Lista de exercícios de funções, logaritmos e trigonometria. Questões UFPR 2003 a e 2 fase. Professor Carlos (KIKO)

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1 Lista de exercícios de funções, logaritmos e trigonometria. Questões UFPR 2003 a e 2 fase Professor Carlos (KIKO) 1) (UFPR-2003)Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços, os estudantes receberam de uma empresa a seguinte proposta, na qual o preço de cada passagem depende do total de passageiros: cada passageiro pagará R$ 90,00 mais o valor de R$ 5,00 por lugar que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo que o ônibus tem 52 lugares, é correto afirmar: 01) Se viajarem 30 passageiros, cada um deles pagará R$ 110,00. 02) Se o total de passageiros for x, o preço (em reais) de cada passagem será calculado pela expressão (52 x). 04) Se viajarem 40 pessoas, a empresa deverá receber um total de R$ 6.000,00, referente ao pagamento das passagens. 08) Se viajarem x pessoas, o valor total (em reais) que a empresa deverá receber, referente ao pagamento das passagens, é calculado pela expressão 300x 5x 2. 16) O valor total máximo que a empresa poderá receber pelo pagamento das passagens ocorrerá quando o total de passageiros for igual a 35. 2) (UFPR-2003 ) O nível sonoro de um som de intensidade I, medido em decibéis, é calculado pela fórmula 10 log0ii, onde log representa logaritmo na base 10, e I 0 é um valor de referência que corresponde aproximadamente à menor intensidade de som audível ao ouvido humano. Com base nessas informações, é correto afirmar: 01) Se um som tem intensidade I 0, então o seu nível sonoro é igual a zero. 02) Um som de 1 decibel tem intensidade igual a 10 I 0. 04) Um som de 40 decibéis tem intensidade igual a I 0. 08) Se um som tem nível sonoro de 10 decibéis, então outro som que é dez vezes mais intenso que aquele tem nível sonoro igual a 100 decibéis. 16) Se três sons têm níveis sonoros de 50, 60 e 70 decibéis, e suas intensidades são, respectivamente, I 1, I 2, e I 3, então esses números formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. 3)(UFPR-2004)Em determinado país, o imposto de renda a ser pago por cada pessoa é calculado da seguinte forma: a) o rendimento bruto é decomposto em faixas de valores; b) ao valor compreendido em cada uma dessas faixas é aplicado um percentual; c) os valores que resultam da aplicação dos percentuais às diversas faixas de valores são somados; d) o resultado dessa soma corresponde ao imposto total a ser descontado. As faixas de valores são: 1ª) até $1.000,00; 2ª) acima de $1.000,00, até $2.000,00; 3ª) acima de $2.000,00, até $3.000,00; 4ª) acima de $3.000,00. O gráfico abaixo representa a relação entre o rendimento bruto, x, e o rendimento líquido, y, após o desconto doimposto de renda. Com base nessas informações, é correto afirmar: 01) Não há desconto para rendimentos brutos inferiores a $1.000,00. 02) O percentual aplicado à segunda faixa é de 5%. 04) Para um rendimento bruto de $1.050,00, o rendimento líquido após o desconto do imposto de renda é $997,50. 08) Se 2000 < x 3000, então y = 0,85(x -2000) ) Para um rendimento bruto de $3.500,00, o desconto do imposto de renda é igual a 10% desse rendimento. 4)(UFPR-2004) Uma pessoa de 2 m de altura, passeando pela cidade, caminha em linha reta em uma rua horizontal, na direção da portaria de um edifício. A pessoa pára para

