FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO GUIDO MARCELO BORMA CHAGAS

Transcrição

1 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO GUIDO MARCELO BORMA CHAGAS PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES DE DÓLAR NO MERCADO BRASILEIRO UTILIZANDO REDES NEURAIS E ALGORITMOS GENÉTICOS SÃO PAULO 006

2 ii GUIDO MARCELO BORMA CHAGAS PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES DE DÓLAR NO MERCADO BRASILEIRO UTILIZANDO REDES NEURAIS E ALGORITMOS GENÉTICOS Dissertação apresentaa à Escola e Economia e São Palo a Fnação Getúlio Vargas como reqisito para obtenção o títlo e Mestre em Finanças e Economia Empresarial. Campo e Conhecimento: Finanças, Derivativos Orientaor: Prof. Dr. Ricaro Ratner Rochman SÃO PAULO 006

3 iii Chagas, Gio Marcelo Borma Precificação e Opções e Dólar no Mercao Brasileiro tilizano Rees Nerais e Algoritmos Genéticos / Gio Marcelo Borma Chagas. 88f. Orientaor: Prof. Dr. Ricaro Ratner Rochman. Dissertação (mestrao) Fnação Getúlio Vargas. Escola e Economia e São Palo. São Palo, 006. Área e concentração: Finanças 1. Finanças. Opções 3.Inteligência Artificial

4 iv GUIDO MARCELO BORMA CHAGAS PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES DE DÓLAR NO MERCADO BRASILEIRO UTILIZANDO REDES NEURAIS E ALGORITMOS GENÉTICOS Dissertação apresentaa à Escola e Economia e São Palo a Fnação Getúlio Vargas como reqisito para obtenção o títlo e Mestre em Finanças e Economia Empresarial. Campo e Conhecimento: Finanças, Derivativos Data e Aprovação: / / Banca Examinaora: Prof. Dr. Ricaro Ratner Rochman (Orientaor) FGV-EESP Prof. Dr. Afonso e Campos Pinto FGV-EESP Prof. Dr. Elmo Tambosi Filho UFSC-PPGEP SÃO PAULO 006

5 v AGRADECIMENTOS Aos mes pais Vera e Wilson ca eicação, amor e orientação possibilitaram qe e alcançasse mes obetivos, ao me irmão Thiago e à minha tia Lia, cos conselhos bem hmoraos me aaram a sperar os momentos ifíceis e à minha amiga e companheira Anelise, ca paciência, apoio e amor foram impresciníveis para qe e conclísse com scesso essa etapa a minha via. Ao prof. Dr. Ricaro ca experiência e paciência me axiliaram a manter o foco e a concentração os mes esforços nos pontos e maior relevância para este trabalho. Aos mes granes amigos Daniel, Eliza, Lciana, Márcio e Rorigo, ca companhia, motivação, persistência e amizae estiveram sempre presentes nestes últimos anos. E por fim, aos profissionais o BankBoston e o Itaú pela compreensão e sporte oferecios e a toos aqeles qe, ireta o iniretamente, contribíram com a elaboração este trabalho.

6 vi Aos mes pais Vera e Wilson.

7 vii RESUMO Esse trabalho comparo, para conições macroeconômicas sais, a eficiência o moelo e Rees Nerais Artificiais (RNAs) otimizaas por Algoritmos Genéticos (AGs) na precificação e opções e Dólar à Vista aos segintes moelos e precificação convencionais: Black-Scholes, Garman-Kohlhagen, Árvores Trinomiais e Simlações e Monte Carlo. As informações tilizaas nesta análise, compreenias entre aneiro e 1999 e novembro e 006, foram isponibilizaas pela Bolsa e Mercaorias e Ftros (BM&F) e pelo Feeral Reserve americano. As comparações e avaliações foram realizaas com o software MATLAB, versão 7.0, e sas respectivas caixas e ferramentas qe ofereceram o ambiente e as ferramentas necessárias à implementação e cstomização os moelos mencionaos acima. As análises o csto o elta-heging para caa moelo inicaram qe, apesar e mais complexa, a tilização os Algoritmos Genéticos exclsivamente para otimização ireta (binária) os pesos sinápticos as Rees Nerais não prozi resltaos significativamente speriores aos moelos convencionais. Palavras-chave: erivativos, opções, algoritmos genéticos, rees nerais.

8 viii ABSTRACT This work compare, ner sal macroeconomic conitions, the effectiveness of the Neral Networks (NN) moel enhance by Genetic Algorithms (GA) in Dollar options valation with the following conventional valation moels: Black-Scholes, Garman-Kohlhagen, Trinomial Trees an Monte Carlo Simlations. All information employe in this analysis, comprehene between Jly, 1999 an December, 006, was provie by Bolsa e Mercaorias e Ftros (BM&F) an by Feeral Reserve. Comparisons an assessments were concte with the MATLAB software, version 7.0, an its toolboxes which provie the necessary tools an environment to evelop an implement the moels previosly mentione. The elta-heging cost s analyses of each moel inicate that, even thogh more complex, the se of Genetic Algorithms to irectly optimize (i.e., at binary level) the Neral Network s synaptic weights i not proce any significantly sperior reslts than the conventional moels. Keywors: erivatives, options, genetic algorithms, neral networks.

9 ix ÍNDICE DE FIGURAS Figra...1: Comportamento Binomial o Portifólio Figra...: Comportamento Binomial o Portifólio Figra...3: Comportamento Trinomial o Portifólio S C para m Único Períoo 9 S C para N Períoos 13 S C para Um Único Períoo 14 Figra : Moelo e m Nerônio Não Linear 0 Figra..4.1.: Exemplos e Arqitetras e RNAs 0 Figra : Flxo e Informações e m Nerônio a Camaa e Saía 4 Figra : Flxo e Informações e m Nerônio a Camaa Intermeiária (Invisível) 7 Figra..4..1: Comportamentos os Diferentes Tipos e Crzamento 36 Figra..4..: Comportamentos o Processo e Mtação 37 Figra 3.1: Fnções e Ativação Utilizaas 46 Figra 3.: Topologia a RNA com Configração Figra 3.3: Topologia a RNA com Configração 5--1 com Recorrência 48 Figra 3.4: Topologia a RNA com Configração Figra 3.5: Topologia a RNA com Configração Figra 3.6: Topologias as RNAs com Configrações 7-1 e 5-1 com Recorrência 5 Figra 3.7: Topologia com Melhor Desempenho 53 Figra 4.1: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração Figra 4.: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração Figra 4.3: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração 5--1 com Recorrência 59 Figra 4.4: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração Figra 4.5: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração Figra 4.6: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração Figra 4.7: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração 5--1 sem Reglarização Bayesiana 61 Figra 4.8: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com configração

10 x ÍNDICE DE TABELAS Tabela 3.1: Resmo as Configrações e RNA com AG Analisaas 45 Tabela 4.1: Comparação os Cstos e Delta-Heging os Moelos Analisaos 66

11 xi SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 3.1 Rees Nerais e Algoritmos Genéticos Aplicaos a Precificação e Derivativos 3. Moelos e Precificação 4..1 Moelos e Black-Scholes, Black e Garman-Kohlhagen 4.. Árvores Binomiais e Trimoniais 8..3 Simlações e Monte Carlo Rees Nerais Artificiais otimizaas por Algoritmos Genéticos Rees Nerais Artificiais Algoritmos Genéticos Combinano Rees Nerais Artificiais e Algoritmos Genéticos 38 3 METODOLOGIA 4 4 ANÁLISES 56 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 68 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 70

12 1 1 INTRODUÇÃO A tilização e moelos aeqaos e precificação é m aspecto fnamental para o scesso e iversas estratégias tilizaas no mercao financeiro. Segno McNelis (005), a simpliciae, a velociae e a precisão são parâmetros essenciais à avaliação esta aeqação. O moelo e Black (1976), por exemplo, amplamente tilizao pelo mercao oméstico segno Lanari, Soza e Dqe (1999) e com ma forma analítica fechaa, oferece menor complexiae e tempo e resposta o qe o moelo e Simlações e Monte Carlos. Sa precisão, entretanto, é inferior àqelas e otros moelos mais elaboraos como, por exemplo, Black, Derman e Toy (1990), esenvolvios especialmente para captar eterminaas assimetrias e pecliariaes as istribições financeiras convencionais. Segno a aboragem e McNelis (005), poemos consierar a simpliciae e a velociae como restrições binárias one, atenios m nível máximo e complexiae (qe viabilize sa implementação) e m tempo máximo e resposta (qe permita sa tilização prática), qaisqer melhorias não são relevantes ao resltao a estratégia. A precisão, entretanto, impacta iretamente na avaliação o risco e retorno a estratégia inflenciano nas ecisões e mantenção, amento o reção a exposição nos ativos e instrmentos erivativos. Por esta razão, o esenvolvimento e moelos mais sofisticaos e robstos, baseaos em ferramentas e conceitos mais complexos, tem sio beneficiao pela evolção tecnológica. Moelos nméricos e precificação recentes tais como Black,

13 Derman e Toy (1990) e Heath, Jarrow e Morton (199) são exemplos e aplicações práticas altamente epenentes a tecnologia isponível. O obetivo este trabalho foi comparar a precisão e m moelo conceitalmente mais complexo: o moelo e Rees Nerais Artificiais otimizaas por Algoritmos Genéticos à precisão na precificação e opções e Dólar à Vista os moelos e Black-Scholes, Garman-Kohlhagen, Árvores Trinomiais e Simlações e Monte Carlo, em conições macroeconômicas sais.

