NOTAS DE AULA DE ESTRUTURAS DE FUNDAÇÕES ESTACAS SOB ESFORÇOS TRANSVERSAIS

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1 1 NOTAS DE AULA DE ESTRUTURAS DE FUNDAÇÕES ESTACAS SOB ESFORÇOS TRANSVERSAIS Prof. Eng. Civil José Waldomiro Jiménez Rojas Porto Alegre, 007.

2 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO...6. MÉTODOS DE PREVISÃO DE CAPACIDADE DE CARGA LATERAL Método de Brinch-Hansen...7. Aroximação Estática Convencional Método de Broms Coeficientes de majoração das cargas e de redução da resistência Resistência lateral na rutura Mecanismo de rutura Resistência à rutura (ou lastificação) da estaca Solução or Plane Strain Estacas com a Ponta Engastada MÉTODO DE PREVISÃO DA CURVA CARGA X RECALQUE DE ESTACAS CARREGADAS LATERALMENTE Métodos Baseados na Teoria de Reação Horizontal Curvas -y Determinação do Módulo de Reação Horizontal Resolução do Modelo de Winkler Método de Hetenyi Método de Matlock e Reese Método de Miche Método de Davisson e Robinson Método de Broms Deformações Laterais em Solos Coesivos Deformações Laterais em Solos Não-Coesivos Método de Bowles Soluções ara estacas ou tubulões curtos baseada no coeficiente de reação horizontal Método Russo TRATAMENTO PELA TEORIA DE ELASTICIDADE Teoria Básica Método de Poulos (1971)...47

3 3 5. MÉTODOS PARA AUMENTAR A RESISTÊNCIA LATERAL DAS ESTACAS ESTACAS CARREGADAS TRANSVERSALMENTE EM PROFUNDIDADE (ESTACAS PASSIVAS) Método de Tschebotarioff Métodos ara reduzir o carregamento nas estacas CONSIDERAÇÕES DAS NORMAS Norma Brasileira (NBR 61/1996) Eurocode 7 Projeto Geotécnico CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...56

4 4 LISTA DE FIGURAS Figura 1: Diferença entre estacas ativas e assivas (Alonso, 1986)...6 Figura : Estaca vertical sob ação de uma carga horizontal Método de Brinch-Hansen....8 Figura 3: Coeficientes K e Kc de Brinch-Hansen....9 Figura 4: Estaca vertical sob ação de uma carga horizontal (Velloso, 00)...10 Figura 5: Resistência última de estacas rígidas não engastadas (Poulos and Davis, 1980)...10 Figura 6: Distribuição da resistência lateral em solos coesivos (Poulos and Davis, 1980) Figura 7: Valores de Kc em função da razão b / d (Poulos and Davis, 1980)....1 Figura 8: Formas de rutura de estacas: a) estaca longa com too livre; b) estaca curta com too livre; c) estaca longa com too engastado; d) estaca intermediária com too engastado; e e) estaca curta com o too engastado (aud Broms, 1964a) Figura 9: Mecanismo de rutura, distribuição de ressões e diagramas de MF ara estacas curtas (Velloso, 00) Figura 10: Mecanismo de rutura, distribuição de ressões e diagramas de MF ara estacas longas (Velloso, 00) Figura 11: Estacas em solos não coesivos: (a) estacas curtas e (b) estacas longas (Velloso, 00)...18 Figura 1: Estacas em solos coesivos: (a) estacas curtas e (b) estacas longas (Velloso, 00)...19 Figura 13: Análise lástica ara lacas carregadas lateralmente (Poulos and Davis, 1980)...0 Figura 14: Rutura de uma laca vertical rígida sob um momento e carga horizontal (Poulos and Davis, 1980)....1 Figura 15: Estacas com base engastada em estrato rígido e onta livre (Poulos and Davis, 1980)... Figura 16: Estaca submetida a uma força transversal: reação do solo (a) real e (b) modelo de Winkler (Velloso, 00)....4 Figura 17: Conceito de K h segundo TERZAGHI (1955)...5 Figura 18: Curvas -y definidas ara cada camada do subsolo e mobilização da resistência lateral em função do deslocamento sofrido ela estaca (Velloso, 00)...30 Figura 19: Linhas de estacas longas (Velloso, 00)...31 Figura 0: Esquema ara resolução das equações diferenciais elo método das diferenças finitas (Poulos and Davis, 1980)....3

5 5 Figura 1: Curvas com os coeficientes de deflexão C y ara estacas longas (Poulos and Davis, 1980) Figura : Curvas com os coeficientes de momento C m ara estacas longas (Poulos and Davis, 1980) Figura 3: Estaca submetida a uma força horizontal alicada no too, coincidente com a suerfície do terreno (Velloso, 00)...36 Figura 4: Cálculo aroximado do momento fletor máximo (Velloso, 00)...37 Figura 5: Estaca arcialmente enterrada (Velloso, 00) Figura 6: Reresentação adimensional de uma estaca arcialmente enterrada (Velloso, 00)...39 Figura 7: Coeficientes ara (a) flexão e (b) flambagem (Velloso, 00)...40 Figura 8: Deformações laterais na suerfície ara solos coesivos (Alonso, 1986)...4 Figura 9: Deformações laterais na suerfície ara solos não-coesivos (Alonso, 1986) Figura 30: Esquema de definição do método de BOWLES (1974)...43 Figura 31: Estaca curta, método russo (Velloso, 00)...45 Figura 3: Tensões que atuam (a) na estaca e (b) no solo (Velloso, 00)...47 Figura 33: Estaca isolada (Poulos, 1971 aud Junior, 003) Figura 34: Métodos usados ara aumentar a resistência lateral das estacas (Poulos and Davis, 1980) Figura 35: Pressões horizontais segundo Tschebotarioff (Alonso, 1989)...51 Figura 36: Condições de contorno da estaca (Alonso, 1989)...5 Figura 37: Utilização de bueiros ara reduzir o eso do aterro (Alonso, 1989) Figura 38: Utilização de estacas e lacas de concreto (Alonso, 1989) Figura 39: Esaçamentos entre lacas (Alonso, 1989) Figura 40: Disosição das estacas róximas ao é de talude (Alonso, 1989)...54

6 6 1. INTRODUÇÃO A evolução das técnicas construtivas na engenharia civil roiciou o aumento da magnitude das cargas nas edificações, que em muitos dos casos transferiram a engenharia de fundações a tarefa de solucionar os roblemas de fundações em estacas ou tubulões solicitados or cargas verticais conjugadas com esforços transversais (horizontais, inclinados e momentos fletores), que odem ser alicados ao too da estaca ou em rofundidade. Segundo De Beer (1977) aud Alonso (1989), as estacas carregadas transversamente odem ser divididas em dois gruos: as ativas e as assivas. As estacas ativas são as que, sob ação de cargas externas, transmitem ao solo esforços horizontais (Fig. 1a). Ao contrário, as estacas assivas são as em que os esforços horizontais ao longo do fuste são decorrentes do movimento do solo que as envolve (Fig. 1b). H M y Aterro y Recalque Solo comressível Solo resistente (a) estaca ativa (b) estaca assiva Figura 1: Diferença entre estacas ativas e assivas (Alonso, 1986). No rimeiro caso, o carregamento é a causa e o deslocamento horizontal, o efeito. No segundo caso, o deslocamento horizontal é a causa e o carregamento ao longo do fuste, o efeito. Na Tabela 1 aresenta-se as diferenças fundamentais entre esses dois tios de estacas.

