ABORDAGEM AAÍTICO-UMÉRICA DA TRASFERÊCIA DE CAOR E MASSA COM EFEITO DA PRESSÃO Francsco Gêvane Munz Cunha DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À COORDEAÇÃO DO CURSO DE PÓS- GRADUAÇÃO EM CIÊCIA DA COMPUTAÇÃO, COMO REQUISITO PARCIA PARA A OBTEÇÃO DO GRAU DE MESTRE PEA UIVERSIDADE FEDERA DO CEARÁ Fortaleza - CE,
ABORDAGEM AAÍTICO-UMÉRICA DA TRASFERÊCIA DE CAOR E MASSA COM EFEITO DA PRESSÃO Francsco Gêvane Munz Cunha Dssertação apresentada ao curso de Pós-Graduação em Cênca da Computação da Unversdade Federal do Ceará, como parte dos requstos para a obtenção do grau de Mestre em Cênca da Computação. Composção da Banca Eamnadora: Júlo Wlson Rbero, (D.C. - UFC - Orentador) Mkhal Dmtrov Mkhalov, (COPPE - UFRJ) Paulo de Tarso Cavalcante Frere, (D.F. - UFC) Mara Andréa Formco Rodrgues, (M.C.C. - UFC) Aprovada em de abrl de.
ão desampares a sabedora, e ela te protegerá; ama-a, e ela te guardará (Provérbos 4:6)
AGRADECIMETOS a) Ao Crador Unversal, pela vda, saúde, entendmento... b) Ao Professor Júlo W. Rbero, por seu companhersmo e ncentvo marcantes e por sua dsposção e empenho na orentação deste trabalho; c) Ao Professor João B. F. Duarte, coorentador deste trabalho, por suas orentações em programação e pelas valosas ajudas nas horas mas necessáras; d) Aos Professores Mkhal D. Mkhalov e Renato M. Cotta, da COPPE/UFRJ, por suas valosas contrbuções acadêmcas; e) Aos Professores e Alunos do Mestrado em Cêncas da Computação, aboratóro de Intelgênca Artfcal (IA) e aboratóro de Métodos Computaconas íbrdos (OMI); f) Aos funconáros Orley, Debora e Rosana pelo apoo e presteza; g) A Francsco eron (Doutorando em computação), por suas nestmáves contrbuções; h) À FUCAP, pela concessão de mnha bolsa de Mestrado; ) À mnha esposa Aldenôra por estar sempre ao meu lado; j) Aos meus famlares pela confança em mm depostada.
SUMÁRIO. Introdução.... Revsão Bblográfca... 4.. Técnca de Transformada Integral... 4... Formalsmos... 4... Solução para Equação Dferencal Parcal Parabólca... 8... Solução geral do Sstema de EDP s Parabólcas Acopladas..... Computação Smbólca... 6.. Problema de Secagem de ukov... 8. Problema de Transferênca de Calor e Massa sob Efeto da Pressão... 9.. Problema Físco... 9.. Modelo Matemátco... 5.. Solução por Transformada Integral... 8 4. Resultados e Comentáros... 4.. Resultados para o Epoy... 4.. Resultados para o Slcon Gel... 44 5. Conclusões e Sugestões... 55 Apêndce I. otebook do Mathematca. com mplementação... 57 Apêndce II. Implementação no Fortran... 6 Referêncas Bblográfcas... 65
ISTA DE FIGURAS Pág. 4.. Dstrbução dos perfs de temperatura, T, no epoy, usando o Mathematca, para MP... 8 4.. Dstrbução da temperatura, T, no epoy, usando o Mathematca, para MP... 9 4.. Dstrbução dos perfs de umdade, M, no epoy, usando o Mathematca, para MP... 4 4..4 Dstrbução da umdade, M, no epoy, usando o Mathematca, para MP... 4 4..5 Dstrbução dos perfs de pressão, P, no epoy, usando o Mathematca, para MP... 4 4..6 Dstrbução da pressão, P, no epoy, usando o Mathematca, para MP... 4 4.. Dstrbução dos perfs de temperatura, T, no slcon gel, usando o Mathematca, para MP... 48 4.. Dstrbução da temperatura, T, no slcon gel, usando o Mathematca, para MP... 49 4.. Dstrbução dos perfs de umdade, M, no slcon gel, usando o Mathematca, para MP... 5 4..4 Dstrbução da umdade, M, no slcon gel, usando o Mathematca, para MP... 5 4..5 Dstrbução dos perfs de pressão, P, no slcon gel, usando o Mathematca, para MP... 5 4..6 Dstrbução da pressão, P, no slcon gel, usando o Mathematca, para MP... 5
ISTA DE TABEAS Pág. 4.. Convergênca numérca e resultados obtdos usando o Fortran para as dstrbuções de temperatura no epoy, adotando-se Tol-5... 5 4.. Convergênca numérca e resultados obtdos usando o Fortran para as dstrbuções de umdade no epoy, adotando-se Tol-5... 6 4.. Convergênca numérca e resultados obtdos usando o Fortran para as dstrbuções de pressão no epoy, adotando-se Tol-5... 7 4..4 Dstrbuções de temperatura no epoy, usando o Mathematca, para MP... 8 4..5 Dstrbuções de umdade no epoy, usando o Mathematca, para MP... 4 4..6 Dstrbuções de pressão no epoy, usando o Mathematca, para MP... 4 4.. Convergênca numérca e resultados obtdos usando o Fortran para as dstrbuções de temperatura no slcon gel, adotando-se Tol-5... 45 4.. Convergênca numérca e resultados obtdos usando o Fortran para as dstrbuções de umdade no slcon gel, adotando-se Tol-5... 46 4.. Convergênca numérca e resultados obtdos usando o Fortran para as dstrbuções de pressão no slcon gel, adotando-se Tol-5... 47 4..4 Dstrbuções de temperatura no slcon gel, usando o Mathematca, para MP... 48 4..5 Dstrbuções de umdade no slcon gel, usando o Mathematca, para MP... 5 4..6 Dstrbuções de pressão no slcon gel, usando o Mathematca, para MP... 5
OMECATURA CAPÍTUO A (t) Coefcentes da sére de epansão, defndos na equação (.); B k Operadores lneares, defndos nas equações (.5.m,n,o); () Coefcente dfusvo, defndo na equação (..d); k () Coefcentes dfusvos, defndos nas equações (.5.j,k,l); Operador lnear, defndo na equação (..d); k Operadores lneares, defndos nas equações (.5.j,k,l); M Ordem de truncamento do segundo potencal; Ordem de truncamento do prmero potencal; j orma, defnda na equação (.6); k ormas, defndas nas equações (.8.a,b,c); P Ordem de truncamento do tercero potencal; P(,t) Termo fonte ou sumdouro, defndo na equação (..a); P k (,t,t (,t),t (,t),t (,t)) Termos fonte ou sumdouros, defndos nas equações (.5.a,b,c); T(,t) Potencal, defndo na equação (..a); v
T k (,t) Potencas, defndos nas equações (.5.a,b,c); T ( t) Potencal transformado, defndo na equação (.7.a); T k () t Potencas transformados, defndo nas equações (.7.a,b,c); d() Termo convectvo, defndo na equação (..d); d k () Termos convectvos, defndo nas equações (.5.j,k,l); f() Dstrbução ncal do potencal, defndo na equação (..b); f k () Dstrbução ncal dos potencas, defndo nas equações (.5.d,e,f); f Valor ncal do potencal transformado, defndo na equação (..b); f k Valor ncal dos potencas transformados, defndo nas equações (.9.d,e,f); g ( t ) Termo fonte transformado, defndo na equação (..b); g k ( t, T (, t), T (, t), T (, t)) Termos fonte transformados, defndo nas equações (.9.g,h,); g * Termo fonte transformado, defndo nas equações (..g); g * j Termo fonte transformado, defndo nas equações (..h); g * l Termo fonte transformado, defndo nas equações (..); t Coordenada temporal, defnda na equação (..a); v
w() Coefcente capactvo, defndo na equação (..a); w k () Coefcentes capactvos, defndo na equação (.5.a,b,c); Coordenada espacal, defnda na equação (..a). CAPÍTUO F Valor ncal da temperatura, para o problema homogêneo, defndo na equação (.9.a); F Valor ncal da umdade, para o problema homogêneo, defndo na equação (.9.b); F Valor ncal da pressão, para o problema homogêneo, defndo na equação (.9.c); I Capacdade volumétrca da fonte do materal, defnda na equação (.); Comprmento característco do meo poroso; M Massa molecular do ar úmdo, defnda na equação (.); P P(,t) Dstrbução de pressão, defndo na equação (..c); P Valor ncal da pressão, defndo na equação (..c); P B Valor da pressão no contorno, defndo na equação (.4.c); R Constante unversal dos gases, defnda na equação (.); T T(,t) Dstrbução de temperatura, defndo na equação (..a); v
T Valor ncal da temperatura, defndo na equação (..a); T B Valor da temperatura no contorno, defndo na equação (.4.a); U U(,t) Dstrbução de umdade, defndo na equação (..b); U Valor ncal da umdade, defndo na equação (..b); U B Valor da umdade no contorno, defndo na equação (.4.b); a m Dfusvdade de massa, defnda na equação (.); b Saturação nos caplares do corpo, defnda na equação (.); c q Capacdade térmca, defnda na equação (.6); c m Capacdade mássca, defnda na equação (.5); c p Capacdade de fltração mássca, defnda na equação (.); h Entalpa específca, defnda na equação (.6); j Densdade do fluo de massa, defnda na equação (.); j df Densdade do fluo de massa transferda por dfusão, defnda na equação (.); j fl Densdade do fluo de massa transferda por fltração, defnda na equação (.); j q Fluo de calor, defndo na equação (.6); k q Coefcente de condutvdade térmca, defndo na equação (.7); k m Coefcente de condutvdade mássca, defndo na equação (.7.b); k p Coefcente de fltração mássca, defndo na equação (.); v
m Conteúdo de massa, defndo na equação (.); t Coordenada temporal; Coordenada espacal; v
SÍMBOOS GREGOS CAPÍTUO α() Coefcente da condção de contorno, defndo na equação (..e); α k () Coefcentes da condção de contorno, defndos nas equações (.5.m,n,o); β() Coefcente da condção de contorno, defndo na equação (..e); β k () Coefcentes da condção de contorno, defndos nas equações (.5.m,n,o); φ(,t) Termo fonte da equação da condção de contorno, defndo na equação (..c); φ k (,t,t (,t),t (,t),t (,t)) Termos fonte das equações da condção de contorno, defndo nas equações (.5.g,h,); µ Autovalores do problema aular, defndos na equação (..a); µ k Autovalores do problema aular, defndos nas equações (.6,a,b,c); ψ(µ,) Autofunção do problema aular, defnda na equação (..a); ψ k (µ k,) Autofunções do problema aular, defndas nas equações (.6,a,b,c); CAPÍTUO Π Porosdade méda do corpo, defnda na equação (.);
α q Coefcente de transferênca de calor por convecção, defndo na equação (.7.d); α u Coefcente de transferênca de massa por convecção, defndo na equação (.7.b); δ Coefcente termogradente, defndo na equação (.); ε Crtéro de mudança de fase do líqudo no nteror do meo poroso, defndo na equação (.9); λ Calor latente de vaporzação da água, defndo na equação (.8); µ Autovalores do problema aular, defndos na equação (.5.b); µ Autovalores do problema aular, defndos na equação (.6.b); µ Autovalores do problema aular, defndos na equação (.7.b); P () Dstrbução de temperatura, para o estado estaconáro, defndo nas equações (.6.a); (,t) Dstrbução de temperatura, para o problema homogêneo assocado, defndo na equação (.7.a); P () Dstrbução de teor de umdade, para o estado estaconáro, defndo nas equações (.6.b); (,t) Dstrbução de teor de umdade, para o problema homogêneo assocado, defndo na equação (.7.b); P () Dstrbução da pressão, para o estado estaconáro, defndo nas equações (.6.c);
(,t) Dstrbução da pressão, para o problema homogêneo assocado, defndo na equação (.7.c); ( t) Dstrbução de temperatura transformada, defndo na equação (.4.a); ( t) Dstrbução de umdade transformada, defndo na equação (.4.b); ( t) Dstrbução de pressão transformada, defndo na equação (.4.c); ρ Densdade, defnda na equação (.); ψ (µ,) Autofunção do problema aular, defnda na equação (..a); ψ (µ,) Autofunção do problema aular, defnda na equação (..a); ψ (µ,) Autofunção do problema aular, defnda na equação (.4.a).
