0.26 Corrente de deslocamento de Maxwell: lei de Ampère-Maxwell

Transcrição

1 0.26. CORRENTEDEDESLOCAMENTODEMAXWELL:LEIDEAMPÈRE-MAXWELL Corrente de deslocamento de Maxwell: lei de Ampère-Maxwell Estado da arte As equações básicas que governam o comportamento das cargas eléctricas, estudadas até agora, são as seguintes: AleideGauss, queestudámosnoâmbitodaelectrostática,masqueéumaleigeral também da electrodinâmica: AleideFaraday,queéjáumaleielectrodinâmica: E= ρ ɛ 0 (334) A inexistência de cargas magnéticas: E= B (335) B=0 (336) A lei de Ampère, que estudámos no âmbito da magnetostática e que, conforme veremos, se aplica exclusivamente neste âmbito: B=µ 0 J (337) A ligação dos campos eléctrico e magnético governados por estas leis ao comportamento das cargas é feita através da expressão que, em rigor, serve de definiç ao dos campos-aexpressãodaforçadelorentz: F=q(E+v B) (338) Finalmente, acresce um outro princípio fundamental obsevado na Natureza, que é o princípio da conservação da carga eléctrica, traduzido na equação local: J= ρ (339)

2 Problemas da lei de Ampère em electrodinâmica A lei de Ampère da magnetostática claramente enfrenta problemas em situações em que i/ 0. OexemploclássicoéodacargadeumcondensadordecapacidadeC através deumaresistênciar,usandoumafontedetensãov. Conformesabemos,ocondensador carregaprogressivamenteatéàcargafinalq=cv,sendoacarganasplacasnoinstante t descrita pela equação: sendo a corrente no circuito: q(t)=cv ( 1 e t/rc) (340) i(t)= dq(t) dt = V R e t/rc (341) Esta corrente tende para zero quando t, que corresponde à situação estacionária em que o condensador está completamente carregado, não havendo corrente no circuito. No entanto, durante o transitório temos corrente no circuito, descrita pela eq. (341). Conforme sabemos, esta corrente corresponde à transferência de carga entre as placas do condensador, realizada pela fonte de tensão, não havendo em momento algum corrente a atravessar o dieléctrico que separa as placas(assumido como um perfeito isolador). Consideremos agora, tal como exemplifica a figura 23, um circuito de Ampère centrado numelementodofioqueligaabateriaaumadasplacasdocondensador. AleideAmpère, na sua forma integral, afirma que a circulação do campo magnético no circuito de Ampère é simplesmente proporcional à corrente que atravessa uma superfície qualquer assente no circuito de Ampère. É precisamente aqui que reside o problema na aplicação da lei de Ampère a este problema: é que, enquanto durar a carga do condensador, as superfícies intersectadas pelo fio que liga a bateria ao condensador são atravessadas pela corrente I, enquanto que as superfícies que intersectam o dieléctrico, assentes no mesmo circuito de Ampère, não são atravessadas por qualquer corrente. Circuito de Ampère Condensador Bateria Figure 23: Diagrama ilustrando as dificuldades da lei de Ampère na resolução do processo de carga de um condensador.

3 0.26. CORRENTEDEDESLOCAMENTODEMAXWELL:LEIDEAMPÈRE-MAXWELL A lei de conservação da carga e a corrente de deslocamento de Maxwell Maxwell reconheceu que as dificuldades da lei de Ampère advêm do facto de ser incompatível com a lei de conservação da carga eléctrica, conforme já tivémos ocasião de sublinhar. De facto, temos: ( B)=µ 0 j (342) Atendendoaoresultadogeraldoc alculovectorial ( B)=0,resultaimediatamente a condição característica da magnetostática: j=0 (343) Maxwell investigou a forma de compatibilizar a lei de Ampère com a lei de conservação da carga eléctrica. Para isso, considerou a alteração necessária para que a lei de Ampère contivesse em si a lei de conservação da carga eléctrica(339). Para tal, há necessidade de acrescentarumtermodaformaµ 0 ρ/àdivergênciadaleideampère: ( ( B)=µ 0 j+ ρ ) =0 (344) Estenovotermopodeserentendidotemasdimensõesdeumadivergênciadeumadensidade de corrente, e corresponde a acrescentar um termo com as dimensões de densidade decorrenteàleideampére,istoé: emque B=µ 0 J+µ 0 J Max (345) J Max = ρ Atendendo à lei de Gauss, podemos reescrever: (346) J Max = (ɛ 0 E) ( = ɛ 0 ) J Max =ɛ 0 (347)

