UMA ABORDAGEM DE APRENDIZADO ASSISTIDO POR COMPUTADOR UTILIZANDO PROGRAMAÇÃO HÍBRIDA SIMBÓLICO-NUMÉRICA. Marcelo Pereira Pinto

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1 UMA ABORDAGEM DE APRENDIZADO ASSISTIDO POR COMPUTADOR UTILIZANDO PROGRAMAÇÃO HÍBRIDA SIMBÓLICO-NUMÉRICA Marcelo Perera Pnto DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À COORDENAÇÃO DO CURSO DE PÓS- GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO, COMO REQUISITO PARCIAL PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE PELA UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ. Fortaleza - CE, 2002

2 RESUMO Adota-se o emprego smultâneo de técncas de programação smbólca declaratva e métodos da matemátca computaconal de característcas híbrdas analítco-numércas para o desenvolvmento de ambentes nformatzados que facltam o processo de aprendzado assstdo por computador. É característco nos conteúdos de dversas dscplnas pertnentes às grandes áreas das cêncas exatas do conhecmento como cênca da computação, engenharas, cêncas físcas, medcna e matemátca a exstênca de uma sére de estágos assocados à necessdade de construção do processo de aprendzado: concetuação fenomenológca, modelagem matemátca das equações governantes, solução matemátca, vsualzação dos resultados e nterpretação fenomenológca. Num únco ambente nformatzado, estes estágos podem ser dsponblzados e acessados de manera smultânea e nteratva, o que é concebdo segundo uma metodologa sstemátca de abordagem do conhecmento. Com fnaldades pedagógcas, se modularzam os dversos estágos de construção do aprendzado ctados acma, que por sua vez são ramfcados segundo herarquas de aumento de complexdade de conteúdos, permtndo a construção de um processo de aprendzado mas dnâmco, personalzado e estmulando a autonoma. As aplcações educaconas são dscutdas e dsponblzadas na forma de software, mplementados va Mathematca. Dos problemas de áreas dstntas do conhecmento são tratados: um de crescmento populaconal e outro de modelagem avançada, no caso da transferênca de calor não-lnear. No prmero, concebdo dentro de um projeto nternaconal Brasl- Alemenha, denomnado WAVES, parte-se da necessdade de dsponblzar, em um ambente ntegrado, todos os estágos do conhecmento que permtam compreender e trabalhar o assunto abordado, como eventualmente estender o modelo matemátco assocado. No segundo, destaca-se a exstênca de complexas formulações matemátcas e a necessdade de se facltar para o aprendz assocar fórmulas e concetuação fenomenológca pertnentes. Para tratamento e solução deste problema avançado utlzam-se os formalsmos de um método analítco-numérco, denomnado Técnca de Transformada Integral Generalzada. Recorre-se à utlzação de tabelas, gráfcos e anmações para favorecer o processo de aprendzado.

3 ABSTRACT It s adopted the smultaneous use of declaratve symbolc programmng technques and computatonal mathematcs methods wth hybrd analytc-numercal characterstcs for the development of envronments that facltate the computer aded learnng process. It s famlar n the set of contents of several pertnent dscplnes related wth the well-known areas of the exact scences of the knowledge as computer scence, engneerng, physcal scences, medcne and mathematcs the exstence of a amount of steps assocated to the need of the learnng constructon process: Establshment of phenomenologcal concepts, mathematcal modelng of the governng equatons, mathematcal soluton, vsualzaton of results and phenomenologcal nterpretaton. These steps can be ready for use and for nteractve access n a same envronment. Ths s desgned accordng to a systematc methodology of knowledge approach. For pedagogcal purposes, the several steps of learnng constructon above mentoned are arranged accordng sets of cells whch are ramfed n a tree form takng n account herarches of ncreasng complexty from the set of contents, allowng the constructon of a more dynamc learnng process, personalzed and stmulatng the autonomy. As educatonal applcatons, two problems from dfferent areas are dscussed and avalable as a computer program that s mplemented n the software Mathematca. The frst one deals wth populaton mgraton and the other wth advanced modelng, focusng a non-lnear heat transfer problem. The frst one was defned n a Brazlan-German nternatonal project named WAVES, wth the goal of became avalable all the steps of the knowledge to use n an ntegrated envronment that allows to understand the approached subject and eventually to extend the assocated mathematcal model. In the second problem, t s ponted out the exstence of complex mathematcal formulatons and the need of larger reasonng abstracton to assocate formulas and phenomenologcal concepts. In order to solve ths advanced mathematcal problem t was chosen the formalsms of a analytcnumercal method, named as Generalzed Integral Transform Technque. It s shown the use of tables, graphs and anmaton for hghlghtng the learnng process.

4 AGRADECIMENTOS Ao Professor, Orentador e amgo Júlo Wlson Rbero; Ao Professor, Co-orentador e amgo João Batsta Furlan Duarte; Aos colegas do Mestrado em Cêncas da Computação, Laboratóro do Mestrado em Cêncas da Computação (MCC), Laboratóro de Intelgênca Artfcal (LIA), Laboratóro de Métodos Computaconas Híbrdos (OMNI) e Departamento de Computação; Aos fnancadores da mnha bolsa CNPq / Projeto Waves; À mnha eterna musa e companhera Ilana e aos amgos: Adams, Anderson, Jamle, Joselmar, Juarez, Natála, Rcardo, Cândda; E à mnha famíla: Sarah, Ivan, Jonede, Marcos, Mônca e Marcel.

5 SUMÁRIO 1 Introdução Revsão Bblográfca Aprendzado Assstdo por Computador Computação Híbrda Programação Smbólca Declaratva Métodos Analítco-Numércos A Técnca de Transformada Integral Generalzada Abordagem do Aprendzado Assstdo por Computador Tratamento Unfcado do Conhecmento Análse da Crescmento Populaconal Projeto Waves Apresentação do Notebook Modelagem Avançada Tratamento Generalzado do Problema Parabólco Aplcação: Transferênca de Calor Não-Lnear Resultados e Dscussões Mgração Populaconal Transferênca de Calor Não-Lnear Conclusões e Sugestões APÊNDICE A APÊNDICE B... 36

6 LISTA DE FIGURAS FIGURA 2.1: VISÃO GERAL DA ABORDAGEM DO APRENDIZADO ASSISTIDO POR COMPUTADOR SEGUNDO O TRATAMENTO UNIFICADO DO CONHECIMENTO FIGURA 2.2: ESTÁGIOS DE CONSTRUÇÃO DO PROCESSO DE APRENDIZADO ASSISTIDO POR COMPUTADOR SEGUNDO O TRATAMENTO UNIFICADO DO CONHECIMENTO FIGURA 2.3: VISÃO GERAL DOS MÓDULOS DO NOTEBOOK PARA A ANÁLISE DE CRESCIMENTO POPULACIONAL FIGURA 2.4: TRECHO DA CONCEITUAÇÃO TEXTUAL E MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE CRESCIMENTO POPULACIONAL DE MALTHUSIAN GERADO A PARTIR DA ABERTURA DA PRIMEIRA CÉLULA DA JANELA PRINCIPAL, DISPONÍVEL NA FIGURA FIGURA 2.5: TRECHO DE IMPLEMENTAÇÃO DO PROBLEMA DE MALTHUSIAN GERADO A PARTIR DA ABERTURA DA CÉLULA IMPLEMENTAÇÃO DA JANELA PRINCIPAL, DISPONÍVEL NA FIGURA FIGURA 2.6: TRECHOS OBTIDOS A PARTIR DA ABERTURA DA TERCEIRA CÉLULA DA JANELA PRINCIPAL, DISPONÍVEL NA FIGURA 2.3. GRÁFICOS GERADOS A PARTIR (A) DA FUNÇÃO DE CRESCIMENTO POPULACIONAL COM TAXA DE MIGRAÇÃO CONSTANTE, (B) FUNÇÃO DE CRESCIMENTO POPULACIONAL COM TAXA DE MIGRAÇÃO VARIANDO COM O TEMPO FIGURA 2.7:GRÁFICO DE CRESCIMENTO POPULACIONAL TEMPORAL GERADO A PARTIR DA INTERPOLAÇÃO DOS DADOS COLETADOS DA POPULAÇÃO DOS ESTADOS DO CEARÁ E PIAUÍ ENTRE OS ANOS DE 1872 E 1998 (EM MILHÕES) FIGURA 3.1 REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DA PLACA FINA PARA O PROBLEMA UNIDIMENSIONAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR NÃO- LINEAR POR CONDUÇÃO PURA FIGURA 4.1 GRÁFICOS DO CRESCIMENTO POPULACIONAL DURANTE 3 DIAS, COM TAXA DE CRESCIMENTO CONSTANTE K = 0.5 E TAXA DE MIGRAÇÃO CONSTANTE, PARA VALORES DE POPULAÇÃO INICIAL P0={10.000, , } FIGURA 4.2 GRÁFICOS DO CRESCIMENTO POPULACIONAL DURANTE 3 ANOS, COM TAXA DE CRESCIMENTO CONSTANTE, K = 0.5 E TAXA DE MIGRAÇÃO EM FUNÇÃO DO TEMPO SEGUNDO EQUAÇÃO 2.2, PARA VALORES DE POPULAÇÃO INICIAL P0 = , Α = 0,015 E C = FIGURA 4.3 GRÁFICO DE CRESCIMENTO POPULACIONAL TEMPORAL GERADO A PARTIR DA INTERPOLAÇÃO DOS DADOS COLETADOS DA POPULAÇÃO DOS ESTADOS DO CEARÁ E PIAUÍ ENTRE OS ANOS DE 1872 E 1998 (EM MILHÕES) FIGURA 4.4 PERFIL DE DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA, T(X,T) PARA O PROBLEMA DE CONDUÇÃO DE CALOR NÃO-LINEAR (T = 0,1 S) FIGURA 4.5 PERFIL DE DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA, T(X,T) PARA O PROBLEMA DE CONDUÇÃO DE CALOR NÃO-LINEAR (T = 0,3 S)