SUPERESCRITOS Indcador de varável ou valor transformado. SUBESCRITOS,j,l Ordem das auto quantdades ou índce de lnha e coluna, respectvamente; k,, Relaconado com temperatura, umdade e pressão, respectvamente; P Solução de regme permanente (estado estaconáro); Relatvo ao problema homogêneo.
RESUMO Desenvolve-se o uso conjugado do método de transformada ntegral, de característcas híbrdas analítco-numércas, com os recursos de programação smbólca e programação numérca para se proceder à solução de problemas de nteresse das engenharas e cêncas físcas. Dscute-se uma varante do problema de ukov, que epressa a transferênca smultânea de calor e massa num meo caplar poroso com efeto da pressão. Este é epresso por um sstema de equações dferencas parcas parabólcas acopladas, EDP s. Prelmnarmente, procede-se à análse va transformada ntegral de um sstema geral de EDP s, mplementando-se como aplcação um algortmo para solução da varante do problema de ukov. Este algortmo possu fortes característcas analítcas e nterpreta os formalsmos matemátcos assocados ao método de transformada ntegral. Detalham-se os formalsmos do método de transformada ntegral generalzada, GITT, quando é necessáro a escolha de problemas aulares assocados, tpo Sturm-ouvlle, pares de transformadanversa e normas. Vsando melhorar as taas de convergênca numérca, o problema orgnal é tratado por técncas de fltragem para separar o problema homogêneo, o qual é transformado, resultando num problema de valor ncal acoplado. Este é resolvdo através do uso de bblotecas centífcas dsponíves nas lnguagens de programação utlzadas, Mathematca e Fortran. Para os materas epoy e slcon gel, de alto nteresse na proteção de chps e crcutos eletrôncos, determnam-se as dstrbuções de temperatura, umdade e pressão no nteror do meo caplar poroso, obtdas na forma de séres de epansão de autofunções, truncadas de uma ordem fnta. Os resultados obtdos nas duas soluções são numercamente dêntcos. Gráfcos e tabelas dsponblzados possbltam a análse fenomenológca.
ABSTRACT It s developed the conjugated use of the ntegral transform method that has analytcalnumercal hybrd characterstcs wth the resources of symbolc programmng and numercal programmng to proceed to the soluton of problems of nterest to engneers and physcal scences. It s dscussed one varant of the ukov problem that epresses the smultaneous transfer of heat and mass n a capllary porous meda wth the pressure effect. Ths s epressed by a coupled system of parabolc partal dfferental equatons, EDP s. Intally, the analyss of a general system of EDP s s realzed usng ntegral transform. As applcaton ths system s mplemented n an algorthm to solve the varant of the ukov problem. Ths algorthm has strong analytcal characterstcs and t nterprets the mathematcal formalsms assocated to the ntegral transform method. The formalsms of the generalzed ntegral transform method, GITT are detaled when t s necessary the choce of the aulary assocated problems, Sturm-ouvlle type, pars of transform-nverse and norms. Seekng to mprove the rates of numercal convergence, the orgnal problem s treated by flterng technques to separate the homogeneous problem that s transformed, resultng n a coupled ntal value problem. Ths problem s solved through the use of avalable scentfc lbrares present n the utlzed programmng languages, Mathematca and Fortran. For the materals epoy and slcon gel of hgh nterest n the protecton of chps and electronc crcuts, the temperature, humdty and pressure dstrbutons are determned nsde a capllary porous meda that are obtaned n the form of egenfunctons seres truncated of a fnte order. The results obtaned for both solutons are numercally dentcal. Graphcs and tables permt the phenomenologcal analyss. v
CAPÍTUO ITRODUÇÃO o ocdente, a partr da década de 5, aparecem os prmeros computadores, desenvolvdos ncalmente com prordade para eecutar tarefas assocadas ao cálculo numérco avançado, provenente de números problemas de orgem centífca e tecnológca. A lnguagem de programação Fortran, Formulae Translaton, se torna etensamente utlzada pelos centstas, que desenvolvem números programas e técncas de computação centífca. Presentemente, o uso da smulação computaconal se caracterza anda mas como de fundamental mportânca para o desenvolvmento centífco-tecnológco. este conteto, um dos grandes desafos para centstas de váras áreas consste na descoberta de novos procedmentos que venham mnmzar certas restrções apontadas na lteratura contemporânea: longo tempo de processamento, precsão lmtada, nstabldade numérca, enorme esforço despenddo na elaboração e modfcação de algortmos numércos []. A smulação e análse fenomenológca, através do uso de recursos computaconas, é prmordal no desenvolvmento de novas descobertas centífcas e tecnológcas, com fortes refleos nas polítcas de desenvolvmento ndustral. Destacam-se, entre outras contrbuções relevantes, a descoberta de novas tecnologas em materas supercondutores, fbras ótcas, engenhara aeroespacal, bomedcna, proteção térmca de chps eletrôncos, modelagem e prevsão meteorológcas. o campo acadêmco, ocupam cada vez mas espaço aplcações desenvolvdas através da smulação, concentradas em áreas como matemátca computaconal, mecânca computaconal, cênca computaconal e físca computaconal. Destaca-se que todas estas áreas contrbuem em númeras áreas do conhecmento, ctando-se: engenhara, computação, medcna, bologa e educação. Para smular processos físcos, é necessáro se consoldar uma complea cadea de pesqusas, enumerando-se: estabelecmento das les governantes, postulação dos modelos matemátcos assocados e o desenvolvmento de técncas computaconas para tratamento analítco e numérco destes problemas, que mutas vezes são epressos por sstemas de equações dferencas parcas, EDP s cuja solução requer elevado esforço computaconal. Assm, o aprmoramento de metodologas para melhora da modelagem computaconal certamente contrburá, para o avanço tecnológco da humandade, permtndo a obtenção de produtos de alta qualdade, a custos mas reduzdos. storcamente, a corrda tecnológca ocdental desenvolvda com auílo do computador levou ao aparecmento de técncas puramente numércas de solução, destacando-se os métodos de dferenças fntas e elementos fntos como ferramentas que possbltam o processamento do cálculo numérco avançado através da utlzação de lnguagens de programação centífcas. Genercamente, os métodos puramente numércos baseam-se na dscretzação temporal e espacal das equações orgnas. Paralelamente, nos países do leste europeu, houve um desenvolvmento ndependente da computação centífca, quando pesqusadores desenvolveram poderosas ferramentas analítcas e mesmo processadores smbólcos [].
Algumas soluções analítcas assocadas a problemas mas avançados, quando trabalhadas através de teoras matemátcas aprmoradas prncpalmente nas três décadas anterores, mostraram-se mas confáves e suas mplementações computaconas tornaramse mas smples. Assm, no fnal da década de setenta, pesqusadores russos, búlgaros e amercanos ncaram pesqusas conjuntas para desenvolver técncas híbrdas analítconumércas, vsando utlzá-las mas efcentemente na computação centífca em função dos eventuas avanços, dsponblzados pela cênca da computação, que deveram surgr nas décadas seguntes[,4]. A partr da década de otenta, a denomnada técnca analítco-numérca de transformada ntegral [-4] se consoldou como uma poderosa ferramenta para solução de EDP s, destacando-se suas vantagens no caso de problemas apontados na tradconal lteratura como de dfícl trato computaconal. O aparecmento de programas de computação smbólca no ocdente ocorre mas tardamente quando comparado com o leste europeu. Porém, a promssora evolução destes, tornam anda mas vável o nvestmento em métodos analítco-numércos. A utlzação do Mathematca, software de últma geração que reúne recursos de computação smbólca, torna anda mas atratvo o desenvolvmento de programas com manpulação automátca de epressões analítcas, segundo conjuntos de regras defndas à pror pelo usuáro. Incorpora também uma poderosa lnguagem smbólca para o desenvolvmento de programas avançados, ntegrando dferentes paradgmas de programação, tas como: programação procedural, funconal, lógca e orentada a objetos. Entre as númeras e elegantes etensões da técnca de transformada ntegral obtdas e especfcamente para justfcar a presente pesqusa, destaca-se a análse e tratamento de problemas parabólcos acoplados dfusvo-convectvos. esta dreção resolveu-se por transformada ntegral uma varante do modelo matemátco orundo da teora do processo de secagem proposto por ukov [5-] que, devdo aos fortes acoplamentos estentes em suas versões lnear e não-lnear, fo apontado na lteratura da modelagem computaconal por dversos autores ocdentas como não-atratvo do ponto-de-vsta analítco e numérco, mas estes utlzavam apenas técncas puramente numércas [-]. O fato dos autores ocdentas apontarem dfculdades analítcas fo causado pelo desconhecmento de modernas técncas de tratamento analítco, como a técnca de transformada ntegral. Desenvolveu-se através do uso dos formalsmos da transformada ntegral um algortmo que trata um problema dfusvo-convectvo generalzado acoplado. Para aplcação, escolheu-se uma varante do problema de ukov com efeto da pressão [7-9], epresso por um sstema de três equações dferencas parcas. este, se vsa determnar numercamente os valores da temperatura, umdade e pressão no nteror de um meo caplar poroso. A mplementação fo construída utlzando-se as lnguagens de programação Mathematca e Fortran. Os resultados são apresentados nas formas de tabelas e gráfcos, destacando-se as ecelentes taas de convergênca numérca das séres de epansão de auto-funções e a conseqüente obtenção de resultados benchmark. as sessões seguntes se apresenta uma revsão bblográfca do problema de ukov, da técnca de transformada ntegral e da computação smbólca. Em seguda, desenvolve-se um algortmo com tratamento e solução sstematzada de um problema composto por um sstema de três equações dferencas parcas acopladas, do tpo parabólco, com contorno acoplado, quando se utlzam os formalsmos de transformada ntegral. Como aplcação desta metodologa sstemátca, mplementa-se um algortmo para
solução analítco-numérca de uma varante do problema de ukov com efeto da pressão, onde se utlza controle prescrto de erro e as lnguagens de programação Fortran e Mathematca. as sessões posterores, apresentam-se resultados, na forma de tabelas e gráfcos, que posterormente são crtcamente dscutdos. Conclusões e sugestões são apresentadas no capítulo fnal.
