DJEISON BENETTI UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS: TRIEDRO DE FRENET

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1 DJEISON BENETTI UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS: TRIEDRO DE FRENET SINOP 2009

2 DJEISON BENETTI UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS: TRIEDRO DE FRENET Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Banca Examinadora do Departamento de Matemática - UNEMAT, Campus Universitário de Sinop, como requisito parcial para a obtenção do título de Licenciado em Matemática. Orientadora: Prof. MSc. Chiara Maria Seidel Luciano Dias Co-orientador: Prof. MSc. Rogério dos Reis Gonçalves SINOP 2009

3 DJEISON BENETTI UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS: TRIEDRO DE FRENET Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Banca Examinadora do Departamento de Matemática - UNEMAT, Campus Universitário de Sinop, como requisito parcial para a obtenção do título de Licenciado em Matemática. BANCA EXAMINADORA: Prof. MSc. Chiara Maria Seidel Luciano Dias Professora Orientadora Unemat - Campus Universitário de Sinop Prof. MSc. Rogério dos Reis Gonçalves Professor Co-orientador Unemat - Campus Universitário de Sinop Prof. MSc. Rodrigo Bruno Zanin Professor Avaliador Unemat - Campus Universitário de Sinop Prof. Dr. André Luis Christoforo Professor Avaliador Unemat - Campus Universitário de Sinop Prof. MSc. Chiara Maria Seidel Luciano Dias Presidente da Banca Unemat - Campus Universitário de Sinop SINOP de de 2009

4 AGRADECIMENTOS Agradeço à Deus pela oportunidade de viver e estudar matemática e aos meus queridos pais Araci e Leonir. À todos os professores do departamento de Matemática que direta ou indiretamente contribuíram para minha formação acadêmica. Em especial, agradeço ao professor Rogério do Reis Gonçalves, à professora Chiara Maria Seidel Luciano Dias, ao professor Rodrigo Bruno Zanin e ao professor André Luis Christoforo que de modo irrestrito sempre me apoiaram e incentivaram. À minha namorada Adriana e aos meus colegas Silmara, Silvana, Irineu e Polyanna. À banca examinadora da monografia pela participação neste importante momento. D. B.

5 RESUMO BENETTI, Djeison. Um estudo sobre a Teoria Local de Curvas: Triedro de Frenet.Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) - Faculdade de Ciências Exatas. Universidade do Estado de Mato Grosso / Campus Universitário de Sinop. Sinop, Neste trabalho aborda-se um dos temas clássicos da geometria diferencial: a teoria local de curvas. Em particular, realiza-se uma pesquisa bibliográfica com ênfase as curvas espaciais e ao triedro de Frenet. Para sua realização baseou-se principalmente em Tenenblat (1990), Picado (2006) e Carmo (2008). De maneira geral objetiva-se desenvolver um material de estudo que possa servir como fonte de pesquisa para acadêmicos que pretendem iniciar seus estudos nesta área. Assim, neste trabalho discute-se principalmente qual é a importância do triedro de Frenet e em quais circunstâncias contribui para a teoria local de curvas. Por fim, destaca-se o fato de que o triedro de Frenet é um referencial móvel, no qual a partir dele é possível determinar duas outras medidas: a curvatura e a torção, funções escalares que conforme Teorema Fundamental da Teoria Local de Curvas são capazes de determinar por completo a forma de uma curva. Palavras-chave: Geometria Diferencial. Teoria Local de Curvas. Triedro de Frenet. Curvatura. Torção.

6 ABSTRACT BENETTI, Djeison. A study about the Local Theory of Curves: Frenet s Frame. Course Conclusion Paper. (Graduation in Mathematics) - Faculty of Exacts Sciences. University of Mato Grosso State. Sinop, This work presents one of the classic themes of differential geometry: the local theory of curves. In particular, we carried out a literature review with emphasis on space curves and Frenet s frame. To write this work, we were based mainly on Tenenblat (1990), Picado (2006) e Carmo (2008). In general our goal is to develop a study material that can serve as research source for scholars wishing to start their studies in this area. Thus, this paper discusses mainly what is the importance of the Frenet s frame and under what circumstances contribute to the local theory of curves. Finally, we highlight the fact that the Frenet s frame is a moving reference frame, from where it is possible to determine two other measures: the curvature and torsion, scalar functions that as the Fundamental Theorem of Local Curve Theory are able to completely determine the shape of a curve. key-words: Differential Geometry. Local Theory of Curves. Frenet s Frame. Curvature. Torsion.

7 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 6 2 PRELIMINARES PRELIMINARES DE ÁLGEBRA LINEAR O ESPAÇO EUCLIDIANO R UM POUCO SOBRE DIFERENCIABILIDADE ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA DIFERENCIAL PROPRIEDADES DAS CURVAS PARAMETRIZADAS DIFERENCIÁVEIS ES- PACIAIS CURVAS PARAMETRIZADAS DIFERENCIÁVEIS COMPRIMENTO DE ARCO E MUDANÇA DE PARÂMETRO CURVAS REGULARES O TRIEDRO DE FRENET E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA LO- CAL DE CURVAS CURVATURA TRIEDRO DE FRENET E TORÇÃO AS FÓRMULAS DE FRENET ISOMETRIA EM R 3 E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA LO- CAL DE CURVAS APLICAÇÕES DO TRIEDRO DE FRENET CARACTERIZAÇÃO DAS HÉLICES

8 5.2 CARACTERIZAÇÃO DE UMA HÉLICE CIRCULAR EM TERMOS DE CUR- VATURA E TORÇÃO POR MEIO DO SOFTWARE MATHEMATICA CONCLUSÕES 58 Referências Bibliográficas 59 Apêndice A -- BREVE APRESENTAÇÃO DO SOFTWARE MATHEMATICA 60

9 1 INTRODUÇÃO A matemática é uma ciência fundamental para o desenvolvimento de várias áreas do conhecimento humano. Ao servir como base para diversas ciências percebe-se, entre outras coisas, a dimensão de sua importância e abrangência, não apenas como um campo de estudo isolado, abstrato, mas também integrado à realidade e aos fenômenos da natureza. A geometria diferencial é mais uma dentre as inúmeras variedades de pesquisa do conhecimento matemático, e como tal possui ampla aplicação. De fato, conforme Picado (2006), muitos dos problemas que envolvem curvas e superfícies fazem da geometria diferencial um amplo campo de pesquisa e estudo. As curvas e as superfícies são objetos que intuitivamente qualquer pessoa pode ver e parte das questões levantadas por elas são óbvias e naturais. A geometria diferencial, por sua vez, se preocupa com a formulação matemática de tais questões se utilizando das técnicas do cálculo diferencial. Ao iniciar um estudo sobre curvas em geometria diferencial destaca-se, num primeiro momento, que em nossa graduação não se tem a oportunidade de estudar esta disciplina. Trata-se de uma área até então desconhecida pelos acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática da UNEMAT. Destaca-se também que em nossa biblioteca não encontram-se muitos materiais ou livros sobre o assunto e, dentre os poucos que se encontram, em sua maioria apresentam um linguagem matemática mais formal e elaborada. Em virtude disso, explorar, conhecer e descobrir são fatores que motivaram para a realização de uma pesquisa sobre o tema. Além do mais, este trabalho possui um caráter introdutório no qual busca-se elaborar, de forma clara e objetiva, um texto que possa auxiliar acadêmicos e professores que queriam iniciar um estudo em geometria diferencial. Em particular, faz-se uma abordagem do assunto que comporte, dentro de suas limitações, as principais ideias, definições e considerações. O desenvolvimento teórico é construído sobretudo de acordo com os autores Tenenblat (1990), Picado (2006) e Carmo (2008) além, é claro, de outros que surgiram com o aprofundamento da pesquisa. A contribuição desses e de outros pesquisadores foi essencial para se conhe-

