Sexta Lista - Fontes de Campo Magnético

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1 Sexta Lista - Fontes de Campo Magnético FGE211 - Física III Sumário A Lei de Biot-Savart afirma que o campo magnético d B em um certo ponto devido a um elemento de comprimento d l que carrega consigo uma corrente I e está a uma distância r é db = µ 0 Id l ˆr 4π r 2, onde r = r e µ 0 = 4π 10 7 T m/a. A magnitude do campo magnético produzido por um fio infinito por onde passa uma corrente I a uma distância r do fio é B = µ 0I 2πr. A magnitude da força magnética F B entre dois fios de comprimento l por onde passam correntes I 1 e I 2 separados por uma distância r é F B = µ 0I 1 I 2 l 2πr. A Lei de Ampere afirma que a integral de linha de B d l através de um circuito fechado é proporcional a corrente que passa por qualquer superfície que o circuito encubra: B d l = µ 0 I C. C O campo magnético dentro de um toróide de N espiras por onde passa uma corrente I é B = µ 0NI 2πr. O campo magnético dentro de um solenóide de comprimento l que tem N espiras por onde passa uma corrente I é B = µ 0 N l I = µ 0nI, onde n é o número de espiras por unidade de comprimento. 1

2 Estratégia para resolução de problemas A Lei de Biot-Savart A lei de Biot-Savart afirma que o campo magnético em um ponto P a uma distância r de um elemento de comprimento d l por onde passa uma corrente I é db = µ 0 Id l ˆr 4π r 2 = µ 0 Id l r 4π r 3. Para calcular o campo magnético, os passos abaixo podem ser úteis: 1. Posição da fonte: escolha um sistema de coordenadas apropriado para escrever o elemento de corrente Id l e o vetor r que descreve a sua posição. Em eletromagnetismo é comum usarmos variáveis com uma linha para descrever a posição das fontes de campo. 2. Posição do ponto: usando o mesmo sistema de coordenadas, ache a posição do ponto P com relação a origem r P. 3. Posição relativa: geometricamente, é trivial de mostrar que r P = r+ r. Ou seja, a posição relativa entre o elemento de corrente e o ponto P é r = r P r. O versor nesta direção se torna então 4. Ache d l ˆr = r r = r P r r P r. 5. Calcule o produto vetorial d l ˆr ou d l r. 6. Substitua o resultado em d B e efetue a integração para achar B. A Lei de Ampere A lei de Ampere afirma que a integral de linha de B d l sobre um circuito fechado é proporcional a corrente total que passa por qualquer superfície que o circuito encubra: B d l = µ 0 I C. C Os passos abaixos podem ser úteis para calcular campos magnéticos a partir da lei de Ampere: 1. Desenho um circuito de Ampere a partir de argumentos de simetria. 2. Ache a corrente que passa pelo circuito. 3. Calcule a integral B d l sobre o circuito. 4. Iguale os termos e ache B. 2

3 Questões conceituais 1. Compare as semelhanças e diferenças entre a lei de Biot-Savart e a lei de Coulomb. 2. Se uma corrente passa por uma mola, a mola se comprime ou se expande? 3. Quais argumentos deve se usar para escolher o caminho de integração ao usar a lei de Ampere? 4. Duas espiras concêntricas de diâmetros diferentes tem correntes constantes. As espiras se atraem ou se repelem? 5. Suponha que três fios paralelos são arranjados de tal forma que, se olharmos para suas secões transversais, eles correspondem aos cantos de um triângulo equilátero. É possível fazer uma combinação de correntes tal que (a) todos os três fios se atraiam e (b) todos os três fios se repilam? Problemas 1. Campo magnético de um fio finito em um ponto qualquer Este problema é um pouco mais complicado que os resolvidos em sala de aula uma vez que argumentos de simetria não podem ser utilizados. Considere um fio de comprimento L que carrega em si uma corrente I na direção do eixo dos x como mostra a figura 1. Qual o campo magnético em um ponto arbitrário do plano x-y? Sugestão: siga exatamente os passos descritos na seção acima. Este problema deve ser suficiente para entender a essência da lei de Biot-Savart. Figura 1: Fio finito de comprimento L e corrente I. 2. Campo devido a quatro fios 3

4 Quatro fios infinitos carregam consigo uma corrente I e estão dispostos de tal forma que, ao olhar para suas seções transversais, compreendem os vértices de um quadrado de lado a como mostra a figura 2. As correntes dos fios A e D apontam para foram da página e a dos fios B e C para dentro. Qual o campo magnético no centro do quadrado. Figura 2: Quatro fios dispostos nos vértices de um quadrado de lado a. 3. Corrente passando por um arco Considere um arco como o mostrado na figura 3 por onde passa uma corrente I. Calcule o campo magnético no ponto P. Figura 3: Arco com uma corrente I passando por ele. 4. Fio em forma de ferradura Um fio infinito por onde passa uma corrente I é dobrado na forma mostrada na figura 4. Ache o campo magnético no ponto P. 5. Dois fios infinitos Considere dois fios infinitos alinhados com o eixo dos x e separados por uma distância 2a como mostra a figura 5. 4