CAPÍTUO REVISÃO BIBIOGRÁFICA. Técnca De Transformada Integral.. Fundamentos a lteratura, observa-se, de forma crescente, a partr da década de otenta, um certo renascmento das técncas dtas analítcas, voltadas para um melhor aprovetamento dos recentes avanços em análse numérca, lnguagens de programação e métodos computaconas assocados a problemas da matemátca avançada. Estes nvestmentos buscam dmnur os custos computaconas, melhorar a precsão dos resultados e dmnur os esforços despenddos pelo programador nos estágos de construção e mplementação algorítmcas. Özsk e Murray publcaram em 974 uma nova técnca de característcas analítconumércas para resolução de sstemas de equações dferencas parcas, EDP s, a prncípo não tratáves pela teora clássca de separação de varáves conhecda no ocdente [], a qual dspensava a necessdade do problema ser separável à pror. Estavam assm estabelecdos os formalsmos báscos para o surgmento da denomnada Técnca de Transformada Integral Clássca (Classcal Integral Transform Technque), CITT. Em um estágo bem mas avançado, Mkhalov e Özsk lançam em 984, o prmero lvro generalzando os formalsmos da CITT [], que postulava um tratamento unfcado, segundo sete classes de equações dferencas parcas que foram defndas a partr de números problemas de transferênca de calor e massa encontrados na lteratura. a década de otenta, observa-se uma sére de etensões da técnca de transformada ntegral clássca para resolução de dversos problemas abordados prncpalmente na lteratura ocdental, que eram resolvdos por métodos dscretzados denomnados puramente numércos, como dferenças fntas, elementos fntos, volumes fntos e suas varantes [4-9]. Comparando-se as característcas da abordagem da CITT, com as técncas ctadas, observou-se o aparecmento de uma sére de vantagens [4, ]: a) Metodologa sstemátca de solução; b) Redução do tempo de processamento; c) Controle prescrto de erro; d) Aceleração da taa de convergênca numérca; e) Inestênca de malhas (fator que se acentua crtcamente para problemas multdmensonas); f) Obtenção de soluções benchmark; g) Determnação numérca dreta da função em um ponto (para valores defndos de tempo e espaço) sem necessdade de cálculo numérco de estados temporas anterores ou de outros pontos do domíno espacal; h) Versatldade do método em se hbrdzar com outros, devdo às suas característcas analítco-numércas. 4
Em síntese, na década de otenta, a CITT passou por uma contínua evolução, gerando soluções computaconas bastante efcentes para uma vasta gama de problemas a pror não transformáves ou não soluconáves numercamente[4,], mostrando-se ser bastante compettva. Em função do processo evolutvo encontrado no método de transformada ntegral, em 99, Cotta publcou o segundo lvro relatvo ao assunto [4], apresentando uma revsão dos formalsmos clásscos, que são agora estenddos com ênfase para a solução de problemas nãolneares e fortemente acoplados e propondo técncas para melhorar a efcênca da solução numérca. A partr de então, convenconou-se renomear o método, sendo nttulado como Técnca de Transformada Integral Generalzada (Generalzed Integral Transform Technque), GITT. Anda nesta década, a computação smbólca passa a ser amplamente empregada como ferramenta no desenvolvmento dos formalsmos analítcos de GITT [,], graças aos avanços dsponblzados em programação funconal, programação baseada em regras e outros recursos mprescndíves à programação centífca avançada. Com sso, a eaustva manpulação de formulações analítcas passou a ser tarefa do computador, amplando-se cada vez mas as fronteras da GITT para o tratamento analítco, solução numérca e vsualzação gráfca de sstemas de EDP s não lneares acopladas [,-4]. ovos lvros e publcações epandndo o poder da GITT são publcados e surge a prmera revsta especalzada em métodos híbrdos, com destaque para a conjunção entre computação smbólca e métodos híbrdos analítco-numércos, que se passa a denomnar de computação híbrda. Uma vgorosa vantagem do método se caracterza em se poder elmnar a dependênca de varáves espacas assocadas aos potencas orgnas, o que se consegue va fórmulas analítcas de transformada. Assm o esforço computaconal predomnante é dspenddo na solução do problema transformado, onde permanece apenas a dependênca temporal. Tornase necessáro somente o uso de um processo de dscretzação numérca na varável temporal, para ntegração ao longo desta coordenada. Isto vablza o emprego de algortmos bem estabelecdos para solução de sstemas de equações dferencas ordnáras, EDO s, com controle automátco de erro, que são encontradas em bblotecas de sub-rotnas centífcas. Para aceleração da taa de convergênca numérca da solução, adotam-se técncas de fltragem, ordenamento de espectro de autovalores, balanços ntegras e métodos adaptatvos [,,,5,6]. O método de GITT, conjugado ao uso de computação smbólca, possblta ao usuáro construr e mplementar algortmos que automatcamente manpulam e dsponblzam mportantes nformações analítcas [,7]. Estes eecutam o processamento sstemátco de tarefas repettvas e tedosas, assocadas ao desenvolvmento de cálculos analítcos avançados, que tradconalmente eram realzadas va eaustva manpulação humana. Sem os avanços alcançados nos formalsmos teórcos dos métodos analítconumércos, não sera possível se construr algortmos que cada vez mas ncorporassem e desenvolvessem cálculos analítcos e conseqüentemente tornasse mas atratvo o processamento analítco avançado. Genercamente, para solução de um problema segundo os formalsmos de GITT necessta-se de um par transformada-nversa e de um problema aular assocado, que ncorpore característcas analítcas dos operadores do problema orgnal. A elmnação de varáves ndependentes, por meo de operadores de ntegração aproprados, leva a obtenção 5
de um sstema de equações dferencas ordnáras, que é denomnado de sstema transformado. um passo segunte, este últmo é truncado de uma ordem fnta e prescrta, para ser resolvdo analítca e numercamente. Caso o sstema transformado possa apresentar solução analítca, esta pode ser obtda automatcamente. Em caso contráro, se busca uma solução numérca, através do uso de algortmos computaconas dsponíves em bblotecas de subrotnas centífcas, ctando-se o IMS [8]. Em síntese, os passos a serem eecutados para se resolver um problema através do uso dos formalsmos da GITT podem ser sstematzados como mostrado a segur: - Escolha de um problema aular assocado, que guarda o mámo de nformações do problema orgnal, relatvas à geometra e operadores; - Desenvolver o par de transformadas ntegras para os operadores transformada e nversa ; - Transformar o sstema de equações dferencas parcas orgnal, fazendo uso de operadores aproprados. Isto resulta na obtenção de um sstema de EDO s nfnto, não lnear, que pode ou não ser acoplado. Se obtvermos o últmo, cada potencal transformado desacoplado pode ser ndependentemente resolvdo chegando-se a uma solução eata; - Truncar e resolver o sstema de EDO s, segundo uma precsão prescrta, com controle numérco de erro; - Construr os potencas orgnas, através do uso das fórmulas de nversão. Entre as númeras aplcações da GITT em modelagem avançada, cênca e tecnologa enumeram-se as seguntes: a) Problemas que possuem coefcentes varáves nas equações governantes. Eemplfcam-se modelos provenentes da análse de aletas com dsspação tempo-dependente e escoamento com desenvolvmento smultâneo em canas. Destacam-se as publcações de Mkhalov [9], Özsk [], Cotta [,], eroz [] e Aparecdo []. b) Problemas com coefcentes varáves em suas condções de contorno. Enumeram-se modelos provenentes da análse da condução de calor com número de Bot tempodependente e convecção nterna em dutos aletados eternamente. Algumas relevantes contrbuções são encontradas em Özsk [,7,], Murray [], Yener [], Cotta [6, 7,] e Santos [7,]. c) Problemas que apresentam contornos geométrcos varáves, destacando-se modelos provenentes da análse de mudança de fase e odação em fronteras móves e controle do escoamento e transferênca de calor em dutos rregulares relaconados a projetos de trocadores de calor compactos. Entre as prncpas publcações enumeram-se trabalhos de Özsk [8,4,5], Guçer [4], ete [5], Verguese [5], Cotta [8,9,6,7,8,9], Aparecdo [8,9, 7,8,9] e Dnz [7]. 6
