0.14 Umaparte relevante: aleideohm

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1 0.14. UM APARTE RELEVANTE: A LEI DE OHM Umaparte relevante: aleideohm Na secção 0.10, optámos por apresentar as definições gerais de densidade de corrente e a equação de continuidade, que relaciona a densidade de corrente j com a densidade em cada ponto, traduzindo a lei da conservação da carga eléctrica. Existe no entanto um importante resultado empírico que afirma que a intensidade de corrente I que se estabelece num material é directamente proporcional à diferença de potencial V aos seus terminais: I V. Tradicionalmente, este resultado, conhecido por lei de Ohm costuma escrever-se na forma: V =RI (187) onde R designa a resistência entre os terminais. À primeira vista, e atendendo aos resultados (160) e (162), este resultado é surpreendente. De facto, se admitirmos que o campo é constante no interior do material, a diferença de potencial V entre os dois terminais à distância L será V = EL, enquanto que a corrente é I = ja, onde j é a densidadedecorrenteeaasecçãodofio: EL=RjA j= L E j=σe (188) RA onde σ = 1/ρ se designa condutividade do material, sendo ρ a resistividade. A resistência exprime-se assim em função da resistividade como: R= ρl A OformulaçãoaquechegámoséconhecidaporformalocaldaleideOhm: (189) j=σe (190) O carácter surpreendente deste resultado reside no seguinte: a corrente, isto é a velocidadedascargas,éproporcionalaocampo,istoéàforçaqueagenascargas. Parece haverumacontradiçãocomasegundaleidenewtondamecânica,queafirmaqueéaaceleração que é proporcional à força; se assim fosse, esperaríamos que a corrente aumentasse linearmente com o tempo sob acção de um campo constante. Há pois necessariamente a intervenção de outra(s) força(s) no movimento das cargas eléctricas num material. Na própria mecânica elementar são conhecidos casos em que a velocidade é proporcional à força aplicada, no caso do movimento na presença de atrito viscoso, como é o

2 62 caso da velocidade terminal de um paraquedista ou da velocidade de sedimentação de partículas num fluido. No caso das cargas eléctricas em movimento num material, o atritoviscoso quedáorigemàleideohmradicanas colisõesqueos electrõessofrem noseutrajecto,sobretudocomosiõesdarede,mastambémcomosdefeitoseimpurezas. A condutividade é assim uma medida macroscópica do tempo médio entre colisões. Note-sequealeideOhmnãoéumaleibásicadoelectromagnetismooudafísica,mas exprime antes uma característica do comportamento de certos materiais Lei de Ampère. Tendo calculado, na secção o campo magnético criado por uma corrente rectilínea, podemos facilmente calcular a respectiva circulação num circuito fechado qualquer: B dl= µ0 I φ = 2πρêφ ρdφê µ 0I dφ (191) 2π onde usámos o elemento de deslocamento em coordenadas cilíndricas e o campo obtido anteriormente(eq. 183). Paraocálculode dφ,temosduashipóteses: seocircuito contornarofio,temossimplesmente 2π dφ= dφ=2π (192) pelo que 0 B dl=µ 0 I (193) se o circuito não contornar o fio, será delimitado por dois ângulos φ 1 e φ 2, sendo então: φ2 φ1 dφ= dφ+ dφ=0 (194) φ 1 φ 2 oncluimos assim que a circulação do campo magnetostático num circuito delimitando uma superfície fechada S verifica: B dl= { µ0 I seacorrenterectilíneaatravessars 0 se a corrente rectilínea não atravessar S (195)

3 0.15. LEIDEAMPÈRE. 63 No caso de haver um conjunto de correntes rectilíneas com orientações diversas, vale então o seguinte: B dl=µ 0 I int (196) onde I int representa a soma das correntes que atravessam a superfície S delimitada pelo circuito fechado. Podemos reescrever este resultado em função da densidade de corrente J e atendendo ao teorema de Stokes: B dl=µ 0 J ds B ds=µ 0 J ds (197) S S S Donde,atendendoaqueocircuito,elogoasuperfícieS,éarbitrário: B=µ 0 J (198) Aequação(196)traduz aformaintegraldaleide Ampère, enquantoque aequação (198) traduz a respectiva forma local. Note-se que nos limitámos a demonstrar a lei de Ampère para correntes rectilíneas, partindo da lei de Biot-Savart. É possível, conforme indicaremos seguidamente, obter uma demonstração mais geral. No entanto, em última análise, quer a lei de Ampère quer a lei de Biot-Savart decorrem dos resultados experimentais relativos a correntes constantes, constituindo resultados básicos. Alguns autores preferem até apresentar directamente a lei de Ampère como uma lei básica da magnetostática, dispensando a demonstração a partir da lei de Biot-Savart. Atenda-se ainda desde já ao seguinte aspecto, a que voltaremos mais tarde. Se calcularmos a divergência de ambos os membros da equação(198), obtemos: ( B)=µ 0 J J=0 (199) Este resultado recorda-nos que a lei de Ampère é uma lei básica da magnetostática, mas que necessita necessariamente de correcção em situações electrodinâmicas em que ρ/ t 0.

