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1 Notas de Aula - FIS32 Lara Kuhl Teles 21 de julho de 2008

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3 Sumário 0 Tópicos matemáticos Teoremas e propriedades de Cálculo Vatorial Propriedades de Divergente, Rotacional e Gradiente Introdução Forças elétricas Propriedades da carga elétrica Lei de Coulomb A Lei de Coulomb Princípio de Superposição Campo Elétrico O Campo Elétrico Distribuições Contínuas de Carga Tipos de Distribuições: Linhas de Forças Fluxo Lei de Gauss Aplicando A Lei De Gauss: Aplicações da Lei de Gauss Divergência de um vetor e Equação de Poisson Teorema de Gauss e forma diferencial da Lei de Gauss

4 4 SUMÁRIO 4 Potencial Eletrostático Introdução Recordação da Mecânica Definição do Potencial eletrostático Cálculo do pontencial eletrostático gerado por uma carga pontual q Cálculo do Campo a partir do potencial Equipontenciais Potencial de uma distribuição de cargas Anel isolante uniformemente carregado Disco uniformemente carregado: a uma distância z do centro Disco uniformemente carregado: Cálculo no Bordo Casca esférica Dipolo elétrico e expansão multipolar dos campos elétricos Circulação do campo elétrico Equações da Eletrostática e Energia Introdução Equações de Laplace e Poisson Resumo das equações da eletrostática Condições de Contorno Relação entre campos logo acima e abaixo de uma superfície carregada Relação entre os potenciais Alguns outros comentários Exemplos de aplicação das Equações de Poisson e Laplace Exemplo Energia Potencial Eletrostática Energia Potencial Eletrostática de uma distribuição de cargas

5 SUMÁRIO Exemplo Relação entre Energia e Campo Elétrico Princípio da Superposição Condutores Breve Introdução Propriedades dos Condutores Carga Induzida O campo numa cavidade de um condutor Método das Imagens Carga e o Plano Condutor Aterrado Densidade De Carga Induzida Na Superfície Do Plano Poder das Pontas Carga Na Superfície e Força Em Um Condutor Capacitores Introdução Energia de um capacitor carregado Cálculos de Capacitâncias Capacitor de placas paralelas Capacitor Cilíndrico Capacitor Esférico Associação de Capacitores Capacitores em Paralelo Capacitores em Série Dielétricos Introdução Campo no interior de um dielétrico moléculas polares moléculas apolares

6 6 SUMÁRIO 8.3 Polarização Definição do vetor Polarização Susceptibilidade Elétrica e constante dielétrica Lei de Gauss e vetor deslocamento elétrico Energia eletrostática em dielétricos Condições de Contorno Corrente elétrica e Resistência Transporte de Carga e Densidade de Corrente Conceito De Densidade De Corrente Equação da Continuidade da Carga elétrica Caso De Corrente Estacionária Condutividade Elétrica e a Lei de Ohm Um Modelo Para a Condução Elétrica Associação de Resistores Associação em Paralelo Associação em Série Força Eletromotriz Potência Potência Máxima Transmitida Leis de Kirchoff Circuito R-C Carregando um capacitor Descarregando um capacitor Magnetostática Campo Magnético Força magnética em fios Torque em espiras O Movimento Cyclotron A Ausência de monopolos magnéticos

7 SUMÁRIO O Efeito Hall A Lei de Biot Savart Introdução Formas Alternativas Aspectos Interessantes Aplicações da Lei de Biot-Savart A Lei Circuital de Ampère Introdução A forma diferencial da Lei de Ampère Aplicações da Lei de Ampère Potencial Vetor Condições de Contorno na Magnetostática Componente perpendicular à superfície Componente paralela à superfície e paralela à direção da corrente Componente paralela à superfície e perpendicular à direção da corrente Expansão em multipólos Lei da Indução O Fluxo Magnético A Lei de Lenz Geradores Efeitos Mecânicos As correntes de Foucault Atrito Magnético Canhão Magnético Indutância Mútua Auto-Indutância Associação de Indutores Dois indutores em série

8 8 SUMÁRIO Dois indutores em paralelo Circuito R-L Circuito L-C Analogia com sistema mecânico Circuito R-L-C Subcrítico Crítico Supercrítico Energia em Campos Magnéticos Equações de Maxwell Introdução Modificação na lei de Ampère Equações de Maxwell Forma diferencial Forma integral Equações de Onda Materiais Magnéticos Propriedades Magnéticas da Matéria Momentos magnéticos e Momento angular Materiais Diamagnéticos Materiais Paramagnéticos Magnetização e o campo H Materiais Magnéticos Lineares Materiais Ferromagnéticos Energia em meios magnéticos

9 Capítulo 0 Tópicos matemáticos 0.1 Teoremas e propriedades de Cálculo Vatorial Teorema 1 (Teorema de Stokes). Seja S uma superfície de bordo γ = S e seja F um campo de classe C 1. Então: F d l = F ds (1) γ= S S Demonstração. Encontrada em qualquer referência de Cálculo Vetorial Teorema 2 (Teorema da Divergência ou de Gauss). Seja R uma região do espaço de bordo γ = R e seja F um campo de classe C 1. Então: F dv = F d S (2) R R Demonstração. Encontrada em qualquer referência de Cálculo Vetorial Tais Teoremas são de extrema importância pois facilitam em determinadas situações o cálculo de um dos membros das equações por meio do ou- 9

10 10 CAPÍTULO 0. TÓPICOS MATEMÁTICOS tro, que pode ser obtido por um método de integração mais rápido e menos propício a erros. 0.2 Propriedades de Divergente, Rotacional e Gradiente 1) o divergente de um rotacional vale sempre zero, quaisquer que sejam os vetores associados. 2) o rotacional de um gradiente vale sempre zero, qualquer que seja o campo escalar associado.

11 Capítulo 1 Introdução 1.1 Forças elétricas Consideremos uma força análoga à gravitação que varie com o inverso do quadrado da distância, mas que seja bilhões de bilhões de bilhões de vezes mais intensa. E com outra diferença: que haja duas classes de matéria que poderíamos chamar de positiva e negativa. Se são da mesma classe se repelem e se são de classes distintas se atraem, diferentemente de gravitação que é só atrativa. Um conjunto de elementos positivos se repelem com uma força enorme, o mesmo ocorrendo com um conjunto de elementos negativos. Os elementos opostos são mantidos juntos por uma força enorme de atração. Estas terríveis forças se equilibrarão perfeitamente e formarão uma mescla de elementos positivos e negativos intimamente mesclados entre si de tal modo que duas porções separadas não sentirão nem atração nem repulsão entre elas. Uma força como esta existe e é chamada de força elétrica. E toda a matéria é uma mescla de prótons positivos e elétrons negativos que estão se atraindo e repelindo com uma grande força. Mas, há um equilíbrio tão perfeito que com relação ao conjunto não se sente nenhuma força resultante. Atualmente, sabemos que as forças elétricas determinam em grande parte, 11

12 12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO as propriedades físicas e químicas da matéria em toda a faixa que vai desde o átomo até a célula viva. Temos de agradecer por este conhecimento dos cientistas do século XIX: Ampère, Faraday, Maxwell e muitos outros que descobriram a natureza do eletromagnetismo; bem como físicos e químicos do século XX que revelaram a estrutura atômica da matéria. O eletromagnetismo clássico estuda as cargas e correntes elétricas e suas ações mútuas, como se todas as grandezas envolvidas pudessem ser medidas independentemente, com precisão limitada. Nem a revolução da física quântica, nem o desenvolvimento da relatividade especial deslustraram as equações do campo eletromagnético que Maxwell estabeleceu há mais de cem anos atrás. Evidentemente, a teoria estava solidamente baseada na experimentação, e por causa disso era muito segura dentro dos limites do seu campo de aplicação original. No entanto, mesmo um êxito tão grande não garante a validade num outro domínio, por exemplo, no interior de uma molécula. Dois fatos ajudam a explicar importância contínua da teoria clássica do eletromagnetismo na física moderna. Primeiro, a relatividade restrita não exigiu nenhuma revisão do eletromagnetismo clássico. Cronologicamente, a relatividade especial nasceu do eletromagnetismo clássico e das experiências inspiradas por ele. As equações de Maxwell, deduzidas muito antes dos trabalhos de Lorentz e Einstein revelaram-se inteiramente compatível com a relatividade. Em segundo lugar, as modificações quânticas das forças eletromagnéticas revelaram-se sem importância até distâncias da ordem de cm, cem vezes menores que o átomo. Podemos descrever a repulsão e atração de partículas no átomo utilizando as mesmas leis que se aplicam ás falhas de um eletroscópio, embora necessitemos da mecânica quântica para prever o comportamento sob ação dessas forças. Segundos relatos históricos, já ao tempo da Grécia Antiga se tinha conhecimento de que o âmbar (uma espécie de resina denominada de elétron na língua grega), uma vez friccionado com lã, adquiria a propriedade de atrair pequenos fragmentos de papel, fiapos de tecidos, etc. Nenhum progresso

13 1.2. PROPRIEDADES DA CARGA ELÉTRICA 13 substancial ocorreu todavia nesse assunto até o século XVIII, quando se descobriu que o vidro friccionado com um pano de seda também apresentava propriedades semelhantes a do âmbar. Estas observações levaram a admitir duas espécies de eletricidade: a vítrea e a resinosa. Ainda dessas observações decorram as leis elementares da eletrostática, a saber: a) Eletricidades de mesmo nome se repelem b) Eletricidades de nomes diferentes se atraem. Benjamin Franklin foi o primeiro a falar em eletricidade positiva (a vítrea) e eletricidade negativa (a resinosa). Hoje sabemos que esses efeitos são devidos à existência do que chamamos de carga elétrica. Embora a carga elétrica não seja definida sabemos que ela é uma característica das partículas fundamentais que constituem os átomos. 1.2 Propriedades da carga elétrica Uma propriedade fundamental da carga elétrica é a sua existência nas duas espécies que há muito tempo foram chamadas de positivas e negativas. Observouse o fato de que todas as partículas eletrizadas podem ser divididas em duas classes, de tal forma que todos os componentes de uma classe se repelem entre si, a o passo que atraem is componentes de outra classe. Se A e B repelem-se e A atrai um terceiro corpo eletrizado C, então B atraiu C. Não podemos dizer com certeza, porque prevalece esta lei universal. Mas hoje os físicos tendem a considerar as cargas positivas e negativas, fundamentalmente como manifestações opostas de uma qualidade assim como direito e esquerdo, manifestações opostas de lado. O que nós chamamos de carga negativa poderia ter sido chamada de positiva e vice-versa. A escolha foi um acidente histórico. A segunda propriedade é um dos princípios fundamentais da Física: O Princípio da conservação da carga elétrica. Esse princípio é equivalente ao

14 14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO POSTULADO DA TEORIA. A carga total, num sistema isolado, nunca varia. (sistema isolado = nenhuma matéria atravessa os limites do sistema). Observação 1.1. Podemos ter a criação de pares de cargas positivas e negativas, mas uma carga positiva e negativa, mas uma carga positiva ou negativa não pode simplesmente desaparecer ou aparecer por si só. A terceira propriedade está relacionada com a quantidade da carga. A experiência da gota de óleo de Millikan, e diversas outras, demonstram que a carga elétrica aparece a natureza em múltiplos de um único valor unitário. Essa intensidade é representada por e 1, a carga eletrônica. Experiências mostram que a carga do próton e do elétron são iguais com uma precisão de 1 para De acordo com as odeias atuais, o elétron e o próton e o próton são tão diferentes entre si como o podem ser quaisquer outras partículas elementares. Ninguém entende ainda porque suas cargas devam ser iguais até um grau tão fantástico de precisão. Evidentemente a quantização da carga é uma lei profunda e universal da natureza. Todas as partículas elementares eletrizadas, até o ponto em que podemos determinar, têm cargas de magnitudes rigorosamente iguais. Observação 1.2. Nada na eletrodinâmica requer que as cargas sejam quantizadas este é um fato. Observação 1.3. Prótons e nêutrons são compostos de três quarks, cada qual com cargas fracionadas ± 2 e e ± 1 e. No entanto, quarks livres parecem 3 3 não existir na natureza, de qualquer forma isto não alteraria o fato da carga ser quantizada, só reduziria o módulo da unidade básica. Observação 1.4. Por outro lado, a não-conservação da carga (Propriedade 2) seria totalmente incompatível com a estrutura da teoria eletromagnética atual. 1 e= 1, C

15 Capítulo 2 Lei de Coulomb 2.1 A Lei de Coulomb Você provavelmente já sabe que a interação de cargas elétricas em repouso é regida pela lei de Coulomb, que nos diz que entre duas cargas em repouso há uma força diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa. A força se dá na direção da reta que une as duas cargas. F 1 = 1 q 1 q 2 4πɛ o r 2 1,2 F 1 = força que age sobre a partícula 1 ˆr 1,2 = versor na direção de q 1 e q 2 r 1,2 = distância entre q 1 e q 2 ˆr 1,2 = F 2 (2.1) No sistema CGS ou MES: k 0 vale aproximadamente um (1) [ F ] = dina 1C = 2, MES Quando temos mais de duas cargas devemos complementar a lei de Coulomb com outro jeito da natureza: o princípio da superposição. 15

16 16 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB Figura 2.1: Força elétrica entre duas cargas 2.2 Princípio de Superposição Considere o sistema constituído de n cargas puntiformes q 0, q 1, q 2...q n. Podemos calcular a força elétrica resultante sobre qualquer uma das cargas aplicando o Princípio da Superposição. Suponha que desejamos calcular o vetor força elétrica resultante sobre a carga q 0. Para isso, determinaremos a força que cada uma das cargas exerce sobre q 0 e em seguida somamos todas as contribuições. A força resultante sobre q 0 será: Sendo F 0,n a força devido a q n F 0 = F 0,1 + F 0, F 0,n (2.2) O Princípio da Superposição estabelece que a interação entre quaisquer duas cargas não é afetada pela presença das outras. Assim, Reescrevendo: F 0 = K 0 q 0 n i=1 q i r 2 0,i ˆr 0,i (2.3)

17 2.2. PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO 17 F 0 = K 0 q 0 n i=1 q i r i r 0 3 ( r i r 0 ) (2.4)

18 18 CAPÍTULO 2. LEI DE COULOMB

19 Capítulo 3 Campo Elétrico 3.1 O Campo Elétrico Suponhamos uma distribuição de cargas q 1, q 2,..., q n fixas no espaço, e vejamos não as forças que elas exercem ente si, mas apenas os efeitos que produzem sobre alguma outra carga q 0 que seja trazida às suas proximidades. Sabemos que a força sobre q 0 é: F o = K o n i=1 q o q i ˆr ro,i 2 o,i Assim, se dividirmos F 0 por q 0 teremos: F o q o n = K o i=1 q i r 2 o,i ˆr o,i (3.1) uma grandeza vetorial que depende apenas da estrutura do sistema original de cargas q 1, q 2,..., q n e da posição do ponto (x,y,z). Chamamos essa função vetorial de x,y e z de campo elétrico criado por q 1, q 2,..., q n e usamos o símbolo E. As cargas são chamadas fontes do campo. Desta forma 19

20 20 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO definimos o campo elétrico de uma distribuição de cargas no ponto (x,y,z): E(x, y, z) = K o n q i r 2 i=1 o,i ˆr o,i (3.2) F o = q o E (3.3) Note que utilizamos como condição que as cargas fontes do campo estavam fixas, ou seja, que colocar a carga q 0 no espaço não perturbará as posições ou movimento de todas as outras cargas responsáveis pelos campos. Muitas pessoas, às vezes, definem o campo impondo à q 0 a condição de ser uma carga infinitesimal e tomando E como: lim qo 0 Cuidado! Na realidade este rigor matemático é falso. Lembre-se que no mundo real não há carga menor que e! Se considerarmos a Equação 3.2 como definição de E, sem referência a uma carga de prova, não surge problema algum e as fontes não precisam ser fixas. Casa a introdução de uma nova carga cause deslocamento das cargas fontes, então ela realmente produzirá modificações no campo elétrico e se quisermos prever a força sobre a nova carga, devemos utilizar o campo elétrico para calculá-la. Conceito de campo: um campo é qualquer quantidade física que possue valores diferentes em pontos diferentes no espaço. F q o Temperatura, por exemplo, é um campo. Nesse caso um campo escalar, o qual nós escrevemos como T(x,y,z). A temperatura poderia também variar com o tempo, e nós poderíamos dizer que a temperatura é um campo dependente do tempo e escrever T(x,y,z,t). Outro exemplo é o campo de velocidade de um líquido fluindo. Nós escrevemos v =(x,y,z,t) para a velocidade do líquido para cada ponto no espaço no tempo t. esse é um campo vetorial. Existem várias idéias criadas com a finalidade de ajudar a visualizar o comportamento dos campos. A mais correta é também a mais abstrata: nós simplesmente considerarmos os campos como funções matemáticas da posição e tempo.

21 3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 21 O campo é uma grandeza vetorial e na unidade no SI é N C (Newton/Coulumb). Se tivermos somente uma carga: E = K oq r ˆr 2 Observação 3.1. Campo elétrico é radial e cai com a distância ao quadrado O Princípio da superposição também é aplicado para os campos elétricos, ou seja, o campo elétrico resultante em um ponto P qualquer será a soma dos campos elétricos que cada uma das cargas do sistema gera nesse ponto. E = E 1 + E E n 3.2 Distribuições Contínuas de Carga Figura 3.1: Distribuições contínuas de carga Usando o Princípio da Superposição: E = d E =Ko dq r 2 ˆr Tipos de Distribuições: a) linear: carga distribuída ao longo de um comprimento (ex: fio, barra, anel). Densidade linear de carga = λ = dq dl dq = λdl

22 22 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO E = K λdl o ˆr r 2 b) superficial: carga distribuída ao longo de uma superfície(ex: disco,placa). Densidade superficial de carga = σ = dq ds dq = λds E = K σds o ˆr r 2 c) volumétrica: carga distribuída no interior de um volume(ex: esfera, cubo, cilindro). Densidade volumétrica de carga = ρ = dq dv dq = ρdv E = K ρdv o ˆr r 2 Exercício 3.1. Determinar o campo elétrico no ponto P. Figura 3.2: Determinação do campo no ponto P Resolução. Se tomarmos limite quando b>>l temos: = carga pontual E P = K oλl b 2 = KoQ N b 2 C

23 3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 23 Colocando uma carga q no ponto P, a força é dada por: F = qe λl P = qk o b(b L)îN Quando lim b >> L temos: qq F = K o î = força de Coulomb entre duas cargas pontuais q e Q b2 Observação 3.2. Só funciona para matérias isolantes. Com os metais teríamos uma redistribuição de carga no condutor quando a presença da carga q. Exercício 3.2. Determinar o campo elétrico no ponto P. Figura 3.3: Determinação do campo no ponto P

24 24 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Exercício 3.3. Calcular o campo elétrico a uma distância z de um anel de raio R Figura 3.4: Anel de raio R Resolução. r = z 2 + R 2 de z = de cos α = dl = Rdθ λrdθ z z 2 + R 2 z2 + R 2 Por simetria só teremos componente na direção z. E = k 0 E = 2π 0 z z2 + R 2 2πk 0λRz (z 2 + R 2 ) 3 2 ˆk ( N C Analisando os limites R e z >> R: λrdθ z 2 + R ˆk zrλ2π E = k 2 0 ˆk (z 2 + R 2 ) 3 2 ) Qzλ = ˆk (z 2 + R 2 ) 3 2

25 3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 25 z >> R : E = 2πλRk 0z = k 0Q = carga puntual z 3 z 2 R :E 0, com 1 se Q for fixa R3 com 1 se λ constante R3 Exercício 3.4. Calcular o campo elétrico a uma distância z de um disco com densidade de carga σ. Figura 3.5: Anel de raio R Resolução. Pela simetria só temos componente na direção z.