d) Problemas que possuem problemas aulares de dfícl solução, que são aplcados na análse de trocadores btubulares, processo de secagem, convecção nterna forçada peródca e transente, transferênca de calor em escoamentos com efetos de condução aal e convecção nterna em dutos retangulares. Estes podem ser classfcados de acordo com a natureza dos problemas aulares assocados: - problemas de autovalor acoplados: Mkhalov [,,4], Özsk [,4], Shshedjev [4], Rossen [4], ayakawa [4], Cotta [,4,4], Rbero [,4], obo [4], Guedes [4] e Scofano eto [4]. - problemas de Sturm-ouvlle que apresentem varável de uma transformada de aplace: Cotta [44] e Özsk [44]. - problemas de Sturm-ouvlle que apresentem funções compleas: Cotta [45,46,47], Özsk [45], akaç [47] e [47]. - problemas de Sturm-ouvlle não clásscos: Bayaztoglu [48] e Özsk [48]. - sstemas de Sturm-ouvlle não separáves: Aparecdo e Cotta [49]. e) Problemas não-lneares caracterzados pela presença de equações cujos termos fonte e/ou condções de contorno dependem do potencal a ser obtdo (Cotta [5,5,5] e Serfaty [5,5]). Estes são aplcados na análse de condução de calor com condutvdade térmca varável, condções de contorno com troca radante, processo de secagem não lnear, equações de camada lmte e aver-stokes. 7
.. Solução para Equação Dferencal Parcal Parabólca Vsando um tratamento e solução generalzados de numerosos problemas dfusvoconvectvos [], seja o segunte problema parabólco [], defndo numa regão fnta V, com superfíce de contorno S: T (, t) w( ) + T (, t) P(, t), V, t > t (..a) com condção ncal T (, t) f ( ), V, t (..b) e condção de contorno BT (, t) φ (, t), S, t > (..c) os operadores lneares e B são defndos pelas epressões ( ) + d( ) (..d) B α ( ) + β ( ) ( ) (..e) n onde T(,t) é o potencal a ser obtdo (temperatura, concentração, etc.); w(), () e d() são coefcentes da equação (..a) cujo termo não homogêneo P(,t) representa uma fonte ou sumdouro; α() e β() são coefcentes prescrtos da equação de contorno (..c) cujo termo φ(,t) epressa as nformações de contorno não homogêneas; /n corresponde à dervada na dreção normal e apontando para a dreção eteror à superfíce de contorno S; e t são varáves ndependentes que representam as coordenadas espacal e temporal, respectvamente. Prmeramente se supõe a representação do potencal T(,t) através de uma epansão de autofunções da forma T(, t) A( t) ψ ( µ, ) (.) onde as autofunções ψ(µ,) são obtdas a partr da adoção do segunte problema aular assocado: µ w( ) ψ ( µ, ) ψ ( µ, ), V (..a) possundo a segunte condção de contorno Bψ (µ, ), S (..b) cujos termos guardam nformações contdas nos operadores das equações (..a) e (..c), desprezando-se os termos não homogêneos P(,t) e φ(,t). 8
O problema aular assm formulado é um problema de autovalor do tpo Sturm- ouvlle e que possu as seguntes propredades [5]: a) os autovalores µ são reas e postvos, podendo ser ordenados crescentemente. Assm, µ <µ <µ <µ 4 <... (.4.a) b) as autofunções ψ(µ,) assocadas aos autovalores µ ortogonaldade obedecem à relação de operador w( ) ψ ( µ, ) ψ ( µ j, ) dv, j. (.4.b) V Os coefcentes de epansão, A (t), na equação (.), são obtdos aplcando-se o V w( ) ψ ( µ, ) dv, conforme lustrado a segur: j V w( ) ψ ( µ, ) T(, t) dv A( t) w( ) ψ ( µ, ) ψ ( µ, ) dv j V j (.5.a) Aplcando-se a relação de ortogonaldade das autofunções, apresentada em (.4.b) na equação anteror, encontra-se: A j ( t) w( ) ψ ( µ j, ) T (, t) dv (.5.b) V j onde j é a ntegral de normalzação, ou smplesmente norma, defnda por: j w( )[ ψ ( µ, )] dv (.6) V j As equações (.) e (.5.b) levam à defnção do par de transformação ntegral, o qual é composto pelas fórmulas de transformada e de nversa: T () t w( ) (, ) T(,) / ψ µ t dv (.7.a) V T(, t) ψ ( µ, ) T ( t) (.7.b) / Os potencas transformados T ( t) são calculados pela solução do sstema dferencal ordnáro que é decorrente da elmnação da coordenada espacal epressa na equação (..a), conforme o procedmento apresentado a segur. Aplca-se o operador dv / ψ ( µ, ) sobre a equação (..a), obtendo-se: V dt() t dt (, )[ ( ) T(, t) d( ) T(, t) + P(, t)] d / ψ µ v (.8) V 9
Smlarmente, aplca-se o operador T(, t) dv sobre a equação (..a), / V resultando: µ T ( t) T (, t)[ ( ) ψ ( µ, ) + d( ) ψ ( µ, )] dv (.9) / V Adconando-se, membro a membro, as equações (.8) e (.9), encontra-se o segunte sstema dferencal ordnáro desacoplado: dt() t + µ T () t g (), t t >,,,... (..a) dt onde g ( t) é defnda por g ( t) T t T t dv / [ (, ) ( ) (, ) (, ) ( ) (, )] ψ µ ψ µ + V + / V ψ ( µ, ) P(, t) dv (..b) A prmera ntegral de volume da equação (..b) é então transformada em uma ntegral de superfíce através da fórmula de Green, resultando: T(, t) ψ ( µ, ) g () t ( )[ ( T t ds /, ) (, ) ] ψ µ + S n n + / V ψ ( µ, ) P(, t) dv (..c) O prmero ntegrando da equação (..c) é desenvolvdo algebrcamente, combnando-se as equações de contorno (..c) e (..b), de forma a se obter: ψ ( µ, ) ψ ( µ, ) ( ) T(, t) ψ ( µ, ) ( )[ ψ ( µ, ) T(, t) ] φ (, t ) n n n α( ) + β( ) (.) Das equações (..a), (..c) e (.), chega-se ao segunte sstema transformado: dt() t + µ T () t g (), t t >,,,... (..a) dt onde g ( t) é dada por,
ψ ( µ, ) ψ ( µ, ) ( ) g () t (,) t ds / + φ n S α( ) + β( ) + / V ψ ( µ, ) P(, t) dv (..b) As condções ncas requerdas para solução do sstema transformado são obtdas transformando-se a condção ncal, equação (..b), o que é eecutado utlzando-se a defnção do potencal transformado (.7.a): T ( ) w( ) (, ) T(, ) dv w( ) (, ) f ( ) / ψ µ V / ψ µ dv (..c) V A solução analítca eata do sstema transformado, descrto pelas equações (..a), (..b) e (..c), é dada por: t µ t µ r T () t e f + e g () r dr (..a) onde f w f ( ) ψ ( µ, ) ( ) dv (..b) / V Aplcando-se a equação (..a) sobre a fórmula de nversão, dada pela equação (.7.b), encontra-se a segunte formulação eplícta para o potencal T(,t): (, ) t t r T(, t) e / f + e g () r d ψ µ µ µ r (.4) É mportante observar que para uma determnada ordem de truncamento, à medda que cresce o valor da coordenada temporal, a sére (.4) converge com menos termos. Isto mostra que o uso de apromações analítcas tende a dmnur consderavelmente o custo computaconal da solução em relação aos métodos puramente numércos.
.. Solução geral do Sstema de EDP s Parabólcas Acopladas esta seção são descrtos os formalsmos necessáros para a solução de um sstema parabólco não-lnear acoplado, defndo em uma regão fnta V, possundo uma superfíce de contorno S e para k,,. Para tanto, levam-se em conta recentes etensões aos fundamentos clásscos da técnca de transformada ntegral [4,,]. w Tk (, t) ) + ktk (, t) Pk (, t, T (, t), T (, t), T (, t)), t V, t > (.5.a,b,c) k ( com condções ncas T (, t) f ( ), V, t k k (.5.d,e,f) e condções de contorno B k T k ( k >, t) φ (, t, T (, t), T (, t), T (, t)), S, t (.5.g,h,) os operadores lneares k e B k são defndos pelas epressões ( ) + d ( ) (.5.j,k,l) k k k B α ( ) + β ( ) ( ) n k k k k (.5.m,n,o) onde T k (,t) são os potencas a serem determnados. P k (,t,t (,t),t (,t),t (,t)) e φ k (,t,t (,t),t (,t),t (,t)) ncorporam os termos não-homogêneos, não-lneares e de acoplamento presentes no sstema. Os demas termos são dêntcos aos defndos nas equações (..a-e). Sem perda de generaldade, utlzado os mesmos formalsmos da GITT descrtos na seção anteror, defnem-se a segur, para k,,, os problemas aulares desacoplados assocados, os pares de transformação ntegral e o sstema transformado, relatvos ao sstema de equações (.5.a-o): a) Problemas aulares equações governantes k µ w ( ) ψ ( µ, ) ψ ( µ, ), V (.6.a,b,c) k condções de contorno k k k k k B ψ (µ, ), S (.6.d,e,f) k k k A escolha de problemas aulares desacoplados consttu um mportante passo, pos evta defntvamente o aparecmento de eventuas autovalores compleos [4,,4,54].