4 A divergência do campo magnetostático Aformacircularfechadadaslinhasdecampomagnéticoemtornodeumacorrenterectilínea contrasta fortemente com a forma radial das linhas de campo electrostático geradas por uma carga pontual e sugere que a divergência do campo magnético seja nula. Tal não representa um resultado surpreendente, à luz da discussão inicial sobre a origem do campo magnético, que advém do movimento de cargas eléctricas e não de quaisquer cargas magnáticas. A própria lei de Biot-Savart/Ampère reflecte este facto. Vamos pois verificar de seguida que, em geral, o campo magnético descrito pela lei de Biot-Savart é efectivamente um campo de divergência nula(os campos com esta propriedades também costumamdesignar-sesolenoidais 19 ). Para ocálculo de B, comecemos por explicitar a equação (179) em coordenadas cartesianas: B(x,y,z)= µ 0 4π τ J(x,y,z ) (r r ) r r 3 dx dy dz (200) Note-sequeocampomagnéticoécalculadonaposiçãor=xê x +yê y +zê z,apartir dascorrentesexistentesnasposiçõesr =x ê x +y ê y +z ê z. Adivergênciadocampona posição r está associada às derivadas nessa posição: B(x,y,z)= B x(x,y,z) x + B y(x,y,z) y + B z(x,y,z) z (201) Procedamos então ao cálculo da divergência: B(x,y,z)= µ 0 J(x,y,z ) (r r ) 4π τ r r 3 dx dy dz (202) Docálculovectorial,sabemosque (J r/r 3 )=(r/r 3 ) ( J) J ( (r/r 3 )). Relativamente a cada uma destas duas parcelas: orotacionaldej, J,éooperadornascoordenadas(x,y,z),dasquaisJ(x,y,z ) nãodepende;logo, J(x,y,z )=0. Do cálculo vectorial, sabemos também que: ( r ) ( 1 = r 3 r 3 ) r r ( ) 1 r 3 (203) 19 Ocampomagnéticocriadoporumsolenóideéoprotótipodeumcamposolenoidal...

5 0.16. ADIVERGÊNIADOAMPOMAGNETOSTÁTIO 65 Mas r=0(verifique!) e ( ) 1 = 3r (204) r 3 r 5 pelo que ( r ) ( ) 3r =r =0 (205) r 3 r 5 oncluímos assim, tal como havíamos antecipado, que: B=0 (206) Esta equação pode ser reescrita, usando o teorema de Gauss, como: S B ds=0 (207) isto é, o fluxo do campo magnético através de uma qualquer superfície fechada S é sempre nulo. A equação(207), ou a sua equivalente eq. (206), constitui uma das equações básicas do electromagnetismo e exprime o facto os campo magnéticos terem origem em cargaseléctricasemmovimento,enãoem cargasmagnéticas. 20 Por último, refira-se que o procedimento que adoptámos para o cálculo da divergência debapartirdaleidebiot-savartescritanaformadaequação(179)podeserreproduzido parademonstrardeumaformageralaleideampère: B=µ 0 J (208) 20 Esta é a ocasião em que os físicos, embaraçados, começam a balbuciar expressões como spin e monopolos magnéticos. A presumível existência de cargas monopolares magnéticas justificaria a quantização da carga eléctrica, de acordo com um argumento teórico proposto por Dirac. Não se encontraram até à data quaisquer monopolos magnéticos, embora haja grandes esforços experimentais na sua detecção. Quanto ao spin, esse existe e é fonte de grande perplexidade: voltaremos ao assunto mais tarde.

6 ondições de fronteira em superfícies Nas secções e analisámos as condições de fronteira do campo electrostático em superfícies de carga, as quais constituem um modelo aproximado das distribuiçẽs de carga em algumas situações físicas importantes como os condutores. Da mesma forma, também é importante analisar detalhadamente o comportamento da situação análoga em magnetostática e verificar as condições de fronteira do campo magnetostático em superfícies onde fluam correntes superficiais de carga ontinuidade das componentes transversas do campo magnético Adoptando um procedimento semelhante ao adoptado na secção 0.5.2, e considerando a equação(207), que assegura que o fluxo do campo magnético sobre uma superfície fechada é sempre nulo, rapidamente concluímos que as componentes do campo magnetostático perpendiculares a uma superfície qualquer são contínuas, verificando-se: B 1 =B 2 div S B=ˆn (B 2 B 1 )=0 (209) ondeˆnéoversorperpendicularàsuperfícieapontandodolado1paraolado2,onde existemoscamposb 1 eb 2,respectivamente Descontinuidade das componentes do campo magnético paralelas à superfície Adoptando um procedimento semelhante ao adoptado na secção 0.6.4, tal como esquematizaafigura11econsiderandoaleideampère(eq. 196),obtemosumaequaçãosemelhante à equação(76) para a circulação do campo magnético no circuito esquematizado: B dl=(b 2 B 1 )d=µ 0 Kd (210) ondek éadensidadesuperficialdecorrentenopontodasuperfícieemanálise. oncluímos assim que uma densidade superficial de corrente origina uma descontinuidade µ 0 K dacomponentedocampomagneéticoparalelaàsuperfície: B 2 B 1 =µ 0 K (211)

7 0.17. ONDIÇÕESDEFRONTEIRAEMSUPERFÍIES 67 K B 2 n h d B 1 Figure 11: Esquema para o cálculo da circulação do campo magnético nas proximidades de um ponto de uma superfície transportando uma corrente superficial K. O campo magnético nas proximidades do ponto é B 1 e B 2 em cada lado da superfície. A circulação está orientada no sentido anti-horário, definindo o circuito uma superfície que estáorientadadeacordocomaregradamãodireita,atravésdoversorunitárioˆn. Ocampomagnéticoalterapoisasuadirecção,motivopeloqualestefenómenoépor vezes também designado refracção do campo magnético numa densidade superficial de corrente. Atendendo à orientação usual da circulação e da superfície que nela assenta, tal como exprime a figura 11, podemos ainda reescrever a equação(211) da seguinte forma: ˆn (B 2 B 1 )=µ 0 K rot S B=µ 0 K (212)