2 ver o topo desse edifício, o que a obriga a olhar para cima num ângulo de 30 graus com a horizontal. Após caminhar 49 m, pára uma segunda vez para ver o topo do edifício e tem que olhar para cima num ângulo de 45 graus com a horizontal. Suponha que cada andar do edifício tenha 3 m de altura. Utilize 3 1,7. Nessa situação, é correto afirmar: 01) O edifício tem menos de 30 andares. 02) No momento em que a pessoa pára pela primeira vez, ela está a 160 m da portaria do edíficio. 04) Quando a pessoa pára pela segunda vez, a distância em que ela se encontra da portaria é igual à altura do edifício. 08) Se, depois da segunda vez em que pára, a pessoa caminhar mais 35 m em direção à portaria, para ver o topo do edifício será necessário erguer os olhos num ângulo maior do que 60 graus com a horizontal. 5)(UFPR fase)calcule o seno do maior ângulo de um triângulo cujos lados medem 4, 6 e 8 metros. a) b) c) d) e) 6)(UFPR fase) Considere as seguintes afirmativas a respeito da função f: D R definida por ( ) I. O ponto x=1 não pertence ao conjunto D. II. ( ) III. ( ). IV. A função inversa de ( ). a) Somente as afirmativas I, II e III são b) Somente as afirmativas I e IV são c) Somente as afirmativas II e III são d) Somente as afirmativas I, III e IV são e) Todas as afirmativas são 7)(UFPR fase) O período da função f: R R, definida por f(x)= sen(2x ), é: a) π b)π/2 c)π/4 d) 2π e) 8 8)(UFPR fase) Dadas as funções f :R R e g :R R definidas por f(x) = ax + b e g(x) = x², considere as seguintes afirmativas: I. (g o f)(1) = (a + b)². II. (f o g)( x) = (f o g)(x), para qualquer x R. III. (g o f)(x) = (f o g)(x), para qualquer x R. a) Somente as afirmativas I e II são b) Somente a afirmativa I é verdadeira. c) Somente as afirmativas II e III são d) Somente as afirmativas I e III são e) As afirmativas I, II e III são 9)(UFPR fase) Na figura ao lado está representado um período completo do gráfico da função: ` ( ) Para cada ponto B sobre o gráfico de f, fica determinado um triângulo de vértices O, A e B, como na figura ao lado. Qual é a maior área que um triângulo obtido dessa forma pode ter? a)3 b)12 c)6 d)8 e)9 10)(UFPR fase) Uma determinada substância radioativa desintegra-se com o tempo, segundo a função ( ) sendo a massa inicial, k uma constante característica da substância e t o tempo dado em anos. Sabendo que a quantidade inicial de 100 g dessa substância radioativa diminui para 50 g em 28 anos, calcule quanto tempo será necessário para que 100 g dessa

3 substância se reduzam a 25 g. (Considere 2 = 0,7 ) a) 64 anos b) 48 anos c) 72 anos d) 42 anos e) 56 anos 11)(UFPR fase)o tanque de combustível de um posto de gasolina possui o formato de um cilindro circular reto e está instalado de modo que as bases estão na vertical. Para saber o volume de combustível presente no tanque, o funcionário utiliza uma régua graduada e só necessita observar a altura alcançada pelo combustível dentro do tanque. Essa régua foi confeccionada com base no estudo da função que relaciona o volume v com a altura h, desde zero até a altura total T. Qual dos gráficos abaixo mais se aproxima do gráfico dessa função? a) b) c) d) e) 12)(UFPR fase) Uma empresa possui uma máquina que fabrica discos de metal a partir da especificação do raio r. O controle de qualidade dessa empresa detectou que essa máquina está produzindo discos de raio maior que o especificado, ocasionando um desperdício de material acima do esperado. Para quantificar o erro E cometido na fabricação de um disco de raio r+x, o controle de qualidade utiliza a seguinte expressão: E = A (r+x ) A (r) sendo A (r) a área do disco de raio r e A(r+x) a área do disco de raio r + x, com x > 0 Fixando r = 10 cm, resolva os itens abaixo. a) Qual é o erro E cometido na fabricação de um disco de raio 10,5 cm? b) O controle de qualidade dessa empresa estipulou que o erro máximo aceitável na fabricação desses discos é de 1% do valor da área A(r). Para atender essa exigência, qual é o valor máximo permitido para x? A 13)(UFPR fase) O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = 60x x² e C(x) = 10(x+40), sendo x o número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, considere as seguintes afirmativas: I. O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo, é 10. II. A função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25]. III. Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir 30 itens por dia. IV. Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá prejuízo. a) Somente as afirmativas II e IV são b) Somente as afirmativas I e II são c) Somente as afirmativas I, II e IV são d) Somente as afirmativas II e III são e) Somente as afirmativas I, III e IV são 14)(UFPR fase) Abaixo estão representados os gráficos das funções f e g. Sobre esses gráficos, considere as seguintes afirmativas: 1. A equação f(x).g(x) = 0 possui quatro soluções no intervalo fechado [-10, 10]. 2. A função y = f(x).g(x) assume apenas valores positivos no intervalo aberto (0, 3). 3. f(g(0)) = g(f(0)). 4. No intervalo fechado [3, 10], a função f é decrescente e a função g é crescente. a) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são

