Tópico 2 trito entre sólidos 147 Tópico 2 1 (GV-S) O sistem indicdo está em repouso devido à forç de trito entre o bloco de mss de 10 k e o plno horizontl de poio. Os f ios e s polis são ideis e dot-se = 10 m/s 2. 10 k O f io e poli são ideis e o coef iciente de trito estático entre o corpo do homem e mes vle 0,40. Se o homem está n iminênci de deslizr sobre mes, qul o vlor d mss M? T = d M = μ e m M = μ e m M = 0,40 70 (k) M = 28 k Respost: 28 k 4,0 k 6,0 k ) Qul o sentido d forç de trito no bloco de mss de 10 k, pr esquerd ou pr direit? b) Qul intensidde dess forç? ) O sistem tende se movimentr em sentido horário. forç de trito no bloco de mss 10 k será diriid pr esquerd, de modo impedir que ele escorreue. b) 10 k 4 E.R. Um cix de peso 10 kf ch-se em repouso sobre um mes horizontl. Clcule intensidde d forç de trito exercid sobre cix qundo el é empurrd por um forç horizontl de 2,0 kf. O coef iciente de trito estático entre cix e mes vle 0,30. situção descrit está esquemtizd bixo: Inicilmente, vmos clculr intensidde d forç de trito de destque entre cix e mes: T 2 T 1 (I) T 1 = 1 = m 1 T 1 = 6,0 10 (N) T 1 = 60 N (II) T 2 = 2 = m 2 T 2 = 4,0 10 (N) T 2 = 40 N (III) + T 2 = T 1 + 40 = 60 = 20 N Resposts: ) r esquerd; b) 20 N 2 r colocr um bloco de peso 100 N n iminênci de movimento sobre um mes horizontl, é necessário plicr sobre ele um forç, prlel à mes, de intensidde 20 N. Qul o coef iciente de trito estático entre o bloco e mes? d = μ e d = μ e d = μ e d = μ e Sendo μ e = 0,30 e = 10 kf, vem: d = 030 10 (kf) Donde: d = 3,0 kf Como forç com que cix é empurrd (2,0 kf) é menos intens que forç de trito de destque (3,0 kf), temos um situção de equilíbrio. cix permnece em repouso e forç de trito estático exercid sobre el tem intensidde 2,0 kf: = 2,0 kf 5 Sobre um piso horizontl, repous um cix de mss 2,0 10 2 k. Um homem empurr, plicndo-lhe um forç prlel o piso, conforme suere o esquem bixo: 20 = μ e 100 μ e = 0,20 Respost: 0,20 3 N situção esquemtizd n f iur, um homem de mss 70 k está deitdo sobre um mes horizontl pr submeter-se um terpi por trção: M O coef iciente de trito estático entre cix e o piso é 0,10 e, no locl, = 10 m/s 2. Determine: ) intensidde d forç com que o homem deve empurrr cix pr colocá-l n iminênci de movimento; b) intensidde d forç de trito que se exerce sobre cix qundo o homem empurr com 50 N. ) = d = μ e = μ e m = 0,10 2,0 10 2 10 (N) = 2,0 10 2 N
148 RTE II DINÂMIC b) Como < d (50 N < 200 N), cix permnece em repouso e = = 50 N. Resposts: ) 2,0 10 2 N ; b) 50 N 6 E.R. N f iur bixo, um homem está empurrndo um foão de mss 40 k, plicndo sobre ele um forç, prlel o solo plno e horizontl. O coef iciente de trito estático entre o foão e o solo é iul 0,75 e, no locl, dot-se = 10 m/s 2. 7 Considere situção esquemtizd n f iur, em que um tijolo está poido sobre um pltform de mdeir pln e horizontl. O conjunto prte do repouso no instnte t 0 = 0 e pss descrever um trjetóri retilíne com velocidde de intensidde V, vriável com o tempo, conforme o ráf ico presentdo. No locl, influênci do r é desprezível. Movimento Supondo que o foão está n iminênci de escorrer, clcule: ) intensidde de ; b) intensidde d forç C de contto que o foão recebe do solo. No esquem bixo, representmos s forçs que em no foão: : forç plicd pelo homem; d : forç de trito de destque (movimento iminente); : forç d rvidde (peso); n : forç norml. V 0 t t 1 t 2 t 3 dmitindo que não hj escorremento do tijolo em relção à pltform e dotndo um referencil f ixo no solo, ponte lterntiv que melhor represent s forçs que em no tijolo nos intervlos de 0 t 1, de t 1 t 2 e de t 2 t 3 : ) de 0 t 1 de t 1 t 2 de t 2 t 3 d b) ) Equilíbrio n verticl: = = m = 40 10 (N) c) = 400 N Equilíbrio n horizontl: = d = μ e = 0,75 400 (N) d) = 300 N b) forç C é resultnte d som vetoril de td com. plicndo o Teorem de itáors, vem: e) C (I) De 0 t 1 : Movimento retilíneo e uniformemente celerdo pr direit. d C 1 C 2 = 2 n + 2 t d C 2 = (400) 2 + (300) 2 1 C 1 = 1 + C = 500 N
Tópico 2 trito entre sólidos 149 (II) De t 1 t 2 : Movimento retilíneo e uniforme pr direit. 2 = 0 (III) De t 2 t 3 : Movimento retílineo e uniformemente retrddo pr direit. O triânulo retânulo é isósceles, loo: = = m = n m ( n = número de blocos) = n 15 10 (N) = n 150 (N) r mover o contêiner: > dest n 150 > 500 n > 3,33... blocos n mín = 4 blocos C 3 Respost: d 3 Respost: d C 3 = 3 + 8 (uvest-s mod.) r vencer o trito e deslocr um rnde contêiner C, no sentido indicdo, é necessári um forç horizontl que supere 500 N. N tenttiv de movê-lo, blocos de mss m = 15 k são pendurdos em um f io, que é esticdo entre o contêiner e o ponto n prede, como n f iur. 9 N situção d f iur, o bloco e o prto pesm, respectivmente, 80 N e 1,0 N. O coef iciente de trito estático entre e o plno horizontl de poio vle 0,10 e desprezm-se os pesos dos f ios e o trito no eixo d poli. No locl, = 10 m/s 2. Sentido do deslocmento C pretendido 45 r movimentr o contêiner, é preciso pendurr no f io, no mínimo: (dote = 10 m/s 2.) ) 1 bloco. c) 3 blocos. e) 5 blocos. b) 2 blocos. d) 4 blocos. Esquem de forçs no ponto do f io em que são pendurdos os blocos: M Dispõe-se de 20 blocos iuis, de 100 de mss cd um, que podem ser colocdos sobre o prto. ) Colocndo-se dois blocos sobre, qul intensidde d forç de trito exercid em? b) Qul o número de blocos que deve ser colocdo sobre, pr que f ique n iminênci de se movimentr? ) d d = 0,10 80 (N) d = 8,0 N = prto + 2 p = 1,0 + 2 0,10 10 (N) 45º T = 3,0 N Como d, o sistem permnece em repouso e forç de trito estático exercid em vle 3,0 N. N situção de equilíbrio, linh polionl de, T e deve ser fechd. b) prto + n p = d 1,0 + n 0,10 10 = 8,0 n = 7 bloquinhos Resposts: ) 3,0 N; b) 7 bloquinhos T 45º 10 (Unirio-RJ) Um cix vzi, pesndo 20 N, é colocd sobre um superfície horizontl. o tur sobre el um forç tmbém horizontl, el começ se movimentr qundo intensidde d forç super 5,0 N; chei de áu, isso contece qundo intensidde d forç super 30 N. Qul mss de áu contid n cix? (dmit = 10 m/s 2.)