7 7 Tabela 1: Diferença entre estacas ativas e assivas. Intensidade e onto de alicação Ponto de atuação da estaca Posição relativa do solo que envolve a estaca Estacas ativas Conhecida a riori Num só lano (carregamento à suerfície) Há deslocamento no lado contrário ao do movimento da estaca (efeito de arco). Estacas Passivas Não conhecida a riori Ao longo de arte do fuste (carregamento em rofundidade) O solo está semre em contato com a estaca (não há efeito de arco) Neste trabalho será abordado o efeito do carregamento lateral em estacas, dando ênfase as estacas ativas e or fim uma breve descrição das estacas carregadas em rofundidade (assivas). Serão descritos métodos de cálculo ara revisão de esforços e deslocamentos e também exemlos ara o dimensionamento estrutural. Cabe ressaltar que os seguintes asectos devem ser considerados: Rutura do solo: verificação da caacidade de suorte do solo, com segurança, em relação às tensões que lhe são transmitidas elas estacas ou tubulões; Deslocamentos: verificação da comatibilidade do deslocamento (e rotação) do too da estaca ou tubulão sob a carga de trabalho com a estrutura suortada; Dimensionamento estrutural da estaca ou tubulão. A continuação será aresentada à classificação das estacas, como também, os rinciais métodos de revisão de caacidade de carga lateral, destacando a análise da segurança à rutura do solo e o cálculo de deformações.. MÉTODOS DE PREVISÃO DE CAPACIDADE DE CARGA LATERAL.1 Método de Brinch-Hansen O método de Brinch-hansen (1961) é baseado na teoria do emuxo do solo. Oferece como vantagem: alicabilidade aos solos com c, f e aos solos estratificados. Como desvantagens: alicação restrita às estacas curtas e solução or tentativas.

8 8 Considere-se uma estaca de dimensão transversal B e comrimento enterrado L, submetida a uma força horizontal H alicada a uma altura e acima da suerfície do terreno (Fig. ). Hu e y Hu Mu = Hu e Pzu L dz Zr L Ponto de rotação z Figura : Estaca vertical sob ação de uma carga horizontal Método de Brinch-Hansen. O valor de H ode aumentar até o valor de H u ara o qual a reação do terreno atinge o seu valor máximo, ou seja, o valor corresondente ao emuxo assivo, P zu. As equações de equilíbrio são escritas (o somatório de momentos em relação ao nível do terreno): Zr L å Fy = 0 Hu - ò PZu Bdz + ò PZu Bdz = 0 Equação 1 0 zr Zr L å M = 0 Hu l - ò PZu Bzdz + ò PZu Bzdz = 0 Equação 0 zr Desde que conhecida a distribuição de P Zu essas duas equações ermitem, or tentativas, determinar os valores de Z r e H u. Brinch-Hansen (1991) fornece P = s ' = K + ck Equação 3 Zu vz q c Onde s vz = tensão vertical efetiva no nível z K q e K c = fatores que deendem de f e de z/b e dados na Figura 3.

9 9 No caso de carregamento ráidos de argilas saturadas, deve-se usar a resistência não-drenada S u ; ara carregamentos lentos ou de longa duração devem-se usar arâmetros drenados c e f. Kq F = ,4 35,3 17,7 9,91 5,88 3,50 1, ,6 Kq=0 ara F z/b Kc F = 45 z/b ,4 35,8 4,5 17,6 13, 10, 8,14 Figura 3: Coeficientes K e Kc de Brinch-Hansen.. Aroximação Estática Convencional Este é um método simles de estimativa de resistência lateral última, que tem como base as leis da estática. Este método é alicado ara o caso de uma estaca flutuante de comrimento infinito e foi descrito or POULOS (1978). Considerando a Figura 4, temos que a estaca está sujeita aos seguintes esforços: uma força horizontal H, um momento M e uma ressão do solo última (P zu ). O roblema é resolvido considerando que a estaca seja rígida (estaca curta - gira quando sujeita a uma carga lateral, as deformações devido à flexão na estaca são equenas e às devido à rotação aumentam linearmente com a distância ao centro de rotação). Tratando a estaca como uma faixa de diâmetro ou largura B, as equações de uma forma geral tomam a seguinte forma: Zr H u = ò Pu. B. dz - ò Pu. B. dz 0 Zr L Zr M = H. e = -ò P. dz. dz + P. dz. dz u u 0 u L ò Zr u Equação 4 Equação 5

10 10 Onde H u = força horizontal última; M u = momento último; P u = ressão do solo última; e = comrimento não engastado. Hu e y Hu Mu = Hu e Pzu L dz Zr L Ponto de rotação z Figura 4: Estaca vertical sob ação de uma carga horizontal (Velloso, 00). A Figura 5 mostra um gráfico onde a resistência última é obtida ara o caso de estacas rígidas com o too não engastado. 0,6 0,5 0,4 Uniform Py Distribution Pu=Pu Hu Pu d L 0,3 0, 0,1 0 Linearly Varying Pu Distribution - zero at surface, PL at ti Pu = PL/ 0 0,5 1,0 0,5 0 e/l L/e Figura 5: Resistência última de estacas rígidas não engastadas (Poulos and Davis, 1980).

11 11 No caso da estaca não ser rígida (estaca longa - a deformação devido à flexão é maior quando comarado com as causadas ela rotação, o comortamento destas estacas não é afetado ela mudança de seu comrimento), a rutura da estaca, como visto anteriormente, ode ser or momentos fletores excedendo o momento de lastificação da estaca. O momento ode ser calculado ela fórmula acima e ser comarado com o momento de lastificação. Para solos coesivos, a distribuição do valor de P u esta demonstrada na Figura 6. Quando P u torna-se constante, a rutura lateral envolve fluxo lástico e seu valor ode ser calculado unicamente ela teoria da elasticidade. O valor do fator de resistência lateral K c ( P = K c ), deende do fator de u c. adesão a ( ca c ) e sobre a forma da seção transversal da estaca. Lateral load P Cu Aroximately 3D Soil movements 8 to 1 CuD (a) Deflections (b) Probable Distribution of Soil Reactions Figura 6: Distribuição da resistência lateral em solos coesivos (Poulos and Davis, 1980). A Figura 7 demonstra a influência do valor de K c ara ara um valor intermediário de ca = c e ca = 0. A solução ca c ode ser obtida or interolação linear. As curvas da Figura 7 foram obtidas através da teoria da lasticidade utilizando análise limite.