4 114 A lei de Ampère modificada, designada também lei de Ampère-Maxwell, resulta assim: B=µ 0 J+µ 0 ɛ 0 ou, na forma integral(por aplicação do teorema de Stokes): B dl=µ 0 (J+J Max ) ds=µ 0 I int +µ 0 ɛ 0 (348) ds (349) O termo acrescentado por Maxwell, proporcional a /, designa-se tradicionalmente por corrente de deslocamento (de Maxwell). Trata-se mais uma vez de uma designação historicamente consagrada, mas fonte de possíveis equívocos, pois não corresponde a uma corrente,istoé,aumtrânsitodecargas. Note-se que oargumentoavançadopormaxwellparacorrigiraleideampère éum argumento de natureza puramente teórica, tratando-se de um dos mais notáveis exemplos de um argumento teórico que abre, conforme veremos, todo um novo horizonte a uma área de investigação, e que através dos subsequentes testes experimentais, abre possibilidades até então insuspeitas ao conhecimento e à tecnologia. A própria existência de um ramo de engenharia conhecido por engenharia electrotécnica é disso o mais eloquente testemunho.. O condensador revisitado Podemos agora ver como a lei de Ampère-Maxwell descreve oprocesso de carga de um condensador. Consideremos novamente a figura 23, em que o condensador está a ser progressivamente carregado, acumulando uma densidade de carga σ(t) = q(t)/a, onde A é a área das placas. O campo eléctrico entre as placas, conforme sabemos, é simplesmente E(t) = σ(t)/ɛ 0 ê z, sendo nulo no exterior. Procedamos então ao cálculo da circulação do campo magnético através do circuito de Ampère apresentado na figura, através do cálculo do fluxo da densidade de corrente generalizada para uma superfície que atravesse o dieléctrico. Para simplificar, mas sem perda de generalidade, podemos assumir que esta superfícieécilíndrica,detoposdeáreaaigualàáreadasplacas. Ofluxodadensidade decorrentedemaxwell,ɛ 0 /atravésdestasuperfícieésimplesmente: ɛ 0 ds= dσ(t) ê z dsê z = dt dq(t) ds dt A =i(t) (350) A circulação docampo magnético resulta assim, tal comopara o caso em que a superfícieintersectaofioqueligaabateriaàsplacas: B dl=µ 0 i(t) (351)

5 0.27. ASEQUAÇÕESDEMAXWELL As equações de Maxwell Com a lei de Ampère-Maxwell, fica concluído o edifício do electromagnetismo clássico. Tratando-se de uma das maiores proezas até agora realizadas pelo homem, vale a pena apresentá-las de forma unificada: AleideGauss: E= ρ ɛ 0 (352) AleideFaraday: E= B (353) A inexistência de cargas magnéticas: B=0 (354) A lei de Ampère-Maxwell(que inclui já o princípio de conservação da carga eléctrica): B=µ 0 J+µ 0 ɛ 0 (355) Recorda-se novamente a definição dos campos efectuada pela expressão da força de Lorentz: F=q(E+v B) (356)

6 Equações de Maxwell em meios materiais Polarização e magnetização dependentes do tempo Podemos reescrever as equações de Maxwell na presença de meios materiais com propriedades eléctricas e/ou magnéticas. Conforme vimos anteriormente, no caso de materiais polarizáveis electricamente, a polarização(densidade de momento dipolar eléctrico) dá-nos a medida da densidade de cargas de polarização: P= ρ p (357) P ˆn=σ p (358) E, no caso de materiais magnéticos, a magnetização(densidade de momento dipolar magnético) dá-nos a medida da densidade de cargas de magnetização: M=J mag (359) No caso da cargas de polarização, quando analisámos o assunto na electrostático pressupusémos sempre que o campo eléctrico permanecia constante no tempo, originando uma polarização também ela constante. No entanto, em situações electrodinâmicas, o campo eléctrico pode variar no tempo, gerando uma polarização variável no tempo e, logo, uma variação temporal da densidade de cargas de polarização, a que está necessariamente associada uma corrente de cargas de polarizaç ao. Podemos calcular facilmente essa corrente. Consideremos um dado ponto do material, onde a polarização é P. Construamos um pequeno cilindro paralelo à polarização, definindo um volume suficientemente pequeno em torno do ponto para que possamos considerar desprezáveis as variações de polarização no volume, isto é, para que possamos considerar a polarização constante no volume. Atendendo à forma como construímos este cilindro, a polarização será perpendicular aos topos e paralela à superfiície lateral do cilindro. Então, a densidade superficial de cargas de polarização será: σ p =0,nasuperfiícielateraldocilindro (360) σ p =+P,notoposuperiordocilindro (361) σ p = P,notopoinferiordocilindro (362) Se houver uma variação temporal da polarização, tal corresponderá a uma variação da densidade de carga no topo superior, compensada por uma variação simétrica da densidade

