Provas de Matemática Elemetar - EAD Período 01. Sérgio de Albuquerque Souza 4 de setembro de 014
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departameto de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio 1 a Prova Matemática Elemetar Prof.: Sérgio Data: 9/Set/01 Turo: Virtual Curso: Nome: Período: 1. Pólo: Matrícula: 1 a Questão Assiale as alterativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO, justificado cada resposta dada, cosiderado os cojutos A = {0, 1,, 3, 4}, B = {6, 7, 8}, C = (cojuto vazio) e D = {A, B, C}. a) ( ) A ão é subcojuto de D b) ( ) (A B) = 1 d) ( ) O úmero de elemetos de P(A)=16 e) ( ) D c) ( ) C D f) ( ) {, B} A B D [ a Questão Cosidere a família I = 0, 1 + 1 ] de itervalos fechados, ode N = {1,, 3,...}. Determie os cojutos I e I. 3 a Questão Cosidere G = {1,, 3, 4, 5, 6, 7} e a relação de equivalêcia defiida por: a b a b é múltiplo de. Quais são os elemetos do cojuto quociete G/? 4 a Questão Cosidere a fução f : R R, defiida por f(x) = (x + 1) e uma relação de equivalêcia em R defiida por: x y f(x) = f(y). Determie as classes de equivalêcia 0 e 1. 5 a Questão Em um cojuto parcialmete ordeado (X, ), dizemos que x X é o maior elemeto de X se, para todo y X, tivermos y x. Dizemos que b X é um elemeto maximal de X se ão existir y X tal que y > b. De forma aáloga defiimos meor elemeto e elemeto miimal de (X, ). No cojuto H = {a, b, c, d, e, f, g} cosidere a relação de ordem parcial iduzida pelo diagrama de Hasse abaixo e assiale as alterativas com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO. a) ( ) Os elemetos d e e ão são comparáveis. b) ( ) O a é o elemeto miimal de H. f g e c) ( ) O g é o elemeto maximal de H. d) ( ) Os elemetos d e a são comparáveis. e) ( ) O subcojuto S = {a, b, d, e, g} é totalmete ordeado. c d a b Boa Sorte
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departameto de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio 1 a Prova Matemática Elemetar Prof.: Sérgio Data: 9/Set/01. Turo: Virtual Curso: Nome: Período: 1. Pólo: Matrícula: 1 a Questão Assiale as alterativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO, justificado cada resposta dada, cosiderado os cojutos A = {1,, 3, 4}, B = {6, 7, 8}, C = (cojuto vazio) e D = {A, B, C}. a) ( ) A ão é subcojuto de D b) ( ) (A B) = 1 d) ( ) O úmero de elemetos de P(A)=16 e) ( ) D c) ( ) C D f) ( ) {, B} A B D ( a Questão Cosidere a família I = 1, 1 + 1 ) de itervalos abertos, ode N = {1,, 3,...}. Determie os cojutos I e I. 3 a Questão Cosidere G = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e a relação de equivalêcia defiida por: a b a b é múltiplo de. Quais são os elemetos do cojuto quociete G/? 4 a Questão Cosidere a fução f : R R, defiida por f(x) = (x 1) e uma relação de equivalêcia em R defiida por: x y f(x) = f(y). Determie as classes de equivalêcia 0 e 1. 5 a Questão Em um cojuto parcialmete ordeado (X, ), dizemos que x X é o maior elemeto de X se, para todo y X, tivermos y x. Dizemos que b X é um elemeto maximal de X se ão existir y X tal que y > b. De forma aáloga defiimos meor elemeto e elemeto miimal de (X, ). No cojuto H = {a, b, c, d, e, f, g} cosidere a relação de ordem parcial iduzida pelo diagrama de Hasse abaixo e assiale as alterativas com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO. a) ( ) Os elemetos d e g ão são comparáveis. b) ( ) O a é o elemeto miimal de H. f g e c) ( ) O f é o elemeto maximal de H. d) ( ) Os elemetos d e a ão são comparáveis. e) ( ) O subcojuto S = {a, b, c, d, e, g} é totalmete ordeado. c d a b Boa Sorte