7 FIGURA 4.6 PERFIL DE DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA, T(X,T) PARA O PROBLEMA DE CONDUÇÃO DE CALOR NÃO-LINEAR (T = 0,01S, 0,2S, 0,4S, 0,6S) FIGURA 4.7 VISUALIZAÇÃO EM 3D DE DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA, T(X,T) PARA O PROBLEMA DE CONDUÇÃO DE CALOR NÃO-LINEAR, COM O TEMPO VARIANDO DE 0,0S A 6,0S... 33

8 ÍNDICE DE TABELAS TABELA 4.1 CURVAS DE DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA, T(X,T), PARA O PROBLEMA NÃO-LINEAR DE CONDUÇÃO DE CALOR. PARA A COORDENADA TEMPORAL,T, OS VALORES ATRIBUÍDOS VARIAM DE 0,1 S A 0,9 S, COM INTERVALO DE 0,1 S. PARA A COORDENADA ESPACIAL, X, VARIA DE 0,0 CM A 1,0 CM...31

9 NOMENCLATURA P Taxa de varação populaconal (2.1). k Taxa de crescmento populaconal (2.1). r Taxa de mgração populaconal constante (2.1). t Coordenada temporal, defnda na equação (2.1). P(t) Taxa de varação populaconal em função do tempo (2.2). r(t) Taxa de mgração varável em função do tempo (2.2). w(x) Coefcente capactvo, defndo na equação defndo na equação (3.1.a). T(x,t) Potencal, defndo na equação (3.1.a). P(x,t) Termo fonte ou sumdouro, defndo na equação (3.1.a). t Coordenada temporal, defnda na equação (3.1.a). x Sstema de coordenadas espacas, defndos na equação (3.1.a). f(x) Dstrbução ncal do potencal, defnda na equação (3.1.b). d(x) Termo convectvo, defndo na equação (3.1.d). K(x) Coefcente de dfusvdade, defndo na equação (3.1.d). A (t) Coefcente da sére de expansão, defndo na equação (3.2). N j Norma, defnda na equação (3.6). T ( t) g ( t) f Potencal transformado, defndo na equação (3.7.a). Termo fonte transformado, defndo na equação (3.10.b). Valor ncal do potencal transformado, defndo na equação (3.13.a).

10 SÍMBOLOS GREGOS φ(x,t) α(x) β(x) Termo fonte da equação da condção de contorno, defndo na equação (3.1.c). Coefcente da condção de contorno, defndo na equação (3.1.e). Coefcente da condção de contorno, defndo na equação (3.1.e). ψ(µ,x) I-ésma autofunção do problema auxlar, defnda na equação (3.2). µ 2 I-ésmo autovalor de problema auxlar, defndo na equação (3.2.a).

11 SUBESCRITOS, j Ordem das auto-quantdades ou índce de lnha e coluna, respectvamente. P Solução de regme permanente (estado estaconáro). H Relatvo ao problema homogêneo.

12 1 Introdução Em meados do século passado, com o aparecmento dos prmeros computadores nos grandes centros de pesqusa, hava um restrto número de máqunas por usuáro, portanto, o acesso era muto dsputado e lmtado. Utlzavam-se então ambentes de programação onde as lnguagens possuíam estrutura e sntaxe muto dstantes das lnguagens naturas e o conhecmento pratcamente se encontrava dsponível apenas em edções mpressas em papel. Estes fatores cravam uma realdade: o homem trabalhava para a máquna. Para poder construr, mplementar algortmos e nterpretar a nformação processada, o programador precsava adaptar o racocíno para desenvolver suas tarefas nas ferramentas dsponíves [01]. Atualmente, se caracterza um processo nverso. Com a popularzação do acesso ao computador e se consderando o contínuo aumento na capacdade de armazenamento de dados, velocdade de processamento e recursos das técncas de programação, passouse a desenvolver abordagens computaconas que melhor assstssem ao racocíno humano, fazendo com que a máquna trabalhasse cada vez mas para o homem. Isso caracterzava uma busca por novos recursos computaconas vsando dnamzar as nterfaces homem-máquna, de forma que a nformação pudesse ser mas rapdamente trabalhada e assmlada com o auxílo do computador. Mesmo atualmente, o estudo de modelos matemátcos relatvos a problemas orundos das grandes áreas do conhecmento assocado às cêncas exatas, ctando-se medcna, cênca da computação, físca e engenharas, contnua a ter a fase de modelagem computaconal sem um uso mas raconal e abrangente de modernos recursos e formalsmos da cênca da computação [02-10]. Por exemplo, para solução de sstemas de equações dferencas parcas acopladas predomna o uso de lnguagens proceduras e métodos puramente numércos [09,11,12]. Como conseqüênca, a mplementação de algortmos e sua utlzação a posteror podem sgnfcar um grande esforço a ser despenddo pelo elemento humano, chegando-se, em casos crítcos, a não se atngr objetvos esperados [13-15]. Dentre os modelos tratados nessas grandes áreas, ctam-se: problemas avançados em cêncas de fludos térmcas [02-05,09,13-16], crescmento tumoral [17], ondas sonoras [18], aplcação do método de Runge-Kutta em problemas de elastoplastcdade [19] e análse de crcutos eletrôncos não-lneares [20]. Nestes tpos de problemas observa-se uma necessdade de tratamento pedagógco e smultâneo de concetuação físca, modelagem matemátca e nterpretação de resultados [21,22]. Neste contexto, ddatcamente, é necessáro assocar, de modo nteratvo e facltador, concetos físcos a matemátcos avançados. Isto caracterza uma crescente necessdade para se melhor vablzar os esforços assocados à mplementação de algortmos nas áreas tecnológcas e afns. Torna-se, portanto estratégco desenvolver, smultaneamente nos aspectos físcos, matemátcos e computaconas, novos formalsmos e técncas para facltar a solução de problemas e nterpretação de resultados obtdos, através do doravante denomnado Aprendzado Assstdo por Computador, AAC [04,09,10,11,12,23-26]. Uma proposta que oferece novas possbldades nesse ramo consttu a utlzação conjugada de computação smbólca, técncas de programação baseada em regras, 1