4 b) Somente as afirmativas 3 e 4 são c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são d) Somente as afirmativas 2 e 3 são e) Somente as afirmativas 1 e 2 são 15)(UFPR fase) Considere a função f definida no conjunto dos números naturais pela expressão f(n + 2) = f(n) + 3, com n IN, e pelos dados f(0) = 10 e f(1) = 5. É correto afirmar que os valores de f(20) e f(41) são, respectivamente: a) 21 e 65. b) 40 e 56. c) 40 e 65. d) 21 e 42. e) 23 e )(UFPR fase) Um medicamento é administrado continuamente a um paciente, e a concentração desse medicamento em mg/ml de sangue aumenta progressivamente, aproximando-se de um número fixo S, chamado nível de saturação. A quantidade desse medicamento na corrente sangüínea é dada pela fórmula q(t) = S.[1-0,2 t ], sendo t dado em horas. Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir: 1. Se q(t 0 ) = S / 2, então t 0 = log2 2. Se t > 4, então q(t) > 0,99.S 3. q(1) = 8.S/10 a) As afirmativas 1, 2 e 3 são b) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras c) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. d) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. e) Somente as afirmativas 1 e 2 são 17)(UFPR fase) Um determinado tipo de canhão para artilharia antiaérea dispara projéteis que descrevem uma trajetória parabólica. Após vários disparos, um grupo de engenheiros militares constatou que, desprezando-se a resistência do ar, os projéteis lançados a partir do solo descrevem uma parábola de equação sendo x e y dados em metros e k um fator positivo relacionado à inclinação que pode ser ajustado diretamente no canhão. 18)(UFPR fase)em um experimento feito em laboratório, um pesquisador colocou numa mesma lâmina dois tipos de bactérias, sabendo que as bactérias do tipo I são predadoras das bactérias do tipo II. Após acompanhar o experimento por alguns minutos, o pesquisador concluiu que o número de bactérias tipo I era dado pela função f(t)= 2.3 t+1 e que o número de bactérias do tipo II era dado pela função, g(t) t ambas em função do número t de horas. a) Qual era o número de bactérias, de cada um dos tipos, no instante inicial do experimento? b) Esboce, no plano cartesiano ao lado, o gráfico das funções f e g apresentadas acima. c) Após quantos minutos a lâmina terá o mesmo número de bactérias do tipo I e II? (Use log2 = 0,30 e log3 = 0,47 ) 19)(UFPR fase) O retângulo ao lado está inscrito em uma circunferência de raio r=1, com os lados paralelos aos eixos coordenados. a) Que valor se deve atribuir a k para que um projétil lançado por esse canhão atinja o solo a exatamente 400 m do ponto de disparo? b) Qual é o menor valor que se deve atribuir a k para que um projétil lançado por esse canhão atinja a altura de 1000 m?