10 7 cer e explorar o tema e, assim, fundamentá-lo logicamente. Portanto, a pesquisa desenvolve-se discutindo, basicamente, que tipos de curvas são objetos de estudo da geometria diferencial, qual é a importância do triedro de Frenet e de que forma a curvatura e a torção determinam a forma de uma curva. De modo especial, neste trabalho destaca-se o emprego do triedro de Frenet, uma base ortonormada que é obtida em cada ponto de uma curva regular. A partir das fórmulas de Frenet determinam-se a curvatura e a torção chegando-se, assim, ao ponto mais interessante de nosso estudo: a demonstração do Teorema Fundamental da Teoria Local de Curvas. Em seguida, tem-se uma importante aplicação das fórmulas de Frenet com a caracterização das hélices, no qual também faz-se um estudo, com auxílio do software Mathematica, de uma hélice circular parametrizada por comprimento de arco.

11 2 PRELIMINARES Neste capítulo são apresentadas algumas noções preliminares. Em particular, destacam-se aquelas referentes ao espaço euclidiano R 3. Estas noções contribuirão para o estudo local das curvas principalmente na obtenção das equações a partir do triedro de Frenet. Em seguida, ressaltam-se alguns fatos que propiciaram o surgimento da geometria diferencial clássica e que constituem hoje parte importante da história da matemática. 2.1 PRELIMINARES DE ÁLGEBRA LINEAR Os resultados que se seguem são apenas abordados superficialmente, por isso recomenda-se para maiores detalhes Hoffman e Kunze (1979) e Lima (2008), os quais foram consultados para escrever esta seção. Definição 1. Um espaço vetorial consiste de um corpo K de escalares e de um conjunto V de objetos ou vetores. Nele estão definidas duas operações: a adição que a cada par de vetores u,v V faz corresponder um novo vetor u+v V chamado de a soma de u,v, e a multiplicação por escalar que a cada número α K e a cada vetor v V faz corresponder um vetor α v V, chamado o produto de α por v. Essas operações devem satisfazer, para quaisquer α,β K e u,v,w V, os seguintes axiomas de espaço vetorial: comutatividade: u + v = v + u; associatividade: (u + v) + w = u + (v + w) e (α β)v = α (β v); vetor nulo: existe um único vetor 0 V, denominado vetor nulo, tal que v + 0 = v v V ; inverso aditivo: para cada vetor v V existe um único vetor v V tal que v + ( v) = 0; distributividade: (α + β)v = α v + β v e α (u + v) = α u + α v; multiplicação por 1: 1 v = v.

12 9 Segue que todo conjunto V que satisfazer estas condições será chamado um espaço vetorial sobre K ou, simplesmente, um K-espaço vetorial. É importante ressaltar que num K-espaço vetorial todas as regras e operações usualmente empregadas nas manipulações numéricas ocorrem como consequência dos axiomas acima. Uma das características principais de um espaço vetorial refere-se à obtenção de novos vetores a partir de vetores dados. Definição 2. Seja V um K-espaço vetorial. Um vetor v V é uma combinação linear dos vetores v 1,v 2,..., v n em V se existem escalares α 1, α 2,..., α n em K tais que v = α 1 v 1 + α 2 v α n v n. Em um dado espaço vetorial também é possível encontrar subconjuntos seus tal que sejam eles próprios espaços vetoriais. Tais subconjuntos são chamados de subespaços vetoriais. Definição 3. Seja V um K-espaço vetorial. Um subconjunto W V é dito subespaço vetorial de V se satisfazer os axiomas de espaço vetorial. Teorema 1. Um subconjunto não-vazio W de V é um subespaço de V se, e somente se, para cada par de vetores w 1, w 2 em W e cada escalar α em K, tem-se que o vetor αw 1 + w 2 W. Exemplo 1. O conjunto {0} formado apenas pelo vetor nulo e o espaço V são exemplos de subespaços, os chamados subespaços triviais de V. Segue também que todo subespaço é em si mesmo um espaço vetorial. Exemplo 2. Os únicos subespaços vetoriais de R 2 são {0}, as retas que passam pela origem e o próprio R 2. Definição 4. Seja S um subconjunto do K-espaço vetorial V. O subespaço vetorial de V gerado por S é formado por todas as combinações lineares de vetores v 1,..., v n S. α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v α n v n O subespaço W gerado por S V, contém o conjunto S e é o menor subespaço de V que contém S. Quando o subespaço W gerado por S coincide com V diz-se que S é um conjunto gerador de V. Isso significa que todo vetor v V pode ser escrito como combinação linear de vetores v 1,..., v n S. v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v α n v n

13 10 Exemplo 3. Seja v V um vetor não-nulo. O subespaço gerado por v V é a reta que passa pela origem e contém v. Exemplo 4. Os vetores canônicos e 1 = (1,0,0,...,0), e 2 = (0,1,0,...,0),..., e n = (0,0,...,1) constituem um conjunto gerador do espaço R n. De fato, dado v = (a 1,a 2,...,a n ) R n, pode-se escrever v = a 1 e 1 + a 2 e a n e n. Definição 5. Seja V um K-espaço vetorial. Um subconjunto β de V é dito linearmente dependente ou LD se existem vetores distintos v 1,v 2,...,v n em β e escalares α 1,α 2,...,α n em K, não todos nulos, tais que α 1 v 1 + α 2 v α n v n = 0. Um conjunto que não é linearmente dependente é chamado linearmente independente ou, simplesmente, LI. Em outras palavras, isso significa que a combinação nula deste conjunto de vetores é obtida apenas quando os escalares α i forem todos nulos. Os espaços vetoriais de dimensão finita possuem uma estrutura algébrica simples dadas pelas ideias de base e dimensão, pois uma vez fixadas uma base de um K-espaço vetorial n- dimensional, seus elementos nada mais são do que combinações lineares de n vetores básicos. Definição 6. Dado um K-espaço vetorial V. Uma base β de V é um conjunto linearmente independente de vetores de V que gera o espaço V. O espaço vetorial V é de dimensão finita se possui uma base finita. A partir disso pode-se afirmar que todo vetor v V pode ser escrito, de modo único, como combinação linear v = α 1 v 1 + α 2 v α n v n de elementos v 1,v 2,...,v n de β. Assim, se V é um espaço vetorial de dimensão finita, então quaisquer duas bases de V tem o mesmo número de elementos. Pode-se definir, então, a dimensão de um espaço vetorial como sendo o número de elementos numa base de V. Exemplo 5. Os vetores canônicos e 1 = (1,0,0,...,0), e 2 = (0,1,0,...,0),..., e n = (0,0,...,1) são LI. De fato, a 1 e 1 + a 2 e a n e n e = 0 implica necessariamente que a 1 =... = a n = 0. Como também constituem um conjunto gerador do espaço R n segue que formam uma base de R n. Definição 7. Sejam V e W espaços vetoriais. Uma transformação linear T : V W é uma aplicação que associa a cada vetor v V um vetor T (v) W de modo que sejam satisfeitas,