13 programação funconal e métodos não clásscos provndos da matemátca, como as técncas dtas analítco-numércas, para melhorar o processo de racocíno humano assstdo por computador, traduzdo através da computação híbrda [04,09,10, 23-26]. Neste cenáro, aborda-se o uso destes recursos para se conceber uma abordagem sstemátca de tratamento e análse unfcada, com característcas nteratvas, que é dsponblzada num mesmo arquvo eletrônco e que smultaneamente permte: aprendzado de concetos teórcos, manpulação analítco-numérca de fórmulas matemátcas, técncas de solução e análse fenomenológca, concebda com auxílo de recursos gráfcos e anmação. Para fns de aplcação opta-se pela escolha de dos casos: um problema real e um caso acadêmco. No prmero, aborda-se um problema específco de modelagem de crescmento populaconal para lustração da abordagem proposta no processo de aprendzado assstdo por computador. Este fo concebdo a partr de um projeto nternaconal Brasl/Alemanha, denomnado WAVES [27] e que está em andamento nos últmos ses anos. Neste, a UFC consttu o prncpal parcero braslero e fnancou uma bolsa de estudos para execução desta dssertação. No segundo caso, se optou por um problema avançado, provenente das áreas de cêncas físcas e engenharas, abordando-se a transferênca de calor em problemas nãolneares, o que envolve, além dos estágos crítcos do processo de aprendzado de concetos físcos assocados, o domíno de uma técnca de solução de equações dferencas, no caso a Técnca de Transformada Integral Generalzada, (Generalzed Integral Transform Technque, GITT) [02,05,09,10]. Para tanto, como será mostrado posterormente, serão utlzados, com maor ênfase, recursos vsuas de caráter ddátco, como a anmação gráfca, que smula para o aprendz a dnâmca temporal do fenômeno de transferênca de calor em uma barra, o que faclta a concepção físca do efeto da dfusão de calor. Nos sub-capítulos seguntes é apresentada a revsão bblográfca, abordando o AAC, a computação híbrda e os métodos analítco-numércos. O capítulo dos reporta-se à metodologa de abordagem do processo de aprendzagem assstda por computador, destacando-se a aplcação ao problema de crescmento populaconal. No capítulo três, drecona-se esta metodologa para o problema de modelagem avançada, enfocando a transferênca de calor em regme transente. Resultados e dscussão são apresentados no capítulo quatro. O capítulo consecutvo reporta-se às conclusões e sugestões. 1.1 Revsão Bblográfca Aprendzado Assstdo por Computador Conforme defende a lteratura ocdental, os prmeros softwares educaconas a surgrem datam da década de sessenta. Nesta época, estes se restrngam a ambentes de pesqusa e caracterzavam-se bascamente na relação estímulo-resposta. As duas décadas seguntes trouxeram grandes modfcações na concepção, elaboração e 2

14 utlzação desses programas, com a ncorporação de novos avanços alcançados prncpalmente nas áreas de pscologa, pedagoga e computação. Como por exemplo: estágos de desenvolvmento de Paget, novas alternatvas de ensno-aprendzagem, os concetos de ntelgênca artfcal [28], computação smbólca e mas recentemente a nternet [29,30,31]. Essas novas realdades mpuseram novos rtmos e dmensões na atvdade educaconal, fazendo com que as técncas tradconas de ensno-aprendzagem, baseadas uncamente no lvro ddátco e no quadro-negro, cada vez mas cedessem lugar a técncas mas atualzadas, que ncluem o computador como ferramenta ndspensável. Nestas novas tecnologas de aprendzado, o lvro passa a ser substtuído por dscos óptcos (CD-ROM) e o quadro-negro, pela projeção na parede da magem gerada pelo computador (quadro eletrônco). O computador assume a característca de um recurso pedagógco prvlegado e o software educatvo o seu materal ddátco [09,11,12]. Dentre os recentes tpos de software educatvo podemos ctar: smuladores, jogos, tutoras, sstemas especalstas e outros [29]. Dentro dessa nova perspectva, Moura [30,31] destaca a classfcação do denomnado ensno tecnológco profssonalzante, que dfere do ensno convenconal e aponta algumas característcas do prmero: o uso ntensvo de laboratóros expermentas, o uso do computador como mportante ferramenta de auxílo na elaboração de projetos, valorzação da exploração dos sentdos humanos, a utlzação de métodos dferencados de avalação e colocação do conhecmento em prátca, va estágos profssonalzantes. Uma nteressante proposta de apoo ao ensno tecnológco que se deve nvestr consste no desenvolvmento de novas alternatvas va AAC. Nesta ótca, destaca-se uma menção à experênca desenvolvda em unversdades búlgaras, onde há mas de trnta anos, já se desenvolvam metodologas vsando ncorporar avanços da cênca da computação e matemátca aplcada, para melhorar a arte da programação e da nformátca educatva. Desde cedo, fo crado um doutorado em matemátca aplcada e computação, um centro de trenamento de professores de ensno médo, com abrangênca naconal. Houve uma florescente produção centífca voltada prncpalmente ao ensno e desenvolvmento centífco e tecnológco [09-12,32]. Nas duas últmas décadas, o aparecmento e melhora das lnguagens de programação smbólcas, trouxeram um substancal mpulso ao desenvolvmento do AAC. Adconalmente, houve substancal contrbução de técncas de programação funconal e programação baseada em regras [4,6-10,33,34]. Esses sstemas ncorporaram uma varedade de recursos de programação com potencal aplcação na educação, tornando possível preparar documentos mas nteratvos, cujo mpacto extrapola um ambente de aprendzado tradconal. Assm, o processo de aprendzado pode ser construído a partr de arquvos eletrôncos, que permtem trabalhar: texto ddátco, nclusve utlzando hpertexto, a manpulação analítco-smbólca das equações assocadas e a solução de problemas físcos. A segur são ctadas algumas ferramentas educaconas que podem ser ncorporadas na construção do aprendzado assstdo por computador [04,09-11,25,26]. Recursos de hpertexto: Durante a letura e manuseo de grande quantdade de nformações, as referêncas podem ser faclmente cruzadas, permtndo saltos entre estas sem a necessdade de segur uma seqüênca de letura enfadonha e únca [09-11,25]. 3

15 Recursos de multmída: permtem que se armazenem nformações vsuas e sonoras dentro de um mesmo documento de letura [29,31]. Recursos de computação smbólca: dsponblzam a solução analítca e numérca de um grande número de problemas, destacando-se os que exgem ntensa manpulação analítca. Exemplos: cálculo ntegral, smplfcações de expressões analítcas, operações sobre matrzes, etc. [04,15,16,23,24,35]. Recursos de computação numérca: processam a solução numérca de números problemas matemátcos que modelam fenômenos e processos do mundo real. Potencam larga aplcação em estatístca, economa, físca, medcna, engenharas, matemátca, entre outros [36,37,38,39]. Recursos de computação gráfca: Tornam possível uma análse qualtatva a partr de nformações quanttatvas. Permtem a representação vsual de dados numércos, funções e expressões matemátcas complexas, através de tabelas, gráfcos bdmensonas e trdmensonas, e anmações [06,07]. E fnalmente a nternet: Os hpertextos também podem ser utlzados como hyperlnks da atual rede mundal de computadores, o que aumenta as possbldades em outras áreas educaconas, especalmente na educação à dstânca [29,30,31] Computação Híbrda Na década de sessenta do século passado, durante o período da corrda espacal, vsando mnmzar o esforço empregado na elaboração de cálculos, dos grandes blocos econômcos nvestam pesado em pesqusa. Enquanto os Estados Undos e Europa concentravam-se no desenvolvmento de métodos denomnados puramente numércos (dferenças fntas e elementos fntos), que requstavam um crescente esforço computaconal, os países do Leste Europeu e Rússa concentravam bastante esforço em sstematzar extensas manpulações analítcas, realzando um grande avanço no desenvolvmento de métodos com característcas mas analítcas [04,09-12] Anda neste período, da necessdade de se atrbur à máquna a cansatva tarefa de manpular algebrcamente extensas expressões matemátcas, nasce a computação smbólca, o que tornou anda mas poderoso e atratvo o desenvolvmento e utlzação de métodos com característcas mas analítcas [40,41]. Já nesse tempo foram regstradas númeras publcações, em lvros e jornas especalzados do bloco orental, apresentando métodos computaconas analítco-numércos para aplcação ao cálculo dferencal e ntegral, com dversas aplcações ndustras. Infelzmente quase toda esta rca lteratura, escrta em russo e ucranano, não se tornou conhecda no ocdente. A partr da década de setenta, números centstas do Leste Europeu mgraram para o ocdente em função do declíno econômco de seus países. Com sto, pesqusadores de ambos os blocos se unram, buscando crar novas alternatvas de tratamento e solução de equações dferencas, através de metodologas sstemátcas e o desenvolvmento da computação smbólca. Prncpalmente a partr da década de otenta, os novos avanços computaconas, tal como grande aumento da capacdade de processamento e de armazenamento de dados proporconaram uma amplação nos sstemas de computação smbólca [04,07,08,34,40,42]. Esses passaram a ser programas de aplcação mas geral, apresentando novos recursos de programação smbólca, numérca, gráfca e trazendo 4

