Lei de Gauss e Condutores em Equilíbrio Eletrostático

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1 Lei de Gauss e Condutores em Equilíbrio Eletrostático 2008

2 Fluxo Elétrico: Está relacionado com o número líquido de linhas de força que atravessam uma superfície. φ e = EA 1 ou φ e = EA 2 cosθ = E ˆnA2

3 Fluxo Elétrico: Está relacionado com o número líquido de linhas de força que atravessam uma superfície. φ e = EA 1 ou φ e = EA 2 cosθ = E ˆnA2 Definição: φ e = lim Ai 0 i E ˆn Ai = R E ˆn da onde ˆn é o vetor unitário normal à superfície. Unidade: N.m 2 /C

4 Exemplo: Calcular o fluxo elétrico de uma superfície esférica de raio R com uma carga puntiforme q em seu interior.

5 Exemplo: Calcular o fluxo elétrico de uma superfície esférica de raio R com uma carga puntiforme q em seu interior. Solução: I φ e = I Kq Kq E ˆn da = da = R2 R 2 4πR2 pois E é perpendicular à superfície esférica, φe = 4πKq (q é a carga interna à superfície).

6 Exemplo: Calcular o fluxo elétrico de uma superfície esférica de raio R com uma carga puntiforme q em seu interior. Solução: I φ e = I Kq Kq E ˆn da = da = R2 R 2 4πR2 pois E é perpendicular à superfície esférica, φe = 4πKq (q é a carga interna à superfície). Se q > 0 φ e > 0, q < 0 φ e < 0 e q = 0 φ e = 0.

7 Lei de Gauss: em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo líquido através de uma superfície fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a carga interna líquida (q int ) em seu interior φ e = H E ˆn da = 4πKqint

8 Lei de Gauss: em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo líquido através de uma superfície fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a carga interna líquida (q int ) em seu interior φ e = H E ˆn da = 4πKqint Se a carga líquida interna é igual a zero, o número líquido de linhas de força que entram na superfície é igual ao número de linhas de força que saem da superfície, logo φ e = 0;

9 Lei de Gauss: em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo líquido através de uma superfície fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a carga interna líquida (q int ) em seu interior φ e = H E ˆn da = 4πKqint Se a carga líquida interna é igual a zero, o número líquido de linhas de força que entram na superfície é igual ao número de linhas de força que saem da superfície, logo φ e = 0; Esta lei facilita o cálculo do campo elétrico, E, nos casos de simetria significativa;

10 Lei de Gauss: em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo líquido através de uma superfície fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a carga interna líquida (q int ) em seu interior φ e = H E ˆn da = 4πKqint Se a carga líquida interna é igual a zero, o número líquido de linhas de força que entram na superfície é igual ao número de linhas de força que saem da superfície, logo φ e = 0; Esta lei facilita o cálculo do campo elétrico, E, nos casos de simetria significativa; Permissividade no vácuo: ε 0 ε 0 = 1 4πK = 8, C 2 /N.m 2

11 Lei de Gauss: em geral, num sistema de cargas elétricas, o fluxo líquido através de uma superfície fechada S qualquer é igual a 4πK vezes a carga interna líquida (q int ) em seu interior φ e = H E ˆn da = 4πKqint Se a carga líquida interna é igual a zero, o número líquido de linhas de força que entram na superfície é igual ao número de linhas de força que saem da superfície, logo φ e = 0; Esta lei facilita o cálculo do campo elétrico, E, nos casos de simetria significativa; Permissividade no vácuo: ε 0 ε 0 = 1 4πK = 8, C 2 /N.m 2 Logo: φ e = H E ˆn da = q int ε 0

12 Exemplo: Calcular o campo elétrico E a uma distância r de um fio comprido carregado uniformemente com densidade de cargas positivas λ.

13 Exemplo: Calcular o campo elétrico E a uma distância r de um fio comprido carregado uniformemente com densidade de cargas positivas λ. Solução: Toma-se um cilindro fechado de raio r e comprimento L ao redor do fio. Devido à simetria do problema, o campo elétrico E é perpendicular à superfície do cilindro.

