiu da cadeira e foi para outro lugar, quem sabe, foi caçar ratos. Nada impede, também que João diga: Eu não vi o Gato Frajola sentado na cadeira às 19:00 horas, e Pedro diga: Eu vi o Gato Frajola sentado na cadeira às 19:00 horas. Neste caso, Pedro e João estavam sob diferentes relações quanto ao objeto (no caso, o gato) em questão. Pedro, provavelmente, estava próximo à cadeira e por isso viu o gato, e João, provavelmente, estava na rua, longe da cadeira e, por isso, não vio o gato. Neste exato instante, o irmão Sofísticos se intromete na discussão. Ele pede a Aristóteles uma demonstração do princípio de não contradição e diz que sem esta demonstração ele não pode dar-se por convencido da existência deste princípio. Ora Sofísticos! É impossível demonstrar o princípio de não contradição. Exatamente por ser um princípio, ele é a vase de onde todas as outras demonstrações procedem. Não podemos demonstrar aquilo que é o princípio de tudo. Se tentarmos tudo demonstrar, regredimos ao infinito e não demonstraremos nada. Pois se não podemos demonstrar o princípio de não contradição, não me dou por convencido e simplesmente não o aceito. Não posso lhe dar uma demonstração, Sofísticos, mas lhe darei uma prova que tem a mesma força de uma demonstração. Chamarei esta prova de refutação ou demonstração indireta. Peço-lhe, então, Sofísticos, que você simplesmente me diga qualquer coisa. Digo-lhe que eu gosto de bananas. Quando diz isto, Sofísticos, você já está respeitando o princípio de não contradição. Como assim? Se você desrespeita o princípio de não contradição, não pode enunciar nada, nem enunciar que você deseja uma demonstração deste princípio. Quando diz: Eu quero uma demonstração do princípio. Você está me informando que quer esta demonstração e, para informar isto, você precisa respeitar o princípio. Se para enunciar qualquer coisa você não pode desrespeitá-lo, então o princípio tem validade universal. Se desrespeitarmos o princípio, nada no mundo pode ser informado, nada pode ser comunicado, nada pode ser dito. Vejam, então, meus irmãos, a força deste princípio! Ele não pode ser diretamente demonstrado, porque ele é a contradição de toda e qualquer

14 14 demonstração. Podemos, entretanto, refutar, como eu fiz agora, todo aquele que diz ser possível desrespeitar o princípio, mostrando que desrespeitá-lo é condenar-se ao silêncio eterno, a nunca usar a razão, é condenar-se a passar a vida sem nada afirmar e sem nunca julgar. Dona Sophia e Seu Logus que a tudo assistiam deram um sorriso largo, satisfeitos com aquele que seria seu mais ilustre filho. 3.4 Operações lógicas sobre as proposições Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições, chamadas operações lógicas. Estas obedecem a regras de um cálculo, denominado Cálculo Proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números. Serão apresentadas, a seguir, as operações lógicas fundamentais do cálculo proposicional Conjunção Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p e q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras a falsidade (F) nos demais casos. Simbolicamente, a conjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação: p. q ou p ^ q ou p & q Exemplo: A árvore tem galhos e eu vi um cachorro na esquina. P = p. q, onde p = A árvore tem galhos. q = eu vi um cachorro na esquina. Temos neste caso, dois enunciados simples, portanto podem tomar quatro combinações de valores de verdade: p q p. q 1 V V? 2 V F? 3 F V? 4 F F? Então queremos saber como fica o valor de verdade da conjunção p. q para os quatro casos possíveis:

15 15 1. O que acontece com o valor de verdade da conjunção p. q ( A árvore tem galhos e eu vi um cachorro na esquina. ) quando p é V (No caso, é verdade que a árvore tem galhos) e q é V (No caso, também é verdade que eu vi um cachorro na esquina)? Resposta: p. q será verdadeiro, porque se é V a primeira proposição simples conjuntiva A árvore tem galhos e é V a segunda proposição simples conjuntiva eu vi um cachorro na esquina, então é V a conjunção A árvore tem galhos e eu vi um cachorro na esquina.. Portanto, devemos preencher com V a primeira linha da tabela acima. 2. O que acontece com o valor de verdade da conjunção p. q ( A árvore tem galhos e eu vi um cachorro na esquina. ) quando p é V (No caso, é verdade que a árvore tem galhos) e q é F (No caso, também é verdade que eu vi um cachorro na esquina)? Resposta: p. q será falso, porque se é V a primeira proposição simples conjuntiva A árvore tem galhos e é F a segunda proposição simples conjuntiva eu vi um cachorro na esquina, então é F a conjunção A árvore tem galhos e eu vi um cachorro na esquina.. Portanto, devemos preencher com F a segunda linha da tabela acima. 3. O que acontece com o valor de verdade da conjunção p. q ( A árvore tem galhos e eu vi um cachorro na esquina. ) quando p é F (No caso, é verdade que a árvore tem galhos) e q é V (No caso, também é verdade que eu vi um cachorro na esquina)? Resposta: p. q será falso, porque se é F a primeira proposição simples conjuntiva A árvore tem galhos e é V a segunda proposição simples conjuntiva eu vi um cachorro na esquina, então é F a conjunção A árvore tem galhos e eu vi um cachorro na esquina.. Portanto, devemos preencher com F a terceira linha da tabela acima. 4. O que acontece com o valor de verdade da conjunção p. q ( A árvore tem galhos e eu vi um cachorro na esquina. ) quando p é F (No caso, é verdade que a árvore tem galhos) e q é F (No caso, também é verdade que eu vi um cachorro na esquina)?

16 16 Resposta: p. q será falso, porque se é F a primeira proposição simples conjuntiva A árvore tem galhos e é F a segunda proposição simples conjuntiva eu vi um cachorro na esquina, então é F a conjunção A árvore tem galhos e eu vi um cachorro na esquina.. Portanto, devemos preencher com F a quarta linha da tabela acima. O valor lógico da conjunção das duas proposições é, portanto, definido pela seguinte tabela verdade: p q p. q Valor Lógico 1 V V V 1 2 V F F 0 3 F V F 0 4 F F F Disjunção A disjunção de duas preposições é representada pela proposição cujo valor lógico é a Verdade, quando uma das proposições componentes é verdadeira, e a Falsidade, quando ambas as componentes são falsas. Assim, diremos que a disjunção A árvore tem galhos, ou eu vi um cachorro na esquina. é composta pela primeira preposição disjuntiva ou primeira alternativa, no caso, A árvore tem galhos e pela segunda preposição disjuntiva ou segunda alternativa, no caso, eu vi um cachorro na esquina. Simbolicamente, a disjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação: p v q ou p + q Exemplo: A árvore tem galhos, ou eu vi um cachorro na esquina. P = p v q, onde p = A árvore tem galhos. q = eu vi um cachorro na esquina. Temos neste caso, duas proposições simples, portanto temos quatro combinações de valores de verdade:

17 17 p q p v q Valor Lógico 1 V V V 1 2 V F V 1 3 F V V 1 4 F F F Disjunção Exclusiva Na linguagem comum a palavra ou tem dois sentidos. Assim, consideremos as duas seguintes proposições compostas: P : Carlos é médico ou professor Q: Mário é alagoano ou gaúcho Na proposição P indica-se que pelo menos uma das proposições Carlos é médico, Carlos é professor é verdadeira, podendo ainda, ser ambas verdadeiras: Carlos é médico e professor. Mas, na proposição Q, é óbvio que uma e somente uma das proposições Mário é alagoano, Mário é gaúcho é verdadeira, pois, não é possível ocorrer Mário é alagoano e gaúcho. Na proposição P diz-se que ou é inclusivo, enquanto que, na proposição Q, dizse que ou é exclusivo. Em Lógica Matemática usa-se habitualmente o símbolo + para ou inclusivo e os símbolos ±, para ou exclusivo. Assim sendo, a proposição P é a disjunção inclusiva ou apenas disjunção das proposições simples Carlos é médico, Carlos é professor, isto é: P: Carlos é médico + Carlos é professor A proposição Q é a disjunção exclusiva das proposições simples Mário é alagoano, Mário é gaúcho, isto é: Q: Mário é alagoano Mário é gaúcho De um modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada simbolicamente por p q, que se lê: ou p ou q ou p ou q, mas não ambos, cujo valor lógico é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e falsidade(f) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. A função lógica da disjunção exclusiva é Y = (A. ~B) + (~A. B) O valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições é definido pela seguinte tabela verdade:

18 18 p q p q Valor Lógico 1 V V F 0 2 V F V 1 3 F V V 1 4 F F F Negação A negação de uma proposição qualquer é representada pela proposição cujo valor lógico seja contrário a ela mesma. Assim, seja p a proposição: A calçada está molhada. Sua negação será a proposição representada por não p : A calçada não está molhada. Simbolicamente, a negação de uma proposição p indica-se com a notação: ~p ou p Lê-se não p. Exemplo: A árvore tem galhos. P = ~p, onde p = A árvore tem galhos. ~p = A árvore não tem galhos. Temos neste caso, uma proposição simples, portanto temos duas combinações de valores de verdade: p ~p Valor Lógico 1 V F 0 2 F V Proposição condicional Proposição condicional ou implicação material é a proposição cujo valor lógico é a Falsidade, quando a primeira proposição componente, ou antecede, é verdadeira, e a segunda, ou consequente, é falsa e a Verdade nos demais casos. A proposição, condicional é obtida a partir do uso do conectivo se... então.... Simbolicamente, a disjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação: p q

19 Pode ser lida das seguintes formas: I. p implica q II. se p então q III. p é condição suficiente para q IV. q é condição necessária para p 19 Na condicional p q, diz-se que p é o antecedente e o q o conseqüente. O símbolo é chamado de implicação. Considere o seguinte exemplo: 03 de março: João trabalha em uma estação meteorológica e faz a seguinte afirmação no dia Se a umidade subir acima de 90 %, então choverá em menos de 24 horas p: A umidade sobe acima de 90 % q: Choverá em menos de 24 horas. Até o dia 05, embora a umidade estivesse a 95 % durante as últimas 48 horas, não choveu. Isso significa que a afirmação feita anteriormente era falsa. Isso significa que sempre que o antecedente for verdadeiro, o conseqüente deve ser verdadeiro para que o resultado de toda a proposição seja verdadeira. O condicional não afirma a veracidade do antecedente e do conseqüente, mas a relação existente entre eles. Ex2.: Se João é Engenheiro, então sabe matemática. A tabela verdade da condicional de duas proposições é, portanto: Proposição bicondicional p q p q Valor Lógico 1 V V V 1 2 V F F 0 3 F V V 1 4 F F V 1 Chama-se bicondicional uma proposição representada por p se e somente se q cujo valor lógico é verdade (V) quando p e q são ambas, verdadeiras ou falsas. Simbolicamente, a bicondicional de duas proposições p e q indica-se com a notação p q e pode ser lida das seguintes formas: i. p é condição necessária e suficiente para q ii. q é condição necessária e suficiente para p iii. p se e somente se q (é mais utilizado) podendo ter a abreviação p sse q. A tabela verdade da bicondicional de duas proposições é, portanto:

20 20 p q p q Valor Lógico 1 V V V 1 2 V F F 0 3 F V F 0 4 F F V 1 Quando se tem uma bicondicional p q, na verdade implicamos p q e q p ao mesmo tempo, ou seja, só é verdade quando as duas condicionais são verdadeiras. Ex: João é careca, se João não tem cabelo. Isso na verdade implica: i) Se João é careca, então João não tem cabelo e ii) Se João não tem cabelo, então João é careca. Obrigatoriamente, as duas proposições simples que compõem cada uma das proposições condicionais i e ii devem ser: ambas verdadeiras ou falsas, para a bicondicional ser verdadeira. Nota: Os conectivos das diversas operações permitem a leitura em variantes de estilo na linguagem corrente: ~p p ^ q p q não p. não é verdade que é falso que... não é o caso que... não se dá que... p e q p, mas q, p, embora q, tanto p como q, não só p, mas também q, p, apesar de q. p se e somente se q (abrev.: sse ), p se e só q, p se q e q se p, p exatamente quanto q, se p, q e reciprocamente, p é condição necessária e suficiente de q, p é equivante a q. p q p v q Exercício Proposto se p, então q, quando p, q, no caso de p, q, q, contanto que p, p é condição necessária para q, q é condição necessária para p, q, se p, q, quando p, q, no caso de p, p somente quando q, p só se q, p só no caso de q, p implica q. p ou q p ou q ou ambos, pe/ou q (nos documentos legais). 1. Interprete como p para está chovendo e q para está nevando. Expresse a forma de cada sentença na notação do Cálculo Proposicional: a) Está chovendo.