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departameto de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio a Prova Matemática Elemetar Prof.: Sérgio Data: 19/Nov/01 Turo: Virtual Curso: Nome: Período: 1. Pólo: Matrícula: 1 a Questão Use o pricípio da idução para provar que, para todo úmero atural, vale a igualdade: 1 + 1 4 + 1 8 + + 1 = 1 1 a Questão Em relação à cojutos eumeráveis, assiale as alterativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO, justificado/exemplificado cada resposta dada. a) ( ) Se A e B são cojutos eumeráveis etão a uião A B é ão eumerável. b) ( ) Se A é eumerável e B é ão eumerável, etão A B é ão eumerável. c) ( ) Se o produto cartesiao A B é ão eumerável, etão A e B são cojutos eumeráveis. 3 a Questão Escreva o úmero [34] 5 a forma decimal (base dez) e o úmero decimal 34 a base 5. 4 a Questão Dado um úmero atural, cosidere os cojutos D() e M() como o cojuto dos divisores e dos múltiplos de respectivamete: a) Determie M DC(14, 18) pelo Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) e MDC(11, 14, 18) como o maior elemeto do cojuto D(11) D(14) D(18). b) Determie via processo de decomposição simultâea o M M C(14, 18) e MMC(11, 14, 18) como o meor elemeto do cojuto M(11) M(14) M(18). 5 a Questão Verifique as equivalêcias abaixo são verdadeiras: a) 43(mod 5) b) 1 17(mod 5). 6 a Questão Em Z 5 = {0, 1,, 3, 4} determie: a) 1 + 3 + 4 b) 4 c) o iverso multiplicativo de 3, caso exista d) uma solução para a equação x 1 = 3 Boa Sorte
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departameto de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio a Prova Matemática Elemetar Prof.: Sérgio Data: 19/Nov/01. Turo: Virtual Curso: Nome: Período: 1. Pólo: Matrícula: 1 a Questão Use o pricípio da idução para provar que, para todo úmero atural, vale a igualdade: ( + 1) 1 + + 3 +... + = a Questão Em relação à cojutos eumeráveis, assiale as alterativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO, justificado/exemplificado cada resposta dada. a) ( ) Se A e B são cojutos ão eumeráveis etão a uião A B é ão eumerável. b) ( ) Se A é eumerável e B é ão eumerável, etão A B é eumerável. c) ( ) Se o produto cartesiao A B é eumerável, etão A e B são cojutos eumeráveis. 3 a Questão Escreva o úmero [13] 5 a forma decimal (base dez) e o úmero decimal 13 a base 5. 4 a Questão Dado um úmero atural, cosidere os cojutos D() e M() como o cojuto dos divisores e dos múltiplos de respectivamete: a) Determie M DC(1, 18) pelo Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) e MDC(11, 1, 18) como o maior elemeto do cojuto D(11) D(1) D(18). b) Determie via processo de decomposição simultâea o M M C(1, 18) e MMC(11, 1, 18) como o meor elemeto do cojuto M(11) M(1) M(18). 5 a Questão Verifique as equivalêcias abaixo são verdadeiras: a) 0(mod 5) b) 4 17(mod 5). 6 a Questão Em Z 5 = {0, 1,, 3, 4} determie: a) 1 3 + 4 b) 4 3 c) o iverso multiplicativo de 3, caso exista d) uma solução para a equação x = 4 Boa Sorte
