Luis Augusto Koenig Veiga. Fevereiro de VERSÃO PRELIMINAR

Transcrição

1 Notas de ula: Parcelamento/ivisão do Solo Visão Geométrica Luis ugusto Koenig Veiga Fevereiro de VERSÃO PRELIINR

2 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Notas de ula: Parcelamento/ivisão do Solo Visão Geométrica 1. Introdução O parcelamento visa divisão de uma área S em duas ou mais áreas (S 1, S 2,...,Sn), sendo a somatória destas demais áreas igual a área original. ada uma destas novas áreas corresponderá a uma parte proporcional da área original, tal que: S i = áreas i; p, q, r = proporções/partes da área original; Sabendo-se que: então ssim cada área poderá ser definida por: S 1 :S 2 : S 3 :... =p : q: r:... S 1, + S Sn = S p + q + r +... = s S S1 = p. s S S2 = q. s S S3 = r. s Por exemplo, deseja-se dividir uma área de 400m 2 em outras 3 áreas, respeitando a proporção de 1:3:4 (a primeira área terá uma parte da área original, a segunda três e a terceira quatro partes). esta forma: S = 400m 2 s = = S1 = 1. = 50 m S2 = 3. = 150 m2 8 2

3 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR É possível definir a seguinte relação: 400 S3 = 4. = 200 m2 8 S 1 + S 2 + S 3 = 400m 2 S1 p = S p + q + r e também estabelecer uma relação entre as áreas divididas: S1 p = S2 q Uma vez estabelecidos quais os tamanhos das áreas, resta definir a forma geométrica de cada parcela para atender ao imposto anteriormente. Logicamente esta será uma ação que dependerá de vários fatores, como por exemplo a testada mínima de um lote, a obrigatoriedade de passagem da divisa por determinado ponto ou a definição de que a divisa deve ser paralela a um dos lados da parcela. Na figura 1.1 1, a parcela foi dividida em duas áreas iguais, sendo que no primeiro caso a linha de divisa passa pelo ponto médio do lateral e no segundo caso, a divisa (definida pelos pontos 1 e 1) é paralela ao lado m m m m 2 1 Figura 1.1 ivisão de uma parcela em duas áreas iguais. Todo este processo pode ser feito deforma gráfica ou numérica/analítica, e atualmente é facilitado em função do uso das ferramentas. 1 Para fazer os cálculos deste exemplo: Ponto (X=100m;Y=100m), Ponto (X=152m;Y=236m), Ponto (X=280m;Y=180m) e Ponto (X=267m;Y=25m). 3

4 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR 2 - ivisão de parcelas triangulares Problema 1 - ividir uma área triangular em duas partes, que estejam entre si segundo uma dada relação, por meio de uma reta paralela a um dos lados. Tomando o triângulo apresentado na figura 2.1. N Figura 2.1 Triângulos e N. Sejam: S: área do ; S 1 : área do N; N é paralelo a e desta forma os triângulos e N são semelhantes. razão de semelhança k é dada por: = N = N = k Lembrando que para figuras semelhantes (figura 2.2): Área 1 Área 2 Figura 2.2 Figuras semelhantes. 4

5 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Área 1 = k 2 Área2 Para o caso da figura 2: e então: = S = S1 N = k 2 N = k S 2 = S1 =. S1 S Por analogia N =. S1 S N também pode ser calculado pela razão: = N N = 5

6 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Exercício ada a parcela triangular abaixo, dividir em duas áreas de forma que a área N seja igual a 100m 2 e a linha de divisa seja paralela ao lado. eterminar as coordenadas dos pontos e N. Ponto X (m) Y (m) 100,00 100,00 100,00 114,35 N 131,12 100,00 100,00 104,747 N 120, ,747 6

7 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Problema 2 - ividir uma área triangular em duas partes equivalentes, sendo que a reta de divisa parte de um ponto P qualquer. O problema neste caso é calcular qual a distância do ponto ao R de forma que a reta PR divida a área de duas partes iguais. Tomando o triangulo apresentado na figura 2.3. P R Figura 2.3 Triângulos e PR. Sejam: S: área do ; S 1 : área do PR; Para o resolução do problema será utilizado o princípio de que, dado um triangulo qualquer, qualquer outro triangulo tendo lado e o terceiro vértice pertencente a reta r, paralela a, passando por terá área igual do triângulo (figura 2.4). Reta r Área = Área Figura 2.4 Áreas e. 7