b) Pares de transformação ntegral fórmulas de transformada T k () t / wk( ) k( k, ) T(,) ψ µ t dv (.7.a,b,c) V k fórmulas de nversão Tk (, t) ψ (, ) ( ) / k µ k T k t (.7.d,e,f) k onde k são as ntegras de normalzação, ou smplesmente normas, defndas por w ( )[ ψ ( µ, )] dv (.8.a,b,c) k V k k k c) Sstema transformado acoplado dt k ( t) + µ k T k ( t) g k ( t, T (, t), T (, t), T (, t)), t >,,,... (.9.a,b,c) dt com condções ncas T k ( ) f w f k / k( ) k( k, ) k( ) ψ µ dv (.9.d,e,f) V k onde t, T (, t), T (, t), T (, )) são funções defndas por g k g k ( t ( t, T (, t), T (, t)) + / k S φ k / k V ψ k ( µ (, t, T (, t), T (, t), T (, t)) ψ k ( µ k, ) P (, t, T (, t), T (, t), T (, t)) dv + k k, ) α k k ( ) + β ψ ( ) k k ( ) ( µ n k, ) ds (.9.g,h,) Observando que as equações (.9.g,h,) dependem dos valores dos potencas T (,t), T (,t) e T (,t) ao longo do contorno S, conforme o tpo da condção do contorno estente no problema governante, torna-se necessáro uma análse da taa de convergênca numérca nesta regão. A utlzação dreta das fórmulas de nversão defndas nas equações (.7.d,e,f) é possível, contudo não representa a melhor alternatva, uma vez que a sére pode convergr mas lentamente prómo ao contorno S. Isto decorre devdo as autofunções não obedecerem às condções de contorno não-homogêneas presentes no sstema orgnal. Outras alternatvas foram postuladas [4,,55], vsando melhorar o comportamento da taa de convergênca numérca da solução. Sem perda de generaldade, o sstema transformado assume a segunte forma:
sstema transformado acoplado dt () t + µ T ( t) g*, t >,,,... (..a) dt dt j ( t) + µ j T j ( t) g * j, t >, j,,... (..b) dt dt l ( t) + µ l T l ( t) g * l, t >, l,,... (..c) dt condções ncas T ( ) f (..d) T j ) f j ( (..e) T l ) f l onde g g g ( (..f) * g ( t, T n ( t), T m ( t), T p ( t)), n, m, p,,... (..g) j g ( t, T n ( t), T m ( t), T p ( t)), n, m, p,,... (..h) * j * l l g ( t, T n ( t), T m ( t), T p ( t)), n, m, p,,... (..) As equações (..a-) defnem um problema de valor ncal não-lnear acoplado, consttuído por um conjunto nfnto de equações. A solução deste sstema, que permte eplctar os potencas T k (,t), pode ser obtda computaconalmente após o truncamento do sstema em uma ordem fnta, sufcentemente grande, segundo um valor prescrto de erro numérco. Com o truncamento, o sstema nfnto é reduzdo a uma ordem fnta de MP equações ordnáras acopladas. Assm, como passo ncal vsando truncar as equações (..a,b,c), lmta-se a quantdade de autovalores µ, e, tomando,,..., µ j µ l j,,...,m e l,,...,p. Em seguda, para truncar as equações (..g,h,), analogamente se lmta a quantdade de potencas transformados T n (t), T m ( t) e T p (t), com n,,...,, m,,...,m e p,,...,p. Com base nas equações (..d,e,f), determnam-se os valores ncas correspondentes ao sstema truncado: f, com,,...,, f j, com j,,...,m e f l, com l,,...,p. Agora, as fórmulas de nversão defndas nas equações (.7.d,e,f) são respectvamente truncadas em, M e P termos. Vsando encontrar a ordem de truncamento (valores M, e P) que satsfaça a tolerânca prescrta de erro, deve-se verfcar a convergênca numérca das séres de epansão de autofunções (fórmulas de nversão) após sucessvas varações adotadas na ordem de truncamento do sstema transformado. 4
Analsando-se o problema de valor ncal, este pode ser resolvdo numercamente recorrendo-se ao uso de matrzes de autovalores ou subrotnas centífcas, dsponíves em sstemas de computação numérca, ctando-se o IMS [8] ou em sstemas de computação smbólca, como o Mathematca [,56]. As ordens de truncamento necessáras para alcançar uma determnada precsão prescrta podem ser mnmzadas adotando-se o uso de procedmentos adaptatvos. Calculados os potencas transformados, o passo segunte é utlzar as fórmulas de nversão, obtendo-se assm os potencas desejados. Destaca-se que quando se utlzam métodos com característcas analítcas, como a GITT, o custo computaconal de processamento de um problema trdmensonal é prómo ao de um problema undmensonal. Por outro lado, ao se utlzar métodos puramente numércos para se eecutar as mesmas tarefas, a varação do custo de processamento pode sofrer ncremento da ordem de cem vezes. 5
. Computação Smbólca A computação smbólca é caracterzada como uma lnguagem de programação de alto nível que dsponblza para o usuáro a cração de documentos nteratvos. Estes permtem a edção de teto e defnção de rotnas sstematzadas para eecução de conjuntos de tarefas necessáras ao desenvolvmento de cálculo analítco e/ou numérco, além de vsualzação gráfca de funções ou arquvos de dados. Estes recursos permtem mas faclmente ao usuáro mplementar programas avançados para tratamento smultâneo smbólco (manpulação analítca) e numérco de problemas relaconados à matemátca, físca e engenharas. A computação smbólca nasceu da necessdade de se atrbur à máquna a cansatva tarefa de manpular algebrcamente etensas epressões matemátcas, a fm de permtr aos usuáros o estudo e análse de modelos cada vez mas compleos. A máquna analítca, dealzada por Charles Babbage em 8, devera processar com rapdez dados numércos e até smbólcos, desde que adequadamente representados. Entretanto, fo necessáro pouco mas de um século até o surgmento dos prmeros computadores eletrôncos nos anos quarenta, que aulavam no tratamento de problemas aplcados a cênca e tecnologa (C&T), va o uso de métodos puramente numércos [57]. As prmeras referêncas documentadas sobre o uso da manpulação de símbolos por computador datam de 95 [57,58,59]. Durante a década de cnqüenta, surgram programas computaconas capazes de manpular polnômos, resolver equações e calcular dervadas de funções. Em 966 houve as duas prmeras conferêncas sobre cálculo smbólco, ocorrdas em Washngton e Psa [57]. o níco da década de 7, já estam programas computaconas que ntegravam funções analtcamente e, ao fnal da mesma, outros surgram para a solução smbólca de equações dferencas e ntegras [57]. Tradconalmente, a computação smbólca é utlzada para eecução automátca de operações de artmétca, álgebra e cálculo avançado [56,57,6]. Alado a sto, um grande número de funções matemátcas se encontram mplementadas nos sstemas de computação smbólca, SCS, o que aumenta consderavelmente o potencal aplcatvo. Mutos SCS, utlzando técncas de programação baseadas em regras e programação funconal permtem que se defnam novas funções matemátcas a partr das operações e funções já dsponíves. As operações de cálculo avançado realzadas pelos SCS envolvem dferencação, ntegração, cálculo de lmtes, cálculo vetoral, representação em séres de funções, entre outras. Estes recursos têm sdo utlzados sstematcamente no tratamento de números problemas aplcados a C&T [,,6]. o caso de atvdades de pesqusa e modelagem avançada, pode reduzr sgnfcatvamente o trabalho necessáro para o desenvolvmento de cálculos analítcos, elmnando assm tedosos e desnecessáros esforços de concentração mental, assocados à manpulação de etensas epressões matemátcas repettvas e mecâncas. Como conseqüênca, é possível se obter um tratamento analítco mas rápdo, recursvo e confável. Como eemplo das últmas tendêncas em SCS, cta-se o Mathematca, que fo lançado em 988 pela Wolfram Research, que permte a ntegração de recursos de computação numérca, smbólca e métodos analítco-numércos, dentro de um ambente de programação totalmente heterogêneo. Em nível de avanços consegudos em modelagem avançada aplcada a C&T, cta-se o aparecmento de lvros e revsta nternaconal que oferecem soluções melhoradas nos aspectos 6
de taa de convergênca numérca, establdade numérca e tarefas assocadas ao programador relatvas à construção e mplementação algorítmcas. 7
. Problema de Secagem de ukov A análse va smulação computaconal do comportamento dnâmco das dstrbuções smultâneas de temperatura, umdade e pressão no nteror de meo caplar poroso é de fundamental mportânca para a melhora do controle de processos ndustras e também para o desenvolvmento das cêncas térmcas, físca e engenharas. ukov [5,6,6,6], partndo de concetos da termodnâmca de processos rreversíves estudou este fenômeno, representado-o matematcamente por um sstema de equações dferencas acopladas. Phlp e De Vres [6] postularam um modelo do mesmo tpo. Fulford [64], Rossen e ayakava reanalsam a teora de secagem proposta por ukov, segundo os aspectos que envolvem os concetos físcos e a publcam sob forma de revsão [4,66,67]. Em lnhas geras, mostram uma análse da nfluênca qualtatva dos parâmetros admensonas sobre as varações dos potencas de temperatura e umdade durante o processo de secagem. Em uma das varantes de sua teora, ukov soluconou um sstema de equações lneares, aplcando um método de característcas fortemente analítcas, caracterzado pela técnca de transformada de aplace, segundo dferentes tpos de condções de contorno e sstemas de coordenadas cartesanas, clíndrcas e esfércas. Estas soluções podem ser consderadas como casos especas dos resultados obtdos usando a metodologa proposta por Mkhalov [68]. Devdo à compledade matemátca encontrada em determnadas varantes do problema de ukov, estem soluções analítcas somente para certas versões partculares, onde as propredades termofíscas e os coefcentes das equações são constantes. Em determnadas varantes deste problema, o trabalho torna-se mas tedoso quando ocorre a possbldade de se encontrar autovalores compleos, como descrto nas metodologas desenvolvdas por obo et al. [69] e u e Cheng [7], ou quando se precsa resolver um problema multdmensonal e com multcamadas. Mutas apromações numércas propostas para soluconar as equações de ukov não lneares compreendem varações dos métodos clásscos tas como os métodos de elementos fntos e dferenças fntas, bem como contornos varáves e métodos varaconas. Com o advento da GITT a partr do fnal da década de otenta foram publcados trabalhos mostrando soluções de varantes do problema de ukov, desenvolvdas através de procedmentos sstemátcos, sendo observado que algumas soluções anterormente apresentadas estavam ncompletas [54,7]. o prómo capítulo aborda-se uma varante do problema de ukov, apresentando-se a análse do modelo físco, caracterzação do modelo matemátco assocado e a metodologa de solução. 8
CAPÍTUO PROBEMA DE TRASFERÊCIA DE CAOR E MASSA EM UM MEIO CAPIAR POROSO SOB EFEITO DA PRESSÃO Vsando uma aplcação dos formalsmos da técnca de transformada ntegral generalzada utlzados no tratamento do problema parabólco, acoplado e não-lnear tratado na sessão.., adota-se uma varante do modelo de ukov [5-], composto por três equações dferencas parcas, lneares e acopladas, orundas dos balanços de energa, massa e da equação de mudança de pressão, aplcados no nteror de um meo caplar poroso e sotrópco... Modelo Físco A nterrelação entre a transferênca de calor e massa em meos caplares porosos levando em conta o efeto termogradente fo prmeramente estabelecda por ukov [5,6,6,6,65]. Partndo de fundamentos da termodnâmca de processos rreversíves, o mesmo defnu um sstema acoplado de equações dferencas parcas orundos das equações de balanço e de mudança da pressão. O problema com dos graus de lberdade assume que a pressão é constante através do domíno de nteresse. Entretanto, durante um prolongado período de secagem, um gradente de pressão total se desenvolve dentro do materal úmdo. Como resultado uma transferênca adconal de umdade e calor ganha lugar devdo ao movmento de fltração composta de fases líquda e vapor. O gradente de pressão total aparece dentro do materal como resultado da evaporação e da resstênca do esqueleto poroso durante o movmento do vapor. O gradente de pressão passa a ser sgnfcante quando o processo de secagem se torna mas ntenso. Desta forma, ukov [7-9] ntroduzu efeto da pressão e defnu o sstema acoplado de equações dferencas parcas que descrevem as nterrelações entre transferênca de calor, massa e pressão em um corpo caplar poroso. A fm de defnr a transferênca de umdade por dfusão e fltração são necessáras três equações dferencas parcas nterdependentes que têm como varáves a serem numercamente determnadas os potencas de pressão, temperatura e umdade. a dervação destas equações as seguntes hpóteses são fetas [7]: () () () (v) a massa é presente apenas nas fases de líqudo e vapor; as temperaturas do líqudo, vapor e do corpo seco são guas em um elemento dferencal volumétrco; reações químcas assocadas não são levadas em conta. mudanças dmensonas que ocorram dentro do materal podem ser gnoradas. 9
Os seguntes subscrtos são usados para dentfcar os componentes materas: esqueleto do corpo poroso vapor líqudo sóldo 4 gás nerte as equações seguntes, T, U e P representam, respectvamente os potencas de temperatura e de umdade e a pressão total do ar úmdo dentro do corpo. Equação de conservação de massa. O balanço de massa para um dos materas vapor ou líqudo segue a le da conservação de massa, a 4: ( m ρ ) dv( j t df + j fl ) + I (.) Onde, m representa o conteúdo de massa, ρ é a densdade, j df é a densdade do fluo de massa transferda por dfusão, j fl é a densdade do fluo de massa transferda por fltração e I representa a capacdade volumétrca da superfíce do materal. O fluo de massa não é apenas relaconado com o gradente de concentração de umdade, que é conhecdo como efeto Soret, sto é, j df a ρ ( m + δ ) (.) m T Onde, a m representa dfusvdade de massa e δ é o coefcente termogradente. A presença do gradente de pressão total dentro do corpo caplar poroso produz transferênca da mstura de líqudo e vapor por efeto de fltração molar, que é descrta como segue: j fl j fl + j fl k p P (.) Onde, k p é o coefcente de fltração de massa. A equação (.) representa o balanço de massa para o ésmo materal componente. Entretanto, para o materal como um todo o balanço total de massa é obtdo somando os balanços dos componentes, sto é,,,, 4. Entretanto, a soma das fontes e sumdouros para todos materas é gual a zero, então, após substtução nas equações (.) e (.), a equação (.) fca ( m ρ t ) dv( a m ρ m + a m ρ δ T + k P) p (.4) A epressão de ukov para o conteúdo de umdade em termos do potencal de umdade estpula que é constante. A equação (.4) vem a ser então c m
U t a m amδ m + c m k p T + c ρ m P (.5) Onde, c m representa a capacdade mássca. Equação da conservação de energa térmca. O balanço de energa térmca dentro do corpo caplar poroso é representado por T 4 ρ cq dvjq h I (.6) t Onde, c q representa a capacdade térmca, j q é o fluo de calor e h corresponde à entalpa específca. A transferênca de calor por condução é normalmente relaconada com o gradente de temperatura, mas no caso de um sstema acoplado, ele é também relaconado, embora fracamente, com o gradente de umdade, e sto é conhecdo como o efeto Dufour. Entretanto, sto é usualmente consderado nsgnfcante para corpos caplares porosos, então, j q k T (.7) q Onde, k q é o coefcente de condutvdade térmca. O termo fonte ou sumdouro é devdo à mudança de fase da água contda dentro do corpo, então 4 h I k p λ dv amρ m + δ T + P (.8) am ρ Substtundo as equações (.7) e (.8) na equação (.6) e rearranjando, obtém-se T ελc a k a k m m q p U ελδ ελ m + + T + P t c q cq c ρ q ρcq (.9) as equações acma, ε é o crtéro de mudança de fase do líqudo no nteror do meo poroso e l é o calor latente de vaporzação. Equação da Pressão Para um sstema fechado, uma equação representando a mudança na pressão é requerda. A dfusão de vapor e ar em caplares é quanttatvamente menor se comparada com a transferênca por fltração, sto é j + j k 4 p P (.) Onde, j é a densdade do fluo de massa transferda.