21 21 b) Não está chovendo. c) Está chovendo ou nevando. d) Está chovendo e nevando. e) Está chovendo, mas não está nevando. f) Não é o caso que está chovendo e nevando. g) Se não está chovendo, então está nevando. h) Não é o caso que esta chovendo então está nevando. i) Não é o caso que se está nevando então está chovendo. j) Está chovendo se e somente se não está nevando. k) Não é o caso que está chovendo ou nevando. l) Se está nevando e chovendo, então está nevando. m) Se não está chovendo, então não é o caso que está nevando e chovendo. n) Ou está chovendo e nevando, ou está nevando e chovendo. o) Ou está chovendo e nevando, ou está nevando mas não está chovendo 3.5 Tabelas-verdade Nas composições, o valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. Na situação atual, os números que aparecem na primeira coluna têm apenas a finalidade de indicar o número de linhas para cada exemplo apresentado. Para as proposições compostas, veremos que o número das componentes simples determina o número de linhas das tabelas-verdade. Exemplos: a) P(p,q) p q b) P(p,q,r)

22 22 p q r O numero de linhas de uma tabela verdade é dado por 2 n onde n é o número de proposições componentes. Exemplos: a) Dada p com n = 1, a tabela verdade terá 2 1 = 2 linhas. b) Dada P(p,q,r) com n = 3, a tabela verdade terá 2 3 = 8 linhas. c) Dada P(p,q,r,s,t) com n = 5, a tabela verdade terá 2 5 = 32 linhas. 3.6 Fórmulas Proposicionais São as proposições formadas a partir de outras, com o uso de um ou mais conectivos. Para trabalharmos com as fórmulas proposicionais, precisamos observar algumas questões: O conectivo ~ modifica apenas o termo mais próximo. Ex.: ~P v Q, o conectivo ~ modifica apenas o P. Ex.: ~(PvQ) o conectivo ~ modifica o P e o Q, devido aos parênteses. Os conectivos e abrangem toda a parte da proposição que não contenha o mesmo sinal. Ex.: (X v Y) Ex.: (P v Q) é o mesmo que X v Y P v Q Os parênteses são empregados para evitar ambigüidade na leitura e no entendimento. Ex.: A ^ (B C), os parênteses indicam que a proposição é diferente de A ^ B C que, por sua vez, é a mesma que (A ^ B) C

23 23 Exercício Proposto 1. Seja p a proposição: as meninas jogam e q a proposição O gato mia. Traduza para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~p b) ~q c) p ^ q d) p ^ ~q e) p v q f) ~p v q g) p q h) ~q p i) p q j) ~p ~q k) (p v q) q l) (~q ^ p) q m)(~p ^ ~q) (p ^ q) n) ~~p o) q ~~p 3.7 Construção da tabela-verdade para as Fórmulas Proposicionais Para construir a tabela precisamos seguir alguns passos: a) Desmembrar a fórmula em outras proposições até chegar às mais simples, que não podem mais ser decompostas, e arrumá-las em uma tabela. Assim, podemos calcular os valores lógicos dessas proposições a partir das tabelas-verdade dos conectivos. Ex.: P ^ Q R Proposição P Q R V. Lógico b) Atribuir os valores 1 ou 0 a cada uma das proposições simples que compõe a fórmula. Como estas proposições são em número de três, a tabela terá 8 linhas (2 3 = 8). o total de linhas é dado por 2 n, onde n é o número de proposições simples.