150 RTE II DINÂMIC (I) Cix vzi: 1 = d1 1 1 5,0 20 µ e = 0,25 (II) Cix com áu: 2 = d2 2 ( 1 + m) 30 = 0,25 (20 + m 10) m = 10 k Respost: 10 k 11 Sobre um plno inclindo, de ânulo vriável, poi-se um cix de pequens dimensões, conforme suere o esquem seuir. É importnte notr que forç de trito tem sentido oposto o d tendênci de escorremento do bloco, porém o mesmo sentido do movimento do cminhão. forç que celer o bloco em relção à pist é ; loo, plicndo 2 Lei de Newton: = M (I) O bloco está em equilíbrio n verticl; loo: = = M (II) Como o bloco não deve escorrer, o trito entre ele e crroceri é estático. ssim: d μ (III) Substituindo (I) e (II) em (III), seue que: M μ M μ máx = μ Not: Observe que celerção clculd independe d mss do bloco. 13 N situção d f iur, os blocos e têm msss m = 4,0 k e m = 6,0 k. celerção d rvidde no locl tem módulo 10 m/s 2, o trito entre e o plno horizontl de poio é desprezível e o coef iciente de trito estático entre e vle μ e = 0,50. Sbendo-se que o coef iciente de trito estático entre cix e o plno de poio vle 1,0, qul o máximo vlor de pr que cix ind permneç em repouso? t = d sen cos t = 1 = 45 Respost: 45 12 E.R. N f iur, represent-se um cminhão inicilmente em repouso sobre um pist pln e horizontl. N su crroceri, poi- -se um bloco de mss M. M Sendo μ o coef iciente de trito estático entre o bloco e crroceri e o vlor d celerção d rvidde locl, determine máxim intensidde d celerção que o cminhão pode dquirir sem que o bloco escorreue. N f iur o ldo, estão representds s forçs que em no bloco: : forç d rvidde (peso); : reção norml; : forç de trito. M Desprezndo-se o efeito do r, qul máxim intensidde d forç, prlel o plno, de modo que não se movimente em relção? (I) 2 Lei de Newton pr o bloco : td d = m máx µ e m = m máx máx máx = 0,50 10 (m/s 2 ) máx = 5,0 m/s 2 máx (II) 2 Lei de Newton pr o conjunto + : máx = (m + m b ) máx máx = (4,0 + 6,0) (5,0) (N) máx = 50 N Respost: 144 s 14 Considere dus cixs, e, de msss respectivmente iuis 10 k e 40 k, poids sobre crroceri de um cminhão que trfe em um estrd ret, pln e horizontl. No locl, influênci do r é desprezível. Os coef icientes de trito estático entre e e crroceri vlem μ = 0,35 e μ = 0,30 e, no locl, = 10 m/s 2.
Tópico 2 trito entre sólidos 151 r que nenhum ds cixs escorreue, mior celerção (ou descelerção) permitid o cminhão tem intensidde iul : ) 3,5 m/s 2 ; c) 2,5 m/s 2 ; e) 1,5 m/s 2. b) 3,0 m/s 2 ; d) 2,0 m/s 2 ; máxim celerção (ou descelerção) permitid pr que não hj escorremento de qulquer cix é dd por: máx = μ (vide ER 12) Cix : = μ = 0,35 10 = 3,5 m/s 2 Cix : = μ = 0,30 10 = 3,0 m/s 2 Optmos pelo menor vlor, 3,0 m/s 2, um vez que, qundo cix estiver n iminênci de escorrer, cix ind não estrá ness situção. Respost: b 15 E.R. Um homem comprime um cix contr um prede verticl, plicndo-lhe com o dedo um forç de intensidde perpendiculr à prede, conforme represent f iur. 16 N f iur, um cix de peso iul 30 kf é mntid em equilíbrio, n iminênci de deslizr, comprimid contr um prede verticl por um forç horizontl. Sbendo que o coef iciente de trito estático entre cix e prede é iul 0,75, determine, em kf: ) intensidde de ; b) intensidde d forç de contto que prede plic n cix. ) d Sendo m mss d cix e intensidde d celerção d rvidde e desprezndo o trito entre o dedo e cix, respond: qul é o menor coef iciente de trito estático entre cix e prede que impede o seu escorremento? N f iur bixo, representmos s forçs que em n cix: Equilíbrio n verticl: d = d = 30 kf Equilíbrio n horizontl: = = d = 30 0,75 μ e (kf) = 40 kf b) : forç plicd pelo homem; : forç d rvidde (peso); : reção norml d prede; : forç de trito. Se não há escorremento d cix em relção à prede, o trito é estático. Loo: μ e (I) Equilíbrio n horizontl: = (II) Equilíbrio n verticl: = = m (III) Substituindo (II) e (III) em (I), vem: m μ e. μ e m Donde: μ emín = m Teorem de itáors: C 2 = 2 + 2 t d n C 2 = (30) 2 + (40) 2 C = 50 kf Resposts: ) 40 kf ; b) 50 kf C d
152 RTE II DINÂMIC 17 (Unifesp-S) Um bonequinh está pres, por um ímã el coldo, à port verticl de um eldeir. ) Desenhe esquemticmente ess bonequinh, representndo e nomendo s forçs que tum sobre el. b) Sendo m = 20 mss totl d bonequinh com o ímã e μ = 0,50 o coef iciente de trito estático entre o ímã e port d eldeir, qul deve ser o menor vlor d forç mnétic entre o ímã e eldeir pr que bonequinh não ci? Ddo: = 10 m/s 2. 18 N situção esquemtizd n f iur bixo, um trtor rrst um tor cilíndric de 4,0 10 3 N de peso sobre o solo plno e horizontl. Se velocidde vetoril do trtor é constnte e forç de trção exercid sobre tor vle 2,0 10 3 N, qul é o coef iciente de trito cinético entre tor e o solo? Movimento ) em que: = forç peso = forç de trito m m = forç mnétic n = forç norml d prede b) Equilíbrio n horizontl: = m (I) Equilíbrio n verticl: = (II) r que bonequinh não ci, o trito entre o ímã e port d eldeir deve ser do tipo estático: d µ (III) Substituindo (I) e (II) em (III), vem: µ m m µ m m m µ m 0,40 N Resposts: ) m 20 10 3 10 0,50 m mmín = 0,40 N (N) = forç d rvidde (peso) = forç de trito m = forç mnétic = reção norml d prede C = + é forç totl de contto entre bonequinh e port d eldeir. b) 0,40 N MRU: c = T = T T = T = = 20 10 3 4,0 10 3 = 0,50 Respost: 0,50 19 N situção esquemtizd bixo, um bloco de peso iul 40 N está inicilmente em repouso sobre um mes horizontl. Os coef icientes de trito estático e dinâmico entre bse do bloco e superfície d mes vlem, respectivmente, 0,30 e 0,25. dmit que sej plicd no bloco um forç horizontl. dotndo = 10 m/s 2, indique os vlores que preenchem s lcuns d tbel o ldo com s intensiddes d forç de trito e d celerção do bloco correspondentes às mnitudes def inids pr forç. d = = d = 0,30 40 (N) d = 12 N c = = c = 0,25 40 (N) c = 10 N (N) (N) (m/s 2 ) 10 12 30 O bloco entrrá em movimento se intensidde de superr 12 N. No cso de inicir-se o escorremento, forç de trito será do tipo dinâmico, com intensidde iul 10 N. = 10 N: Repouso = = 10 N e = 0 = 12 N: Repouso = = 12 N e = 0 = 30 N: MUV = 0 c = m 30 10 = 40 = 5,0 m/s2 10 Resposts: (N) (N) (m/s 2 ) 10 10 0 12 12 0 30 10 5,0