12 1 1,6 1,4 1, Rough (Ca=C) Pud bc Kc 1,0 0,8 Value generally assumed Smooth (Ca=0) 0,6 0,4 b Pud f = 0 Pu = KcC 0, d 0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0 b/d b/d Figura 7: Valores de Kc em função da razão b / d (Poulos and Davis, 1980). Para o caso onde tem-se arâmetros c e f do solo, o valor de P u é obtido baseando-se na teoria de ressão de solo. A resistência última a uma rofundidade z, abaixo da suerfície é dada ela seguinte exressão: P = q. K + c. K Equação 6 u q c Onde q = ressão geostática vertical; c = coesão; K c, K q = fatores que são função de f e z B Valores dos coeficiente K c e K q estão demonstrados na Figura 3 (BRINCH HANSEN, 1961)..3 Método de Broms Broms (1964) aresentou dois trabalhos. O rimeiro abordando estacas em solos coesivos e o segundo, estacas em solos granulares. Posteriormente, num terceiro artigo (Broms, 1965), resumiu suas conclusões aresentando um critério ara o cálculo de estacas carregadas transversalmente. O método foi desenvolvido com simlificação dos

13 13 diagramas de distribuição de resistência do solo ao longo de estacas longas, curtas e intermediárias, com too livre e engastado. O método de Broms adota a filosofia dos chamados métodos de rutura, estabelecendo que: o rojeto de estacas, ou gruos de estacas, carregadas transversalmente é, em geral, governado elas exigências de que a rutura comleta do gruo de estacas ou da estrutura de suorte não deve ocorrer mesmo sob as mais adversas condições e, que as deformações, ara a carga de trabalho, seja de tal ordem que não rejudiquem o funcionamento da fundação ou da suerestrutura. Assim, ara uma estrutura em que aenas equenos deslocamentos odem ser tolerados, o rojeto será definido elos deslocamentos sob as cargas de trabalho, enquanto que, no caso de estruturas que odem suortar deslocamentos relativamente grandes, o rojeto será definido ela resistência a rutura das estacas. A rutura de uma fundação em estacas ocorre quando um mecanismo de rutura se forma em cada estaca de gruo. Exemlos de mecanismos de rutura estão mostrados na Figura 8. Ho Ho Ho Ho Ho (b) (e) (d) (a) (c) Figura 8: Formas de rutura de estacas: a) estaca longa com too livre; b) estaca curta com too livre; c) estaca longa com too engastado; d) estaca intermediária com too engastado; e e) estaca curta com o too engastado (aud Broms, 1964a). Para as estacas com too livre, se forem longas (Figura 8a), a rutura ocorre com a lastificação do material que a comõe, na seção de momento fletor máximo; já, ara

14 14 o caso de estacas curtas (Figura 8b), ocorre a rotação da estaca em relação a alguma seção transversal, em rofundidade, com rutura aenas do solo. Nas estacas com too engastado, se forem longas (Figura 8c), a rutura ocorre com a lastificação do material que a comõe em duas seções (uma na base do bloco de coroamento e outra onde ocorre o momento fletor máximo ositivo). Caso as estacas forem intermediárias (Figura 8d), ocorrem simultaneamente, a rotação da mesma em relação a alguma seção transversal, em rofundidade, e a lastificação do material que a comõe se dá na seção transversal do fundo do bloco. Se forem curtas (Figura 8e), ocorre à translação da estaca..3.1 Coeficientes de majoração das cargas e de redução da resistência A rutura de um gruo de estacas ou de estacas isoladas carregadas lateralmente ode ocorrer: (a) se as cargas efetivamente atuantes ultraassam largamente as revistas no rojeto; (b) se os arâmetros de resistência do solo ou do material da estaca foram suerestimados; (c) se o método de cálculo suerestima a resistência lateral da estaca. Broms observa que as tensões na estaca não variam roorcionalmente com as cargas atuantes e, or isso, o uso do conceito de tensões admissíveis ode conduzir a um coeficiente de segurança variável em relação à carga alicada, a resistência ao cisalhamento do solo, e a resistência estrutural da estaca. Recomenda, então, que o rojeto de estacas carregadas lateralmente seja baseado no comortamento da fundação na rutura, utilizando coeficientes de majoração das cargas e de redução da resistência ara levar em conta as imrecisões na determinação das cargas, na determinação das roriedades do solo e no método de cálculo. Os valores indicados ara esse coeficiente estão aresentados na Tabela 0. Tabela : valores indicados como coeficientes de segurança. Majoração Cargas ermanentes: 1,50 Cargas acidentais:,00 Profundidade de erosão: 1,5 a 1,50 Redução Coesão C rojeto = 0,75 C rojeto f: f rojeto = 0,75.tgf

15 15.3. Resistência lateral na rutura Na Figura 9 estão aresentados os mecanismos de rutura, as distribuições de ressões e os diagramas de momentos fletores ara cada estaca curta e na Figura 10 os mesmo diagramas ara uma estaca longa. Nas Figuras, S u = resistência não drenada, B diâmetro ou largura da estaca; g = eso esecifico do solo; K = coeficiente de emuxo assivo (Rankine). e Qu Qu L Centro de rotação L (a) 1,5B Argilas (b) 1,5B Mmáx Z0 L L-1,5B 9SuB Reação do solo (c) Mmáx Momento fletor Areias (d) 9SuB Reação do solo Momento fletor Mmáx Z0 L L-Z0 (e) 3Bg'LK Reação do solo Mmáx Momento fletor (f) 3Bg'LK Reação do solo Figura 9: Mecanismo de rutura, distribuição de ressões e diagramas de MF ara estacas curtas (Velloso, 00). Momento fletor.3.3 Mecanismo de rutura Estacas curtas livres A rutura ocorre quando a estaca, como um coro rígido, gira em torno de um onto localizado a uma certa rofundidade (Figura 9a).

16 16 Estacas longas livres A rutura ocorre quando a resistência a rutura (ou lastificação) da estaca é atingida a uma certa rofundidade (Figura 10c). Hu e 1,5B Hu 1,5B Mu Mu Z0 Z0 9SuB 9SuB (a) (b) Reação do solo Momento fletor Reação do solo Momento fletor Hu e Hu Mu Mu Z0 Z0 Z0 3g'Bz0K Mu (c) 3g'Bz0K (d) Reação do solo Momento fletor Reação do solo Momento fletor Figura 10: Mecanismo de rutura, distribuição de ressões e diagramas de MF ara estacas longas (Velloso, 00). Estacas curtas imedidas A rutura ocorre quando a estaca tem uma translação de coro rígido (Figura 9b). Estacas longas imedidas A rutura ocorre quando formam duas rótulas lásticas: uma na seção de engastamento e outra a uma certa rofundidade (Figura 10b,d)..3.4 Resistência à rutura (ou lastificação) da estaca No tio de análise feita or Broms, é necessário que, no estado de rutura, a caacidade de rotação das rótulas lásticas formadas ao longo do comrimento da estaca seja suficiente ara: (a) desenvolver o emuxo assivo do solo acima da rótula

17 17 lástica inferior; (b) rovocar a redistribuição comleta dos momentos fletores ao longo da estaca; (c) utilizar a total resistência à rutura (ou lastificação) da estaca nas seções críticas. Carga na rutura a) Em solos não coesivos (areias) Estacas curtas com o too livre. Para estacas curtas (L/B ), a carga de rutura é dada or: 3 0,5gBL K Hu = ( e + L) Equação 7 Desde que o momento fletor máximo que solicita a estaca seja menor que o momento de rutura (ou lastificação) da estaca. O valor adimensional Hu/k B³g esta reresentado na Figura 11a em função da relação L/B. Estacas longas com o too livre. O mecanismo de rutura está mostrado na Figura 10c. A rutura ocorre quando uma rotula lástica se forma a uma rofundidade Z 0 corresondente à localização do momento fletor máximo. São obtidos os valores: Hu Z = 0 0,8 Equação 8 gbk ( e 0,67Z ) M máx = Hu + Equação 9 0 Igualando esse momento fletor máximo ao momento de rutura (ou lastificação) Um obtém-se: Hu = Mu e + 0,55 Hu gbk Equação 10 O valor adimensional Hu/K B³g está reresentado na Figura 11b em função de Mu/K B 4 g e de e/b.