14 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.1 Rees Nerais e Algoritmos Genéticos Aplicaos a Precificação e Derivativos Htchinson et al (1994) foi m os primeiros estos a tilizar Rees Nerais na precificação e opções. Em se trabalho, envolveno contratos ftros e ínice S&P 500 negociaos entre 1987 e 1991, os atores estacaram qe os moelos e Rees Nerais oferecem maior precisão qano o ativo-base apresenta ma inâmica e preços esconhecia o qano a solção a eqação iferencial o erivativo não poe ser obtia analiticamente. QI et al (1996) realizo análise semelhante para os contratos ftros e S&P 500 negociaos entre 1994 e 1995 tilizano ma ree Mlti-Layer Perceptron (MLP), significativamente mais eficiente qe sas antecessoras melhorano os tempos e resposta estes moelos. Como alternativa às metoologias mais traicionais e precificação e opções tilizano Rees Nerais, Chen e Lee (1997) propserem o so e Algorítmos Genéticos. Em se trabalho, eles enfatizaram a sperioriae esta aboragem na análise e erivativos qe apresentem sperfícies e erro mais complexas. Posteriormente, De Falco (1998) emonstro qe ma solção híbria envolveno Algoritmos Genéticos e Rees Nerais proporciona melhor performance e eficiência, particlarmente nos casos propensos a mínimos locais. Qagliarella e Viani (1998) acrescentaram qe a tilização estes moelos híbrios, compostos pela combinação e mecanismos e Back-Propagation com os Algoritmos Genéticos, oferecem a melhor relação esempenho / precisão.

15 4 No mercao financeiro brasileiro, m os primeiros trabalhos nesta área foi elaborao por Fernanes (000), qe tilizo Rees Nerais na precificação e hege inâmico as opções e Telebrás. Em se trabalho, ele apresento algmas limitações esta metoologia para o mercao local, particlarmente qano aplicaa a precificação e ativos ilíqios o com histórico e preços rezio. Otros trabalhos interessantes no Brasil foram esenvolvios por Freitas (001), qe sgeri qe a precificação e opções e Telebrás por Rees Nerais proporciona resltaos speriores aos o moelo e Black-Scholes convencional, e por Kamakra (004), qe tilizo Algoritmos Genéticos para aperfeiçoar mecanismos e hege paramétricos traicionais.. Moelos e Precificação..1 Moelos e Black-Scholes, Black e Garman-Kohlhagen O moelo e Black-Scholes (1973), baseao nas teorias e Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton, para precificação e opções eropéias e compra o vena e ações sem ivienos, é amplamente tilizao evio a sa simpliciae e velociae e resposta. O moelo e BS, entretanto, reqer para sa aplicação aeqaa qe iversas hipóteses seam respeitaas. Uma as principais hipóteses o moelo e BS spõe qe o comportamento os retornos percentais e ma eterminaa ação em m peqeno espaço e tempo sege ma istribição normal, o sea, qe o preço a ação sege ma istribição lognormal. Portanto, se assmirmos qe a volatiliae σ a ação é constante e efinirmos µ e S como o retorno esperao e o preço atal e ma eterminaa

16 5 ação sem ivienos e t como m espaço infinitesimal e tempo, estaremos spono qe S = µ S t + σ S. z (..1.1) One z é ma variável qe sege m processo e Wiener. Desenvolveno S, obtemos S = µ S t + σ S. S S S S = µ t + σ. ε ~ N ( µ t, σ t ) One ( a b) ( ε t ) t (..1.) N, representa ma istribição normal e méia a e esvio parão b e ε correspone a ma variável aleatória qe sege ma istribição normal paronizaa. Pelo Lema e Itô, sabemos qe ma variável f qe sea fnção apenas e S e t, one S sege o processo escrito anteriormente, será eqivalente a f f f = µ S + S t + 1 f σ S S f t + σ S z S (..1.3) Observe qe os processos e Wiener encontraos em S e f são iênticos. Portanto, consierano qe S representa o preço e ma ação sem ivienos e qe f representa o preço e m erivativo (isto é, e m ativo o instrmento financeiro co preço eriva o epene) e S e t, poemos compor m portifólio P tal qe f P = S f (o sea, composto por f S niaes S compraas a ação e por ma niae venia o erivativo). Consierano as eqações efinias para S e f, observamos qe ma variação infinitesimal no valor o portifólio poe ser expressa por

17 6 ( ) = = z S S f t S S f t f S S f z S t S S f P f S S f P σ σ µ σ µ 1. t S S f t f P σ + = 1 (..1.4) Como P não apresenta nenhma variável aleatória, se assmirmos ma taxa e ros r constante, poemos consierar qe t P r P = one conclímos qe t P r t S S f t f σ = + 1 t f S S f r t S S f t f σ = S S f S r S f t f f r + + = σ (..1.5) Essa é a eqação iferencial e BS qe, epeneno as conições e contorno (isto é, as características) o erivativo envolvio e a observância as hipóteses o moelo e BS, possibilita a precificação o erivativo. Por exemplo, no caso e ma opção e compra o tipo erope (isto é, co exercício antecipao não é permitio) e ma ação qe não paga ivienos, poemos ezir, segno Hll (00), o preço a opção e compra através e ma precificação netra ao risco obteno: ( ) ( ) 1 N e K N S c rt = (..1.6) ( ) ( ) T T r K S + + = σ σ ln 1 (..1.7)

18 7 = 1 σ T (..1.8) One S representa o preço à vista a ação, K o preço e exercício a opção, T o prazo até o vencimento, σ a volatiliae constante a ação e r a taxa e ros continamente composta e constante. Analogamente, através a precificação netra ao risco, sabemos o preço e ma opção e vena esta ação correspone a p = K e rt N ( ) S N( ) 1 (..1.9) Em 1976, Fischer Black estene a aplicação as eqações acima à precificação e opções e ftros obteno: c = e p = e rt rt [ F N( ) K N( )] 0 1 [ K N( ) F N( )] 0 1 (..1.10) (..1.11) F ln 0 T K + σ = 1 (..1.1) σ T = 1 σ T (..1.13) One F 0 correspone ao valor presente o respectivo contrato e Ftro o Dólar. Em 1983, Mark Garman e Steven Kohlhagen moificaram essas eqações para possibilitar a precificação e opções e moeas. No moelo e Garman- Kohlhagen (GK), os preços as opções e compra e vena são aos por c = S e r T ( ) K e N( ) r int T N 1 om (..1.14) p = K e r om T N rint T ( ) S e N( ) ( S ) + ( rom rint + ) 1 (..1.15) ln σ T = K 1 (..1.16) σ T = 1 σ T (..1.17)

19 8 One r int correspone à taxa e ros livre e risco internacional, continamente composta, e r om, à taxa e ros livre e risco oméstica, também continamente composta. Devemos lembrar qe, aicionalmente ao comportamento lognormal o preço o ativo-base e as taxas e ros livres e risco e constantes, os moelos e BS e GK assmem também as segintes hipóteses: Inexistência e exercício antecipao; Asência e cstos e transação; Asência e oportniaes e arbitragem; Continiae os preços; Divisibiliae total os ativos;.. Árvores Binomiais e Trimoniais O moelo Binomial e precificação e opções, introzio por Sharpe (1978) e posteriormente esenvolvio por Cox, Ross an Rbinstein (1979) e por Renleman e Bartter (1979) é, segno Hll (00), m moelo flexível e conhecio, qe possibilita a precificação e opções com características mais sofisticaas como, por exemplo, exercícios antecipaos e barreiras. A principal hipótese o moelo Binomial assme qe o comportamento os preços e m eterminao ativo-base sege ma istribição binomial, o sea, qe a caa períoo t, o preço S o ativo-base poe somente o amentar para S o iminir para S, tal qe 0 < < 1+ r <, one r é representa a taxa livre e risco.

20 9 Assmino qe esta hipótese sea satisfeita, aotemos como ativo-base ma ação qe, a priori, não paga ivienos e constramos m portifólio composto por ma posição compraa em ações, e preço S, e ma posição venia em ma opção e compra, e preço C, esta ação. Sabemos qe o preço a ação, após o períoo t, corresponerá o a S, com probabiliae q ( 0 < q < 1), o a S, com probabiliae 1 q, e qe o preço a opção será eqivalente, respectivamente, a max ( 0; S K ) o a ( 0; S K ) max, one K representa o preço e exercício a opção. A figra...1 representa o comportamento este portifólio para o períoo t. Figra...1: Comportamento Binomial o Portifólio S C para m Único Períoo Se aotarmos C C = (...1) ( ) S De tal moo qe S C = S (...) C Obteremos m portifólio livre e risco.