14 11 para quaisquer u,v V e α K, as relações: T (u + v) = T (u) + T (v), T (αv) = αt (v). 2.2 O ESPAÇO EUCLIDIANO R 3 Em especial, para o estudo das curvas, tem-se o espaço euclidiano R 3. O conjunto R 3 = {(x 1,x 2,x 3 ) x i R} é constituído por todas as sequências de ternas ordenadas de números reais. Este conjunto munido das operações vetoriais de adição e multiplicação por escalar é um R-espaço vetorial. Seus subespaços vetoriais são todos os subespaços de R 2, todos os planos que passam pela origem e o próprio R 3. O conjunto β = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é uma base de R 3, chamada a base canônica. Além do mais, quaisquer três vetores linearmente independentes formam uma base para este espaço vetorial e, reciprocamente, todas as suas bases são formadas por três vetores linearmente independentes. Seguem abaixo algumas definições e propriedades importantes referentes ao produto interno e ao produto vetorial usuais em R 3. Definição 8. Dados dois vetores u e v de componentes u = (x 1,x 2,x 3 ) e v = (y 1,y 2,y 3 ), o produto interno (ou produto escalar) de u e v é definido como sendo o número real dado por u,v = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Trata-se de um caso particular de produto interno, também designado normalmente como produto interno canônico, satisfazendo as seguintes propriedades: 1. v R 3 e v 0 v,v > 0, 2. u,v R 3 u,v = v,u, 3. u,v,w R 3 e a,b R au + bv,w = a u,w + b v,w. Estando definido em R 3 um produto interno é possível associar-lhe uma norma, dita norma euclidiana, tal que para u = (x 1,x 2,x 3 ) tem-se u = u,u 1 2 = x x2 2 + x2 3. Um vetor é dito unitário se u = 1. A norma ainda satisfaz as seguintes propriedades:

15 12 1. v R 3 e v 0 v > 0, 2. v R 3 e a R av = a v, 3. u,v R 3 u + v u + v. Definição 9. Seja u e v vetores não-nulos, o ângulo θ entre u e v é a solução da equação u,v = u v cosθ satisfazendo 0 θ π. Além do mais, dois vetores u e v são ditos ortogonais se u,v = 0. Segue, então, que u e v são ortogonais se, e somente se, u = 0 ou v = 0 ou o ângulo entre u e v é π 2. A base canônica e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0) e e 3 = (0,0,1) de R 3 é formada por vetores unitários e dois a dois ortogonais. Logo esta base também é dita uma base ortonormal ou, ainda, um referencial ortonormal. O produto vetorial de dois vetores, ao contrário do produto escalar, é um vetor, definido somente para espaços com mais de duas dimensões. Definição 10. Dados dois vetores u e v de componentes u = (x 1,y 1,z 1 ) e v = (x 2,y 2,z 2 ), o produto vetorial de u e v, denotado por u v é definido como o vetor de componentes u v = (y 1 z 2 y 2 z 1, x 1 z 2 + x 2 z 1,x 1 y 2 x 2 y 1 ). Uma das propriedades mais importantes do produto vetorial é que o vetor u v é ortogonal a u e v. O produto vetorial também satisfaz as segunites propriedades: 1. u v = u v sinθ, no qual θ (0 θ π) é o ângulo entre u e v; 2. u v = 0 se, e somente se, u e v são LD; 3. u v = (v u); 4. (λu) v = λ(u v). 2.3 UM POUCO SOBRE DIFERENCIABILIDADE Os conceitos de limite e continuidade estudadas no cálculo para funções de uma variável são introduzidos de maneira análoga para funções de duas ou mais variáveis. De particular interesse para este estudo define-se:

16 13 Definição 11. Seja F : A R n R m uma função definida em um aberto A R n. Fixa-se p A e v um vetor não nulo de R n. A derivada direcional de F em p na direção de v é o vetor quando este limite existe. lim t 0 F(p +tv) F(p), t Definição 12. Se F : A R n R m é uma função diferenciável, então para p A a diferencial de F em p é uma aplicação linear df : A R n R m definida por df p (v) = d dt (F(p +tv)) t=0 A função F é diferenciável se F é diferenciável em p, para todo p A. Pode-se verificar que se F é diferenciável em p, então para todo v R n, F(p +tv) F(p) df p (v) = lim. t 0 t Assim, se F é diferenciável em p então a derivada direcional de F em p existe em qualquer direção. Deste modo, pode-se entender df p (v) como a aplicação que leva todo vetor p ao vetor derivada direcional de p na direção de v. Além disso, pode-se mostrar que a aplicação linear df p é representada, nas bases canônicas de R 2 e R 3, por uma matriz (matriz jacobiana) que depende apenas das derivadas parciais em p das funções coordenadas de F. Exemplo 6. Seja F : R 2 R 2 tal que F(x,y) = (2x 2,xy), com (x,y) R 2. Vê-se que F é diferenciável e que sua diferencial df p em p = (x,y) é ( ) 4x 0 df p = y x Por exemplo, ( 4 0 ) ( 3 ) ( 12 ) df (1,0) (3,2) = = 2. Se F : R n R m é uma aplicação linear, então F possui derivadas de todas as ordens. Além disso, para todo p R n, df p = F. De fato, se v R n, então F(p +tv) F(p) F(p) +tf(v) F(p) df p (v) = lim = lim = F(v), t 0 t t 0 t no qual a segunda igualdade é devido ao fato de F ser linear.