18 18 Estacas curtas imedidas. A carga de rutura é dada or: Hu = 1,5 L Bg ' Equação 11 K Desde que o momento fletor negativo máximo, que ocorre na ligação da estaca com o bloco, for menor que o momento de rutura da estaca. Carga lateral alicada, Hu/KB³g Hu e L B Too engastado Too livre e/l= , Comrimento, L/B 3,0,0 1,5 0, 0,4 0,8 0,6 1,0 Resistência lateral máxima, Hu/KB³g Hu e L B Too engastado e/d=0 1,0,04,0 Too livre 8,0 4 Momento de escoamento, Mu/B gk Figura 11: Estacas em solos não coesivos: (a) estacas curtas e (b) estacas longas (Velloso, 00) Estacas longa engastada. Se a seção da estaca tiver momento de rutura ositivo (M + u) diferente do negativo (M - u) a carga de rutura será dada or: Hu = M + u e + 0,54 + M - u Hu gbk Equação 1 Se os dois momentos de rutura forem iguais: Hu = M e + 0,54 u Hu gbk Equação 13 Os valores de H u odem ser obtidos da Figura 11. b) Em solo coesivo Estacas curtas (L/B ) com o too livre. Tem-se as seguintes equações:

19 19 M máx = Hu e + 1,5 B + 0,5Z ) Equação 14 ( 0 M =,5BS ( L - 1,5 B Z Equação 15 máx u - ) 0 Hu Z = 0 Equação 16 9S B u A Figura 1a fornece H u /S u B² em função de L/B e e/b. Estacas longas (L/B > 4) com o too livre. A rutura ocorre quando o momento fletor calculado ela equação M =,5BS ( L - 1,5 B Z iguala o momento de máx u - rutura da estaca. As distribuições da reação do terreno e dos momentos fletores estão mostradas na Figura 10a. É admitido que os deslocamentos laterais são suficientemente grandes ara mobilizar lenamente a resistência assiva do solo abaixo da rofundidade em que ocorre o momento fletor máximo. A Figura 1b fornece H u /S u B² em função de M u /S u B². Estacas curtas engastadas. Tal como no caso do solos não-coesivos, na rutura, a estaca exerimenta uma translação de coro rígido. Tem-se: Hu = 9SuB( L -1,5 B) Equação 17 ) 0 Resistência lateral máxima, Hult/SuB² Too engastado L B e/d=0 1 4 Hu 8 Too livre B Comrimento de embutimento, L/B 16 e L Resistência lateral máxima, Hult/SuB² Too engastado B e/d= Too livre Hu e Momento de escoamento, Mu/SuB³ Figura 1: Estacas em solos coesivos: (a) estacas curtas e (b) estacas longas (Velloso, 00). B L

20 0 A fim de que o referido mecanismo de rutura aconteça, é necessário que o momento fletor negativo máximo seja menor ou igual ao momento de rutura da estaca: Hu = ( 0,5L + 0,75B) < Mu Equação 18 Estacas longas engastadas. A Figura 1b ermite calcular a carga de rutura H u a artir de M u..4 Solução or Plane Strain DAVIS em 1961, roôs uma solução ara uma laca vertical erfeitamente rígida em um solo uramente coesivo ( f = 0 ) e eso rório nulo ( g = 0 ). Davis assumiu que não existe tensão cisalhante entre o solo e a laca e, que a mesma tem sua suerfície lisa. A ressão do solo atua normalmente sobre o lado direito da orção AB e sobre o lado esquerdo de BC, como demonstrado na Figura 13. A Figura 14 mostra a solução obtida ara este roblema ara as lacas de suerfície lisa e rugosa. H M A f = 0 g = 0 H B Figura 13: Análise lástica ara lacas carregadas lateralmente (Poulos and Davis, 1980). C

21 1 Figura 14: Rutura de uma laca vertical rígida sob um momento e carga horizontal (Poulos and Davis, 1980)..3 Estacas com a Ponta Engastada Para estacas que tem sua onta engastada em rocha ou em um estrato de solo firme, uma modificação na análise é necessária. A Figura 14 mostra um caso tíico de estacas de too livre com suas bases engastadas em um extrato firme. A Figura 14 mostra, também, o gráfico de distribuição de momentos e uma distribuição arbitrária da resistência última do solo (POULOS e DAVIS, 1978). É assumido que o efeito das altas ressões róximo à base, odem ser reresentadas or uma simles força, desde que o centro de rotação se encontre róximo à base. Primeiramente, considerando a estaca curta, temos: H u Lr L+ Lr d æ * = ç + + ò Pur. z. dz ò Pus. z e 1è 0 Lr * ö. dz ø Equação 19 Onde Pur = resistência lateral última do estrato rígido; Pus = resistência lateral última do solo; z * = distância vertical medida de baixo ara cima. Com o valor de H u calculado, o momento máximo (M máx ) deve ser testado. Se M máx < M y, a estaca trabalhará como uma estaca curta. Se M máx > M y, a estaca trabalhará como uma estaca longa e M máx deverá ser igual a M y. A osição do M máx

22 (distância f abaixo da suerfície) ode ser determinada ela condição de esforço cortante zero, isto é, quando: f [ Pur] H u = dò ( Pus + )dz 0 Equação 0 Onde z = distância vertical medida ara baixo a artir da suerfície. Hu e Soil L Pus f Stiffer Stratum Lr Center of Rotation F Mmáx Deflection (a) Short Pile Soil Resistance Bending Moment Hu e Soil L Pus f Stiffer Lr Stratum F My Deflection Soil Resistance Bending Moment (b) Long Pile Figura 15: Estacas com base engastada em estrato rígido e onta livre (Poulos and Davis, 1980) O termo entre colchetes na equação anterior, é alicado unicamente se o valor f ultraassar o too do estrato rígido. O momento máximo é o seguinte: M máx = M y = dò + f 0 ( Pus Pur) z. dz. Equação 1