21 10 Sabemos qe m portifólio livre e risco eve, na asência e oportniaes e arbitragem, ser remnerao a taxa livre e risco. Portanto, notamos qe o valor ftro este portifólio, após o períoo t, everá ser eqivalente a ( ) t r e C S (...3) Conseqentemente, observamos qe ( ) t r e C S C S = (...4) ( ) ( ) t r e C S S C C C S S C C = (...5) ( ) ( ) t r e C C C C C C = (...6) ( ) ( ) t r e C C C C C C = (...7) = e C e C e C t r t r t r 1 (...8) = e C e C e C t r t r t r (...9) t r t r t r e e C e C C + = (...10) One, aotano e p t r = (...11) Obtemos ( ) [ ] t r e C p C p C + = 1 (...1)

22 11 Analisano a eção a eqação...1, percebemos qe C inepene as probabiliaes sbetivas q e q 1 o investior associaas, respectivamente, ao amento e à reção o preço a ação. Essa característica é fnamental pois inica qe, respeitaas as hipóteses o moelo, poemos assmir na precificação as opções qe os investiores são iniferentes ao risco e qe, portanto, a remneração esperaa para qaisqer ativos corresponerá a taxa livre e risco. Qano estenemos a análise binomial para N períoos, o comportamento a árvore epene os valores escolhios para, e p qe são selecionaos e moo a aproximar a méia e a variância o passeio aleatório iscreto a árvore binomial àqelas o passeio aleatório contíno o ativo-base. Em relação à méia, lembrano qe o retorno esperao e m portifólio livre e risco eve ser eqivalente a taxa livre e risco, observamos qe [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] p C S p C S E e C S E P E t r + = = 1 Tal qe ( ) p p e t r + = 1 (...13) Em relação à variância, notamos qe [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] t p p p p P E P E = σ = 1 1 (...14) One sbstitino p segno a eqação...11 ( ) ( ) ( ) t e e t e e e e t e e e e t r t r t r t r t r t r t r t r t r t r σ σ σ = + + = = Encontramos

23 1 e rt ( + ) + e = σ t rt (...15) As eqações...13 e...15, em connto com ma terceira eqação arbitrária, constitem m sistema e eqações qe possibilita ientificar os parâmetros, e p. Cox, Ross e Rbinstein (1979), Jarrow e R (1983), Hll e White (1988), Trigeorgis (1991) e Tian (1993) são exemplos e aboragens istintas para o cálclo estes parâmetros e para a constrção a árvore binomial. Pelo moelo e CRR, por exemplo, impomos = 1 e moo qe e σ t = (...16) e σ t = (...17) rt e p = (...18) A escolha os parâmetros, e p segno o moelo e CRR é particlarmente interessante porqe, segno Nawalkha e Chambers (1995), assegra a inepenência o moelo binomial e precificação e opções as preferências a risco os investiores, mesmo em m passeio aleatório iscreto. A figra... apresenta o comportamento o moelo Binomial para N períoos.

24 13 Figra...: Comportamento Binomial o Portifólio S C para N Períoos Analisano a figra..., observamos qe se o preço e exercício a opção for conhecio em T, poemos encontrar se preço em m nó qalqer a árvore recrsivamente, partino o último períoo. No caso e ma opção americana e compra, por exemplo, Clewlow e Stricklan (1998) emonstraram qe [ p C + ( 1 p) C ] r t ( e K S ) C i, = max i+ 1, + 1 i+ 1, ; i, (...19) One i representa o número e períoos t observaos e o número e elevações menos reções ocorrias no preço o ativo-base, ambos a partir o instante zero.

25 14 As aboragens e precificação netra ao risco e cálclo recrsivo os preços as opções qe analisamos previamente também poem ser tilizaas na constrção os moelos Trinomiais e precificação e opções. Inicialmente proposto por Parkinson (1977) e posteriormente esenvolvio por Boyle (1986), o moelo Trinomial é ma generalização o moelo Binomial e m caso particlar o moelo e Diferenças Finitas Explícitas. A velociae e convergência, a possibiliae e reversão à méia o ativobase e a faciliae e maniplação as volatiliaes locais em caa nó são algmas vantagens o moelo Trinomial em relação ao moelo Binomial. A figra...3 apresenta o comportamento o moelo Trinomial para m único períoo t qano aotamos o amento, a reção e a mantenção o preço o ativo-base como únicas possibiliaes e variação o mesmo. Figra...3: Comportamento Trinomial o Portifólio S C para Um Único Períoo Analogamente à eção realizaa para o moelo Binomial, a relação entre os parâmetros o moelo Trinomial eve assegrar qe a méia e a variância o passeio aleatório iscreto a árvore trinomial seam eqivalentes àqelas o passeio aleatório contíno o ativo-base.

26 15 Portanto, os parâmetros, e p, p m e p evem satisfazer as eqações E E rt [ P] p + p + p = e = 0 (...0) m [ P ] E[ P] = p + p + p + [ p + p ] = σ t m 0 (...1) p p + p = 1 (...) + m De moo qe, se aotarmos σ 3t = e (...3) = 1 (...4) E esconsierarmos os termos t e segna orem o speriores, obteremos, segno Hll (00) ( r ) 1 6 p = t σ + (...5) 1σ p = m (...6) 3 ( r ) 1 6 p = t σ (...7) 1σ A escolha e σ 3t, segno Clewlow e Stricklan (1998), garante qe as probabiliaes p, p m e p seam positivas e qe as conições e estabiliae e convergência seam atenias. Clewlow e Stricklan (1998) também emonstram qe, se tilizarmos ln S no lgar e S, poemos transformar as eqações...0 e...1 e moo qe x = σ 3t (...8) p p ( x) = ( r ) t x + pm 0 + p σ (...9) x + pm 0 + p ( x) = σ t + ( r σ ) t (...30)

27 16 Segno este moelo, o preço e ma opção americana e compra em m nó qalqer a árvore poe ser encontrao recrsivamente por r t ( e [ ] p C + p C + p C K S ) C i, = max i+ 1, + 1 m i+ 1, i+ 1, 1 ; i, (...31) Variações os moelos binomiais e trinomiais escritos previamente poem ser encontraas em Boyle, Evnine e Gibbs (1989), Maan, Milne e Shefrin (1989), Rbinstein (1994) e Figlewski e Gao (1999)...3 Simlações e Monte Carlo O moelo e simlações e Monte Carlo é m moelo flexível e robsto para a precificação e opções qe simla M vezes o comportamento e ma o mais variáveis aleatórias (o qase aleatórias) estimano, através a méia os valores encontraos nas simlações, o preço o erivativo em análise. Hll (00) comenta qe o moelo e MC apresenta algmas vantagens sobre otros moelos na precificação e opções qe envolvam três o mais variáveis estocásticas o co comportamento os processos estocásticos seam mais complexos. Entretanto, ele estaca como limitações relevantes o moelo o número elevao e simlações necessário para rezir a estimativa o erro e a ificlae no tratamento e eventais exercícios antecipaos. Para encontrar a relação entre o número e simlações e a precisão a estimativa, sponhamos ma variável aleatória x com méia µ x, co valor simlamos M vezes. Sabemos qe

28 17 1 xˆ = (..3.1) M E qe M x = 1 1 sˆ = ˆ (..3.) M 1 M ( x x) = 1 Lembrano qe, pelo Teorema o Limite Central, para M grane, xˆ µ x sˆ M ~ N ( 0;1 ) (..3.3) Conclímos qe, para m ao nível e confiança, sˆ µ x = xˆ ± α NC (..3.4) M Portanto, para rezir o erro a estimativa xˆ precisamos amentar o número e simlações M o rezir a variância ŝ a variável x. Como o tempo e execção está iretamente relacionao ao número e simlações, foram esenvolvias técnicas e reção a variância para aperfeiçoar o moelo e MC. Por exemplo, a técnica a variável antitética, proposta por Boyle (1977), envolve a sbstitição a simlação e ma eterminaa variável aleatória f, e esperança E [ f ] = µ f 1 e, pela simlação a méia aritmética e as variáveis aleatórias f, também e esperança E [ f ] E[ ] = µ correlação negativa. 1 = f, qe apresentem elevaa Analisano a esperança e a variância e f 1 + f [ f ] + E[ f ] f1 + f E 1 E = = E[ f ] ( f ) Var( f ) Cov( f ; ) f + f Var 1 Var = f (..3.5) (..3.6)