26 26 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO ds = rdθdr z de z = de cos α = de r2 + z 2 E z = k 0 2π R 0 r 2 + z 2 = u 0 zσrdθdr R r2 + z 2 (r 2 + z 2 ) = k 0zσ2π du = 2rdr 0 rdr (r 2 + z 2 ) 3 2 R 2 +z 2 du E z = k 0 zσ2π = k (u) 3 0 zσπ u 1 R 2 +z z 2 2 z ( 2 1 E z = k 0 zσ2π R2 + z 1 ) = 2πk 0 σ 2 z Analisando os limites: z << R : E z = σ z 2ε 0 z E = σ 2ε 0, z > 0 σ 2ε 0, z < 0 z >> R : ( z z ) z R2 + z 2 1 ( ) 1 ( z z2 + R = R2 2 = ) R 2 2 z 2 2 z E z = σ 2ε 0 R 2 2z 2 = σπr2 4πε 0 z 2 = Q 4πε 0 z 2 1 R 2 2 z 2

27 3.2. DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 27 Fazendo os gráficos: ( σ 1 2ε 0 E z = σ 2ε 0 ( 1 ) z, z > 0 z2 + R 2 ) z, z < 0 z2 + R 2 z << R Figura 3.6: Gráfico para z << R z >> R Figura 3.7: Gráfico para z >> R

28 28 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO 3.3 Linhas de Forças Os esquemas mais utilizados para a representação e visualização de um campo elétrico são: a) Uso de vetores associamos um vetor a cada ponto do espaço Figura 3.8: Linhas de força-vetores Quando q > 0 o campo é divergente. Simples campo radial proporcional ao inverso do quadrado da distância. b) Desenhar as linhas de campo: Linhas de força de um campo, ou simplesmente linhas de campo são retas ou curvas imaginárias desenhadas numa região do espaço, de tal modo que, a tangente em cada ponto fornece a direção e o sentido do vetor campo elétrico resultante naquele ponto. As linhas de campo fornecem a direção e o sentido, mas não o módulo. No entanto, é possível ter uma idéia qualitativa do módulo analisando as linhas. A magnitude do campo é indicada pela densidade de linhas de campo. Exemplo 3.1. carga puntual +q Atenção: o desenho está definido em duas dimensões, mas na realidade representa as três dimensões.

29 3.3. LINHAS DE FORÇAS 29 Figura 3.9: Linhas de força de um campo Figura 3.10: Carga pontual + q Se considerássemos duas dimensões, a densidade de linhas que passam através de uma circunferência seria igual a, o que faria com que e Caso 3D a densidade seria igual a n 2πr E 1 r n 4πr 2 E 1 r 2

30 30 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO, o que é correto. Existem algumas regras para desenhar as linhas: 1) As linhas de campo nunca se cruzam. Caso contrário, teríamos dois sentidos diferentes para o campo no mesmo ponto. Isto não faz sentido pois o campo que elas significam é sempre o resultante. 2) As linhas de campo começam na carga positiva e terminam na carga negativa, ou no infinito. 3) O número de linhas é proporcional ao módulo das cargas. Q 1 Q 2 = n 1 n 2 Exemplo 3.2. Figura 3.11: Linhas de Campo 3.4 Fluxo Consideremos uma região no espaço, onde existe um campo elétrico como na figura abaixo: Uma superfície de área A perpendicular a direção de E. O fluxo através desta superfície é: f = EA

31 3.4. FLUXO 31 Figura 3.12: Fluxo na área A Se esta superfície estiver na mesma direção de E ( a E ) Figura 3.13: Fluxo na área A Se esta superfície estiver inclinada em relação as linhas de campo em um ângulo θ Considere agora, uma superfície fechada qualquer. Divida a superfície em pedacinhos, de tal forma que cada um possa ser considerado plano e o vetor

32 32 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Figura 3.14: Fluxo na área A campo não varie apreciavelmente sobre um trecho. Não deixe que a superfície seja muito rugosa nem que essa passe por uma singularidade. (ex: carga puntiforme) Figura 3.15: Superfície A área de cada trecho tem certo valor e cada uma define univocamente uma direção e sentido, a normal à superfície orientada para fora. Para cada trecho, temos um vetor a j que define sua área e orientação.

33 3.5. LEI DE GAUSS 33 O fluxo através desse pedaço de superfície é dado por: Φ = Ej. a j E o fluxo através de toda a superfície: Φ = j Ej. a j Tornando os trechos menores, temos: Φ = E.d a em toda a superfície 3.5 Lei de Gauss Tomemos o caso mais simples possível: o campo de uma única carga puntiforme. Qual é o fluxo Φ através de uma esfera de raio r centrada em q? Figura 3.16: Fluxo devido a uma carga puntiforme

34 34 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Ou simplesmente: q E = k 0 r ˆr 2 d a = r 2 senθdθdϕˆr q Φ = E d a = k 0 r 2 r2 senθdθdϕˆr s = k 0 q π 2π 0 0 s senθdθdϕ = = 4πk 0 q = 4πq 4πε 0 = q ε 0 E area total = k 0 q r 2 4πr2 = q ε 0 Portanto o fluxo não depende do tamanho da superfície gaussiana. Agora imagine uma segunda superfície, ou balão, mas não esférica envolvendo a superfície anterior. O fluxo através desta superfície é o mesmo do que através da esfera. Figura 3.17: Fluxo devido a uma carga puntiforme

35 3.5. LEI DE GAUSS 35 Para ver isto podemos considerar a definição de linhas de campo: O número de linhas que atravessam as duas superfícies é o mesmo. Ou então podemos considerar um cone com vértice em q. Figura 3.18: Comparação de fluxos O fluxo de um campo elétrico através de qualquer superfície que envolve uma carga puntiforme é q ε o Corolário 3.1. Fluxo através de uma superfície fechada é nulo quando a carga é externa à superfície. O fluxo através de uma superfície fechada deve ser independente do seu tamanho e forma se a carga interna não variar. Superposição: Considere um certo número de fontes q 1, q 2,..., q n e os campos de cada uma E 1, E 2,..., E n O fluxo Φ, através de uma superfície fechada S, do campo total pode ser escrito:

36 36 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Φ = E d s = ( E 1 + E E n ) d s S S LEI DE GAUSS: S E i d s = q i ε 0 Φ = q 1 + q q n ε 0 = q int ε 0 O fluxo do campo elétrico E através de qualquer superfície fechada é igual à carga interna dividida por ɛ 0. S E i d s = q int ε 0 Pergunta: A lei de Gauss seria válida se E 1 r 3? Não, pois: Φ = E A = EA total = k 0 q r 3 4πr2 = q ε 0 r Por meio da lei de Gauss é possível calcular a carga existente numa região dado um campo. Esta lei simplifica problemas complicados, porém limitados a sistemas que possuem alta simetria Aplicando A Lei De Gauss: 1) Identifique as regiões para as quais E deve ser calculado. 2) Escolha superfícies gaussianas observando a simetria do problema, preferencialmente com E perpendicular e constante ou E paralelo. 3) Calcule Φ = E i d s S

37 3.6. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 37 4) Calcule q int 5) Aplique a Lei de Gauss para obter E Figura 3.19: Simetrias mais comuns 3.6 Aplicações da Lei de Gauss É essencial que a distribuição tenha elemento de simetria (plana, axial, esférica) de tal forma que se possa exprimir o fluxo tatalo através de uma superfície gaussiana fechada judiciosamente escolhida para aproveitar a simetria, em termos de magnitude do campo, a mesma em qualquer ponto desta superfície. Plano Uniformemente Carregado Fio Cilíndrico de densidade linear λ Casca Esférica O campo elétrico externo à camada é o mesmo que se toda a carga da esfera estivesse concentrada no seu centro. CAMPO ELÉTRICO NA SUPERFÍCIE DE UM CONDUTOR A carga pode deslocar-se livremente no interior de um meio condutor. No equilíbrio não pode haver cargas no interior do condutor, pois as cargas se deslocariam sob a ação do campo, rompendo o equilíbrio estático. Só é possível ter componente do campo normal à superfície.

38 38 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Figura 3.20: Plano Uniformemente Carregado Figura 3.21: Fio Cilíndrico de densidade linear λ 3.7 Divergência de um vetor e Equação de Poisson A lei de Gauss é um indicador global de presença de cargas: Φ = S E d s = q int ε 0

39 3.7. DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON 39 Figura 3.22: Casca esférica Queremos agora achar um indicador local que analise a presença de fontes num ponto P. Considere um ponto P: Vamos colocar uma gaussiana Σ de volume infinitesimal V, a carga dentro deste volume é ρ V, então: Φ Σ = Σ E.d s = q int = ε 0 lim V 0 V 1 V ρ V ε 0 1 V Σ E.d s = 1 V V ρ V ε 0 E.d s = ρ(p ) ε 0 (3.4) Este limite caracteriza que a densidade de fontes do campo em P independe de Σ e é uma característica local do campo. Para um vetor qualquer, definimos a divergência como sendo: div v(p ) =. v 1 = lim V 0 V v.d s onde V é um volume arbitrário que envolve o ponto P e d s (elemento orientado de superfície). De acordo com a Equação 3.4

40 40 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Figura 3.23: Esquema para aplicação da Lei de Gauss

41 . E = ρ ε o 3.7. DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON 41 Figura 3.24: Continuação Figura 3.25: Gaussiana e volume infinitesimal Equação de Poisson ou a forma local da Lei de Gauss O divergente de E num ponto P é o fluxo para fora de E por unidade de volume nas vizinhanças do ponto P. Mas sempre que for calcular o divergente nós temos que calcular pela definição?

42 42 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Figura 3.26: Paralelepípedo infinitesimal 1. v = lim V 0 V v.d s Não. Vamos ver a forma do. v em coordenadas cartesianas: Segundo a definição V é qualquer. Vamos considerar um paralelepípedo de lados x, y e z centrado no ponto P (x,y,z). Vamos calcular o fluxo de v na face 2: v x (2). y. z

43 3.7. DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E EQUAÇÃO DE POISSON 43 Fluxo v na face 1: v x (1). y. z Observe que v x (2) v x (1) v x (2) = v x (x x, y, z) = v x(x + y + z) + 1 v x 2 x x v x (1) = v x (x 1 2 x, y, z) = v x(x + y + z) 1 v x 2 x x Fluxo sobre 1 e 2: fluxos = v x x x y z Da mesma forma se considerarmos as outras faces: ( ) v Φ total = x + vy + vz x y z x y z ( ) v Φ total = x + vy + vz V x y z Φ total = v d s = ( v x + vy x y Superfície infinitesimal = Σ ) + vz V z v = v x x + v y y + v z z Por outro lado se somarmos para todos os elementos: v V = vdv V Ao somarmos os fluxos sobre todos os elementos notamos que contribuições às superfícies internas são iguais a zero.

44 44 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO vd s = vd s i P i vdv = S vd s Vimos que a definição de divergente é: V div v(p ) =. v = S lim V i 0 1 V i S i v.d s i sendo v um campo vetorial qualquer, V i é o volume que inclui o ponto em questão e S i a superfície que envolve este volume V i. Significado de. v : a) Fluxo por unidade de volume que sai de V i no caso limite de V i infinitésimo; b) Densidade de fluxo desse valor através da região; c) Grandeza escalar que pode variar de ponto para ponto. 3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da Lei de Gauss Φ = S F d s = Fazendo lim N e V i 0 S n i=1 S i F d si = F d s = V F d si n S V i i V i i=1 F dv Teorema de Gauss ou Teorema de Divergência Já tínhamos visto a equação de Poisson:

45 3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS45. E = ρ ε o Vamos usar o teorema da divergência para chegar neste resultado: ρdv V Ed s = Pelo teorema da divergência: Ed s = EdV = 1 ε 0 ρdv s ε 0 Como o volume é qualquer, temos: s V V. E = ρ ε o sendo a relação local entre densidade de carga e campo elétrico O DIVERGENTE EM COORDENADAS CARTESIANAS: Figura 3.27: Divergente

46 46 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO F = F x î + F y ĵ + F zˆk F = lim Vi 0 1 V i s i F d si Queremos saber o. F no ponto P Sabemos que: F y y = F y(x, y + y, z) F y (x, y, z) y Fluxo por 2: F y (x, y + y/2, z) = F y (x, y, z) + F y y y 2 F A = F y (x, y + y/2, z) x z = Fluxo por 1: ( F y (x, y, z) + F y y ) y x z 2 ( F A = F y (x, y y/2, z) x z = F y (x, y, z) F y y Somando fluxo 1 + fluxo 2: ) y x z 2 Somando fluxo 3 + fluxo 4: F y y x y Somando fluxo 5 + fluxo 6: F x x x y z

47 3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS47 F z z x y z Figura 3.28: Superfícies consideradas Fluxo total que sai do volume V i F = lim V i 0 1 V i ( Fx x + F y y + F ) z x y z z ( Fx x + F y y + F ) z V i = F x z x + F y y + F z z F = F x î + F y ĵ + F zˆk Operador nabla: = xî + y ĵ + z ˆk Em coordenadas esféricas: (r,θ,ϕ): F = 1 r 2 r (r2 F r ) + 1 rsenθ θ (senθf θ) + 1 F ϕ rsenθ ϕ Em coordenadas cilíndricas: (r,ϕ,z): F = 1 r r (rf r) + 1 F ϕ ρ ϕ + F z z

48 E = ρ ε 0 48 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO Exemplo 3.3. Seja um cilindro com densidade volumétrica de cargas positivas uniforme. Figura 3.29: Cilindro com densidade volumétrica de cargas uniforme Resolução. E2πrL = ρπr2 L ε 0 E2πrL = ρπa2 L ε 0 E = ρr 2ε 0 ˆr (r < a) E2πrL = ρπa2 L ε 0 E (r < a) = 1 r r (re r) = 1 ( r ρr ) r r 2ε 0 E (r > a) = 1 r r (re r) = 1 ) (r ρa2 r r 2ε 0 r E = 0

49 3.8. TEOREMA DE GAUSS E FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS49 O divergente do campo só é diferente de zero onde há carga! CARGA PONTIFORME E = E = 1 4πε 0 q r 2 ˆr q 1 4πε 0 r 2 r (r2 E r ) = 0, r 0 Não faz sentido calcular o campo em cima dela mesma (a carga), já que ela gera o campo.

50 50 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO

51 Capítulo 4 Potencial Eletrostático 4.1 Introdução A utilização do campo elétrico, como visto no capítulo anterior, para resolução de problemas pode ser bastante complexa, principalmente devido ao fato de o campo elétrico ser um campo vetorial. Dessa forma, o potencial elétrico entra como uma excelente forma de simplificar os cálculos a serem realizados e possibilitar a resolução de problemas ainda mais omplexos de eletrostática. Inicialmente, porém, relembremos alguns conceitos básicos: Recordação da Mecânica Sendo P1 e P2 pontos e c um caminho que liga P1 a P2. O trabalho realizado por uma força ao longo deste caminho de P1 a P2 é: W (c) P 1 P 2 = P 2 P 1 (c) F d l Dessa forma, pelo teorema do trabalho-energia cinética temos: 51

52 52 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO T = W (c) P 1 P 2 T 2 T 1 = W (c) P 1 P 2 Ou seja, o trabalho é igual à variação da energia cinética entre os pontos. Assim temos que, se a força F for conservativa, pela conservação da energia mecânica temos: V + T = c te = E mec = 0 W P1 P 2 = U P 2 U = F d l Que só depende dos pontos inicial e final. P Definição do Potencial eletrostático Logo, assim como associamos à força Peso um campo escalar U da energia potencial gravitacional, podemos associar à força eletrostática um campo escalar V, pois esse se trata também de um campo conservativo, da seguinte forma: W = B F ele d l A B U = qe d l (4.1) A

53 4.2. DEFINIÇÃO DO POTENCIAL ELETROSTÁTICO 53 O que nos leva à V = U q = B A E d l (4.2) Ou seja Potencial = EnergiaPotencialEletrostatica carga Porém a escolha do nível o qual o potêncial é nulo é arbitrário, sendo normalmente escolhido o infinito, assim, é conveniente escolher V ( ) = 0. Exemplo: Cálculo do pontencial eletrostático gerado por Sabe-se que: Logo: uma carga pontual q E = 1 4πε 0 q r 2 ˆr P 2 V (r 2 ) V (r 1 ) = P 1 P 2 E d l = P 1 1 q 4πε 0 Então, estabelecendo r 1 e V ( ) = 0 temos que: V (r) = q 1 4πε 0 r r dr = q ( 1 1 ) 2 4πε 0 r 2 r 1

54 54 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO 4.3 Cálculo do Campo a partir do potencial Como vimos, definimos o potencial eletrostático através do campo elétrico, mas, dado o potencial é possível obter o campo elétrico? A resposta é sim, da seguinte forma: Sabe-se pelo teorema do gradiente que: V = P 2 V d l Mas: P 1 P 2 V = E d l temos: P 1 Logo, como a igualdade é verdadeira para quaisquer pontos P 1 e P 2, E = V (4.3) que nos dá o vetor campo elétrico a partir do campo escalar V. Vale notar que isso só é possível devido ao fato de o campo elétrico ser conservativo Equipontenciais Nesse momento, faz-se necessário introduzir o conceito de equipontenciais. Basicamente, as equipotenciais são regiões com o mesmo potencial eletrostático. Além disso, deve-se notar que a equação dv = E d l implica que, se E d l: dv = 0 V = cte Logo, as equipotenciais são perpendiculares ao campo.