14 Exemplo: Calcular o campo elétrico E a uma distância r de um fio comprido carregado uniformemente com densidade de cargas positivas λ. Solução: Toma-se um cilindro fechado de raio r e comprimento L ao redor do fio. Devido à simetria do problema, o campo elétrico E é perpendicular à superfície do cilindro. Aplica-se a Lei de Gauss com a carga interna igual a λl: φ e = H E ˆn da = H E da = E H da = E.2πrL = q int ε 0 E = λ 2πrε 0 = 2K λ r = λl ε0 Logo:

15 Exemplo: Calcular o campo elétrico E a uma distância r de um fio comprido carregado uniformemente com densidade de cargas positivas λ. Solução: Toma-se um cilindro fechado de raio r e comprimento L ao redor do fio. Devido à simetria do problema, o campo elétrico E é perpendicular à superfície do cilindro. Aplica-se a Lei de Gauss com a carga interna igual a λl: φ e = H E ˆn da = H E da = E H da = E.2πrL = q int ε 0 E = λ 2πrε 0 = 2K λ r = λl ε0 Logo: Se o fio não for comprido, o campo elétrico na superfície não é constante. Nesse caso, apesar da Lei de Gauss ser válida, devido à falta de simetria, não é possível determinar o campo elétrico como fizemos anteriormente.

16 Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ.

17 Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo E

18 Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo E é perpendicular ao plano;

19 Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo E é perpendicular ao plano; varia com o quadrado da distância ao plano;

20 Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo E é perpendicular ao plano; varia com o quadrado da distância ao plano; deve ter mesmo módulo;

21 Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo E é perpendicular ao plano; varia com o quadrado da distância ao plano; deve ter mesmo módulo; deve ter direções opostas nas duas faces do plano.

22 Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo E é perpendicular ao plano; varia com o quadrado da distância ao plano; deve ter mesmo módulo; deve ter direções opostas nas duas faces do plano. Portanto, o fluxo elétrico que sai de cada face do cilindro escolhido é E ˆnA = EnA, e o fluxo total (2 Área) será de 2EnA. Sendo a carga líquida no interior da superfície limitada pelo cilindro σa.

23 Exemplo: Calcular o campo elétrico devido a um plano infinito uniformemente carregado com densidade de carga σ. Solução: Por simetria, O campo E é perpendicular ao plano; varia com o quadrado da distância ao plano; deve ter mesmo módulo; deve ter direções opostas nas duas faces do plano. Portanto, o fluxo elétrico que sai de cada face do cilindro escolhido é E ˆnA = EnA, e o fluxo total (2 Área) será de 2EnA. Sendo a carga líquida no interior da superfície limitada pelo cilindro σa. Da Lei de Gauss: φ tot = H En da = 2EnA = q int ε 0 = σa ε 0, logo En = σ 2ε 0 = 2K πσ

24 Exemplo: Calcular o campo elétrico a uma distância r de uma esfera de raio R com carga positiva uniformemente distribuída com densidade volumar ρ.

25 Exemplo: Calcular o campo elétrico a uma distância r de uma esfera de raio R com carga positiva uniformemente distribuída com densidade volumar ρ. Solução: O campo elétrico devido à esfera será perpendicular a qualquer superfície esférica que tomarmos para utilizarmos a Lei de Gauss, logo: I φ e = E ˆn da = E 4πr 2 = q int ε 0 ou q int E = 4πr 2 ε 0

26 Exemplo: Calcular o campo elétrico a uma distância r de uma esfera de raio R com carga positiva uniformemente distribuída com densidade volumar ρ. Solução: O campo elétrico devido à esfera será perpendicular a qualquer superfície esférica que tomarmos para utilizarmos a Lei de Gauss, logo: I φ e = E ˆn da = E 4πr 2 = q int ε 0 ou q int E = 4πr 2 ε 0 Se r > R a carga interna será: q int = ρ 4 3 πr3 = q total