29 18 Observamos qe se f 1 e f forem escolhios aeqaamente, poemos f + f 1 obter Var << Var( f ), rezino significativamente o número e simlações necessárias para alcançar m eterminao nível e precisão. Otra técnica esenvolvia para reção e variância, também proposta por Boyle (1977), envolve a tilização e ma variável e controle. Esta técnica poe ser empregaa qano ispomos e m erivativo, similar àqele qe eseamos analisar, qe ofereça ma solção analítica. Por exemplo, seam MC f 1 a solção estimaa pelo moelo e MC para o erivativo sem solção analítica e f e MC f, respectivamente, a solção analítica e estimaa pelo moelo e MC o erivativo similar. Poemos calclar f 1 através a eqação MC ( f f ) MC f1 f1 + = (..3.7) One MC f f se comporta como ma variável e controle. Como Var MC MC ( f ) = Cov( f f ) = Cov( f ; f ) 0 1 ; = (..3.8) Observamos qe MC MC MC MC ( f ) Var( f ) + Var( f ) Cov( f f ) Var 1 = 1 1 ; (..3.9) De moo qe, se escolhermos f apropriaamente, poemos melhorar a estimativa e f 1 rezino sa variância. Aicionalmente as técnicas e reção e variância mencionaas, Boyle, Broaie e Glassserman (1997), Broaie, Glasserman e Jain (1997) e Hll (00) apresentam otros métoos para melhorar o esempenho o moelo e MC como,

30 19 por exemplo, a amostragem por importância, a amostragem estratificaa, o emparelhamento e momentos e as seqüências qase-aleatórias...4 Rees Nerais Artificiais otimizaas por Algoritmos Genéticos..4.1 Rees Nerais Artificiais Segno Haykin (1999), ma ree neral artificial (RNA) é m moelo e inferência qe bsca representar o processo e raciocínio o cérebro hmano rante a execção e algma ativiae. As RNAs são constitías por niaes mais elementares e processamento enominaas nerônios, responsáveis pelo cálclo e eterminaas fnções matemáticas qe, salmente, não são lineares. Os nerônios são agrpaos em ma o mais camaas e interligaos através e m grane número e conexões, as qais são associaas a pesos qe, como veremos posteriormente, representam o conhecimento e ma RNA. Essa estrtra permite a ma RNA realizar o processamento não linear e paralelo e m connto e informações ofereceno, segno Braga et al. (000), m esempenho sperior ao os moelos paralelos convencionais tais como Clstering e Grae e Processamento. As figras e apresentam, respectivamente, m moelo não linear e nerônio (Haykin, 1999) e algmas arqitetras comns e RNAs (Braga et al. 000).

31 0 Figra : Moelo e m Nerônio Não Linear Figra..4.1.: Exemplos e Arqitetras e RNAs No moelo e nerônio apresentao na figra , observamos três componentes fnamentais:

32 1 As sinapses o conexões e entraa x n e ses pesos iniviais w kn qe eterminam a inflência e m eterminao estímlo externo x no nerônio k ; Um combinaor linear as informações transmitias pelas sinapses e e m viés externo (enominao liminar e ativação) e; Uma fnção e ativação ϕ (.) responsável pela normalização a amplite a informação e saía y k one y k m = ϕ ( ) ( υ ) k = ϕ wk x + bk = 1 As fnções e ativação, segno Haykin (1999), poem ser iviias em três grpos básicos: egra, rampa e sigmoial seno este último o mais tilizao na constrção e RNAs. A eqação apresenta m exemplo e ma fnção sigmoial logística: y k 1 = ϕ a 1+ e ( υ) = υ (..4.1.) Como exemplificao na figra..4.1., os nerônios poem ser combinaos e iversas formas, obteno iferentes arqitetras e RNAs. Os parâmetros a arqitetra e ma RNA compreenem a qantiae e camaas a ree, a qantiae e nerônios em caa camaa, o tipo e o peso as conexões entre os nerônios e a topologia a RNA. Segno Haykin (1999), as arqitetras as RNA poem ser classificaas em três classes principais: rees acíclicas (o feeforwar) e ma única camaa, rees acíclicas e múltiplas camaas e rees recorrentes.

33 As rees acíclicas e múltiplas camaas são particlarmente interessantes porqe, como emonstrao por Cybenko (1988), ma RNA com no mínimo as camaas intermeiárias é capaz e aproximar qalqer fnção matemática, contína o não. Um caso particlar as rees acíclicas e múltiplas camaas, previamente tilizao nas aplicações e estos orientaos ao mercao financeiro (Freitas e Soza, 004), são os Mltilayer Perceptrons (MLPs), cas principais características compreenem: A tilização e fnções e ativação não lineares e iferenciáveis, tais como as fnções sigmoiais, para caa nerônio a RNA; A presença e pelo menos ma camaa intermeiária e nerônios entre as camaas e entraa e saía; O elevao número e sinapses (i.e., e conexões) entre os nerônios. Haykin (1999) explica qe a combinação essas características a m processo e aprenizagem apropriao proporciona ma significativa eficiência comptacional na resolção e iversos problemas. Como veremos aiante, o processo e aprenizagem correspone a m algoritmo e treinamento qe extrai as relações relevantes os conntos e informações apresentaos à RNA e os armazena através e m processo iterativo e aste os pesos sinápticos e sas conexões. Ao final o processo, os pesos sinápticos representam o conhecimento qe a RNA aqiri o ambiente no qal ela está atano. Segno Braga et al. (000), os processos e aprenizagem poem ser agrpaos em processos spervisionaos e não spervisionaos. Os processos spervisionaos iferem os processos não spervisionaos por envolverem m

34 3 agente externo responsável pela inicação as respostas ótimas associaas a m eterminao connto e informações e entraa. Como explicao por Haykin (1999) e Braga et al. (000), entre os iversos mecanismos e aprenizao esenvolvios nas últimas écaas, o algoritmo e back-propagation foi particlarmente importante na isseminação os MLPs. O back-propagation é m algoritmo e aprenizao spervisionao por correção e erro qe bsca ientificar o mínimo global e ma sperfície e erro através a análise o graiente e ses pontos. Para calclar o graiente os pontos a sperfície e erro, precisamos conhecer a fnção qe a efine. Analisano a camaa e saía, observamos qe o erro e o nerônio, após o processamento o n-ésimo vetor (i.e., connto e informações) e entraa tilizao no treinamento a RNA, é aa pela fnção e y = ( ) One representa a saía correta o eseaa e saía geraa pela RNA nesta iteração. Aotano e = 1 e C y representa a 1 como a energia instantânea o erro o nerônio e ε como a soma a energia instantânea o erro e toos os nerônios a camaa e saía a RNA, poemos efinir N N n= 1 ˆ ε = 1 ε ( ) One N correspone à qantiae e conntos (também enominaos épocas) e vetores e entraa estinaos ao treinamento a RNA e εˆ, a méia os qaraos as energias instantâneas os erros os nerônios a camaa e saía.

35 4 A figra (Haykin, 1999), emonstra como as informações e entraa o nerônio a camaa e saía (qe corresponem às informações e saía y i os nerônios a camaa anterior) são combinaas e transformaas para se obter a informação e saía y e, conseqentemente, o erro e. Figra : Flxo e Informações e m Nerônio a Camaa e Saía Pela figra , observamos qe m = i=0 w y υ ( ) y y i ( ) ϕ υ i = ( ) m w y = ϕ i i ( ) i= 0 o nerônio. One m correspone à qantiae e entraas e ϕ (.), a fnção e ativação

36 5 Conhecios y i, notamos qe e e, conseqüentemente, ε, são fnções apenas os pesos sinápticos o nerônio. Portanto, a variação e ε é proporcional às sas erivaas parciais em fnção os pesos sinápticos ε w i qe corresponem aos graientes e ε. Pela regra a caeia, sabemos qe ε w i ε = e e y y υ υ w i ( ) One ε e e y y υ υ w i = = = 1 = E, portanto e C e = e ( y ) y ( ϕ( υ )) υ m i=0 w i w = ϕ = 1 y i i ( υ ) = y i ( ) ( ) ( ) ( ) ε w i = e ( ) y ϕ υ i ( ) Lembrano qe o graiente e ε, ε ε cresce, evemos astar mínimo global a sperfície e erro. w i, inica a ireção na qal w i na ireção oposta para localizarmos o ponto e

37 6 Segno Haykin (1999), poemos astar w i através a regra e Wirow-Hoff tal qe w w w i i i = ε η ( ) w i [ ( ) y ] = e ϕ υ η ( ) = y i i η ( ) One η correspone a taxa e aprenizao a RNA, salmente astaa ao longo o processo e treinamento para otimizar o processo e convergência, e, ao graiente local o nerônio. e w i A eqação , conforme emonstrao, possibilita o cálclo iterativo para os nerônios a camaa e saía. Conto, para as camaas intermeiárias a RNA, o erro e não poe ser obtio iretamente, seno necessário aaptar a eqação Analisano-a, notamos qe é fnção e η, e somente epene o erro e w i y i mas qe. Portanto, sponhamos qe o nerônio estea localizao em ma camaa intermeiária e qe o nerônio k, pertença à camaa e saía, conforme emonstra a figra (Haykin, 1999).