55 4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS Potencial de uma distribuição de cargas O cálculo do potencial é, muitas vezes, menos trabalhoso que o cálculo do campo elétrico. Dessa forma, veremos a seguir diversas formas de calcular o potencial elétrostático e alguns exemplos de aplicação. Sempre lembrando que E = V Sabe-se, como o princípio da superposição é válido para o campo elétrico, o mesmo acontece para o campo eletrostático, assim temos que: Figura 4.1: Esquema Logo: V (P ) = n i=1 q i 4πε 0 r i Que, Para uma distribuição: Volumétrica: dq = ρdv Superficial: dq = σds Linear: dq = λdl V (P ) = 1 dq 4πε 0 r Agora, vejamos alguns exemplos de aplicação: (4.4)

56 56 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO Anel isolante uniformemente carregado Figura 4.2: Anel isolante carregado com densidade linear λ Assim: V (P ) = 1 2π 4πε 0 V (P ) = Assim, como E = V, então: E = 0 λρdθ (ρ 2 + z 2 ) 1/2 Q 4πε 0 (ρ 2 + z 2 ) 1/2 Qz 4πε 0 (ρ 2 + z 2 ) 3/2 ẑ Disco uniformemente carregado: a uma distância z do centro Como dq = σds = σr dr dθ e r = (z 2 + r 2 ) 1/2 então: V = 1 4πε 0 2π R 0 0 σr dr dθ πσ R = (z 2 + r 2 ) 1/2 4πε 0 0 2r dr (z 2 + r 2 ) 1/2

57 4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 57 Figura 4.3: disco isolante carregado com densidade superficial σ V = σ [ 2(z 2 + r 2 ) 1/2] R 4ε = σ [ ] z2 + R 0 0 2ε 2 z 0 Vale notar que, se lim z >> R então: Logo: z2 + R 2 = z ( 1 + V ( ) ) 2 1/2 ( R = z ) R 2 z 2 z σ 2ε 0 R 2 z z = 1 4πε 0 Q z Ou seja, caso observemos o disco de muito longe, ele irá se comportar cada vez mais com uma carga pontual. Além disso podemos obter E: E = z V = σ 2ε 0 [ ] z z z R2 + z 2 Desse exemplo nós podemos tirar algumas conclusões:

58 58 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO Normalmente é mais difícil achar o potencial em outros pontos fora do eixo de simetria, pois a integral não é tão simples apesar de bem conhecida e tabelada (integrais elípticas). O campo, assim como o potêncial, pode ser difícil de calcular caso não haja simetria. Além disso, ambos o potencial e o campo elétrico se aproximam daqueles gerados por cargas pontuais com o aumento da distância. Calculemos agora o exemplo do potencial no bordo do disco: Disco uniformemente carregado: Cálculo no Bordo Figura 4.4: disco isolante carregado com densidade superficial σ Assim: dq = σr(2θ)dr V = 1 dq 4πε 0 r V = 1 4πε 0 σ(2θ)dr

59 4.4. POTENCIAL DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 59 Porém, pela geometria do triângulo: Logo: r = 2R cos θ dr = 2Rsenθdθ V = 1 4πε 0 0 π/2 σ2θ( 2Rsenθ)dθ = Rσ πε 0 π/2 0 θsenθdθ = Rσ [senθ θ cos θ] π/2 0 πε 0 V borda = Rσ πε Casca esférica Temos: r 2 = z 2 + R 2 2zR cos θ Assim: V (z) = σr ε 0 2z V (z) = 1 4πε 0 dq = σds = σr 2 senθdθdφ 2π π 0 0 σr 2 senθdθdφ (z 2 + R 2 2zR cos θ) 1/2 V (z) = 2πσR2 2 [ (z 2 + R 2 2zR cos θ) 1/2] π 4πε 0 2zR 0 [ z2 + R 2 + 2zR z 2 + R 2 2zR] sez > R z R > 0 (z R) 2 = z R V (z) = σr2 ε 0 z = σr [ (z + R)2 ] (z R) ε 0 2z 2 sez < R z R < 0 (z R) 2 = (z R) V (z) = σr 2ε 0 z [z + R (R z)] = σr ε 0

60 60 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO Figura 4.5: disco isolante carregado com densidade superficial σ O potencial { dentro da esfera é constante. { Assim temos: σr 2 ε V (z) = = Q,r > R Q oz 4πε oz 4πε e E(z) = oz,r > R 2 σr ε o = Q 4πε or,r < R 0,r < R Podemos então, construir os gráficos de E e V em função de r obtendo assim: 4.5 Dipolo elétrico e expansão multipolar dos campos elétricos Por definição, um dipolo elétrico está relacionado com o potencial elétrico gerado por um sistema de duas cargas. Exemplo: Encontre o potencial elétrico em um ponto arbitrário no eixo x.

61 4.5. DIPOLO ELÉTRICO E EXPANSÃO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELÉTRICOS61 Figura 4.6: gráfico de E e V por r Figura 4.7: Esquema Assim: V (x) = 1 4πε 0 Que, sendo V 0 = q x a + 1 4πε 0 q 4πε 0 a então: V (x) V 0 = ( q) x a = q [ 4πε x 1 a a x Assim pode-se construir o gráfico: 1 x a 1 x a ]

62 62 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO Figura 4.8: Gráfico de V/V 0 em função de x Que diverge no local onde as cargas se encontram. Agora, iremos analisar o caso anterior, mas com a posição de referência sendo em qualquer ponto do plano. Assim temos: Figura 4.9: Esquema V = q 4πε 0 [ 1 1 ] r + r Mas r 2 ± = r 2 + a 2 2ra cos θ. Considerando uma posição na qual r >> a

63 4.5. DIPOLO ELÉTRICO E EXPANSÃO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELÉTRICOS63 temos: 1 = ( r 2 + a 2 2ra cos θ ) 1 / 2 1 = r ± r / 2 ( a ) 2 a 2 r r cos θ } {{ } x mas se x << 1 então (1 + x) 1 / x, e como a r 1 = 1 ( 1 1 ( a ) ) 2 a ± r ± r 2 r r cos θ << 1 então: Logo: V q [ 1 1 ( a ) 2 a + 4πε 0 r 2 r r cos θ ( a ) ] 2 a + 2 r r cos θ q2a cos θ 4πε 0 r 2 = p cos θ 4πε 0 r 2 = p ˆr 4πε 0 r 2 Na qual p = 2aqˆk é o momento dipolo elétrico. Vale notar também que V cai com r 2 e não com r, o que é razoável, que V decresça mais rápido que o potencial de uma única carga, pois conforme estamos mais e mais longe do dipolo, este parece mais e mais com uma pequena unidade de carga zero. Calculando o campo, sabendo que o gradiente em coordenadas esféricas é dado por: Então: = r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 r sin θ ϕ ˆϕ E r = V r = + p cos θ 2πε 0 r, E 3 θ = 1 V r θ = +1 p sin θ r 4πε 0 r = + p sin θ 2 4πε 0 r 3

64 64 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO E = p cos θ p sin θ ˆr + 2πε 0 r3 4πε 0 r ˆθ 3 A seguir faremos uma análise mais aprofundada do assunto, aplicando o mesmo raciocínio anterior, poderemos deduzir que: Em monopolo V cai com 1/r Em um dipolo V cai com 1/r 2 Em um quadripolo V cai com 1/r 3 E assim sucessivamente... Consideremos agora uma distribuição de cargas na vizinhança na origem do sistema de coordenadas, finita, e pode ser totalmente encenada por uma esfera de raio a que é pequeno comparado à distância até o ponto de observação. Assim temos que: Figura 4.10: Esquema Na qual ρ = ρ(r ). Logo: V (r) = 1 4πε 0 V ρ(r ) r r dv Mas,se r >> r

65 4.5. DIPOLO ELÉTRICO E EXPANSÃO MULTIPOLAR DOS CAMPOS ELÉTRICOS65 r r 1 = (r 2 2 r. r + r 2 ) 1 / 2 = 1 r ( 1 2 r. r r 2 + ( ) ) r 2 1 / 2 r r r 1 1 r ( 1 1 )) ( 2 r. r 2 r + r 2 2 r }{{} r Potencialdemonopolo r. r r 3 }{{} Potencialdedipolo,sendo p= r q p.ˆr r Logo, O potencial devido à uma distribuição de carga arbitrária pode sempre ser expresso em termos de uma expansão de multipólos. Assim, pela Lei dos Cossenos: r r } {{ } r 2 = r 2 + r 2 2rr cos θ Note que foram definidos duas distâncias, uma r e outra r não se confunda! Logo: ( ) r r 2 = r ( r r r ( ( ) r 2 r = r r r r cos θ cos θ r = r (1+ ) 1 ( ) / 2 r 2, = 2 r r r ) )1 / 2 cos θ 1 r = 1 r (1+ ) 1 / 2 = 1 [ 1 1 r ]

66 66 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO [ = ( ) r 2 + r r 2 r r cos θ + 3 ( ) r ( ) r 2 cos 2 θ 3 ( ) r 3 cos θ +...] 8 r 2 r 2 r [ = 1 ( ) ] 1 + r r 2 r r cos (3 cos 2 θ 1) θ r 2 Que, utilizando então os polinômios de Legendre: Podemos escrever: Logo: P l (x) = 1 ( ) l d ( x 2 1 ) l 2 l l! dx 1 r = 1 r ( r P n (cos θ ) r n=0 ) n V (r) = 1 ρ(r )dv 4πε 0 r V (r) = 1 4πε 0 n=0 1 r n+1 ( r P n (cos θ ) r n=0 ) n (r ) n P n (cos θ ) ρ(r )dv Note que temos agora a expansão multipolar do potencial em termos de 1/r, na qual: n = 0, contribuição de monopólo n = 1, dipolo n = 2, quadrupolo Com o menor termo não nulo da expansão nos dá aproximadamente o potencial a grandes distâncias, e os termos sucessivos aumentam a precisão do resultado. Nota-se também que o termo de dipolo é dado por: V dip = 1 1 4πε o r ˆr r ρ (r ) dr 2 } {{ } p=momentode dipolodadistribuicao

67 4.6. CIRCULAÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO 67 pois r cos θ = r ˆr 4.6 Circulação do campo elétrico Como visto no capítulo zero sabemos que: Γ i c.d l = Onde c é um campo vetorial qualquer. Dessa forma, como sabemos que ( x c ).ˆn S E.d l = 0, Γ Então: S Γ ( x E ).d s = 0, S x E = 0 Essa equação resume basicamente toda a eletrostática, visto que, ela mostra que o campo elétrico é conservativo (na eletrostática) e permite que o campo elétrico seja o gradiente de uma função potencial, visto que x V = 0 (o rotacional de um gradiente é sempre nulo).

68 68 CAPÍTULO 4. POTENCIAL ELETROSTÁTICO

69 Capítulo 5 Equações da Eletrostática e Energia 5.1 Introdução Neste momento, já foram vistas praticamente todas as equações e fórmulas referentes à eletrostática. Dessa forma, nesse capítulo estudaremos algumas das relações entre o potêncial eletrostático, o campo elétrico e as densidades de carga dos corpos. Além disso, serão abordadas as equações de Laplace e Poisson, que oferecem mais uma forma de efetuar cálculos, as condições de contorno da eletrostática e as equações que fornecem a energia potencial eletrostática de um configuração de cargas 5.2 Equações de Laplace e Poisson Como já vimos: E = 0 (5.1) E = ρ ε 0 (5.2) 69

70 V = ρ ε 0 70 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA Além disso, vimos que: E = 0 P ermite E = V (5.3) Assim, substituindo 5.3 em 5.2, obtemos: 2 V = ρ (5.4) ε 0 A equação acima é chamada equação de Poisson e relaciona o potencial eletrostático com a densidade de carga pontual. Com ela é possível calcular, em cada ponto, o potencial eletrostático, desde que se conheçam as condições de contorno do problema, de forma a resolver as equações diferenciais que serão obtidas. A equação de Laplace vem diretamente da equação de Poisson, quando ρ = 0. Assim: 2 V = 0 (5.5) 5.3 Resumo das equações da eletrostática A partir de duas observações experimentais, notadamente o princípio da superposição e a Lei de Coulomb, foi possível depreender todas as outras fórmulas da eletrostática. Abaixo, segue um resumo de todas as equações vistas até aqui: 5.4 Condições de Contorno Definidas as equações de Laplace e Poisson, devemos agora verificar de que forma as grandezas involvidas se comportam. Vale ressaltar que algumas

71 5.4. CONDIÇÕES DE CONTORNO 71 Figura 5.1: Equações da eletrostática dessas formas já foram comentadas Relação entre campos logo acima e abaixo de uma superfície carregada Nós notamos estudando alguns exemplos que o campo elétrico apresenta em alguns casos uma descontinuidade. Isto ocorre quando temos uma superfície carregada. Imagine uma superfície arbitrária Considere a gaussiana desenhada com área A extremamente pequena e espessura ɛ. Assim, pela lei de Gauss temos: S E d S = q int ε 0 = σa ε 0 Os lados não contribuem para o fluxo, somente o topo e o fundo. De forma que quando ε 0: Em particular, quando não há uma superfície carregada E é contínua,

72 72 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA Figura 5.2: Esquema de uma superfície carregada com uma gaussiana Figura 5.3: A componente normal de E é descontínua exemplo: esfera sólida uniformemente carregada. Consideremos agora a circulação de E na mesma superfície: E d l = 0 quando ε 0. Assim: E acima d l 1 + E abaixo d l 2 = 0

73 5.4. CONDIÇÕES DE CONTORNO 73 d l 1 = d l 2 E acima = E abaixo Logo a componente paralela do campo é contínua, então: E acima E abaixo = σ ε 0 ˆn (5.6) onde ˆn é o vetor unitário perpendicular à superfície de cima para baixo Relação entre os potenciais Ao contrário do que acontece com o campo, o potencial é contínuo, pois: b V = a b V b V a = a E d l E d l E quando ε 0 então b a E d l 0, Logo V b = V a V abaixo = V acima (5.7) Alguns outros comentários Além das condições já mencionadas, vale lembrar também de alguns pontos: * Já vimos que, na maioria dos casos V ( ) = 0 * Quando há distribuição de cargas não pontual V

74 74 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA 5.5 Exemplos de aplicação das Equações de Poisson e Laplace Com as condições de contorno em mãos, somos capazes de aplicar as equações de Poisson e Laplace para alguns exemplos Exemplo 1 Considere duas placas infinitas paralelas, condutoras, uma colocada em x = 0 e outra em x = L. Seja o potencial em x > 0 igual a V 0 e em x = L igual a zero. Determinar o potencial e o campo entre as placas considerando duas situações: Densidade de carga entre as placas igual à zero; Densidade de carga entre as placas é contante igual à ρ. Figura 5.4: Esquema No primeiro caso temos ρ = 0 assim, pela equação de Laplace: Logo: 2 V = d2 V dx 2 = 0 V = ax + b Assim, pelas condições do problema, como para x = 0, V = V 0, então:

75 5.5. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE75 b = V Além disso, como para x = L, V = 0, então Logo: a = V 0 L V (x) = V 0 L + V Podemos calcular também o campo, assim: E = d ( V ) 0 dx L x + V 0 î = V 0 L î No segundo caso temos ρ = ρ 0, assim, pela equação de Poisson: 2 V = ρ 0 ε 0 d2 V dx 2 = ρ 0 ε 0 Logo: V = ρ 0x 2 2ε 0 + ax + b Aplicando as condições de contorno: { V (0) = V 0 b = V 0 V (L) = 0 a = V 0 L + ρ 0L 2ε 0 Logo: V (x) = ρ ( 0x 2 + V 0 2ε 0 L + ρ ) 0L x + V 0 2ε 0 Também podemos calcular o potencial, assim:

76 76 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA E = d ( ρ ( 0x 2 + V 0 dx 2ε 0 L + ρ ) ) ( 0L ρ0 x + V 0 î = x + V 0 2ε 0 2ε 0 L ρ ) 0L î 2ε Energia Potencial Eletrostática Nós vimos que U = qv para uma carga q num ponto de um campo préestabelecido de potencial V. Mas e para uma distribuição qualquer de cargas? Energia Potencial Eletrostática de uma distribuição de cargas Vamos imaginar um conjunto de cargas no infinito e vamos trazer as cargas uma a uma do infinito (considera-se V ( ) = 0 para as suas posições, formando uma configuração escolhida, assim: Para trazer a primeira carga q 1, W = 0 Para trazer a segunda carga, como: r V = temos; W = 1 4πε 0 q 1 q 2 r 12 Para a terceira temos:w = q 3 Assim sucessivamente... E d l = 1 4πε 0 q r ( ) q 1 4πε 0 r 13 + q 2 r 23 Logo, obtemos a energia potencial da configuração qualquer de cargas pontuais: U = 1 4πε 0 i<j q i q j = 1 1 r ij 4πε 0 2 i j i q i q j r ij (5.8) Na qual o 1/2 surge para compensar o fato de que, no somatório duplo, temos os termos q i q j e q j q i que são contados duas vezes.

77 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA 77 Assim: Percebe-se pela fórmula 5.8 porém, que: j i 1 4πε 0 q j r ij Representa o potêncial de todas as outras cargas na posição da carga i. U = 1 q i V i 2 i representa a energia potencial eletrostática na posição i. Logo, caso tenhamos uma distribuição contínua, podemos extender o somatório para: U = 1 2 ρv dv (5.9) Exemplo Uma esfera de raio R possui uma densidade de carga ρ(r) = kr (onde k é uma constante). Ache a energia da configuração. Para calcular a energia, devemos inicialmente obter o potencial. Esse r pode ser obtido de duas formas, ou seja, utilizando V (r) = E d l ou pelas equações de Poisson e Laplace. Resolvendo por V (r) = r S E4πr 2 = 1 ε 0 E d l temos: E d S = q int ε 0 R 0 kr4πr 2 dr E fora = k ε 0 R 4 4r 2 ˆr

78 78 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA Além disso; E = k ε 0 r 4 4r 2 E dentro = kr2 4ε 0 ˆr Precisamos de V para valores de r < R, assim: r V (r) = R E d l = E fora d l r E entre d l R R V (r) = kr 4 r 4ε 0 r dr 2 R kr 2 4ε 0 dr = k 12ε 0 (4R 3 r 3 ) Com o potencial em mãos, podemos aplicar a equação 5.9, assim: Logo: U = 1 2 U = 1 2 U = 1 2 R 2π π 0 R ρv dv krv (r)r 2 sin θdθdϕdr (5.10) 4π k2 r 3 12ε 0 (4R 3 r 3 )dr = πk2 7ε 0 R 7 Caso quisessemos calcular pelas equações de Laplace e Poisson, temos: Para r < R: Para r > R: 2 V = ρ ε 0 2 V = 0 Para o primeiro caso r < R temos:

79 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA 79 V = V (r) V θ = V ϕ = 0 Mas o termo em r do operador 2 em coordenadas esféricas, com a consideração acima, é dado por: Logo: Assim, temos que: Logo: 2 V = 1 ( r 2 V ) r 2 r r 2 V = 1 ( d r 2 dv ) = ρ r 2 dr dr ε 0 ( 1 d r 2 dv ) = kr d ( r 2 dv ) = kr3 r 2 dr dr ε 0 dr dr ε 0 Para r > R, temos que: r 2 dv dr = kr4 4ε 0 + A dv dr = kr2 4ε 0 + A r 2 V dentro (r) = kr3 12ε 0 A r + B ( 1 d r 2 dv r 2 dr dr 2 V = 0 ) = 0 r 2 dv dr = C V fora (r) = C r + D Aplicando as condições de contorno: { V fora ( ) = 0 V fora (R) = V dentro (R)

80 80 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA Além disso, como se trata de uma distribuição volumética: Assim: { E fora (R) = E dentro (R) V fora (R) = V dentro (R) V (0) V fora ( ) = 0 D = 0 V dentro (0) A = 0 V dentro (R) = V fora (R) kr2 4ε 0 r=r = C r 2 r=r C = kr4 4ε 0 Logo: Dessa forma: B = kr4 4ε 0 R + kr3 12ε 0 = kr3 3ε 0 V dentro (r) = kr3 12ε 0 + kr3 3ε 0 = k 12ε 0 (4R 3 r 3 ) V fora (r) = kr4 4ε 0 r Para o cálculo de U procede-se da mesma forma que no caso 5.10, encontrandose o mesmo resultado Relação entre Energia e Campo Elétrico Uma pergunta interessante de se fazer é onde está localizada a energia eletrostática? Também poderíamos perguntar: e o que importa? Qual o significado de uma pergunta como essa? Se temos um par de cargas interagindo, a combinação tem certa energia. É necessário dizermos que a energia está localizada em uma das cargas ou na outra, ou em ambas, ou no meio? Pode ser que estas perguntas não façam sentido, porque realmente só sabemos que a energia se conserva. A idéia de que a energia está localizada em alguma parte