Somando as equações dferencas de transferênca de massa com respeto a e 4, resulta ρ ( ( u + u t 4 )) dv( u + u ) + I 4 + I 4 (.) O conteúdo de massa da mstura gás-vapor é determnado pela pressão e temperatura: PM ρ ( u + u4 ) Πb (.) RT Dferencando, assumndo T >> c p e T >> db e fazendo ΠbM c p (.) TRρ obtemos ( u + u4 ) P c (.4) t p t as equações acma, c p é a capacdade de fltração mássca, M representa a massa molecular do ar úmdo, R é a constante unversal de gás, b corresponde à saturação nos caplares do corpo e Π representa a porosdade méda do corpo. Substtundo as equações (.) e (.4) na equação (.), resulta P t ρ k p c p εc P c m p U t (.5) então P t a c c ε amδε U c T + a ( ε) m m p p P P (.6) Condções de Contorno As condções de contorno assocadas com estas equações são [7] U U W em Γ (.7a) U kmδ T m + jm + + αu ( U U a ) em Γ (.7.b) n C n m T T W em Γ (.7.c) T kq + jq + αq ( T Ta ) + αu ( ε )( U U a ) em Γ4 (.7.d) n
P P W em Γ 5 (.7.e) as equações acma, k m é o coefcente de condutvdade mássca, α u é o coefcente de transferênca convectva de massa e α q é o coefcente de transferênca convectva de calor. O prmero termo na equação (.7.d) representa a contrbução da transferênca de calor no nteror do meo caplar poroso, o segundo e o tercero termos epressam a quantdade de calor fornecdo pela superfíce, enquanto o últmo termo é a contrbução do calor consumdo na mudança de fase do líqudo. Para a equação (.7.b) o prmero termo descreve o fornecmento de umdade da superfíce para o nteror do meo caplar poroso sob nfluênca do gradente de umdade, enquanto os dos últmos termos descrevem a contrbução da transferênca de umdade devdo ao efeto termogradente e a transferênca convectva. As equações (.7.a), (.7.c) e (.7.e) descrevem as condções de contorno de Drchlet para umdade, temperatura e pressão respectvamente. As equações (.7.b) e (.7.c) podem ser reescrtas na forma T * + J q (.8) n U * + J m (.9) n onde, * J q A ( T T ) + A ( U U ) + J * m q a J A ( T T ) + A ( U U ) + J δ a l m a a q m A l λα k q u ( ε) A q α q k q J m j k m m δ j c k m q q A m δ λ ( ε ) km cm A δ δα c k m q q J q k q As equações dferencas parcas para temperatura, pressão e umdade não são smétrcas; entretanto, multplcando a equação (.5) por c δ c, a equação (.9) por ελρ c m e a equação (.6) por equações smétrcas, sto é, p p m ρ λ ρ c k k nós podemos produzr um conjunto de q m
] [ ] [ ] [ P U T t P C P U T t U C P U T t T C p m q + + + + + + (.) onde, ( ) ( ) p m p m p p p p m m m m m q q q k k k k k c C k k c C k k k c C ελ ε λ λρ δ ελ ελ ελρ ελδ δ ελ δ ρ + onde, m c m U c m δ δ e 4
.. Modelo Matemátco De forma sstemátca o modelo matemátco completo do problema de ukov em análse pode ser enuncado: Equações Governantes P U T t P C P U T t U C P U T t T C p m q + + + + + + (..a,b,c) Condções Incas ( ) ( ) ( ),,, P P U U T T (..a,b,c) Condções de Contorno P U T (..a,b,c) ( ) ( ) ( ) B B B P t P U t U T t T,,, (.4.a,b,c) Onde, 5
C C C q m p δ δ c cq ρ δ ελρcm λρc pk km m p ( k + ελk ) q ελδ k ελδ k m m p δ ελδ k ελk ελk m p m ελδ k ελk λk p ( ε ) k m p p (.5.a,b,c) as equações acma, T T (, t ) representa o potencal de temperatura U U (, t) epressa o potencal de umdade P P(, t) representa o potencal de pressão Antes de se proceder ao uso dos formalsmos da GITT para resolver o problema acma formulado, este é crtcamente analsado. Incalmente verfca-se que o mesmo não é homogêneo no contorno, o que requer o uso de termos fltro [5,4], vsando a posteror obtenção de epansões de autofunções com melhor convergênca numérca, prncpalmente nas promdades do contorno. Isto é possível a partr da escolha de fltros que ncorporem as soluções de regme permanente ( P ( ), P ( ) e P ( ) ) para o problema dado, que são determnadas resolvendo-se o problema estaconáro assocado, resultante da substtução de T (, t) por ), U ( por P ( ) e P(, t por ( P (,t) ) P ), nas equações (..a,b,c), (..a,b,c) e (.4.a,b,c). Sem perda de generaldade, a solução do problema estaconáro assocado é faclmente calculável e epressa por: P P P ( ) T B ( ) U ( ) P B B (.6.a,b,c) Os potencas desejados agora são defndos em termos das funções fltro obtdas, P ( ), P ( ) e P ( ), adconados dos potencas homogêneos (, t), (, t) e (, t) : T, t) ( ) + (, t) T + (, ) (.7.a) ( P B t 6
), ( ), ( ) ( ), ( t U t t U B P + + (.7.b) ), ( ), ( ) ( ), ( t P t t P B P + + (.7.c) As defnções dadas pelas equações (.7.a), (.7.b) e (.7.c) são aplcadas sobre o sstema orgnal, dado pelas equações (..a,b,c), (..a,b,c), (..a,b,c) e (.4.a,b,c), de forma a obter o segunte problema homogêneo: Equações Governantes t C t C t C p m q + + + + + + (.8.a,b,c) Condções Incas ( ) ( ) ( ),,, F P P F U U F T T B B B (.9.a,b,c) Condções de Contorno (..a,b,c) ( ) ( ) ( ),,, t t t (..a,b,c) 7
.. Solução por Transformada Integral Para aplcar a metodologa desenvolvda no tem.. (que tratou da solução geral va transformada ntegral do sstema de EDP s parabólcas acopladas) ao modelo matemátco apresentado na sessão anteror e que fo desenvolvdo a partr do problema de ukov, doravante se aplcam os formalsmos da GITT às Equações (.8 a.). Sem perda de generaldade, para obtenção do sstema transformado assocado, adotam-se, os seguntes problemas aulares assocados do tpo Sturm-ouvlle [5]: Problemas Aulares Assocados ( ) j j, j,, d d d d d d d + µ (..a,b,c) d d + µ (..a,b,c) d d + µ (.4.a,b,c) d Os problemas de valores de contorno que consttuem os problemas aulares acma, apresentam como soluções os seguntes conjuntos de auto-valores (µ, µ, µ ), com as suas respectvas auto-funções assocadas (ψ, ψ, ψ ): ( ) π cos µ µ (.5.a,b) ( ) π cosµ µ (.6.a,b) ( ) π cosµ µ (.7.a,b),,,... (.8) 8
ormas d d d (.9.a,b,c) Fórmulas de Transformada ( ) ( ) ( ) t t t h h h d d d / / / (.4.a,b,c) Fórmulas de Inversão (.4.a,b,c) Aplcando os operadores d e d d,, respectvamente, sobre as equações (.8.a,b,c), obtêm-se, respectvamente, as seguntes equações: 9
+ + + + + + p m q d d d dt d C d d d dt d C d d d dt d C (.4.a,b,c) Aplcando os operadores h d e d d,, respectvamente, sobre as equações (..a,..a,.4.a) obtemos, respectvamente, as seguntes equações: d d d d d d d d d µ µ µ (.4.a,b,c) Subtrando, membro a membro, as equações (.4.a,b,c) das equações (.4.a,b,c), respectvamente uma a uma, resulta: p m q dt d C dt d C dt d C µ µ µ µ µ µ µ µ µ (.44.a,b,c) Prova das Equações (.44.a,b,c): Subtrando, membro a membro, as equações (.4.a) e (.4.a), resulta: + + + + q d d d d d dt d C µ
A prmera ntegral fornece: S ds d d d d d A segunda ntegral resulta em: j j j j j j j j j j j j j j j j j d d d d d d ) ( cos )) cos( ).( cos( µ µ µ µ µ µ De modo análogo a tercera ntegral resulta em: d µ Com sso demonstra-se a equação (.44.a). As equações (.44.b,c) podem ser demonstradas de modo análogo à equação (.44.a). A partr das equações (.4.a,b,c), obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F F π π π (.45.a,b,c) Prova das Equações (.45.a,b,c): Das equações (.4.a), (.9.a) e (.5.a,b), resulta: / / ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( sen ) ( ) sen(,) ( ) cos(,) ( () F F F F d F d h h π π π π µ µ µ
Isto mostra a equação (.45.a). As equações (.45.b,c) são demonstradas de modo análogo. As equações (.44.a,b,c) e (.45.a,b,c) formam um sstema de E.D.O.s acopladas. A partr deste, é possível calcular o valor das transformadas. Usando as fórmulas de nversão (.4.a,b,c), calculam-se os valores dos potencas homogêneos. um passo segunte é possível compor a solução geral do problema de ukov, epresso pelos potencas de temperatura, umdade e pressão, para sto se substtundo os valores dos potencas homogêneos, equações (.4.a,b,c), e as soluções do problema partcular, equações (.6.a,b,c), nas equações (.7.a,b,c). Para proceder a mplementação algorítmca, optou-se pela utlzação das lnguagens de programação Fortran e Mathematca, as quas possuem bblotecas centífcas de funções própras para solução do problema de valor ncal, defndo pelas equações (.44.a,b,c e.45.a,b,c). o capítulo segunte apresenta-se uma análse e dscussão crítca dos algortmos mplementados, mostrando-se o comportamento da convergênca numérca das séres de epansão de autofunções, as quas epressam os potencas desejados. As propredades termofíscas dos materas epoy e slcon gel [7,9] foram seleconadas como valores numércos de entrada dos algortmos. Estes materas são largamente empregados como proteção capsular de processadores e outros chps da ndústra eletrônca.