5 e) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 21) (UFPR fase) Na figura ao abaixo, os pontos A e P pertencem à circunferência de centro na origem e raio 1, o ponto R pertence ao eixo das abscissas e o ângulo t, em radianos, pode variar no intervalo (0, ), dependendo da posição ocupada por P. a) Encontre a área e o perímetro do retângulo em função do ângulo α (0 α ). b) Determine α para que a área do retângulo seja máxima. c) Determine α para que o perímetro do retângulo seja máximo. 20)(UFPR fase) Alguns processos de produção permitem obter mais de um produto a partir dos mesmos recursos, por exemplo, a variação da quantidade de níquel no processo de produção do aço fornece ligas com diferentes graus de resistência. Uma companhia siderúrgica pode produzir, por dia, x toneladas do aço tipo Xis e y toneladas do aço tipo Ypsilon utilizando o mesmo processo de produção. A equação,chamada de curva de transformação de produto, estabelece a relação de dependência entre essas duas quantidades. Obviamente deve-se supor x 0 e y 0. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: 1. É possível produzir até 20 toneladas do aço tipo Xis por dia. 2. A produção máxima de aço tipo Ypsilon, por dia, é de apenas 2 toneladas. 3. Num único dia é possível produzir 500 kg de aço tipo Ypsilon e ainda restam recursos para produzir mais de 12 toneladas do aço tipo Xis. a) Somente as afirmativas 1 e 3 são b) Somente as afirmativas 1 e 2 são c) Somente as afirmativas 2 e 3 são d) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir: 1. O comprimento do segmento AP é 2cos t. 2. A área do triângulo OAP, em função do ângulo t, é dado por f(t) = ½ sen t. 3. A área do triângulo ORP, em função do ângulo t, é dado por g(t) = ¼ sen(2t). a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) Somente as afirmativas 2 e 3 são d) Somente as afirmativas 1 e 3 são e)somente as afirmativas 1 e 2 são 22)(UFPR fase) Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceitode notação científica. O método consiste em determinar o valor x que satisfaz a equação = N e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número. Dados log2 = 0,30 e log3 = 0,47, use esse método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima de N =. a) b) c) d) e) 23)(UFPR fase) O teste de alcoolemia informa a quantidade de álcool no sangue levando em conta fatores como a quantidade e o tipo de bebida ingerida. O Código de Trânsito Brasileiro determina que o limite tolerável de álcool no sangue, para uma

6 pessoa dirigir um automóvel, é de até 0,6 g/l. Suponha que um teste de alcoolemia acusou a presença de 1,8 g/l de álcool no sangue de um indivíduo. A partir do momento em que ele pára de beber, a quantidade, em g/l, de álcool no seu sangue decresce segundo a função ( ) sendo o tempo t medidos em horas. a) Quando t = 2, qual é a quantidade de álcool no sangue desse indivíduo? b) Quantas horas após esse indivíduo parar de beber a quantidade de álcool no seu sangue atingirá o limite tolerável para ele poder dirigir? (Use log2 = 0,30 e log3 = 0,47 ) a) Se o retângulo tiver a medida da altura igual a um terço da medida da base, qual é a sua área? 24)Considere x,y [ ] tais que e. b) Se a medida da base do retângulo inscrito for x, obtenha uma expressão da área do retângulo em função de x. a) Calcule os valores de cos x e cos y. c) Calcule a maior área possível desses retângulos inscritos. b) Calcule os valores de sen(x + y) e cos(x y). 25)(UFPR fase) Considere as funções reais f(x) = 2 + e g(x) = (x² x + 6).(2x x²): a) Calcule (f o g)(0) e (g o f )(1). 27)(UFPR fase) A estrutura de um telhado tem a forma de um prisma triangular reto, conforme o esquema ao lado. Sabendo que são necessárias 20 telhas por metro quadrado para cobrir esse telhado, assinale a alternativa que mais se aproxima da quantidade de telhas necessárias para construí-lo. Considere b) Encontre o domínio da função (f o g)(x). 26)(UFPR fase) Num triângulo ABC com 18 cm de base e 12 cm de altura, é inscrito um retângulo com a sua base sobre o lado AB, conforme a figura ao lado. a) 4080 b) 5712 c) 4896 d) 3670 e) 2856