Fudametos de Geometria Euclidiaa Prof. Sérgio - 15/Mai/013-13.1 Roteiro da primeira aula presecial 1. Falar sobre a import^acia dos fórus, dos roteiros e das visualizaç~oes que est~ao o moodle.. Fazer as quest~oes abaixo 3. Verificar a lista de preseça 1 a Questão Assiale as alterativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO, justificado cada resposta dada, Cosiderado os cojutos A = {0, 1,, 3, 4}, B = {a, e, i} e D = A P (B) a) ( ) (A B) = 1 b) ( ) O úmero de elemetos de P (B) = 9 c) ( ) A é subcojuto de D d) ( ) {e} D e) ( ) a D f) ( ) {, B} A (B D) [ a Questão Cosidere a família I = 1, 1 + 1 ] de itervalos fechados, ode N = {1,, 3,...}. Determie os cojutos I e I. 3 a Questão Cosidere A = {0, 1,, 3, 4} e a relação defiida por: a b a b é múltiplo de 3. a) A relação é uma relação de equivalêcia? b) Quais são os elemetos do cojuto quociete A/? 4 a Questão Cosidere a fução f : R R, defiida por f(x) = x 1 e uma relação de equivalêcia em R defiida por: x y f(x) = f(y). Determie as classes de equivalêcia 0, 1 e. 5 a Questão Em um cojuto parcialmete ordeado (X, ), dizemos que x X é o maior elemeto de X se, para todo y X, tivermos y x. Dizemos que b X é um elemeto maximal de X se ão existir y X tal que y > b. De forma aáloga defiimos meor elemeto e elemeto miimal de (X, ). No cojuto H = {a, b, c, d, e, f, g, h} cosidere a relação de ordem parcial iduzida pelo diagrama de Hasse abaixo e assiale as alterativas com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO. a) ( ) Os elemetos d e e ão são comparáveis. b) ( ) O a é o elemeto miimal de H. c) ( ) O h é o maior elemeto de H. d) ( ) Os elemetos d e a são comparáveis. e) ( ) O subcojuto S = {b, c, e, g} é totalmete ordeado. a f d h e b g c
R E S P O S T A S 1 a Questão Dados da questão: A = {0, 1,, 3, 4}, B = {a, e, i} e D = A P (B) a) Falso pois A B possui 15 elemetos, como pode ser visto a tabela abaixo: A B a e i 0 (0,a) (0,e) (0,i) 1 (1,a) (1,e) (1,i) (,a) (,e) (,i) 3 (3,a) (3,e) (3,i) 4 (4,a) (4,e) (4,i) b) Falso pois o úmero de elemetos do cojuto das partes 1 de B é 3 = 8. c) Verdadeiro pois todos os elemetos de A estão em D = A P (B). d) Falso pois {e} é um elemeto de P (B) D. e) Verdadeiro pois a A e a P (B). f) Falso pois B D = e B A. a Questão Dados da questão: [ I = 1, 1 + 1 ] e N = {1,, 3,...} I = [0, 1], pois 1 < 0 e 1 < 1 + 1 para todo N o[ que os leva a cocluir que [0, 1] 1, 1 + 1 ] I = [ 1, ], pois I 1 = [ 1, ] I = [ 1, 1 + 1 ] [ I 3 = 1 3, 1 + 1 ] [ 3 I = 1, 1 + 1 ] 3 a Questão Dados da questão: 1 Pelo teorema 3.4. A = {0, 1,, 3, 4} a b a b é múltiplo de 3 a) A relação é uma relação de equivalêcia? é reflexiva pois se a a implica que a a = 0 = 3 0 é simétrica pois se a b implica que a b = 3 e como b a = 3( m) temos que b a é trasitiva pois se a b e b c implica que a b = 3 e b c = 3m logo a b+(b c) = 3+3m e portato a c = 3( + m) ou seja a c b) Quais são os elemetos do cojuto quociete A/? Elemetos equivaletes a 0 são 0 e 3, pois 0 0 = 0 = 3 0 e 0 3 = 3 = 3 ( 1), logo 0 = 3 = {0, 3} Elemetos equivaletes a 1 são 1 e 4, pois 1 1 = 0 = 3 0 e 1 4 = 3 = 3 ( 1), logo 1 = 4 = {1, 4} Elemetos equivaletes a : pois = 0 = 3 0, logo = {} Portato o cojuto quociete A/ = {{0, 3}, {1, 4}, {}} = {0, 1, } 4 a Questão Dados da questão: f(x) = x 1 e x y f(x) = f(y) Elemetos equivaletes a 0 é apeas o 0, pois f(0) = 1 e x 1 = 1 x = 0, logo 0 = {0} Elemetos equivaletes a 1 são 1 e 1, pois f(1) = 0 e x 1 = 0 x ± 1, logo 1 = 1 = { 1, 1} Elemetos equivaletes a são e, pois f() = 1 e x 1 = 1 x ±, logo = = {, }
5 a Questão Dados da questão: H = {a, b, c, d, e, f, g, h} h f g a) Verdadeiro pois é impossível com essa relação de ordem compará-los. b) Falso pois existem dois elemetos miimais em A que são a e b e ão apeas um. d e c c) Falso pois o elemeto f ão é comparável com h, apesar de h ser o elemeto maximal de A. a b d) Verdadeiro pois a d. e) Verdadeiro pois b c e g.