23 3 3. MÉTODO DE PREVISÃO DA CURVA CARGA X RECALQUE DE ESTACAS CARREGADAS LATERALMENTE Na maioria dos casos, o critério ara rojeto de fundações em estacas carregadas lateralmente é o de máxima deflexão lateral, e não o de caacidade de carga lateral. A deflexão admissível ode ser relativamente grande ara estruturas temorárias e muros de retenção ancorados. Mas, ara estruturas altas, estas deflexões são limitadas. Métodos teóricos de revisão da curva carga x recalque foram e estão em desenvolvimento. Serão descritos métodos baseados na teoria de reação do subleito (reação horizontal); teoria da elasticidade e teoria da lasticidade. Para a determinação dos deslocamentos horizontais e as solicitações fletoras na estaca odemos considerar o solo de duas formas: 1º consideração: extensão da hiótese de Winkler formulada ara o estudo de vigas de fundação. O solo é substituído or molas, no caso horizontal, indeendentes entre si. º consideração: o solo é considerado como um meio contínuo elástico caracterizado or um módulo de Young e um coeficiente de Poisson. Tabela 3: Resumos das vantagens e desvantagens das hióteses de reação do solo. (Velloso e Loes, 00). Hiótese Vantagens Desvantagens Winkler Meio contínuo elástico 1) É relativamente simles ) Pode incororar não linearidades; variação do coeficiente de reação com a rofundidade; alicação a solo estratificado. 3) É usado na rática há muito temo. 1) É uma hiótese mais realista. ) Pode fornecer soluções ara módulo variável com a rofundidade e solos estratificados. 1) Ignora a continuidade do solo. ) O coeficiente de reação não é uma roriedade do solo, ois deende das dimensões da estaca e do seu deslocamento. 1) É difícil determinar as deformações em um roblema rático e o módulo do solo que a elas corresonde. ) Requer mais exeriências de camo. 3.1 Métodos Baseados na Teoria de Reação Horizontal Curvas -y O modelo de reação do subleito (viga sobre um aoio elástico) foi, originalmente, roosto or WINKLER em O modelo caracterizava o solo como uma série de molas não conectadas e linearmente elásticas, como aresenta a Figura 16. As deformações, neste modelo, são consideradas somente onde existe carga.

24 4 Figura 16: Estaca submetida a uma força transversal: reação do solo (a) real e (b) modelo de Winkler (Velloso, 00). O método assume que a ressão de solo lateral P sobre a estaca, aumenta linearmente com o aumento da deflexão lateral Y, de acordo com a seguinte equação: P = k y Equação h Sendo K h o coeficiente de reação horizontal. TERZAGHI em 1955 escreveu um trabalho discutindo a utilização do coeficiente de reação horizontal. Com base neste trabalho será feita a exosição deste imortante conceito. Considera-se uma estaca de largura B 1 (Figura 17). Antes da atuação de qualquer força horizontal, o terreno exerce, em qualquer onto da suerfície lateral da estaca, uma ressão P 0 que é igual ao emuxo no reouso (no caso de estacas escavadas) ou maior (no caso de estacas cravadas). Se a estaca é deslocada ara a direita, a ressão na face da esquerda decresce ara um valor muito equeno. Em conseqüência do efeito de arco que aí se desenvolve, esse valor é menor que o corresondente ao emuxo ativo e oderá ser desrezado. Ao mesmo temo, e como resultado do mesmo deslocamento, a ressão P na face da direita cresce de seu valor inicial P 0 ara um valor P 0, que será maior que o corresondente emuxo ao reouso P 0. O deslocamento lateral Y 0 necessário ara roduzir essa variação é tão equeno que ode ser desrezado. Então no início do deslocamento ara direita Y 1 =0 e, as ressões nas duas faces da estaca, a uma rofundidade z qualquer, serão:

25 5 à esquerda: P = 0 Equação 3 a ' à direita: P = P 0 ³ P0 Equação 4 (a) y (b) y (c) L Clay Sand nb1 H z B1 nl P0 Khg Khgz gmhz Figura 17: Conceito de K h segundo TERZAGHI (1955) Comletando o deslocamento Y 1 ara direita, essas ressões assumem os valores: à esquerda: P = 0 Equação 5 a ' ' à direita: P = P0 + P = P0 + K h.y 1 Equação 6 onde P = K h.y 1 é o acréscimo de ressão na face direita decorrente do deslocamento Y 1 da estaca. Os valores de K h e sua variação com a rofundidade, deendem das características de deformação do terreno. As características de deformação de uma argila rija são, mais ou menos, indeendentes da rofundidade. Conseqüentemente, em qualquer instante, a reação do solo P ode ser considerada uniformemente distribuída ao longo da face da direita da estaca, conforme mostra a Figura 17, e o coeficiente de reação horizontal K h será:

26 6 P K h = Equação 7 Y 1 Entretanto, em virtude do adensamento da argila sob carga constante, o valor Y 1 cresce e o valor K h decresce com o temo e ambos tendem ara valores limites, que são os que devem ser considerados no rojeto. Nos solos não coesivos, os valores de Y 1 e K h são raticamente indeendentes com o temo. Entretanto, o módulo de elasticidade cresce roorcionalmente com a rofundidade, rimeira aroximação. Conseqüentemente, ode-se admitir, sem grande erro, que a ressão P necessária ara roduzir um certo deslocamento Y 1 cresce roorcionalmente com a rofundidade z, Figura 17b e: K P = = mh z Equação 8 Y h. 1 A Figura 17c, mostra o bulbo de ressões ara uma estaca de largura B 1 e a Figura 3.d o corresondente à estaca de largura nb 1. As dimensões desse bulbo, medidas na direção do deslocamento Y 1 são iguais a L e nl, resectivamente. Na horizontal, tanto nas areias como nas argilas, o módulo de elasticidade ode ser considerado constante. Logo, em qualquer caso, o deslocamento Y cresce roorcionalmente à largura da estaca, isto é, Y n = ny1. Sendo assim, deve-se levar em consideração os seguintes casos: 1º) Estacas em argilas ré-adensadas: P 1 1 K h = = Equação 9 Y.. K h1 1 B B onde K h1 é o coeficiente de reação horizontal ara uma estaca de largura unitária. º) Estacas em areias e argilas normalmente adensadas: K z = nh Equação 30 B h.