38 7 Figra : Flxo e Informações e m Nerônio a Camaa Intermeiária (Invisível) Lembrano qe ( ) e ( ) ϕ υ = 1 ( ) E qe ε e y = ( ) e y υ ε = ( ) υ = 1 e ε ( ) k k C Poemos aplicar a regra a caeia para obter ε y = ( ) y υ ε ( ) ϕ υ ( ) n = (..4.1.) y Pela eqação , observamos qe

39 8 ε ε y y e ( ) ( ) = e n k n k k C e ( ) ( ) = e n k n k k C y υ k υ k y ( ) ( ) Aicionalmente, pela figra , notamos qe e e k k E qe k y = ( ) k ϕ( υ ) k k = ( ) m = =0 k w y k k υ ( ) Portanto, conclímos qe e k υ υ k = y k = ϕ ( ) ( υ ) n k w ( ) n k ( ) ( ) De tal moo qe ε ε y y = ( ) e ( ) ( k n ϕ ( υ k )) wk n k C = ( ) k wk n k C ( ) ( ) Sbstitino ε y na eqação..4.1., encontramos = k k k C ( ) w ϕ υ ( ) One observamos qe trocano e por w k C poemos calclar recrsivamente através os pesos sinápticos w k e o graiente local as camaas posteriores (neste caso, a camaa e saía). k k k

40 9 Portanto, para camaas intermeiárias, a eqação , qe calcla os astes necessários aos respectivos pesos sinápticos, eve tilizar a w i eqação para calclar o graiente local. Definias as eqações tilizaas no aste os pesos sinápticos rante caa iteração, poemos resmir, segno Haykin (1999), o treinamento seqüencial e ma RNA através o algoritmo e back-propagation nas segintes etapas: 1.) Inicialização os pesos sinápticos com valores aleatórios (assmino qe não existam informações prévias isponíveis) segno ma istribição normal com méia zero e esvio parão apropriaos (i.e., qe não inicializem ( 0) ϕ (.) ). υ na região e satração a fnção e ativação.) Introção o vetor e entraa a época em análise e cálclo o vetor e saía y a RNA. Nesta etapa, as saías y são atalizaas seqencialmente, a camaa e entraa para a camaa e saía a RNA, enqanto os pesos sinápticos w i permanecem inalteraos. 3.) Cálclo os astes segno as eqações emonstraas w i previamente. Nesta etapa, os pesos sinápticos w i são atalizaos seqencialmente, a camaa e saía para a camaa e entraa a RNA, enqanto as saías y os nerônios a RNA permanecem inalteraas. 4.) Repetição as etapas e 3 até qe os critérios e paraa (isctios posteriormente) seam atenios o até qe toos os vetores e entraa e toas as épocas isponíveis seam processaos.

41 30 Infelizmente, o processo elineao previamente escreve a implementação básica o algoritmo e back-propagation qe proporciona ma performance fraca em termos e velociae e resposta. Devio a esta eficiência, certas moificações tais como a tilização e técnicas herísticas (momento, taxa e aprenizao variável o propagação reversa resiliente, por exemplo) o métoos e otimização nmérica (graiente congao, qasi-newton o Levenberg-Marqart, por exemplo) são necessárias para melhorar o esempenho a RNA. O aprofnamento teórico estas variações o algoritmo e backpropagation, qe são exastivamente isctias em Hagan, Demth e Beale (1995), foge ao escopo este trabalho. Entretanto, as segintes características observaas por Hagan, Demth e Beale (1995) evem ser enfatizaas: A convergência o algoritmo e Levenberg-Marqart é salmente sperior para os problemas e aproximação e fnções (tais como a precificação e opções) one a RNA é composta por apenas algmas ezenas e pesos sinápticos. Infelizmente, os recrsos comptacionais e armazenamento exigios para sa aplicação são consieráveis. O algoritmo e qasi-newton exibe esempenho próximo ao algoritmo e Levenberg-Marqart, reqer menos capaciae e armazenamento mas exige ma maior capaciae e processamento. Os algoritmos e graiente congao emonstram boa performance para iferentes tipos e problemas, especialmente qano a qantiae e pesos sinápticos a RNA é elevaa. O algoritmo e propagação reversa resiliente salmente apresenta melhores resltaos para os problemas e ientificação e parões.

42 31 Consierano as características estacaas por Hagan, Demth e Beale (1995) e as análises e Valença (1999) e Prêncio (00), aotaremos o algoritmo e back-propagation e Levenberg-Marqart em nossa análise. Posteriormente, isctiremos como combiná-lo aos algoritmos genéticos para compará-lo aos emais moelos e precificação previamente mencionaos. Aicionalmente à escolha o algoritmo apropriao e treinamento, evemos aina consierar os segintes aspectos finais no processo e constrção a RNA: Análise e tratamento e m evental overfitting (i.e., reção a capaciae e generalização evio à memorização os ríos) a RNA, particlarmente relevante no treinamento com algoritmos híbrios como veremos posteriormente. Poemos izer qe o overfitting correspone a ma sobre-parametrização e m moelo como, por exemplo, a tilização e m polinômio e gra emasiaamente elevao na realização e ma interpolação polinomial poe ser consieraa ma sitação e overfitting. Para a reção o overfitting relacionaos aos problemas e aproximação e fnções, Montana e Davis (1989) e Stepniewski e Keane (1996) recomenam: O métoo e reglarização Bayesiana, qe consiste na alteração a fnção e erro a ser minimizaa para qe a mesma consiere e penalize pesos sinápticos elevaos (forçano ma savização a resposta a RNA e rezino, conseqüentemente, a inflência e ríos). O métoo e paraa antecipaa, qe compreene a ivisão as informações e entraa em ois grpos istintos: m e treinamento

43 3 e otro e valiação. Este último grpo é tilizao para acompanhar e encerrar o processo e treinamento qano a resposta a RNA apresentar sinais e eterioração após m períoo razoável e convergência. Este métoo é particlarmente sensível a mínimos locais (comns em sperfícies complexas). A escrição a implementação estes métoos poe ser encontraa em Montana e Davis (1989), Hagan, Demth e Beale (1995), Stepniewski e Keane (1996) e Haykin (1999). Normalização as informações e entraa e saía. Transformação as informações e entraa tilizano a Análise e Componentes Principais (PCA) para: Eliminação e otliers e; Ortogonalização os vetores e entraa. Inicialização aeqaa os pesos sinápticos e vieses através o algoritmo e Ngyen-Wirow qe rez o tempo e treinamento e otimiza a tilização os nerônios a RNA. A escrição este algoritmo poe ser encontraa em Hagan, Demth e Beale (1995). A segir, isctiremos as características e os comportamentos os algoritmos genéticos (AGs) e como combiná-los às RNAs para constrir m algoritmo híbrio qe será posteriormente tilizao na precificação os instrmentos erivativos analisaos neste trabalho...4. Algoritmos Genéticos

44 33 Os algoritmos genéticos (AGs), inicialmente propostos por Hollan (1975), poem ser efinios, segno Golberg (1989), como algoritmos estocásticos e bsca e otimização paralela baseaas no princípio Darwiniano e reproção genética e seleção natral os inivíos mais aptos. Assim como no processo evoltivo Darwiniano, o processo e otimização os AGs para a solção ótima (o qase-ótima) e ma fnção baseia-se na variação iterativa e informações mais elementares enominaas genes e cromossomos. A caa geração (i.e., iteração), os cromossomos o inivíos (i.e., possíveis solções a fnção) a poplação (i.e., connto e possíveis solções simltaneamente avaliaas) sofrem alterações ecorrentes os processos e crzamento e mtação, qe isctiremos posteriormente. Estes processos moificam os genes (i.e., variáveis qe compõem ma possível solção) os cromossomos atais gerano novas poplações qe, conforme emonstrao por Golberg (1989), Davis (1991) e Chen (00), tenem a apresentar, estatisticamente, inivíos mais aptos, segno ma eterminaa fnção e aptião. Basicamente, o processo e otimização pelos AGs envolve: A efinição e ma poplação inicial. A constrção iterativa e aaptativa e novas gerações a poplação inicial qe, por sa vez, compreene: Um processo seletivo os inivíos mais qalificaos a poplação atal, segno ma aa fnção e aptião; Um processo e crzamento one genes os inivíos escolhios pelo processo seletivo são combinaos para gerar m novo inivío;