Matemática Elemetar Prof. Sérgio - 10/Nov/01-1. Roteiro da seguda aula presecial 1 a Questão Use o pricípio da idução para provar que, para todo úmero atural, vale a igualdade: ( + 1) 1 + + 3 + + = a Questão Em relação à cojutos eumeráveis, assiale as alterativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO, justificado/exemplificado cada resposta dada. a) ( ) A é dito eumerável quado existir uma bijeção etre A e um subcojuto dos úmeros aturais N. b) ( ) Se A e B são cojutos eumeráveis etão a uião A B é ão eumerável. c) ( ) Se A é um cojuto ão eumerável etão todo subcojuto ifiito de A é ão eumerável. d) ( ) Se o produto cartesiao A B é ão eumerável, etão A e B são cojutos eumeráveis. 3 a Questão Escreva o úmero [134] 5 a forma decimal (base dez) e o úmero decimal 134 a base 5. 4 a Questão Dado um úmero atural, cosidere os cojutos D() e M() como o cojuto dos divisores e dos múltiplos de respectivamete: a) Determie M DC(, 8) pelo Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) e MDC(, 8, 36) como o maior elemeto do cojuto D() D(8) D(36). b) Determie via processo de decomposição simultâea o M M C(, 8) e MMC(8, 1, 16) como o meor elemeto do cojuto M(8) M(1) M(16). 5 a Questão Dados a e b úmeros iteiros, temos a b(mod ) se, e somete se, a e b possuem o mesmo resto quado divididos por. Verifique as equivalêcias abaixo são verdadeiras: a) 43(mod 5) b) 0(mod 5) c) 1 17(mod 5). d) 4 17(mod 5). 6 a Questão Dados a e b em Z = {0, 1,, 3,, 1}, defiimos o produto a.b como sedo a classe de equivalêcia módulo do produto (usual) a.b e que a é divisível por b se existe c Z tal que a = b.c. Em Z 7 determie: a) 1 + 3 + 4 b) 5 3 c) 8 1 d) a da divisão de 3 por 4 e) o iverso multiplicativo de 3 f) uma solução para a equação x 1 = 3 7 a Questão Mostre que + é divisível por 3.
R E S P O S T A S 1 a Questão Dados da questão: Pricípio da idução ( + 1) 1 + + 3 + + = Usado o Pricípio da idução temos: Quado = 1, verifica-se que a fórmula acima é válida pois fica 1 = 1(1 + 1) = = 1 Supohamos que a fórmula é verdadeira para = k, ou seja, a soma dos k primeiros úmeros é 1 + + 3 + + k = k(k + 1) Fazedo = (k + 1), e somado aos dois lados da igualdade acima (k + 1) obtemos [1 + + 3 + + k] + (k + 1) = [ ] k(k + 1) = + (k + 1) = k(k + 1) + (k + 1) = isto é, a soma dos k + 1 primeiros é (k + 1)(k + ). Provamos assim, por idução, a igualdade desejada. a Questão Dados da questão: Cojutos eumeráveis a) Verdadeiro, pois se A é fiito basta cosiderar uma bijeção com um subcojuto fiito de N e se A for ifiito basta cosiderar uma bijeção com o próprio cojuto N. b) Falso, pois se A e B são cojutos eumeráveis etão existem fuções bijeção f A e f B de A e B em subcojutos de N, logo a fução defiida por { fa (x) se x A F (x) = f B (x) + 1 se x B é uma bijeção com um subcojuto de N. c) Falso, pois cosidere o cojuto R ão eumerável e o subcojuto ifiito N R que é eumerável. d) Falso, pois se o produto cartesiao A B é ão eumerável, ecessariamete A ou B é ão eumerável. 