Lei de Gauss da Eletricidade. Prof. Rudi Gaelzer IFM/UFPel (Física Básica III )

Transcrição

1 Lei de Gauss da Eletricidade

2 Objetivos iremos aprender: O que significa fluxo elétrico e como é possível calcular o mesmo. Como é possível determinar a carga elétrica delimitada por uma superfície fechada através do cálculo do campo elétrico sobre esta superfície. Como usar a Lei de Gauss da Eletricidade para calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de cargas elétricas.

3 Uma carga elétrica dentro de uma caixa pode ser sondada com uma carga-teste q o para se medir o campo E fora da caixa.

4 Fluxo de um Fluido A taxa de escoamento de um fluido (dv/dt) através de uma superfície retangular de área A é: (a) va, quando a superfície está perpendicular ao vetor velocidade v. (b) va cos φ quando o retângulo está inclinado em um ângulo φ. Taxa de fluxo volumétrico através de um retângulo metálico.

5 Vamos agora substituir o vetor velocidade do fluido v pelo vetor campo elétrico E e introduzir o conceito de fluxo elétrico Φ E. Taxa de fluxo volumétrico através de um retângulo metálico.

6 (a) Fluxo elétrico através da superfície: EA. (b) Quando o vetor de área A faz um ângulo φ com o vetor E, a área projetada sobre o plano perpendicular ao fluxo elétrico é Aperp. = Acosφ. O fluxo é zero quando φ = 90 o porque o plano estará paralelo ao fluxo: o campo E não flui através do retângulo. Uma superfície plana em um campo elétrico uniforme

7 Superfície fechada: Fluxo elétrico através de uma esfera centrada sobre uma carga pontual q. Φ E n= 1 r E No limite: r A Φ E Sendo : r A n n 0 e r r = E da, integral sobre toda superfície fechada. Superfície Gaussiana. a

8 Para uma gaussiana esférica: EdAcosφ ( 2 4πR ) 1 = 4πε ( 2 4πR ), Fluxo elétrico através de uma esfera centrada sobre uma carga pontual q. Φ E = = = = E r r E da EdA= 0 Φ E = E q R 2 q ε 0 da

9 Projeção de um elemento de área da de uma esfera de raio R SOBRE uma esfera concêntrica de raio 2R. A projeção multiplica cada dimensão linear por 2; assim, o elemento de área sobre a esfera maior é 4dA. O mesmo número de linhas de força passa por cada elemento de área. Fluxo Φ E de uma carga puntiforme q.

10 A projeção do elemento de área da sobre a superfície esférica é: da cos φ. Fluxo através de uma superfície arbitrária.

11 Superfícies Gaussianas esféricas ao redor de uma carga: (a) positiva e (b) negativa.

12 Lei de Gauss da Eletricidade: Seja S uma superfície gaussiana fechada que envolve completamente uma carga elétrica Q int a qual gera um campo elétrico Então: E r. r r Φ = E da = E Q ε int 0.

13 Para resolver problemas envolvendo a Lei de Gauss, usa-se a seguinte receita : 1. Cuidadosamente desenhar: localização de todas as cargas e a direção e sentido das linhas de força do campo elétrico E. 2. Desenhe uma superfície Gaussiana imaginária S de tal forma que o campo elétrico seja constante sobre a superfície e que a superfície contenha o ponto onde deseja-se calcular o campo elétrico. 3. Escreva a Lei de Gauss e realize o produto escalar E o da. 4. Uma vez que a magnitude de E é constante sobre S, pode-se retirar E de dentro do símbolo de integração. 5. Determine o valor de Q int da figura e o insira na equação da Lei de Gauss. 6. Resolva a equação para obter a magnitude de E.

14 Em condições estáticas, o campo elétrico dentro de uma esfera sólida condutora é nulo. Fora da esfera, o campo elétrico decai como 1/r 2, como se toda a carga da esfera estivesse concentrada no seu centro. Campo elétrico (eletrostático) = zero no interior de uma esfera sólida condutora.

15 Uma superfície Gaussiana coaxial cilíndrica é usada para encontrar o campo elétrico a uma distância r de um fio infinito eletricamente carregado.

16 Uma superfície Gaussiana cilíndrica é usada para encontrar o campo elétrico de uma superfície plana uniformemente carregada.

17 Densidade Volumétrica de Carga: ρ = carga/volume é usada para caracterizar a distribuição de carga. O campo elétrico de uma esfera ISOLANTE uniformemente carregada.

18 Superfície Gaussiana Em condições eletrostáticas, qualquer excesso de carga em um sólido condutor deve residir inteiramente sobre sua superfície externa.

19 A solução está no fato de que o campo elétrico dentro de um condutor deve ser nulo (ausência de correntes). Se a superfície Gaussiana estiver dentro do condutor (onde E é nulo), a carga envolvida deve ser também nula (+ q q) = 0.

20 Capacitores Ignorando efeitos de borda. Campo elétrico entre duas placas (grandes) paralelas eletricamente carregadas.

21 E Uma superfície Gaussiana desenhada dentro de um material condutor deve ter um campo elétrico nulo sobre a mesma. Se a superfície Gaussiana tem campo nulo sobre a mesma, a carga envolvida deve ser nula pela Lei de Gauss. O campo E = 0 dentro de uma caixa condutora (uma Gaiola de Faraday ) em um campo elétrico.