45 34 Um processo e mtação aleatória nos parões genéticos a poplação atal responsável pela iversificação os inivíos as novas gerações. A efinição e critérios e paraa para o processo e otimização. A etapa e inicialização a poplação inicial consiste, salmente, na escolha aleatória e ma poplação e cromossomos, o sea, e possíveis solções para a fnção qe eseamos otimizar. Conto, como explicao por Chen (00), esta escolha aleatória eve consierar a iversiae e o tamanho a poplação inicial qe são parâmetros particlarmente importantes para a velociae e confiabiliae a convergência os AGs. Infelizmente, os valores estes parâmetros evem ser empiricamente efinios, pois variam e acoro com o problema analisao. O processo seletivo, qe correspone ao primeiro passo a etapa e constrção e ma nova geração a poplação, tiliza ma fnção e aptião qe associa a caa inivío ma nota qe efine se gra e participação no processo e reproção. Apesar e intitiva, a participação proporcional os inivíos a sa respectiva nota não é recomenaa por Davis (1991) e Mitchell (1996), pois permite qe inivíos com notas elevaas ominem excessivamente o processo reprotivo rezino emasiaamente o potencial e iversificação a poplação. Como alternativa, Davis (1996) sgere qe as notas a fnção e aaptação seam tilizaas apenas para orenar os inivíos e, posteriormente, sbstitías por notas proporcionais às posições os inivíos conforme a eqação n = 1 (..4..1) p

46 35 One p correspone à posição o inivío baseaa na nota original e n, a nota astaa qe tilizaremos na seleção os inivíos mais aptos. Calclaas as notas astaas, migramos (i.e., copiamos) sem alterações (mtação o crzamento) os inivíos e elite (i.e., os 5% a 10% melhores entre os mais aptos) para a nova geração a poplação para otimizar o processo e convergência. Dentre os inivíos selecionaos remanescentes, tilizamos m processo estocástico, one a probabiliae e seleção e caa inivío é proporcional à sa nota astaa, para eleger aqeles qe participarão, ma o mais vezes, os processos e crzamento e mtação. O processo (também enominao operaor) e crzamento, segno Chen (00), é m mecanismo e bsca qe possibilita ientificar novas solções tilizano as melhores solções previamente encontraas. O crzamento extrai os genes (características) os melhores inivíos a poplação atal e os recombina gerano novos inivíos, possivelmente mais aptos. Os genes poem ser crzaos (i.e., recombinaos) e iferentes formas tais como crzamento e ponto único, crzamento e ponto plo, crzamento niforme, entre otros. Conto, como explicao por Montana e Davis (1989), Koza e Rice (1991) e Zhang e Mlhlenbein (1993), epeneno a coificação as informações genéticas (i.e., a forma como as informações o problema em análise serão representas pelos genes e cromossomos), o crzamento poe comprometer o processo e otimização, como veremos posteriormente rante a iscssão os moelos híbrios e RNAs e AGs.

47 36 A figra apresenta o comportamento os iferentes tipos e crzamento mencionaos. Figra..4..1: Comportamentos os Diferentes Tipos e Crzamento A caa crzamento, novas máscaras o pontos e crzamento são escolhios aleatoriamente para expanir o niverso e possíveis combinações. O processo (o operaor) e mtação, segno Chen (00), é m mecanismo qe proporciona iversiae às novas gerações permitino ao AG gerar inivíos qe não seam apenas recombinações os inivíos originais. Conto, como o processo e mtação é comptacionalmente lento, pois se assemelha a m processo e bsca exastiva pelo espaço e possíveis solções, e

48 37 eve ser tilizao conntamente com otros mecanismos e bsca mais eficientes tais como o crzamento. A figra..4.. apresenta o comportamento o processo e mtação no caso e ma representação binária e genes (i.e., one os genes poem assmir apenas os valores 0 o 1). Figra..4..: Comportamentos o Processo e Mtação Finalmente, a etapa e verificação os critérios e paraa consiste na análise as características a poplação atal e e sa evolção em relação à geração anterior. Usalmente, os critérios e paraa compreenem: O número e gerações (i.e., iterações) qe o AG eve exectar rante o processo e bsca e otimização; O tempo máximo para ientificação a solção ótima (o qase-ótima) e; A precisão mínima e aptião qe a solção encontraa pelo AG eve observar. Qano m estes critérios é exceio, o AG encerra sa bsca. Aicionalmente, poemos impor as restrições splementares: O número máximo e gerações sem melhorias na aptião as novas poplações;

49 38 O tempo máximo sem melhorias na aptião as novas poplações; Estas restrições aicionais nos aam a ientificar ma evental convergência prematra o AG e, conseqüentemente, ma necessiae e revisão os parâmetros estabelecios para o AG. Veremos a segir qe, qano combinaas às RNAs, os AGs segem as mesmas etapas há poco isctias. Entretanto, sa implementação varia segno os parâmetros a RNA qe serão otimizaos e segno a aboragem tilizaa na representação estas informações para tratamento pelo AG Combinano Rees Nerais Artificiais e Algoritmos Genéticos Montana e Davis (1989) e Schaffer, Whitley e Eshelman (199) explicam qe a combinação as RNAs e os AGs poe ser tilizaa para ientificar eterminaos parâmetros as RNAs (tais como a topologia e os pesos sinápticos) e para contornar algmas limitações inerentes as RNAs (tais como a necessiae e fnções eriváveis e a ificlae no tratamento e mínimos locais). Por exemplo, Montana e Davis (1989) propõe o so e AGs no processo e treinamento e RNAs cas sperfícies e erro relacionaas seam mito complexas. Nestes casos, a presença e iversos mínimos locais preica significativamente a tilização os algoritmos e back-propagation. Otro exemplo apresentao por Whitley, Starkweather e Bogart (1990), sgere a tilização e AGs para a eterminação a topologia ótima a RNA, particlarmente relevante no tempo e treinamento, na precisão a resposta e na eterminação a capaciae e generalização a RNA.

50 39 Conto, a tilização e algoritmos híbrios empregano AGs salmente reqer mais recrsos comptacionais e, conseqüentemente, maior tempo e processamento. Por este motivo, a efinição o genótipo (i.e., a representação coificaa as informações) a estrtra a RNA (i.e., topologia, pesos sinápticos e liminares e ativação e emais parâmetros) qe pretenemos aperfeiçoar é m aspecto fnamental na constrção o moelo híbrio. Como explicao por Dasgpta e McGregor (199), Gra (1993) e Gra, Whitley e Peyatt (1996), poemos escolher entre as aboragens para a coificação o fenótipo (i.e., a representação não coificaa as informações) em se respectivo genótipo: a ireta o a inireta. A coificação ireta, e implementação mais simples, correspone salmente à representação binária as informações a RNA. Conto, como emonstrao por Maniezzo (1994), sa aplicação se restringe as RNAs com pocos parâmetros para qe a eficiência o AG não sea comprometia. A coificação inireta envolve a representação estrtraa (como, por exemplo, ma árvore e nerônios) as informações a RNA possibilitano ao AG ientificar, simltaneamente, a solção e a interepenência qase-ótimas contia no connto e informações analisao. Conto, como estacao por Koza e Rice (1991), a coificação estrtraa reqer a tilização e operaores e mtação e crzamento mais sofisticaos qe, salmente, não satisfazem o Teorema os Esqemas e Hollan (1975), necessário à convergência o moelo. Como agravante, na coificação inireta o operaor e crzamento convencional freqüentemente casa a eterioração as características a RNA.

51 40 Wanrooi (1994) comenta qe evio à ificlae e elaboração e operaores e crzamento mais complexos qe respeitem ao Teorema os Esqemas, iversas aboragens e AGs evitam a tilização este operaor. No caso a coificação ireta, se bscarmos otimizar apenas os pesos sinápticos a RNA (consierano constantes as emais características a RNA tais como a topologia e as taxas e aprenizao), o processo e treinamento e ma RNA otimizaa por AGs sege m processo similar ao processo tilizao para as RNAs convencionais. Por exemplo, aaptano o processo efinio por Haykin (1999) para o treinamento seqüencial e ma RNA através o algoritmo e back-propagation, ientificamos as segintes etapas: 1.) Inicialização os pesos sinápticos com valores aleatórios (assmino qe não existam informações prévias isponíveis) segno ma istribição normal com méia zero e esvio parão apropriaos (i.e., qe não inicializem ( 0) ϕ (.) ). υ na região e satração a fnção e ativação.) Introção o vetor e entraa a época em análise e cálclo o vetor e saía y a RNA. Nesta etapa, as saías y são atalizaas seqencialmente, a camaa e entraa para a camaa e saía a RNA, enqanto os pesos sinápticos w i permanecem inalteraos. 3.) Cálclo os astes segno ma fnção e aptião orientaa w i pelas eqações , e qe realiza a bsca estocástica, baseaa no crzamento e na mtação binária os pesos sinápticos, a poplação qase-ótima.