16 ambentes de desenvolvmento própros, voltados prncpalmente à utlzação de programação declaratva. A utlzação desses ambentes de programação smbólco declaratva, tas como o Mathematca, abru uma nova tendênca na cração de códgos na utlzação dos recentes avanços em formalsmos matemátcos com característcas mas analítcas, como a abordagem analítco-numérca provda pela GITT. Surge assm a computação híbrda, como uma ferramenta resultante do uso conjunto da programação smbólca declaratva e métodos analítco-numércos [03-12,15,23-25,35]. Esta conjunção permtu a mplementação de algortmos matemátcos que guardam mportantes nformações analítcas assocadas às equações dferencas parcas e permte utlzar recursos da análse matemátca para otmzar a convergênca numérca dos algortmos. As lnhas de comando, representadas através de regras e funções, transferem ao computador a tarefa de manpulação analítca, o que não é executável se usando lnguagens de programação proceduras, ctando-se o Fortran ou C [45]. Esta últma característca fca mas crítca quando se pretende tornar mas atratva a programação avançada. Destaca-se que o uso de lnguagens de programação proceduras conjugadas a métodos dtos puramente numércos não permte levar para os algortmos mplementados nformações da matemátca avançada, o que pode ser traduzdo em não se proceder a um controle efcaz do processo de convergênca e mesmo establdade numérca Programação Smbólca Declaratva A computação smbólca permte automatzar os processos computaconas relaconados à solução de problemas matemátcos, enfatzando a computação dscreta sobre símbolos representando objetos matemátcos. Estes podem ser números, polnômos, radcas, funções trgonométrcas, grupos, vetores, tensores e mutos outros [40]. Hstorcamente, a computação smbólca surgu da necessdade de se atrbur à máquna a cansatva tarefa de manpular algebrcamente extensas expressões matemátcas, a fm de permtr aos nteressados o estudo e análse de modelos cada vez mas complexos [23]. Tpcamente, os processos a serem automatzados são operações de artmétca, álgebra e cálculo avançado. As prmeras referêncas documentadas de programas manpulando símbolos por computador datam de 1953, segundo H. G. Kahrmanan [41]. A partr daí, surgem programas computaconas capazes de manpular polnômos, resolver equações e calcular dervadas de funções. Em 1966 houve as duas prmeras conferêncas sobre cálculo smbólco, ocorrdas em Washngton e Psa. Na década de 70, surgram programas computaconas que ntegravam funções analtcamente e outros para a solução smbólca de equações dferencas e ntegras [40]. Na década de otenta surgem os prmeros grandes e complexos programas de aplcação mas geral de processamento smbólco. Eles já ntegravam uma sére de recursos de computação numérca e gráfca ao seu poder de processamento smbólco, mas fcavam restrtos anda a computadores de grande porte, devdo as suas extensas necessdades de memóra. Novos avanços computaconas das duas últmas décadas, 5

17 como a crescente evolução dos mcrocomputadores, proporconaram uma amplação e popularzação desses sstemas. Os mas recentes ambentes de programação smbólca propcam o desenvolvmento nteratvo de programação através de dferentes paradgmas com o uso conjunto de modernos recursos da cênca da computação para fnaldades educaconas, ctando-se: anmações, multmída, hpertexto, nternet [06-08,22,33,42]. Há um vasto campo de aplcações em três grandes lnhas, caracterzadas na pesqusa, educação e ndústra [41], onde se destaca o uso predomnante dos seguntes sstemas: Maple, Mathematca, Matlab e Mathcad. O Mathematca partcularmente conta com um grande número de funções matemátcas já mplementadas, como: dferencação, ntegração, cálculo de lmtes, cálculo vetoral, representação em séres de Talor, entre outras. Novas funções matemátcas podem ser defndas a partr das operações e funções já dsponíves através de um ambente de programação Métodos Analítco-Numércos Do ponto-de-vsta da matemátca computaconal, os métodos provndos da matemátca para solução de equações dferencas podem ser defndos como puramente numércos ou híbrdos analítco-numércos [04]. Os métodos analítco-numércos permtem a construção e mplementação de algortmos com característcas fortemente analítcas, consegundo-se maor abrangênca quando se adotam ambentes de programação smbólca declaratva. Entre as prncpas classes de métodos analítco-numércos amplamente utlzados para desenvolvmento de programas aplcados nas grandes áreas das cêncas exatas menconadas anterormente, destacam-se: - Quadratura gaussana [36,37,44], que permte a ntegração numérca. - Transformadas Integras [45] (Método Espectral, Método de Colocação Ortogonal e GITT), que vsam à solução de númeras classes de problemas matemátcos, com destaque para as equações dferencas parcas. - Transformada de Laplace generalzada [46-49], também para solução de equações dferencas parcas. De partcular nteresse para a concepção de algortmos matemátcos através da computação híbrda é o uso da GITT, devdo suas característcas, que serão posterormente dscutdas e que permtem resolver város tpos de problemas avançados de nteresse das cêncas físcas e engenharas A Técnca de Transformada Integral Generalzada Os prncípos da Técnca de Transformada Integral surgram na década de setenta, de uma generalzação da teora clássca de separação de varáves, segundo os trabalhos de Özsk e Murray [50]. O prmero lvro sobre o assunto, publcado em 1984 por Mkalov e Özsk [02], apresenta os formalsmos do Método de Transformada 6

18 Integral Clássca (CITT - Classc Integral Transform Technque) aplcados em problemas de dfusão de calor e massa, que foram dvddos em sete classes. Já na década de otenta, apareceram város artgos na lteratura especalzada sobre a aplcação da CITT [51-63], agora abordando outros problemas que antes eram resolvdos apenas por métodos puramente numércos como: dferenças fntas, elementos fntos e volumes fntos, ressaltando algumas vantagens observadas: - Não utlzação de malhas, fator que se torna crítco em problemas multdmensonas. - Menores taxas de convergênca numérca. - Redução de tempo de processamento, pos este se concentrava apenas em uma únca varável (temporal), portanto problema undmensonal. - Soluções Benchmark. O segundo lvro sobre o método, publcado em 1993 por Cotta [03] apresentou uma extensão dos formalsmos clásscos para aplcação em problemas não-lneares e propôs a utlzação de novos mecansmos para acelerar a convergênca numérca como: Técncas de fltragem, ordenamento de espectro de autovalores, balanços ntegras e métodos adaptatvos, dando orgem à GITT. Anda na década de noventa o método ganha um adconal suporte com a utlzação da programação smbólca nos formalsmos analítcos. O aparecmento dos ambentes smbólcos de programação trouxe um substancal mpulso no desenvolvmento e utlzação de GITT no tratamento analítco, solução numérca e vsualzação gráfca de sstemas de equações dferencas parcas não lneares acopladas. Os formalsmos de GITT baseam-se numa metodologa sstemátca que parte da escolha de um problema auxlar de autovalor, que encerra nformações relatvas aos operadores do problema orgnal nas varáves espacas que serão elmnadas. Desenvolvem-se pares de operadores, que são aplcados ao problema orgnal, efetuando-se a transformada ntegral. O sstema transformado resulta num sstema de equações dferencas ordnáras (ODE) nfnto, não-lnear, que é truncado de acordo com a precsão prescrta desejada e resolvdo analítca ou numercamente com controle de erro, através de bblotecas de sub-rotnas centífcas. Fnalmente, os potencas orgnas são construídos a partr da utlzação dos operadores de nversão sobre os resultados do sstema transformado. As aplcações atuas de GITT em cênca e tecnologa podem ser resumdamente agrupadas nos seguntes grupos [03,07,08,10-16,64]: a) Problemas com coefcentes varáves nas equações. b) Problemas com coefcentes varáves no contorno. c) Problemas com contornos varáves. d) Problemas que envolvam problemas auxlares de dfícl solução. e) Problemas não lneares, ctando-se como aplcações típcas a solução de equações de camada lmte, Naver Stokes e problemas não-lneares de secagem. No Capítulo segunte é dscutda a metodologa de abordagem do processo de aprendzado assstdo por computador, fazendo-se uma aplcação a um problema de crescmento populaconal. 7