7 28)(UFPR fase)em estudos realizados numa área de proteção ambiental, biólogos constataram que o número N de indivíduos de certa espécie primata está crescendo em função do tempo t (dado em anos), segundo a expressão N(t)= Supondo que o instante t = 0 corresponda ao início desse estudo e que essa expressão continue sendo válida com o passar dos anos, considere as seguintes afirmativas: 1. O número de primatas dessa espécie presentes na reserva no início do estudo era de 75 indivíduos. 2. Vinte anos após o início desse estudo, o número de primatas dessa espécie será superior a 110 indivíduos. 3. A população dessa espécie nunca ultrapassará 120 indivíduos. a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente as afirmativas 1 e 2 são c) Somente as afirmativas 1 e 3 são d) Somente as afirmativas 2 e 3 são e) As afirmativas 1, 2 e 3 são 29)(UFPR fase) Para atrair novos clientes, um supermercado decidiu fazer uma promoção reduzindo o preço do leite. O gerente desse estabelecimento estima que, para cada R$ 0,01 de desconto no preço do litro, será possível vender 25 litros de leite a mais que em um dia sem promoção. Sabendo que, em um dia sem promoção, esse supermercado vende 2600 litros de leite ao preço de R$ 1,60 por litro: a) qual é o valor arrecadado por esse supermercado com a venda de leite em um dia sem promoção? atinge certo nível previamente estabelecido. Sabe-se que a quantidade Q(t) de poluentes no ar dessa fábrica, depois de ligado o sistema de filtragem, é dada em função do tempo pela expressão: ( ) sendo a quantidade Q(t) medida e partícula por litro de ar e o tempo t eminutos. a) Qual a quantidade de poluentes existente no ar no instante inicial t=0 em que o sistema de filtragem foi acionado? E quinze minutos depois da filtragem ter sido iniciada? b)esse sistema de filtragem está programado para desligar automaticamente no momento em que a quantidade de poluentes no ar atingir 12 partículas por litro de ar. Quantas horas esse sistema de filtragem precisa funcionar até atingir o ponto de desligamento automático? c) Encontre constantes a, b e c tais que ( ), examinando essa expressão, justifique a seguinte afirmação: o sistema de filtragem dessa fábrica não é capaz de reduzir a quantidade de poluentes no ar para valores abaixo de 10 partículas por litro de ar. b) qual será o valor arrecadado por esse supermercado com a venda de leite em um dia, se cada litro for vendido por R$ 1,40? 31)(UFPR fase) O gráfico ao lado corresponde a uma função exponencial da forma ( ), sendo a e b constantes e c) qual é o preço do litro de leite que fornece a esse supermercado o maior valor arrecadado possível? De quanto é esse valor arrecadado? 30)(UFPR fase)uma fábrica de produtos químicos possui um sistema de filtragem do ar que é ligado automaticamente toda vez que a quantidade de poluentes no ar

8 a)calcule os valores a e b da expressãode f(x) que correspondem a este gráfico b) Costuma-se assumir que a velocidade do som é de 340 m/s (metros por segundo). Isso ocorre a que temperatura? b) Calcule o valor de x para o qual se tem f(x) = 1. c) Dado k> 0qualquer, mostre que o ponto ( ) satisfaz a equação f(x)=k. 34)(UFPR fase)suponha que o tempo t (em minutos) necessário para ferver água em um forno de micro-ondas seja dado pela função t(n) = a. sendo a e b constantes e n o número de copos de água que se deseja aquecer. 32)(UFPR fase) Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, durante o ano de 2009, possa ser descrito pela função f(t) = 18,8 1,3 sem( ) sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1o de janeiro. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: 1. O período da função acima é 2π. 2. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais cedo. 3. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17h30. a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. b) Somente as afirmativas 1 e 2 são c) Somente as afirmativas 1 e 3 são d) Somente as afirmativas 2 e 3 são e) As afirmativas 1, 2 e 3 são 33)(UFPR fase) Sabe-se que a velocidade do som no ar depende da temperatura. Uma equação que relaciona essa velocidade v (em metros por segundo) com a temperatura t (em graus Celsius) de maneira aproximada é v = 20. Com base nessas informações, responda às seguintes perguntas: a) Qual é a velocidade do som à temperatura de 27 C? (Sugestão: use = 1,73) a) Com base nos dados da tabela ao lado, determine os valores de a e b. Sugestão: use log2 = 0,30 e log3 = 0, 45. b) Qual é o tempo necessário para se ferverem 4 copos de água nesse forno de micro-ondas? 35)(UFPR fase) Uma calha será construída a partir de folhas metálicas em formato retangular, cada uma medindo 1 m por 40 cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao lado maior de uma dessas folhas, obtém-se três faces de um bloco retangular, como mostra a figura da direita.