81 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA 81 não é necessária também pode aparecer. Mas será mesmo que a pergunta não tem nenhuma utilidade? Vamos supor que tenha sentido dizer, em geral, que a energia está localizada em certo lugar, como ocorre com a energia térmica. Então poderíamos estender o princípio da conservação da energia com a idéia de que se a energia contida dentro de um volume dado varia, poderíamos explicar a variação mediante o fluxo de energia que entra ou sai deste volume. Poderíamos chamar de princípio de conservação local de energia. Esse princípio diria que a energia dentro de qualquer volume varia unicamente da quantidade que flui para fora ou para dentro deste volume. Teríamos, portanto, uma lei muito mais detalhada que o simples enunciado da conservação de energia total. Também há uma causa física para que possamos decidir onde está localizada a energia. De acordo com a teoria da gravitação, toda massa é uma fonte de atração gravitacional. Também sabemos que se E=mc2, então massa e energia são equivalentes. Toda energia é uma fonte de força gravitacional. Se não pudéssemos localizar todas as massas não poderíamos dizer onde estão localizadas as fontes de campo gravitacional, a teoria da gravitação estaria incompleta. Se nos restringimos à eletrostática, não há maneira de decidir onde está a energia se na carga ou no campo. Porém, com o atual conhecimento, não somos ainda capazes de responder a esses questionamentos, as equações de Maxwell para a eletrodinâmica são necessárias para nos dar mais informações. Por enquanto ficaremos somente com esta resposta: A energia está localizada no espaço onde está o campo elétrico. O que é razoável, pois quando as cargas aceleram elas irradiam campos elétricos. Quando a luz ou as ondas de rádio viajam de um ponto a outro, transportam sua energia com elas. Mas não há carga nas ondas. Desta forma, é interessante localizar a energia no campo eletromagnético e não nas cargas. Dessa forma, torna-se conveniente encontrar a energia eletrostática em função do campo elétrico, assim, como:

82 82 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA 2 V = ρ ε 0 então: U = 1 2 Mas, matematicamente temos: ρv dv = ε 0 2 V 2 V dv ( 2 V x 2 ) V 2 V = V + 2 V + 2 V = y 2 z 2 ( ) ( = x V V x V ) ( ) 2 x + V V y y = (V V ) ( V ) ( V ) Logo; U = ε 0 2 ( V ) ( V )dv ε 0 2 Mas, pelo teorema da divergência, temos: v (V V )dv = s ( ) 2 ( ) ( V y + z V V z V ) 2 z = (V V ) d s (V V )dv Agora, devemos fazer uma rápida análise. Para uma distribuição finita de cargas, sabemos que: V 1/r na melhor das hipóteses (Se a carga total for zero, V 1/r 2 ou mais...). Além disso, V 1/r 2 e ds r 2 portanto a integral: ε 0 2 (V V )dv é proporcional à 1/r, assim, caso integremos no espaço, teremos que essa integral se anula e: U = ε 0 2 R 3 ( V ) ( V )dv

83 5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA 83 Logo, como V = E, então: U = ε 0 2 R 3 E Edv (5.11) Nos dá a energia potencial eletrostática da configuração em função do Campo elétrico. Vale notar também que devemos integrar em todo o espaço, e não só na região que contém Princípio da Superposição Vimos que campo e potencial obedecem o chamado princípio da superposição, porém, devido ao fato da energia ser quadrática nos campos, ela não obedece o princípio da superposição, temos, pois, que: W total = ε 0 2 E 2 dv = ε 0 2 ( E 1 + E 2 ) 2 dv (5.12) Vejamos um exemplo: Considere duas cascas esféricas concêntricas de raio a e b. Suponha que a interna possui uma carga q e a externa -q ambas uniformemente distribuídas na superfície. Calcule a energia desta configuração. Assim: Mas Logo: U = ε 0 2 R 3 E 2 dv 0, r < a q 1 E = 4πε 0,a < r < b r 2 0, r > b

84 84 CAPÍTULO 5. EQUAÇÕES DA ELETROSTÁTICA E ENERGIA U = ε 0 2 b a q 2 16π 2 ε r 4 r2 4πdr U = q2 8πε 0 ( 1 a 1 ) b Percebe-se contudo que, se calcularmos: U 1 = ε 0 2 E1dv 2 e U 2 = ε 0 2 E2dv 2 R 3 R 3 U U 1 + U 2 Como era de se esperar, o princípio da superposição não foi válido.

85 Capítulo 6 Condutores 6.1 Breve Introdução Em um mau condutor, como vidro ou borracha, cada elétron está preso a um particular átomo. Num condutor metálico, de forma diferente, um ou mais elétrons por átomo não possuem restrições quanto a movimentação através do material. Eles estão livres para estar na parte do condutor que desejarem. ( Em condutores líquidos, como a água com cloreto de sódio, água com sal de cozinha, são os íons que fazem esse movimento. Um condutor perfeito poderia ser um material que possuísse a propriedade de ser uma fonte ilimitada de cargas livres. Na vida real, não existem condutores perfeitos, mas muitas substâncias estão muito próximas de ser. A partir dessa pequena definição, pode-se descobrir algumas propriedades eletrostáticas de condutores ideais. Elas serão listadas logo abaixo. 6.2 Propriedades dos Condutores Essas propriedades estão relacionadas com condutores em equilíbrio eletrostático, ou seja, quando não há movimento ordenado de cargas elétricas no seu interior e na sua superfície. Seus elétrons livres encontram-se em 85

86 86 CAPÍTULO 6. CONDUTORES movimento aleatório. Propriedade 1 (Propriedade Básica). Um condutor é um sólido que possui muitos elétrons livres. Os elétrons podem se deslocar no interior da matéria, mas não deixar a superfície. Propriedade 2. O Campo elétrico dentro do condutor em equilíbrio eletrostático é nulo. ( E = 0 dentro do condutor ) Se tivesse campo dentro do condutor os elétrons iriam se mover e não estariam na situação eletrostática. Quando colocamos um condutor na presença de um campo externo as cargas dentro do condutor tenderão a se distribuir de forma que o campo no interior do condutor cancele o campo externo. Figura 6.1 Propriedade 3. A densidade volumétrica de carga dentro do condutor é zero.( ρ = 0 dentro do condutor ) E = ρ ε 0, se E = 0 ρ = 0, no interior do condutor não há cargas. Propriedade 4. As cargas ficam localizadas na superfície do condutor. Propriedade 5. O condutor é uma equipotencial. Se E = 0 dentro do condutor, então E = V Propriedade 6. E é perpendicular à superfície. Se tivesse uma componente paralela a carga se moveria. Como, E = 0, E d l = 0 Va = V b.

87 6.3. CARGA INDUZIDA 87 Figura 6.2 Propriedade 7. Vimos que a descontinuidade de E era?/?0. Como Edentro = 0, então o campo imediatamente fora é proporcional à densidade de carga local. E = σ ε 0 ˆn ( ) Em termos de potencial: σ = ε 0 V n Observação 6.1. Esta equação permite calcular a densidade de carga superficial de um condutor. 6.3 Carga Induzida Um condutor é um sólido que possui muitos elétrons livres. Os elétrons podem se deslocar livremente. Quando se aproxima uma carga elétrica de um condutor carregado eletricamente, devido as fenômenos de atração e repulsão eletrostáticas, observa-se uma nova distribuição das cargas elétricas no condutor. A figura abaixo exemplifica o processo: O campo numa cavidade de um condutor Consideremos um condutor com uma cavidade vazia de forma arbitrária. Consideremos uma superfície gaussiana S. Em todo ponto de S temos que E = 0 (campo dentro do condutor = 0). Então o fluxo através de S = 0, logo a carga total dentro de S é zero.

88 88 CAPÍTULO 6. CONDUTORES Figura 6.3 Figura 6.4 Mas se a carga total é igual a zero, poderíamos dizer que há igual quantidade de cargas positivas e negativas, havendo, assim, a presença de um campo elétrico. Se tivéssemos esta situação, E d l 0, o que não pode Γ ser. Portanto, não pode haver campo dentro da cavidade, nem cargas na superfície interna. Nenhuma distribuição estática de cargas externas pode produzir campo no interior do condutor. Agora vamos considerar uma cavidade com uma carga q dentro dela. Teremos cargas induzidas na superfície interna, afim de cancelar o campo dentro do condutor ( Edentro = 0 ), Traçando uma gaussiana S que contém a cavidade, percebe-se que o fluxo nessa gaussiana é zero, porém,

89 6.3. CARGA INDUZIDA 89 Figura 6.5 Figura 6.6 traçando-se outra gaussiana, contida na cavidade, percebe-se que o campo na cavidade não é zero. Fato Importante: Campo dentro do condutor é zero! A cavidade e seu conteúdo estão eletricamente isolados do mundo externo ao condutor. Nenhum campo externo penetra no condutor. Ele será cancelado pela carga induzida na superfície externa ( da mesma forma que a cavidade vazia ). A cavidade está isolada do mundo externo ao condutor. Exemplo 6.1. Uma esfera condutora neutra centrada na origem possui uma cavidade de formato desconhecido. Dentro da cavidade há uma carga q. Qual é o campo fora? Haverá dependência com a forma da cavidade? Resolução. A carga +q induzida, por sua vez, na superfície externa irá se

90 90 CAPÍTULO 6. CONDUTORES Figura 6.7 distribuir uniformemente na superfície da esfera. (a influência assimétrica da carga +q interna foi cancelada pela carga -q induzida na superfície interna). O campo externo será igual ao produzido pela superfície esférica carregada com carga +q. E = q 4πε 0 r 2 ˆr O condutor, dessa forma, cria uma barreira, não deixando passar nenhuma informação sobre como é a cavidade, revelando somente a carga total que a mesma possui. 6.4 Método das Imagens Suponha uma carga q a uma distância d de um plano condutor aterrado. Pergunta: Não é só q 4πε 0 r Qual é o potencial na região acima do plano?, pois haverá carga induzida no plano condutor e não sabemos quanta carga é induzida e como ela está distribuída. Outra situaç~ao: : Carga e uma esfera condutora.

91 6.4. MÉTODO DAS IMAGENS 91 Figura 6.8 Figura 6.9 Antes de atacarmos este problema vamos recordar um problema muito mais simples que já estudamos: duas cargas +q e -q; e A e B superfícies equipotenciais. Figura 6.10 Considere a superfície equipotencial A. Suponha que pegamos uma folha fina de metal da forma desta superfície. Se a colocarmos exatamente no lugar da superfície equipotencial e ajustamos o seu potencial a um valor

92 92 CAPÍTULO 6. CONDUTORES apropriado de forma que nada mudasse, nós não daríamos conta de que a superfície metálica estaria ali. Teríamos a solução do novo problema: Figura 6.11 O campo no exterior ao condutor é exatamente o mesmo campo de duas cargas pontuais! Dentro E = 0 e E é perpendicular à superfície. Então, para calcularmos os campos das situações discutidas, basta calcular o campo devido à uma carga q e uma carga -q imaginária localizada em um ponto apropriado. Caso mais simples: Carga e o Plano Condutor Aterrado Figura 6.12 V (x, y, z) = 1 q 4πε ( o x2 + (y d) 2 + z 2) 1 2 q ( x2 + (y + d) 2 + z 2) 1 2

93 6.4. MÉTODO DAS IMAGENS 93 Figura 6.13, para y 0. Condição de contorno V (x, 0, z) = 0 V 0para r Densidade De Carga Induzida Na Superfície Do Plano σ (x, y, z) = ε oq 4πε o y σ = ε o V n = ε o V y 1 ( x2 + (y d) 2 + z 2) 1 2 y=0 1 ( x2 + (y + d) 2 + z 2) 1 2 y=0 σ (x, y, z) = q 4π 2 (y d) ( 1 2 ( x2 + (y d) 2 + z 2) 3 2 ) 2 (y + d) ( 1 2 ( x2 + (y + d) 2 + z 2) 3 2 ) y=0 σ (x, y, z) = q d 2π (x 2 + d 2 + z 2 ) 3 2

94 94 CAPÍTULO 6. CONDUTORES σ é negativa como esperado. A carga total induzida Q induzida = σds = ε 0 k2qd ds (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 x 2 + z 2 = d 2 ds = rdθdr Q induzida = ε 0 k2qd Q induzida = ε 0 kqd2π d 2 du (u) 3 2 2π 0 r 2 + d 2 = u 0 rdθdr (r 2 + d 2 ) 3 2 = ε 0kqd 2π 4πε 0 ( ) 2 = q d du = 2rdr A carga q é atraída pelo plano, pois há carga negativa induzida. Força de atração F = q2 ĵ 4πε o(2d) 2 Nós assumimos tudo igual ao sistema de duas cargas, mas cuidado, nem tudo é igual. A energia: U = 1 E 2 dv 2 U duascargas = 1 4πε o q 2 2d

95 6.5. PODER DAS PONTAS 95 U cargaeplanocondutor = 1 q 2 8πε o que é a metade. Por que? 2d Somente a região de y 0 possui E 0 A integral U = E 2 dv = Tudo isso foi possível, pois: E 2 dv Dado uma configuração de condições de contorno, a solução da equação de Laplace é única, de modo que, se alguém obtiver uma solução V (x, y, z) por qualquer meio e se este V satisfizer todas as condições de contorno, ter-se-á encontrado então uma solução completa do problema. 6.5 Poder das Pontas Figura 6.14 Figura 6.15 V A α Q A R A V B α Q B R B

96 96 CAPÍTULO 6. CONDUTORES V A = V B Q A R A = Q B R B Q A R A = 4πR2 A σ A R A = 4πR2 B σ B R B R A σ A = R B σ B σ A σ B = R B R A σ A = R B R A σ B 6.6 Carga Na Superfície e Força Em Um Condutor Já vimos que E = σ ε o ˆn (Campo externo ) e vimos que σ = ε o V n. Na presença de um campo elétrico, uma superfície carregada irá sentir uma força. Força por unidade de área f = σ E. Mas temos um problema: o campo é descontínuo na superfície. Qual devo usar: Eacima, E abaixo Resposta: Você deve usar a média dos dois: f = σ E media = 1 2 σ ( Eacima + E abaixo )

97 Capítulo 7 Capacitores 7.1 Introdução Capacitor é um dispositivo que armazena energia potencial. Capacitores variam em forma e tamanho, mas a configuração básica consiste de dois condutores de cargas opostas. O exemplo mais simples de um capacitor consiste de dois condutores planos de área A paralelos entre si e separados por uma distância d. Figura 7.1 A experiência mostra que a quantidade de carga Q num capacitor é linearmente proporcional à diferença de potencial entre as placas. Q V Q = C V 97

98 98 CAPÍTULO 7. CAPACITORES em que C - constante de proporcionalidade chamada capacitância [C] = F (Farad) Fisicamente, capacitância é a medida da capacidade de armazenar carga elétrica para uma diferença de potencial V. Observação 7.1. Lembremos que se chama de carga de um capacitor a carga de uma de suas placas em valor absoluto, pois a carga total é zero. Observação F é uma unidade muito grande como veremos adiante nos exemplos. Figura 7.2 Observação 7.3. Se considerarmos o encerramento completo de um condutor pelo outro, teremos a capacitância independente de qualquer fator externo. Se tivéssemos, ao invés disso, diante de duas placas assimétricas não encerradas uma na outra, como mostra a figura acima, poderíamos estar intrigados com a seguinte questão; qual é a carga que faz o papel de Q, em função da qual se deve definir a capacitância? A resposta é: a carga que deveria ser transferida do condutor 1 ao condutor 2 para igualar seus potenciais.

99 7.2. ENERGIA DE UM CAPACITOR CARREGADO Energia de um capacitor carregado Considere um capacitor de placas paralelas, inicialmente descarregado. Paulatinamente, este capacitor está sendo carregado, por meio da transferência de cargas de uma placa para a outra. Seja, q a quantidade de carga transferida até um instante qualquer t. Neste instante a capacitância é dada por: C = de potencial entre as placas. q, sendo V a diferença V Num instante posterior o trabalho necessário para a transferência de uma carga dq é: dw = V dq = q C dq O trabalho total realizado na transferência de uma carga Q será: em que W = Q 0 q C dq = 1 Q 2 2 C W = 1 2 CV 2 W - trabalho realizado para carregar o capacitor de uma carga Q. É igual a energia que o capacitor possui quando tem uma carga Q. V - Diferença de potencial final entra as placas. 7.3 Cálculos de Capacitâncias Capacitor de placas paralelas C = Q V

100 100 CAPÍTULO 7. CAPACITORES Figura 7.3 Q = σa V = Ed = σd ε o C = Q V = σaε o σd C = Aε o d Só depende de fatores geométricos!! Capacitância aumenta com a área A quanto maior for a área, maior armazenamento de carga Capacitância inversamente proporcional à distância d. C = 1F, d = 1mm, A =? A 100Km 2 Energia: U = ε 0 2 E 2 dv = ε 0E 2 2 V = ε 0 2 σ 2 Ad ε 2 0 Como : C = ε 0A d e V 2 = σ2 d 2 ε 2 0 U = 1 2 CV 2

101 7.3. CÁLCULOS DE CAPACITÂNCIAS Capacitor Cilíndrico Figura 7.4 L >> b a C =? b V = a E d l E =? Figura 7.5 E.d s = Q int ε 0 E2πrL = Q ε o E = Q 1 2πε o L r ˆr V = Q 2πε o L ln (r) b a = Q ( ) b 2πε o L ln a

102 102 CAPÍTULO 7. CAPACITORES V = C = Q ( ) b 2πε o L ln a Q V = 2πε ol ln ( ) b Sendo b = d + a ln ( b a) = ln ( d a + 1) d a a C = 2πε ola d = ε oa d Capacitor Esférico Figura 7.6 b V = E d l a E.d s = Q int ε 0 V = Q 1 4πε o r E4πr 2 = Q ε o E = 1 4πε o Q r 2 ˆr b a = Q (a b) 4πε o ab V = Q (b a) 4πε o ab

103 7.4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 103 C = 4πε oab (b a) limites b a = d << a 7.4 Associação de Capacitores Capacitores em Paralelo Figura 7.7 Mesmo potencial: Q 1 = C 1 V Q 2 = C 2 V Q 3 = C 3 V Q 1 + Q 2 + Q 3 = (C 1 + C 2 + C 3 ) V Q = C eq V

104 104 CAPÍTULO 7. CAPACITORES Para n capacitores em paralelo: C eq = C 1 + C 2 + C 3 C eq = n i=1 C i Capacitores em Série Figura 7.8 V = V 1 + V 2 Mas: ( Q1 Q = C eq V = C eq (V 1 + V 2 ) = C eq + Q ) 2 C 1 C 2 Q 1 + Q 2 = Q Q C eq = Q C 1 + Q C 2 Para n capacitores em série : 1 C eq = 1 C C 2

105 7.4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES C eq = Exercício 7.1. Um capacitor tem placas quadradas de lado a, que formam um ângulo θ entre si. Mostrar que para θ pequeno, a capacitância é dada por ε o a 2 d n i=1 1 C i ( 1 aθ ) 2d Figura 7.9 Suponha que o capacitor em questão é o capacitor equivalente de uma associação de capacitores em paralelo. Figura 7.10

106 106 CAPÍTULO 7. CAPACITORES Figura 7.11 Figura 7.12 sendo C i = ε oa d i = ε oadx d i d i = d + xtgθ C eq = i a C i = ε o a 0 dx d + xtgθ = ε oa tgθ ln (d + xtgθ) a 0 C eq = ε ( ) oa d + atgθ tgθ ln d

107 7.4. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 107 Mas aθ d θpequeno tgθ θ C = ε ( oa θ ln 1 + aθ ) d x2 é pequeno e ln (1 + x) = x + x x C = ε oa θ ( ) aθ d a2 θ 2 = ε oa 2 2d 2 d ( 1 aθ 2d Se θ = 0 voltamos ao resultado inicial para capacitores de placas paralelas: C = ε oa 2 d )