19 2 Abordagem do Aprendzado Assstdo por Computador A déa básca que será tratada a segur trata da análse e caracterzação de um processo de aprendzado assstdo por computador, mas especfcamente falando, que possa ldar com conteúdos pertnentes a dscplnas das grandes áreas de conhecmento anterormente caracterzadas. Nesta dreção, é necessáro destacar como pré-requsto para construr esta forma de aprendzado que o aprendz possua uma formação mínma em cênca da computação, mas entende-se que experênca pessoal anteror em ldar com processos de construção e mplementação algorítmca certamente atuará como elemento facltador nesta proposta de aprendzado. Na Fgura 2.1 exbda a segur, lustra-se a sstematzação básca das ferramentas e formalsmos utlzados para promover a abordagem do aprendzado assstdo por computador, segundo uma tentatva de tratamento unfcado de dscplnas das grandes áreas de conhecmento. Numa análse prelmnar, para que o racocíno humano promova o processo de aprendzado, a abordagem do conhecmento assstdo por computador passa smultaneamente a se estruturar segundo dos grandes blocos, caracterzados nos campos lateras, mas a esquerdo e mas a dreta, da Fgura 2.1. Computação Smbólca Técncas de Programação - Procedural - Funconal - Baseado em regras Abordagem do Aprendzado Assstdo por Computador Tratamento Unfcado do Conhecmento Concepção teórca (Fenomenologa) Métodos Analítco-numércos Técnca de Transformada Integral Generalzada Fgura 2.1: Vsão geral da abordagem do aprendzado assstdo por computador segundo o tratamento unfcado do conhecmento. Um prmero elemento questonado, a experênca em programação, que é apresentado no lado esquerdo superor da ctada fgura, caracterza-se prmordalmente pelo uso de computação smbólca e técncas de programação declaratva. Este estágo de formação favorece o uso de técncas de aprendzado com auxílo do computador [09-11]. Torna-se possível defnr conjuntos de regras, segundo expressões e funções escrtas na notação matemátca tradconal, que automatcamente manpulam procedmentos analítcos e outras estruturas matemátcas avançadas [04,06-12,23-26]. 8

20 Como grande ganho, tarefas são repassadas ao computador com o ntuto de sstematzar o processo, dmnundo sgnfcatvamente os esforços em operações repettvas e mecâncas para refazer manualmente cálculos assocados à manpulação de extensas expressões matemátcas. Outro papel relevante na proposta em dscussão é expresso pelo contato eletrônco com modelos matemátcos mas avançados, o que é realzado pelo computador va a nterpretação automatzada de regras ntelgentes. Um exemplo destes poderosos recursos pode ser vsto nas seguntes tarefas: aplcar a regra da cadea para obter a dervação analítca de um conjunto de funções analítcas e, em qualquer momento desejado, se ntroduzr faclmente no ambente de aprendzagem novas funções e reaplcar a regra da cadea. Este grau de lberdade promove o aprendzado autônomo. O segundo grande bloco da Fgura 2.1 é traduzdo pela experênca pessoal, mostrado no seu lado dreto, que expressa o grau de conhecmento anteror específco em fenomenologa físca (o que mede o nível de capacdade em abstração no racocíno), formação matemátca mínma e cursos de métodos numércos, para que se atnjam níves de aprendzado prevamente planejados. Em stuação crítca, quanto maor a complexdade do conteúdo do conhecmento a ser abordado, maor pré-requsto constturá a necessdade de uma formação humana mas específca. Esta realdade caracterza o aparecmento da modelagem dta avançada, quando o uso marcante de métodos numércos se torna necessáro para se atngr o estado da solução numérca, o que precede os estágos fnas do processo de aprendzado. Nestes tpos de problemas geralmente se lda com modelos matemátcos expressos por equações dferencas parcas não-lneares, passando os métodos analítco-numércos a assumrem um papel promssor na computação híbrda anterormente dscutda. A segur, no subtem 2.1, se dscute como os estágos do processo de construção do aprendzado assstdo por computador são defndos no tratamento unfcado do conhecmento. 2.1 Tratamento Unfcado do Conhecmento Para a construção do aprendzado em conteúdos programátcos, relatou-se no tem a necessdade de smultaneamente se trabalhar: concetuação, formulação matemátca e nterpretação físca e da aplcação dos avanços computaconas nessa realdade. No contexto da abordagem apresentada, essa característca é realzada no denomnado Tratamento Unfcado do Conhecmento, representado pelo bloco nferor central da Fgura 2.1. Esse tratamento de construção, crado através da utlzação das ferramentas e formalsmos apresentados na Fgura 2.1, cobre todas as fases de pesqusa e desenvolvmento de forma nteratva e cíclca e vsa ser geral para as grandes áreas do conhecmento centífco. A segur, o Tratamento Unfcado do Conhecmento é ntroduzdo vsualmente nos seus város estágos e característcas na Fgura 2.2. Esse esboço vsual também pode ser vsto como um detalhamento do bloco únco que representava o mesmo tratamento na Fgura

21 Tratamento Unfcado do Conhecmento Concetuação (Fenomenologa físca) Tratamento Analítco (Modelagem analítco-numérca) Solução (Implementação) Tratamento de Dados (Vsualzação de resultados) Interpretação Fenomenológca Fgura 2.2: Estágos de Construção do Processo de Aprendzado Assstdo por Computador Segundo o Tratamento Unfcado do Conhecmento. Em caráter de construção temporal e herárquco do processo de aprendzado, estruturam-se ddatcamente os seguntes estágos que defnem a navegação no ambente de aprendzado: Concetuação, que expressa a necessdade de ncorporar concetos e formalsmos teórcos. Tratamento Analítco envolve a concepção e manpulação passoa-passo do modelo analítco que descreve quanttatvamente o problema matemátco assocado. Nesta fase, eventualmente pode ocorrer a necessdade de utlzação de concetos e les provndas da matemátca e do problema físco. Solução, este estágo prevê o uso de métodos provndos da matemátca computaconal e objetvam se obter a solução do problema matemátco em dscussão, geralmente expresso por equações dferencas. Tratamento de Dados, obtdo a partr de arquvos de dados numércos, gerados a partr do tem anteror, e que podem ser concebdos e vsualzados nas formas de tabelas, gráfcos e anmações. Interpretação Fenomenológca, que consttu um poderoso mecansmo de construção do aprendzado, que, de forma combnada com os demas estágos já apresentados, pode nteragr com qualquer dos números estados da aprendzagem anterormente construídos pelo aprendz. Ressaltam-se aqu os recursos de anmação, que podem reproduzr vrtualmente a dnâmca assocada ao fenômeno físco. Estes estágos doravante serão denomnados em conjunto, por estágos de construção do processo de aprendzado assstdo por computador. Do ponto-de-vsta do processo de construção, é possível se conceber num únco arquvo eletrônco todos os estágos descrtos acma, que podem ser acessadas segundo uma crescente complexdade de nterpretação dos conteúdos programátcos estruturados. Os conteúdos programátcos específcos dos dversos estágos, por sua vez, são alocados em sub-células [04,07-10,25], segundo um grau de herarquzação de crescente complexdade de nterpretação destes. Independentemente como são dspostas no documento, as células podem ser navegadas de modo personalzado, atngndo os cclos defndos na Fgura 2.2, até que o aprendz vença todas as etapas da construção do aprendzado. 10