9 a) Obtenha uma expressão para o volume desse bloco retangular em termos de x. b) Para qual valor de x o volume desse bloco retangular será máximo? 36)(UFPR fase) Considere a função f definida pela expressão 38)(UFPR fase) Um importante estudo a respeito de como se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo alemão Hermann Ebbinghaus no final do século XIX. Utilizando métodos experimentais, Ebbinghaus determinou que, dentro de certas condições, o percentual P do conhecimento adquirido que uma pessoa retém após t semanas pode ser aproximado pela fórmula ( ), sendo que a e b variam de uma pessoa para outra. Se essa fórmula é válida para um certo estudante, com a = 20 e b = 0,5, o tempo necessário para que o percentual se reduza a 28% será: a) entre uma e duas semanas. b) entre duas e três semanas. c) entre três e quatro semanas. d) entre quatro e cinco semanas. e) entre cinco e seis semanas. 39)(UFPR fase) O gráfico ao lado representa a velocidade de um veículo durante um passeio de três horas, iniciado às 13h00. De acordo com o gráfico, o percentual de tempo nesse passeio em que o veículo esteve a uma velocidade igual ou superior a 50 quilômetros por hora foi de: a)calcule f(0) e f(π/4). b) Para quais valores de x se tem f(x) = 0? 37) (UFPR fase)uma parábola é o gráfico de uma função da forma y = ax²+ bx + c, com a 0. a) Encontre a função cujo gráfico é a parábola que contém os pontos P = ( 1,2), Q = (1,2) e R = (2,5). Sugestão: utilize os pontos dados para construir um sistema linear. b) Existe uma parábola que contém os pontos P = ( 1, 1), Q = (1,3) e R = (2,5)? Justifique. a) 20%. b) 25%. c) 30%. d) 45%. e) 50%. 40)(UFPR fase) 100 litros de uma solução contêm inicialmente 75% de álcool e 25% de água. Indiquemos por f(x) a concentração de água nessa solução após x litros da água serem removidos, isto é, ( ) a)qual o valor de f(0)? á çã á çã á

10 b) Obtenha a expressão de f(x) em termos de x. 41)(UFPR fase) Suponha que a expressão P = sen(2 t) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s. Sendo assim, calcule o ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1,1) e (2,4) se encontrarão. b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo? 42)(UFPR fase) Alguns telescópios usam espelhos parabólicos, pois essa forma geométrica reflete a luz que entra para um único ponto, chamado foco. O gráfico de y = x², por exemplo, tem a forma de uma parábola. A luz que vem verticalmente, de cima para baixo (paralelamente ao eixo y), encontra a parábola e é refletida segundo a lei de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Essa lei implica que os raios de luz verticais, encontrando a parábola no ponto (a,a2), serão refletidos na direção da reta ( ) 43)(UFPR fase) Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x centímetros num determinado lago, utiliza-se a lei de Beer- Lambert, dada pela seguinte fórmula: log( )= -0,08x Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm? a) 150 lumens. b) 15 lumens. c) 10 lumens. d) 1,5 lumens. e) 1 lúmen. Gabarito b 6-a 7-a 8-a