Tópico 2 trito entre sólidos 153 20 E.R. Um cix de fósforos é lnçd sobre um mes horizontl com velocidde de 2,0 m/s, prndo depois de percorrer 2,0 m. No locl do experimento, influênci do r é desprezível. dotndo pr o cmpo rvitcionl módulo iul 10 m/s 2, determine o coef iciente de trito cinético entre cix e mes. f iur seuinte ilustr o evento descrito no enuncido: 2,0 m b) MUV: Equção de Torricelli: V 2 = C V2 + 2α C 0 = (20) 2 + 2 ( 2,0) C Donde: C = 100 m V C = V + α t 0 = 20 2,0 t Donde: t = 10 s Resposts: ) 2,0 m/s 2 ; b) 100 m; 10 s c Inicilmente, devemos clculr o módulo d celerção de retrdmento d cix de fósforos. r isso, plicmos Equção de Torricelli: v 2 = v 2 + 2α d 0 Como v = 0, v 0 = 2,0 m/s e d = 2,0 m, vem: 0 = (2,0) 2 + 2 α 2,0 α = 1,0 m/s 2 = α = 1,0 m/s 2 forç resultnte responsável pel fred d cix é forç de trito cinético. el 2 Lei de Newton, podemos escrever: c = m (I) Entretnto: c = = m (II) Comprndo (I) e (II), clculmos, f inlmente, o coef iciente de trito cinético : m = m = = 1,0 m/s2 10 m/s 2 = 0,10 21 N f iur, o esquidor prte do repouso do ponto, pss por com velocidde de 20 m/s e pr no ponto C: C 22 Os blocos e d f iur seuinte têm msss respectivmente iuis 2,0 k e 3,0 k e estão sendo celerdos horizontlmente sob ção de um forç de intensidde de 50 N, prlel o plno do movimento. Sbendo que o coef iciente de trito de escorremento entre os blocos e o plno de poio vle μ = 0,60, que = 10 m/s 2 e que o efeito do r é desprezível, clcule: ) o módulo d celerção do sistem; b) intensidde d forç de interção trocd entre os blocos n reião de contto. ) = μ = μ m = 0,60 2,0 10 (N) = 12 N = μ = μ m = 0,60 3,0 10 (N) = 18 N t 2 Lei de Newton pr o conjunto + : = (m + m ) 50 12 18 = (2,0 + 3,0) Donde : = 4,0 m/s 2 b) 2 Lei de Newton pr o bloco : = m 18 = 3,0 4,0 = 30 N O trecho C é plno, reto e horizontl e oferece os esquis um coef iciente de trito cinético de vlor 0,20. dmitindo desprezível influênci do r e dotndo = 10 m/s 2, determine: ) intensidde d celerção de retrdmento do esquidor no trecho C; b) distânci percorrid por ele de té C e o intervlo de tempo sto nesse percurso. ) 2 Lei de Newton: c = m = m m = m = = 0,20 10 (m/s 2 ) = 2,0 m/s 2 Resposts: ) 4,0 m/s 2 ; b) 30 N 23 (Unesp-S) f iur ilust um bloco, de mss m = 2,0 k, tdo um bloco, de mss m = 1,0 k, por um f io inextensível de mss desprezível. O coef iciente de trito cinético entre cd bloco e mes é. Um forç de intensidde = 18,0 N é plicd o bloco, fzendo com que os dois blocos se desloquem com velocidde constnte. m m Considerndo-se = 10,0 m/s 2, clcule: ) o coef iciente de trito ; b) intensidde d trção T no f io.
154 RTE II DINÂMIC ) MRU do conjunto + : + = m + m = (2,0 10,0 + 10,0 10,0) = 18,0 Donde : = 0,60 b) MRU do bloco : T = T = m T = 0,60 2,0 10,0 (N) T = 12,0 N Resposts: ) 0,60 ; b) 12,0 N 24 O corpo, de 5,0 k de mss, está poido em um plno horizontl, preso um cord que pss por um roldn de mss e trito desprezíveis e que sustent em su extremidde o corpo, de 3,0 k de mss. Nesss condições, o sistem present movimento uniforme. dotndo = 10 m/s 2 e desprezndo influênci do r, determine: O dirm que represent corretmente s orientções ds forçs de trito estático que o solo exerce sobre s rods é: ) b) rod motriz (com trção) empurr o chão pr trás e recebe deste, pelo trito, um forç diriid pr frente ( ). rod prsit (sem trção) é rrstd pr frente juntmente com o veículo e rsp o chão tmbém pr frente, recebendo deste, pelo trito, um forç diriid pr trás (f t ). Rod prsit Rod motriz c) d) f t É importnte destcr que, no cso de um movimento celerdo: >> f t ) o coef iciente de trito cinético entre o corpo e o plno de poio; b) intensidde d celerção do sistem se colocrmos sobre o corpo um mss de 2,0 k. ) MRU de : T = = m T = 3,0 10 (N) T = 30 N MRU de : c = T m = T 5,0 10 = 30 = 0,60 b) 2 Lei de Newton pr o sistem + : + p c = (m + m +m) 3,0 10 + 2,0 10 0,60 5,0 10 = 10 Donde : = 2,0 m/s 2 Resposts: ) 0,60; b) 2,0 m/s 2 25 E.R. (Uerj) Considere um crro de trção dinteir que celer no sentido indicdo n f iur bixo. O motor é cpz de impor às rods de trção, por meio de um torque, um determindo sentido de rotção. Só há movimento qundo há trito, pois, n su usênci, s rods de trção ptinm sobre o solo, como contece em um terreno enlmedo. 26 (ESCEX-S mod.) f iur bixo represent um utomóvel em movimento retilíneo e celerdo d esquerd pr direit. Os vetores desenhdos junto às rods representm os sentidos ds forçs de trito exercids pelo chão sobre s rods. Sendo ssim, pode-se f irmr que o utomóvel: ) tem trção pens ns rods trseirs. b) tem trção ns qutro rods. c) tem trção pens ns rods dinteirs. d) move-se em ponto morto, isto é, sem que nenhum ds rods sej trciond. e) está em lt velocidde. Respost: 27 N f iur, está representdo o limpdor de prbris de um crro. O prelho está funcionndo e tnto su borrch qunto o vidro sobre o qul el desliz podem ser considerdos homoêneos. dmitindo que compressão do limpdor sobre o prbris sej uniforme em tod extensão, podemos f irmr que: osição 1 osição 2
Tópico 2 trito entre sólidos 155 ) d posição 1 à posição 2, velocidde nulr médi d extremidde é mior que d extremidde ; b) d posição 1 à posição 2, celerção nulr médi d extremidde é menor que d extremidde ; c) d posição 1 à posição 2, velocidde liner médi d extremidde é iul à d extremidde ; d) forç de trito n reião próxim d extremidde é mis intens que forç de trito n reião próxim d extremidde ; e) borrch próxim d extremidde desst-se mis rpidmente que borrch próxim d extremidde. ) ω m = Δ e ω Δ t m = ω m b) γ m = Δ ω e γ Δ t m = γ m = 0 c) v m = Δ s e v Δ t m > v m d) c = e c = c e) N reião d extremidde, borrch desst-se mis rpidmente devido à mior distânci percorrid durnte um determindo tempo de utilizção do limpdor. c = = m c = 0,40 2,0 10 (N) c c = 8,0 N 2 Lei de Newton, plicd o bloco, permite escrever que: c = m 16 8,0 = 2,0 = 4,0 m/s 2 29 Um homem empurr horizontlmente um cofre de mss m = 100 k sobre um plno horizontl, conforme indic f iur. Respost: e 28 E.R. Um bloco de 2,0 k de mss repous sobre um plno horizontl qundo lhe é plicd um forç, prlel o plno, conforme represent f iur bixo: Os coef icientes de trito estático e cinético entre o bloco e o plno de poio vlem, respectivmente, 0,50 e 0,40 e, no locl, celerção d rvidde tem módulo 10 m/s 2. Clcule: ) intensidde d forç de trito recebid pelo bloco qundo = 9,0 N; b) o módulo d celerção do bloco qundo = 16 N. Despreze o efeito do r. Devemos, inicilmente, clculr intensidde d forç de trito de destque entre o bloco e o plno de poio: d = μ e d = μ e = μ e m Sendo μ e = 0,50, m = 2,0 k e = 10 m/s 2, vem: d = 0,50 2,0 10 (N) d = 10 N ) forç, presentndo intensidde 9,0 N, é insuf iciente pr vencer forç de trito de destque (10 N). or isso, o bloco permnece em repouso e, nesse cso, forç de trito que ele recebe equilibr forç, tendo intensidde 9,0 N: = 9,0 N b) Com = 16 N, o bloco dquire movimento, sendo celerdo pr direit. Nesse cso, o trito é cinético e su intensidde é dd por: O cofre encontr-se inicilmente em repouso e sbe-se que os coef i- cientes de trito estático e cinético entre ele e o plno de poio vlem, respectivmente, 0,820 e 0,450. Considerndo = 10 m/s 2, clcule: ) intensidde d forç de trito recebid pelo cofre se forç plicd pelo homem vler 8,00 10 2 N; b) o módulo d celerção do cofre se forç plicd pelo homem vler 8,50 10 2 N. ) d m d = 0,820 100 10 (N) d = 8,20 10 2 N Com = 8,00 10 2 N, o homem não conseue vencer o trito de destque e, por isso, o cofre permnece em repouso. Loo: = = 8,00 10 2 N b) c = µ c = µ c m c = 0,450 100 10 (N) c = 4,50 10 2 N 2 Lei de Newton: c = m 8,50 10 2 4,50 10 2 = 100 4,00 10 2 = 100 = 4,00 m/s 2 Resposts: ) 8,00 10 2 N; b) 4,00 m/s 2 30 E.R. No esquem seuinte, represent-se um livro inicilmente em repouso sobre um mes horizontl, sendo empurrdo horizontlmente por um homem; é forç que o homem plic no livro e é forç de trito exercid pel mes sobre o livro. Represent-se, tmbém, como vri intensidde de em função d intensidde de. No locl, influênci do r é desprezível e dot-se = 10 m/s 2.