52 41 4.) Nesta etapa, os pesos sinápticos w i também são atalizaos seqüencialmente, a camaa e saía para a camaa e entraa a RNA, enqanto as saías y os nerônios a RNA permanecem inalteraas. 5.) Repetição as etapas e 3 até qe os critérios e paraa (precisão, qantiae e iterações, reção a capaciae e generalização, etc.) seam atenios o até qe toos os vetores e entraa e toas as épocas isponíveis seam processaos. Finalmente, qano a otimização os pesos sinápticos pelo AG não apresentar melhorias significativas após m eterminao número e iterações (i.e., qano ma solção qase-ótima for ientificaa pelo AG), sbstitímos o processo estocástico e seleção genética pelo mecanismo e otimização e Levenberg- Marqart para acelerar o processo e convergência.

53 4 3 METODOLOGIA Os contratos e opção a BM&F e compra o vena sobre a taxa e câmbio e reais por ólar comercial (salmente enominaos contratos e opção e ólar à vista) são contratos e opção o tipo erope co ativo-base é a taxa e câmbio e reais por ólar para entrega pronta (PTAX800 Opção 5). Inicialmente, tilizamos toas as informações isponíveis sobre os contratos e opção e compra e ólar à vista. Conto, como a liqiez estes instrmentos no mercao local é limitaa, nem toas as informações isponíveis agregaram conhecimento as iferentes RNAs analisaas. Por exemplo, as informações as opções com vencimentos mais longos (i.e., com vencimentos speriores a m mês) foram consieraas río por toas as RNAs treinaas. Nestes casos, qano mitigamos o efeito e overfitting, as RNAs não foram capazes e inferir o prêmio as opções com vencimentos e prazos maiores como veremos no capítlo seginte. Apenas os contratos e opção e compra com prazos e vencimento menores apresentam m volme e negócios iário sficiente para a precificação pelo moelo e RNAs, pois estas reqerem amostras e tamanho razoável para treinamento e aaptação as sas sinapses. Dao a restrição e liqiez, para caa preço e exercício, concentramos nossa análise apenas sobre os primeiros vencimentos isponíveis (qe, evio à paronização pela BM&F, ocorre sempre no primeiro ia útil o mês sbseqüente). Aicionalmente, para mitigar o risco e otliers, consieramos apenas as opções qe apresentaram mais e m negócio iário e ca volatiliae implícita, calclaa pela eqação e Garman-Kohlhagen, foi inferior a 00%a.a.

54 43 Provavelmente, para amostras maiores e para ma RNA com boa capaciae e generalização (i.e., one o efeito e overfitting sea mitigao), esses limites mínimo e negociações iárias e máximo e volatiliae não precisariam ser aotaos pois a RNA seria capaz e ientificá-los como istorções. Bscano analisar m cenário macroeconômico estável, sem choqes extremos (como, por exemplo, o Plano Real e a esvalorização cambial), consieramos somente os negócios realizaos iariamente entre 04 e aneiro e 1999 e 30 e novembro e 006. Devio à asência e informações mais etalhaas, empregamos apenas as cotações e taxas méias os instrmentos ivlgaos neste períoo. Em relação às análises, isctiremos a implementação os iferentes moelos e precificação propostos, as características as iferentes RNAs avaliaas e o processo e comparação o csto o elta heging e caa aboragem tilizaos na análise a eficiência a RNA otimizaa por AGs. No caso o moelo e GK, observano as eqações..1.14, e..1.17, notamos qe são necessários os segintes parâmetros: A cotação S o ólar na ata a negociação; O preço e exercício K ; O prazo T até o vencimento; A taxa e ros oméstica livre e risco r (contína e constante) até o vencimento; A taxa o cpom cambial q (contína e constante) até o vencimento; A volatiliae o ólar σ. Aotamos como taxa e ros oméstica livre e risco, a taxa o contrato ftro e taxa méia e epósitos interfinanceiros e m ia (salmente

55 44 enominaos contratos ftros e DI), co primeiro vencimento ocorre na mesma ata o vencimento o contrato e opção e compra o ólar comercial. Esses contratos ftros e DI tilizam base e 5 ias úteis e taxas compostas analizaas, qe apropriaamente convertemos para taxas contínas efetivas. Como taxa o cpom cambial, aotamos a taxa o contrato ftro e cpom cambial (salmente enominaos contratos ftros e DDI), co primeiro vencimento ocorre também na mesma ata os vencimentos os contratos e opção e compra o ólar comercial e e ftro e DI. As taxas estes contratos foram convertias a base linear como 360 ias corrios para taxas contínas efetivas. Como volatiliae o ólar, aotamos a volatiliae implícita analizaa encontraa nos contratos e opção e compra o ólar comercial qe calclamos tilizano a fnção blsimpv o Financial toolbox o MATLAB, ma vez conhecios os emais parâmetros as eqações..1.6,..1.7 e No caso o prazo até o vencimento, consieramos apenas os ias úteis (aotano m ano base e 5 ias úteis) entre a ata e negociação e a ata e vencimento a opção. Para consistência com a taxa e ros e com a volatiliae, os prazos foram calclaos em anos. Analisamos também o moelo e Black (one sbstitímos S por F 0 e aotamos r = q ). Conto, evio à similariae os resltaos com o moelo e GK, eciimos consierar apenas este último nas comparações. No caso os moelos Lattice, aotamos as Árvores Trinomiais pela asência o erro e trncagem, etalhaa por Figlewski e Gao (1997). Para a constrção as árvores trinomiais e precificação, tilizamos as eqações...5, e...35 e os mesmos parâmetros (inclino a volatiliae

56 45 implícita) tilizaos para o moelo e BS. Toos os cálclos tilizaram N = 50 (i.e., 50 passos). No caso as simlações e Monte Carlo, aotamos o moelo com reção e variância tilizano ma variável antitética (vinclaa ao comportamento estocástico log-normal o preço S ). Para a implementação o moelo e MC, tilizamos as eqações..3.1 e..3. e os mesmos parâmetros tilizaos no moelo e BS. Toos os cálclos tilizaram M = (i.e., simlações) e N variável, segno o prazo, em ias úteis, entre a ata e negociação e o vencimento a respectiva opção (i.e., e 1 a 1 passos). Finalmente, no caso os moelos e RNA otimizaas por AG, foram avaliaas RNAs com iferentes topologias, números e nerônios por camaa e fnções e ativação salmente consierano os mesmos parâmetros tilizaos pelo moelo e GK. A tabela 3.1 apresenta as principais arqitetras analisaas. Tabela 3.1: Resmo as Configrações e RNA com AG Analisaas Configração a Topologia Recorrência Informações e Entraa Não S, K, T, r, q, Não S, K, T, r, q, 5--1 Não S, K, T, r, q, 5--1 Sim S, K, T, r, q, Não Não S, K, T, r, q, e preços e commoities S, K, T, r, q, e preços e commoities 7-1 Não S, K, T, r, q, 5-1 Sim S, K, T, r, q,

57 46 Detalhano melhor as configrações, comecemos pela configração qe representa m MLP traicional (i.e., ma RNA com arqitetra acíclica one toos os nerônios o entraas a camaa anterior estão conectaos a toos os nerônios a camaa seginte) com seis parâmetros e entraa (os mesmos tilizaos nos moelos anteriores), ez nerônios na primeira camaa, cinco nerônios na segna e m nerônio na última camaa. Utilizamos várias combinações e iferentes fnções e ativação, exibias na figra 3., nos nerônios a RNA. Entretanto, como veremos no capítlo e Análise, esse moelo não emonstro bom esempenho, possivelmente evio à qantiae limitaa e informações isponíveis para o treinamento os mitos pesos sinápticos essa RNA (pois como isctiremos posteriormente, neste processo tilizamos apenas ma parte a á rezia amostra e informações enqanto empregamos a parte restante nos processos e teste e valiação). Figra 3.1: Fnções e Ativação Utilizaas

58 47 A figra 3. apresenta a topologia a RNA com configração Figra 3.: Topologia a RNA com Configração Prossegino, a configração apresenta também m MLP similar a RNA com configração mas com ma qantiae menor e nerônios. Mesmo com a reção o efeito e overfitting, veremos posteriormente qe o esempenho esta configração também foi insatisfatório. A configração 5--1 com recorrência, baseaa na configração 5--1 acíclica qe comentaremos posteriormente, não foi capaz e replicar (o sperar) os bons resltaos apresentaos pela configração 5--1 sem recorrência. Este esempenho se eve a eterioração casaa pelo operaor e crzamento binário rante a otimização os pesos sinápticos. Para evitar essa

59 48 egeneração os pesos sinápticos, ientificamos qe seriam necessárias regras aicionais (capazes e proporcionar ao processo a habiliae e contornar o comportamento mltimoal e eceptiva as RNAs, qe comentaremos posteriormente) para irecionar a evolção genética os pesos sinápticos. A figra 3.3 apresenta a topologia a RNA com configração 5--1 com recorrência. Figra 3.3: Topologia a RNA com Configração 5--1 com Recorrência As configrações e são variações as rees acíclicas isctias anteriormente qe tilizam informações e entraa aicionais, relacionaas aos preços os contratos ftros e erivativos agropecários, e bscam avaliar se estes contratos agregam informações relevantes (tais como impactos ftros na balança comercial) ao processo e precificação os contratos e opções e ólar à vista.