11 9-b 10-e 11-a 12-a)10,25 b) O valor máximo é x = 10 ou x 0,05 cm 13-c 14-e 15-c 16-b 17-a)O projétil deve atingir o solo (ordenada y=0) a 400 metros do ponto de lançamento (abscissa x = 400), portanto, deve-se determinar k de modo que 400 seja raiz da equação 16k²x-kx²=0. Assim, 400k(16k - 400)= 0 0 =16k (400) k(400) Como 0 k > 0, o produto acima é nulo apenas quando 16k = 0, o que fornece K=25 b) Como o projétil descreve um movimento parabólico, a altura máxima H será atingida no vértice da parábola, o qual possui ordenada, então t 0,84 horas, ou seja, após 50,4 minutos 19-a) Como o retângulo está em um círculo de raio 1 e seus lados são paralelos aos eixos coordenados, segue das definições de seno e cosseno do ângulo α que a base b do retângulo é 2 cosα e a altura h 2 senα é. Logo: A área A é dada por: A = b.h = (2 cos α).( 2 sen α) = 4.(cosα).(sen α) = 2.sen (2α). O perímetro P é dado por: P = 2 b + 2 h = 4 (cos α + sen α). b) No intervalo [0,π/ 2] a função sen(2α) atinge seu máximo quando sen(2α) = 1, ou seja, quando α = π /4. Logo o máximo da função A = 2sen(2α) ocorre em α = π /4. c) 18-a) O instante inicial ocorre quando t = 0, assim o número de bactérias é: Tipo I: ( ) = 6. Tipo II ( ) = 48. b) c) 20-c 21-c 22-b 23-a) Basta substituir t = 2 na função dada obtendo o valor de 0,9 g/l de álcool no sangue. ( ) b) Basta determinar o valor t1 para o qual Q(t1) = 0,6; pois Q é uma função exponencial com expoente negativo e tempos maiores que t1 implicarão uma quantidade menor de álcool no sangue do indivíduo. Sendo assim ( ) ( ) ( ) E portanto a lâmina terá o mesmo número de bactérias de ambos os tipo após t =

12 24) a) Como x e y correspondem a ângulos agudos, uma forma válida de resolver a questão é construir um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 e usar as expressões do seno e cosseno como quociente entre catetos e hipotenusa para obter os valores. Outra forma de resolver esta questão é utilizar a relação trigonométrica sen²a + cos² a = 1 para obter os valores cos x = ± e. cos y = ± Como, x, y [ 0,, deve-se concluir que os cossenos procurados são os valores positivos. b) Aqui basta utilizar as fórmulas da soma e diferença de arcos e os valores calculados anteriormente para obter: ( ) ( ) Logo h=4, e a área do retângulo A= 12.4= 48cm². b) Denotando por h a altura do triângulo CDE segue por semelhança de triângulos, que Logo a altura do retângulo será 12 e a área do retângulo, em função de x, será A(x) = base altura, ou seja, 25)a) Como g(0) = 0, f(1) = 3 e g(3) = 36 então c)basta encontrar o ponto de máximo da função quadrática A(x), o qual ocorre no vértice, com x = 9, e b) Para que seja possível calcular o valor da função em um ponto x, é necessário garantir que o valor dentro da raiz quadrada seja um número maior ou igual a zero, ou seja, Logo o domínio da função pertence ao intervalo fechado [0,2] 26) a) Usando semelhança de triângulos 27 a 28 - c 29-a)Multiplicar a quantidade de litros de leite vendida pelo preço de cada litro, ou seja, 2600 R$ 1,60 = R$ 4160,00. b) Observar que quando é dado um desconto de R$ 0,20, será possível vender = 500 litros de leite a mais que em um dia sem promoção. Neste caso, será possível vender = 3100 litros a R$ 1,40, e o valor arrecadado será de 3100 R$ 1,40 = R$ 4340,00 c) O valor arrecadado V(x) é função do desconto x dado por sendo o valor do desconto dado em reais e V(x)=(1,60-x).( x) = 2500x²+1400x Como V é uma função quadrática com coeficiente negativo no termo de ordem 2, então o valor máximo de V(x) é atingido no vértice da parábola correspondente, ou seja,