108 108 CAPÍTULO 7. CAPACITORES

109 Capítulo 8 Dielétricos 8.1 Introdução Até agora, só discutimos campos elétricos no vácuo ou na presença de condutores, dentro dos quais E = 0. Porém, o que acontece se trabalharmos com isolantes? Cavendish, em 1773, e Faraday, independentemente, em descobriram que a capacitância de um capacitor aumenta caso seja colocado um isolante entre as placas, a capacitância aumenta por um fator que depende tão somente do tipo de material colocado. Mas por qual motivo isso ocorre? Nesse capítulo estudaremos mais profundamente as propriedades desses materiais dielétricos, e a sua aplicação na construção de capacitores, além de estudar alguns dos fenomenos relacionados, como a polarização. 8.2 Campo no interior de um dielétrico Nessa seção veremos mais a fundo o motivo que leva a esse aumento da capacitancia, dessa forma, devemos considerar dois tipos de materiais, os compostos por moléculas polares e os apolares: 1 Nussenzveig, Herch Moysés, Curso de Física básica - Volume 3, 1 a Edição, pág

110 110 CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS moléculas polares As moléculas polares são aquelas que apresentam um momento de dipolo permanente p. Esse dipolo, quando colocado na presença de um campo elétrico tende a se alinhar com este devido a um torque resultante, que pode ser observado na figura abaixo: Figura 8.1: Dipolo molecular imerso em um campo O alinhamento das moléculas do material na direção do campo elétrico externo é chamado de polarização elétrica moléculas apolares Essas moléculas não apresentam momento dipolo permanente, porém, também estão sujeitas à uma polarização, devido ao surgimento de um dipolo induzido:

111 8.3. POLARIZAÇÃO 111 Figura 8.2: molécula Ao ser imersa em um campo, surge um dipolo induzido na 8.3 Polarização Com o que vimos na Seção 8.2 existem dois tipos de dipolo, um induzido (no caso das moléculas apolares), ou um permanente (caso das moléculas polares, como a água). Esses dipolos podem ser então polarizados pela presença de um campo elétrico, como percebe-se na figura abaixo: Figura 8.3: Material polarizado Assumimos aqui que todos os dipolos estão alinhados com o eixo do cilindro, o que nem sempre é verdade. Dessa forma, precisamos descobrir a influência desses dipolos no campo elétrico resultante Definição do vetor Polarização Definimos o vetor polarização como sendo:

112 112 CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS P = 1 V N p i (8.1) i=1 Na qual p i são os dipolos, induzidos ou permanentes, presentes nos materiais. Perceba que P possui sentido que aponta das cargas negativas para as positivas. No caso do cilindro apresentado, considerando N dipolos orientados p podemos dizer que: P = 1 V N p i i=1 Dessa forma, no total, teríamos que as cargas de cada dipolo iriam se anular dentro do cilindro, restando somente as cargas externas. Assim teríamos: Figura 8.4: Esquema Mas como podemos calcular Q p, ou seja, a carga polarizada? Considerando um grande momento dipolo igual à soma de todos os vetors dipolo menores Np. Assim, pela definição de vetor dipolo: Q p h = Np. Mas Q p = σ p A. Dessa forma, podemos dizer que, no caso das placas paralelas: σ p = P (8.2) Caso as placas não sejam paralelas, sendo A a nova área e A a área do

113 8.3. POLARIZAÇÃO 113 caso paralelo, considerando o vetor ˆn perpendicular à superfície e o ângulo θ que este faz com o vetor hatk, temos: A cosθ = A σ p = Q pcosθ A = P cosθ = P ˆn (8.3) Além disso, pela lei de Gauss, como E = P /ε 0 podemos dizer que: Q p = P d s (8.4) Que, pelo teorema da divergência: P = ρ p (8.5) Dessa forma, precebe-se a importância do vetor polarizaçào, visto que ele permite o cálculo da densidade superficial de carga polarizada, sem a necessidade do conhecimento dos dipolos moleculares. Além disso, podemos dizer que: Dessa forma, o campo total E é dado por: E p = P ε o (8.6) E = E externo P ε o E < E externo (8.7) O que mostra que a polarização diminui o campo elétrico final, causando assim, o efeito observado por Cavendish (vide Seção 8.1) Susceptibilidade Elétrica e constante dielétrica Agora, sabemos que o vetor polarização pode nos ajudar a descobrir alguns dos efeitos macroscópicos causados pelo uso de dielétricos. Como já dito, foi observado que a capacitância variava por um valor que dependia basicamente da natureza do material estudado. Assim, pode-se montar a seguinte

114 114 CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS equação: P = χe (8.8) Além disso, foi observado que χ é normalmente linear, sendo denominado susceptibilidade elétrica. Com isso, pela equação 8.7, chamando E externo de E 0 temos: E o = E P + ) = E (1 ε + χεo o } {{ } K (8.9) Dessa forma, temos a relação entre a susceptibilidade elétrica e a constante dielétrica, definida a partir da razão entre as diferentes capacitâncias observadas com e sem dielétricos nos capacitores, ou seja: k = ɛ ɛ 0 ɛ = ɛ 0 + χ (8.10) Onde ɛ é chamada a permissividade elétrica do meio. Observação: Há vários livros que definem: P = ε o χ e E Logo, temos que: χ = χ e ε o e, nesse caso: ε = ε o (1 + χ e ) } {{ } K (8.11) 8.4 Lei de Gauss e vetor deslocamento elétrico Como o campo não se mantém o mesmo na presença de um dielétrico, como é possível equacioná-la? Primeiramente relembremos a lei de Gauss:

115 8.4. LEI DE GAUSS E VETOR DESLOCAMENTO ELÉTRICO 115 E d s = Q int ε o (8.12) Mas a carga elétrica é composta pela carga livre inicial mais a carga polarizada, assim: E d s = Q + Q p ε o (8.13) Aplicando no caso específico de um capacitor temos: Mas, já vimos que: ( ) ( ) Q + Qp σ + σp EA = E = ε o E = E o K = σ ε o K = σ ε ε o Logo, como : σ+σp ε o = σ ε, então: ε E d s = Q livre (8.14) Difinindo o vetor deslocamento elétrico como sendo D = ε E obtemos: D d s = Q livre (8.15) Além disso, sabemos que: D = ε E = ε o K E = ε o (1 + χ e ) E = ε o E + P Logo: D = ε o E + P (8.16) Além disso, pelo teorema da divergência, podemos obter que: D = ρ livre (8.17)

116 116 CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS Outra forma de chegarmos à mesma resposta seria, partindo da equação 8.13, e sabendo da equação 8.4 obtemos que: ( ) ε oe + P d s = Q livre (8.18) Assim, definindo D = Eε + P obteremos a equação 8.15 Vale notar também que o vetor deslocamento elétrico é igual ao vetor ε 0E0, ou seja, o campo externo vezes a permissividade do vácuo. Logo, D depende tão somente das cargas externas e não da natureza do material, fornecendo assim, uma excelente ferramenta de cálculo para os casos envolvendo dielétricos. Além disso, a relação existente entre D e E, nos dá condições, conhecida a permissividade elétrica do meio ε, de descobrir tanto o próprio campo E quanto o vetor polarização, podendo assim, obter as cargas polarizadas e as finais. Um outro fator interessante é que as equações que utilizam o vetor deslocamento podem ser utilizadas mesmo que não haja meio dielétrico, mas elas cairão nas equações já vistas em capítulos anteriores. 8.5 Energia eletrostática em dielétricos Analisaremos agora qual o comportamento da energia elétrostática armazenada no campo caso exista um dielétrico no meio. Assim, sabemos que: U = 1 2 ρ e V dv v Mas ρ e =. D Assim, temos que: U = 1 2 (. D)V dv (8.19) Mas.( DV ) = (. D)V + D. V Logo:

117 8.6. CONDIÇÕES DE CONTORNO 117 U = 1 2 (. D)V dv = 1 2.( 1 D. DV )dv V dv 2 Porém E = V. Assim, como fizemos no caso da energia eletrostática sem dielétricos, podemos fazer v. Assim: U = 1 2 D. E dv (8.20) R Condições de Contorno Da mesma forma que definimos algumas condições de contorno para problemas de eletrostática, devemos agora rever essas condições para o caso da presença de um dielétrico. Assim, recordando: Figura 8.5: Esquema Vimos que: obter: E acima E abaixo = σ ε 0 Era obtido a partir da Lei de Gauss. Assim, com a Lei reescrita, podemos

118 118 CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS Figura 8.6: Esquema 2 D acimaa D abaixoa = σ l A Logo: Porém, pela circulação, obtemos: D acima D abaixo = σ l (8.21) Mas, como: E // acima = E// abaixo Então, obtem-se: E = D ε 0 P ε 0 D acimaa D abaixoa = P // acima P // abaixo (8.22) Dessa forma, temos agora todas as ferramentas necessárias para realizar o estudo de muitos dos problemas de eletrostática, inclusive os que envolvem dielétricos, principalmente, aqueles que envolvem o cálculo de capa-

119 8.6. CONDIÇÕES DE CONTORNO 119 citâncias de diversos capacitores, totalmente ou parcialmente preenchidos com dielétricos.

120 120 CAPÍTULO 8. DIELÉTRICOS

121 Capítulo 9 Corrente elétrica e Resistência 9.1 Transporte de Carga e Densidade de Corrente As correntes elétricas são causadas pelo movimento de portadores de carga. A corrente elétrica num fio é a medida da quantidade de carga que passa por um ponto do fio por unidade de tempo. I = dq dt [I] = A (Ampere) Conceito De Densidade De Corrente Consideremos uma área a. Perguntamos: Quantas partículas carregadas passam por unidade de tempo? Consideremos inicialmente que cada partícula possui carga q e velocidade u e temos n partículas por m

122 122 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.1 Para o intervalo de tempo t temos que a resposta será: todas as partículas dentro de um volume de prisma. V olume = base altura V olume = a u t = au t cos θ Densidade de partículas = n, então o número de partículas, N, que passa pela área a no intervalo t é: N = n a u t Considerando que cada partícula possui carga q: Q = nq a u t Caso geral: corrente = Q t = nq a u = I (a)

123 9.1. TRANSPORTE DE CARGA E DENSIDADE DE CORRENTE 123 Consideremos que há partículas diferentes com cargas diferentes, velocidades diferentes em número diferente. Então a corrente será dada por: I (a) = n 1 q 1 a u 1 + n 2 q 2 a u n N q N a u N I (a) = N n i q i a u i = i=1 N I (a) = a n i q i u i i=1 Chamamos N n i q i u i de densidade de corrente J. i=1 N n i q i u i = Densidade de corrente i=1 N J = n i q i u i i=1 [ ] J = A m 2 I (a) = a J Examinemos agora a contribuição da densidade de corrente para o caso de elétrons que podem ter diferentes velocidades. q i = e N J = e n i u i i=1 A velocidade média dos elétrons é dada por:

124 124 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA u e = 1 n i u i N e N e = Numero de eletrons por unidade de volume i J e = en e u e A corrente de elétrons que passará através da área a dependerá somente da velocidade média dos portadores (lembrando que esta de trata de uma média vetorial). A corrente I que atravessa qualquer superfície S é exatamente igual à integral de superfície: I = J d s I é o fluxo associado ao vetor J S 9.2 Equação da Continuidade da Carga elétrica Figura 9.2 V. Consideremos uma superfície fechada qualquer S, que delimita um volume Dentro do volume V temos uma quantidade de carga total igual a:

125 9.2. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DA CARGA ELÉTRICA 125 ρdv V Como S J d s é igual à vazão instantânea de carga para fora do volume. J d s = d dt ρdv Usando o Teorema de Gauss temos: S V V Jdv = d dt V ρdv Mas como ρ = ρ (x, y, z, t) e a superfície que limita o volume permanece no mesmo lugar: Então: V d dt ρdv = Jdv = V ρ t dv ( ρ ) dv t Como a equação é válida para qualquer V : J = ρ t Equaç~ao da Continuidade da carga Portanto, O Princípio da Conservação da Carga é traduzidos pelas equações: S J d s = d dt V ρdv (9.1)

126 126 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA e J = ρ t (9.2) Caso De Corrente Estacionária Corrente não varia com o tempo!!! Figura 9.3 Suponha que temos um fio por onde passa uma corrente estacionária (não varia com o tempo). Se considerarmos o volume V, a quantidade de carga Q que entra num intervalo de tempo t deve ser igual à que sai no mesmo intervalo. Q t dentro do volume = 0 ρ t = 0 J = 0 Esta equação nada mais é do que a 1 a Lei de Kirchoff, também conhecida como Lei dos Nós, da teoria de circuitos elétricos. Figura 9.4

127 9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM 127 Figura Condutividade Elétrica e a Lei de Ohm Consideremos que a corrente elétrica é produzida pela presença de um campo elétrico. E produz uma força no portador de carga se movimenta corrente elétrica Se há corrente elétrica ou não, depende da natureza física do sistema em que o campo atua, ou seja, o meio. Uma das mais antigas descobertas experimentais sobre a corrente elétrica na matéria foi feita por G. S. Ohm, em um trabalho publicado em 1827 intitulado: Die Galvanische Ketle Mattematisch Bearbeitet, e é expressa através da Lei de Ohm: V = RI Observação 9.1. ( OBSERVAÇÃO IMPORTANTE ) Esta equação provém da observação experimental do comportamento de muitas substâncias familiares, nós não a deduzimos das leis fundamentais do eletromagnetismo Um Modelo Para a Condução Elétrica Modelo De Drude = Modelo Clássico Linha do tempo:

128 128 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Ohm J.J. Thompson descoberta do elétron. Impacto imediato nas teorias da estrutura da matéria e sugeriu um mecanismo para a condução em metais Drude construiu sua teoria para a condutividade elétrica utilizando a teoria cinética dos gases para um metal, considerando um gás de elétrons livres. (Annalen der Phynik 1, 566 (1900) e Annalen der Phynik 3, 369 (1900)) Suposições: Figura 9.6 Cada átomo contribui com z elétrons para a condução carga = -ez Na ausência de campo elétrico os elétrons se movem em todas as direções, ao acaso, com velocidades que são determinadas pela temperatura. O elétron deverá se mover em linha reta até que sofra uma colisão. As colisões no modelo de Drude, como na teoria cinética, são eventos instantâneos que alteram abruptamente a velocidade do elétron. Não há relação (tanto em módulo quanto em direção e sentido) entre a velocidade u do elétron em t = 0 e sua velocidade depois da passagem de um certo intervalo de tempo. Isto corresponde a dizer que após um tempo t o vetor velocidade do

129 9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM 129 elétron poderá ser encontrado apontando em qualquer direção independente da direção que tinha em t = 0. A probabilidade de um elétron sofrer uma colisão em um intervalo de tempo dt é dt, onde τ = tempo médio entre as colisões. τ Agora vamos aplicar um campo elétrico uniforme E ao sistema. Com a presença de um campo elétrico, o elétron ficará sujeito a uma força elétrica. Figura 9.7 a: Seja: u = velocidade imediatamente após a colisão. Após um determinado t, o elétron sofre um incremento de momento igual p t = e Et Momento original logo após a colisão era: m e = massa do elétron p o = m e u Então, momento total após um determinado tempo t deve ser:

130 130 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA p = m e u e Et Com isso, o momento total do sistema será: p = m e u i + i i O momento médio de todos os elétrons: ( ee ) t i Mas: 1 N e i p = 1 N e p p = 1 (m e u i e N ) Et i e i ( ) ( ) 1 p = m e u i ee N 1 t i e N e i u i = velocidade média dos elétrons imediatamente após a colisão deve ser igual a zero, pois u i tem as direções distribuídas totalmente ao acaso e, portanto, tem contribuição nula para a média. 1 N e i t i = tempo médio entre as colisões = τ p = e Eτ u = eτ m e E = velocidade média = velocidade de drift ou de arrasto. Já vimos que a densidade de corrente pode ser escrita como: i J = N e e u Seja: J = N ee 2 τ m e E

131 9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM 131 Então: Lei de Ohm σ = e2 N e τ m e J = σ E onde σ = condutividade elétrica. Vejamos que escrever J = σ E é equivalente a escrever V = RI. Consideremos um fio de secção transversal A: Figura 9.8 V = El e I = JA J = σe = σ V l Então: I A = σ V l V = l I }{{} σa R

132 132 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA V = Ri Definimos resistividade como sendo o inverso da condutividade: Temos: ρ = 1 σ R = ρl A De fato a resistência deve ser diretamente proporcional a l e inversamente proporcional a A. R = comprimento resistividade areadasecaotransversal Na realidade a resistividade de um material varia com a temperatura T. ρ = ρ o [1 + α (T T o )] α = coeficiente de temperatura da resistividade α > 0 para metais α < 0 para semicondutores Figura 9.9

133 9.4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES Associação de Resistores Associação em Paralelo Figura 9.10 V = R eq I eq R eq = V I 1 + I 2 + I 3 1 R eq = I 1 V + I 2 V + I 3 V = 1 R R R 3 1 R eq = Associação em Série N i=1 1 R i V = V 1 + V 2 = R 1 I + R 2 I V = (R 1 + R 2 ) I R eq = (R 1 + R 2 )

134 134 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.11 R eq = Exercício 9.1. Um material condutor possui condutividade dada por: onde σ a e σ b são constantes. N i=1 R i σ(x) = σ a + (σ b σ a ) x l O condutor possui comprimento l e área de secção transversal constante. Determine a resistência entre as faces A e B do condutor. Figura 9.12 R = ρl A R(x) = l σ(x)a

135 9.4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 135 Figura 9.13 l R eq = Σ n R i R = i=1 0 dx σ(x)a = 1 l A 0 ( σb dx σ a + ( σ b σ a l ) ) x l R = A(σ b σ a ) ln σ a Exercício 9.2. Um material condutor é moldado na forma de um tronco de cone. O raio da base menor é a e o raio da base maior é b. O comprimento é l e a resistividade é uniforme. Determine a resistência entre as bases. Figura 9.14 R = dr dr = ρdx πr 2 (x) b a r (x) = a + x l R = ρ π l 0 dx ( ( a + b a ) ) 2 R = ρ l x π R = ρl πab se ( ) ( l 1 b a b + 1 ) a a = b R = ρl πa 2

136 136 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Exercício 9.3. Um material é moldado na forma de uma cunha, como ilustra a figura abaixo. O material possui uma resistividade ρ R. Determine a resistência entre as faces A e B Figura 9.15 R = dr dr = ( ρdx a + (b a) l ) x w R = ρ w l 0 dx a + ( ) R = ρ b a l x w l (b a) ln ( ) b a se b a, (b a) 0 ln ( ) ( b a = ln b a + 1) b a a a R = ρl (b a) w (b a) a = ρl aw 9.5 Força Eletromotriz É necessário se gastar energia elétrica para manter uma corrente constante em um circuito fechado. eletromotriz (fem - símbolo ε ). Exemplos: baterias, células solares, etc A fonte de energia é chamada de fonte de força Matematicamente: ε dw dq Ou seja, o trabalho para mover uma unidade de carga na direção do potencial mais alto.