7 0.27. ASEQUAÇÕESDEMAXWELL 117 de carga no topo inferior, através do estabelecimento de uma densidade de corrente entre os topos. Esta densidade de corrente é assim, simplesmente: J p = σ = P J p= P (363) Note-se que esta densidade de corrente de polarização obedece independentemente à lei de conservação da carga eléctrica, através da correspondente equação de continuidade: J p = P = ρ p (364) Refira-se que, no caso dos materias magnéticos, não havendo cargas magnéticas, os efeitos na magnetização da variação temporal do campo magnético estão automaticamente incluídosnaequação M=J mag. Equações demaxwell em funçãodoscampos auxiliaresdeh As equações de Maxwell podem ser reescritas em função dos campos auxiliares DeH, separando as densidades de carga e de corrente nas suas partes livres e nas partes devidas à polarização e à magnetização: ρ = ρ l +ρ p =ρ l P (365) J = J l +J p +J m =J l + P + M (366) A lei de Gauss reescreve-se então, como anteriormente: ealeideampère-maxwellfica: E= ρ ɛ 0 (ɛ 0 E+P)=ρ l (367) ( B=µ 0 (J l +J p +J m )+µ 0 ɛ 0 =µ 0 J l + P ) + M +µ 0 ɛ 0 (368) Obtemos assim o conjunto de equações de Maxwell reescritas para meios materiais: D=ρ l (369)

8 118 E= B (370) B=0 (371) H=J l + D onde os campos auxiliares D e H são definidos, como anteriormente, por: (372) D=ɛ 0 E+P (373) H= B µ 0 M (374) A resolução deste conjunto de equações requer ainda algum conhecimento sobre o comportamento da polarização e da magnetização em função dos campos, sendo particularmente úteis as aproximações para materiais lineares, isotrópicos e homogéneos: P=ɛ 0 χ e E (375) Forma integral das equações M=χ m H (376) Recorrendo como e hábito aos teoremas de Gauss e de Stokes, podemos obter facilmente a forma integral das equações: S D ds=q l (377) λe dl= d B ds (378) dt S B ds=0 (379) S λh dl=i l + d dt S D ds (380)

9 0.27. ASEQUAÇÕESDEMAXWELL 119 Condições de fronteira A partir das equações escritas na forma integral, também nos é possível obter facilmente as condiçoes de fronteira na presença de densidade superficiais de carga ou de corrente, recorrendo à mesma abordagem utilizada anteriormente: ˆn (D 2 D 1 )=σ l D 2 D 1 =σ l div S D=σ l (381) ˆn (E 2 E 1 )=0 E 2 E 1 =0 rot S E=0 (382) ˆn (B 2 B 1 )=0 B 2 B 1 =0 div S B=0 (383) ˆn (H 2 H 1 )=K l H 2 H 1 =K l rot S H=K l (384) Formulação das equações de Maxwell em termos do potencial ÉpossívelobteraindaumaoutraformadeescreverasequaçõesdeMaxwell,emfunção do potencial vector A e do potencial escalar V. Esta formulação potencial das leis da electrodinâmica é particularmente sistética e poderosa e encontra um âmbito de aplicação particularmente útil na teoria da radiação electromagnética, essencial para domínios como as antenas e as telecomunicações. A formulação potencial da electrodinâmica começa pela observação que o campo magnético é um campo solenoidal, de divergência nula, o que permite escrevê-lo como o rotacional de um potencial vector A: B=0 B= A (385) Por outro lado, o campo eléctrico não é agora conservativo (o seu rotacional não é nulo), o que inviabiliza a relação E = V que encontrámos na electrostática. Contudo, a partir da lei de Faraday é possível construir um campo conservativo: E= B ( E= A E+ A ) =0 (386)

10 120 O campo E+ A/ é pois conservativo e pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial escalar(ou como o simétrico do gradiente, atendendo à reverenda tradição histórica que encontrámos já na electrostática): E+ A = V E= V A (387) Esta definição dos petenciais permite-nos reescrever a lei de Gauss e a lei de Ampère- Maxwell: E= ρ ɛ 0 2 V ( A)= ρ ɛ 0 2 V + ( A)= ρ ɛ 0 (388) ( B=µ 0 J+µ 0 ɛ 0 ( A)=µ 0J+µ 0 ɛ 0 V A ) (389) Atendendoaque ( A)= ( A) 2 A,aleideAmpère-Maxwellfica: ( ) ( ) 2 2 A 2 V A µ 0 ɛ 0 A µ 2 0 ɛ 0 = µ 2 0 J (390) O par de equações (388) e (390), juntamente com a definição dos potenciais V e A (eqs. 385e387), contémemsitodaaelectrodinâmicadasequaçõesdemaxwell. Estas equações podem ser simplificadas atendendo à liberdade de escolha da divergência de A, que já discutimos anteriormente. Entre as duas escolhas mais populares para a divergência deaconta-senãosóojánossoconhecidopadrãodecoulomb( A=0),mastambém opadrãodelorentz( A=µ 0 ɛ 0 2 V/ 2 )