17 ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA DIFERENCIAL A geometria diferencial, em geral, é dividida em dois momentos: geometria diferencial clássica e geometria diferencial moderna. A geometria diferencial clássica estuda as propriedades das curvas e superfícies no espaço euclidiano. Em síntese, é uma teoria local de curvas e superfícies, no qual se estudam as propriedades locais, ou seja, o comportamento da curva ou superfície na vizinhança de um ponto. A geometria diferencial moderna estuda o comportamento de toda a curva ou superfície a partir da influência das propriedades locais. Sendo também descrita como uma teoria global de curvas e superfícies, seu estudo é mais completo e abstrato, pois abrange espaços não-euclidianos de qualquer dimensão. Entretanto, destaca-se o fato de que ambas baseiam-se no cálculo diferencial e integral. A origem da geometria diferencial se deu no século XVII com a introdução dos métodos do cálculo diferencial na geometria euclidiana. Cronologicamente, os conceitos iniciais sobre curvas planas foram dados por Huygens ( ) na obra "Horologium Oscillatorium" de Mais tarde Newton ( ), em 1736, na obra "Geometria Analytica", foi quem empregou pela primeira vez os métodos do cálculo diferencial nesta área. O estudo em geometria diferencial no espaço começaram com Clairaut ( ) no trabalho "Recherche sur les Courbes à Double Curvature" (1731), um trabalho que trata sobre curvas e superfícies. Em se tratando do estudo das curvas, o método mais importante e até hoje utilizado, conhecido como triedro móvel de Frenet-Serret, foi introduzido por Michel-Anye Lancret ( ) em O estudos em geometria diferencial de superfícies surgem com o estudo das geodésicas, curvas de comprimento mínimo numa superfície. Em particular, destacava-se o estudo com a superfície esférica, principalmente pelas aplicações na navegação e a necessidade de elaboração de mapas cartográficos. Assim, segundo Picado (2006), em 1697 Jean Bernoulli ( ) colocou o problema de determinação da curva mais curta ligando dois pontos numa superfície convexa. Em 1698 Jacques Bernoulli ( ) determinou as geodésicas nos cilindros, cones e superfícies de revolução. A forma geral das equações das geodésicas numa superfície foi obtida por Euler ( ) em Foi Euler quem deu bases sólidas à teoria das superfícies em "Recherches sur la Courbure des Surfaces" (1760), no qual introduziu as chamadas curvaturas principais de uma superfície num ponto. Contudo, foi Gauss ( ) em 1827, com "Disquisitiones circa superfícies curvas", quem de fato elaborou um volume dedicado a geometria diferencial. Este trabalho foi desenvolvido em um espaço euclidiano, utilizando propriedades da trigonometria esférica, conhecida dos tempos das navegações, e que tem como referência a geometria de Euclides (BISPO;

18 15 MARTINS, 2005). Na verdade, segundo Carmo (1999), ele foi motivado por um problema de Geodésia, pois Gauss foi encarregado do levantamento geodésico de uma região da Alemanha. Isto exigia medir triângulo sobre a superfície da Terra, o que o levou a refletir sobre a influência da forma da Terra nestas medidas. Para resolver este problema, ele generalizou a questão para uma superfície qualquer e obteve, para triângulos geodésicos pequenos, o que é conhecido hoje como Teorema de Gauss-Bonet, que é o resultado mais importante da geometria diferencial clássica. Em virtude disso, na obra "Disquisitiones circa superfícies curvas" encontra-se todo o desenvolvimento da teoria de Gauss para o estudo de uma superfície curva que culminaram com a introdução de ferramentas que serviram de base para a geometria diferencial não-euclidiana. O que mais tarde levou Riemann ( ) a generalizações mais abstratas da ideia de geometria. No Brasil, conforme Carmo (1999), a influência da filosofia de Augusto Comte ( ) no século XIX retardou a introdução de idéias novas na matemática. Segundo Comte a matemática estava pronta e acabada, e só restava aplicá-la. Esta atitude dogmática era aceita na Escola Militar e nas poucas escolas de Engenharia que eram, naquela época, os lugares onde se encontrava a matemática no Brasil. Aliado a este dogmatismo, a ausência de meios de divulgação, o isolamento científico e a falta de estímulo social eram algumas das outras dificuldades que se apresentavam. Assim, era muito difícil fazer qualquer pesquisa naquela época. Contudo, ainda neste período, destacam-se alguns fatos importantes como a criação da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP em 1934 e a do CNPq em Deste modo, lentamente as novas idéias da matemática foram se estabelecendo no Brasil. A mudança de fato começou a acontecer quando realizou-se em Poços de Caldas o 1 Colóquio Brasileiro de Matemática em 1957, no qual sua influência foi decisiva para o futuro da matemática brasileira. A partir daí iniciou-se um movimento que veio a ampliar de forma significativa a sua pesquisa no Brasil. Em particular, conforme Carmo (1999), para a geometria diferencial iniciou-se um novo período com a qualificação de muitos pesquisadores brasileiros principalmente no exterior. Aliás, um dos aspectos deste período, é que todos os trabalhos de brasileiros sobre este assunto, sem exceção, eram feitos no exterior. Portanto, era necessário consolidar a pesquisa no Brasil, o que acontece a partir de Assim, ao fim do período de 1970 à 1983, estavam em pleno andamento os Programas de Pós-Graduação em geometria diferencial no IMPA, na USP e na UNICAMP. As teses eram, em geral, já publicadas em revistas de circulação internacional, o que acabava por valorizar e prestigiar a pesquisa em matemática no Brasil.

19 3 PROPRIEDADES DAS CURVAS PARAMETRIZADAS DIFERENCIÁVEIS ESPACIAIS Neste capítulo discute-se quais os tipos de curvas que são objetos de estudo da geometria diferencial clássica. Em especial, culmina-se no conceito de curva regular parametrizada por comprimento de arco que é, sem dúvida, o resultado mais importante para o desenvolvimento da teoria local de curvas e para a determinação do triedro de Frenet. 3.1 CURVAS PARAMETRIZADAS DIFERENCIÁVEIS Ao iniciar um estudo sobre curvas, convém se perguntar: o que é uma curva? E mais especificamente, em se tratando de geometria diferencial: qual é o tipo ideal de curva a ser estudada? O fato é que todos possuem pelo menos uma ideia intuitiva sobre curva. Pode-se pensar, então, uma curva como um conjunto de pontos no plano ou no espaço e com dimensão igual a 1. Assim, por exemplo, uma curva pode ser o gráfico de uma função real de uma variável, ser uma figura feita com um único traço, sem tirar o lápis do papel, ou ainda descrever a trajetória de uma partícula movendo-se no espaço. Uma curva, portanto, pode representar uma reta, uma parábola, uma circunferência, uma elipse ou um traço qualquer. Figura 3.1: Exemplos de curvas. Algebricamente uma curva pode ser descrita de maneiras diferentes, assim, y = x representa uma reta, y = x 2 representa uma parábola, x 2 + y 2 = 1 representa uma circunferência de raio unitário e 1 2 x2 + y 2 = 9 representa uma elipse. Muitas curvas como estas podem ser descritas por meio de equações cartesianas, ou seja, no caso das curvas planas, tomando-se y como uma