3 a Questão Dados da questão: [134] 5 134 Para escrever [134] 5 a base decimal, basta observar a costrução deste úmero que é [134] 5 = 1 5 3 + 5 + 3 5 + 4 = 15 + 50 + 15 + 4 = 194 Para escrever 134 a base 5, usaremos o algoritmo da divisão: 134 5 = 46 5 + 4 resto 4 46 5 = 49 5 + 1 resto 1 49 5 = 9 5 + 4 resto 4 9 5 = 1 5 + 4 resto 4 1 5 = 0 5 + 4 resto 1 Logo 134 = [14414] 5 4 a Questão Dados da questão: D() como o cojuto dos divisores M() como o cojuto dos múltiplos de a) Usado o Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) para determiar M DC(, 8) temos: 8 = 1 + 6 resto 6 6 = 3 6 + 4 resto 4 6 4 = 1 4 + resto 4 = + 0 resto 0 Logo o resultado é o último divisor deste processo, ou seja, MDC(, 8) =. Para determiar M DC(, 8, 36) como o maior elemeto do cojuto
D() D(8) D(36), vamos ecotrar esses cojutos: D() = {1,, 11, } D(8) = {1,, 4, 7, 14, 8} D(36) = {1,, 3, 4, 6, 9, 1, 18, 36} Logo D() D(8) D(36) = {1, } e portato MDC(, 8, 36) = b) Determiado via processo de decomposição simultâea o MMC(, 8), temos 8 11 14 11 7 7 11 1 11 1 1 Logo MMC(, 8) = 7 11 = 308 Para M M C(8, 1, 16) como o meor elemeto do cojuto M(8) M(1) M(16), vamos ecotrar esses cojutos: M(8) = {8, 16, 4, 3, 40, 48, 56,... } M(1) = {1, 4, 36, 48, 60, 7,... } M(16) = {16, 3, 48, 64, 80, 96,... } Logo M(8) M(1) M(16) = {48, 96,... } e portato MMC(8, 1, 16) = 48 Só para calcular e cofirmar o valor do MMC(8, 1, 16) via processo de decomposição simultâea: 8 1 16 4 6 8 3 4 1 3 1 3 1 3 1 1 1 MMC(8, 1, 16) = 4 3 = 48 5 a Questão Dados da questão: Defiição de a b(mod ) a) A equivalêcia 43(mod 5) é verdadeira pois os restos são iguais a 3: = 1 5 + 3 resto 3 43 = 8 5 + 3 resto 3 b) A equivalêcia 0(mod 5) é falsa pois os restos são diferetes: = 0 5 + resto 0 = 4 5 + 0 resto 0 c) A equivalêcia 1 17(mod 5) é verdadeira pois os restos são iguais a : 1 = 5 + resto 17 = 3 5 + resto d) A equivalêcia 4 17(mod 5) é falsa pois os restos são diferetes: 4 = 1 5 + 1 resto 1 17 = 3 5 + resto 6 a Questão Dados da questão: Defiição de Z 7 = {0, 1,, 3, 4, 5, 6} a) 1 + 3 + 4 = 1 + 3 + 4 = 17 = 3 b) 5 3 = 5 3 = 15 = 1 c) 8 1 = 8 1 = 1 8 = 1 d) Da divisão de 3 por 4, o que se pede é um úmero X Z 7, tal que X 4 = 3, ou seja, valores para x Z de forma que 4x 7 teha resto 3, portato observe que todos os elemetos do cojuto 6 = {..., 8, 1, 6, 13,... } satisfazem a codição. Logo a divisão de 3 por 4 é 6 e) O iverso multiplicativo de 3 será um X Z 7, tal que X 3 = 3 X = 1, ou seja, valores para x Z de forma que 3x 7 teha resto 1, portato observe que todos os elemetos do cojuto 5 = {..., 9,, 5, 1,... } satisfazem a codição. Logo o iverso multiplicativo de 3 será 5.