22 Durante o processo de navegação, gera-se um cclo dnâmco, já que város dos estágos podem ser acessados a qualquer momento e em dferentes combnações, o que formalza um conjunto de modos de abstração do racocíno, de modo a reforçar o aprendzado autônomo na construção do processo de aprendzagem. Em síntese, o processo de aprendzado fca mas dnâmco, ao se acessar os conteúdos de aprendzado construídos e trabalhados nas dversas formas eletrôncos menconadas. Além do mas, é possível a cração on-lne de blocos ddátcos complementares a partr dos conteúdos prevamente dsponblzados, enaltecendo o processo de aprendzado autônomo. O caráter dnâmco em se acessar quasquer dos estágos do processo do aprendzado segundo módulos dscutdas acma no tratamento unfcado do conhecmento, EEC, fcam reforçados pelos recursos de programação exstentes no Mathematca, que permtem modularzar a construção do algortmo segundo a dsposção em células e sub-células. Assm, torna-se fácl e rápdo navegar e nteragr nos EEC, através de um sstema de lnks, com característca de herarqua entre as células. Como recursos adconas, nos estados assocados à nterpretação fenomenológca, tabelas, gráfcos e recursos de anmação gráfca são dsponblzados ao longo da navegação no ambente de aprendzagem. Objetvando caracterzar aspectos operaconas de ambentes de ensno/aprendzado da metodologa dscutda, apresenta-se na sessão a segur um problema de crescmento populaconal, que exge do aprendz formação de tercero grau completo. E no capítulo segunte, um segundo ambente nformatzado de aprendzagem, voltado à matemátca computaconal avançada, temátca assocada a Cursos de Pós-Graduação em áreas de cêncas exatas e engenharas. 2.2 Análse do Crescmento Populaconal Projeto Waves O projeto WAVES (Water Avalablty, Vulnerablty of Ecosystems and Socety n Northeastern n Brazl) nsere-se num conjunto de projetos dealzados por pesqusadores alemães, envolve város países cooperantes e está dreconado ao estudo da clmatologa global, abordando város aspectos nterdscplnares: mpactos socas, econômcos, mgração populaconal, meteorologa, entre outros. Especfcamente, o projeto blateral Brasl-Alemanha, WAVES, fo concebdo com o objetvo prncpal de estudar e buscar soluções para problemátcas na regão Nordeste braslera, partndo da modelagem ntegrada dos elementos relevantes na cadea causal (clma, água, solo, polítcas de preservação do meo-ambente, vegetação, população, entre outros fatores). Busca-se, através de generalzações estabelecdas a partr do estudo destes fatores solados e de seus correlaconamentos, gerar um pacote computaconal que possa ser utlzado por especalstas para contrbur no processo de estabelecmento de polítcas de planejamento regonal, naconal e nternaconal. Assm, os esforços específcos por área de conhecmento despenddos no projeto e mplementação algorítmca dos sub-códgos assocados à modelagem do projeto podem ser caracterzados como muto vastos e dversfcados. Por um lado, áreas de conhecmentos com tradções muto dferentes no processo de modelagem estão sendo reundas para responder às questões de ntegração colocadas pelo projeto. Por outro 11

23 lado, sto mplca em um rsco de que sejam gerados modelos complcados demas para serem gerencados e compreenddos por especalstas de áreas específcas. Para mnmzar este rsco, uma abordagem empregada no projeto fo ressaltar a ntegração entre os sub-códcos mplementados a partr de subáreas específcas do conhecmento. Nesta fase, destaca-se o papel fundamental exercdo pelos gerentes prncpas do projeto WAVES. Especfcamente este projeto de dssertação de Mestrado, consttu uma proposta de cooperação dentro do projeto blateral WAVES/CNPq e objetva contrbur na pesqusa no problema de crescmento populaconal. Fo nttulado formalmente por Análse do Problema de Mgração e Modelagem Integrada Utlzando Computação Smbólca. Para tanto e vsando-se oferecer relevantes contrbuções na confguração do modelo ntegrado, aplcaram-se ferramentas e metodologas, de natureza matemátca e computaconal, estabelecdas no Capítulo 1, nos tens e 1.1.2, com especal destaque para o aprendzado assstdo por computador e a computação híbrda. Um dos objetvos específcos desse projeto consttu se estudar e propor a modelagem do fenômeno de mgração populaconal. O modelo matemátco fo concebdo sob orentação do lado Alemão, através do Prof. Maarten Krol, do PIK, Potsdam Insttut for Clmate Impact Reserch, que detnha o conhecmento de caráter mas global da fundamentação teórca assocado às grandes áreas consttuntes do projeto WAVES. Em síntese, se desenvolveu a abordagem sstemátca, nteratva e pedagógca do problema da mgração populaconal, concebda num ambente nformatzado de aprendzagem. Constatou-se que documentos desenvolvdos anterormente em projetos assocados à modelagem ntegrada pelo lado alemão utlzavam preponderantemente lnguagens de programação procedural, com ênfase para o Fortran. Portanto, os códgos mplementados, guardavam nformação de computação puramente numérca, não permtndo ao usuáro um acesso mas genérco a outros tpos de nformação. Desde já se chama atenção que a metodologa de nteração códgo-usuáro pode ser perfetamente estendda para elaboração de outros sub-códgos do projeto WAVES como também para eventualmente reforçar o processo de ntegração entre os dversos sub-códgos do modelo geral Apresentação do Notebook Cronologcamente o lado alemão sugeru a letura de lteratura referente aos problemas de modelagem ntegrada e mgração populaconal [65-70]. Com fnaldade acadêmca, fo seleconado o modelo dsponblzado em Gray et al. [42], quando fo concebda a proposta para a mplementação de um algortmo, vsando posterores utlzações em estudos de mgração populaconal nas regões do Ceará e Pauí. A presente proposta de mplementação enfoca bascamente o tratamento unfcado do crescmento populaconal segundo Thomas Robert Malthus [42]. A partr da análse quanttatva do comportamento do crescmento populaconal efetuado através dos resultados dsponblzados va este modelo é possível se estudar o fenômeno de mgração populaconal. Os módulos foram mplementados a partr do conceto de notebook e célula. As abordagens, concetual e matemátca, são ddatcamente apresentadas através de textos, fórmulas e hyperlnks. Em seguda, técncas de 12

24 programação funconal e baseada em regras foram utlzadas no ambente de programação smbólca Mathematca para se proceder a um tratamento analítcosmbólco do modelo, onde fnalmente rotnas dsponblzam a análse e dscussão crítca dos resultados obtdos. De acordo com Thomas Malthusan, a taxa de crescmento populaconal no tempo é dretamente proporconal ao tamanho atual da população. Logo o modelo assume a equação 2.1 como a segur: P = kp r t (2.1) P onde, é a taxa de varação da população no tempo, k é chamada de taxa de t crescmento e r é a taxa de mgração constante. A segur é mostrada na Fgura 2.3 uma vsão geral do notebook, dsponblzando um contato prelmnar com o conjunto de nformações. Numa vsão unfcada, a fgura permte observar quatro tópcos geras modularzados em células, que representam as etapas prncpas (prmera herarqua) e compõem todo o processo de aprendzado a ser trabalhado nas herarquas subseqüentes e detalhado a segur. Fgura 2.3: Vsão geral dos módulos do notebook para a análse de crescmento populaconal. Anda na mesma fgura, ndcadores à esquerda dos módulos caracterzam o acesso à prmera classe herárquca. Os quatros módulos podem ser faclmente acessados a qualquer momento com apenas um clque de "mouse" sobre os mesmos. A segur, na Fgura 2.4, se mostra a prmera célula aberta, que se reporta ao prmero estágo: 13

25 Fgura 2.4: Trecho da concetuação textual e matemátca do problema de crescmento populaconal de Malthusan gerado a partr da abertura da prmera célula da janela prncpal, dsponível na Fgura 2.3. Esta célula fo concebda para se dsponblzar vsualmente a concetuação textual e matemátca do problema de crescmento populaconal. Nesta etapa, há possbldade de utlzação de recursos de hpertexto. É possível se ter acesso adconal, se desejado, através de palavras-chave, a outros módulos do mesmo documento, outros notebooks ou até mesmo a outras fontes de nformação va nternet. Também se observam as bordas localzadas nas lateras dretas de cada célula, que possbltam o acesso a dferentes níves de herarqua, permtndo que a nformação seja trabalhada varando o nível de detalhamento. Assm, cada tópco pode ser faclmente subdvddo segundo as mesmas les de herarquas e recursos computaconas de navegação. Assm, utlzando os recursos descrtos, o aprendz tem o prmero contato textual e matemátco com o problema de crescmento de Malthusan, na Fgura 2.4, onde são defndos, na forma de texto, os dversos parâmetros e o problema são manpulados até chegar à resolução supondo a taxa de mgração constante. A próxma célula a ser aberta na Fgura 2.3, consttu a Implementação. Neste módulo, apresenta-se a solução matemátca encontrada e dscutda para o problema de crescmento, segundo a Fgura 2.4 que expressa a taxa de varação populaconal em função do tempo, P(t), de acordo o modelo de Malthusan. Apresenta-se também outro modelo, partndo-se de generalzações matemátcas do anteror, supondo-se agora que a taxa de mgração r(t) é consderada varável, dependente do tempo, como mostrado abaxo nas equações (2.2) e (2.3), P t = kp r(t) (2.2) r( t) = α ( P( t) C) (2.3) 14