27 Exemplo: Calcular o campo elétrico a uma distância r de uma esfera de raio R com carga positiva uniformemente distribuída com densidade volumar ρ. Solução: O campo elétrico devido à esfera será perpendicular a qualquer superfície esférica que tomarmos para utilizarmos a Lei de Gauss, logo: I φ e = E ˆn da = E 4πr 2 = q int ε 0 ou q int E = 4πr 2 ε 0 Se r > R a carga interna será: q int = ρ 4 3 πr3 = q total Se r < R a carga interna será: q int = ρ 4 3 πr 3 = q total r 3 R 3

28 Condutores Elétricos: Gilbert classificou os materiais em elétricos e não-elétricos (condutores foram classificados como não-elétricos); Gray descobriu a condução elétrica; Du Fay mostrou que todos os materiais podiam ser eletrificados; Cavendish usou a sensação fisiológica para comparar capacidades condutoras dos materiais;

29 Condutores Elétricos: Gilbert classificou os materiais em elétricos e não-elétricos (condutores foram classificados como não-elétricos); Gray descobriu a condução elétrica; Du Fay mostrou que todos os materiais podiam ser eletrificados; Cavendish usou a sensação fisiológica para comparar capacidades condutoras dos materiais; Condutividade: medida da capacidade do material em conduzir eletricidade (materiais podem ser classificados em condutores, não-condutores e semi-condutores); Nos materiais condutores existem elétrons livres, que podem se deslocar com facilidade; Blindagem : é o efeito em que os elétrons mais afastados do núcleo de um átomo são fracamente ligados ao núcleo devido a repulsão dos elétrons mais internos;

30 O número de elétrons livres em um condutor depende do tipo de material (é da órdem de 1 por átomo); Na presença de campo elétrico externo, cargas elétricas livres nos materiais condutores tendem a se deslocar para a superfície externa no sentido de criar um campo elétrico oposto (para tentar anulá-lo) no interior do material; O equilírio eletrostático é impossível num condutor a menos que o campo elétrico seja zero em todos os pontos internos; Emissão de campo, em eletrônica, é quando a força elétrica devida a um campo externo, consegue vencer a força de ligação entre elétrons e o condutor e os arranca da superfície condutora.

31 Carga e Campo na Superfície Condutora: No equilíbrio eletrostático: Qualquer carga em excesso num condutor está na superfície; O campo elétrico nas vizinhanças externas de um condutor é perpendicular à superfície e tem módulo σ ε 0, sendo σ a densidade superficial de carga.

32 Carga e Campo na Superfície Condutora: No equilíbrio eletrostático: Qualquer carga em excesso num condutor está na superfície; O campo elétrico nas vizinhanças externas de um condutor é perpendicular à superfície e tem módulo σ ε 0, sendo σ a densidade superficial de carga. Considere uma casca esférica: O campo elétrico é zero (E n =0) na superfície imediatamente interior à casca esférica, pois a carga interior é zero; Considerando uma superfície cilíndrica, conforme mostra a figura, temos: φ tot = H E ˆn da = En A = σa ε 0 E n = σ ε 0

33 No caso de um plano infinito carregado, vimos que o campo elétrico é a metade do valor obtido anteriormente, pois o fluxo líquido que passa pela superfície gaussiana é 2E n A (pelas duas bases do cilindro de área A), logo E n = σ 2ε 0

34 No caso de um plano infinito carregado, vimos que o campo elétrico é a metade do valor obtido anteriormente, pois o fluxo líquido que passa pela superfície gaussiana é 2E n A (pelas duas bases do cilindro de área A), logo E n = σ 2ε 0 No caso de uma placa condutora expessa: σ O campo devido a uma das laterais: 2ε 0 O campo elétrico no interior da placa tem direções opostas e se anula; O campo elétrico do lado de fora é resultado da contribuição do campo elétrico de cada lateral da placa condutora σ + σ = σ 2ε 0 2ε 0 ε 0 Pode ser generalizado para qualquer superfície.

35 Carga por Indução: Quando se aproxima um bastão carregado positivamente de esferas condutoras, sem tocá-las, os elétrons livres se deslocam no sentido de anular o campo elétrico interno - indução eletrostática.

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