5 Figura 4: Fio dobrado em forma de ferradura. Figura 5: Dois fios infinitos. (a) Esquematize as linhas de campo se olhando em uma vista transversal. (b) Ache a distância d com relação ao eixo dos z (posição (0,0,z)) onde o campo magnético é máximo. 6. Lei de Ampere A aplicação mais simples da lei de Ampere é um fio infinito. Calcular o campo magnético de vários fios infinitos é uma boa forma de verificar se você de fato entendeu o significado da lei. (a) Usando a lei de Ampere, calcule o campo magnético gerado por um fio infinito pelo qual passa uma corrente I a uma distância r dele. Tente ser claro com relação a qual caminho você escolheu e quais argumentos de simetria utilizou. Qual o campo a uma distância de 10mm do fio se a corrente for 10A? (b) Oito fios paralelos cortam perpendicularmente a página como mostra a figura 6. O fio i (i = 1, 2, 3,..., 8) carrega consigo uma corrente 2iI 0. Para os fios i = 1 a i = 4 a corrente tem a direção saindo da página. Para os outros, a corrente tem a direção entrando na página. Calcule B d l para o caminho descrito na figura na direção das flechas. (cuidado com os sinais). 5

6 Figura 6: Oito fios que entram perpendicularmente na página. Os fios 1 a 4 tem correntes saindo da folha ao passo que os fios 5 a 8 tem corrente entrando nela. A linha é o caminho pelo qual a lei de Ampere deve ser aplicada. (c) É possivel aplicar a lei de Ampere apenas uma vez para calcular o campo na vizinhança dos oito fios? Como você faria para calcular o campo em um ponto P qualquer? 7. Campo magnético de uma distribuição de corrente a partir da lei de Ampere Considere um cilindro condutor furado no centro como mostra a figura 7. O cilindro é feito de cobre e tem raio interno a e raio externo b. Uma corrente uniforme I flui pelo cilindro. Figura 7: Cilindro semi-maciço infinito. (a) Calcule a magnitude do campo magnético fora do condutor (r > b). (b) Calcule o campo magnético, dentro do condutor para r < a. (c) Calcule o campo magnético na parte interna do condutor (a < r < b). 6

7 (d) Faça um gráfico do campo magnético de r = 0 até r = 4b. O campo magnético é contínuo em r = a e em r = b? E a sua derivada? (e) Suponha agora que um fio bastante fino que carrega uma corrente I é posto bem no centro deste cilindro. Sem refazer as contas, faça um gráfico do campo magnético em todo o espaço. 8. Corrente não uniforme Considere um cilindro condutor infinito de raio R por onde passa uma corrente não constante de tal forma que a densidade de corrente pode ser escrita como J = αr, onde α é uma constante (vide figura 8). Ache o campo magnético em todo o espaço. Figura 8: Fio infinito com densidade de corrente não constante. 9. Cilindro com um buraco Um cilindro infinito de cobre com raio a tem um buraco fora do seu centro como mostra a figura 9. O cilindro carrega uma corrente uniforme I. Calcule o campo magnético no ponto P. 10. Solenóide Um solenóide com 200 espiras tem 25cm de comprimento e 10cm de diâmetro. Assuma que ele carregue uma corrente I = 300mA e é suficientemente longo para poder ser considerado um solenóide ideal. (a) Faça um esquema mostrando a direção com que as espiras foram enroladas, a corrente e o campo magnético dentro e fora do solenóide. Qual a direção dominante do campo magnético dentro do solenóide? 7

8 Figura 9: Cilindro maciço com um buraco fora do seu centro. (b) Ache o campo magnético dentro do solenóide usando a lei de Ampere. 11. Disco rodando Um disco circular de raio R com uma densidade uniforme de carga σ é posto para rodar sobre seu eixo com uma velocidade angular ω. Mostre que o campo magnético no centro do disco é B = 1 2 µ 0σωR Dica: considere um anel circular de raio r e espessura dr. Mostre que o elemento de corrente que passa por esse anel é dl = (ω/2π)dq = ωσrdr. 12. Momento magnético de um elétron orbital Neste problema quero que estimem o momento de dipolo magnético associado com o movimento orbital de um elétron em um átomo de hidrogênio. Para isso vamos usar um modelo semi-clássico. Assuma que um elétron tem velocidade v e orbita ao redor de um próton (fixo na origem) como mostra a figura 10. O raio da órbita é r = 0, 53Å. (a) Há uma força radial centrípeta para dentro F = m e v 2 /r que é necessária para que o elétron se mova em um círculo devido a atração Coulombiana. Calcule a velocidade do elétron. (resposta: 2, m/s) (b) Qual o período orbital T do elétron? (resposta: 1, s) (c) Qual a corrente associada a esse movimento? Pense no elétron como se estivesse esticado ao redor da circunferência de tal forma que em um tempo T a carga q que passa por um ponto do círculo é e. (resposta: 1, 05mA. Enorme!!) 8

9 Figura 10: Esquema semi-clássico de um elétron orbitando um próton. (d) Qual o momento de dipolo magnético associado a este movimento? Ache a magnitude e a direção. Esta momento é comumente chamado de um Magnetron de Bohr, µ B. (resposta: 9, A m 2 na direção do eixo z) (e) Uma das razões para este modelo ser chamado de semi-clássico é porque classicamente não há razão para a órbita do elétron ter o valor fornecido acima. O valor de r é determinado a partir da mecânica quântica assumindo que o momento angular J do elétron pode assumir apenas múltiplos inteiros de h/2π onde h = 6, J/s é a constante de Plank. Qual o momento angular orbital do elétron em unidades de h/2π? 9

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