137 9.5. FORÇA ELETROMOTRIZ 137 Considere o circuito: [ε] = V (volt) Figura 9.16 Assumindo que a bateria não possui resistência interna, então a diferença de potencial V A V B = V = ε Corrente: I = ε R No entanto, uma bateria real sempre possui um resistência interna r. Neste caso, a diferença de potencial nos terminais da bateria é: V c V a = V = ε ri Figura 9.17 No circuito todo: ε ri RI = 0 I = ε r + R

138 138 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura Voltagem cai ao passar por cada resistor.. Nos fios é constante Potência A potência é dada por: dw dt Taxa de Transferência de Energia Como P = V I é sempre válido: Usando a Lei de Ohm: = V dq dt A potência gasta pela bateria: P = I 2 R P = Iε = I (IR + Ir) = I 2 R + I 2 r Potência da fonte é igual a Potência dissipada em R + Potência dissipada em r Potência Máxima Transmitida P = RI 2

139 9.6. LEIS DE KIRCHOFF 139 Figura 9.19 I = P = ε R + r Rε2 (R + r) 2 dp dr = 0 dp dr = ε 2 (R + r) 2 2Rε2 (R + r) 3 = 0 R + r = 2R R = r 9.6 Leis de Kirchoff As leis de Kirchoff: 1- Dos nós: ΣI entram = ΣI saem 2- Das malhas: Σ V = 0 circuito fechado Nos circuitos temos: V a > V b V = V b V a = RI

140 140 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.20 Figura 9.21 V a < V b V = V b V a = +ε Exercício 9.4. Qual o valor de I 1, I 2 e I 3? Figura 9.22 Consideremos que o sentido das correntes são como mostrados na figura. Pela lei das malhas: Começando em A: Começando em B: V 1 R 1 I 1 R 3 I 1 + R 3 I 2 = 0 R 3 I 2 + R 3 I 1 R 2 I 2 + V 2 = 0

141 9.7. CIRCUITO R-C 141 Temos duas equações e duas incógnitas, I 1 e I 2 I 3 = I 1 I 2 Se I 1 der negativo, então o sentido da corrente é oposto ao que supomos inicialmente, o mesmo para I Circuito R-C Carregando um capacitor Considere o circuito abaixo: Figura 9.23 Bateria com uma fem ε constante e resistência interna nula. Inicialmente o capacitor está completamente descarregado q( t=0 ) = 0 e a chave passa para a posição (1). A corrente começa a circular: I (0) = ε R A medida que o tempo passa ( t 0 ), o capacitor vai carregando até atingir a carga máxima ( t = tf ) Q = Cε Analisemos o que ocorre entre os dois instantes ( 0 t tf ). Pela Lei da Malhas: ε I (t) R q(t) C = 0 Podemos resolver a equação em termos da corrente ou da carga. Escolhendo a carga:

142 142 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.24 ε RI (t) q (t) C = 0 I (t) = dq (t) dt ε R dq dt q C = 0 dq dt = 1 ( ε q ) R C Integrando ambos os lados, temos: dq εc q = dt RC q 0 dq q εc = 1 t ( ) q εc dt ln = t RC εc RC 0 q εc = εc e ( t RC ) q (t) = εc ( 1 e ( t RC ) ) ( ) q (t) = Q 1 e t RC Onde Q é a carga máxima armazenada no capacitor. I (t) = dq dt ( ) q (t) = Q 1 e t RC I (t) = Q RC e t RC = εc RC e t RC

143 9.7. CIRCUITO R-C 143 Figura 9.25 I (t) = ε R e t RC Figura 9.26 τ = RC é uma medida do tempo de decaimento da função exponencial. Depois de t = τ a corrente cai de um fator de 1 = 0, 368. e Tensão no Capacitor V c (t) = q (t) C = Q C ( ) ( ) 1 e t RC = ε 1 e t RC q (t ) = Cε = Q t V c (t ) = ε I (t ) = 0

144 144 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.27 Depois de um tempo t = τ a diferença de potencial entre os capacitores aumenta de um valor igual a (1 e 1 ) = 0, 632 do seu valor final. V c (τ) = 0, 632ε Descarregando um capacitor Considerando que a chave permaneceu por um longo tempo na posição (1), vamos mudar a chave para a posição (2). Figura 9.28 Podemos prever que a corrente terá o mesmo comportamento que o processo anterior, com a diferença que mudará de sentido. Montando a equação: I descarga (t) = I carga (t) = ε R e t RC

145 9.7. CIRCUITO R-C 145 q (t) C q (t) C RI (t) = 0 I (t) = dq dt (t) Rdq dt = 0 dq (t) dt = q (t) RC dq q = dt q RC Q ( ) q ln = t Q RC dq t q = 0 dt RC q (t) = Qe t RC V c (t) = q (t) C = Q C e t RC = εe t RC I (t) = dq dt = ε R e t RC Figura 9.29

146 146 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.30 Figura 9.31 Figura 9.32 t < 0 R eq = R 1 + R 2

147 9.7. CIRCUITO R-C 147 τ = R eq C = (R 1 + R 2 ) C q (t) = εc (1 e ( t τ ) ) Figura 9.33 Figura 9.34 τ = R 2 C q (t) = εce t τ Corrente entre A e B como função do tempo depois que o circuito é fechado.

148 148 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ε = R 1 I 1 I 1 = ε R 1 q (t) C R 2I 2 (t) = 0 q (t) C + R dq 2 (t) 2 dt = 0 Figura 9.35 dq 2(t) q 2 = dt R 2 C q 2 (t) = εce t R 2 C I 2 (t) = ε R 2 e t R 2 C I = I 1 + I 2 = ε R 1 + ε R 2 e t R 2 C

149 Capítulo 10 Magnetostática 10.1 Campo Magnético Por meio de experimentos, notou-se que os portadores de carga sofriam influências de outra força, fora aquela resultante da ação do campo elétrico. Tal força dependia não só da posição da partícula mas também da velocidade de seu movimento, e ela recebeu o nome de força magnética. Portanto, Em todo ponto do espaço temos duas quantidades vetoriais que determinam a força resultante que atua sobre uma carga: A primeira delas é a força elétrica, a qual fornece uma componente da força independente do movimento da carga. É possível descrevê-la, como já foi visto, em termos do campo elétrico. A segunda quantidade é uma componente adicional à força denominada força magnética, que será apresentada a seguir. Foi visto que o campo elétrico pode ser definido como a força elétrica por unidade de carga: E = F e q (10.1) 149

150 150 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Isso pôde ser feito devido à existência de monopólos elétricos. Porém o ser humano não observou, até hoje, monopolos magnéticos: Todos os corpos magnetizados possuem um pólo Norte e um pólo Sul. Por causa disso, o campo magnético deve ser definido de outra maneira. Observando o movimento de cargas elétricas em campos magnéticos, notou-se que: A força magnética é proporcional à carga da partícula: F m q A força magnética é sempre perpendicular ao sentido de deslocamento da partícula: F m v = 0 Se o deslocamento da partícula é paralelo à uma direção fixa, a força magnética é nula. Caso contrário, a força magnética é proporcional à componente da velocidade que é perpendicular à essa direção. Em síntese: sendo θ o ângulo entre o vetor velocidade ( v) e essa direção fixa: F m v sin θ (10.2) Todo esse comportamento pode ser descrito por meio da definição do vetor campo magnético B 1, cuja direção especifica simultaneamente a direção fixa mencionada e a constante de proporcionalidade com a velocidade e a carga. ( F m = q v B ) (10.3) Utilizando as equações 10.1 e 10.3, demonstra-se que a força resultante 1 Unidade do campo magnético: [ B ] = T (tesla). 1T = 10 4 G (gauss)= wb m 2 (weber)

151 10.2. FORÇA MAGNÉTICA EM FIOS 151 aplicada sobre uma carga elétrica é dada por: F = F e + F m (10.4) ( ) F = q E + v B (10.5) A equação 10.5 representa a Força de Lorentz, um dos axiomas da teoria eletromagnética. Sua importância advém do fato dela ser a ponte entre a dinâmica e o eletromagnetismo. Observação: A força magnética NÃO realiza trabalho, pois ela é sempre perpendicular ao deslocamento da partícula. dw = F m d ( l = q v B ) v dt = 0 Segue que a força magnética não pode alterar apenas a direção da velocidade da carga ( v). Fica então a pergunta: Como um ímã pode mover outro? Veremos isso mais adiante Força magnética em fios Vamos considerar um condutor pelo qual passa uma corrente elétrica I, imerso em um campo magnético B. Pode-se dizer que a quantidade de carga que passa pela secção transversal do fio em um tempo dt é: dq = I dt (10.6) De acordo com a equação 10.3, a força magnética aplicada nesse elemento de carga é: df ( m = dq v B ) (10.7) Substituíndo 10.6 em 10.7, temos:

152 152 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA df ( m = I dt v B ) df ( m = I v dt B ) df ( m = I d l B ) (10.8) Onde dl possui a mesma direção e sentido da corrente. Então integrando a equação 10.8 ao longo do comprimento do fio, encontramos a força aplicada nesse corpo: F m = Γ I ( d l B ) (10.9) Figura 10.1: Fio imerso em campo magnético Como exemplo, façamos uma análise para o caso no qual a corrente e o campo são constantes. Como I e B não variam, a integral apresentada em 10.9 fica da seguinte maneira: F m = I ( d ) l B (10.10) Γ Se somarmos todos os vetores elementares de comprimento ( d l) de um fio, obtemos como resultado o vetor l, que liga as duas extremidades desse

153 10.3. TORQUE EM ESPIRAS 153 objeto. Portanto, a equação torna-se: ( ) F m = I l B (10.11) Nota-se que, para fios fechados (espiras), o vetor l é nulo, portanto a força magnética resultante é zero. Figura 10.2: Força resultante na espira fechada é nula Observação: A força magnética resultante é nula, mas o torque não o é! 10.3 Torque em espiras Considere uma espira retangular imersa em um campo magnético B de tal forma que seus fios estejam paralelos aos vetores do campo, como mostrado na figura Vamos calcular a força em cada lado da espira: Figura 10.3: Espira retangular

154 154 Lado 1: Lado 2: CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA ( F 1 = I l1 B ) = 0 ( F 2 = I l2 B ) ( ) = IBa î ĵ F 2 = IBaˆk Lado 3: Lado 4: ( F 3 = I l3 B ) = 0 ( F 4 = I l4 B ) ) = IBa (î ĵ F 4 = IBaˆk Agora é possível calcular o torque das forças F 2 e F 4 em relação ao eixo que passa pelo centro da espira e é perpendicular aos fios 1 e 3, como mostrado na Figura Figura 10.4: Cálculo do torque Lado 2: Lado 4: τ 2 = r 2 F 2 = τ 4 = r 4 F 4 = ( b ) ( ) IBaˆk 2ĵ τ 2 = IBab 2 î ( ) b ( ) IBaˆk 2ĵ

155 10.3. TORQUE EM ESPIRAS 155 Então, o torque total é: τ 4 = IBab 2 î τ = τ 2 + τ 4 = IBabî Nota-se que o produto ab é a área da própria espira. Pode-se estender o resultado acima para uma espira qualquer de área A percorrida por uma corrente I. Sendo A um vetor normal à superfície da espira com módulo igual à A, o torque nesse objeto é dado por: Para uma espira com N voltas, temos: τ = I A B (10.12) τ = NI A B (10.13) Observando-se a importância do primeiro fator do membro direito da equação 10.13, define-se o momento de dipolo magnético µ como sendo: Logo a equação pode ser escrita como 2 : µ = NI A (10.14) τ = µ B (10.15) Exercício Em um dado instante, percebeu-se que uma bobina de N voltas imersa em um campo magnético B apresentou uma aceleração angular de rotação igual à α. Sendo I seu momento de inércia, calcule a área da bobina. Considere θ como sendo o ângulo entre o plano da bobina e o vetor B Podemos calcular o torque de duas maneiras: 2 analogia com a equação do momento de dipolo para a eletrostática

156 156 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.5: Espira imersa no campo magnético τ = Iα τ = µ B Logo: Iα = µ B (10.16) Calculando o momento de dipolo magnético: Substituíndo em : Então a área é: µ = i A = NiA n (10.17) Iα = NiAB n j Iα = NiAB cos θ A = Iα NiB cos θ

157 10.4. O MOVIMENTO CYCLOTRON O Movimento Cyclotron Um dos mecanismos utilizados em aceleradores de partículas emprega campos magnéticos para que elas descrevam movimentos circulares. Tais aceleradores são conhecidos como Cyclotrons. Uma partícula lançada em um campo magnético B com uma velocidade v perpendicular à B, como mostrado na Figura 10.6, realizará esse tipo de movimento, no qual a força magnética desempenha o papel de força centrípeta. Pode-se dizer então que: Figura 10.6: Movimento de uma partícula no Cyclotron F m = qvb = mv2 R (10.18) Os aceleradores de partículas permitem a obtenção de certas características importantes desses corpos, tais como o momento linear. Sendo p = mv o momento linear de uma partícula, pode-se manipular a equação e chegar ao seguinte resultado: p = qbr (10.19) Desse modo, basta lançar a partícula no campo e medir o raio de seu

158 158 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA movimento para medir o seu momento linear. Sabe-se que a freqüência angular do movimento circular é ω = v/r. Manipulando a equação 10.18, também é possível determinar a freqüência cyclotron: ω = qb m (10.20) Outro aspecto interessante relativo à esse movimento e que, caso a partícula apresente uma componente da velocidade paralela ao campo magnético, ela descreverá uma trajetória helicoidal. Figura 10.7: Movimento helicoidal Exercício Um feixe de partículas transitando por uma região com campo magnético B e campo elétrico E não sofre acelerações. Depois, retirou-se o campo magnético, então as partículas passaram a executar um movimento circular uniforme de raio R. Dê a relação carga/massa dessas partículas No primeiro caso, as forças elétricas e magnéticas devem equilibrar-se para que não haja acelerações. Ou seja, a Força de Lorentz deve ser nula: ( ) F = q E + v B = 0 E + v B = 0 E = vb v = E B (10.21) Para o segundo caso, temos um movimento cyclotron. De acordo com

159 10.5. A AUSÊNCIA DE MONOPOLOS MAGNÉTICOS 159 a equação que fornece o momento linear das partículas nesse movimento, temos: mv = qbr q m = v BR (10.22) Encontramos a relação carga/massa por meio da substituição de em 10.22: q m = E B 2 R Esse foi o processo pelo qual J. J. Thomson descobriu o elétron estudando o comportamento de raios catódicos, em A Ausência de monopolos magnéticos Como foi dito anteriormente, nunca observaram-se monopolos magnéticos, e tal fenômeno foi tomado como outro axioma da teoria eletromagnética. Isso pode ser descrito matematicamente do seguinte modo, sendo S uma superfície fechada e V o volume delimitado por essa superfície: B ds = 0 Aplicando o Teorema de Gauss, encontramos que: B ds = B dv = 0 S S V B = 0 (10.23) A equação pertence às equações de Maxwell. Os principais significados contidos nessa equação são:

160 160 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Ausência de monopólos magnéticos As linhas do campo magnético sempre são fechadas Na eletrostática, vimos que E = ρ. Conclui-se que não há análogo ɛ 0 magnético para a carga elétrica. Não há cargas magnéticas por onde o campo magnético possa emergir (nunca divergem de nenhum ponto!), pois ele só surge na presença de correntes elétricas. Observa-se também que as linhas de campo magnético são sempre fechadas. Além disso, pelo fato de o fluxo através de uma superfície fechada ser igual a zero, todas as linhas que entram nessa superfície devem sair. As linhas nunca começam ou terminam em algum lugar O Efeito Hall Em 1979, E.H. Hall tentou determinar se a resistência de um fio aumentava quando este estava na presença de um campo magnético, uma vez que os portadores de carga deveriam se acumular num lado do fio. Vamos analisar tal fenômeno por meio da experiência ilustrada na Figura Figura 10.8: Efeito Hall Considere um condutor no qual o sentido da corrente é perpendicular ao campo magnético. Os portadores de carga negativa acumular-se-ão em uma das extremidades do condutor, logo a extremidade oposta apresentará uma carga positiva, o que resultará no surgimento de um campo elétrico E H no interior do condutor. Os elétrons serão deslocados até que as forças elétricas e magnéticas entrem em equilíbrio, ou seja:

161 10.6. O EFEITO HALL 161 F e = F m Aplicando as equações 10.1 e 10.3, temos: ee ( H = e v B ) E H = v B (10.24) Considerando o campo constante no interior do condutor, podemos medir a diferença de potencial entre as duas extremidades, denominada ddp Hall, como sendo: ɛ H = E H d (10.25) Nota-se que essa voltagem existe no sentido transversal à corrente. É possível utilizar o Efeito Hall para investigar a natureza dos portadores de carga no condutor, como mostrado nas Figuras 10.9 e 10.10, uma vez que podemos prever como as cargas devem se comportar sob ação de campos magnéticos. Figura 10.9: Efeito Hall para portadores de carga negativa

162 162 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.10: Efeito Hall para portadores de carga positiva 10.7 A Lei de Biot Savart Introdução Na eletrostática, a Lei de Coulomb permite analisar como se dá a relação entre o campo elétrico e as cargas elétricas. Será que existe uma lei correspondente para a magnetostática? A resposta é sim, e ela é conhecida como a Lei de Biot-Savart, que será discutida a seguir. Como foi visto anteriormente, definimos o campo magnético por meio da força magnética. Agora queremos defini-lo por meio de sua fonte, que é a corrente elétrica. Figura 10.11: Movimento da carga em relação à um ponto P Observe a Figura Experimentalmente, pode-se constatar que: B qv r 2 B v B r

163 10.7. A LEI DE BIOT SAVART 163 Com base nisso, pode-se dizer que o elemento do campo magnético produzido por um elemento de de carga em movimento obedece à seguinte relação: db v ˆr dq (10.26) r 2 d B dq d l dt ˆr r 2 d B dq dt d l ˆr r 2 d B I d l ˆr r 2 db = µ 0 4π I d l ˆr r 2 B = µ 0 4π A equação é denominada lei de Biot-Savart. I d l ˆr r 2 (10.27) A escolha da constante de proporcionalidade foi feita de modo a facilitar os cálculos subseqüentes. No sistema MKS: µ 0 4π = 10 7 N A 2 Onde µ 0 é a permeabilidade magnética do vácuo Formas Alternativas A Lei de Biot-Savart também pode ser escrita em termos da distribuição de corrente. Sabendo que I = j ds, a equação fica da seguinte maneira: B = µ 0 4π jds d l ˆr r 2 (10.28) Vamos aplicar a equação para a situação ilustrada na Figura???x. Neste caso, o sistema Oxyz é um referencial fixo, enquanto o sistema Ox y z

164 164 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA estão situados no elemento de carga em estudo. Observe que R = r r. Como j e d l possuem a mesma direção, podemos dizer que j d l = j dl. Além disso, sabendo que dl ds = dv, pode-se dizer que a Lei de Biot-Savart fica da seguinte maneira: ( ) B ( r) = µ j r ˆR 0 dv 4π R 2 Vamos aplicar o divergente em relação ao sistema Oxyz: B ( r) = µ 0 4π ( ) j r ˆR dv (10.29) R 2 Aplicando a regra do divergente do produto vetorial 3 ao divergente presente no membro direito da equação : ( ) j r ˆR ( ) ( ) = j r ˆR R 2 R 2 + ˆR R ( ) j r 2 Nota-se que ˆR ( R = 1 ) ( ) ˆR. Logo 2 R = 0 pois o rotacional do R 2 gradiente é sempre nulo. Além disso ( ) j r = 0 pois o rotacional está aplicado em Oxyz enquanto j refere-se ao sistema Ox y z. Obtemos então que: B = 0 Isso corrobora a validade da Lei de Biot-Savart. ( ) 3 A B = A ( ) B + B ( ) A