27 7 onde, n h (t/m ou kg/cm ) é a constante de reação horizontal ara a estaca na areia. 3. Determinação do Módulo de Reação Horizontal A determinação do módulo de reação horizontal é geralmente feita or um dos seguintes métodos: - rova de carga sobre estacas em escala natural; - ensaios de lacas; - correlações emíricas com outras roriedades do solo. A instrumentação de uma estaca ara medida de ressões e deflexões ao longo do fuste é um rocedimento confiável ara a obtenção de bons valores do coeficiente de reação horizontal, mas este método exige temo, cuidado e é relativamente caro. Segundo REESE e COX (1969), um método mais conveniente é medir a deflexão e/ou rotação na suerfície e, or extraolação obter o valor de K h, assumindo uma distribuição aroriada do mesmo com a rofundidade. Segundo TERZAGHI (1955), o uso de ensaios de laca ara a revisão do coeficiente de reação horizontal envolve algumas suosições simlificadoras que são: o coeficiente de reação do subleito é considerado, em todos os ontos, indeendente da ressão de contato P e; os coeficientes K h e m h tem o mesmo valor em todos os ontos na face de contato. Estas duas suosições envolvem aroximações errôneas, que devem ser levadas em consideração na adoção do coeficiente. As equações anteriores (equações 7 a 30) são sugeridas or TERZAGHI (1955) ara a obtenção do coeficiente de reação lateral a artir de ensaios de laca ara argilas ré-adensadas e areias, resectivamente. A Tabela 4 fornece valores de K h1 sugeridos or TERZAGHI (1955). Tabela 4: Valores de K h1 Consistência Rija Muito Rija Dura K h1 (ton/ft 3 )

28 8 VÉSIC (1961), analisando uma viga sobre um aoio elástico e comarando o resultado com aqueles obtidos ela teoria de reação do subleito, relacionou o módulo de reação do subleito K h com os arâmetros elásticos exressão: E s e m s do solo, ela seguinte K ( 0,65) E. d æ E ç s. è1- m s 1 4 s = d E. I ö ø Equação 31 Onde E.I = rigidez da estaca; D = diâmetro da estaca. Correlações emíricas foram roostas or alguns autores ara rever o valor de K h. Para argilas, assumindo K h constante com a rofundidade, BROMS (1964) sugeriu uma equação que relacionava o valor de K h com o módulo secante E 50 à um meio da resistência última, em ensaios não drenados em argilas. A exressão é a seguinte: E = 1,67. Equação 3 d K h 50 Usando o valor de E 50 roosto or SKEMPTON (1951), de 50 a 00 vezes a resistência não drenada S u, a exressão fica: K S ( 80-30) d u h =. Equação 33 DAVISSON (1970) sugere uma exressão mais conservativa, que é a seguinte: Su K h = 67. Equação 34 d Para solos arenosos e argilas normalmente adensada, usa-se a suosição que K h é variável com a rofundidade conforme exressão 34. Valores tíicos de n h ara areias e argilas estão demonstrados abaixo resectivamente:

29 9 Tabela 5: Valores de n h ara areias Densidade Fofa Média Densa n h, areia seca ou úmida (ton/ft 3 ) n h, areia submersa (ton/ft 3 ) Tabela 6: Valores de n h ara argilas Tio de solo Arg. N.A. Arg. N.A. Org. Turfa Loess n h (lb/in 3 ) 0,6 -,0 0,4-3,0 0,1-0, Para o cálculo de uma estaca carregada transversalmente, existem vários modelos. O usual é estabelecido or Winkler - ara as vigas sobre aoio elástico, elo qual o deslocamento y de um elemento carregado é indeendente da carga e do deslocamento dos elementos adjacentes. Assim o solo ode ser substituído or uma série de molas às quais se imõem um comortamento dado elas curvas - y. Embora este modelo não reresente, na totalidade, a realidade física do roblema, é o que tem sido mais utilizado no estudo de deslocamentos e esforços e estacas carregadas transversalmente, tendo-se interretado e ublicado maior número de trabalhos que, or exemlo, utilizando-se o modelo de elementos finitos ou de soluções baseadas na teoria de meio elástico. Com base no trabalho de TERZAGHI, MATLOCK E REESE desenvolveram estudos emregando o conceito e módulo de reação (curvas - y ). Com este rocedimento, ode-se levar em conta os casos de não-linearidade entre ressão e deslocamento bem como analisar quaisquer variações de K com a rofundidade (Fig. 18). Do onto de vista matemático, cabem as seguintes observações: (1) Quando se considera um coeficiente de reação horizontal constante com a rofundidade a equação diferencial da flexão da estaca tem solução bastante simles, idêntica à da viga sobre aoio elástico.

30 30 () Quando se considera o coeficiente de reação horizontal variando linearmente com a rofundidade, ainda se tem uma solução analítica. (3) A adoção de curvas - y imlica na utilização de soluções comutacionais (métodos numéricos). Figura 18: Curvas -y definidas ara cada camada do subsolo e mobilização da resistência lateral em função do deslocamento sofrido ela estaca (Velloso, 00). Neste trabalho não serão aresentados os rocedimentos de criação das curvas - y. A bibliografia recomendada ara tal é American Petroleum Institute (API, 1993). 3.3 Resolução do Modelo de Winkler No modelo de solo de Winkler, o momento fletor M, o esforço cortante S e a ressão de solo lateral P sobre uma estaca carregada lateralmente (Fig. 19), odem ser calculadas elas seguintes equações diferenciais: Equação diferencial de uma estaca longa imersa em meio elástico: 4 d y d y EI dz dz K y æ d yw ö E. I ç = -M dz Equação 35 è ø

31 æ d y ö æ d y ö E. I ç = -S dz E I P B Q K Y 3. ç = -. = - = - h. 4 è ø dz è ø Equação 36 H M Deslocamento Rotação Momento Cortante Pressão y dy q= M=EI d²y d³y M=EI M=EI d 4 y dz dz² dz³ 4 dz (a) (b) (c) (d) (e) Figura 19: Linhas de estacas longas (Velloso, 00). Onde E.I = rigidez da seção da estaca; B = largura ou diâmetro da estaca; E = módulo de elasticidade da estaca; I = momento de inércia da seção; Z = rofundidade no solo. Soluções ara as equações acima odem ser obtidas or métodos analíticos ou numéricos. Soluções analíticas são satisfatórias no caso de K h ser constante com a rofundidade. Para outras distribuições de K h, as soluções mais convenientes são obtidas através de métodos numéricos (diferenças finitas e elementos finitos). Métodos de diferenças finitas foram escritas or PALMER E BROWN (1954), REESE E MATLOCK (1956), REESE E COX (1969). A seguir serão descritas as bases teóricas ara resolução das equações diferenciais acima descritas através do método das diferenças finitas, descritas or VARGAS (198).

32 3 Esses momentos, esforços cortantes e reações do terreno odem ser calculados, como dito anteriormente, or meio de diferenças finitas, dividindo-se uma estaca de comrimentos l em m segmentos de comrimento l = L m e, sabendo que em cada cota z n = m. l, atuarão os momentos M m, os esforços cortantes S m e aarecerá a deflexão Y m (Figura 0). æ d y ö æ ym ym + ym- 1 ö E. I ç = E I ç = dz.. 4 è ø m è l ø M m Equação 37 3 æ d y ö æ ym+ -. ym ym- 1 - ym- ö E. I ç = E I ç = dz è ø m è. l ø S m Equação 38 4 æ d y ö æ ym ym- 16. ym+ 1 + ym+ ö E. I ç = E. I. ç = K h. 4 4 dz è ø m è l ø Y m Equação 39 m = m = 1 h0 P L m = 1 m = m = 3 m = 4 m = 5 m = 6 m = 7 m = Figura 0: Esquema ara resolução das equações diferenciais elo método das diferenças finitas (Poulos and Davis, 1980). l No too da estaca (onto m = 0 ) ter-se-á M 0 = P.h0 e V 0 = P. Na base da estaca (onto m = L l ) ter-se-á M = 0 e V = 0. Para que se ossam calcular os f f momentos e esforços constantes no too e na base da estaca será necessário admitir mais dois segmentos fictícios no too e dois na base da estaca.

33 Método de Hetenyi Este método descrito or POULOS (1978), é alicado quando se tem um carregamento horizontal H atuando em uma estaca de too livre e de comrimento l em um solo que tenha K h constante com a rofundidade. As seguintes equações foram obtidas or HETENYI (1946) ara cálculo do deslocamento y, giro q, momento M e esforço cortante Q a uma rofundidade z abaixo da suerfície.. H. b y. = K yh Equação 40 K h. d. H. b q =. Kq H Equação 41 K. d h H M =. K MH Equação 4 b Q = H. K QH Equação 43 K h. d Onde : b = 4 Equação E. I As corresondentes exressões ara o momento alicado M 0 na suerfície são:. M 0. b y =. K ym Equação 45 K. d h 3 4. M 0. b q =. Kq M Equação 46 K. d h M = M. Equação 47 0 K MM Q = -. M 0. b. Equação 48 K QM

34 34 Soluções ara o caso de estacas com o too engastado, odem ser obtidas da solução ara estacas de too livre, anteriormente citadas, adicionando à solução de carregamento lateral H, a solução de um momento alicado de: M 0 æ H ö K = -ç. è b ø K qh qm ( z - 0) ( z - 0) Equação 49 Este momento é alicado ara roduzir um giro zero no too da estaca. Valores dos coeficientes adimensionais factors for constant K h (Poulos and Davis, 1980) K yh, K q H e outros são dados na Tabela 8. Influence 3.5 Método de Matlock e Reese MATLOCK E REESE (1961) rouseram este método ara os casos onde K h é variável com a rofundidade. Para os casos de estacas longas (Z>4), as seguintes equações ara cálculo de deflexões y e momentos M ao longo da estaca foram roostas: 3 H. T y = C y. Equação 50 E. I M = C. H T Equação 51 z m. E. I Onde: T = 5 Equação 5 n h Valores de C y e C m estão lotados nas Figuras 1 e resectivamente. O coeficiente de rofundidade Z é Z = z T.

35 35 Figura 1: Curvas com os coeficientes de deflexão estacas longas (Poulos and Davis, 1980). C y ara Figura : Curvas com os coeficientes de momento estacas longas (Poulos and Davis, 1980). C m ara

36 Método de Miche MICHE (1930) resolveu o roblema da estaca em solo com um coeficiente de reação horizontal variando linearmente com a rofundidade, adotando o tratamento da viga sobre base elástica, isto é, levando em conta a deformabilidade da estaca, ao contrário de trabalhos mais antigos, como o de DÖRR (19), em que a estaca é considerada rígida. Figura 3: Estaca submetida a uma força horizontal alicada no too, coincidente com a suerfície do terreno (Velloso, 00). k Assim, considerando uma estaca de diâmetro ou largura B, com = m z = n z B a equação diferencial do roblema será escrita: h h h / 4 d y z E I + n By = 0 4 h Equação 53 dz B ou 4 d y E I + n zy = 0 4 h Equação 54 dz E. I E. I Com T = 5 = 5 foram obtidos os seguintes resultados: Equação 55 n m B h - Deslocamento horizontal no too da estaca: h

37 37 y o 3 T H =,40 Equação 56 E I - Tangente do diagrama de reação do solo: H tg b =,40 Equação 57 BT - Momento fletor máximo (a uma rofundidade 1,3 T): M máx = 0, 79HT Equação 58 A uma rofundidade da ordem de 4 T, os momentos fletores e os esforços cortantes são muito equenos e odem ser desrezados. Se o comrimento da estaca for menor que 1,5T ela será calculada como rígida e: M máx = 0, 5HT Equação 59 Se o comrimento da estaca estiver comreendido entre 1,5T e 4 T o momento fletor máximo ode ser obtido, com razoável aroximação, a artir da Figura 4. Figura 4: Cálculo aroximado do momento fletor máximo (Velloso, 00). 3.7 Método de Davisson e Robinson V t e Consideremos uma estaca arcialmente enterrada submetida no too às forças H t e ao momento M t (Figura 5). DAVISSON E ROBINSON determinaram um comrimento Lstal que, somado ao comrimento livre L u, conduza a uma haste

38 38 rigidamente engastada, de comrimento L = L + L, que tenha o mesmo e u s deslocamento y t da estaca ou a mesma carga crítica de flambagem. Figura 5: Estaca arcialmente enterrada (Velloso, 00). A equação diferencial de uma viga sobre a base elástica submetida a uma carga axial V t alicada no too é: 4 d y d y E I + V + K y = 0 4 t h Equação 60 dz dz O coeficiente de reação horizontal suerfície do terreno. A artir daí, são considerados dois casos: 1º. caso: K h = constante K h é igual à zero do too da estaca até a Fazendo: E R = 4, K h I z L = e R U Vt R = Equação 61 E I A equação 3.43 será escrita 4 d y d y + U + y = 0 4 dz dz Equação 6

39 39 São introduzidas as seguintes grandezas adimensionais (Figura 6) L = L R L S = s Lu R J R = Equação 63 R R O comrimento equivalente será L = ( S J )R. e R + Adotando a solução de HETENYI ara a viga de comrimento semi-infinito ou, aroximadamente, ara L > 4, obtêm-se as curvas da Figura 3.17a, com o critério já máx R mencionado de igualdade de deslocamento y t da estaca equivalente rigidamente engastada na rofundidade L s. Verifica-se que, ara uma amla variação de valor S = 1, 33 ode ser adotado na maioria dos casos. R A carga crítica da flambagem será dada or: J R, o S R varia entre 1,3 a 1,6. Um Figura 6: Reresentação adimensional de uma estaca arcialmente enterrada (Velloso, 00). V crit = E I ( S + J ) 4R R R Equação 64

40 40 com o S R tirado da Figura 7b. A extremidade inferior da estaca foi, semre, considerada livre e o too, livre ou engastado com translação ossível. A Figura mostra que, ara J >, ode-se tomar S = 1, 5. R R Figura 7: Coeficientes ara (a) flexão e (b) flambagem (Velloso, 00). º. caso: K n z Fazendo h = h E. I T = 5, n h z Z =, T V VtT = Equação 65 E I a equação 64 será escrita 4 d y d y + V + Zy = 0 4 dz dz Equação 66 São introduzidas as grandezas adimensionais Z máx = L T L S = s Lu T J T = Equação 67 T T

41 41 Para os mesmos critérios adotados no º caso, os resultados estão indicados nas Figuras 7a (flexão) e 7b (flambagem). Para a flexão, verifica-se que o valor S = 1, 75 ode ser considerado ara a maioria dos casos. Da mesma forma, ara a flambagem, tem-se o valor reresentativo S = 1, 8. T O rocedimento de DAVISSON E ROBINSON é extremamente útil quando se tem que incororar as estacas à suerestrutura ara efeito de análise estrutural. É o caso, or exemlo, de ontes, cais de ortos e estruturas offshore. Quando o comrimento L s é relativamente elevado, o cálculo dos momentos fletores nas estacas ou tubulões, não levando em conta a reação do solo na arte enterrada, ode conduzir a valores muito desfavoráveis. Em DINIZ (197) foi verificado que um resultado satisfatório ode ser obtido da seguinte forma: (1) Com auxílio dos gráficos de DAVISSON E ROBINSON, estabelece-se o quadro rigidamente engastado equivalente à estrutura sobre estacas; () Determinam-se os esforços seccionais (momento fletor e esforço cortante) no nível do terreno; (3) Com esses esforços e alicando um dos métodos anteriores, determina-se o momento fletor máximo na estaca. T 3.8 Método de Broms BROMS (1965), roôs uma solução ara se obter a deflexão lateral no too da estaca. Como realizado elo autor, aqui também se dará à solução ara o caso de solos coesivos e arenosos, resectivamente Deformações Laterais em Solos Coesivos b L, onde: As deformações deendem, em rimeiro lugar, do comrimento adimensional K. B E. I h b = 4 Equação 68

42 4 Sendo E.I = rigidez da seção da estaca; B = largura ou diâmetro da estaca; K h = coeficiente de recalque horizontal. A deformação lateral na suerfície do solo, Y 0, é obtida a artir da Figura 8. Figura 8: Deformações laterais na suerfície ara solos coesivos (Alonso, 1986) Deformações Laterais em Solos Não-Coesivos Em solos arenosos, as deflexões deendem, também do comrimento adimensional, nl, onde: n E I h n = 5 Equação 69. As deformações laterais odem ser obtidas, em função do comrimento adimensional nl, na Figura 9.

43 43 Figura 9: Deformações laterais na suerfície ara solos nãocoesivos (Alonso, 1986). 3.9 Método de Bowles BOWLES (1974), escreveu um rograma de cálculo de estacas carregadas lateralmente. O rograma utiliza a teoria de uma viga sobre um aoio elástico, mas rotada de 90º. Na Figura 30 está reresentada uma estaca, que definirá a teoria ara utilização do rograma. A solução é conhecida como solução matricial. Figura 30: Esquema de definição do método de BOWLES (1974)

44 44 Se relacionarmos um nó da estrutura, a equação P = A. F é válida. Esta equação relaciona as forças externas P às forças internas F, usando uma constante de roorcionalidade A. Para um conjunto de nós a equação fica: P = A. F Equação 70 i i i Também relacionando as deformações internas dos membros estruturais dos nós (e), aos deslocamentos externos (X), tem-se: e = B. X Equação 71 Onde B é a matriz, que segundo WANG (1970), é a transosta da matriz A (B=A T ); ortanto: e = A T. X Equação 7 As forças internas F são relacionadas às deformações internas e através da seguinte exressão: F = S. e Equação 73 As equações 3.5 são as fundamentais do deslocamento e rigidez do método de análise matricial. Substituindo a equação 3.54 na equação 3.55, ficará: P = A. S. A T. X Equação Soluções ara estacas ou tubulões curtos baseada no coeficiente de reação horizontal. Quando a estaca ou o tubulão não assa no critério estabelecido nas soluções ara estacas ou tubulões longos baseadas no coeficiente de reação horizontal ara que seja tratado como viga flexível com aoio elástico, deve-se lançar mão de uma solução ara elemento rígido com aoio elástico, tio Winkler. Uma dessas soluções é o chamado Método Russo.

45 Método Russo A solução de estacas curtas imersas em meio elástico é obtida a artir das três equações de equilíbrio da estática, uma vez que se admite que as mesmas sofram deslocamentos de coro rígido. Assim, o deslocamento final da estaca ode ser decomosto em três deslocamentos básicos (horizontal, vertical e giro), aos quais o solo resonde com ressões roorcionais ao deslocamento (conceito do coeficiente de reação horizontal). O método mais difundido entre nós é o chamado método russo (Fig. 31), adatado or Paulo Faria (ara caso de tubulões com base alargada). Chamando K y o coeficiente de reação vertical do solo que serve de aoio à base do tubulão; K / l = nhl D f, o coeficiente de reação horizontal, na rofundidade l e b A = área da base do tubulão, as equações de equilíbrio conduzem às seguintes exressões: Figura 31: Estaca curta, método russo (Velloso, 00). (a) Deslocamentos no too e giro do tubulão D y = H K ld l f + la 3 D z = P K A V b a = 1 1 Hl + 3M 3 3 K ll D f + K 16 v A D b f Equação 75

46 46 (b) Pressões ao longo do fuste e na base K l K l s z = zd y + z a Equação 76 l l Cujos valores máximos são: s máx z KlD y - 4al P K v Db s ' a l y s a, b = ± a Equação 77 A = = K ( la - D ) b (c) Ponto de giro z o D y = Equação 78 a Para se considerar o tubulão estável, basta atender as seguintes condições: ( ) s a + s b a' < gl K - K a s s s 1, 3 Equação 79 b s s Sendo g = eso esecífico do solo que envolve o tubulão K a a K = coeficientes de emuxo de Rankine s s = tensão admissível do solo no aoio do tubulão 4. TRATAMENTO PELA TEORIA DE ELASTICIDADE 4.1 Teoria Básica As deflexões laterais odem ser calculadas a artir da equação de MINDLIN (1936) assumindo um solo ideal, elástico e isotróico com um módulo de elasticidade E s, e um coeficiente de Poisson, m s, constantes. O modelo também dá soluções aroximadas ara módulos variáveis (areias e argilas normalmente adensadas) e ara sistema em camadas. Ainda não é ossível resolver com a teoria casos quando o módulo no descarregamento for maior que no carregamento. Assume-se, nos cálculos, que o solo ossa resistir altas tensões laterais de tração que se desenvolvem no solo. Como a resistência à tração de um solo é baixa, a deflexão

47 47 lateral atual e a rotação irão ser maiores que aquelas calculadas ela teoria da elasticidade. POULOS esquisou o comortamento de uma estaca vertical simles flutuante, sujeita a uma carga horizontal e um momento. Os fundamentos do método serão exostos ara o caso de uma estaca flutuante, Figura 3. Figura 3: Tensões que atuam (a) na estaca e (b) no solo (Velloso, 00). 4. Método de Poulos (1971) a) Estaca isolada em solo com módulo de elasticidade constante com a rofundidade. Alicável a argilas rijas, que são consideradas material elástico ideal, semiinfinito, homogêneo, isotróico, com Módulo de Elasticidade (Es) e Coeficiente de Poisson (νs), que não é alterado ela resença da estaca. Poulos (1971) obteve soluções adimensionais em função do fator de flexibilidade da estaca (KR), que ermite a estimativa dos deslocamentos (ρ) e das rotações (θ) do too da estaca ao nível do terreno, das ressões z alicadas ao solo e momentos fletores ao longo do fuste da estaca. Poulos (1971) observa que a variação de νs não tem influência significativa nos resultados, e assim, as soluções foram desenvolvidas ara νs = 0,5. E I K = R 4 E L = fator de flexibilidade da estaca Equação 80 s