13 em V(0,28)= 4356,00 30)a)No instante t=0 tem se Q(0)=50 partículas por litro de e após 15 minutos tem se Q(15)=30 partículas por litro de ar. b) O objetivo é encontrar o valor t para o qual se tem Q(t) = 12, ou seja, resolver a equação t = = 16 C. 34-a) fazendo t(1,5) teremos a=1, Logo ( ) Também se sabe que t(2) = 2, de onde se conclui que 2 = 1,5. Aplicando logaritmos obtemos b=0,5 por isso t(n)=1,5. b) Quando n = 4 temos t(4) = 1,5 = 1,5 2 = 3 min Obtendo t = 285 minutos, que corresponde a 4,75 horas, ou 4 horas e 45 minutos. c)como E procuramos as constantes a, b,c tais que Comparando as duas expressões para Q(t), concluímos que c=15 e a=10 e ac+b=750 é igual b=600. Analisando a expressão ( ) pode-se concluir que à medida que o valor de t aumenta, o quociente diminui, ficando cada vez mais próximo de zero, porém será sempre positiva. Assim o valor ( ) ficará cada vez mais próximo de 10, porém sempre maior que ) a)substituir os valores f(0)=1/2 e f(4)=2 na expressão ( ) obtendo duas equações exponencias.de f(0)=1/2, obtém se b= - 1, e de f(4)=2, e b= -1 obtém se a =1/2. b) Resolver a equação exponencial obtendo x=2. c)calcular (( ( )) 32-d =K 33-a)substituindo t=27 C, temos = 20 = 20 = = ,73 = 346 m/s. Para v = 340m/s temos 340 = 20. de onde se obtém que t = 17², ou seja, 35-a) O volume V do bloco retangular, em metros cúbicos, é dado por V = 1 (0, 4 2x) x = 2x² + 0, 4x b) O volume V será máximo quando o valor de x corresponder ao vértice da parábola dada pela função quadrática V = 2x² + 0, 4x, isto é, quando ( ) 36-a) Calculando diretamente o determinante temos f(x) = 2 cos(2x) 2 cosx senx = cos(2x) sen(2x). Logo, f(0) = cos(2 0) sen(2 0) = 1 f(( ) b) Para que f(x) = 0 devemos ter cos(2x) = sen(2x), ou seja, 37-a) Substituindo os pontos P, Q e R na função y = ax² + bx + c obtemos o sistema { Subtraindo a segunda equação da primeira temos b = 0, de modo que nosso sistema se torna: { fornecendo a = 1 e c = 1. Portanto, a função procurada é y = x² + 1. b) Procedendo como antes, substituindo os pontos P, Q e R na função y = ax² + bx + c, obtemos o sistema { Resolvendo de forma análoga ao item anterior, encontramos a = 0, b = 2 e c = 1, ou seja, y = 2x + 1, cujo gráfico não é uma parábola segundo a definição apresentada. 38-c 39-e

14 40-a)Pelos dados temos f(0)= b) ( ) 41-a) P(0) sen(2 0) 100 mmhg e P(0,75) sen(2 0,75) 80 mmhg b) O mínimo ocorrerá quando 2 t 3 2 ou seja, quando t 3/4 0,75 s. 42-Em (1,1) a reta será: 4 1 y + (1-4 1)x = 1, ou 4y - 3x = 1. Em (2,4) a reta será: 4 2 y + (1-4 4)x = 2, ou 8y -15x = 2. Resolvendo o sistema{ temos 9 x = 0. Assim, x = 0 e y = 1/4, e portanto os raios de luz se encontrarão em[ ] 43-d

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