156 RTE II DINÂMIC (N) 10 8,0 5,0 k dmitindo que o f io e poli sejm ideis e desprezndo influênci do r: ) esboce o ráf ico d intensidde d forç de trito recebid pel cix em função d intensidde d forç exercid pelo homem n cord; b) clcule mss d cix e o coef iciente de trito entre el e o plno de poio ( = 10 m/s 2 ). 0 10 20 (N) Com bse no ráf ico e nos demis ddos, determine: ) os coef icientes de trito estático e cinético entre o livro e mes; b) o módulo d celerção do livro qundo = 18 N. ) Determinção do coef iciente de trito estático (μ e ): Observndo o ráf ico, percebemos que forç de trito máxim (de destque) que o livro recebe d mes vle d = 10 N. prtir disso, podemos escrever que: d = μ e = μ e m 10 = μ e 5,0 10 μ e = 0,20 Determinção do coef iciente de trito cinético ( ): Observndo o ráf ico, notmos que forç de trito cinético que e no livro depois de inicido seu movimento vle c = 8,0 N. Dess conclusão, seue que: c = = m 8,0 = 5,0 10 = 0,16 b) Clculmos o módulo d celerção do livro plicndo ele 2 Lei de Newton: 5,0 k c ) forç de trito estático cresce linermente de 0 100 N, qundo cix inici seu escorremento. prtir dí o trito se torn cinético, com vlor constnte de 100 N. (N) 100 0 100 150 (N) b) 2 Lei de Newton pr cix no cso em que = 150 N, = 100 N e = 1,0 m/s 2 : = m 150 100 = m 1,0 m = 50 k = µ = µ m 100 = µ 50 10 µ = 0,20 Resposts: ) (N) 100 c = m 18 8,0 = 5,0 = 2,0 m/s 2 0 100 b) 50 k e 0,20 150 (N) 31 No rrnjo experimentl d f iur, o homem pux cord pr esquerd e, com isso, conseue celerr horizontlmente cix pr direit: Os dois rmos do fio são horizontis 32 E.R. Ns dus situções esquemtizds bixo, um mesm cix de peso 20 N deverá ser rrstd sobre o solo plno e horizontl em movimento retilíneo e uniforme. O coef iciente de trito cinético entre cix e superfície de poio vle 0,50. 1 2 O módulo de celerção d cix vri com intensidde d forç que o homem plic n cord, conforme o ráf ico. (m/s 2 ) 1,0 0 100 150 (N) Ddos: sen = 0,80 e cos = 0,60. Desprezndo influênci do r, clcule s intensiddes ds forçs 1 e 2 que stisfzem à condição citd. Decompondo 1 ns direções horizontl e verticl, obtemos, respectivmente, s componentes 1x e 1y, de intensiddes dds por:
Tópico 2 trito entre sólidos 157 1x = 1 cos e 1y = 1 sen Equilíbrio n verticl: Equilíbrio n horizontl: 1 1y 1 c1 1 x 1 + 1 sen = 1 + 0,80 1 = 20 1 = 20 0,80 1 1 cos = 1 0,60 1 = 0,50 (20 0,80 1 ) 1 = 10 N Decompondo, or, 2 ns direções horizontl e verticl, obtemos, respectivmente, s componentes 2x e 2y, de intensiddes dds por: 2x = 2 cos e 2y = 2 sen Equilíbrio n verticl: Equilíbrio n horizontl: 2x 2 2y 2 = + 2 sen 2 = 20 + 0,80 2 2 2 cos = 2 0,60 2 = 0,50 (20 + 0,80 2 ) 2 = 50 N c2 33 Considere o esquem seuinte, em que se represent um bloco de 1,0 k de mss poido sobre um plno horizontl. O coef iciente de trito de rrstmento entre bse do bloco e superfície de poio vle 0,25 e celerção d rvidde, no locl, tem módulo 10 m/s 2. (II) Cálculo de : + v = + sen = + 10 0,60 = 1,0 10 = 4,0 N (III) Cálculo d celerção: x c = m cos µ c = m 10 0,80 0,25 4,0 = 1,0 = 7,0 m/s 2 Respost: 34 (Efomm-RJ) Os blocos e representdos n f iur possuem msss de 3,0 k e 2,0 k respectivmente. superfície horizontl onde eles se deslocm present um coef iciente de trito cinético iul 0,30. 1 e 2 são forçs horizontis que tum nos blocos. 1 (30 N) 2 (10 N) dotndo = 10 m/s 2 e desprezndo o efeito do r, determine: ) o módulo d celerção do sistem; b) intensidde d forç de contto entre e. Cálculo ds forçs de trito nos blocos e : = µ m = 0,30 3,0 10 = 9,0 N = µ m = 0,30 2,0 10 = 6,0 N ) 2 Lei de Newton pr o conjunto + : 1 2 ( + ) = (m + m ) 30 10 (9,0 + 6,0) = (3,0 + 2,0) = 1,0 m/s 2 b) 2 Lei de Newton pr o bloco : 2 = m 10 6,0 = 2,0 1,0 = 18 N Resposts: ) 1,0 m/s 2 ; b) 18 N forç, cuj intensidde é de 10 N, form com direção horizontl um ânulo constnte, tl que sen = 0,60 e cos = 0,80. Desprezndo influênci do r, ponte lterntiv que trz o vlor correto d celerção do bloco: ) 7,0 m/s 2 ; c) 4,0 m/s 2 ; e) 1,5 m/s 2. b) 5,5 m/s 2 ; d) 2,5 m/s 2 ; (I) Esquem ds forçs: c y x 35 Sobre o plno horizontl d f iur, poim-se os blocos e, interlidos por um f io inextensível e de mss desprezível. O coef iciente de trito estático entre os blocos e o plno vle 0,60 e o cinético, 0,50. No locl, inf luênci do r é desprezível e dot-se = 10 m/s 2. 3,0 k 2,0 k Sbendo que forç é horizontl e que su intensidde vle 50 N, clcule: ) o módulo d celerção do sistem; b) intensidde d forç de trção no f io. d = µ d m = 0,60 2,0 10 = 12 N d = µ d m = 0,60 3,0 10 = 18 N td, = 12 + 18 = 30 N
158 RTE II DINÂMIC Como d (50 N 30 N), os blocos são rrstdos sobre o plno de poio e o trito é do tipo cinético. c = µ c m = 0,50 2,0 10 = 10 N c = µ c m = 0,50 3,0 10 = 15 N tc, = 10 + 15 = 25 N ) 2 Lei de Newton pr o conjunto + : tc, = (m + m ) 50 25 = (2,0 + 3,0) = 5,0 m/s 2 b) 2 Lei de Newton pr o bloco : T c = m T 15 = 3,0 5,0 T = 30 N Resposts: ) 5,0 m/s 2 ; b) 30 N 36 (uvest-s) Um vão de cr, trnsportndo sobre seu piso plno um cix de mss m, desloc-se com velocidde constnte v 0 sobre trilhos retilíneos e horizontis. Em ddo instnte, o vão choc- -se com um pedr sobre os trilhos e pr instntnemente. cix começ, então, deslizr sobre o piso, prndo ntes de tinir extremidde do vão. Sbe-se que o coef iciente de trito entre cix e o piso do vão vle μ e celerção d rvidde tem intensidde iul. m v 0 37 (Vunesp-S) Dois blocos, e, mbos de mss m, estão lidos por um f io leve e flexível, que pss por um poli de mss desprezível, que ir sem trito. O bloco está poido sobre um crrinho de mss 4 m, que pode se deslocr sobre superfície horizontl sem encontrr qulquer resistênci. f iur mostr situção descrit. m 4 m Qundo o conjunto é liberdo, desce e se desloc com trito constnte sobre o crrinho, celerndo-o. Sbendo que o coef iciente de trito dinâmico entre e o crrinho vle 0,20 e fzendo = 10 m/s 2, determine: ) o módulo d celerção do crrinho; b) o módulo d celerção do sistem constituído por e. ) 2 Lei de Newton pr o crrinho: = 4 m c µ m = 4 m c 0,20 10 = 4 c c = 0,50 m/s 2 m ) Durnte qunto tempo cix desliz? b) Qul distânci percorrid pel cix sobre o vão? 4 m c ) (I) Cálculo d celerção de retrdmento d cix: = m = µ m = µ b) 2 Lei de Newton pr o conjunto + : = (m + m ) m µ m = 2 m 10 0,20 10 = 2 = 4,0 m/s 2 Resposts: ) 0,50 m/s 2 ; b) 4,0 m/s 2 v 38 E.R. (Cesesp-E) Um f in corrente metálic encontr-se prcilmente dependurd de um mes, como ilustr f iur. (II) Cálculo do intervlo de tempo de deslizmento: MUV: v = v 0 + α t 0 = v 0 µ t t = v 0 µ b) v 2 = v 2 + 2α Δs 0 = 0 v2 + 2 ( µ ) d 0 v 2 0 d = 2 µ Resposts: ) v 0 µ ; b) v 2 0 2 µ Se o coef iciente de trito estático entre corrente e mes for μ, qul é frção mínim do comprimento d corrente que deve ser mntid sobre mes pr que corrente não escorreue? dmitmos corrente n iminênci de escorrer. Nesse cso, forç de trito recebid pelo trecho poido n mes é iul à forç de trito de destque.