60 49 Nestas configrações, tilizamos os segintes contratos ftros e erivativos agropecários: Açúcar Cristal Especial Álcool Aniro Carbrante Algoão Bezerro Boi Goro Café Arábica Conto, como os vencimentos estes contratos e erivativos agrícolas não são compatíveis com o vencimento os contratos e opções e ólar à vista, calclamos as taxas implícitas nestes contratos agrícolas astano-as pró-rata com base nos ias úteis até o vencimento o respectivo contrato e opção e ólar procrao. Infelizmente, como veremos no capítlo e Análise, essas informações não proporcionaram nenhma informação relevante para a precificação os contratos e opção e ólar. As figras 3.4 e 3.5 apresentam as topologias as RNAs com configrações e

61 Figra 3.4: Topologia a RNA com Configração

62 51 Figra 3.5: Topologia a RNA com Configração As configrações 7-1 e 5-1 com recorrência são arqitetras mais simples qe não foram capazes e captar aeqaamente o conhecimento associao ao comportamento os preços os contratos e opção e ólar. Este comportamento era esperao pois como isctimos anteriormente, segno Cybenko (1988), são necessárias pelo menos as camaas intermeiárias para permitir qe fnções matemáticas mais complexas possam ser aproximaas por ma RNA.

63 5 com recorrência. A figra 3.6 apresenta as topologias as RNAs com configrações 7-1 e 5-1 Figra 3.6: Topologias as RNAs com Configrações 7-1 e 5-1 com Recorrência É importante notarmos qe toos os moelos com recorrência analisaos, apesar e teoricamente mais qalificaos, segno Haykin (1999), para captrar características e interepenência temporal (como, por exemplo, a heteroceasticiae a volatiliae) apresentaram instabiliae qano otimizaos por AGs evio ao operaor e crzamento. Finalmente, a figra 3.7 apresenta a topologia a RNA com configração sem recorrência, responsável pelo melhor esempenho entre as configrações testaas.

64 53 Figra 3.7: Topologia com Melhor Desempenho Camaa 1 Camaa Camaa 3 S X σ c T r q Detalhano a configração a RNA apresentaa na figra 3.1, encontramos na primeira camaa cinco nerônios completamente conectaos aos parâmetros e entraa. Caa nerônio tiliza m combinaor linear (i.e., m somatório) os parâmetros e entraa e ma fnção e ativação tangente hiperbólica. Analogamente, encontramos na segna camaa ois nerônios completamente conectaos às saías os nerônios a primeira camaa. Caa nerônio esta camaa tiliza m combinaor linear e sas entraas. Conto, m os nerônios tiliza ma fnção e ativação tangente hiperbólica e otro, ma fnção linear pra (i.e., ma fnção e primeiro gra one y = x, x R ). Finalmente, na terceira e última camaa notamos qe as entraas o único nerônio presente estão conectaas as as saías os nerônios a segna camaa. Este nerônio tiliza m combinaor linear para as sas entraas, mas emprega ma fnção e ativação linear positiva pra (i.e., ma fnção e primeiro gra one y = x, x > 0 e y = 0, x 0 ) qe assegra a inexistência e prêmios negativos.

65 54 A fnção e treinamento a RNA, responsável pelo aste os pesos sinápticos e os vieses, foi sbstitía por ma fnção híbria associaa à fnção e aptião o AG. A fnção híbria inicialmente tiliza os mecanismos estocásticos sais o AG para otimizar os parâmetros a RNA enqanto melhorias relevantes forem ientificaas nestes parâmetros. Conto, qano ela etecta 0 iterações scessivas sem variações significativas (i.e., inferiores a % o valor absolto) os pesos sinápticos e os vieses, os AGs são sbstitíos pelo algoritmo e Levenberg-Marqart para agilizar a convergência para a solção ótima. A fnção e performance, responsável pela meição Erro Qarático Méio (EQM) a RNA qe serve como referência à fnção e treinamento, foi moificaa para tilizar o mecanismo e reglarização bayesiana, responsável pela minimização o overfitting. O parâmetro épocas a RNA, responsável pelo número e vezes qe o connto e informações e treinamento é reprocessao pela fnção e treinamento, foi astao para 100. Os critérios e paraa parcial, tilizaos em caa iteração e aste os parâmetros a RNA pelo AG, foram efinios como: O número máximo e 150 gerações o; O tempo máximo para otimização e 30 segnos o; A precisão mínima inferior a 1,0E-3, eterminao pela fnção e performance o;. Os critérios e paraa total o treinamento a RNA foram configraos para observar:

66 55 A precisão mínima inferior a 1,0E-3, segno a fnção e performance o; A eterioração a capaciae e iversificação a RNA presente caso a fnção e performance á tenha alcançao ma precisão mínima e 1,0E- e caso seam observaos pelo menos 15 resltaos sbseqüentes e contínos com menor precisão. Para possibilitar a valiação os critérios e paraa e a avaliação não favorecia o moelo e RNA otimizao por AGs, o connto e informações isponível composto por N = 570 vetores conteno os preços o ativo base, os preços e exercício, as volatiliaes, as taxas e ros e os prazos até o vencimento foi istribío aleatoriamente em três grpos: Um para treinamento a RNA conteno 60% a amostra; Um para valiação a RNA conteno 10% a amostra e; Um para análise a eficiência a RNA conteno os 30% restantes a amostra. Qe foram orenaos seqencialmente segno a ata e vencimento, o preço e vencimento e a ata e negociação. O connto e informações e análise, composto por informações e aproximaamente 1700 ias e negociação, proporciono informações para a análise e 155 operações e elta heging, calclaas para caa m os moelo propostos. Para caa operação e elta heging, consieramos toos os ias úteis compreenios entre a ata a primeira negociação e a ata e vencimento e m ao par ata e vencimento / preço e exercício.

67 56 Para caa ia útil entro este períoo, tilizamos as informações mais recentes isponíveis (preço o ativo base, taxa e ros e volatiliae) para o cálclo o elta a opção, replicano a última volatiliae implícita isponível caso não hovesse negociação no ia útil em análise. No caso o moelo e BS, o elta tilizao nas operações e elta heging foi obtio pela fnção blselta o Financial toolbox o MATLAB. Nos emais moelos, o elta foi calclao analiticamente, através a eqação: c S c = ( S + S, X,r,T, σ ) c( S, X,r, T,σ ) S (3.1) One aotamos S = 1,0 E 4. Finalmente, comparamos os valores o csto as operações e elta heging bscano confirmar se o moelo e RNA otimizao por AGs apresenta cstos inferiores aos os emais moelos propostos.

68 57 4 ANÁLISES O primeiro passo a análise compreene a avaliação a capaciae os moelos e RNAs com AGs e analisar as informações o mercao isponíveis a priori (como, por exemplo, o preço o ativo base, a taxa e ros e a volatiliae esperaa) e precificar coerentemente (i.e., com significância estatística) as opções tilizano como referência os prêmios observaos a posteriori no mercao. Poemos proceer com esta avaliação realizano ma regressão linear pelo métoo e Mínimos Qaraos Orinários para confirmar se poemos o não reeitar a hipótese nla e qe o preço as opções encontrao pelas RNAs (grpo e análise) é similar ao preço negociao no mercao. c = α + β one merc c RNA α = 0 H 0 : (4.1) β = 1 Inicialmente, realizamos as análises as iferentes RNAs isctias no capítlo anterior tilizano too o connto e informações isponíveis (i.e., toas as informações sobre contratos e opções e compra e ólar à vista isponíveis). Como sgerem as regressões a segir, observamos qe apenas a configração 5--1 consegi precificar com algma precisão os contratos e opções e ólar.

69 58 Figra 4.1: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração Figra 4.: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração 6-3-1

70 59 Figra 4.3: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração 5--1 com Recorrência Figra 4.4: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração 1-4-1

71 60 Figra 4.5: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração 7-1 Figra 4.6: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração 5--1

72 61 Conto, observamos qe mesmo esta configração não apresento bom esempenho na precificação e opções com vencimentos mais longos. Para ientificar as casas este comportamento, realizamos novamente a regressão a RNA com configração 5--1 removeno o mecanismo e reglarização bayesiana tilizao para minimizar o efeito e overfitting. Pela figra 4.7, notamos qe esta moificação proporciono ma melhora na precificação as opções com vencimentos mais longos mas caso m amento significativo o overfitting as informações e treinamento (i.e., ma reção relevante na capaciae e precificação a RNA). Figra 4.7: Comparação o Preço e Mercao a Opção com o Preço calclao pela RNA com Configração 5--1 sem Reglarização Bayesiana Poemos spor, portanto, qe evio à significativa escassez e informações isponíveis para as opções e vencimento mais longo, o processo e treinamento com reglarização bayesiana aeqo os pesos sinápticos