24 24 Proposição Nº. P Q R V. Lógico c) Calcular o valor lógico das proposições desmembradas até chegar à fórmula final, cujo valor procuramos. Proposição Nº. P Q R P ^ Q V. Lógico Proposição Nº. P Q R P ^ Q P ^ Q R V. Lógico A ordem de precedência para calcular o valor lógico de uma tabela verdade é parênteses, negação, conjunção, disjunção e implicação. Que pode ser esquematizada pelo seguinte diagrama: ( ) ~ ^ v Ordem de Precedência

25 25 Exercício Proposto 1. A negação de uma proposição é verdadeira quando a proposição é falsa. E é falsa quando a proposição é verdadeira. Sabendo que: P = O turismo é uma atividade econômica. Q = O Brasil é banhado pelo Oceano Pacífico. Transforme as proposições em linguagem simbólica e mostre seu valor lógico: a) O turismo é uma atividade econômica. b) O turismo não é uma atividade econômica. c) O Brasil é banhado pelo Oceano Pacífico. d) O Brasil não é banhado pelo Oceano Pacífico. Mostre o valor lógico das seguintes proposições: Linguagem simbólica Q ~Q ~(~Q) ~(~(~(~Q))) 2. A conjunção de duas proposições só é verdadeira quando as duas proposições formadoras também são verdadeiras. Observe a situação e siga o exemplo abaixo. Situação: Uma grande seguradora do país oferece descontos especiais para os seguros de automóveis realizados em nome de pessoas do sexo feminino com mais de 40 anos de idade. Outro dia, um corretor dessa seguradora deu entrada em quatro propostas: Marisa de 53 anos, Laura de 27 anos, Eduardo de 49 anos e Osvaldo de 38 anos.. Ex.: Proposições / Premissas L. Simbólica V. Lógico Marisa é mulher. P. 1 Marisa tem mais de 40 anos. Q. 1..Marisa é mulher e tem mais de 40 anos...p ^ Q. 1 Proposições / Premissas L. Simbólica V. Lógico Laura é mulher. Laura tem mais de 40 anos... Laura é mulher e tem mais de 40 anos.

26 26 Proposições / Premissas L. Simbólica V. Lógico Eduardo é mulher. Eduardo tem mais de 40 anos... Eduardo é mulher e tem mais de 40 anos. Proposições / Premissas L. Simbólica V. Lógico Osvaldo é mulher. Osvaldo tem mais de 40 anos... Osvaldo é mulher e tem mais de 40 anos. 3. Dados: X = O dia está ensolarado. Y = O dia está de noite. Z = O dia está chuvoso. Preencha a seguinte tabela: Linguagem simbólica Valor Lógico X Y Z ~Y ~Z X ^ Z X ^ ~Z ~Z ^ ~Y ~Y ^ X 4. A disjunção de duas proposições é verdadeira quando pelo menos uma das proposições formadoras é verdadeira. Dados: P = 15 2 Q = R = -10 > -8. Preencha a seguinte tabela:

27 27 Linguagem simbólica Valor Lógico P Q R ~P ~R ~P v ~R Q v ~R ~R v ~P Q v P 5. Na condicional P Q temos que: P é chamado de antecedente. Q é chamado de conseqüente. P é condição suficiente para Q. Q é condição suficiente para P. A partir da seguinte informação mostre suas proposições e seu valor lógico: Denise, uma das vendedoras da InfoCom Informática, informou ao cliente Marcos que se ele trouxer o Modem defeituoso, ela lhe dará um novo modem em perfeito estado. P = Marcos traz o modem defeituoso. Q = Denise dá um modem perfeito a Marcos. a) ~P Q: b) ~ ~P ~ ~Q: c) ~(P Q): d) ~P ~Q: 6. A bicondicional P Q é o mesmo que P Q e Q P. Daí temos: P é condição necessária e suficiente para Q. Q é condição necessária e suficiente para P. Situação: Pacheco chamou um pintor para fazer uns serviços em sua casa. Indagado a respeito da data em que começaria o trabalho, o pintor respondeu: - Só começarei o serviço em sua casa se e semente se o senhor comprar o material necessário. Desta situação extraia as proposições: P = O pintor começará o serviço.