165 10.7. A LEI DE BIOT SAVART Aspectos Interessantes Um resultando interessante pode ser obtido ao combinar a Lei de Biot-Savart com a equação 10.3 na seguinte situação: imagine uma carga q 1 movendo-se com velocidade v 1 tendo ao seu redor uma outra carga q movendo-se com velocidade v. Qual a força magnética que q imprimirá em q 1? A análise inicia-se por meio da integração da equação 10.26, empregando, antes, a constante de proporcionalidade. Encontramos então que: B = µ 0 ˆr q v (10.30) 4π r 2 Substituíndo a equação na equação 10.3 aplicada para a carga q 1 : ( ) F m = q 1 v 1 B µ0 ˆr = q 1 v 1 q v 4π r 2 Multiplicando e dividindo o membro direito por µ 0 : Mas, pela Lei de Coulomb: F m = µ 0 ɛ 0 v 1 F e = ( v qq ) 1ˆr 4πɛ 0 r 2 qq 1ˆr 4πɛ 0 r 2 Além disso, sabendo que c 2 = µ 1 0 ɛ 1 0, temos: F m = v ( ) 1 v c c F e Se considerarmos v << c, encontramos que: F m vv 1 c 2 F e (10.31) A equação diz que para velocidades pequenas comparadas com a velocidade da luz, a interação magnética será muito menor que a interação

166 166 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA elétrica. Como F m << F e, pode parecer, à primeira vista, que a força magnética poderia ser desprezada em comparação com a força elétrica, porém existem sistemas de partículas onde isso não é assim. De fato, numa corrente de condução, onde estão presentes cargas positivas e negativas em iguais densidades, o campo elétrico macroscópico é nulo, porém o campo magnético das cargas em movimento não o é. Outro aspecto importante que pode ser derivado por meio da Lei de Biot- Savart é uma relação entre o campo elétrico e o campo magnético gerado por uma mesma partícula. Multiplicando o numerador e o denominador da equação por ɛ 0 : B = µ 0ɛ 0 v ˆr q 4πɛ 0 r 2 B = v E c Aplicações da Lei de Biot-Savart Agora vejamos alguns exemplos nos quais se aplica a Lei de Biot-Savart: Exercício Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo elétrico nas vizinhanças de um fio reto. Figura 10.12: Campo gerado por um fio reto

167 10.7. A LEI DE BIOT SAVART 167 Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo: Para o fio reto, vale: B = µ 0 4π I d l ˆr = µ 0 r 2 4π I d l r r 3 d l = dxî r = xî + dĵ Então, fazendo as devidas substituições: l B = µ / 2 0 4π l / 2 ( ) dxî r xî + dĵ I (x 2 + d 2 ) 3 / 2 l B = µ / 2 0 ddx I 4π l (x 2 + d 2 ) 3 ˆk / 2 / 2 Logo o campo é: B = µ 0Id 4π 1 d 2 l x 2 (x 2 + d 2 ) 1 / 2 l 2 será: B = µ 0I 4πd ( l 2 l 4 + d2 ˆk )1 / 2 Note que se considerarmos o fio como sendo infinito (l >> d), o campo

168 168 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA B = µ 0I 2πd ˆk Exercício Calcule, por meio da Lei de Biot Savart, o campo elétrico no eixo de uma espira circular. Figura 10.13: Campo gerado por uma espira circular Podemos escrever a Lei de Biot-Savart do seguinte modo: Para a espira, vale: B = µ 0 4π I d l ˆr = µ 0 r 2 4π I d l r r 3 d l = a dθˆθ r = aî + zĵ Pela simetria do problema, só teremos campo paralelo ao eixo da espira. Logo precisamos calcular apenas uma componente do campo gerado por cada elemento de corrente: d B = d B 1 cos α

169 10.7. A LEI DE BIOT SAVART 169 Onde: cos α = a a2 + z 2 Então, aplicando a Lei de Biot-Savart (para calcular apenas o elemento de campo): Fazendo as devidas substituições: db = µ 0 4π I d l r cos α r 3 d B = µ 0 4π Ia (z 2 + a 2 ) 3 adθˆk / 2 Integrando de 0 a 2π para cobrir toda a espira, encontramos o campo desejado: B = µ 0 Ia 2 2 (a 2 + z 2 ) 3 ˆk / 2 Exercício Para criar regiões com campos magnéticos constantes em laboratório, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Figura Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto no qual o campo é magnético é maximo : O campo gerado por uma espira circular é: B (z) = µ 0 Ia 2 2 (a 2 + z 2 ) 3 ˆk / 2 Então, usando o princípio da superposição para as duas espiras, o campo ao longo do eixo é: B (z) = µ 0Ia (a 2 + z 2 ) 3 + / 2 ( a2 + (2b z) 2) 3 ˆk / 2

170 170 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.14: Bobinas de Helmholtz Para calcular o ponto no qual o campo magnético apresenta valor máximo, basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da função acima se anula: d B (z) dz Vemos que: = µ 0Ia z 2 (a 2 + z 2 ) 5 / (2b z) ( 1) 2 ( a2 + (2b z) 2) 5 ˆk / 2 d B (z) dz = 0 z = b Agora veremos a condição para que o campo nesse ponto seja aproximadamente constante. Derivando mais uma vez a função do campo magnético: d 2 B (z) dz 2 = 0 a 2 4b 2 = 0 2b = a z=b A condição é que a separação das bobinas seja igual ao raio. Fazendo a expansão em séries de Taylor, é possível calcular o quão próximo esse campo está de um campo constante:

171 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 171 Sabendo que B (a/2) = B (a/2) = 0, a expansão fica: ( a B (z) B + 2) 1 24 ( a B (z) = B 2 ( z a 2 ) [ ) 4 4 B z 4 a +... z= ( 2 z a ) ] /2 4 A partir desse resultado, é possível inferir que, para z a / 2 < a / 10 B (z) B ( a / 2 ), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil. a 10.8 A Lei Circuital de Ampère Introdução As experiências de Oersted, além de comprovarem que correntes elétricas geram campos magnéticos ao seu redor, motivou a comunidade científica a compreeender a relação entre fenômenos elétricos e magnéticos. Após tais experimentos, uma semana foi tempo suficiente para que Ampere deduzisse a apresentasse sua lei. Enquanto que a Lei de Biot-Savart corresponde à Lei de Coulomb, a Lei de Ampère faz a vez da Lei de Gauss na magnetostática. Considere um fio infinito por onde passa uma corrente I, como mostrado na Figura Utilizando a Lei de Biot-Savart, demonstrou-se que o campo gerado nesse caso é dado por: Figura 10.15: Fio infinito

172 172 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA B = µ 0I 2πr ˆθ Calcularemos a circulação do campo magnético por meio de vários caminhos ao redor do fio. Considerando, inicialmente, o caminho como sendo um círculo: Figura 10.16: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação Γ B d l = µ 0I 2πr 2πr = µ 0I Vamos calcular a circulação pora outro caminho: Figura 10.17: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação Γ B d l = B d l + B d l + B d l + Γ 1 Γ 2 Γ 3 Γ 4 B d l Como os vetores B e d l são paralelos para os fios 2 e 4, as integrais para Γ 2 e Γ 4 são nulas. Logo temos o seguinte resultado:

173 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 173 Γ Mais um caminho para calcular: B d l = µ 0I 2πr 1 πr µ 0I 2πr 2 πr 2 = µ 0 I Figura 10.18: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação B d l = B d l + B d l + B d l + Γ Γ 1 Γ 2 Γ 3 Γ 4 B d l A mesma observação feita para os fios 2 e 4 anteriormente valem para esse caso. Então temos: Γ B d l = µ 0I 2πr 1 θr µ 0I 2πr 2 (2π θ) r 2 = µ 0 I Obsevou a semelhança dos resultados? Então vamos generalizá-los para um caminho qualquer. Figura 10.19: Caminho ao redor do fio para cálculo da circulação

174 174 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Em coordenadas cilíndricas: d l = drˆr + r dθˆθ + dzˆk Sabendo que B = B ˆθ, encontramos que: B d l = Br dθ = µ 0I 2πr r dθ = µ 0I 2π dθ Fazendo a integral ao redor do fio: Γ B d l = Disso resulta a Lei de Ampère: Γ Γ µ 0 I 2π dθ = 2π 0 µ 0 I 2π dθ = µ 0I 2π 2π B d l = µ 0 I int (10.32) Observação: Na Lei de Coulomb, utilizávamos SUPERFÍCIES que envolviam as cargas para fazer o cálculo do campo elétrico, mas na Lei de Ampère, precisamos criar CURVAS que envolvam os condutores a fim de calcular o campo magnético. Assim como a Lei de Coulomb, a Lei de Ampère sempre é válida. No entanto sua maior utilidade se dá em casos nos quais é possível notar simetria no campo magnético, como será mostrado no exercícios mais adiante A forma diferencial da Lei de Ampère Aplicando o Teorema de Stokes no membro esquerdo da equação 10.32: B d l = ( ) B ds (10.33) Γ Analisando o membro direito da equação 10.32: S

175 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 175 µ 0 I = µ 0 j d S (10.34) S Pela própria Lei de Ampère, podemos igualar e 10.34, encontrando que: ( ) B ds = µ 0 j ds S S Finalmente, temos a forma diferencial da Lei de Ampère: B = µ 0 j (10.35) Se aplicarmos o divergente na equação ( ) B = µ 0 j j = 0 Percebe-se algo importante diante desse resultado: a Lei de Ampère é válida apenas para correntes estacionárias Aplicações da Lei de Ampère Seguem alguns exemplos nos quais é fundamental a aplicação da Lei de Ampère para a resolução dos problemas: Exercício Calcule o campo magnético, em todo o espaço, gerado por um ciclindro infinito percorrido por uma corrente I. Devido à simetria cilíndrica do problema, podemos escolher amperianas circulares para calcular o campo no interior e ao redor do fio, pois o campo magnético será constante ao longo de toda a curva, facilitando a integração. 4 corrente estacionária: dρ dt = 0

176 176 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.20: Cilindro condutor Para r > R (Figura 10.21): Figura 10.21: Amperiana fora do cilindro Γ 1 B d l = µ0 I B2πr = µ 0 I B = µ 0I 2πr ˆθ Para r < R (Figura 10.22): Γ 2 B d l = µ0 I int B2πr = µ 0 I πr2 πr 2 B = µ 0Ir 2πR 2 ˆθ

177 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 177 Figura 10.22: Amperiana dentro do cilindro Sintetizando os resultados na forma de um gráfico: Figura 10.23: Campo magnético gerado por um cilindro infinito Exercício Calcule o campo magnético, em todo o espaço, gerado por um cabo coaxial percorrido por correntes de mesma intensidade mas de sentidos opostos em cada face. Vamos dividir o espaço em 4 regiões e aplicar a Lei de Ampère para cada uma delas: Para r < a: Para determinar a corrente interna à amperiana, vamos considerar que

178 178 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.24: Cabo coaxial a densidade de corrente ao longo do cabo é constante e igual à j, logo sendo πr 2 a área delimintada pela amperiana: Aplicando a Lei de Ampère: j = I int πr 2 = I int = r2 a 2 I πa 2 Para a < r < b: B2πr = µ 0 I r2 a 2 B = µ 0Ir 2πa 2 ˆθ A corrente interna à amperiana será sempre a corrente total que passa pelo cabo interno, logo pela Lei de Ampère: Para b < r < c: B2πr = µ 0 I B = µ 0I 2πr ˆθ A corrente interna à amperiana será a corrente total que passa pelo cabo interno menos a corrente que passa pela porção do cabo externo

179 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 179 delimitada pela curva. Considerando também a densidade de corrente constante no cabo externo: Aplicando a Lei de Ampère: I int = I r2 b 2 c 2 b 2 B2πr = µ 0 I µ 0Iπ (r 2 b 2 ) ˆθ B π (c 2 b 2 ) = µ ) 0I (1 r2 b 2 ˆθ ( ) 2πr c 2 b 2 c B 2 r 2 = µ 0 I ˆθ c 2 b 2 Para r > c: A corrente interna à amperiana será a soma das correntes que passam pelo cabo interno e pelo cabo externo. Como as duas correntes possuem a mesma intensidade mas possuem sentidos opostos, a soma sempre será nula. Então, pela Lei de Ampère: B = 0 Exercício Considere dois solenóides infinitos concêntricos de raios a e b. Calcule o campo magnético em todo o espaço. As correntes de cada solenóide possuem mesma intensidade mas têm sentidos contrários. Primeiro vamos analisar o campo gerado por um solenóide para depois empregar o princípio da superposição Observa-se que a corrente no interior da amperiana (Figura: 10.26) depende do número de espiras englobadas: I int = NI Aplicando então a Lei de Ampère:

180 180 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Figura 10.25: Solenóides Figura 10.26: Amperiana no interior do solenóide Logo: Γ B d l = Γ 1 B d l + } {{ } =0pois B=0 Γ 2 B d l } {{ } =0pois B d l + B d l + Γ 3 Γ 4 B d l } {{ } =0pois B d l Γ B d l = µ 0 I B dentro l = µ 0 NI B dentro = µ 0 N l I = µ 0nI onde n = N indica a densidade de espiras do solenóide l Agora, façamos uma amperiana para calcular o campo fora do solenóide

181 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 181 (Figura: 10.27) : Figura 10.27: Amperiana externa ao solenóide Note que, neste caso, a corrente interna à curva é zero. Portanto o campo magnético fora do solenóide infinite é nulo: B fora = 0 Agora, vamos usar o princípio da superposição para calcular o campo para os dois solenóides. Para r < a : Neste caso, temos a influência dos campos dos dois solenóides. Sendo B 1 o campo gerado pelo solenóide interno e B 2 o campo gerado pelo solenóide externo: B = B 1 B 2 = µ 0 In 1 µ 0 In 2 B = µ o I (n 1 n 2 ) Para a < r < b : Aqui, temos influência apenas do solenóide externo

182 182 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA B = µ 0 In 2 (10.36) Para r > b : Como estamos fora de ambos os solenóides, o campo neste caso é nulo B = 0 Exercício Considere um cilindro de raio a com uma cavidade cilíndrica de raio b. A distância entre os centros dos cilindros é d. Sendo j a densidade de corrente no condutor, qual é o campo magnético no interior da cavidade? Figura 10.28: Condutor com cavidade Considere como sendo x a posição do ponto em questão em relação ao eixo do condutor e y como sendo a posição do ponto em relação ao eixo da cavidade: Para resolver esse exercício, será necessária a utilização do princípio da superposição. Observe que a configuração final do sistema pode ser obtida se somarmos dois cilindros com sentidos de correntes opostos, como apresentado na Figura : Portanto, devemos calcular o campo gerado pelo cilindro maior em um ponto que dista x do seu eixo e somar com o campo gerado pelo cilindro

183 10.8. A LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE 183 Figura 10.29: Posicionamento do ponto Figura 10.30: Princípio da superposição menor em um ponto que dista y de seu centro. Cilindro maior Figura 10.31: Lei de Ampère para cilindro maior

184 184 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA B d l = µ0 I int Γ B 1 2πx = µ 0 jπx 2 B 1 = µ 0jx θ 2 B x = µ ( 0 j ) x 2 Cilindro menor Figura 10.32: Lei de Ampère para cilindro menor B d l = µ0 I int Γ B 2 2πy = µ 0 jπy 2 B 2 = µ 0jy ϕ 2 B 2 = µ ( 0 j ) y 2 Como os sentidos das correntes são opostos, o campo resutante será: B = B 1 B 2 µ ( 0 j ) B = x µ ( 0 j ) y 2 µ ( 2 0 j ) B = ( x y ) 2 Mas a seguinte relação sempre é válida: x y = d. Portanto o campo no interior da cavidade é constante e igual à: B = µ 0 2 ( j d )

185 10.9. POTENCIAL VETOR 185 Exercício Calcule o campo no centro da seção circular de um toróide de N espiras. Figura 10.33: Toróide Vamos passar uma amperiana no interior do toróide Figura 10.34: Amperiana no toróide Temos que a corrente interna à amperiana será I int = NI. Logo B d l = µ 0 I int B2πr = µ 0 NI B = µ 0NI 2πr ˆθ 10.9 Potencial Vetor As 4 equações que sintetizam a teoria eletromagnética vistas até agora são: ELETROSTÁTICA E = ρ 0 ɛ 0 (10.37) E = 0 (10.38)

186 186 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA MAGNETOSTÁTICA B = 0 (10.39) B = µ 0 j (10.40) Para a eletrostática, devido à equação 10.38, percebe-se que o campo elétrico é um campo conservativo. Logo foi possível definir o potencial elétrico da seguinte forma: E = 0 E = Aplicando esse resultado à equação 10.38: Segue que: E = ( V ) ( V ) = 2 V 2 V = ρ 0 ɛ 0 Será que é possível definir um potencial análogo para o campo magnético? Sabe-se que B = 0. A partir disso, pode-se inferir que B é um campo rotacional. Em outras palavras, é possível encontrar um campo vetorial tal que seu rotacional( resulta ) no campo magnético. Esse campo é denominado potencial vetorial A, que é definido do seguinte modo: B = 0 B ( ) = A (10.41) Aplicando esse resultado à equação 10.40: B = ( ) A = ( ) A 2 A Como pode-se determinar mais de um campo que satisfaça a equação 10.41, é permitido escolher adequadamente um campo A tal que A = Denomina-se isso como escolha de calibre, ou escolha de gauge

187 10.9. POTENCIAL VETOR 187 Segue então que: B = 2 A 2 A = µ0 j (10.42) Observação: 2 A não é o operador Laplaciano, pois está sendo aplicado a um campo vetorial. Na verdade, temos que: ( ) 2 A = A ( ) A Particularmente, para coordenadas cartesianas: 2 A x = µ 0 j x 2 A y = µ 0 j y 2 A z = µ 0 j z Outras formas de expressar o potencial vetor em função das densidades de corrente 6 são: Densidade volumétrica A ( r) = µ 0 4π ( ) j r dv r r (10.43) Densidade superficial A ( r) = µ 0 4π ( ) k r ds r r (10.44) 6 r:posição do ponto em relação ao referencial fixo. r : posição do ponto em relação a um elemento de carga. (ver Figura 10.11)

188 188 Densidade linear A ( r) = µ 0 4π CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA ( ) I r dl r r (10.45) Façamos alguns exemplos: Exercício Calcule o potencial vetor para um fio finito percorrido por uma corrente I. Figura 10.35: Fio finito Vamos aplicar a equação que fornece o potencial vetor em função da densidade linear de carga (equação ): A = µ 0I 4π A = µ 0 4π Idzˆk, comr = z r 2 + s 2 dz ˆk µ 0 I A = z2 + s 2 4π ln ( z + z 2 + s 2) z 2 z 1 ˆk A µ 0 I = 4π ln ( z 2 + z2 2 + s 2 z 1 + z s 2 ) ˆk Observe que se aplicarmos o rotacional ao resultado, obtemos o vetor B:

189 CONDIÇÕES DE CONTORNO NA MAGNETOSTÁTICA 189 ( A As = z A ) z ˆθ.Assim, [ s ( B = A = A z s ˆθ = µ 0 I s 4π ln z 2 + )] z2 2 + s 2 z 1 + ˆθ z1 2 + s 2 B Exercício (Griffths, pág, ex: 5.23) Qual densidade de corrente produziria um vetor potencial A = k ˆ phi, em coordenadas cilíndricas (k é constante)? Para resolver esse exercício, primeiro aplicaramos o rotacional em A para determinar o campo magnético. Depois aplicaremos o rotacional em B para determinar a densidade de corrente, de acordo com as equações da magnetostática. Observação: aplicar o rotacional em coordendadas cilíndricas A φ = k B = A = 1 ρ ρ (ρaρ) ˆk = Aφˆk = k ρ ρ ˆk B = B zˆk B = µ 0J j = 1 ( ) B = 1 ( B ) z ˆφ = + k µ 0 µ 0 ρ µ 0 ρ ˆφ Condições de Contorno na Magnetostática Vimos que existe uma descontinuidade no campo elétrico em de superfícies carregadas, no sentido perpendicular à essa superfície. Da mesma forma, o campo magnético também é descontínuo numa superfície de corrente. Para facilitar a análise desse fenômemo, vamos dividí-lo em 3 etapas, uma para cada componente do campo magnético 7 : 7 B = B superficie, B // // = B//corrente //corrente, B// = B//superficie corrente