20 17 função de x [y = f (x)], escrevendo-se x como uma função de y [x = g(y)] ou conhecendo a relação entre x e y que considera y implicitamente como uma função de x [ f (x,y) = 0]. Mas também pode-se considerar curvas em R 3, como é caso da reta que representa o eixo OY dada por {(x,y,z) R 3 x = z = 0}. Entretanto uma curva pode assumir diversas formas e, em consequência, nem sempre é possível descrevê-la por meio de uma equação cartesiana. Além disso, dependendo da necessidade, uma curva muitas vezes é melhor descrita de uma maneira do que por outra. Deste modo, no contexto da geometria diferencial, o objetivo é caracterizar as curvas como certos subconjuntos de R 3 aos quais possam ser aplicados os métodos do cálculo diferencial. Para tanto, uma curva deverá ser vista como o caminho feito por um ponto a mover-se no espaço euclidiano R 3. Assim, ao invés de se ter curvas definidas por equações, serão consideradas curvas descritas por funções do tipo vetoriais. Definição 13. Uma função vetorial α de um subconjunto I de R em R 3, denotada por α : I R R 3, é uma correspondência que, para cada t I, associa α(t) R 3. Isto significa que para todo número t I associa-se um único vetor denotado por α(t). Uma função vetorial, então, é uma função cujo domínio é um conjunto dos números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores. Desse modo, uma função vetorial α : I R R 3 pode ser representada por α(t) = (x(t),y(t),z(t)), no qual as funções reais x,y,z : I R são denominadas funções coordenadas ou funções componentes de α. Um fato importante é que as funções vetoriais contínuas e as curvas espaciais estão intimamente relacionadas (STEWART, 2006). Sejam f, g e h funções reais contínuas em um intervalo I e componentes de uma função vetorial γ. Então o conjunto P de todos os pontos (x,y,z) no espaço para os quais x = f (t) y = g(t) z = h(t) e com t variando no intervalo I é dita uma curva espacial. Deste modo qualquer função vetorial define uma curva espacial que é traçada pela ponta do vetor em movimento. Assim, a curva espacial será descrita por uma função γ de parâmetro t no qual γ(t) é o vetor da posição do ponto no instante t e a imagem dessa curva será um subconjunto de R 3. Na Figura 3.2, a curva é traçada pelo movimento de uma partícula cuja posição no instante t é ( f (t),g(t),h(t)). Assim quando t varia, o ponto P( f (t),g(t),h(t)) também varia e traça a curva. Curvas assim descritas, em função de um parâmetro t I, são chamada de curvas parametrizadas.

21 18 Figura 3.2: Curva espacial descrita por uma função vetorial. Definição 14. Uma curva parametrizada em R 3 é uma função vetorial α : I R 3 definida em um intervalo I de R. A imagem α(t), com t I, de uma curva parametrizada α é chamada traço, rastro ou, ainda, caminho da curva. Dessa forma é importante ressaltar que uma curva possui domínio, contradomínio e uma aplicação associando a cada elemento do domínio com um no contradomínio. Trata-se, portanto, de pensar em uma curva não apenas como um conjunto de pontos no plano ou no espaço, mas como uma função. A este conjunto de pontos, que na verdade é a imagem, ou seja, o "desenho" da curva, será chamado de traço. Conforme Cunha (2008), as propriedades geométricas de uma curva são as que dependem somente de seu traço, enquanto as propriedades cinemáticas dependem não apenas do traço, mas também da parametrização escolhida para a curva. Diz-se propriedades cinemáticas, pois em muitos casos é natural considerar o parâmetro t como sendo o tempo e a curva como a trajetória de algum ponto material. Em Picado (2006), pode-se encontrar um exemplo no qual é possível compreender a importância da definição de curva como uma função de um parâmetro t e a diferença entre curva e traço da curva. Então, suponha que uma formiga caminha de um ponto A até um ponto B e que se marque em cada instante t, com o número t, a sua posição (começando com t = 0 em A). Quando a formiga chegar a B estará traçado o caminho por ela percorrido. O mesmo efeito se consegue ao seguir o rasto de uma lesma, mas agora sem marcar a sua posição em cada instante.

22 19 Figura 3.3: Rastro da formiga e da lesma, respectivamente. Aparentemente, o rastro não mudou. No entanto, existe uma diferença significativa entre ambas as representações. No rastro da lesma, por exemplo, não se pode dizer se ela esteve parada durante algum tempo em algum ponto ou ainda se, em algum pedaço do caminho, o percorreu várias vezes. Por estas razões, para o estudo de curvas, se está mais interessado na função que representa a posição no instante t e não apenas no caminho, sem a sua evolução ao longo do tempo. Em virtude disso, adota-se para a definição de curva o conceito de curva parametrizada. Além disso, a geometria diferencial clássica estuda as propriedades locais, ou seja, aquelas que dependem somente do comportamento da curva na vizinhança de um ponto. Assim, ao se falar em vizinhança de um ponto, deve-se assumir que a função α : I R 3 é sempre contínua. Entretanto, existe uma outra situação que é fundamental no estudo de curvas. É necessário que as funções além de serem contínuas sejam infinitamente diferenciáveis. De fato, ao assumir que a função α é sempre contínua, claramente as figuras a seguir são alguns exemplos de imagens de funções contínuas I R 3 : Figura 3.4: Exemplos de imagens de funções contínuas. Mas, existem certas funções que fogem muito à intuição que se tem sobre curvas. Em 1890 Peano ( ) apresentou um exemplo de uma função contínua de [0,1] em R 2, hoje chamada Curva de Peano, cuja imagem preenche todo quadrado 0 x,y 1, contradizendo aquilo que intuitivamente acredita-se ser uma curva. Portanto, para evitar exemplos como este e permanecer próximo a intuição inicial, restringe-se o estudo apenas às curvas parametrizadas infinitamente diferenciáveis.