Tópico 2 trito entre sólidos 159 = d = μ (I) Sejm L o comprimento d corrente, M su mss totl e m mss do comprimento (L x) pendente n verticl. nlisndo o equilíbrio d corrente, temos: = p = m (II) = totl p = (M m) (III) Substituindo (II) e (III) em (I), vem: m = μ (M m) m M m = μ (IV) Como corrente é supost homoêne, su densidde liner ρ é constnte, isto é, relção entre mss considerd e o respectivo comprimento é sempre mesm. m L x = ρ e M m = ρ x Donde: m L x = M m x m M m = L x x Comprndo (IV) e (V), seue que: L x = μ L x = μ x x L = (μ + 1) x x L = 1 μ + 1 Observe que frção x é menor possível (mínim), já que corrente está n iminênci de L escorrer. 39 (U-RJ) Um pno de prto retnulr, com 60 cm de comprimento e constituição homoêne, está em repouso sobre um mes, prte sobre su superfície, horizontl e f in, e prte pendente, como mostr f iur. Sbendo-se que o coef iciente de trito estático entre superfície d mes e o pno é iul 0,50 e que o pno está n iminênci de deslizr, pode-se f irmr que o comprimento d prte sobre mes é: ) 40 cm. b) 45 cm. c) 50 cm. d) 55 cm. e) 58 cm. no de prto em escorremento iminente: pendente = d m pendente (m totl m pendente ) k (L ) k [L (L )] L 60 = 0,50 = 40 cm Respost: x p (V) 40 N f iur seuinte, superfície S é horizontl, intensidde de é 40 N, o coef iciente de trito de rrstmento entre o bloco e superfície S vle 0,50 e = 10 m/s 2. S 2,0 k 3,0 k Sob ção d forç, o sistem é celerdo horizontlmente e, nesss condições, o bloco present-se n iminênci de escorrer em relção o bloco. Desprezndo influênci do r: ) determine o módulo d celerção do sistem; b) clcule o coef iciente do trito estático entre os blocos e. ) 2 Lei de Newton pr o conjunto + : = (m +m ) μ S (m + m ) = (m + m ) 40 0,50 5,0 10 = 5,0 = 4,0 cm b) 2 Lei de Newton pr o bloco : = m μ m = m μ 10 = 3,0 μ = 0,30 Resposts: ) 3,0 m/s 2 ; b) 0,30 41 Um pequeno bloco é lnçdo pr bixo o lono de um plno com inclinção de um ânulo com horizontl, pssndo descer com velocidde constnte. Sendo o módulo d celerção d rvidde e desprezndo influênci do r, nlise s proposições seuintes: I. O coef iciente de trito cinético entre o bloco e o plno de poio depende d áre de contto entre s superfícies tritntes. II. O coef iciente de trito cinético entre o bloco e o plno de poio é proporcionl. III. O coef iciente de trito cinético entre o bloco e o plno de poio vle t. IV. forç de reção do plno de poio sobre o bloco é verticl e diriid pr cim. Respond medinte o códio: ) Somente I e III são correts. b) Somente II e IV são correts. c) Somente III e IV são correts. d) Somente III é corret. e) Tods são incorrets.
160 RTE II DINÂMIC (III) Corret. c = I m cos = m sen = t (IV) Corret. MRU C Se o bloco desce o plno inclindo com velocidde constnte (MRU), resultnte ds forçs sobre ele deve ser nul. or isso, forç de contto plicd pelo plno inclindo ( C ) deve equilibrr forç peso ( ). C + = 0 C = É importnte notr que C = + C 2 Lei de Newton pr o bloco: t c = m m sen µ c m cos = m 6,0 50 5,0 10 10 0,40 5,0 10 8,0 10 = 5,0 = 0,80 m/s 2 Respost: 0,80 m/s 2 44 N situção esquemtizd n f iur, o f io e poli são ideis; desprez-se o efeito do r e dot-se = 10 m/s 2. sen = 0,60 cos = 0,80 Respost: c 42 situção representd n f iur refere-se um bloco que, bndondo em repouso no ponto, desce o plno inclindo com celerção de 2,0 m/s 2, indo tinir o ponto. Sbendo-se que, no locl, = 10 m/s 2 e influênci do r é desprezível, pede-se clculr o coef iciente de trito cinético entre o bloco e o plno de poio. 3,0 m 2 Lei de Newton: t c = m m sen µ c m cos = m 10 3,0 5,0 µ 4,0 10 c 5,0 = 2,0 µ c = 0,50 Respost: 0,50 4,0 m 43 (uccmp-s mod.) Um bloco de mss 5,0 k é rrstdo pr cim, o lono de um plno inclindo, por um forç, constnte, prlel o plno e de intensidde 50 N, como represent f iur bixo. 8,0 m 6,0 m Sbendo que o coef iciente de trito dinâmico entre o bloco e o plno vle 0,40 e que celerção d rvidde tem módulo = 10 m/s 2, clcule intensidde d celerção do bloco. Sbendo que os blocos e têm msss iuis 5,0 k e que os coef i- cientes de trito estático e cinético entre e o plno de poio vlem, respectivmente, 0,45 e 0,40, determine: ) o módulo d celerção dos blocos; b) intensidde d forç de trção no f io. ) (I) Cálculo d intensidde d componente tnencil do peso em : t = m sen t = 5,0 10 0,60 (N) t = 30 N (II) Cálculo d intensidde d forç de trito de destque entre e o plno inclindo: d m cos d = 0,45 5,0 10 0,80 (N) d = 18 N Como = 50 N super som te + d = 48 N, os blocos entrm em movimento, com subindo o lono do plno inclindo. (III) Cálculo d intensidde d forç de trito cinético entre e o plno inclindo: c = µ c m cos c = 0,40 5,0 10 0,80 (N) c = 16 N (IV) 2 Lei de Newton pr o conjunto + : t c = (m + m ) 50 30 16 = 10 = 0,40 m/s 2 b) 2 Lei de Newton pr o bloco : T = m 50 T = 5,0 0,40 T = 48 N Resposts: ) 0,40 m/s 2 ; b) 48 N
Tópico 2 trito entre sólidos 161 45 Um cubo 1, de ço e de rest, ch-se poido sobre um piso de mdeir plno, horizontl e que lhe oferece trito. Nesss condições, forç horizontl que o deix n iminênci de se movimentr tem intensidde 1. Substitui-se, então, o cubo 1 por um cubo 2, de mesmo mteril, porém de rest 2. forç que coloc o cubo 2 n iminênci de se movimentr tem intensidde 2. nlise s proposições seuintes: I. O coef iciente de trito estático é o mesmo pr os dois cubos. II. 2 = 1, pois forç de trito máxim independe d áre de contto entre s superfícies tritntes. III. 2 = 8 1, pois o cubo 2 é oito vezes mis pesdo que o cubo 1. ponte lterntiv corret: ) Somente I é verddeir. d) Somente I e II são verddeirs. b) Somente II é verddeir. e) Somente I e III são verddeirs. c) Somente III é verddeir. (1) Verddeir. Mesmos mteriis. (2) ls. = d m (I) Sendo d densidde do ço, tem-se: d = m V = m m = d 3 3 (II) Substituindo (II) em (I), temos: d 3 1 d 3 2 d (2 ) 3 2 = 8 µ e d 3 s componentes de 1 e 2 perpendiculres à direção do movimento equilibrm-se; loo: c = 2 sen 30 µ c m = 2 0,50 µ c = m µ = 6,0 c 1,2 10 µ c = 0,50 Respost: c 47 Um crro especil projetdo pr rrncds de lt performnce (dr rcin) tem trção ns rods trseirs de modo que els comprimem pist de provs pln, ret e horizontl com um forç equivlente 2 do peso totl do veículo. No locl, celerção 3 d rvidde tem intensidde e resistênci do r pode ser inord. Supondo que os coef icientes de trito estático e cinético entre s rods trseirs e pist vlhm μ e e, respectivmente, e dmitindo desprezíveis os tritos ns rods não-motrizes, determine: ) o módulo d máxim celerção possível pr o crro; b) o mínimo intervlo de tempo pr o veículo percorrer, prtir do repouso, um distânci d com celerção de intensidde constnte. ) celerção terá módulo máximo qundo s rods motrizes f icrem n iminênci de deslizr. Nesse cso, forç motriz será forç de trito de destque: 2 = 8 1 (3) Verddeir. 