CAPÍTUO 4 RESUTADOS E COMETÁRIOS A solução por transformada ntegral obtda no tem. fo mplementada utlzandose as lnguagens de programação Fortran e Mathematca, neste últmo va um notebook, quando foram utlzados recursos de computação smbólca, como programação funconal, programação baseada em regras e vsualzação gráfca. Para tanto, fo utlzado um mcrocomputador Pentum II de Mz e 8 MB de memóra RAM. Para análse do comportamento da taa de convergênca numérca, as séres de epansão de autofunções foram truncadas para város valores de, M e P, consegundo-se 5 dígtos sgnfcatvos convergdos, o que caracterza uma ecelente taa de convergênca numérca. Detalhes e eemplos na forma de gráfcos e tabelas que epressam os perfs de dstrbução de temperatura, umdade e pressão no nteror do meo caplar poroso são mostrados a segur. 4. Resultados para Epoy Atrbuíram-se os seguntes valores de propredades termofíscas para o epoy [7]: ρ 7, g.m -, c q.4, J.g. o -, c m, g.g -. o M -, c p,5 g.g -.Pa, ε,, λ,. 6 J.g -,,67 o M. o -, q 576, J.h -.m -. o -, m,. -6 g.h -.m -. o M -, p,5. -6 g.h -.m -.Pa -. O comprmento característco escolhdo é, m. Os valores adotados para as condções ncas são T, o C, U,5 o M e P, Pa. As condções de contorno assumem os seguntes valores em, m: T(,t) / t,, U(,t) / t,, P(,t) / t, e em, m: T(,t) 8, o C, U(,t) 8,5 o M e P(,t) Pa. Para vsualzação do comportamento do processo de secagem, as curvas de dstrbução de temperatura, T, umdade, U, e pressão, P, são obtdas a partr de valores convergdos dos potencas e representadas, respectvamente, pelas Fgs. (4..) a (4..6), mostradas a segur. Conforme esperado, o epoy possu uma baa nérca térmca, atngndo, após, h e nas camadas mas nternas, temperaturas prómas ao valor de equlíbro, o que pode ser observado na Fg. (4..). a Fg. (4..), conforme esperado, são necessáras cerca de 4 h para o meo poroso atngr valores de teor de umdade prómos à umdade de equlíbro, o que caracterza uma alta nérca mássca. Anda na Fg. (4..), devdo ao ntenso efeto termogradente [5,6,] ocorrdo no níco do processo de secagem (o que pode ser nferdo da Fg. (4..), para t <, h), se pode observar quando t 8 h e prómo à superfíce a penetração de uma frente de umdade, que se desloca das camadas mas prómas à superfíce para as mas nternas. Este efeto prossegue, transferndo parte da umdade para as camadas mas nternas, o que pode ser observado na mesma fgura, para
tempos mas longos. Posterormente, prevalece o efeto da secagem, quando esta ocorre em todo o domíno do meo poroso e se aproma do valor de equlíbro (t > 4 h). A Fg. (4..5) ebe o efeto da pressão, que provoca uma componente de transferênca de massa por fltragem, adconal à transferênca de massa por dfusão. O efeto da pressão negatva nas camadas mas nternas (na fgura, quando t 4 h), também é ctado em [7]. Observa-se no efeto fltragem que a pressão no meo poroso possu alta nérca pneumátca, atngndo valores prómos ao equlíbro (para t > 4 h). 4
T(,t) ( o C) t, 8 h X(m) MP 555 555 555, 48.4948 48.9764 48.486 48.46 48.468, 49.9 49.945 49.94 49.94477 49.9457,4 54.45575 54.4988 54.445 54.4497 54.4465,6 6.4849 6.45 6.45579 6.458 6.45978,8 7.9 7.8 7.65 7.44 7.586, 8. 8. 8. 8. 8. t, 6 h X(m) MP 555 555 555, 64.6787 64.479 64.578 64.574 64.548, 65.66 65.48 65.78 65.875 65.97,4 67.48 67.78 67.95 67.87 67.875,6 7.87558 7.8889 7.8997 7.8955 7.8978,8 75.6577 75.56 75.6 75.897 75.866, 8. 8. 8. 8. 8. t, 4 h X(m) MP 555 555 555, 78.89 78.678 78.6986 78.674 78.6787, 78.4988 78.5866 78.686 78.64 78.698,4 78.6599 78.667 78.6454 78.64 78.6497,6 79.5546 79.6898 79.74 79.7646 79.7747,8 79.66 79.6966 79.67 79.65 79.649, 8. 8. 8. 8. 8. Tabela 4.. Convergênca numérca e resultados obtdos usando o Fortran para as dstrbuções de temperatura no epoy, adotando-se Tol-5. 5
U(,t) ( o M) t h X(m) MP 555 555 555, 6.54 6.5 6.54 6.54 6.57, 9.8 9.89 9.88 9.8 9.85,4 6.4476 6.4475 6.4475 6.447 6.4477,6 4.7 4.76 4.7 4.747 4.7,8 9.45 9.49 9.5 9.5 9.48, 8.49999 8.49999 8.49999 8.49999 8.49999 t6 h X(m) MP 555 555 555, 6.48 6.47 6.484 6.476 6.489, 58.68774 58.68769 58.68777 58.6877 58.68867,4 54.8 54.89 54.8 54.8 54.877,6 47.5865 47.5866 47.586 47.587 47.5885,8 8.98 8.98 8.978 8.985 8.98, 8.49999 8.49999 8.49999 8.49999 8.49999 t4 h X(m) MP 555 555 555, 5.55658 5.5564 5.55645 5.5565 5.556, 5. 5.6 5.9 5. 5.88,4 4.889 4.877 4.878 4.88 4.86,6.64775.64767.64766.6477.64755,8.686.6856.6855.6858.685, 8.5 8.5 8.5 8.5 8.5 Tabela 4.. Convergênca numérca e resultados obtdos usando o Fortran para as dstrbuções de umdade no epoy, adotando-se Tol-5. 6
P(,t) (Pa) t h X(m) MP 555 555 555, -.89755 -.8975 -.89759 -.8976 -.89745, -.967 -.959 -.964 -.96 -.95,4.779.7784.7778.777.778,6 7.7557 7.759 7.75 7.758 7.759,8 5.8997 5.97 5.9 5.9 5.94,..... t6 h X(m) MP 555 555 555, 5.4 5.49 5.5 5.4 5.9, 5.5758 5.576 5.575 5.5756 5.579,4 59.6546 59.6546 59.6546 59.6545 59.65456,6 7.6867 7.686 7.686 7.6866 7.68649,8 84.5884 84.5886 84.5884 84.588 84.5886,..... t4 h X(m) MP 555 555 555, 9.784 9.788 9.785 9.784 9.789, 9.57 9.576 9.57 9.57 9.577,4 9.77859 9.7786 9.77859 9.77859 9.7786,6 94.754 94.755 94.755 94.75 94.756,8 97.467 97.467 97.468 97.467 97.468,..... Tabela 4.. Convergênca numérca e resultados obtdos usando o Fortran para as dstrbuções de pressão no epoy, adotando-se Tol-5. 7
Tabela 4..4 Dstrbuções de temperatura no epoy, usando o Mathematca, para MP. Fgura 4... Dstrbução dos perfs de temperatura, T, no epoy, usando o Mathematca, para MP. 8
Fgura 4... Dstrbução da temperatura, T, no epoy, usando o Mathematca, para MP. 9
Tabela 4..5 Dstrbuções de umdade no epoy, usando o Mathematca, para MP. Fgura 4... Dstrbução dos perfs de umdade, M, no epoy, usando o Mathematca, para MP. 4
Fgura 4..4. Dstrbução da umdade, U, no epoy, usando o Mathematca, para MP. 4
Tabela 4..6 Dstrbuções de pressão no epoy, usando o Mathematca, para MP. Fgura 4..5. Dstrbução dos perfs de pressão, P, no epoy, usando o Mathematca, para MP. 4
Fgura 4..6. Dstrbução da pressão, P, no epoy, usando o Mathematca, para MP. 4
4.. Resultados para o Slcon Gel Atrbuíram-se os seguntes valores de propredades termofíscas, para uma cápsula de slcon gel [7], utlzada na proteção de chps eletrôncos: ρ 55, g.m -, c q 46, J.g. o -, c m, g.g -. o M -, c p,5 g.g -.Pa, ε,, λ,. 6 J.g -,,67 o M. o -, q 755, J.h -.m -. o -, m 4,. -6 g.h -.m -. o M -, p,. -6 g.h -.m -.Pa -. O comprmento característco escolhdo é, m. Os valores adotados para as condções ncas são T, o C, U,5 o M e P, Pa. As condções de contorno assumem os seguntes valores em, m: T(,t) / t, U(,t) / t, P(,t) / t e em, m: T(,t) 8, o C, U(,t) 8,5 o M e P(,t) Pa. Para vsualzação do comportamento do processo de secagem, as curvas de dstrbução de temperatura, T, umdade, M, e pressão, P, são obtdas a partr de valores convergdos dos potencas e representadas, respectvamente, pelas Fgs. (4..) a (4..6), mostradas a segur. Conforme esperado, o slcon gel também possu uma baa nérca térmca e da ordem de magntudes menor que a do epoy, atngndo assm, após, h e nas camadas mas nternas, temperaturas prómas ao valor de equlíbro, o que pode ser observado na Fg. (4..). a Fg. (4..), conforme esperado, são necessáras cerca de 6 h para o meo poroso atngr valores de teor de umdade prómos à umdade de equlíbro, o que caracterza uma alta nérca mássca. Anda na Fg. (4..), devdo ao ntenso efeto termogradente [5,6,] ocorrdo no níco do processo de secagem (o que pode ser nferdo da Fg. (4..), para t <, h), se pode observar quando t 8 h e prómo à superfíce a penetração de uma frente de umdade, que se desloca das camadas mas prómas à superfíce para as mas nternas. Este efeto prossegue, transferndo parte da umdade para as camadas mas nternas, o que pode ser observado na mesma fgura, para tempos mas longos. Posterormente, prevalece o efeto da secagem, quando esta ocorre em todo o domíno do meo poroso e se aproma do valor de equlíbro (t > 6 h). A Fg. (4..5) ebe o efeto da pressão, que provoca uma componente de transferênca de massa por fltragem, adconal à transferênca de massa por dfusão. O efeto da pressão negatva nas camadas mas nternas (na fgura, quando t 8 h), também é ctado em [7]. Observa-se no efeto fltragem que a pressão no meo poroso possu alta nérca pneumátca, atngndo valores prómos ao equlíbro (para t > 6 h). 44