26 Neste estágo, o programa nterpreta smbolcamente as fórmulas analítcas, sto é, tem a capacdade de entender os concetos matemátcos reportados nas dversas fórmulas. Também nterpreta e aplca concetos e propredades matemátcas, como a dervação e exponencação. Depos de assmlar o desenvolvmento matemátco do problema enfocado, torna-se agora possível acessar, alterar e processar o códgo: Todas varáves e fórmulas contdas nas lnhas do códgo estão dsponíves para modfcações, que são nterpretadas pelo Mathematca, o qual, nteratvamente, fornece os resultados ou possíves comentáros ntelgentes relatvos a eventuas erros cometdos. A Fgura 2.5 exbe a célula denomnada Implementação aberta. Fgura 2.5: Trecho de mplementação do problema de Malthusan gerado a partr da abertura da célula Implementação da janela prncpal, dsponível na Fgura 2.3. Como não há EDP s presentes no modelo matemátco, não fo necessáro a utlzação de métodos analítco-numércos, como a GITT. Uma função nterna do Mathematca, a DSolve, fo habltada para resolver a equação dferencal do problema de crescmento populaconal. Depos de obtda a solução é possível expressála em uma forma mas smplfcada, utlzando comandos de manpulação analítca, no caso FullSmplfy e Apart. Pedagogcamente, dspõe-se de um ambente de estudo onde se podem alterar as nformações orgnas e excursonar no mundo da modelagem matemátca, para conceber varantes do problema de crescmento. Através das soluções analítcas anterores, geram-se as funções F e G para obtenção de gráfcos que fazem parte da próxma célula, mostrada nas Fguras 2.6(a) e 2.6(b). 15

27 (a) (b) Fgura 2.6: Trechos obtdos a partr da abertura da tercera célula da janela prncpal, dsponível na Fgura 2.3. Gráfcos gerados a partr (a) da função de crescmento populaconal com taxa de mgração constante, (b) função de crescmento populaconal com taxa de mgração varando com o tempo. Esta etapa corresponde ao tópco Análse Gráfca das Soluções na herarqua prncpal. Torna-se possível agora nterpretar o comportamento das curvas de crescmento populaconal e repassá-las à equpe do projeto ntegrado, para dscussão em grupo. Essa nova fase reporta-se à vsualzação dos resultados, quando novamente se utlzam lnhas de comando extremamente compactadas, que permtem representar em númeras tarefas assocadas ao processo de defnção e geração dos gráfcos, como mostrados nas Fguras 2.6 (a) e 2.6 (b). Alternatvamente, é possível modfcar as equações orgnas, referentes aos modelos de crescmento populaconal e comodamente reprocessar o programa, 16

28 reutlzando automatcamente as novas defnções das funções F e G que serão dsponblzadas, na geração dos novos gráfcos. As últmas células lustram o uso ddátco de tabelas de dados e uma nova possbldade de defnção de função. Para atender a requstos do projeto WAVES, fo concebdo um quarto e últmo módulo na Fgura 2.3, chamado Análse Gráfca de Dados Reas, apresentada na Fgura 2.7, onde uma nterpolação de dados reas é utlzada para gerar o tercero e últmo gráfco, expresso na fgura 2.7. Analogamente é possível se modfcar os dados de entrada de população e desenvolver uma nova análse do modelo real, podendo também compará-la com a modelagem trabalhada, especfcamente aqu, com o modelo de Malthusan e sua versão analítca estendda. Os resultados numércos do problema acma enfocado são apresentados e dscutdos no tem 4.1 do Capítulo 4. Numa proposta mas complexa, pode-se anda amplar os formalsmos apresentados nesse capítulo para aplcação em outros modelos físco-matemátcocomputaconas, geralmente representados por sstemas de equações dferencas parcas, o que é lustrado no capítulo segunte, quando é abordada uma aplcação em modelagem avançada, representado por um problema de transferênca de calor nãolnear. Fgura 2.7:Gráfco de crescmento populaconal temporal gerado a partr da nterpolação dos dados coletados da população dos estados do Ceará e Pauí entre os anos de 1872 e 1998 (em mlhões). 17

29 3 Modelagem Avançada Uma nteressante área a ser melhor explorada na nformátca educatva consste no desenvolvmento de recursos e métodos para facltar a abordagem e o processo de aprendzado de problemas avançados nos aspectos físcos, matemátcos e computaconas. Um dos maores desafos neste campo se concentra no unverso de modelos expressos por sstemas de equações dferencas acopladas. Neste contexto, para promover o processo de aprendzado assstdo por computador, pedagogcamente é necessáro se assocar, de modo nteratvo e smultâneo, dversos tpos de concetos, o que requsta maor concentração e abstração físco-matemátca, para poder correlaconar: concetuação fenomenológca, desenvolvmento de dervações analítcas assocadas provenentes do cálculo avançado, e smulação assstda por computador do fenômeno físco assocado. As ferramentas de aprendzado assstdo por computador, comentadas nos capítulos anterores consttuem uma promssora plataforma para facltar o aprendzado do cálculo numérco e se resolver equações dferencas. Vsando amplar estes recursos quando se deseja obter soluções de equações dferencas, a presente Dssertação ncorpora o método da GITT, que permte se estender à abordagem e tratamento unfcados apresentados no Capítulo 2, para a construção e mplementação de algortmos para problemas pedagogcamente consderados mas dfíces. Busca-se assm construr um algortmo para tratamento analítco e solução numérca de um problema não-lnear de transferênca de calor, com o objetvo de lustrar a abrangênca e atratvdade destes recursos no desenvolvmento da modelagem avançada. No próxmo sub-tem se apresentam os formalsmos do método da GITT. 3.1 Tratamento Generalzado do Problema Parabólco Matematcamente é possível se defnr uma formulação genérca que englobe números problemas provenentes das áreas de medcna, matemátca computaconal, engenharas e cêncas físcas, vsando um tratamento unfcado e solução generalzada. Uma classe deste porte pode ser concebda sob a forma de um problema parabólco do tpo dfusvo-convectvo [02-05,09,10,13-16], a segur defndo numa regão fnta V, com superfíce de contorno S, w k T ( x) ( x, t) = Lk Tk ( x, t) + Pk ( x, t, T ( x, t), T ( x, t)), x V, t > t k com condção ncal, T( x, t) = f ( x), x V, t = 0 e condções de contorno: BT ( x, t) = φ ( x, t), x S, t > 0 (3.1.c) Os operadores lneares L e B do problema governante são defndos pelas expressões L K( x) + d( x) (3.1.a) (3.1.b) (3.1.d) 18

30 B α ( x) + β ( x) K( x) n Nas fórmulas acma T(x,t) representa o potencal a ser obtdo (temperatura, concentração de células cancerígenas, etc.); w(x), K(x) e d(x) expressam os coefcentes da equação (3.1.a e 3.1d) cujo termo não homogêneo P(x,t) assume o efeto de uma fonte ou sumdouro. Os coefcentes prescrtos α(x) e β(x) são da equação de contorno (3.1.c), cujo termo φ(x,t), se não nulo, expressa as nformações de contorno nãohomogêneas; / n corresponde à dervada na dreção normal e aponta para a dreção exteror à superfíce de contorno S. As varáves ndependentes, x e t, representam respectvamente as coordenadas espacal e temporal. Como prncípo básco se supõe a representação do potencal T(x,t) expressa através de uma expansão de autofunções, da forma, = =1 T ( x, t) A ( t) ψ ( µ, x) (3.2) As autofunções ψ(µ,x) são obtdas a partr da adoção do segunte problema auxlar assocado, do tpo Sturm-Louvlle, no qual se conserva o operador L, defndo no problema orgnal, equação (3.1.a), 2 µ w( x ) ψ ( µ, x) = Lψ ( µ, x), x V (3.3.a) Possundo as seguntes condções de contorno, Bψ (µ, x ) = 0, x S Cujos termos guardam nformações contdas nos operadores das equações (3.1.a) e (3.1.c), porém desprezando-se os termos não homogêneos P(x,t) e φ(x,t). O problema auxlar assm concebdo, por ser problema de autovalor do tpo Sturm-Louvlle, possu as seguntes propredades: a) os autovalores µ são todos reas e postvos, sendo ordenáves decrescentemente, (3.3.b) µ12>µ22>µ32>µ42... (3.4.a) b) as autofunções ψ( µ,x) assocadas obedecem à relação de ortogonaldade w( x ) ψ ( µ, x ) ψ ( µ j, x ) dv = 0, j (3.4.b) V Os coefcentes de expansão, A(t), presentes na equação (3.2), são matematcamente obtdos, aplcando-se o operador w( x) ψ ( µ j, x) dv nesta mesma V equação, como mostrado a segur: V A ( t) w( x ) ψ ( µ, x) T ( x, t) dv = w( x) ψ ( µ, x) ψ ( µ, x) dv j = 1 V Em seguda, aplcando-se o prncípo de ortogonaldade das autofunções, exbda em (3.4.b), na equação anteror, explcta-se A(t), 1 A j ( t) = w( x ) ψ ( µ j, x) T ( x, t) dv N V j j (3.1.e) (3.5.a) (3.5.b) 19