1 = m 1 = d 3 2 = m 2 = d (2 ) 3 2 = 8 d 3 Loo: 2 = 8 1 Respost: e 2 Lei de Newton: d = m máx µ e = m máx µ e máx = 2 3 µ e d 2 3 m = m máx máx 46 (Unesp-S) f iur mostr um tijolo de 1,2 k sendo rrstdo com velocidde constnte por dus forçs constntes de módulos iuis 6,0 N cd, prlels o plno horizontl. Ddos: = 10 m/s 2 ; sen 30 = cos 60 = 0,50; sen 60 = cos 30 = 0,87. b) MUV: d = máx 2 t mín = t 2 mín t mín = 2 d máx 2 d t 2 = 3 d 3 µ mín µ e e Resposts: ) 2 3 µ e ; b) 3 d µ e 1 30 O vlor do coef iciente de trito cinético entre o corpo e o piso sobre o qul ele é rrstdo é: ) 0,05. b) 0,08. c) 0,50. d) 0,80. e) 0,96. 30 2 48 (uvest-s) Você empurr um livro sobre um mes horizontl, comunicndo-lhe cert velocidde inicil. Você observ que, depois de bndondo, o livro desliz proximdmente 1 metro sobre mes, té prr. Se mss do livro fosse o dobro e se você o empurrsse, comunicndo-lhe mesm velocidde inicil, ele deslizri, té prr, proximdmente: ) 0,25 m. c) 1 m. e) 2 m. b) 0,5 m. d) 1,4 m.
162 RTE II DINÂMIC 2 Lei de Newton: = c m = µ c m = µ c celerção de retrdmento independe d mss; por isso, o livro com o dobro d mss tmbém deslizrá 1 m té prr. Respost: c Este enuncido se refere os exercícios 49 e 50. 51 (Vunesp-S) N f iur, o bloco I repous sobre o bloco II, sendo que I está preso por um cord um prede. m I = 3,0 k e m II = 6,0 k. O coef iciente de trito cinético entre I e II é 0,10 e entre II e o plno é 0,20. Qul deve ser forç que, plicd em II, desloc esse bloco com celerção de I 2,0 m/s 2? ( = 10 m/s 2 ) ) 15 N. b) 27 N. II c) 30 N. d) 33 N. e) 40 N. 2 Lei de Newton pr o loco II l O bloco d f iur pes 8,0 N e está em repouso, poido sobre um plno horizontl que lhe oferece um coef iciente de trito estático de vlor 0,80. plic-se, então, sobre ele um forç horizontl, de intensidde 6,0 N. I II = m II µ I m I µ 2 (m I + m II ) = m II 0,10 3,0 10 0,20 9,0 10 = 6,0 2,0 ll ll 49 O vetor que melhor represent forç exercid pelo bloco sobre o plno de poio é: ) b) c) d) e) = 33 N Respost: d forç de contto que o bloco exerce no plno de poio (C ) é som vetoril d forç de trito ( ) com forç norml de compressão ( ). 52 (IT-S) f iur bixo represent três blocos de msss M 1 = 1,00 k, M 2 = 2,50 k e M 3 = 0,50 k respectivmente. Entre os blocos e o piso que os pói existe trito, cujos coef icientes cinético e estático são, respectivmente, 0,10 e 0,15; celerção d rvidde vle 10,0 m/s 2. C 1 2 3 C = + Respost: d 50 intensidde d forç referid no exercício nterior é: ) 6,0 N. c) 8,0 N. e) 14 N. b) 6,4 N. d) 10 N. d d = 0,80 8,0 (N) d = 6,4 N Como d (6,0 N 6,4 N), o bloco permnece em repouso e forç de trito estático trocd entre ele e o solo tem intensidde iul 6,0 N. Teorem de itáors: C 2 = 2 t + 2 n C2 = (6,0) 2 + (8,0) 2 C = 10 N Respost: d Se o bloco 1 for plicd um forç horizontl de 10,0 N, qul será intensidde d forç que o bloco 2 exercerá no bloco 3? O trito de destque no sistem é ddo por: d (m 1 + m 2 + m 3 ) d = 0,15 4,00 10,0 = 6,00 N Como, o sistem entr em movimento e o trito torn-se cinético. c = µ c (m 1 + m 2 + m 3 ) c = 0,10 4,00 10,0 = 4,00 N locos (1 + 2 + 3) c = (m 1 + m 2 + m 3 ) 10,0 4,00 = 4,00 = 1,50 m/s 2 loco (3) 2, 3 c3 = m 3 2, 3 µ c m 3 = m 3 2, 3 0,10 0,50 10,0 = 0,50 1,50 2, 3 = 1,25 N Respost: 1,25 N
Tópico 2 trito entre sólidos 163 53 (URN) Seu lfredo limp um prede verticl com um escovão, como mostr f iur bixo. Ele empurr o escovão contr prede de tl modo que o escovão desliz sobre el, relizndo um movimento verticl, de bixo pr cim, com velocidde constnte. forç plicd por Seu lfredo sobre o escovão tem mesm direção do cbo do utensílio, que, durnte todo o movimento, form um ânulo constnte com prede. Considere que o cbo tenh mss desprezível em comprção com mss m do escovão. O coef iciente de trito cinético entre o escovão e prede é e celerção d rvidde tem módulo. Escovão Cbo do escovão Seu lfredo rede ) ç um desenho mostrndo s forçs que tum sobre o escovão. b) Deduz expressão pr o módulo d forç em função de m,, µ c, sen e cos. ) 54 N situção d f iur seuir, os corpos e têm msss M e m, respectivmente, estndo simplesmente encostdo em um prede verticl de. O sistem moviment-se horizontlmente sob ção d forç, prlel o plno de poio, sem que escorreue em relção. O efeito do r é desprezível, não há trito entre e o solo e no locl celerção d rvidde vle. Sendo μ o coef iciente de trito estático entre e, nlise s proposições seuintes: I. situção propost só é possível se o sistem estiver, necessrimente, em lt velocidde. II. r que não escorreue em relção, celerção do sistem deve ser mior ou iul μ. III. Se estiver n iminênci de escorrer em relção, intensidde de será (M + m) /μ. Respond medinte o códio: ) Se somente I e II forem correts. b) Se somente I e III forem correts. c) Se somente II e III forem correts. d) Se somente II for corret. e) Se somente III for corret. (I) Incorret. m (II) Incorret. 2 Lei de Newton: = m = m m µ µ n Se o escovão reliz movimento retilíneo e uniforme, temos: + + + = O b) (I) Cálculo d intensidde de : m µ m µ = x = sen (II) Escovão em MRU: y = + cos = + µ C cos = m + µ C sen (cos µ C sen ) = m = Resposts: ) m cos µ C sen b) = m cos µ C sen (III) Corret. locos ( + ): mín = (M + m) mín mín = Respost: e (M + m) µ 55 Um elevdor é celerdo verticlmente pr cim com 6,0 m/s 2, num locl em que = 10 m/s 2. Sobre o seu piso horizontl, é lnçdo um bloco, sendo-lhe comunicd um velocidde inicil de 2,0 m/s. O bloco é fredo pel forç de trito exercid pelo piso té prr em relção o elevdor. Sbendo que o coef iciente de trito cinético entre s superfícies tritntes vle 0,25, clcule, em relção o elevdor, distânci percorrid pelo bloco té prr.