23 20 Figura 3.5: Exemplo de função contínua: A curva de Peano. Aqui, então, estende-se os conceitos do cálculo infinitesimal sobre continuidade e diferenciabilidade, válidos para funções reais que associam valores reais, para funções vetoriais. Assim, uma função vetorial é contínua se, e somente se, as suas funções componentes f, g e h são contínuas. De modo análogo, será diferenciável se, e só se, f, g e h são funções diferenciáveis. Se a função vetorial α : I R 3 é diferenciável, então a função α : I R 3, para cada t I, que associa α (t) = ( f (t),g (t),h (t)) é também uma função vetorial chamada derivada de primeira ordem de α. Se a função α é também diferenciável pode-se obter um nova função vetorial, chamada derivada de segunda ordem de α, denotada por α (t) = ( f (t),g (t),h (t)). De maneira geral, uma função vetorial é dita diferenciável de classe C se existem as derivadas de todas as ordens desta função. Se α e β são funções vetoriais diferenciáveis em I e f é uma função real diferenciável em I, então α + β, f α, α,β e α β são diferenciáveis e (α + β) = α + β ; ( f α) = f (α ) + ( f )α; ( α,β ) = α,β + α,β ; (3.1) (α β) = α β + α β. A partir de agora, pode-se iniciar o desenvolvimento da teoria local de curvas no espaço R 3. Uma primeira definição de curva que surge, ainda não inteiramente satisfatória, é o de curva parametrizada diferenciável. Definição 15. Uma curva parametrizada diferenciável de R 3 é uma aplicação α, de classe C, de um intervalo aberto I R em R 3. A variável t I é o parâmetro da curva e o subconjunto de R 3 formado pelos pontos α(t), t I, é o traço da curva. Observa-se, portanto, que uma curva parametrizada de R 3 é um aplicação α : I R 3 que para cada t associa α(t) = ( f (t), g(t), h(t)), t I, no qual f (t), g(t) e h(t) são funções diferenciáveis de classe C. A partir disso verifica-se a seguir que: Exemplo 7. A aplicação α(t) = (x 0 + at,y 0 + bt,z 0 + ct), t R, no qual

24 21 a 2 + b 2 + c 2 0 é uma curva parametrizada diferenciável, cujo traço é uma linha reta passando pelo ponto P 0 (x 0,y 0,z 0 ) e paralela ao vetor de coordenadas v = (a,b,c). Figura 3.6: Reta. De fato, dado uma reta r no espaço tridimensional, sua equação é determinada quando é conhecido um ponto P 0 (x 0,y 0,z 0 ) em r e a direção de r, dada pelo vetor v = (a,b,c). A condição a 2 + b 2 + c 2 0 garante que v 0, caso contrário não seria possível determinar a reta, muito menos a sua orientação. Além disso, as suas funções componentes são funções diferenciáveis. Com efeito, seja f (t) = x 0 + at. Como f (t) = a, f (t) = 0, f (t) = 0,..., segue que f (t) possui derivadas de todas as ordens, ou seja, é diferenciável de classe C. Analogamente, estendendo isso para as demais, facilmente vê-se que esta aplicação é uma curva parametrizada diferenciável. Exemplo 8. A curva cuja equação vetorial é representada por α(t) = (r cost,r sint,at), com t R,r > 0 e a > 0, é uma curva parametrizada diferenciável. Seja x = r cost, y = r sint e z = at. Segue claramente que α é uma curva parametrizada diferenciável. Além disso, tem-se que x 2 + y 2 = r 2 (cos 2 t + sin 2 t) = r 2, logo a curva pertence ao cilindro circular x 2 + y 2 = r 2. Nota-se, que o ponto (x,y,z) está diretamente acima do ponto (x,y,0), no qual as terceiras coordenadas diferem por um múltiplo de 2πa. A curva se move no sentido anti-horário em torno da circunferência x 2 + y 2 = r 2 no plano xy. Como z = at, a curva faz uma espiral para cima ao redor do cilindro quando t aumenta. Essa curva é chamada hélice circular.

25 22 Figura 3.7: Hélice circular Exemplo 9. A curva de Viviani formada pela intersecção do cilindro (x a) 2 + y 2 = a 2 com a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4a 2 e que pode ser parametrizada por ( ( t α(t) = a 1 + cost,sint,2sin 2) ) é outro exemplo de curva parametrizada diferenciável. Figura 3.8: Curva de Viviani. Exemplo 10. A aplicação α : R R 2 dada por α(t, t ) não é uma curva parametrizada diferenciável, pois t não é diferenciável em t = 0.

26 23 Figura 3.9: Exemplo de curva parametrizada, mas não diferenciável. 3.2 COMPRIMENTO DE ARCO E MUDANÇA DE PARÂMETRO Um dos problemas iniciais que se coloca ao estudo de curvas é referente a determinação do comprimento de uma curva. Inicialmente, para determinar uma fórmula que permita este cálculo, convém dividir uma curva em vários segmentos. Seja então α uma curva definida num intervalo fechado [a,b] e com uma partição a = t 0 = t 1 =... = t m = b arbitrária desse intervalo. Ao se unir os pontos α(t i 1 ) e α(t i ), com i = 1,,m, por segmentos de reta obtém-se uma linha poligonal sobre a curva. Figura 3.10: Linha poligonal sobre uma curva. O comprimento da linha poligonal é obtido pelo somatório m i=1 α(t i ) α(t i 1 ), ou seja, o comprimento da linha poligonal é a soma dos comprimentos de todos os segmentos de reta que unem α(t i 1 ) a α(t i ) nos intervalos [t i 1,t i ], com 1 i m. Dessa forma, quanto maior for o número de intervalos dessa partição, melhor o somatório deve representar o comprimento da curva, ou seja, melhor se aproxima de seu comprimento real. Considerando t i t i 1 tendendo a zero, segue que o limite desse somatório é dado pela integral b a α (t) dt. Deste modo, tem-se a seguinte definição:

27 24 Definição 16. A aplicação t s(t) = α (t) dt t 0 é denominada função comprimento de arco da curva α a partir de t 0. Mas, além da determinação do comprimento de uma curva, um outro fato importante é que uma única curva pode ser representada por mais de uma função vetorial. Exemplo 11. A cúbica retorcida α(t) = (t,t 2,t 3 ) para 1 t 2 poderia ser representada também pela função γ(u) = (e u,e 2u,e 3u ) para 0 u ln2 no qual a relação entre os parâmetros é dada por t = e u. Este fato motiva a seguinte definição: Definição 17. Sejam I e J intervalos de R, α : I R R 3 uma curva e h : J I uma função diferenciável (C ), cuja derivada de primeira ordem é não nula em todos os pontos de J e tal que h(j) = I. Então a função composta β = α h : J R 3 é uma curva que tem o mesmo traço que α, chamada reparametrização de α por h. A função h é dita mudança de parâmetro. Exemplo 12. Seja a cúbica retorcida α(t) = (t,t 2,t 3 ) para 1 t 2 e h(u) = e u para 0 u ln2. A reparametrização de α por h é a curva γ(u) = α h(u) = (e u,e 2u,e 3u ). Seguem as observações: 1. A inversa de uma mudança de parâmetro ainda é uma mudança de parâmetro. Se γ = α h é uma reparametrização da curva α, tem-se também que α é uma reparametrização de γ; 2. Duas curvas que são reparametrizadas uma da outra possuem o mesmo traço, logo terão as mesmas propriedades geométricas; 3. Em qualquer mudança de parâmetro h : J I, os intervalos I e J são do mesmo tipo, simultaneamente abertos, fechados ou semi-abertos. Tal fato se justifica pois, tendo h derivada de primeira ordem não nula, a restrição h : J I é uma função estritamente crescente ou decrescente e sendo h(i) = J segue, das duas afirmações, que h é injetora e sobrejetora. Logo h é bijetora. Portanto, se γ é uma reparametrização de α por h, então α é uma reparametrização de γ por h O fato de h nunca se anular implica que h (t) > 0 t J ou h (t) < 0 t J. Logo, no primeiro caso diz que a reparametrização por h preserva a orientação da curva e no segundo caso que inverte a orientação.