f) Uma solução para a equação x 1 = 3 será um X Z 7, tal que X 1 = 3, ou seja, valores para x Z de forma que (x 1) 7 teha resto 3, portato observe que todos os elemetos dos cojutos = {..., 1, 5,, 9,... } e 5 = {..., 9,, 5, 1,... } satisfazem a codição. Logo as soluções para a equação são e 5. x 1 = 3 7 a Questão Dados da questão: + Lembrado que se a b(mod c), etão a b (mod c) e (a+d) (b+d)(mod c). Além disso, dados a e b iteiros, temos que a é divisível por b se, e somete se, a 0(mod b). Por exemplo 0(mod 3). Como 1(mod 3), etão 1(mod 3). Agora basta somar e obtemos ( + ) (1 + )(mod3) 0(mod3), o que sigifica que + é divisível por 3
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departameto de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio 1 a Prova Matemática Elemetar Prof.: Sérgio Data: 01/Dez/01 Turo: Virtual Curso: Nome: Período: 1. Pólo: Matrícula: Reposição da Primeira Avaliação - 1. 1 a Questão Assiale as alterativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO, justificado cada resposta dada, cosiderado os cojutos A = {0, 1,, 3, 4, 5}, B = {6, 7, 8}, C = (cojuto vazio) e D = {A, B, C}. a) ( ) A ão é subcojuto de D b) ( ) (A B) = 1 d) ( ) O úmero de elemetos de P (A) = 5 e) ( ) D c) ( ) C D f) ( ) {, B} A B D [ a Questão Cosidere a família I = 0, + 1 ] de itervalos fechados, ode N = {1,, 3,...}. Determie os cojutos I e I. 3 a Questão Cosidere G = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e a relação de equivalêcia defiida por: a b a b é múltiplo de 3. Quais são os elemetos do cojuto quociete G/? 4 a Questão Cosidere a fução f : R R, defiida por f(x) = (x + 1) e uma relação de equivalêcia em R defiida por: x y f(x) = f(y). Determie as classes de equivalêcia 0 e 1. 5 a Questão No cojuto H = {a, b, c, d, e, f, g} cosidere a relação de ordem parcial iduzida pelo diagrama de Hasse abaixo e assiale as alterativas com (V) VERDA- DEIRO ou (F) FALSO. a) ( ) Os elemetos d e e são comparáveis. b) ( ) O a é o elemeto maximal de H. f g e c) ( ) O g é o elemeto miimal de H. d) ( ) Os elemetos d e a ão são comparáveis. e) ( ) O subcojuto S = {a, b, d, e, g} é totalmete ordeado. c d a b Boa Sorte
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departameto de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio 1 a Prova Matemática Elemetar Prof.: Sérgio Data: 01/Dez/01. Turo: Virtual Curso: Nome: Período: 1. Pólo: Matrícula: Reposição da Primeira Avaliação - 1. 1 a Questão Assiale as alterativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO, justificado cada resposta dada, cosiderado os cojutos A = {1,, 3, 4, 5}, B = {6, 7, 8}, C = (cojuto vazio) e D = {A, B, C}. a) ( ) A ão é subcojuto de D b) ( ) (A B) = 1 d) ( ) O úmero de elemetos de P (A) = 5 e) ( ) D c) ( ) C D f) ( ) {, B} A B D ( a Questão Cosidere a família I = 1, 1 1 ) de itervalos abertos, ode N = {1,, 3,...}. Determie os cojutos I e I. 3 a Questão Cosidere G = {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7} e a relação de equivalêcia defiida por: a b a b é múltiplo de 3. Quais são os elemetos do cojuto quociete G/? 4 a Questão Cosidere a fução f : R R, defiida por f(x) = (x 1) e uma relação de equivalêcia em R defiida por: x y f(x) = f(y). Determie as classes de equivalêcia 0 e 1. 5 a Questão No cojuto H = {a, b, c, d, e, f, g} cosidere a relação de ordem parcial iduzida pelo diagrama de Hasse abaixo e assiale as alterativas com (V) VERDA- DEIRO ou (F) FALSO. a) ( ) Os elemetos d e g são comparáveis. b) ( ) O a ão é o elemeto miimal de H. f g e c) ( ) O f é o elemeto maximal de H. d) ( ) Os elemetos d e a são comparáveis. e) ( ) O subcojuto S = {a, b, c, d, e, g} é totalmete ordeado. c d a b Boa Sorte