164 RTE II DINÂMIC (I) rvidde prente no interior do elevdor é p, dd por: p = + p = 10 + 6,0 p = 16 m/s 2 (II) Cálculo d celerção esclr: = m µ C m p = m = 0,25 16 = 4,0 m/s 2 α = α = 4,0 m/s 2 (III) Cálculo d distânci percorrid: v 2 = v 2 0 + 2 α Δs 0 = (2,0) 2 + 2 ( 4,0) Δs Δs = 0,50 m = 50 cm Respost: 50 cm 56 Um bloco pesndo 100 N deve permnecer em repouso sobre um plno inclindo, que fz com horizontl um ânulo de 53. r tnto, plic-se o bloco forç, representd n f iur, prlel à rmp. Ddos: sen 53 = 0,80; cos 53 = 0,60. 53 Sbendo que os coef icientes de trito estático e dinâmico entre o corpo e superfície de poio vlem 0,30 e 0,20, respectivmente, determine: ) intensidde d forç de trito que tu no corpo qundo = 160 N; b) o módulo d celerção do corpo qundo = 100 N. ) t = m sen 53 t = 20 10 0,80 (N) t = 160 N loco em repouso 53 Sendo μ e = 0,50 o coef iciente de trito estático entre o bloco e o plno, que vlores são dmissíveis pr, tis que condição do problem sej stisfeit? Ddos: sen 53 = 0,80; cos 53 = 0,60. Os vlores limítrofes permitidos pr estão condiciondos o movimento iminente do bloco, ou sej: (I) Se tem intensidde máxim, o bloco tende subir o plno e forç de trito tem sentido pr bixo. ssim: máx = sen 53 + d máx = sen 53 + µ e cos 53 máx = 100 0,80 + 0,50 100 0,60 (N) máx = 110 N (II) Se tem intensidde mínim, o bloco tende deslocr-se pr bixo, sendo scendente o plno o sentido d forç de trito. ssim: mín + d = sen 53 mín = sen 53 µ e cos 53 mín = 100 0,80 0,50 100 0,60 mín = 50 N ortnto, os vlores de são tis que: 50 N 110 N Respost: 50 N 110 N 57 Um corpo de mss 20 k é colocdo em um plno inclindo de 53 sendo-lhe plicd um forç prlel o plno, conforme represent f iur. No locl, influênci do r é desprezível e dot-se = 10 m/s 2. t 53 Sendo = t = 160 N, o corpo não mnifest nenhum tendênci de escorremento. Loo: = 0 b) d m cos 53 d = 0,30 20 10 0,60 (N) C = µ C = µ C m cos 53 C = 0,20 20 10 0,60 (N) d = 36 N C = 24 N O corpo terá celerção diriid rmp bixo, já que t + d (160 N 100 N + 36 N). Durnte o escorremento o trito será do tipo cinético: t 53 2 Lei de Newton: t C = m 160 100 24 = 20 36 = 20 = 1,8 m/s 2 c Resposts: ) Intensidde nul; b) 1,8 m/s 2
Tópico 2 trito entre sólidos 165 58 (IT-S) N f iur seuinte, os dois blocos e têm msss iuis. São desprezíveis s msss dos f ios e d poli e est pode irr sem trito. O menor vlor do coef iciente de trito estático entre o plno inclindo de α em relção à horizontl e o bloco, pr que o sistem não escorreue, é: ) 1 sen α cos α. d) cot α. b) 1 cos α sen α. e) 1 sen α. c) t α. m α m sen α (II) Cálculo d velocidde de ched do bloco à bse do plno inclindo: v = v 0 + α t v = 5,0 2,0 (m/s) v = 10 m/s (III) Cálculo d intensidde d celerção no plno horizontl: = C m = µ C m = µ C = 0,20 10 (m/s 2 ) = 2,0 m/s 2 (IV) Cálculo d durção do movimento no plno horizontl: v = v + α t 0 = 10 2,0 t t = 5,0 s (V) Cálculo d durção totl do movimento: Δt = t + t Δt = 2,0 + 5,0 (s) Δt = 7,0 s b) No plno inclindo: Δs = v 0 t + α 2 t2 Δs = 5,0 (2,0) 2 2 Δs = 10 m No plno horizontl: Δs = v t + α 2 t 2 Δs = 10 5,0 2,0 2 (5,0) 2 Δs = 25 m Equilíbrio de : = m m sen α µ µ m cos α Substituindo (I) em (II), temos: m m sen α µ m cos α (I) (II) Resposts: ) 7,0 s; b) 10 m e 25 m 60 (p-s) Qul é forç horizontl cpz de tornr iminente o deslizmento do cilindro, de 50 kf de peso, o lono do poio em V, mostrdo n f iur? O coef iciente de trito estático entre o cilindro e o poio vle 0,25. µ 1 sen α cos α µ mín = 1 sen α cos α Respost: 30 30 59 Um corpo de mss 10 k prte do repouso do lto de um plno inclindo de um ânulo = 30, conforme represent f iur, escorrendo sem sofrer ção de tritos ou d resistênci do r té tinir um plno horizontl áspero, de coef iciente de trito cinético = 0,20. Sbendo que o corpo st 2,0 s pr descer o plno inclindo e que = 10 m/s 2, determine: Superfície lis Esquem de forçs: = 30 Superfície ásper 30 30 1 2 1 2 ) durção totl do movimento; b) s distâncis percorrids pelo corpo no plno inclindo e no plno horizontl. ) (I) Cálculo d intensidde d celerção no plno inclindo: = sen 30 = 10 0,5 (m/s 2 ) = 5,0 m/s 2 Devido à simetri: 1 = 2 = Equilíbrio n verticl: 2 cos 60 = 2 1 n 2 = 50 = 50 kf n
166 RTE II DINÂMIC Equilíbrio n horizontl: = 1 + 2 Supondo o cilindro n iminênci de deslizr, temos: mín = µ + µ = 2 µ mín = 2,0 0,25 50 (kf) mín = 25 kf Respost: 25 kf Qul máxim intensidde d forç horizontl plicd n extremidde livre do f io que fz o sistem ser celerdo sem que o bloco escorreue em relção à mes? 61 O esquem represent, visto de cim, um cix de CDs de computdor poid sobre um mes pln e horizontl submetid à ção conjunt de três forçs horizontis, 1, 2 e 3 (não representd), de intensiddes respectivmente iuis 1,0 N, 4,0 N e 2,7 N. 1 2 Supondo que cix se mntenh em repouso, determine o intervlo de vlores possíveis pr forç de trito estático que tu sobre el. forç de trito estático deve equilibrr resultnte R dd pel som 1 + 2 + 3. 1 o cso: R é máximo e é máximo. 1 2 µ e m (I) 2 Lei de Newton pr mes: res = m M = (II) Substituindo (II) em (I): m M µ e m 15 0,60 10 10 4,0 m/s 2 máx = 4,0 m/s 2 2 Lei de Newton pr o bloco: máx d = m máx máx 0,60 10 10 = 10 4,0 máx = 100 N máx 3 R máx = 2 + 3 1 R máx = 4,0 + 2,7 1,0 R máx = 5,7 N máx = 5,7 N 2 o cso: R é mínimo e é mínimo. 