28 25 Exemplo 13. A função vetorial α(t) = (cost,sint) para t [0,2π] é uma parametrização para a circunferência x 2 +y 2 = 1. Outra parametrização é γ(t) = (sin2t,cos2t) com t [0,π]. Para verificar que γ é uma reparametrização de α, pode-se encontrar uma mudança de parâmetro λ tal que (cosλ(t),sinλ(t)) = (sin2t,cos2t). Uma solução possível é λ(t) = π 2 2t. O traço de α e γ é a circunferência de raio unitário. Entretanto, em α quando t aumenta de 0 até 2π, o ponto (x,y) = (cost,sint) se move ao redor do círculo no sentido anti-horário partindo do ponto (1,0). Por sua vez, em γ quando t aumenta de 0 à π, o ponto (x,y) = (sin2t,cos2t) começa em (0,1) e se move ao redor do círculo no sentido horário. Houve uma uma mudança na orientação pois λ (t) = 2 < 0 t. Figura 3.11: (a) Curva α. (b) Curva γ. Como o comprimento de arco é uma propriedade geométrica espera-se que sua medida não dependa da parametrização. Fato confirmado pela proposição: Proposição 1. Seja β : [c,d] R 3 uma reparametrização da curva α : [a,b] R 3. Então os comprimentos de α e β coincidem. Existe uma outra relação entre comprimento de uma curva e a sua parametrização. Em muitas situações é frequentemente útil parametrizar uma curva em relação ao comprimento de arco, pois o comprimento de arco aparece naturalmente da forma da curva e não depende do sistema de coordenadas utilizado (STEWART, 2006). Se uma curva γ(t) já está dada em termos de um parâmetro t e s(t) é a função comprimento de arco, pode-se escrever t como uma função de s, ou seja, t = t(s). A curva pode então ser

29 26 reparametrizada em termos de s substituindo-se o parâmetro t, logo γ(t) passa a ser γ(t(s)). Assim se s = 3, por exemplo, γ(t(3)) é a posição do ponto que está a três unidades de comprimento do início da curva. Este processo é conhecido como parametrização por comprimento de arco. Mais precisamente segue a definição: Definição 18. Uma curva α : I R R 3 é dita parametrizada pelo comprimento de arco, se para cada t 0, t I, t 0 t o comprimento do arco da curva α de t 0 a t é igual a t t 0. Isto é s(t) = Disto resulta imediatamente que: t t 0 α (t) dt = t t0. Proposição 2. Uma curva α : I R R 3 está parametrizada pelo comprimento de arco se, e somente se, t I, α (t) = 1. Exemplo 14. A curva representada por α(t) = ( sint, cost) é uma curva parametrizada por comprimento de arco. De fato, conforme se verifica t t t s(t) = ( sint) 2 + (cost) 2 dt = sin 2 t + cos 2 t dt = dt = t t 0. t 0 t 0 t 0 E considerando a Proposição 2 tem-se α (t) = ( sint) 2 + (cost) 2 = sin 2 t + cos 2 t = 1. Exemplo 15. (Reparametrizando curvas por comprimento de arco) Seja a curva espiral logarítmica definida por γ(t) = (e t cost,e t sint), com t [0,+ ). Para reparametrizá-la pelo comprimento de arco deve-se inicialmente calcular seu comprimento de arco. Assim, segue que γ (t) = ( e t (cost sint),e t (sint + cost) ), γ (t) 2 = e 2t (cost sint) 2 + e 2t (sint + cost) 2 = 2e 2t. Logo, o comprimento de arco de γ a partir do ponto γ(0) = (1,0) é dado por s(t) = t 0 2e 2u du = 2(e t 1). ( ) Assim, escrevendo t em função de s tem-se t = s 2 + 1, que ao ser substituído em γ resulta em β(s) = ( ( ) ( ( )) ( ) ( ( s s s s + 1 cos ln + 1, + 1 sin ln + 1)) ),

30 27 no qual β é uma reparametrização por comprimento de arco de γ. O estudo de uma curva simplica-se quando ela está parametrizada por comprimento de arco. Mas quais curvas admitem reparametrização por comprimento de arco? Esta questão será respondida na próxima seção. 3.3 CURVAS REGULARES Definição 19. Seja α(t) = (x(t), y(t), z(t)), com t I R, uma curva parametrizada diferenciável. O vetor tangente a α em t I é o vetor α 0 (t) = (x0 (t), y0 (t), z0 (t)). A derivada de uma função vetorial é definida de modo semelhante às funções reais, ou seja, d α(t + h) α(t) α = α 0 (t) = lim. h 0 dt h Deste modo, uma interpretação para o vetor tangente pode ser dada a seguir: se os pontos P0 e P1 tem vetores de posição α(t) e α(t + h) então P0 P1 representa o vetor α(t + h) α(t), que pode ser visto como o vetor secante. Se h > 0, o múltiplo escalar 1h (α(t + h) α(t)) tem a mesma direção e o sentido que α(t + h) α(t). Quando h tende a zero parece que esse vetor se aproxima de um vetor que está sobre a reta tangente. Por esta razão este vetor é chamado vetor tangente à curva definida por α no ponto P0. Figura 3.12: (a) Vetor Secante α(t + h) α(t). (b) Vetor tangente α 0 (t). O vetor tangente em um ponto de uma curva traz duas informações importantes. Uma de caráter estritamente geométrico: sua direção é tangente a curva. A outra informação, de carater cinemático, refere-se ao sentido e a intensidade, que variam dependendo da parametrização