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departameto de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio a Prova Matemática Elemetar Prof.: Sérgio Data: 01/Dez/01 Turo: Virtual Curso: Nome: Período: 1. Pólo: Matrícula: Reposição da Seguda Avaliação - 1. 1 a Questão Use o pricípio da idução para provar que, para todo úmero atural, vale a igualdade: 1 + 1 4 + 1 8 + + 1 = 1 1 a Questão Em relação à cojutos eumeráveis, assiale as alterativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO, justificado/exemplificado cada resposta dada. a) ( ) Se A e B são cojutos eumeráveis etão a uião A B é eumerável. b) ( ) Se A é eumerável e B é ão eumerável, etão A B é ão eumerável. c) ( ) Se o produto cartesiao A B é eumerável, etão A e B são cojutos eumeráveis. 3 a Questão Escreva o úmero [34] 6 a forma decimal (base dez) e o úmero decimal 34 a base 6. 4 a Questão Dado um úmero atural, cosidere os cojutos D() e M() como o cojuto dos divisores e dos múltiplos de respectivamete: a) Determie o M DC(7, 1) pelo Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) e MDC(6, 7, 1) como o maior elemeto do cojuto D(6) D(7) D(1). b) Determie via processo de decomposição simultâea o M M C(7, 1) e o MMC(6, 7, 1) como o meor elemeto do cojuto M(6) M(7) M(1). 5 a Questão Verifique as equivalêcias abaixo são verdadeiras: a) 1 43(mod 6) b) 1 17(mod 6). c) 7 17(mod 5) d) 1 17(mod 7). 6 a Questão Em relação ao Z 6 = {0, 1,, 3, 4, 5}, assiale as alterativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO. a) ( ) 1 + 3 + 4 = 1 b) ( ) 4 = c) ( ) o iverso multiplicativo de 3 é 3 d) ( ) 1 é uma solução para a equação x 1 = 3 Boa Sorte
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departameto de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio a Prova Matemática Elemetar Prof.: Sérgio Data: 01/Dez/01. Turo: Virtual Curso: Nome: Período: 1. Pólo: Matrícula: Reposição da Seguda Avaliação - 1. 1 a Questão Use o pricípio da idução para provar que, para todo úmero atural, vale a igualdade: ( + 1) 1 + + 3 +... + = a Questão Em relação à cojutos eumeráveis, assiale as alterativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO, justificado/exemplificado cada resposta dada. a) ( ) Se A e B são cojutos ão eumeráveis etão a uião A B é ão eumerável. b) ( ) Se A é eumerável e B é fiito, etão A B é eumerável. c) ( ) Se o produto cartesiao A B é fiito, etão A e B são cojutos eumeráveis. 3 a Questão Escreva o úmero [13] 6 a forma decimal (base dez) e o úmero decimal 13 a base 6. 4 a Questão Dado um úmero atural, cosidere os cojutos D() e M() como o cojuto dos divisores e dos múltiplos de respectivamete: a) Determie o M DC(6, 7) pelo Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) e MDC(6, 7, 14) como o maior elemeto do cojuto D(6) D(7) D(14). b) Determie via processo de decomposição simultâea o M M C(6, 7) e o MMC(6, 7, 14) como o meor elemeto do cojuto M(6) M(7) M(14). 5 a Questão Verifique as equivalêcias abaixo são verdadeiras: a) 0(mod 6) b) 4 17(mod 6). c) 7 11(mod 5) d) 13 1(mod 7). 6 a Questão Em relação ao Z 6 = {0, 1,, 3, 4, 5}, assiale as alterativas abaixo, com (V) VERDADEIRO ou (F) FALSO. a) ( ) 1 3 + 4 = 1 b) ( ) 4 3 = 0 c) ( ) o iverso multiplicativo de é d) ( ) 1 é uma solução para a equação x = 4 Boa Sorte