28 28 Q = Pacheco comprará o material necessário. E transforme em linguagem corrente as seguintes linguagens simbólicas: a) P ~Q: b) ~(P Q): c) ~Q ~ ~P: d) Q P: 7. Construa as tabelas-verdade para as seguintes fórmulas: a) ~ (P v Q) ~P v ~Q b) P ^ (Q v R) c) (P ^ Q) v (P ^ R) d) (P ^ Q) ~( ~P v ~Q) e) (P v Q) ~( ~P ^ ~Q) f) P ((P ^ Q) v (P ^ ~Q))

29 Tautologia Chama-se tautologia toda fórmula cuja última coluna de sua tabela-verdade é sempre verdadeira. P ~P (P v ~P) P ~P (P & ~P) ~(P & ~P) V F V V F F V F V V F V F V 3.9 Contradição sempre falsa. Chama-se contradição toda fórmula cuja última coluna de sua tabela-verdade é 3.10 Contingência P ~P (P & ~P) V F F F V F Chama-se contingência toda formula cuja última coluna de sua tabela-verdade figuram V e F. Não são tautologias nem contradições. P Q (P v Q) V V V V F V F V V F F F Exercício Proposto 1. Construa as respectivas tabelas verdades e informe se a fórmula é tautologia, contradição ou contingência. a) p p + p b) (a b) ((b c) (a c)) c) (a b ). (b a) d) a a b e) a. (a + b) f) ~(~p. q ) ~p + ~q

30 Implicação ou Equivalência Lógica Chama-se implicação lógica ou equivalência lógica toda formula cuja as fórmulas possuem as mesmas tabelas verdade. P Q (P Q) P Q ~P v Q V V V V V V V F F V F F F V V F V V F F V F F V Abaixo apresenta-se algumas equivalências notáveis, e como as mesmas serão identificadas para então serem usadas para simplificar ou melhorar a descrição das nossas informações: São equivalência, ou consequências tautológicas mútuas São equivalência, ou consequências tautológicas mútuas 1. Propriedades Comutativa (A B) (B A) (A B) (B A) 2. Propriedades Associativas (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) 3. Propriedades Distributivas A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) 4. Propriedades de Identidade A 0 A A 1 A 5. Propriedades Complementativas A ( A) 1 A ( A) 0 6. Leis de De Morgan (A B) A B (A B) A B 7. Propriedades Idempotentes A A A A A A 8. Dupla Negação ( A) A 9. Reescrevendo a Implicação Contraposição ou Transposição (A B) ( B A) 10. Bi-condicional ou definição da equivalência (A B) (A B) (B A) 11. Prova Condicional ou exportação, importação (A (B C)) (A B) C 12. Definição da implicação (A B) A B Observação: 1 representa uma fórmula que é tautologia e 0 representa uma fórmula que é uma contradição.

31 31 Exercício Proposto 1. Verificar se as fórmulas abaixo são implicações/equivalências lógicas: a) p p + q b) ~(p. ~p) (p+~p) c) p. q p d) (p + q). ~p q e) p.(~p+q) (p.q) f) (p q). p q g) (p (q r)) q (p r) 3.12 Argumentos Lógicos Chama-se argumento toda afirmação em que dada uma sequência finita de proposições P 1, P 2,... P n tem-se como consequência a proposição final Q. A proposições P 1, P 2,... P n chamam-se premissas do argumento, e a proposição final Q chama-se conclusão do argumento. Um argumento de premissas P 1, P 2,... P n e a conclusão Q, indica-se por P 1, P 2,... P n Q e lê-se: (i) (ii) (iii) P 1, P 2,... P n acarretam Q Q se deduz de P 1, P 2,... P n Q se infere de P 1, P 2,... P n Na Lógica Matemática entre as notações utilizadas podemos representar as premissas uma em cada linha ou separadas por vírgulas e utilizar o símbolo para indicar a conclusão. Exemplo: Estamos no mês de agosto ou no mês de setembro. (P v Q) Não estamos no mês de setembro ~Q Estamos no mês de agosto. (P v Q) ~Q P Um argumento escrito horizontalmente com as premissas separadas por vírgula: P v Q, ~Q P O símbolo é chamado de traço de asserção. Assim, um argumento é escrito da seguinte forma: p, p q, q r r onde: p, p q, q r r P

32 Outro exemplo: Premissas 32 Conclusão Se José pegou as jóias ou a Sra. Krasov mentiu, então ocorreu um crime; se ocorreu um crime então o Sr. Krasov estava na cidade. Mas o Sr. Krasov não estava na cidade; portanto, ou José não pegou as jóias ou a Sra. Krasov não mentiu. Fazendo: temos: p - José pegou as jóias q - a Sra. Krasov mentiu r - ocorreu um crime p v q r r s ~s ~ p v ~ q s - o Sr. Krasov estava na cidade Validade de Argumentos Um argumento é válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2,..., Pn são verdadeiras. Em outros termos, uma instância é válida se não houver situação onde a conclusão é falsa e todas as premissas são verdadeiras. P Q, P Q P Q P Q P Q V V V V V V F F V F F V V F V F F V F F O argumento é válido, pois não existe caso onde as premissas são verdadeiras (todas) e a conclusão é falsa. Um argumento válido é dito correto ou legítimo. Um argumento não-válido é chamado de sofisma.