8 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Etapa 1 efinir a posição do ponto P sobre o alinhamento. P Figura 2.5 Etapa 01. Etapa 2 arcar um ponto, na metade do alinhamento e traçar uma reta ligando este ponto ao ponto P. P Figura 2.6 Etapa 02. Etapa 3 Traçar uma reta paralela a reta P, passando pelo ponto, que definirá o ponto R no alinhamento. R P Figura 2.7 Etapa 03. 8

9 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR a figura anterior é possível visualizar que os triângulos PR e R possuem a mesma área, pois a base dos dois é igual (R) e a altura também. P R P R Figura 2.8 Etapa 04. área do triângulo é igual a metade da área do triângulo, visto que é igual a. área do polígono PR é igual a área do triângulo P R P R Figura 2.9 Etapa 05. = 1 2 Por semelhança dos triângulos R e P: 9

10 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR R R P P Figura 2.10 Etapa 06. R = P R = P ou R = 2 P 10

11 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Exercício ada a parcela triangular abaixo, dividir em duas áreas iguais, sendo que a divisa deve passar pelo ponto P, distância 17m do pontos (sobre o alinhamento ). eterminar as coordenadas dos pontos P e. Ponto X (m) Y (m) 100,00 100,00 17 m 104, , ,587 88,843 P 100, ,203 P 117, ,739 11

12 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR 3 - ivisão de parcelas trapezoidais Problema 1 - ividir uma área em formato de um quadrilátero em duas partes, sendo que a reta de divisa parte de um ponto E qualquer e é paralela a um dos lados. Tomando o quadrilátero apresentado na figura 3.1. L3 L4 E S 1 F L2 S 2 L1 Figura 3.1 ivisão de parcela trapezoidal. Onde: L1 = lado (base maior); L2 = lado ; L3 = Lado (base menor); L4 = lado ; S 1 e S 2 = áreas; S = S 1 + S 2 Neste caso, deve-se calcular qual a distância entre os pontos E e F em relação, por exemplo, aos pontos e respectivamente, tornando possível a locação dos mesmos. 12

13 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Etapa 1 Inicialmente será traçada uma reta paralela ao lado passando pelo ponto, definindo os pontos G e H, e outra pelo ponto E, definindo o ponto I. L3 S 1 h1 L4 E G F S 2 h2 I H L1 Figura 3.2 Etapa 01. esta forma: H = L1 L3; I = L1 EF; EG = EF L3; h1 e h2 são as alturas dos trapézios EF e FE. os trapézios EF e FE: Fazendo a relação entre as áreas: S1 = S2 = S1 = S2 ( EF + L3) h 1 2 ( L1 + EF) h 2 2 ( EF + L3) h1 ( L1 + EF) h2 os triângulos IE e EG: h1 h2 = EG I EF L3 = L1 EF Então: 13

14 pós simplificações: PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR S1 = S2 ( EF + L3) EF L3 ( L1 + EF) L1 EF EF = S1 L1 2 + S2 L3 2 S1+ S2 alculando a distância E e F: E EG = H E L4 EF L3 = L1 L3 E = EF L3 L4 L1 L3 F EG = H H F L2 = EF L3 L1 L3 EF L3 F = L2 L1 L3 14

15 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Exercício ada a área abaixo, dividir em duas áreas de forma que uma seja o dobro da outra, sendo a linha de divisa paralela ao alinhamento. 10,54m 16,686m Área 1 13m 18,062m Área 2 33,54 m 15

16 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR 4 - ivisão de quadriláteros Problema 1 - ividir uma área trapezoidal em duas partes equivalentes, sendo que a reta de divisa parte de um ponto qualquer e é paralela a base do trapézio. Tomando o trapézio apresentado na figura 4.1. L2 S 1 L3 L1 Y α P S 2 X L4 δ N Figura 4.1 ivisão de quadrilátero. Onde: L1 = lado L2 = lado ; L3 = Lado ; L4 = lado ; X = N Y = P S 1 e S 2 = áreas; S = S 1 + S 2 Neste caso, deve-se calcular qual a distância entre os pontos e N em relação, por exemplo, aos pontos e respectivamente, tornando possível a locação dos mesmos. o trapézio N: 16

17 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR S2 = ( L4 + x) 2 Y 2 Y = S2 L4 + X a relação do trapézio: b h,b: bases do trapézio h: altura α β a c Figura 4.2 Relação dos trapézios. b = a + c h tan( α ) = a h tan( β ) = c b = h h + tan( α) tan( β) Para o trapézio N: L4 X = y (cotg(α) + cotg(δ)) L4 2 X = S2 L4 + X L4 2 X 2 = 2 S2 ( cot g( α) + cot g( δ) ) ( cot g( α) + cot g( δ) ) 17