T(,t) ( o C) t, 4 h X(m) MP 555 555 555, 4.558 4.5545 4.5554 4.557 4.554, 4.994 4.99 4.99 4.99 4.988,4 49.58 49.5 49.59 49.5 49.59,6 57.49 57.497 57.494 57.4949 57.495,8 68.775 68.7645 68.7696 68.767 68.7695, 8. 8. 8. 8. 8. t, h X(m) MP 555 555 555, 66.487 66.4794 66.48 66.4798 66.484, 67.7 67.7 67.77 67.74 67.74,4 69.454 69.46 69.449 69.45 69.458,6 7.6 7.77 7.89 7. 7.,8 75.87 75.88 75.884 75.869 75.89, 8. 8. 8. 8. 8. t, 4 h X(m) MP 555 555 555, 77.9987 77.9969 77.998 77.995 77.9956, 77.46 77.475 77.479 77.46 77.458,4 77.654 77.6545 77.654 77.659 77.654,6 78.964 78.96 78.965 78.965 78.964,8 79.598 79.59 79.57 79.55 79.557, 8. 8. 8. 8. 8. Tabela 4.. Convergênca numérca e resultados obtdos usando o Fortran para as dstrbuções de temperatura no slcon gel, adotando-se Tol-5. 45
U(,t) ( o M) t8 h X(m) MP 555 555 555,.647.647.64.6995.6988, 4.657 4.657 4.6558 4.655 4.6545,4 9.75 9.754 9.759 9.754 9.7545,6 4.7 4.7 4.745 4.75 4.769,8 9.4575 9.4575 9.4577 9.4578 9.458, 8.49999 8.49999 8.49999 8.49999 8.49999 t4 h X(m) MP 555 555 555, 65.779 65.764 65.7484 65.7486 65.7498, 6.94 6.95 6.998 6.999 6.98,4 58.64987 58.6499 58.6499 58.6499 58.6499,6 5.479 5.49 5.49 5.45 5.44,8 4.99 4. 4.49 4.46 4.44, 8.49999 8.49999 8.49999 8.49999 8.49999 t6 h X(m) MP 555 555 555,.768.768.76.76.766,.85.859.85.85.859,4.9.5.4.4.,6.8987.8986.8976.8977.8974,8 9.945 9.945 9.949 9.949 9.948, 8.5 8.5 8.5 8.5 8.5 Tabela 4.. Convergênca numérca e resultados obtdos usando o Fortran para as dstrbuções de umdade no slcon gel, adotando-se Tol-5. 46
P(,t) (Pa) t8 h X(m) MP 555 555 555, -.657 -.6574 -.657 -.6574 -.6574, -.568 -.5647 -.564 -.56 -.56,4.4458.44575.44568.44568.44558,6.69.69.697.695.69,8 5.9684 5.968 5.9685 5.9686 5.9687,..... t4 h X(m) MP 555 555 555,.8.849.8.84.8, 5.9496 5.956 5.946 5.949 5.94,4 45.89 45.8 45.88 45.84 45.8,6 6. 6.9 6.7 6.5 6.7,8 78.9769 78.9767 78.97768 78.9777 78.97776,..... t6 h X(m) MP 555 555 555, 9.99565 9.99564 9.9956 9.9956 9.9956, 94.895 94.895 94.895 94.895 94.895,4 95.48 95.44 95.46 95.46 95.46,6 96.477 96.477 96.477 96.477 96.477,8 98.4455 98.4455 98.4455 98.4455 98.4455,..... Tabela 4.. Convergênca numérca e resultados obtdos usando o Fortran para as dstrbuções de pressão no slcon gel, adotando-se Tol-5. 47
Tabela 4..4 Dstrbuções de temperatura no slcon gel, usando o Mathematca, para MP. Fgura 4... Dstrbução dos perfs de temperatura, T, no slcon gel, usando o Mathematca, para MP. 48
Fgura 4... Dstrbução da temperatura, T, no slcon gel, usando o Mathematca, para MP. 49
Tabela 4..5 Dstrbuções de umdade no slcon gel, usando o Mathematca, para MP. Fgura 4... Dstrbução dos perfs de umdade, M, no slcon gel, usando o Mathematca, para MP. 5
Fgura 4..4. Dstrbução da umdade, U, no slcon gel, usando o Mathematca, para MP. 5
Tabela 4..6 Dstrbuções de pressão no slcon gel, usando o Mathematca, para MP. Fgura 4..5. Dstrbução dos perfs de pressão, P, no slcon gel, usando o Mathematca, para MP. 5
Fgura 4..6. Dstrbução da pressão, P, no slcon gel, usando o Mathematca, para MP. 5
O estudo realzado mostra claramente através das tabelas e gráfcos apresentados o comportamento do fenômeno de transferênca smultânea de calor e massa com efeto da pressão, o que é vsualzado através do comportamento dnâmco dos perfs de dstrbução de calor, massa e pressão no meo caplar poroso. Esta metodologa pode ser estendda a classe de problemas mas compleos, tornando assm mas atratvo o desenvolvmento da modelagem avançada. o capítulo segunte são apresentadas conclusões e sugestões para contnudade desta lnha de pesqusa. 54
CAPÍTUO 5 COCUSÕES E SUGESTÕES O uso combnado do método de transformada ntegral generalzada e da computação smbólca permtu a mplementação de um algortmo que dsponblza a manpulação analítca e sstemátca dos formalsmos da GITT, segundo o problema de ukov abordado. O fato de se utlzar a programação smbólca permtu mplementar um algortmo que nterpreta compleas regras e formulações matemátcas pertnentes aos formalsmos da técnca de transformada ntegral, repassando assm para o computador a tarefa humana de desenvolvmento de cálculos analítcos. A manpulação dos formalsmos analítcos precsou ser realzada manualmente pelo programador para poder construr e mplementar o algortmo do problema utlzando a lnguagem de programação Fortran. Este fato abre uma porta para a arte da programação avançada ao se pensar em problemas mas compleos. O uso do Fortan teve a fnaldade de comparar os recursos das duas lnguagens de programação. Os gráfcos apresentados permtem aos engenheros de projeto quanttatvamente analsarem o comportamento transente do epoy e do slcon gel, que ebem, este últmo em maor ordem de magntude, baa nérca térmca e alta nérca mássca, o que é desejável em camadas protetoras de chps eletrôncos. Como contnudade da lnha de pesqusa, propõe-se a solução das varantes D e D do problema enfocado, o que se tornará anda mas atratvo quando comparado a dfculdades de mplementação advndas do uso de métodos puramente numércos, já que na metodologa utlzada, os potencas desejados sempre são epressos por séres de epansões de autofunções. A utlzação de GITT assocada à computação smbólca abre uma nova frontera para a arte de programar. Agora é possível transferr númeras formulações analítcas dretamente do algortmo para o códgo computaconal, o que anda não é possível quando se utlzam os métodos puramente numércos. A qualdade dos resultados obtdos pelo uso da técnca de transformada ntegral, como a redução do esforço computaconal com a aplcação do método adaptatvo e a sstematzação do processo de cálculo atesta a vabldade de se estender a técnca a outras classes de problemas de nteresse das engenharas e cêncas físcas. Os resultados apresentados fcam à dsposção para posteror comparação com resultados obtdos epermentalmente ou por outros métodos de solução. Com o advento da versão. do Mathematca, surgu uma nova geração de programas para solução de varantes do problema de ukov e outras classes de equações através da GITT, que usufru de números recursos melhorados e ntegrados, ctando-se: controle adaptatvo de precsão, complação on-lne de operações funconas, proceduras e orentadas a lstas, algortmos numércos otmzados e recursos de anmação gráfca. Outra mportante área a ser pesqusada é a hbrdzação de métodos puramente numércos com a GITT, o que será melhor vablzado com o uso de computação smbólca. 55
O uso de mecansmos combnados assocando transformada ntegral e computação smbólca trará novos atratvos para solução de problemas b e trdmensonas, o que já é notado por se evtar geração de malhas (economa de memóra) e por se acelerar a taa de convergênca numérca (redução do tempo de CPU). Também para a análse e desenvolvmento teórco das teoras contemporâneas de classe de equações dferencas parcas, a metodologa desenvolvda neste trabalho mostrase bastante vável. 56
APÊDICE I OTEBOO DO MATEMATICA. COM IMPEMETAÇÃO Apresentamos um otebook do Mathematca que mostra a solução por transformada ntegral para varante do problema de ukov, usando as propredade do Slcon Gel. Equações Governantes: Condções Incas: Condções de Contorno: Onde, 57
para nosso propósto prátco assummos que: Propredades do Slcon Gel: Termos calculados: 58