1 3 2 Respost: 100 N 63 (Olimpíd rsileir de ísic) N f iur seuir, um bloco de mss M = 2,0 k e comprimento L = 1,0 m encontr-se inicilmente em repouso sobre um superfície horizontl sem trito. Sobre tl bloco, é colocdo um outro, de mss m = 1,0 k, cujo comprimento é muito menor que L, de modo que este poss ser considerdo um ponto mteril. Sbe-se que existe trito entre os blocos, com coef icientes estático e cinético μ e = 0,60 e = 0,50. m R mín = 2 1 3 R mín = 4,0 1,0 2,7 (N) máx M L R mín = 0,30 N mín = 0,30 N Loo: 0,30 N 5,7 N Respost: 0,30 N 5,7 N Considere que sej plicd no bloco de mss M um forç horizontl constnte. Sendo = 10,0 m/s 2, determine: ) máxim intensidde de de modo não ocorrer deslizmento entre os blocos; b) o intervlo de tempo sto pelo bloco de mss m pr perder o contto com o bloco M, no cso em que = 19,0 N. 62 N situção esquemtizd, o f io e s polis são ideis e inexiste trito entre os pés d mes (mss d mes iul 15 k) e superfície horizontl de poio. O coef iciente de trito estático entre o bloco (mss do bloco iul 10 k) e o tmpo d mes vle 0,60 e, no locl, dot-se = 10 m/s 2. m ) (I) Cálculo de máx : 2 Lei de Newton pr o bloco de mss m: f t = m O trito deve ser do tipo estático: f t µ e m µ e m
Tópico 2 trito entre sólidos 167 µ e máx máx = 0,60 10 (m/s 2 ) máx = 6,0 m/s 2 (II) Cálculo de máx : 2 Lei de Newton pr o conjunto M + m: máx = (M + m) máx máx = (2,0 + 1,0) 6,0 (N) máx = 18,0 N b) (I) celerção de m: = m 1 µ C m = m 1 1 = µ C 1 = 0,50 10,0 (m/s 2 ) 1 = 5,0 m/s 2 (II) celerção em M: f t = M 2 µ C m + M 2 19,0 0,50 1,0 10,0 = 2,0 2 2 = 7,0 m/s 2 (III) celerção reltiv entre m e M: rel = 2 1 rel = 7,0 5,0 (m/s 2 ) rel = 2,0 m/s 2 (IV) MUV reltivo: L = rel 2 t2 1,0 = 2,0 2 t2 t = 1,0 s Resposts: ) 18,0 N; b) 1,0 s 64 (Olimpíd rsileir de ísic) boc de um copo é cobert com um crtão circulr, e sobre o crtão coloc-se um moed (vide f i- ur seuir). Os centros do crtão e d moed são coincidentes com o centro d boc do copo. Considere como ddos deste problem: o rio do crtão, R, o rio d boc do copo, r, o coef iciente de trito entre moed e o crtão, μ, e o módulo d celerção d rvidde. O rio d moed pode ser desprezdo. R r crtão copo R r moed Move-se o crtão horizontlmente, em trjetóri retilíne e com celerção constnte. Determine o vlor d menor celerção do crtão, C, pr que moed ind ci dentro do copo qundo o crtão for retirdo por completo. R r Situção inicil (I) 2 Lei de Newton pr moed: = m M µ m = m M M = µ MUV d moed: Δx = M t 2 2 R r Situção finl Considerndo Δx = r (deslocmento máximo), com M = µ, temos: r = µ 2 t2 (I) MUV do crtão: Δx = C 2 t 2 R + r = C 2 t 2 (II) Dividindo-se (II) por (I), vem: R + r = C t r 2 2 µ 2 t2 D qul: C = (R + r) r µ Respost: C = (R + r) r µ 65 Considere três blocos, e C de mesm mss M = 5,0 k em um mes horizontl e unidos por f ios ideis (1) e (2) que se rompem qundo intensidde d forç de trção tine o vlor de 20 N. C fio (2) fio (1) Os coef icientes de trito entre os blocos, e C e mes são iuis μ = 0,30, μ = 0,20 e μ C = 0,10. dot-se = 10 m/s 2. plicmos o bloco um forç horizontl cuj intensidde vi umentndo lentmente. Qul o mínimo vlor de que provoc ruptur de um dos f ios? (I) Cálculo ds intensiddes ds forçs de trito. = µ m = 0,30 5,0 10 = 15 N = µ m = 0,20 5,0 10 = 10 N C = µ C m C C = 0,10 5,0 10 = 5,0 N (II) elo fto de o f io (1) ser o responsável pelo rrstmento de dois blocos ( e C), ele oper sob mior trção que o f io (2), que rrst pens um bloco (C). or isso, considerremos trção máxim de 20 N plicd no f io (1). Como T 1 + C (20 N 10 N + 5,0 N), o sistem dquire movimento celerdo no sentido de. (III) Cálculo d intensidde d celerção do sistem. 2 Lei de Newton pr o conjunto + C: T 1 ( + C ) = (m + m C ) 20 (10 + 5,0) = (5,0 + 5,0) = 0,50 m/s 2 (IV) Cálculo d intensidde de. 2 Lei de Newton pr o conjunto + + C: ( + + C ) = (m + m + m C ) (15 + 10 + 5,0) = (5,0 + 5,0 + 5,0) 0,50 = 37,5 N Respost: 37,5 N
168 RTE II DINÂMIC 66 N f iur, os blocos e são iuis, presentndo peso de intensidde iul 100 N cd um. Os coef icientes de trito estático entre e e entre e superfície do plno inclindo têm o mesmo vlor: μ. Ddos: sen = 0,60; cos = 0,80. 67 Um bloco de mss m = 4,0 k é empurrdo, o lono do teto horizontl, por um forç constnte, de intensidde = 100 N e com inclinção de 37 em relção à verticl, como suere f iur. 37 Sbendo que os blocos estão em equilíbrio, com n iminênci de escorrer, clcule: ) o vlor de μ; b) intensidde d forç de trção no f io. O bloco tem um celerção horizontl constnte de módulo iul 7,0 m/s 2. Despreze o efeito do r e considere os seuintes ddos: = 10 m/s 2, sen 37 = 0,60 e cos 37 = 0,80. O coef iciente de trito dinâmico entre o bloco e o teto é iul : ) 0,10. b) 0,30. c) 0,50. d) 0,60. e) 0,80. Como os blocos são iuis, compressão norml de contr o plno inclindo é dus vezes mis intens que compressão norml de contr. or isso, sendo µ o coef iciente de trito estático entre e e tmbém entre e superfície de poio, podemos concluir que forç de trito de destque entre e o plno inclindo é dus vezes mis intens do que entre e. ) t = sen t = 100 0,60 = 60 N n = cos N = 100 0,80 = 80 N t T x = sen 37 = 100 0,60 = 60 N y = cos 37 = 100 0,80 = 80 N x 37 y 2 Equilíbrio n verticl: + = y + 4,0 10 = 80 t (I) Equilíbrio de : 3 = t 3 = 60 = 20 N = 40 N 2 Lei de Newton n horizontl: x = m x µ N = m (II) = µ = µ n 20 = µ 80 µ = 0,25 b) Equilíbrio em : T = t + T = 60 + 20 (N) 60 µ 40 = 4,0 7,0 µ = 0,80 Respost: e T = 80 N Resposts: ) 0,25; b) 80 N