190 190 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Componente perpendicular à superfície Considere uma superfície percorrida por uma corrente I, cuja densidade superficial é k. Vamos envolver uma porção dessa superfície por um retângulo cujas faces possuem área A, como mostrado na Figura Figura 10.36: Superfície fechada para cálculo do fluxo de B Como não há monopólos magnéticos: B ds = 0 S Considerando apenas a componente do campo perpendicular à superfície, teremos fluxo apenas na face superior e inferior do retângulo, portanto: B ds = BacimaA BabaixoA = 0 S Logo essa componente é contínua. B acima = B abaixo Componente paralela à superfície e paralela à direção da corrente Para a mesma superfície descrita anteriormente, vamos traçar uma amperiana da forma como está apresentada na Figura

191 CONDIÇÕES DE CONTORNO NA MAGNETOSTÁTICA 191 Figura 10.37: Amperiana para cálculo de B // // Nota-se que a corrente que passa pelo interior da amperiana é nula. Então, aplicando a Lei de Ampère (10.32): Γ B d l = B // //acima l B// //abaixo l = 0 B // //acima = B// //abaixo Logo essa componente também é contínua Componente paralela à superfície e perpendicular à direção da corrente Agora, ainda na mesma superfície, traçaremos uma outra amperiana, desta vez em outra direção, como mostrado na Figura Figura 10.38: Amperiana para cálculo de B // A corrente que passa pelo interor da amperiana é I int = kl. Aplicando a

192 192 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA Lei de Ampère (10.32) encontramos que: Γ B d l = B // acima l B// abaixo l = µ 0I int B // acima l B// abaixo l = µ 0kl B // acima B// abaixo = µ 0k B // acima B // abaixo = µ 0 ( k n ) Conclui-se que o campo magnético, na direção paralela à superfície e perpendicular ao sentido da corrente, é descontínuo Expansão em multipólos Assim como foi feito para o campo elétrico, buscaremos uma forma de expressar o potencial vetorial em uma série de potências de 1, onde r é a distância r do multipolo até o ponto em questão. A idéia é que esta equação seja útil para analisar o comportamento do campo magnétic à grandes distâncias. Considere a espira apresentada na Figura Figura 10.39: Posição do ponto P em relação à espira Vimos na Seção 10.9 que o potencial vetor, para densidades lineares, é dado por:

193 EXPANSÃO EM MULTIPÓLOS 193 A ( r) = µ 0 4π Γ ( ) I r dl (10.46) r r Podemos reescrever o denominador do integrando da seguinte maneira: 1 r 1 = = 1 r r2 + r 2 2rr cos θ r Onde p n é o Polinômio de Legendre 8. ( ) r n p n cos θ (10.47) n=0 r Considerando a corrente constante e substituíndo em 10.46, encontramos a expressão de multipólos magnéticos: A ( r) = µ 0I 4π n=0 1 r n+1 Γ (r ) n p n cos (θ ) d l É interessante notar que o termo correspondente ao monopólo (n=0) é 1 Γ r d l = 0, o que está de acordo com os observações. Então, o termo mais importante da sequência corresponde ao dipolo magnético (n=1): A dipolo = µ 0I 4πr 2 Γ (ˆr r ) d l = µ 0 µ ˆr 4πr2 Onde µ é o momento de dipolo magnético definido na equação P n (x) = 1 ( ) n d ( x 2 2 n 1 ) n n! dx

194 194 CAPÍTULO 10. MAGNETOSTÁTICA

195 Capítulo 11 Lei da Indução Com as experiências de Oersted, viu-se que correntes elétricas geram campos magnéticos. Ficou então a seguinte dúvida: Pode o campo magnético gerar corrente? Michael Faraday ( ), um dos maiores físicos experimentais, interessou-se em descobrir e estudar essa relação. Em 1831, Faraday montou dois solenóides, com 70 metros de fio de cobre em cada. Os dois foram concatenados, mas um foi ligado à um gerador, enquanto o outro foi conectado a um galvanômetro, como mostrado na Figura Figura 11.1: Solenóides concatenados 195

196 196 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Notou-se quando uma corrente contínua passava pelo solenóide 1, o galvanômetro não acusava passagem de corrente. No entanto, sempre que a chave era ligada ou desligada, surgia uma corrente no circuito 2. Isso levou Faraday a supor que a força eletromotriz no circuito 2 resultava de uma variação do campo magnético no interior dos solenóides. Continuando seus experimentos, ele construiu o circuito apresentado na Figura Figura 11.2: Experimento de Faraday Quando um ímã era aproximado ou afastado do solenóide, observava-se uma deflexão do galvanômetro. Se o ímã permanecesse imóvel em relação ao circuito, a deflexão era nula. Ainda nesse experimento, Faraday notou que a área dos solenóides também influenciava na força eletromotriz induzida. Suas descobertas podem ser sintetizadas em termos matemáticos da seguinte maneira: ɛ ind db dt ɛ ind A Para melhor compreender esse fenômeno, precisamos definir o que é fluxo magnético O Fluxo Magnético Vimos que a força eletromotriz depende tanto da variação do campo magnético quanto da área dos solenóides. A grandeza que relaciona o vetor B e a área

197 11.2. A LEI DE LENZ 197 S permeada por esse campo é denominada de fluxo magnético, e é definida como: φ B = B S = BS cos θ (11.1) Até agora, tendo em vista as constatações de Faraday, podemos dizer que: Substituíndo 11.1 em 11.2 : ɛ ind = dφ B dt (11.2) ɛ ind = db da dθ A cos θ + B BA sen θ dt dt dt (11.3) Percebe-se então que é possível induzir corrente em uma espira imersa em um campo magnético por meio dos seguintes métodos: variando a intensidade do campo. variando a área como tempo variando o ângulo entre os vetores A e B com o tempo Ainda podemos analisar o fenômeno da indução levando em conta a corrente induzida. Sabe-se que ɛ ind = RI ind, logo: 11.2 A Lei de Lenz I ind = 1 R dφ B dt Vimos que a variação do fluxo magnético gera corrente elétrica em condutores. Mas o que determina o sentido da corrente induzida? Isso é explicado pela Lei de Lenz: A corrente induzida produz um campo magnético que tende se opôr à variação do fluxo magnético que a gerou

198 198 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Considere o exemplo da Figura Se o ímã aproxima-se da espira, o fluxo magnético no interior desta aumentará, então deve surgir uma corrente no sentido anti-horário para reduzir o fluxo. Caso o íma afaste-se da espira, o fluxo no interior desta diminuirá, logo, pela Lei de Lenz, surge uma corrente no sentido horário. Figura 11.3: Deflexão do galvanômetro Se aplicarmos a Lei de Lenz na 11.2, teremos a Lei de Faraday: ɛ ind = dφ B dt (11.4) O sinal negativo representa a resistência que o circuito apresenta à variação do fluxo magnético É interessante notar que se fizermos a integral de linha do campo elétrico na espira, teremos: Γ E d l = ɛ ind (11.5) Ora, vimos na eletrostática que essa integral de linha deveria ser nula sempre! Qual será a inconsistência? Na verdade, não há inconsistência. Ocorre que o campo elétrico estudado na eletrostática tem natureza diferente do campo elétrico induzido. O campo elétrico oriundo de cargas elétricas sempre é conservativo, por isso a integral de linha em um circuito fachado é nula. Mas, devido à equação 11.5, nota-se que o campo elétrico induzido pela variação de fluxo magnético

199 11.2. A LEI DE LENZ 199 não é conservativo. Por isso, é importante distinguir os dois tipos campos elétricos. Seguem alguns exemplos da aplicação da Lei de Lenz: Exercício Suponha uma barra condutora, deslizando sem atrito sobre um trilho condutor, em meio a um campo magnético perpendicular ao plano dos trilhos, conforme mostrado na Figura Calcule: a força eletromotriz induzida, a corrente induzida a força magnética e a velocidade da barra em função do tempo. Figura 11.4: Trilho magnético Força eletromotriz Temos que o fluxo magnético na barra é dado por: φ B = BA = Blx portanto a força eletromotriz é: ɛ ind = dφ B dt = Bl dx dt = Blv Corrente induzida: I ind = ɛ ind R = Blv R Força magnética: Temos que a força em fios é dada por:

200 200 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO F = I l B = I ind Bl = B2 l 2 v R î (11.6) Velocidade do fio: Aplicando a segunda lei de Newton ao reultado da equação 11.6 : m dv dt = B2 l 2 v R Resolvendo essa equação diferencial separável: v(t) v 0 dv v = t 0 B 2 l 2 dt ln Rm ( v(t) v 0 v(t) = v 0 e B2 l 2 t / Rm Vemos então que a força tende à frear à barra. ) = B2 l 2 Rm t Exercício Considere um campo magnético uniforme que aponta pra dentro da folha e está confinado numa região circular de raio R. Suponha que a magnitude de B aumenta com o tempo. Calcule o campo elétrico induzido em todo o espaço: Figura 11.5: Campo magnético Vimos que o campo elétrico induzido pode ser calculado por: Γ E ind d l = ɛ ind = dφ B dt

201 11.2. A LEI DE LENZ 201 Então precisaremos descrever curvas fechadas para calcular o campo elétrico induzido. Pela simetria do problema, fazermos circunferências de raio r. Para r < R : Figura 11.6: Curva para cálculo do campo induzido Como a circunferência aborda apenas uma porção do campo, a variação fluxo no seu interior será: φ B = Bπr 2 dφ B dt = db dt πr2 Logo: Γ E ind d l = db dt πr2 E ind 2πr = db dt πr2 E ind = db r dt 2 Para r > R : Como a circunferência aborda todo o campo, a variação fluxo no seu interior será: φ B = BπR 2 dφ B dt = db dt πr2 Logo:

202 202 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.7: Curva para cálculo do campo induzido Γ E ind d l = db dt πr2 E ind 2πr = db dt πr2 E ind = db R 2 dt 2r Sintetizando os resultados na forma de um gráfico; Figura 11.8: Campo induzido vs distância 11.3 Geradores As experiências de Faraday lançaram os princípios de funcionamento de motores elétricos e geradores de eletricidade. Considere uma espira imersa em um campo magnético B rotacionando com uma velocidade angular constante ω = θ t. Substiuíndo θ na equação 11.3, temos que:

203 11.4. EFEITOS MECÂNICOS 203 Em termos de corrente induzida: ɛ ind = ωba sen ωt I ind = ωba R sen ωt Calculando a potência gerada para N espiras: P = I ε ind = (NBAω sin(ωt))2 R Observa-se que a bobina gerará corrente alternada. empregam-se comutadores no circuito. Para evitar isso, Isso que foi visto é o princípio de funcionamento de vários tipos de usinas de geração de energia, como as hidrelétricas, termoelétricas, eólicas e nucleares. Todas elas envolvem a transferência de energia mecânica de um fluido (água, vento) para a bobina, fazendo-a girar Efeitos Mecânicos A indução magnética, quando aliada a outros fenômenos físicos, pode resultar em efeitos interessantes. Vejamos alguns exemplos As correntes de Foucault Considere uma chapa metálica e um pente metálico, inicialmente em movimento uniforme, entrando em cum campo magnético, conforme esquematizado na Figura Experimentalmente, observa-se que o chapa metálica sobre uma redução de velocidade mais acentuada que o pente. Por quê? Isso ocorre pois, durante a imersão no campo magnético, a variação do fluxo magnético no interior da chapa é maior do que no pente. Logo a corrente

204 204 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.9: Objetos aproximando-se de um campo magnético induzida, a corrente de Foucault nesse caso, na chapa é superior. Mas a ação do campo magnético sobre a corrente induzida gera uma força que tende a frear o objeto, portanto a chapa sofre uma maior redução de velocidade. Figura 11.10: Correntes de Foucault Pode-se dizer também que as correntes de Foucault resultam em uma maior dissipação por efeito Joule, aquecendo o material que imerge em um campo magnético Atrito Magnético Se uma espira condutora é solta em queda livre sobre um imã permanente, a corrente induzida criará um dipolo magnético que tende a ser repelido pelo imã, produzindo uma força de freamento da espira análoga a uma força de atrito viscoso (ver Figura 11.11).

205 11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA 205 Figura 11.11: Comportamento da espira em queda Canhão Magnético Considere um solenóide enrolado em um eixo isolante e, acoplado nesse mesmo eixo, uma espira. Quando uma corrente passar pela espira, o fluxo do campo magnético no interior da espira será alterado. A corrente induzida fará com que a espira seja lançada no sentido oposto ao do solenóide. Figura 11.12: Canhào Magnético 11.5 Indutância Mútua Induntância mútua refere-se ao surgimento de uma corrente induzida em um circuito em função da passagem de corrente elétrica em um outro circuito. Considere duas espiras em repouso. Se aplicarmos uma corrente I 1 na espira 1, ocorrerá uma variação do fluxo de campo magnético dφ 21 na espira dt 2, surgindo então uma força eletromotriz induzida ɛ 2 dada por:

206 206 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.13: Exemplo de indutância mútua ɛ 2 = dφ 21 dt Mas a variação do fluxo do campo magnético depende de uma variação de corrente na espira 1: dφ 21 dt di 1 dt Então podemos substituir essa proporcionalidade por uma igualdade por meio da definição da constante de indução mútua M 21 1 : dφ 21 dt = M 21 di 1 dt (11.7) M 21 = dφ 21 di 1 (11.8) Experimentalmente, observa-se que a constante de indução mútua depende apenas da geometria das espiras e também da distância entre elas. Neumann deduziu uma fórmula que permite determinar essa constante. Temos que o fluxo do campo magnético pode ser calculado por: 1 [M 21 ] = H(henry) = T m2 A

207 11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA 207 φ 21 = B ds 2 = ( ) A1 ds 2 S 2 S 2 Aplicando o Teorema de Stokes: φ 21 = Pela equação : S 2 ( ) A1 ds 2 = A1 d l 2 Γ 2 φ 21 = µ 0 d 4π I l1 d l 2 1 r φ 21 dt = µ 0 d l1 d l 2 4π r di 1 dt (11.9) Comparando as equações 11.9 e 11.7 encontramos a Fórmula de Neumann: M 21 = µ 0 d l1 d l 2 4π r Como podemos comutar os fatores da fórmula, conclui-se que: (11.10) M 12 = M 21 = M Isso indica que, independentemente das formas e posições das espiras, o fluxo através de 2 quando uma corrente I passa em 1 é idêntico ao fluxo através de 1 quando a passamos a corrente I ao redor de 2. No entanto, ainda é mais interessante calcular M por meio da equação 11.8 do que pela Fórmula de Neumann, como veremos nos exemplos a seguir. Exercício Calcule a indutância mútua entre duas espirar coplanares e concêntricas de raios R 1 e R 2, com R 1 >> R 2. Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre a variação de corrente em uma espira e a variação do fluxo magnético na

208 208 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.14: Espiras coplanares e concêntricas outra espira. Sabemos que a campo magnético no centro de uma espira circular é B = µ 0 I 2R 1. Como R 1 >> R 2, pode-se considerar que o campo no interior da espira 2 é constante, logo o fluxo no seu interior será: Então temos que: φ 21 = BA = µ 0I 2R 1 πr 2 2 Logo a indutância mútua é: dφ 21 di = µ 0 2R 1 πr 2 2 M = µ 0 2R 1 πr 2 2 Exercício Calcule a indutância mútua entre dois solenóides concêntricos de desnsidades de espiras n 1 e n 2. Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre a variação de corrente em um solenóide e a variação do fluxo magnético no outro. Sabemos que a campo magnético no interior do solenóide 1 é B = µ 0 In 1. Como o campo no interior do solenóide 2 é constante, o fluxo no seu interior será:

209 11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA 209 Figura 11.15: Solenóides concêntricos Então temos que: φ 21 = BAn 2 l = µ 0 In 1 n 2 lπr 2 2 dφ 21 di Logo a indutância mútua é: = µ 0 n 1 n 2 lπr 2 2 M = µ 0 n 1 n 2 lπr 2 2 Exercício Calcule a indutância mútua entre dois toróides concatenados com N 1 e N 2 enrolamentos. Figura 11.16: Toróides concatenados Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre a variação de corrente em um toróide e a variação do fluxo magnético no outro.

210 210 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Sabemos que a campo magnético no interior do toróide 1 é B = µ 0N 1 I 2πr. Considerando que o campo no interior do toróide apresenta simetria cilíndrica, o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral: Figura 11.17: Elemento de área na seção do toróide b φ 21 = N B1 2 d s 2 = N 2 φ 21 = µ 0N 1 N 2 I 1 h ln( b 2π a )I Então temos que: a µ 0 N 1 I 1 2πr hdr dφ 21 di Logo a indutância mútua é: = µ 0N 1 N 2 h ln( b 2π a ) 11.6 Auto-Indutância M = µ 0N 1 N 2 h ln( b 2π a ) Considere novamente uma espira de N voltas pela qual passa uma corrente I. Se ocorre alguma alteração na corrente, o fluxo através da espira varia

211 11.6. AUTO-INDUTÂNCIA 211 com o tempo, então, de acordo com a lei de Faraday, uma força eletromotriz induzida surgirá para gerar um campo no sentido oposto à variação do fluxo de B inicial. Então podemos dizer que o próprio campo opõe-se a qualquer mudança da corrente, e assim temos o fenômeno da auto-indutância. Figura 11.18: Efeitos da auto-indutância Definimos matematicamente a auto-indutância L 2 da seguinte maneira: dφ B dt = dφ B di di dt = L di dt L = dφ B di (11.11) Do mesmo modo que a indutância mútua, a auto indutância depende apenas de fatores geométricos da espira em questão. Exercício Calcule a auto-indutância de um solenóide. Figura 11.19: Solenóide Para calcular a auto-indutância, precisamos calcular como uma variação 2 [L] = H(henry)

212 212 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO de corrente no solenóide varia o fluxo magnético no interior do próprio solenóide. Sabemos que a campo magnético no interior desse objeto é B = µ 0 In. Como o campo no interior do solenóide é constante, o fluxo no seu interior será: Então temos que: φ B = BAnl = µ 0 In 2 lπr 2 Logo a auto-indutância é: dφ B di = µ 0n 2 lπr 2 L = µ 0 n 2 lπr 2 Exercício Calcule a auto-indutância de um toróide de seção retangular. Figura 11.20: Toróide Para calcular a auto-indutância, precisamos calcular como uma variação de corrente no toróide varia o fluxo magnético no interior do próprio toróide. Sabemos que a campo magnético no interior desse objeto é B = µ 0NI 2πr. Considerando que o campo no interior do toróide apresenta simetria cilíndrica, o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:

213 11.7. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES 213 Figura 11.21: Elemento de área na seção do toróide φ B = N Então temos que: B d s = b a µ 0 N 2 I 2πr hdr = µ 0N 2 I 2π h ln( b a ) Logo a auto-indutância é: dφ 21 di = µ 0N 2 2π h ln( b a ) L = µ 0N 2 2π h ln( b a ) 11.7 Associação de Indutores Indutores são componentes eletrônicos que apresentam elevada indutância. Devido à Lei de Lenz, tais elementos evitam variações bruscas de corrente, sendo essa uma das principais funções desempenhadas pelos indutores em circuitos eletrônicos. Sabe-se que a diferença de potencial nos terminais de um indutor tem a mesma magnitude da força eletromotriz induzida nele, ou

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