33 Validade de um argumento através da Tabela-verdade As tabelas-verdades podem ser usadas para demonstrar, verificar ou testar a validade de qualquer argumento. Para isso, o procedimento prático consiste em construir uma tabela-verdade com uma coluna para cada premissa e a conclusão, e nela identificar as linhas em que os valores lógicos das premissas P1, P2,...Pn são todos V. Nessas linhas, o valor lógico da conclusão Q deve ser também V para que o argumento dado seja válido. A seguinte tabela-verdade confirma que o argumento representado como: P v Q, ~Q P é válido. P Q P v Q ~Q P V V V F V V F V V V F V V F F F F F V F Veja que a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão Avaliação de um Argumento: Dedução e Indução A Lógica dispõe de duas ferramentas principais que podem ser utilizadas pelo pensamento na busca de novos conhecimentos: a dedução e a indução, que dão origem a dois tipos de argumentos: dedutivos e indutivos. Os argumentos dedutivos pretendem que suas premissas forneçam uma prova conclusiva da veracidade da conclusão. Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão, isto é, quando for impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa; caso contrário, o argumento dedutivo é dito inválido. Os argumentos indutivos, por outro lado, não pretendem que suas premissas forneçam provas cabais da veracidade da conclusão, mas apenas que forneçam indicações dessa veracidade. Os termos válidos e inválidos não se aplicam aos argumentos indutivos; eles costumam ser avaliados de acordo com a maior ou menor possibilidade com que suas conclusões sejam estabelecidas. Costuma-se dizer que os argumentos indutivos partem do particular para o

34 34 geral, isto é, a partir de observações particulares, procura estabelecer regras gerais, que, no caso das ciências naturais, devem ser provadas por outros meios; os argumentos dedutivos, por seu lado, partem de regras gerais para estabelecer a veracidade de acontecimentos particulares. O desenvolvimento da ciência tem dependido, em grande parte, da habilidade em combinar os dois tipos de raciocínio. Argumento dedutivo Argumento indutivo geral Todos os homens são mortais. (premissa) Eu sonho com monstros. Sócrates é homem. (premissa) Meu irmão sonha com monstros. Portanto Sócrates é mortal. (conclusão) Todas as pessoas sonham com monstros. específico Validade dos argumentos mediante Regras de Inferência Regras de inferência: Os argumentos básicos são usados para fazer inferências, isto é, executar os passos de uma dedução ou demonstração, e por isso chamam-se também, Regras de Inferência. (podemos escrevê-las colocando as premissas sobre um traço horizontal e, em seguida, a conclusão sob o mesmo traço). Argumentos válidos fundamentais: São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente) os seguintes: 1. Regra Modus Ponens (MP): de um condicional e seu antecedente, podemos inferir seu consequente. P Q Q //p é dito antecedente e q é dito consequente Também conhecida como Regra da Eliminação da condicional ou Regra da separação permite deduzir q (conclusão) a partir de p q e p (premissas) (6) Exemplos: C, S A, C S A (1) p q P (1) p ^ q r P (1) C P (2) p P (2) p ^ q P (2) S A P (3) q (3) r (3) C S P (4) S 1,3 MP (5) A 2,4 MP

