RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO SUMÁRIO

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1 RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO SUMÁRIO 1- Números Inteiros Múltiplos e Divisores de Números Naturais Operações com Números Inteiros Números Racionais 14 - Operações com Números Racionais 14 - Representação Decimal 18 - Operações na Forma Decimal 19 - Expressões Numéricas Números e Grandezas Proporcionais 22 - Razões e Proporções 22 - Divisão Proporcional 26 - Regras de Três 31 - Porcentagem Raciocínio Lógico 48

2 INTRODUÇÃO: CONJUNTOS NUMÉRICOS A) NÚMEROS NATURAIS N = { 0, 1, 2, 3,..., } B) NÚMEROS INTEIROS Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., } C) NÚMEROS RACIONAIS Q= { a/b aîz e bîz* } De acordo com a definição dada acima, um número racional é um número inteiro ou um número fracionário. D) NÚMEROS IRRACIONAIS I = { x xîr e xïq } = R Q E) NÚMEROS REAIS R = { x½xîq ou x ÎI } = Q È I N Z Q R 2

3 1- NÚMEROS INTEIROS MÚLTIPLOS E DIVISORES DE NÚMEROS NATURAIS Múltiplo e Divisor Se a divisão dos números naturais a e b é exata (resto zero), diz-se que: 1) a é múltiplo de b ou 2) a é divisível por b ou ainda 3) b é divisor de a. Por exemplo, podemos dizer que 32 é múltiplo de 8, 32 é divisível por 8, ou ainda, 8 é um divisor de 32. Conjunto dos Múltiplos Para obter os múltiplos de um número natural a qualquer, basta multiplicá-lo por todos os números naturais. Notação: M(a). Exemplos: a) M(2) = { 0, 2, 4, 6,...} ( números pares ) b) M(3) = { 0, 3, 6, 9,...} c) M(0) = { 0 } Conjunto dos Divisores Para obter os divisores de um número natural qualquer a, basta dividi-lo, sucessivamente, pelos números naturais a partir do 1 e verificar quais são as divisões exatas. Notação : D(a). Exemplos: a) D(4) = { 1, 2, 4 } b) D(15) = { 1, 3, 5, 15 } c) D(1) = { 1 } d) D(0) = { 1, 2, 3,... }. Critérios de Divisibilidade Podemos verificar se um número natural é divisível por outro, simplesmente dividindo o primeiro pelo segundo. Mas para números grandes, este processo pode ser muito trabalhoso. Por isso, veremos algumas regras práticas, ditas Critérios de Divisibilidade, mais utilizados na prática. Um número natural é: 1º) Divisível por 2: Quando é par, isto é, quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplos: 134, 280, º) Divisível por 3: 3

4 Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número divisível por 3. Exemplos: a) 135 é divisível por 3. b) 3574 não é divisível por 3. 3º) Divisível por 4: Quando os dois últimos algarismos da direita formarem um número divisível por 4. Exemplos: a) 4872 é divisível por 4. b) 301 não é divisível por 4. c) é divisível por 4. 4º) Divisível por 5: Quando termina em 0 ou 5. Exemplos: a) é divisível por 5. b) 895 é divisível por 5. c) 1346 não é divisível por 5. 5º) Divisível por 6: Quando é divisível por 2 e por 3. Exemplos: a) 504 é divisível por 6. b) 2502 é divisível por 6. c) 6718 não é divisível por 6. 5º) Divisível por 9: Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número divisível por 9. Exemplos : a) 7344 é divisível por 9 b) 5613 não é divisível por 9. 6º) Divisível por 10: Quando termina em zero. Exemplos : a) 350, , , 62030, são divisíveis por 10. 7º) Divisível por 15: Quando é divisível por 3 e por 5. Exemplos : a) 90, 120, 285 e 960 são divisíveis por 15. b) 365 não é divisível por 15. Números Primos 4

5 Um número primo é um número natural que admite exatamente dois divisores distintos. O conjunto dos números primos é o conjunto P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... } Os números naturais que admitem mais de dois divisores são ditos números compostos ; O número 1 não é primo nem composto; O único número primo par é o 2. Decomposição em Fatores Primos ( ou Fatoração ) Divide-se o número dado, sucessivamente, pelos números primos, até obter o quociente 1. Exemplo: decompor 90 em fatores primos Logo, 90 = Todo número natural não primo e maior que 1 pode ser escrito como um produto de fatores primos. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Exemplo: Obter o mínimo múltiplo comum de 6 e 9, ou seja, mmc(6,9). M(6) = { 0, 6, 12, 18,...} M(9) = { 0, 9, 18, 27,...} Os múltiplos comuns formam o conjunto intersecção M(6) Ç M(9) =... = { 0, 18, 36,...} e o mmc(6,9) é o menor número não nulo deste conjunto, ou seja, mmc(6,9) = 18. Processo prático: Decomposição simultânea em fatores primos Exemplo: obter mmc(6,8,15). 6, 8, 15 2 Daí, mmc(6,8,15) = = 120 3, 4, , 2, , 1, , 1, 5 5 1, 1, 1 5

6 MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Exemplo: Obter o máximo divisor comum de 6 e 20, ou seja, mdc(6,20). D(6)= { 1, 2, 3, 6 } D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 } Os divisores comuns formam o conjunto intersecção D(6) Ç D(20) = { 1, 2 } e o maior número deste conjunto é o mdc(6,20), ou seja, mdc(6,20) = 2. Processo prático: Decomposição simultânea em fatores primos Exemplo: obter o mdc(18,60) 18, , , , 5 3 1, 5 5 1, 1 Os números em negrito são os divisores comuns. O produto deles é o mdc(18,60), ou seja, mdc(18,60) = 2. 3 = 6. EXERCÍCIOS 01) Dois trenzinhos de um zoológico saem do ponto inicial no mesmo instante. Se o 1º trenzinho parte de 20 em 20 minutos e o 2º de 25 em 25 minutos, após quanto tempo ocorrerá uma nova partida simultânea? Resp.: após 100 min 02) (ESAF) Numa corrida de automóveis, o 1º corredor dá a volta completa na pista em 10 s; o 2º em 11s e o 3º em 12s. Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento que passarão juntos na linha de saída? Solução: 1º) mmc(10,11,12) = 660 s 2º) 660 /10 = 66 voltas; 660 / 11 = 60 voltas; 660 / 12 = 55 voltas Resp.: 66, 60 e 55 03) (FAURGS) O menor número inteiro que, ao ser dividido por 3, 5, 7 ou 9, deixa resto 2 é: 6

7 a) um número par b) divisível por 21 c) menor que 100 d) maior que 900 e) maior que 300 e menor que 400 Solução: 1º) mmc(3,5,7,9)= 315 2º) = 317. Resp.: e 04) (FCC) Se os trabalhadores de uma certa empresa forem organizados em grupos de 4, 5 ou 6 pessoas, sempre sobrarão 3 trabalhadores. A empresa pretende aumentar o número de seus trabalhadores para 80. Para isso, o número de novos trabalhadores que ela deverá contratar é a) 12 b) 17 c) 20 d) 25 e) 60 Solução: 1º) mmc(4,5,6) = 60 2º) = 63 3º) = 17. Resp. : b 05) Para a confecção de sacolas serão usados dois rolos de fio plástico. Esses rolos, medindo 450 cm e 756 cm, serão divididos em pedaços iguais e de maior tamanho possível, não devendo haver sobras. Calcule: a) o comprimento de cada pedaço; b) o número de pedaços obtidos em cada rolo. Solução: 1º) mdc(450, 756) = 18 cm 2º) 450 / 18 = 25 pedaços; 756 / 18 = 42 pedaços. Resp.: a) 18 cm b) 25 e )(FCC) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. Deverá distribuílos em recepientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recepientes deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o número de recepientes necessários para essa distribuição é a) 24 b) 16 c) 12 d) 8 e) 4 7

8 Solução: 1º) mdc(132,156) = 12 comprimidos 2º)132/12 =11 recepientes p/ analgésico; 156/12 =13 recepientes p/antibiótico. Total = = 24 recepientes. Resp.: a 07) Determine o número de divisores de a) 40 b) 72 c) N= a m. b n, onde a e b são números primos Resp.: a) 8; b) 12; c) (m+1).(n+1). 08) O número natural N= p tem 154 divisores. Determine p. Resp.: p=5 09) O número natural N= 94816a, onde a é o algarismo das unidades, é divisível por 15. O valor de a é a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Solução: Se N é divisível por 15, N é divisível por 3 e por 5. Então: 1) N é div. por 3 Þ a = 28+a é div. por 3; 2) N é div. por 5 Þ ou a = 0 ou a = 5. Basta agora testar a em 28+a, para ver que, se a = 0, N não é div. por 3 e se a = 5, N é div. por 3. Resp.: e 10) (UFRGS) O resto da divisão do produto x por 6 é a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 Solução: Como x é div. por 6, porque o fator é div. por 6, o resto na divisão de x por 6 é zero. Resp.: a 11) (UFRGS) O algarismo das unidades do número natural ( ) é a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 7 Resp.: 7 12) (FAURGS) Considere os números abaixo, sendo n um número natural positivo: I) 10 n + 2 II) 2.10 n + 1 III) 10 n+3 10 n Quais são divisíveis por 6? Resp.: Apenas I e III 8

9 P.M.S. 13) (FCC) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas bobinas B 1 e B 2. Comprimento(m) Largura(m) Espessura(mm) B 1 23,10 0,18 1,5 B ,18 1,5 Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B 1 como em B 2, resulte em folhas retangulares, todas com a mesma largura do papel. Nessas condições, o menor número de folhas que se poderá obter é a) 135 b) 137 c) 140 d) 142 e) 149 Solução: o menor número de folhas equivale a folhas com o maior comprimento possível. Assim, podemos usar o mdc. 1) mdc(2310, 1800) = 30 cm (transformamos m em cm); 2) 2310 / 30 = 77 folhas ; 1800 / 30 = 60 folhas. Total = = 137 folhas. Resp.: b 14) (FCC) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 Solução: Problema semelhante ao anterior ( Pega ratão ). A menor quantidade de pacotes equivale a pacotes com o maior número possível de canetas em cada um. 1) mdc(224,160)= 32 2) 224 / 32 = 7; 160 / 32 = 5 3)Total = 12 pacotes. Resp.: c 9

10 15) (FAURGS) Os processos de uma repartição pública foram classificados em três grupos como indica o quadro abaixo. Grupos A B C Nº de processos Esses processos devem ser distribuídos entre um conveniente numero de advogados, de modo que cada um receba um conjunto deles formado pelo mesmo número de processos de cada um dos três grupos e que esse número seja o menor possível. Cada advogado deverá receber, então, um número de processos igual a a) 5 b) 6 c) 15 d) 30 e) 45 Resp.: c 16) (FCC) Astolfo pretendia telefonar para um amigo, mas não conseguia se lembrar por inteiro do número de seu telefone. Lembrava-se apenas do prefixo (constituído pelos quatro algarismos da esquerda) e de que os outros quatro algarismos formavam um número divisível por 15. Ligou para sua namorada que lhe deu a seguinte informação: lembro-me apenas de dois dos algarismos do número que você quer: o das dezenas que é 3, e o das centenas que é 4. Com base no que ele já sabia e na informação dada pela namorada, o total de possibilidades para descobrir o número do telefone de seu amigo é a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Solução: de acordo com o enunciado do problema, os últimos 4 números do telefone são x43y, sendo x43y um número div. por 15. Então, x43y é div. por 3 e por 5. 1) x43y é div. por 3 Þ x+4+3+y = x+y +7 é div. por 3; 2) x43y é div. por 5 Þ ou y = 0, ou y = 5. Se y = 0, x+y+7 = x+7 será div. por 3 para x = 2, 5 ou 8 ( 3 possibilidades); se y = 5, x+y+7 = x+12 será div. por 3 para x = 0,3,6 ou 9 ( 4 possibilidades). Assim, temos um total de 3+4 = 7 possibilidades. Resp.: c 17. Suponha que, sistematicamente, três grandes instituições X, Y e Z realizam concursos para preenchimento de vagas: X de 1,5 em 1,5 anos, Y de 2 em 2 anos e Z de 3 em 3 anos. Considerando que em janeiro de 2006 as três realizaram concursos, é correto concluir que uma nova coincidência ocorrerá em a) julho de 2015 b) junho de 2014 c) julho de 2013 d) janeiro de 2012 e) fevereiro de 2011 Resp.: d 10

11 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS Adição Para quaisquer números inteiros a, b e c valem as seguintes propriedades : A1) Fechamento: (a+b) é um número inteiro A2) Associativa: (a+b) +c = a+ (b+c) A3) Elemento neutro: a + 0 = a ( zero é o elemento neutro na adição) A4) Elemento oposto ( ou simétrico ): a + (-a) = 0 (-a é o oposto de a) A5) Comutativa: a+b = b+a Subtração A subtração é a operação inversa da adição. Assim, por definição, a diferença entre dois números inteiros é igual a soma do primeiro com o oposto do segundo, ou seja, a b = a + (-b). Multiplicação O sinal do produto de dois números inteiros segue a seguinte regra: sinais iguais Þ produto positivo; sinais diferentes Þ produto negativo. (+5). (+10) = 50 (-3).(-15) = 45 (+6).(-8) = -48 Exemplos Propriedades Para quaisquer números inteiros a, b, e c valem as seguintes propriedades: M1) Fechamento: (a. b) é um número inteiro M2) Associativa: a(b.c) = (a.b)c M3) Elemento neutro: a.1 = a ( 1 é o elemento neutro ) M4) Comutativa: a.b = b.a M5) Distributiva: a(b ± c) = a.b ± a.c Divisão O sinal do quociente de dois números inteiros segue a mesma regra de sinais dada na multiplicação, ou seja, sinais iguais Þ quociente positivo; sinais diferentes Þ quociente negativo. Exemplos (+8) : (+4) = 2 (-15) : (-3) = 5 (-60) : (+10) = -6 11

12 Propriedades Nenhuma das propriedades da multiplicação de inteiros vale na divisão. Observação: cuidado com o zero! Para qualquer número inteiro a ¹ 0, temos 0 : a = 0. Mas a : 0 é impossível. Por exemplo, 0 : 3 = 0, mas 3 : 0 é impossível.; Potenciação Sendo a um número inteiro diferente de zero e n um número natural diferente de zero, define-se a potência a n por a n = a.a.a.a..a ( produto com n fatores ) O sinal da potência a n pode ser obtido pela seguinte regra prática : quando o expoente é par, a potência é um número positivo; quando o expoente é impar, a potência tem o mesmo sinal da base. Exemplos (-4) 2 = = 32 (-2) 3 = -8 (-1) 100 = 1 (-1) 201 = -1 Notas 1ª) a 0 = 1 ( a ¹ 0 ). 2ª) (-a) 2 ¹ - a 2 ( a ¹ 0) Por exemplo, (-3) 2 = 9 e 3 2 = -9. Propriedades A potenciação de números inteiros goza das seguintes propriedades: P1) Fechamento: a n é um número inteiro P2) Produto de potências de mesma base: a m. a n = a m+n P3) Quociente de potências de mesma base : a m : a n = a m-n P4) Potência de potência: (a m ) n = a mn P5) Potência de um produto: (a.b) n = a n. b n P6) Potência de um quociente: (a : b) n = a n : b n 12

13 EXERCÍCIOS 01) (UNIRIO) O resto da divisão do inteiro n por 12 é igual a 7. O resto da divisão de n por 4 é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resp.: d Dica para os testes : 02, 03 e 04 Algoritmo de Euclides Sendo q o quociente e r o resto na divisão entre os inteiros positivos a e b, tem-se sempre 0 r b. 02) (FAURGS) Em uma divisão com números naturais em que o resto é 7 e o divisor tem apenas um algarismo, os divisores possíveis são a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 b) 4, 5, 6 c) 7 d) 7, 8, 9 e) 8, 9 Solução : a = bq + 7, onde a= dividendo, b= divisor, q = quociente e resto = 7. De acordo com o Algoritmo de Euclides (dado acima), 7 b, ou seja, b 7. Como o divisor deve ter apenas 1 algarismo, b = 8 ou 9. Resp.: e 03) (UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por 17, cujo resto é igual ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas divisões é? Resp.: 10 04) Numa divisão de inteiros, a soma do dividendo com o divisor é 62. O quociente é 5 e o resto é o maior possível. A diferença entre o dividendo e o divisor é a) 44 b) 45 c) 46 d) 57 e) 59 Resp.: a 3 x 05) (FAURGS) A soma dos números inteiros que tornam a fração 2 x é a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2 Resp.: a positiva 06) Dividindo o número inteiro x pelo número inteiro y, obtém-se quociente 1 e resto 5. Se o quádruplo de y dividido por x dá quociente 2 e resto 8, então: a) x+y = 32 b) y-x = 5 c) x-y = 5 d) x.y = 76 e) x = 2y Resp.: c 13

14 08) (FCC) O chefe de uma seção de certa empresa dispunha de 60 ingressos para um espetáculo, que pretendia dividir igualmente entre seus funcionários. Como no dia da distribuição dos ingressos faltaram 3 funcionários, coube a cada um dos outros receber 1 ingresso a mais do que o previsto. O número de ingressos entregues a cada funcionário presente foi a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Resp.: c 2- NÚMEROS RACIONAIS OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS Adição A adição de números racionais goza das mesmas propriedades da adição de números inteiros: Fechamento, Associativa, Elemento neutro, Elemento oposto e Comutativa ( veja em Números Inteiros ). Multiplicação A multiplicação de números racionais goza das mesma propriedades da multiplicação de números inteiros, ou seja: Fechamento, Elemento neutro, Comutativa e Distributiva (veja em Números Inteiros), mais a propriedade do elemento inverso: M6) Elemento inverso: para todo número racional a ¹ 0, existe um número racional a -1 = a 1 tal que a. a -1 = 1. O número a -1 = a 1 é dito inverso de a. Divisão O sinal do quociente de dois números racionais segue a mesma regra de sinais dada na multiplicação, ou seja, sinais iguais Þ quociente positivo; sinais diferentes Þ quociente negativo. Propriedades Nenhuma das propriedades da multiplicação de racionais vale na divisão. 14

15 Potenciação A potenciação de números racionais goza das mesmas propriedades da potenciação de números inteiros (veja Números Inteiros). Expoente negativo a Para todo número racional ¹ 0, temos: b Exemplos: a) æ 5 ö ç è 6 ø 2 æ 6 ö ç è 5 ø 2 a -n æ ö ç è b ø n æ b ö ç è a ø b) æ 3 ö ç è 7 ø 1 1 æ 7 ö ç è 3 ø c) 3-4 æ 3 ö æ 1 ö 1 = ç ç 4 è 1 ø è 3 ø 3 4 EXERCÍCIOS 01) Efetue: a) 2/5 + 3/5 1/5 b) 2/3 3/5 1/2 c) 4 3/2 + 2/3 d)3 1/ /5 Resp.: a) 4/5 b)-13/30 c) 19/6 d) 99/20 02) Efetue: a) 2/3 x 1/5 b) 2/5 x 4/3 c) 3/5 x (-2/7) d) (-1/6) x (-1/4) Resp.: a) 2/15 b) 8/15 c) 6/35 d) 1/24 03) Efetue: a) 2/3 : 4/5 b) (-1/4) : (-1/5) c) 2/3 : (-2/3) d) (-3) : (-1/2) Resp.: a) 5/6 b) 5/4 c) -1 d) 6 04) Efetue: a) (3/5) 2 b) (-1/2) 3 c) (-1/2) 5 d) (3/7) 0 Resp.: a) 9/25 b)-1/8 c)-1/32 d) 1 15

16 05) (FCC) A expressão N / 0,0125 é equivalente ao produto de N por a) 1,25 b) 12,5 c) 1/80 d) 80 e) 125/100 Resp.: d 06) (FCC) Um certo prêmio foi repartido entre 5 pessoas de modo que cada uma recebesse 1/3 da quantia recebida pela anterior. Se a terceira pessoa recebeu R$ 81,00, o total distribuído foi a) R$ 729,99 b) R$ 882,00 c) R$ 918,00 d) R$ 1 089,00 e) R$ 1 260,00 Resp.: d 07) (FCC) Do total de processos arquivados por um técnico judiciário, sabe-se que : 3/8 foram arquivados numa primeira etapa e 1/4 numa segunda. Se os 9 processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o total de processos era a) 18 b) 24 c) 27 d) 30 e) 34 Resp.: b 08.(FCC) Bento e Caio tinham juntos R$ 96,00. Bento emprestou R$ 20,00 a Caio e restou-lhe a metade da quantia com que Caio ficou. Originalmente, Bento tinha a) R$ 58,00 b) R$ 56,00 c) R$ 54,00 d) R$ 52,00 e) R$ 50,00 Resp.: d 09.(FCC) Certo dia, durante o almoço, o restaurante de uma empresa distribuiu aos usuários 15 litros de suco de frutas, que vem acondicionado em pacotes que contêm, cada um, 3 1 de litro. Se todos os frequentadores tomaram suco, 17 dos quais tomaram cada um 2 pacotes e os demais um único pacote, o total de pessoas que lá almoçaram nesse dia é a) 23 b) 25 c) 26 d) 28 e) 32 Resp.: d 16

17 10.(FCC) Para percorrer um mesmo trajeto de metros, dois veículos gastaram: um, 54 minutos, e o outro, 36 minutos. A diferença positiva entre as velocidades médias desses veículos, nesse percurso, em quilômetros por hora, era a) 11,475 b) 39,25 c) 40,5 d) 42,375 e) 45,5 Resp.: c 11. (FCC) Considere as seguintes equivalências de preços, em reais: O de 2 cadernos equivale ao de 30 lápis; o de 3 canetas equivale ao de ao de 5 cadernos. Se 5 canetas custam R$ 40,00, quantos lápis poderiam ser comprados com R$ 32,00? a) 102 b) 100 c) 98 d) 96 e) 94 Resp.: b 12. Há 19 anos, uma pessoa tinha 1/4 da idade que terá daqui a 14 anos. A idade da pessoa, em anos está hoje entre a) 22 e 26 b) 27 e 31 c) 32 e 36 d) 37 e 41 e) 42 e 46 Resp.: b 13. (FCC) Certo dia um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45minutos, adotando o seguinte procedimento: - nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página; - nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página; Nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página. Se dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número compreendido entre a) 5 e 8 b) 8 e 11 c) 11 e 14 d) 14 e 17 e) 17 e 20 Resp.: a 17

18 REPRESENTAÇÃO DECIMAL Todo número racional pode ser representado por uma forma decimal exata ou periódica. Por exemplo, 7 = 7,0 e 1 0, 5 são decimais exatas e 2 1 0, é uma decimal periódica ou uma dízima periódica. 3 A fração que origina uma dízima periódica é chamada de geratriz da dízima periódica. A determinação da geratriz de uma dízima periódica é importante, já que não podemos operar diretamente com uma dízima periódica. Isso tiraria a precisão do nosso cálculo. Uma dízima periódica pode ser simples ou composta. Veremos através dos exemplos a seguir, como determinar a fração geratriz de uma dízima periódica qualquer( simples ou composta). Exemplo 1- Determine a geratriz das dízimas periódicas simples: a) 0, b) 0, c) 1, d) 1, Solução: a) x= 0, Þ 10x = 5, x x = 5, ,555..., ou seja, 9x = 5 Þ x = 9 5 b) x= 0, Þ 100x = 23, x x = 23,2323-0,2323, ou seja, 99x = 23 Þ x = 99 Regra Prática Para obter a geratriz de uma dízima periódica do tipo 0, PPP..., onde P é o período, basta dividir o período P por 9, 99, 999, etc, conforme o número de algarismos do período seja, respectivamente, 1, 2, 3, etc. c) Basta fazer 1, = 1 + 0,222 = 1 + 2/9 = 11/9. d) Fazer 1, = 1 + 0, = /99 = 16/11. Exemplo 2- Determine a geratriz das dízimas periódicas compostas: a) 0, b) 0, c) 1, d) 3, Solução: 18

19 2, , a) Basta fazer 0, =... = 23/ , , b) Fazer 0, =... = 8/ , , c) Fazer 1, =... = 56/ d) 3, = 374, , OPERAÇÕES NA FORMA DECIMAL Os exercícios dados a seguir, tem por objetivo fazer uma breve revisão de como operar com números racionais representados na forma decimal. 01) Determine as somas: a) 0, ,006 b) 15,2 + 1,45 c) 1, ,9995 d) 0, ,88 e)2,35 + 1, Resp.: a) 1,01 b) 16,65 c) 4 d) 20 e) 4,833 02) Determine as diferenças: a) 0,4 0,008 b) 5,76 3 c) 2,547 1,5 d) 5 1,32 e) 8 3,6 f) 1-0,042 Resp.: a) 0,392 b) 2,76 c) 1,047 d)3,68 e) 4,4 f) 0,958 03) Efetue: a) 2,43 + 0,625 1,8 b) 3,65 + 2,35 5,095 c) 0,87 0,5 + 1,413 0,96 d) 1 0,4771 0,301 e) ,2 + 6,5 0,8 Resp.: a) 1,255 b) 0,905 c)0,823 d) 0,2219 e)19,90 04) Determine os produtos: a) 3,2 x 0,1 b) 6 x 1,5 c) 2,7 x 1,8 d) 7,68 x 0,054 e) 0,2 x 0,02 x 0,002 f) 1,24 x 0,3 x 6 g) 0,28 x 3,5 x 8 h) 0,4020 x 5 Resp.: a) 0,32 b) 9 c) 4,86 d) 0,41472 e) 0, f) 2,232 19

20 g) 7,84 h) 2,01 05) Determine os quocientes exatos: a) 213 : 15 b) 24 : 200 c) 1 : 40 d) 2,4 : 0,8 e) 25,872 : 12 f) 1,2 : 0,05 g) 0,0972 : 0,08 h) 13 : 325 I) 0,284 : 142 j) 79,3 : 26 k) 24,036 : 12 Resp.: a) 14,2 b) 0,12 c) 0,025 d) 3 e) 2,156 f) 24 g) 1,215 h) 0,04 I) 0,002 j) 3,05 k) 2,003 06) Determine os quocientes com aproximação por falta a menos de 0,1 (precisão de décimos): a) 3 : 4 b) 1,25 : 0,4 c) 0,372 : 0,03 d) 1 : 3 e) 0,3407 : 0,42 f) 443,36 : 81,2 Resp.: a) 0,7 b) 3,1 c) 12,4 d) 0,3 e) 0,8 f) 5,4 07) Determine os quocientes com aproximação por falta a menos de 0,01 (precisão de centésimos): a) 8 : 3 b) 0,0132 : 0,3 c) 0,188 : 1,2 d) 3,8797 : 1,5 e) 1,7153 : 0,9 f) 16,58 : 8 g) 51,6 : 15 Resp.: a) 2,66 b) 0,04 c) 0,15 d) 2,58 e) 1,90 f)2,07 g) 3,44 EXPRESSÕES NUMÉRICAS Para calcular o valor numérico de uma expressão numérica com números racionais seguimos a seguinte ordem de execução dada na tabela a seguir: Para os sinais Para as operações 1º) Parênteses 1º) Potenciação e radiciação na ordem dada 2º) Colchetes 2º) Multiplicação e divisão na ordem dada 3º) Chaves 3º) Adição e subtração na ordem dada 20

21 EXERCÍCIOS 01) Determine o valor das expressões numéricas seguintes: a) { [3. (-3) 2 + (-2+7)] } b) [(-6) 2 + (-1-4) 2 : (+5) 2 - (-2) 2 ] c) {[(-3-1) (-2) 3 ] : (-3+4) 4 } d) {[(-2-3) 2. (-1+5)] : (-10) 2 } e) 15-(-45) : (-1-2) 2 + (-2) 3. (-1+2) 5 f) [(-3+4).(-2-1) 2 - (-5-4) 2 : (-27) + (-1) 4. (-8) ] g) (+2).(-3) 2 - [(-5+1) 2 : (-4) + (-1) 2. (-4+5) 3 ] h) {(-3).(-2) [(-2) 5 : (+2) 4 - (-1-4) 0 ] } i) { -6 2 : 36 + (-4) 2 : [ 6 - (-1) 3. 2 ] } j) { 20 - (-81) : (-3) 3 - [ 5(-1) 3 + (40 : (-2) 3 )+ 3 2 ] } Resp.: a) 16 b) 33 c) 23 d) 1 e) 12 f) 4 g) 21 h) 19 i) 8 j) 17 02) Calcule o valor das expressões numéricas seguintes a) (-2) + { -1+ [ ( ) 3] - 1 } b) (-2) [ ( ) ] { [ ( 1 ) ] } c) { - [-2- ( 1) ( 1 )] 1} d) 1,3 + { 6 [( ) ( - ) + 0,3 ] } Resp.: a) 6 b) c) 30 d)

22 3 - NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS RAZÕES Dados dois números racionais a e b, com b ¹ 0, chama-se razão entre a e b ao quociente b a. Na razão b a (ou a : b) a é o primeiro termo ou antecedente e b é o segundo termo ou consequente. Exemplos: 1.Tiago tem 10 anos de idade e Rodrigo tem 14 anos. A razão entre as idades 10 5 de Tiago e de Rodrigo é A razão entre e é x A razão entre um trimestre e um ano é A razão entre um minuto e vinte e quatro segundos é Determine a razão entre a) 3 e 7 6 b) 1 2 e 1 3 c) 1,5 e 5 d) 7 e EXERCÍCIOS Resp.: a) 2 7 ; b) 2 3 ; c) 10 3 ; d) 2 2. Numa razão igual a 2/5 o antecedente é 8. Determine a razão. 8 Resp.: 20 22

23 3. O triplo do consequente de uma razão igual a 3/7 é 63. Determine o antecedente e a razão inversa. 21 Resp.: 9 e 9 4. Num jogo de basquete, André fez 60 arremessos, obtendo 50 pontos e Paulo, em 30 arremessos, obteve 20 pontos. Quem tem a maior razão de pontos por arremessos? Resp.: André 5. Se a razão entre o valor bruto e o valor líquido de certo salário é de 6/5, que fração do salário líquido foi descontada? E que fração do salário bruto? Resp.: 1/5 e 1/6. 6. Numa razão, o consequente excede o antecedente em 3 unidades. Adicionando-se 11 unidades ao consequente, a razão fica igual a 3/4. A razão original é a) 54/57 b) 30/33 c) 33/36 d) 42/45 e) 18/21 Resp.: d 7. (FCC)Em uma empresa, 3 2 dos funcionários são homens e 5 3 falam inglês. Sabendo que 12 1 dos funcionários são mulheres que não falam inglês, pode-se concluir que os homens que falam inglês representam, em relação ao total de funcionários, uma fração equivalente a a) b) c) d) e) Resp.: b PROPORÇÕES Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões. a c Uma proporção com duas razões é representada por ou a : b : : c : d b d (lê-se a está para b assim como c está para d ), sendo a e d os extremos e b e c os meios. 23

24 Propriedade Fundamental O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Isto é: a b c Þ d ad = bc 3 x 1 Aplicação: Calcular x na proporção Pela propriedade fundamental, temos 5 (x+1) = 20.3 Þ 5 (x+1) = 60 Þ x+1 = 12 Þ x = 11. Nota: Como consequência da propriedade fundamental, temos que, se a c então: b d a) a c b d c e (troca dos meios ou dos extremos); d b a b) b d (inversão das razões). a c EXERCÍCIOS Calcule o valor de x nas proporções: 2 x 01) 5 6,25 02) x 3 0, ) x 4 24 Resp.: 1) 2,5 2) ) 48 04) Uma foto de dimensões 3cm x 4cm foi ampliada passando o seu comprimento de 4cm para 28cm. Quanto passou a medir sua largura? Resp.: 21cm 24

25 05) A soma dos perímetros de dois quadrados é 52m. Determine esses 3 perímetros sabendo que a razão entre eles é. 10 Resp.: 12m e 40m 06) A idade de um pai e a de seu filho estão na razão de 1 3. Qual a idade de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de 24 anos? Resp.: 36 anos e 12 anos 07) (FCC) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6 800,00, qual é a diferença positiva entre os salários dos dois? a) R$ 200,00 b) R$ 250,00 c) R$ 300,00 d) R$ 350,00 e) R$ 400,00 Solução: resolvendo o sistema de equações abaixo ì A 3 ï í B 4 ï î3a 2B 6800 Resp.: e obteremos A= 1200, B=1600 e daí = ) (FCC) As cidades R e S são ligadas por uma rodovia. Num mesmo instante partem dois veículos dessas cidades, um de R para S e outro de S para R. Sem paradas, eles mantêm velocidades constantes e cruzam-se em um ponto localizado a 3/7 do percurso de R para S. Se a velocidade do que saiu de R era de 60 km/h, a velocidade do outro era de a) 85 km/h b) 80 km/h c) 75 km/h d) 70 km/h e) 65 km/h Resp.: b 09) (FCC) Relativamente ao tempo de serviço de dois funcionários do Banco do Brasil, sabe-se que sua soma é 5 anos e 10 meses e que estão entre si na razão 3/2. Nessas condições, a diferença positiva entre os tempos de serviço desses funcionários é de 25

26 a) 2 anos e 8 meses b) 2 anos e 6 meses c) 2 anos e 3 meses d) 1 ano e 5 meses e) 1 ano e 2 meses Resp.: e 10) (FCC) Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de uma unidade do TRT, que participaram de um curso, foi usada a expressão: h 1 3, em que h= nº de homens e m= nº de mulheres. Sabendo que m o total de participantes do curso era um número entre 100 e 200, é correto afirmar que : a) h+m= 158 b) h-m= 68 c) 70< h< 100 d) 50 < m < 70 e) m.h < 4000 Resp.: b DIVISÃO PROPORCIONAL 01) Calcule a, b, c e d supondo que as sucessões (2,a,6,c,10) e (1,2,b,4,d) são sucessões de números a) diretamente proporcionais; b) inversamente proporcionais. Solução: a) Os números serão diretamente proporcionais se 2 1 a 6 c 10 k 2 b 4 d ( no caso, k=2). A partir daí, obtemos a=4, b=3, c=8, d=5. b) Os números serão inversamente proporcionais se 2.1 = a.2 = 6.b = c.4 = 10.d = k (no caso, k=2). A partir daí, obtemos a=1, b=1/3, c=1/2, d=1/5. 02) Decomponha 92 em partes diretamente proporcionais a 9,8 e 6. 26

27 Solução: 1) x = 9k, y = 8k, z = 6k. 2) Substituindo em x + y + z = 92, obtemos k = 4. Daí, x = 9.4=36, y= 8.4=32 e z=6.4=24. Resp.: 36, 32 e ) Decomponha o número 169 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4. Solução: 1) x = 2 k, y = 3 k, z = 4 k ; 2) Substituindo em x + y + z = 169, obtemos k = 156. Daí, x=78, y= 52 e z=39. Resp.: 78, 52 e 39 04) Três números são proporcionais a 3, 4 e 6. Determine o maior deles, sabendo que a diferença entre triplo do menor e o número do meio é 60. Solução: ìx ï Substituíndo í y ï îz Resp.: 72. 3k 4k 6k em 3x y = 60, obtemos k = 12. Daí, z = 6.12 = ) Os ângulos internos de um quadrilátero são proporcionais aos números 2, 3, 4 e 6. Calcule esse ângulos, sabendo que a sua soma é igual a 360. Resp.: 48, 72, 96 e ) (FCC) Sejam x, y e z três números inteiros e positivos, tais que x<y<z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a a) 1, 3 e 6. b) 1, 4 e 6. c) 1, 5 e 6. d) 1, 6 e 7. e) 1, 7 e 8. Resp.: c 27

28 07) Decomponha 520 em partes inversamente proporcionais a 8/5, 12/5 e 16/5. Resp.: 240, 160 e ) O latão é obtido fundindo-se 7 partes de cobre com 3 de zinco. Quantos gramas de cobre e de zinco são necessários para produzir 150g de latão? Solução: ìc 7k substituindo í em c+z = 150 obtemos k = 15. Daí, c= 105 e z= 45. îz 3k Resp.: 105g de cobre e 45g de zinco. 09) Um pai tem 4 filhos na escola. No final do ano, como todos foram aprovados, distribuiu $3.700,00 entre eles, de maneira inversamente proporcional às suas faltas. Se o primeiro teve 2 faltas, o segundo 4, o terceiro 8 e o quarto 20, quanto recebeu cada um? Resp.: $2.000,00, $1.000,00, $500,00 e $200,00. FCC Atenção: Para responder à questão a seguir, use os dados do texto seguinte. Sabe-se que Julião e Cosme são Técnicos Judiciários de uma mesma unidade do Tribunal Regional do Trabalho da 4ª Região há 6 e 15 anos, respectivamente. 10) Suponha que as quantidades de horas extras cumpridas por Julião e Cosme ao longo de certo mês eram diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Tribunal. Assim sendo, se, juntos, eles cumpriram o total de 28 horas extras, é correto afirmar que a) Cosme cumpriu 4/7 do total de horas extras b) Julião cumpriu 12 horas extras a menos que Cosme c) Julião cumpriu 8 horas extras a mais que Cosme d) O número de horas extras cumpridas por Julião era 30% do de Cosme e) o número de horas extras cumpridas por Cosme era 62% do de Julião Rep.: b 28

29 Dica : Se x é um número 1) diretamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x = ab.k ; k 2) inversamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x = ab 3) diretamente proporcional a a e inversamente proporcional a b, ao mesmo ak tempo, escrevemos x =. b ; 11) Dividir 360 em partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 5, 8 e 10 e inversamente proporcionais a 6,3 e 4. Solução: x = 5 k 8k 10,, k 5k y z =. Substituindo em x + y + z = 360, obtemos k = 60. A partir daí, vem que x= 50, y= 160 e z= 150. Resp.: 50,160 e ) (FCC) Considere que a carência de um seguro-saúde é inversamente proporcional ao valor da franquia e diretamente proporcional à idade do segurado. Se o tempo de carência para um segurado de 20 anos, com uma franquia de R$ 1.000,00 é 2 meses, o tempo de carência para um segurado de 60 anos com uma franquia de R$ 1.500,00 é a) 4 meses b) 4 meses e meio c) 5 meses d) 5 meses e meio e) 6 meses Resp.: a 13) (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição judiciária. Idade(em anos) Tempo de serviço(em anos) João 36 8 Maria Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era 29

30 a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 Resp.: c 14) (FCC) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é a) 48 b) 50 c) 52 d) 54 e) 56 Resp.: c 15) João e Pedro formaram uma sociedade e, após certo tempo, lucraram R$ 2.500,00. João entrou com R$ 7.000,00 e Pedro com R$ 5.500,00. Sabendo que o lucro foi dividido em partes proporcionais aos capitais que cada um entrou, qual foi o lucro de cada um? Resp.: João=R$ 1.400,00 e Pedro=R$ 1.100,00. 16) (FAURGS) Duas pessoas formaram uma sociedade, tendo uma delas participado com R$ ,00 e trabalhado 2 dias por semana e a outra participado com R$ 9.000,00 e trabalhado 3 dias por semana. Após algum tempo, obtiveram R$ 9.800,00 de lucro que foi dividido entre elas proporcionalmente ao capital e ao tempo de trabalho de cada uma. Dos valores abaixo, o que representa o lucro do sócio que entrou com o maior capital é a) R$ 2.200,00 b) R$ 4.400,00 c) R$ 5.400,00 d) R$ 6.600,00 e) R$ 7.400,00 Solução: ìx k k í î y k k Substituíndo em x + y = obteremos k = 5 1 e daí, x = = 4.400,00. 30

31 REGRAS DE TRÊS São usadas para resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais. Duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais (GDP ou GIP) quando os valores numéricos assumidos por elas são, respectivamente, números direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) As grandezas A e B abaixo são diretamente proporcionais. Determine x e y: A B 4 6 x A B 2,5 x y Resp.: x = 8 Resp.: x=2, y=3,5 2) As grandezas A e B abaixo são inversamente proporcionais. Determine x: A 6 12 B 24 x Resp.:x=12 A 8 x B Resp.: x=5 REGRA DE TRÊS Simples: Direta: envolve duas GDP Inversa: envolve duas GIP Composta: envolve mais de duas grandezas Exemplos 1) Paguei $ 600 por 5m de um tecido. Quanto pagaria por 8m desse tecido? 5m ¾ 600 8m ¾ x Temos aqui duas GDP (veja o sentido das setas). Logo: 31

32 Þ x 960 x 5 Resp.: $ 960 2) Um carro, com a velocidade de 80km/h, percorre um trajeto em 4h. Em quanto tempo esse mesmo trajeto seria percorrido se a velocidade do carro fosse de 64km/h? 80km/h ¾ 4h 64km/h ¾ x Agora temos duas GIP (veja o sentido das setas). Logo: x 4 Resp.: 5 horas 80.4 Þ x ) Numa indústria, quatro máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças. Em quantos dias duas máquinas produziriam 900 peças? GIP GDP 4 máquinas ¾ 8 dias ¾ 600 peças 2 máquinas ¾ x dias ¾ 900 peças Relacionamos a grandeza que contém a incógnita, isoladamente, com cada uma das outras. Vemos que tempo e máquinas são GIP e tempo e peças são GDP. Assim, temos: Þ x 24 x Resp.: 24 dias 4. Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1000m de fazenda. Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2000m de outra fazenda que apresenta uma dificuldade igual aos ¾ da primeira? 10d xd Resp.: 20 dias 10 x ¾ 8h ¾ 1000 m ¾dif. 4 ¾ 6h ¾ 2000 m ¾dif Þ x

33 EXERCÍCIOS 01. Com 100 kg de trigo pode-se fazer 85 kg de farinha. Qual a quantidade de farinha que se obtém com 480 kg de trigo? Resp.: 408 kg 02. A sombra de uma chaminé mede 4,5 m e a de uma vara vertical, no mesmo instante, é 0,9 m. Calcule a altura da chaminé sabendo-se que a vara tem 2 m de comprimento. Resp.: 10m 03. Um parafuso avança 33 mm em cada 6 voltas. Qual o número de voltas para avançar 77 mm? Resp.: Uma torneira despeja em meia hora 600 litros de água. Quantos litros são escoados em 8 minutos? Resp.: (CESGRANRIO) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito? a)2h7min b)2h5min c)1h57min d)1h43min e)1h36min Solução: 1) Em 1h, A e B limpam juntos: 2) ì 7 ï1 h... í 12 ï îx do salão Como as grandezas são diretamente proporcionais (GDP) teremos x = h, ou seja x = 1h43min aproximadamente. 7 /12 7 Resp.: d 06. (FCC) Pretendendo fazer uma viagem à Europa, Mazza foi certo dia a uma agência do Banco do Brasil comprar euros e dólares. Sabe-se que ela usou R$ 6 132,00 para comprar 2 800,00 e que, com R$ 4 200,00 comprou US$ 2 500, 00. Com base nessas duas transações, é correto afirmar que, nesse dia, a cotação do euro em relação ao dólar, era de 1 para 33

34 a) 1,3036 b) 1,3606 c) 1,3844 d) 1,4028 e) 1,4204 Resp.: a 07. (FCC) Para encher um tanque com água dispõe-se de duas torneiras I e II. Considere que, abrindo-se apenas I, o tanque estaria cheio após 12 minutos, enquanto que II, sozinha, levaria 15 minutos para enchê-lo. Assim sendo, se I e II fossem abertas simultaneamente, o tanque estaria cheio em a) 6 minutos e 10 segundos b) 6 minutos e 15 segundos c) 6 minutos e 25 segundos d) 6 minutos e 30 segundos e) 6 minutos e 40 segundos Resp.: e 08. (FCC) Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em, aproximadamente, a) 1 hora e 40 minutos b) 2 horas, 2 minutos e 2 segundos c) 2 horas e 20 minutos d) 2 horas, 22 minutos e 30 segundos e) 2 horas e 54 minutos Resp.: b 09. (FCC) Suponha que quatro técnicos judiciários sejam capazes de atender, em média, 54 pessoas por dia. Espera-se que seis técnicos, com a mesma capacidade operacional dos primeiros, sejam capazes de atender, por dia, a quantas pessoas? a) 71 b) 75 c) 78 d) 81 e) 85 Resp.: d 10. (FAURGS) Uma comunicação veiculada na televisão dura 9 segundos. O número de horas correspondente a esse tempo é a) 0, b) 2, c) d) 2, e) 0,25.10 Resp.: b 34

35 11.(FCC) Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão de formato retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma máquina gastaria para cortar em 10 pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em ambas as folhas, todos os cortes devem ter o mesmo comprimento? a) 36 b) 35,5 c) 34 d) 33,3 e) 32 Resp.: a 12. Uma roda com 50 dentes engrena com outra de 40. Qual o número de voltas da primeira, quando a segunda dá 600 voltas por minuto? Solução: ì40dentes...600v í î50dentes... x / min Como as grandezas são inversamentes proporcionais (GIP), escrevemos 40 x e daí obtemos x = 480 v/min Resp.: (CESGRANRIO) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Resp.: e 14. (UFRGS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina(água e sal) a 2%(sal) para se obter uma solução salina a 3%(sal) é a) 90g b) 94g c) 97g d) 98g e) 100g Resp.: e 15. Um livro tem 300 páginas com 25 linhas em cada uma. Para reimprimí-lo, empregando os mesmos caracteres, quantas páginas de 30 linhas são necessárias? Resp.:

36 16. Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram necessários 20 caminhões de 4m 3 de areia cada um. Se cada caminhão pudesse conter 5m 3 de areia, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? Resp.: Vinte homens podem arar um campo em 6 dias, trabalhando 9 horas por dia. Quanto tempo levarão para arar o mesmo campo 12 homens trabalhando 5 horas por dia? Resp.: 18 dias 18. (CESGRANRIO) Em 3 dias, bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados bombons? a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e)5 Resp.: c 19. (ESAF) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta? a) 24 b) 16 c) 30 d) 15 e) 20 Resp.: c 20. Um ciclista percorreu 150 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem a 400 km pedalando 4 horas por dia? Resp.: Se 3 2 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários, trabalhando 6 horas por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia em... Resp.: 2 dias 22. Um livro tem 300 páginas, cada página 40 linhas e cada linha 54 letras. Utilizando-se os mesmos caracteres na reimpressão do livro, quantas páginas ele terá com 45 linhas por página e 50 letras por linha? Resp.: Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e 7m de largura, 100 operários, trabalhando 7 horas por dia levaram 2 meses e meio. Aumentando de 400 o número de operários e fazendo-os trabalhar 10 horas por dia, em quanto tempo os operários construiriam um outro canal com o mesmo comprimento, porém de profundidade e largura dupla do primeiro? 36

37 Resp.: 42 dias 24. Quinze operários, com capacidade 5, abriram uma vala de 300 metros de comprimento, trabalhando 10 horas por dia, num terreno de dificuldade 3. Vinte operários, com capacidade 4, trabalhando 12 horas por dia, num terreno de dificuldade 2, abririam uma vala de quantos metros de comprimento? Resp.: 576m 25. Uma firma construtora preparou 20 km de leito da estrada contratada em 200 dias e 8 horas de jornada de trabalho, utilizando 9 máquinas e empregando 45 homens. Em quantos dias de trabalho concluirá a preparação de outros 24 km, da mesma estrada, se utilizar na obra 10 máquinas e 48 homens em jornada diária de 9 horas, sabendo-se que a dificuldade deste trecho é 5 4 da do trecho concluído? Resp.: 144 dias 27. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em quanto tempo 9 gatos comerão uma dúzia e meia de sardinhas? Solução: 1,5 gatos...1,5 sardinhas...1,5 min 9 gatos...18 sardinhas... x min 1,5 9 1,5. x 1,5 18 e daí, obtemos x = 3. Resp.: 3 minutos 37

38 PORCENTAGEM Uma porcentagem é uma razão na qual o consequente é 100. Simbologia: % Exemplos: ì 5 ï1)5% 0, ï 27 í2)27% 0,27 ï 100 ï 147 ï3)147% 1,47 î 100 a) Aumento (acréscimo) ìvo valor inicial ï ívf valor final Þ ï îi taxa de aumento Exemplo: Vo = $ 50 i = 35% (aumento) Vf =? Þ Vf = 50 x 1,35 = 67,50 b) Diminuição (desconto) ìvo valor inicial ï ívf valor final Þ ï îi taxa de desconto Exemplo: Vo = $ 120 i = 10% (desconto) Vf=? Þ Vf = 120 x 0,90 = 108 c) Aumentos sucessivos Vf = Vo (1 + i 1 ) (1 + i 2 )... (1 + i n ) Vf = Vo (1 + i), onde 1 + i = fator de aumento. Vf= Vo (1 i), onde 1 i = fator de desconto. Exemplo: Uma mercadoria de valor $ 100 sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual o valor final da mercadoria? Vf= 100 x 1,10 x 1,10 = 100 x 1,21 = $ 121 d) Descontos sucessivos Vf = Vo (1 i 1 ) (1 i 2 )... (1 i n ) Exemplo: Sobre uma fatura de valor igual a $ 200 incidiram os descontos sucessivos de 30% e 5%. Qual o valor líquido da fatura? Vf = 200 x 0,70 x 0,95 = $

39 EXERCICIOS 01) Calcule: a) 20% de 800 b) 12% de 200 c) 3,5% de 150 d) 4,7% de 600 Solução: ,5 4,7 a) ; b) ; c) 150 5, 25; d) , ) A quantos por cento representa a) 15 de 150 b) 40 de 50 c) 17 de 200 d) 65 de 1000 Solução: a) 10% ; b) 80% ; c) 8,5% ; d) 6,5% ) Escreva na forma de porcentagem os números a) 2/5 b) 3/4 c) 4/5 d) 3/2 e) 1,5 f) 7/4 g) 5 Solução: 2 4 a) % ; c) % ; e) 1,5 100=150%; g) 5 100= 500% ) (PUCRS)- Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a a) 2 b) 5 c) 20 d) 40 e) 80 Resp.: c 05) (ESAF) De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um curso de especialização. Esta empresa tem sua matriz localizada na capital. Possui também duas filiais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos empregados da capital optaram pela realização do curso e que 35% dos empregados da filial de Ouro Preto também o fizeram, então a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso é igual a? Resp.: 60 % 06) Um banco ia emprestar a 15 clientes. Na última hora chegaram mais 5. De quantos por cento variou o empréstimo a cada um, se todos receberam por igual? a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25% Resp. : e 39

40 07) (FCC) Um técnico judiciário arquivou 20% do total de processos de um lote. Se 35% do número restante corresponde a 42 processos, então o total existente inicialmente no lote era a) 110 b) 120 c) 140 d) 150 e) 180 Resp.: d 08) (FCC) Na venda de um certo produto, um vendedor consegue um lucro de 20% sobre o preço de custo. Portanto, a fração equivalente à razão entre o preço de custo e o preço de venda é a) 1/5 b) 2/5 c) 2/3 d) 3/4 e) 5/6 Solução: supondo Preço de Custo C= 100 teremos Preço de Venda V = 120. Daí: C V Resp.: e 09) (FAURGS) Uma mistura contém apenas duas substâncias, x e y, que apresentam, entre si, a razão de 7 para 9 respectivamente. A porcentagem de y nessa mistura é a) 43,75% b) 47,55% c) 56,25% d) 65,25% e) 87,53% Resp.: c 10) (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80 % ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de tabela, de modo a não ter prejuízo? a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36% Resp.: c 11) (CESGRANRIO) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o número de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é 40

41 a) 42 b) 43 c) 45 d) 48 e) 49 Resp.: b 12) (FCC) O preço de um aparelho eletrodoméstico é P reais. Como eu só possuo X reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que me fosse concedido um abatimento de 12% no preço, ainda faltariam R$ 54,00 para que eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condições, a quantia que possuo é a) R$ 254,00 b) R$ 242,00 c) R$ 237,00 d) R$ 220,00 e) R$ 210,00 Solução: 1) Tenho 70% de P. Faltam 30% de P; 2) Com o abatimento de 12% de P, ainda faltam 30%-12%= 18% de P, que correspondem a R$ 54,00; 3) Fazendo-se uma regra de três: 18% de p % de P...x obtemos x = 210,00. A resposta correta é a letra e Obs.: para calcular P (que não foi pedido), basta fazer. P 54, donde 100 P=R$ 300,00. 13) (FCC) Paulo digitou 1/5 das X páginas de um texto e Fábio digitou 1/4 do número de páginas restantes. A porcentagem de X que deixaram de ser digitadas é a) 20% b) 25% c) 45% d) 50% e) 60% Resp.: e 41

42 14) (FAURGS) Somente 25% dos 60 funcionários de um Tribunal eram mulheres. Depois de transferido um certo número de funcionários do sexo masculino, as mulheres passaram a representar 30% do total de funcionários. O número de homens transferidos foi a) 5 b) 10 c)15 d)35 e) 45 Solução: 1º) 25% de 60 = 15 mulheres; 2º) Sendo t o total de funcionários após a transferência dos x homens,teremos: 30 t 15 e daí obtemos t = 50; 100 3º) x = = 10 homens Resp.: b 15) (FCC) Dos funcionários concursados lotados em certa repartição pública, sabe-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres, nesta ordem, é 1,20. Se 88% dos funcionários dessa repartição são concursados, então, relativamente ao total de funcionários, a porcentagem de funcionários concursados do sexo a) feminino é maior que 42%. b) masculino está compreendida entra 45% e 52%. c) feminino é menor que 35%. d) masculino é maior que 50%. e) masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 6%. Resp.: b 16) (FCC) Duas lojas têm o mesmo preço de tabela para um mesmo artigo e ambas oferecem dois descontos sucessivos ao comprador: uma, de 20% e 20%; e a outra, de 30% e 10%. Na escolha da melhor opção, um comprador obterá, sobre o preço de tabela, um ganho de a) 34% b) 36% c) 37% d) 39% e) 40% Resp.: c 17) (FCC) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem, ser aumentados em 42