31 sem perda de generaldade N j consttu a ntegral de normalzação, ou smplesmente norma e defnda por, 2 N = w( x)[ ψ ( µ, x)] dv (3.6) j V j As equações (3.2) e (3.5.b) permtem agora se defnr o par de transformação ntegral, o qual é consoldado pelas fórmulas de transformada e de nversa: Fórmula de transformada, T 1 ( t) = w( ) (, ) T (, t) dv 1/ 2 V N x ψ µ x x Fórmula de nversa, T( x, t) = 1 ψ ( µ, x) T ( t) 1/ 2 N = 1 Num passo segunte se procede à transformação do problema de EDP, expresso pelas equações (2.1.a-e), que elmna a dependênca das coordenadas espacas e permte se obter um sstema ordnáro, ou sstema de EDO ou anda problema de valor ncal. Os potencas transformados, T ( t), são calculados pela solução do sstema dferencal transformado conforme o procedmento apresentado a segur, resultando, resultando: Incalmente se aplca o operador 1 ψ ( µ, x) dv / V N sobre a equação (3.1.a), dt ( t) 1 = (, )[ K( ) T(, t) d( ) T(, t) + P(, t)] dv / dt N ψ µ x x x x x x 1 2 V Analogamente, aplca-se o operador T( x, t) dv / V N sobre a equação (3.3.a), 2 1 µ T ( t) = T( x, t)[ K( x) ψ ( µ, x) d ( x) ψ ( µ, x)] dv 1/ 2 V N Adconando-se, membro a membro, as equações (3.8) e (3.9), rearranjando, encontra-se o segunte sstema dferencal ordnáro desacoplado: 1 2 dt ( t) 2 + µ T ( t) = g ( t), t > 0, = 1,2,... dt onde g ( t ) é defnda por, 1 g ( t) = N 1 + N 1/ 2 V 1/ 2 V ψ ( µ, x) P( x, t) dv [ ψ ( µ, x) K( x) T ( x, t) T ( x, t) K( x) ψ ( µ, x)] dv + (3.10.b) A prmera ntegral de volume da equação (3.10.b) é então transformada em uma ntegral de superfíce através da fórmula de Green, resultando: (3.7.a) (3.7.b) (3.8) (3.9) (3.10.a) 20

32 21 ds t T t T K dv K t T t T K N V ] ), ( ), ( ), ( ), ( )[ ( )], ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( [ 1 2 1/ n x x n x x x x x x x x x µ ψ µ ψ µ ψ µ ψ = Logo, de (3.10.b e c), o termo fonte transformado assume a segunte forma, + + = V S dv t P N ds t T t T K N t g ), ( ), ( 1 ] ), ( ), ( ), ( ), ( )[ ( 1 ) ( 2 1 / 2 1 / x x n x x n x x x µ ψ µ ψ µ ψ O prmero ntegrando da equação (3.10.d) é algebrcamente manpulado, para se elmnar o termo dervado n x ), T( t, combnando-se as equações de contorno (3.1.c) e (3.3.b), de forma a se obter: ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ] ), ( ), ( ), ( ), ( )[ ( x x n x x x x n x x n x x x β α µ ψ µ ψ φ µ ψ µ ψ + = K t t T t T K Manpulando-se as equações (3.10.a), (3.10.d) e (3.11), resulta o segunte problema transformado: 1,2,... 0, ), ( ) ( ) ( 2 = > = + t t g t T dt t dt µ (3.12.a) lembrando que g t ( ) fo calculado anterormente é expresso por, = V S dv t P N ds K t N t g ), ( ), ( 1 ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( 1 ) ( 2 1/ 2 1/ x x x x n x x x x µ ψ β α µ ψ µ ψ φ As condções ncas necessáras para solução do sstema de valor ncal transformado expresso pelas equações (3.12.a e b) são obtdas transformando-se a condção ncal do problema governante, que é expresso pela equação (3.1.b). Para tanto se aplca nesta últma equação a defnção do potencal transformado, expresso pela equação (3.7.a), resultando, T N w T dv N w f dv V V ( ) ( ) (, ) (, ) ( ) (, ) ( ) / / = = x x x x x x ψ µ ψ µ É possível se expressar a solução analítca exata do sstema transformado, defndo pelas equações (3.12.a), (3.12.b) e (3.12.c), que após algumas manpulações, assume a segunte forma, (3.12.c) (3.12.b) (3.11) (3.10.d) (3.10.c)

33 t 2 µ t T ( t) = e f + e 0 na equação anteror, f 2 µ r g ( r) dr 1 = w f dv N ( x) ψ ( µ, x) ( x) 1/ 2 V Aplcando-se a solução analítca exata do sstema transformado na fórmula de nversão, expressa pela equação (3.7.b), fnalmente encontra-se a segunte formulação explícta para o potencal T(x,t): ψ ( µ, ) 2 t 2 x µ t = r T (, t) e µ x f + 1 / 2 e g ( ) 0 r dr (3.14) N = 1 (3.13.a) (3.13.b) Neste estágo é mportante ressaltar que para uma determnada ordem de truncamento no número de termos da sére acma, à medda que cresce o valor numérco da coordenada temporal, a sére (3.14) converge com menor número de termos. Isto mostra claramente que o uso de aproxmações analítcas tende a dmnur expressvamente o tempo de CPU da solução em relação aos procedmentos de solução adotados va a utlzação de métodos puramente numércos, pos nestes casos não se consegue elmnar a dependênca das coordenadas espacas. No subtem a segur, será mostrada a aplcação desta metodologa para um problema não-lnear de transferênca de calor. 3.2 Aplcação: Transferênca de Calor Não-Lnear Como aplcação da metodologa de modelagem avançada através da utlzação de procedmentos analítco-numércos dsponíves nos formalsmos da GITT, apresentase os estágos de construção e mplementação de um algortmo, através da utlzação de programação smbólca declaratva, que no caso analtcamente manpula e resolve numercamente um problema de transferênca de calor não-lnear. Do ponto-de-vsta de programação, é possível ncorporar o algortmo matemátco de GITT a um notebook, para fns educaconas, o qual permte adconalmente se trabalhar: concetuação físca assocada ao problema enfocado, tabelas, gráfcos e anmação. O problema escolhdo [09,10] é defndo num domíno matemátco que representa uma placa fna, solada termcamente nos planos xz e yz, portanto ocorre transferênca de calor apenas na dreção x. Incalmente a mesma é mantda numa temperatura conhecda, T 0, a placa possu dmensão característca na dreção x conhecda, e condções de contorno do prmero e segundo tpos também conhecdas. A não-lneardade está expressa pela varação lnear da capacdade térmca, ρ cp, em função da temperatura, T. A Fgura 3.1 esboça o problema em dscussão e é mostrada a segur. Através de um balanço de energa na placa, e após a manpulação dos termos componentes, a equação da condução de calor é expressa por, T Jk x x N = rc T p t, (3.15.a) 22

34 Para, t > 0 e 0 < x < 1, onde, T representa a temperatura T T(x,t), x e t correspondem às coordenadas espacal e temporal, respectvamente. K expressa a condutvdade térmca do materal, ρ é a densdade e c p é o calor específco do materal. Fgura 3.1 Representação esquemátca da placa fna para o problema undmensonal de transferênca de calor não-lnear por condução pura. Condção ncal, T = C1, 0 x 1, t = 0 E as condções de contorno assumem a segunte formulação, (3.15.b) T = 1, x = 1, t > 0, t > 0 (3.15.c) Ressaltando que a equação que expressa a não-lneardade é expressa por, Para solução do problema (3.15.a-d), dscute-se a segur o algortmo matemátco mplementado no Mathematca. (3.15.d) Numa prmera etapa, a equação governante, (3.15.a) é escrta da segunte forma, (3.16) As condções ncas e de contorno, respectvamente equações (3.15.b-d), são expressas por, No estágo segunte o problema smbolcamente mplementado é tratado utlzando-se os formalsmos de GITT de problemas parabólcos. Para acelerar a taxa de convergênca numérca, aplcam-se técncas de fltragem, segundo a segunte fórmula, 23