35 35 Esses passos são também chamados derivação ou prova. Cada etapa numa derivação é uma instância de uma das regras. Essa forma é válida porque ela pode ser derivável pelas regras de inferência. Assim: Alistamos as 3 suposições nas primeiras linhas, enumeramos cada linha e colocamos o P para indicar que são premissas. Então, deduzimos a conclusão A em duas etapas de raciocínio. As duas etapas têm a mesma forma, cada uma delas é uma instância da regra MP. 2. Modus Tollens (MT): A partir das premissas p q (condicional) e ~q (negação do consequente) deduzimos como conclusão ~p (negação antecedente). P Q, ~Q - ~P Exemplo: P Q v R, ~(Q v R) - ~P (1) P Q v R P (2) ~(Q v R) P (3) ~P 1,2 MT 3. Eliminação da Negação (E~): de uma fórmula da forma ~~P, podemos inferir P. ~~p - p Exemplo: ~P ~~Q, ~~p - Q (1) ~P ~~Q P (2) ~~~P P (3) ~P 2 E~ (4) ~~Q 1,3 MP (5) Q 4 E~ 4. Conjunção (Conj): de quaisquer P, Q podemos concluir P ^ Q. P, Q - (P ^ Q) Também conhecida como Regra da Introdução da conjunção permite deduzir de duas proposições dadas p e q (premissas) a sua conjunção p ^ q ou q ^ p (conclusão). Exemplo: (P ^ Q) S, ~~P, Q - S

36 36 (1) (P ^ Q) S P (2) ~~P P (3) Q P (4) P 2 E~ (5) (P ^Q) 3,4 Conj (6) S 1,5 MP 5. Regra da Simplificação (Simp): de uma conjunção podemos inferir qualquer um de seus conjuntos. P ^ Q - P P ^ Q - Q Também conhecida como Eliminação da conjunção, que diz da conjunção p ^ q de duas proposições se pode deduzir cada uma das proposições, p ou q. Exemplo: P (Q ^ R), P - (P ^ Q) (1) P (Q ^ R) P (2) P P (3) (Q ^ R) 1,2 MP (4) Q 3 Simp (5) (P ^ Q) 2,4 Conj 6. Regra da Adição (Adição): em um fórmula P, podemos inferir (deduzir) a disjunção de P com qualquer outra fórmula. P - P v Q Também conhecida como Introdução da disjunção. Dado p podemos deduzir p v q, p v r, s v p, t v p. Exemplos: P - (P v Q) ^ (P v R) P, ~~(P Q) - (Q v ~Q) (1) P P (1) P P (2) (P v Q) 1 Adição (2) ~~(P Q) P (3) (P v R) 1 Adição (3) (P Q) 2 E~ (4) (P v Q) ^ (P v R) 2,3 Conj (4) Q 1,3 MP (5) (Q v ~Q) 4 Adição 7. Regra do Dilema Construtivo (DC): de uma fórmula da forma P v Q, P R e Q R, podemos inferir R.

37 37 P v Q, P R, Q R - R Também conhecida como Eliminação da disjunção, onde as premissas são duas condicionais e a disjunção dos seus antecedentes, e a conclusão é a disjunção dos consequentes destas condicionais. Exemplo: (1) (A B) ^ (C D) P (2) A v C P (3) B v D DC 8. Introdução do bicondicional (I ): de quaisquer fórmula (P Q) e (Q P), podemos inferir (P Q). Exemplo: (P Q), (P Q) (Q P) - (P Q) (1) (P Q) P (2) (P Q) (Q P) P (3) Q P 1,2 MP (4) P Q 1,3 I 9. Eliminação do bicondicional (E ): de qualquer fórmula (P Q) podemos inferir (P Q) e (Q P). Exemplo: F (S v D), S - F (1) F (S v D) P (2) S P (3) (S v D) F E 1 (4) (S v D) 2 Adição (5) F 3,4 MP Tabela Resumo: Regras de Inferência De Pode-se deduzir Nome (Abreviação) da Regra P, P Q Q Modus Ponens (mp) P Q, ~Q ~P Modus Tollens (mt) P, Q P Q Conjunção (conj) P Q P, Q Simplificação (simp) P P Q Adição (ad) P Q, Q R P R Silogismo Hipotético (sh)

38 38 P Q, ~P Q Silogismo Disjuntivo (sd) (P Q) R P (Q R) Exportação (exp) P, ~P Q Inconsistência (inc) Exercício Resolvido: Compro umas calças ou compro uma camisola. Se comprar uns tênis, compro um cinto e, se comprar uma camisola, compro um casaco. Não compro umas calças e não compro um cinto. Logo, não compro uns tênis e compro um casaco. Traduzindo para símbolos temos: