CIV 2552 Mét. Num. Prob. de Fluxo e Transporte em Meios Porosos 1º Semestre 2010

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1 CIV 55 Mét. Num. Prob. de luxo e Trasporte em Meios Porosos º Semestre Trab3: Método dos Elemetos iitos luxo idráulico em regime permaete D Resolva a ª Questão do segudo trabalo para regime permaete pelo Método dos Elemetos iitos utilizado elemetos lieares. Complete o programa em MATLAB ode idicado. trab3.m % Iclude global variables iclude_gblrefs; % Preprocessig preprocessor; % Assembly global permeability matrix % COMPLETE AQUI % Assembly global forcig vector % COMPLETE AQUI % Solve for u % u = \ ; % Plot steady-state solutio postprocessor; iclude_gblrefs.m % ile to iclude global variables % Global size parameters global p global el % Nodal coordiates global x % Elemet properties arrays global CArea global Permeability % umber of odal poits % umber of elemets % array of odal x coordiates % array of elemet cross-sectioal area values % array of elemet permeability values % Elemet odal coectivity array, locatio matrix ad gater matrix global LM % gater matrix: LM(e,el) % stores global odal umber for % eac local ode of eac elemet % Global equatio matrix, forcig vector, ad solutio vector global % global permeability matrix global % global system forcig vector global u % global system solutio vector

2 % Boudary Coditios (B.C.) iformatio % flag = --> atural B.C. % flag = --> essecial B.C. global bc_iit_flag % iitial ode B.C. flag global bc_ed_flag % ed ode B.C. flag global bc_iit_val % iitial ode B.C. value global bc_ed_val % ed ode B.C. value % Distributed ad poit source loads global dist_load % array of elemet distributed source loads % Aalytical soluctio data global asp global x_as global u_as global q_as % umber of aalytical solutio poits % x coordiates of aalytical solutio poits % aalytical field solutio values % aalytical flux solutio values preprocessor.m % Preprocessor: % iput data for D example of Trab wit liear elemets fuctio preprocessor iclude_gblrefs; % D domai parameters L = 8.; % legt [m] A = 5.; % cross-sectio area [m] K = 8.e-6; % permeability coefficiet [m/s] q =.e-6; % distributed exteral source load [m/s] = 4.; % essecial B.C. at begiig (x = ) [m] = 5.; % essecial B.C. at ed (x = L) [m] % Discretizatio parameters p = 6; % umber of odal poits el = 5; % umber of elemets % Global equatios coefficiet matrices, RS vector, ad solutio vector = zeros(p,p); % iitialize global permeability matrix = zeros(p,); % iitialize global system forcig vector u = zeros(p,); % iitialize global system solutio vector % Elemet properties vectors CArea = A*oes(el,); % cross-sectio area Permeability = K*oes(el,); % permeability coefficiet % B.C.'s bc_iit_flag = ; bc_ed_flag = ; bc_iit_val = ; bc_ed_val = ; % Elemet distributed source load vector dist_load = oes(el,)*q;

3 % x coordiates array x = zeros(p,); x = lispace(.,l,p); % gater matrix = coectivity array LM = zeros(,el); LM(,:) = (::p-); LM(,:) = (::p); % Steady-state aalytical solutio asp = ; x_as = zeros(asp,); x_as = lispace(.,l,asp); for i=:asp u_as(i) = -.5*x_as(i)^ +.565*x_as(i) + 4.; q_as(i) = -K * (-.5*x_as(i) +.565); ed postprocessor.m % Postprocessig steady state plots for give solutio vector % ad computed flux fuctio postprocessor iclude_gblrefs; % Create figure for mai field plots ad get adle to it fig_field = figure; % Locate mai field figure at left side of scree scree_sizes = get(,'screesize'); fig_field_pos = get( fig_field, 'Positio' ); fig_field_pos() = ; set( fig_field, 'Positio', fig_field_pos ); % Plot mai field respose plot(x,u,'color','r'); % Setup labels xlabel('x'); ylabel('u'); title('trab3: steady-state field respose'); old o % Dimesio flux respose arrays x_flux = zeros(el*,); v_flux = zeros(el*,); % Compute flux respose from give solutio vector ad plot it for e=:el i = LM(,e); % iitial ode of elemet j = LM(,e); % fial ode of elemet le = x(j)-x(i); % compute elemet legt ui = u(i); % iitial elemet ode field value uj = u(j); % fial elemet ode field value K = Permeability(e); % get elemet permeability coefficiet 3

4 x_flux(*e-) = x(i); % first flux poit i elemet is located % at first elemet ode x_flux(*e) = x(j); % secod flux poit i elemet is located % at last elemet ode v_flux(*e-) = -K * (uj-ui)/le; v_flux(*e) = -K * (uj-ui)/le; ed % Create figure for flux respose plots ad get adle to it fig_flux = figure; % Locate flux results figure at rigt side of scree scree_sizes = get(,'screesize'); fig_flux_pos = get( fig_flux, 'Positio' ); fig_flux_pos() = scree_sizes(3) - fig_flux_pos(3); set( fig_flux, 'Positio', fig_flux_pos ); % Plot give solutio vector plot(x_flux,v_flux,'color','r'); % Setup labels xlabel('x'); ylabel('q'); title('trab3: steady-state flux respose'); old o % Plot aalytical solutios (if available) if( asp ) figure( fig_field ); plot(x_as,u_as,'color','k'); figure( fig_flux ); plot(x_as,q_as,'color','k'); ed Images dos resultados (regime permaete) obtidos para o exemplo da ª Questão do segudo trabalo utilizado 5 elemetos fiitos lieares: 4

5 5 Cosideração das codições de cotoro esseciais (de Diriclet) Uma maeira coveiete para cosiderar as codições de cotoro esseciais do problema proposto ( = e = ) é modificar a matriz global de permeabilidade [] e o vetor das cargas equivaletes odais {} depois de eles terem sido criados sem cosiderar euma codição de cotoro. Na formulação do problema D com o elemeto fiito liear com dois ós, a matriz [] tem um formato tridiagoal: =,,,,,,3,,,, Apeas as duas primeiras lias e as duas últimas lias de [] e de {} precisam são modificadas, tal como idicado abaixo: =,,,,,3, A primeira e a última lia da matriz ficam com um a diagoal pricipal e os outros termos. Os termos de carga o vetor {} a primeira e a última lia têm o valor das codições de cotoro esseciais e, respectivamete. Para mater a simetria da matriz global, o primeiro termo da seguda lia e o último termo da peúltima lia da matriz são aulados, sedo que os termos de carga correspodetes são alterados tal como idicado, levado-se em cota que os termos aulados da matriz são os que multiplicam os valores coecidos das codições de cotoro esseciais. Dessa forma, o úmero de equações do sistema ão se altera em relação ao úmero total de ós, e cotiuam sedo icógitas, e a solução da primeira e última lias do sistema resulta as codições de cotoro esseciais.