18 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR X = L4 2 2 S2 ( cot g( α) + cot g( δ) ) 2 Y = S2 L4 + X Para a determinação das distâncias e N tem-se: sen ( α ) = Y = Y sen( α) sen ( δ ) = Y N N = Y sen( δ) No caso da divisa ser perpendicular à (figura a seguir), o cálculo de X será: L2 S 1 L3 L1 Y α P S 2 X L4 90º N Figura 4.2 Quadrilátero com dois lados ortogonais. X = L4 2 2 S2 ( cot g( α) ) 18

19 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Exercício ado o quadrilátero abaixo, dividir em duas áreas na razão de 2:1, sendo que a linha de divisa deve ser paralela a reta. alcular as distâncias e N. Unidades das coordenadas em metros. (211,0 ; 225,20) S '28" 11,927 m (221,0 ; 218,70) S2 27,496m '30" 23,973 m N 66 25'6" 51 15'56" (200,0 ; 200,0) 36m (236,0 ; 200,0) rea = 498,35 m2 Resposta: rea = 332,023 m2 29,731 5,52 6,49 rea 166,326 m2 19

20 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Exercício ado o quadrilátero abaixo, dividir em duas áreas na razão de 2:1, sendo que a linha de divisa deve ser paralela a reta. alcular as distâncias e N. Unidades das coordenadas em metros. (211,0 ; 225,20) 11,927 m (221,0 ; 218,70) S2 S '28" 27,496m '30" 23,973 m (200,0 ; 200,0) 66 25'6" N 36m 51 15'56" (236,0 ; 200,0) rea = 498,35 m2 Resposta: 6,59 27,496 rea = 166,08 m2 23,575 Área = 322,26 m2 7,1 20

21 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR 5 - ivisão da área a partir de um ponto Neste caso escolhe-se um ponto sobre a divisa da parcela, sendo esta definida por um polígono qualquer. partir deste pontos e fazendo-se sucessivos cálculos de área, é possível definir a nova configuração da parcela. Tomando-se o polígono da figura 5.1 como exemplo. eseja-se dividir esta área em duas áreas iguais, sendo que a divisa deve passar pelo ponto (ponto médio do alinhamento ). S1 = 11795m 2 S2 = 11795m 2 Figura 5.1 ivisão da área em duas áreas iguais. nova linha de divisa N passará por uma das divisas,, ou pelos pontos e (figura 5.2) Figura 5.2 Possíveis linhas divisórias. 21

22 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR área do polígono é igual a m 2. É possível calcular a área dos triângulos (6.653 m 2 ), ( m 2 ) e (6.715 m 2 ). s duas novas áreas devem ter m m m m 2 Figura 5.3 Linhas divisórias e. Somadas as áreas dos triângulos e tem-se m 2. esta forma, o segundo ponto da linha de divisa deverá estar no alinhamento definido pelos pontos e (Figura 5.4) m 2 N m m m 2 Figura 5.4 Linha divisória N. O problema resume-se em determinar as coordenadas do ponto N de forma que o triângulo N tenha uma determinada área. Para ilustrar o cálculo, tome-se como exemplo a figura X. Neste figura temos o triângulo e deseja-se determinar um novo triangulo P de forma que o mesmo tenha 70% da área do triângulo. 22

23 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Área 1 Área 2 P Figura 5.5 Áreas 1 e 2. 1 = 2 = ( ) ( ) X X Y 2 Y ( ) ( ) XP X Y 2 Y 2 = 0,7. 1 ( ) ( ) ( ) ( ) XP X Y 2 ( ) XP Y X = 0,7 = 0,7 X X Y 2 ( X X) ( Y Y ) ( ) Y Y Y ( ) = 0,7 ( ) XP X X X XP = X + 0,7 ( ) X X YP = Y 23

24 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Para o caso da figura 5.1, será calculado um fator (que será denominado de Percentual da área que passou PP) a ser aplicado nas projeções do lado. Este percentual é calculado em função da área total do triângulo que conterá a nova divisa e da área que excede o valor da área planejada. Para facilitar o entendimento a fórmula será apresentada com um exemplo: Área que excedeu = (área do triângulo + área do triangulo ) m 2 Área que excedeu = m m 2 = 5.080m 2 PP = Área que excedeu / área do triângulo que contém a divisa (triângulo ) PP = m 2 / m 2 PP = 0, Ou seja, deve-se diminuir a área do triângulo em quase 50%. XN = X PP (X X) = 216,388m YN = Y PP (Y Y) = 207,832m Tem-se agora a definição do novo triângulo N, com área igual a m 2. Exercício ado a parcela triangular abaixo, dividir em duas áreas de forma que uma tenha m 2 e que a divisa passe pelo ponto. (X =386,00m; Y =183,00m) (X =213,00m; Y = 77,00m) (X =334,00m; Y =10,00m) 24

25 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Nesta caso, tem-se que reduzir m2 da área do triângulo. Exercício ividir o Polígono em duas partes com áreas iguais, sendo que a divisória deve passar pelo ponto, distante 37 metros do ponto no alinhamento. 128,903 (172,0 ; 394,0) 81 31'1" 78 36'28" (295,44 ; 356,87) 151,572 Área = ,3593 m2 104, '33" 69 39'58" (150,23 ; 244,0) 97,988 (246,05 ; 264,50) RESPOST: (172,0 ; 394,0) 81 31'1" 128,903 N (232,34 ; 375,84) 78 36'28" (295,44 ; 356,87) 151,572 Área = ,3593 m2 rea = 6790,72 m2 104, '33" rea = 6790,63m '58" (246,05 ; 264,50) (150,23 ; 244,0) 97,988 25

26 6 Exercícios PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Exercício 6.1 ividir a área abaixo em duas áreas iguais, sendo que a divisa entre as duas áreas deve passar pelo ponto médio da linha de divisa F. Ponto X (m) Y (m) 100,00 100,00 E 77,54 136,30 152,42 171,05 189,52 140,85 E 180,00 133,00 F F 185,69 100, rea do Poligono 77,54 136, ,42 171, ,54 136, ,52 140, ,85 152,42 171, ,22 E ,4 189,52 140, ,36 F 185, , ,77 185, ,7 rea = 5429,639 etada da Área 2714,82 Área do Triangulo oordenadas do Ponto 142, Xm Ym ,54 136, ,77 142, ,85 152,42 171, , ,64 142, rea do triangulo 52962, , rea = 2493, ,54 136, ,77 142, ,5 rea = 3271, , ,5 rea = 777,6368 VERIFIÇÃO rea que passou = 556,5636 rea P 142, oeficiente = 0, , ,54 136, oordenado do ponto P , , , ,78 142, ,8 Xp = 135, , ,15 Yp = 163,2944 rea P = 2714,82 26

27 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR FZENO O PONTO PSSR POR Área do Triangulo ,54 136, ,85 152,42 171, , , ,22 rea = 1749,315 Área do Triangulo F ,42 171, ,27 185, , rea F = 3044,137 rea F = 4793,452 rea que passou = 2078,632 oeficiente = 0, oordenado do ponto P Xp = 127,1782 Yp = 100 VERIFIÇÃO rea P 127, , ,54 136, ,85 152,42 171, , ,83 127, , ,04 rea P = 2714,82 27

28 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Exercício 6.2 ividir a área abaixo em duas áreas iguais, sendo que a divisa entre as duas áreas deve passar pelo ponto médio da linha de divisa E. Ponto X (m) Y (m) 100,00 100,00 62,00 142,00 175,00 214,00 228,00 182,00 E E 180,00 111,00 28

29 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Exercício ividir a área abaixo em duas áreas iguais, sendo que a divisa entre as duas áreas deve passar pelo ponto, distante 10 m do ponto, sobre o alinhamento G. E Ponto X (m) Y (m) 100,0 94,0 100,0 100,0 100,0 111,0 114,0 118,0 G F E 134,5 106,5 F 127,0 88,0 G 121,0 94,0 29

30 PRELENTO/IVISÃO O SOLO VISÃO GEOÉTRI Engenharia artográfica e de grimensura - UFPR Exercício 6.4 Realizar o parcelamento da área dada, sendo que a primeira área deve ter 8000,00m2 (a esquerda do polígono) e ter como ponto limite o ponto G e o restante dividir em duas áreas iguais, sendo que a linha da divisa deve passar pelo ponto. alcular também o azimute das duas linhas divisórias. E Ponto X(m) Y(m) 100,00 100,00 140,56 197,80 184,55 161,88 G F 266,02 203,92 E 360,80 203,92 H F 360,80 118,30 G 224,71 118,30 H 161,00 78,00 30