31 28 adotada para a curva. Deste modo, o vetor α (t) também é chamado vetor velocidade e sua magnitude ou norma é a velocidade escalar ou, ainda, a rapidez. Para o desenvolvimento da teoria local das curvas é preciso que exista uma reta tangente a uma curva α para cada valor do parâmetro t. Para tanto é suficiente que o vetor tangente a α seja não nulo para todo t. Se faz necessário então restringir o estudo apenas às curvas que satisfazem esta condição. Definição 20. Uma curva parametrizada diferenciável α : I R R 3 é dita curva regular se para todo t I tem-se α (t) 0. Exemplo 16. Seja o vetor de posição de uma partícula que se move em um plano descrito por γ(t) = (1 + t 3,t 2 ), conforme Figura Deseja-se determinar a velocidade e a rapidez da partícula no instante t = 0. A velocidade para um instante t é dada por v(t) = γ (t) = (3t 2,2t). Quando t = 0, tem-se v(0) = (0,0). A rapidez é v = 0. Note que quando t varia, para valores maiores e menores que zero, tem-se diferentes posições para a partícula e em cada uma delas estão associados diferentes vetores tangentes. Por exemplo, para t = 1, v( 1) = (3, 2) e v( 1) = 13. Para t = 1, v(1) = (3,2) e v(1) = 13. Para t = 2, v(2) = (12,4) e v(2) = Figura 3.13: Curva γ descrita pelo movimento da partícula. Curvas regulares são aquelas cujo vetor tangente nunca se anula e por isso têm uma direção tangente bem definida em cada instante. Portanto, pode-se concluir que a curva do exemplo acima não é regular, pois em t = 0 não há como definir um vetor tangente. Existe uma relação entre a regularidade de uma curva e a existência de reparametrizações por comprimento de arco desta curva. Inicialmente segue uma primeira propriedade das curvas regulares: Proposição 3. Qualquer reparametrização de uma curva regular é regular. E como resultado mais importante tem-se:

32 29 Teorema 2. Uma curva possui uma reparametrização por comprimento de arco se, e somente se, é regular. Entretanto, conforme em Picado (2006), em muitas situações parametrizar uma curva regular por comprimento de arco pode ser muito complicado ou mesmo impossível. Em primeiro lugar, pode não ser possível exprimir a integral da Definição 16 em termos de funções familiares (logaritmos, exponenciais, trigonométricas, etc). Em segundo lugar, mesmo que se consiga determinar s(t), poderá não ser possível encontrar a função inversa s 1 : s(i) I, o que impede de se escrever t como uma função de s. Além disso, outro fato importante sobre curvas é que, dada uma curva qualquer, pode-se ter parametrizações regulares e não regulares. Por exemplo, a parametrização γ(t) = (t,t 2 ) da parábola y = x 2 é regular, mas a parametrização α(t) = (t 3,t 6 ) já não é regular pois α (0) = (0,0). Contudo, a partir de agora, dentre os mais variados tipos de curvas, define-se quais realmente são o objetos de nosso estudo: as curvas regulares parametrizadas por comprimento de arco.

33 4 O TRIEDRO DE FRENET E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA LOCAL DE CURVAS Um referencial é escolhido como "referência" a partir do qual as posições de outros pontos serão determinadas ou medidas. Normalmente, um referencial é dado por um sistema de coordenadas que tanto pode ser unidimensional, bidimensional ou tridimensional. No entanto, existem dois tipos de referenciais: os referenciais inerciais e os referenciais não-inerciais. Os referenciais inerciais ou fixos, por exemplo, são muito utilizados em Física e para os quais são válidos todas as leis da Mecânica. Contudo, em muitos problemas nem sempre estes referenciais são adequados. Basta considerar o estudo dos movimentos quando se adota como referencial um sistema de eixos solidário com o movimento da Terra. O referencial em questão não é inercial, pois está sujeito a vários tipos de rotações de acordo com o movimento da Terra. Um referencial deste tipo é também chamado de referencial móvel. Em geometria diferencial é possível caracterizar uma curva utilizando um referencial móvel. O mais conhecido deles é o triedro de Frenet, uma base ortonormal que é obtida em cada ponto de uma curva regular. Além disso, sua importância reside no fato de que a partir dele é possível determinar duas outras medidas importantes: a curvatura e a torsão, duas funções escalares, ou seja, funções de uma única variável real, e que são capazes de determinar por completo a forma de uma curva. 4.1 CURVATURA Curvatura dá ideia de curvar, ou seja, de mudar de direção. Está-se agora preocupado em determinar rigorosamente o que seja esta curvatura e de que forma pode ser medida. Em Silva (2007) encontra-se uma interpretação geométrica bastante interessante para se entender, em termos matemáticos, a ideia de curvatura e o modo como é definida. Seja, então, α : I R 3 definida por α(s) = (x(s),y(s),z(s)) uma curva regular parametrizada por comprimento de arco e considere a Figura 4.1:

34 31 Figura 4.1: Vetores tangentes em α(s1 ), α(s2 ) e variação do ângulo θ. Os vetores tangentes nos pontos α(s1 ) e α(s2 ) são respectivamente α 0 (s1 ) e α 0 (s2 ). Dado θi o ângulo que o vetor α 0 (si ) faz com a linha horizontal, determina-se θ = θ2 θ1. Além disso, pode-se escrever α (s) = d 0 α 0 (s) α 0 (s0 ) α 0 α (s) = lim. = lim s s0 s s0 s ds s s0 E assim, por meio de manipulações algébricas, pode-se chegar em α 0 (s) α 0 (s0 ) α 0 = lim. s s0 s s0 s s s0 α (s) = lim (4.1) Figura 4.2: Variação do ângulo θ. Sabe-se que sendo α uma curva parametrizada por comprimento de arco, seus vetores tangentes são unitários. Logo, ao se considerar a Figura 4.2, tem-se por construção a seguinte

35 32 relação: A h < A T < A 1 (4.2) no qual A h é a área do setor circular do círculo de raio h delimitado pela circunferência pontilhada, A T é área do triângulo AOB e A 1 é a área do setor circular do círculo de raio unitário. Como a área do setor circular de raio r e ângulo θ é rθ 2, segue que A h = h θ, A 1 = 1 θ 2 2 e A T = α h. (4.3) 2 Substituindo as equações em 4.3 na desigualdade em 4.2, obtém-se o que é equivalente a h θ 2 < α h 2 < 1 θ 2 Tomando-se o limite de cada equação em 4.4, com s s 0, vem Mas lim s s 0 lim s s 0 θ < α < θ h. (4.4) θ s s 0 < lim s s 0 α s s 0 < lim s s 0 θ h s s 0 = lim s s 0 θ s s 0 lim 1 s s 0 h = lim s s 0 θ h s s 0. (4.5) θ s s 0, pois, em particular, da Figura 4.2, quando s 1 s 2 tem-se α (s 1 ) α (s 2 ) e, em consequência, h α (s 2 ) = 1. Deste modo, concluí-se que lim s s0 1 h = 1. Então, pelo Teorema do Confronto, resulta que donde, pela equação 4.1, vem α lim s s 0 s s 0 = lim θ s s 0 s s 0 θ α (s) = lim s s0 s s 0 = O valor de α (s) representa, então, a variação do ângulo que o vetor tangente faz com a horizontal. A este valor será dado o nome de curvatura. Portanto, percebe-se que a curvatura mede a velocidade com que as retas tangentes mudam de direção em uma curva. Formalmente tem-se a definição: Definição 21. Se α : I R R 3 é uma curva regular parametrizada por comprimento de arco, dθ ds.