FORMULAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA MISTA PARA UM PROBLEMA DE ROTEIRIZAÇÃO DE VEÍCULOS AÉREOS Hélcio Vieir Junior COMGAR - Cenro de Guerr Elerônic SHIS QI 05 áre especil 12 - Lgo Sul 71615-600 - Brsíli - DF E-mil: junior_hv@yhoo.com.br RESUMO O uso de crgs dividids em sido objeo de esudo de muios pesquisdores denro do Problem de Roeirizção de Veículos (SDVRPPD). Um nov áre de pesquis denro do Problem de Oimizção de Redes em sido o problem do Disque-um-Vôo (DAFP). O objeivo dese rblho é um junção ds bordgens SDVRPPD e DAFP com o objeivo de minimizr cusos no rnspore éreo de crgs e pssgeiros em um siução bem singulr conhecid como Operção Aére. Plvrs Chve: Milir, Roeirizção de Veículos, Crgs dividids. ABSTRACT The spli lods' use hs been sudied by severl reserchers inside he Vehicle Rouing Problem (SDVRPPD). A new reserch subjec hs been he Dil Fligh Problem (DAFP). The purpose of his work is he juncion of he SDVRPPD nd DAFP mehodologies wih he objecive of minimizing he coss in siuion known s Air Operion. Keywords: Miliry, Vehicle Rouing, Spli Lods. [1059]
1. Inrodução O uso de crgs dividids em sido objeo de esudo de muios pesquisdores denro do Problem de Roeirizção de Veículos (Spli Delivery Vehicle Rouing Problem - SDVRP) (Dror e l, 1994; Dror nd Trudeu, 1989; Dror nd Trudeu, 1990; Frizzell nd Giffin, 1992). Nowk e l (2007) focrm seu rblho no uso de crgs dividids n vrição do Problem de Roeirizção de Veículos chmd Problem de Cole e Enreg (Spli Delivery Pick-Up nd Delivery Problem SDVRPPD). Um nov áre de pesquis denro do Problem de Oimizção de Redes em sido o problem do Disque-um-Vôo (rdução livre de Dil--Fligh Problem DAFP). De cordo com Cordeu e l (2007), o DAFP objeiv o plnejmeno de um escl que end um demnd de pssgeiros pr o rnspore éreo de um único di, onde demnd especific o eroporo de origem, o primeiro horário de decolgem ceiável, o eroporo de desino e o úlimo horário de pouso ceiável pr um fro homogêne de eronves. O objeivo dese rblho é um junção ds bordgens SDVRPPD e DAFP vislumbrndo resolução de um problem rel eisene n Forç Aére Brsileir (FAB) e delhdo n seção rês. As principis diferençs meodológics enre o nosso rblho e s formulções SDVRPPD e DAFP esão lisds n bel 1. Tbel 1: Crcerísics ds meodologis Crcerísic Noss Propos SDVRPPD DAFP Fro de veículos Heerogêne Heerogêne Homogêne Número de depósios Múliplos Único Múliplos Resrição de empo Sim Não Sim Crgs dividids Sim Sim Não Possibilidde de que um crg, um vez recolhid, poss ser deid em um depósio inermediário fim de que ouro veículo finlize enreg Sim Não Não Além do emprego no problem originl moivdor dese esudo, ese uor vislumbr que meodologi desenvolvid nese rigo poss ser uilizd por ours corporções que possum vários depósios, eemplo dos Correios, Empress Aéres comerciis, ec. Ese rblho esá esruurdo d seguine mneir: n segund seção, noss propos é formlmene inroduzid; um eemplo numérico no qul meodologi propos é uilizd é descrio n seção rês e seção quro conclui. 2. Formulção Memáic Eisem diverss insiuições que possuem uniddes que podem ur no como consumidores quno depósios. Um eemplo é Forç Aére Brsileir, n qul s s Aéres são o mesmo empo clienes (possuem demnds) e depósios (êm inslções físics e segurnç compíveis). Our crcerísic d FAB é que mesm possui um fro de veículos (eronves) bem heerogêne. A meodologi sugerid greg eses dois ribuos d Forç Aére Brsileir com o objeivo de minimizr cusos no rnspore éreo de crgs e pssgeiros em um siução bem singulr conhecid como Operção Aére. Es oimizção dos cusos se dá rvés d [1060]
possibilidde de que um crg, um vez recolhid, poss ser deid em um Aére inermediári fim de que our eronve finlize enreg. Com iso, esper-se que eronves com menor cpcidde de crg e uonomi (e consequenemene menor cuso) possm conribuir pr disribuição d demnd em siuções onde s mesms não serim uilizds (como em ours bordgens meodológics). Noss propos consise de um modelo de fluo de rede com empo discreo onde B = { 1,2,..., n} é o conjuno ds s Aéres (depósios e clienes); Dis y é disânci enre s s e y ; T = { 0,1,..., f } é o conjuno de empos; A= { 1,2,..., u} é o conjuno ds eronves (veículos); C = { 1, 2,..., q} é o conjuno de igurções ds eronves; Vel é velocidde de cruzeiro d eronve ; H é o cuso d hor de vôo d eronve ; Cp é cpcidde de crg d eronve n igurção ; Cpp é cpcidde de pssgeiros d eronve n igurção ; Alc é o lcnce d eronve n igurção ; C y é demnd de crg ser rnspord d pr y ; Ps y é demnd de pssgeiros serem rnspordos d pr y e M é um esclr com vlor muio grnde. As vriáveis de decisão são s seguines: 1, se eronve vo d pr y no empo by = ; 0, cso conrário ig 1, cso eronve esej n igurção no empo = ; 0, cso conrário f y - Fluo de crg com desino à d rnspordo pel eronve d pr y no empo ; fp y - Fluo de pssgeiros com desino à d rnspordo pel eronve d pr y no empo ; c - Crg com desino à d que esá n no finl do empo ; cp - Pssgeiros com desino à d que esão n no finl do empo. [1061]
Iso poso, formulção memáic do problem pode gor ser definid como: S.A.: Min Dis H b y y y Vel f 1 y c, ( d, ) B, {1,2,..., f } (1_1) y fp 1 y cp, ( d, ) B, {1,2,..., f } (1_2) y fy M by, A,(, y) B, T (2_1) d fpy M by, A,(, y) B, T (2_2) d fy ig Cp, A,(, y) B, T, C (3_1) d fpy ig Cpp, A,(, y) B, T, C (3_2) d b = b, A, y B, {1,2,..., } (4) 1 y y f (5_1) c = c + f f, ( d, y) B, {1,2,..., } 1 dy dy y dy f (5_2) cp = cp + fp fp, ( d, y) B, {1,2,..., } 1 dy dy y dy f by = 1, A, T (6) y Disy by Alc by, A, (, y) B, T, C (7) 0 c, (, ) = C d B (8_1) 0 cp, (, ) = Ps d B (8_2) f cdd = Cd, d B (9_1) f cpdd = Psd, d B (9_2) 0 1, se loclizção inicil d nv for b =, A, B 0, cso conrário (10) ig = 1, B, T, C (11) { } ( b, ig ) 0,1, A,(, y) B, T, C (12) y f, fp, c, cp 0, A,( d,, y) B, T (13) y y A resrição (1) grne que só sej rnspord crg e os pssgeiros que esejm previmene n ; resrição (2) ssegur que não hj fluo rvés do rco (, y ) menos que o mesmo enh sido seleciondo n função objeivo; resrição (3) cerific que o fluo rnspordo pel eronve sej menor que su cpcidde de rnspore; resrição (4) ssegur que eis coninuidde nos vôos ds eronves; resrição (5) grne o equilíbrio d(os) crg(pssgeiros) com os fluos de enrd e síd n y no empo ; resrição (6) [1062]
cerific que um eronve só pode esr em um rco por empo; resrição (7) limi rcos que eronve poss cumprir devido o seu lcnce; resrição (8) esbelece s(os) crgs(pssgeiros) ns sus s iniciis; resrição (9) ssegur que s(os) crgs(pssgeiros) sejm rnspords(os) pr sus s de desinos; resrição (10) esbelece s eronves ns sus bses iniciis; resrição (11) ssegur igurção ds eronves em cd empo; resrição (12) esbelece s vriáveis de decisão b e y ig como sendo bináris e, finlmene, resrição (13) grne que s demis vriáveis de decisão sejm esrimene posiivs. 3. Oimizndo um Operção Aére A Forç Aére Brsileir reliz operções éres com o objeivo principl de reinr sus rops e esr seus equipmenos pr mnê-los sempre cpcidos oferecer um pronrespos em cso de possíveis cionmenos e necessiddes. Os eercícios são de vrids nurezs, visndo deerminds mes, e envolvem diverss Uniddes. Dependendo d mnobr, é mesmo Forçs Aéres de ouros píses: são s operções conjuns, que rzem benefícios comuns às nções pricipnes. (FAB, 2007). Conforme pôde ser viso no prágrfo nerior, operções éres são relizds por diverss Uniddes Aéres (sedids por odo o Brsil) que se reúnem em poucs s Aéres pr que sejm simulds s condições de combe o mis próimo possível do rel. Um eemplo foi operção Cruze 2006 (FAB, 2007b), n qul Uniddes Aéres sedids em Sn Mri (RS), Cnos (RS), Rio de Jneiro (RJ), Cmpo Grnde (MS), Brsíli (DF), Anápolis (GO), Recife (PE), Nl (RN), Mnus (AM) e Poro Velho (RO), lém de diverss Uniddes Aéres de Forçs Aéres migs, se concenrrm em rês locliddes: Cmpo Grnde (MS), Uberlândi (MG) e Anápolis (GO). Um Unidde Aére é formd por dezens de eronves e cenens de homens e o deslocmeno, mesmo de um frção d mesm, envolve o rnspore de crgs d ordem de dezens de onelds e de váris dezens de homens. O eveno moivdor dese esudo foi um form de minimizr os cusos envolvidos em um operção ére. Simulremos, nes seção, oimizção, pel formulção por nós propos, de um operção ére olmene ficíci, onde emos seis s Aéres disposs geogrficmene de cordo com figur 1, onde s esrels represenm s s Aéres e os círculos ponilhdos e rcejdos represenm, respecivmene, o lcnce máimo ds eronves do ipo b e c n igurção 2 pr cd Aére. A eronve do ipo pode vor enre quisquer dus s Aéres. [1063]
1 2 3 4 5 6 Figur 1 s Aéres envolvids n simulção de um operção ére A demnd eisene esá lisd n bel 2, onde colun C refere-se crg e colun P o número de pssgeiros. Por eemplo: eise um demnd de 50 pssgeiros e de 160 onelds serem rnspordos d bse 2 pr bse 5. Tbel 2 Demnd ficíci. 1 2 3 4 5 6 P C P C P C P C P C P C 1 -- -- -- -- -- -- 25 75 -- -- -- -- 2 -- -- -- -- -- -- -- -- 50 160 -- -- 3 -- -- -- -- -- -- 15 120 -- -- -- -- 4 -- -- 60 50 -- -- -- -- -- -- -- -- 5 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 30 80 25 60 -- -- 6 As cpciddes (por igurção) ds eronves simulds esão eplicids n bel 3. [1064]
Tbel 3 Ddos écnicos simuldos ds eronves. Aeronve Tipo Loclizção inicil (empo 0) Cuso d hor de vôo ($) 1 5 6000 2 6 6000 3 b 6 3500 4 c 6 1200 5 c 5 1200 6 c 5 1200 Configurção Alcnce (unidde de disânci) Cpcidde Crg (onelds) 1 25 200 20 Pssgeiros 2 25 150 70 1 25 200 20 2 25 150 70 1 10 80 30 2 12 50 50 1 8 30 5 2 10 15 15 1 8 30 5 2 10 15 15 1 8 30 5 2 10 15 15 Foi uilizdo o sofwre GAMS n versão 2.0.34.19 e um compudor Penium IV com 3.2 GHz e 1 GB de memóri RAM pr resolução d noss propos. Após 24 hors de processmeno, ese uor decidiu prr oimizção sem chegr à solução óim. A figur 2 ilusr cinemáic d solução sub-óim lcnçd, onde s ses ponilhds represenm deslocmenos de eronves sem crg; s ses conínus e rcejds represenm deslocmenos de eronves com crg ns igurções 1 e 2, respecivmene; os círculos vzdos numerdos represenm s eronves; os dois números seprdos por um brr e precedidos de um se vzd seguid de um círculo hchurdo numerdo represenm, respecivmene, qunidde de pssgeiros e crg ser rnspord pr bse indicd pelo círculo hchurdo. Por eemplo: no empo 0 emos n bse 5 s eronves 2, 3 e 4 e, com desino bse 4, um crg de 80 onelds e 30 pssgeiros; no empo 2 eronve 4 deslocouse d bse 6 pr bse 2 rnsporndo crg/pssgeiros n igurção 1. A solução sub-óim lcnçd obeve um gp relivo de relção liner de 27,07%, endo enconrdo 8 soluções ineirs durne s 71.359.738 inerções rodds ns 24 hors de processmeno. Ese problem eve pens 6 s Aéres, 6 eronves, 2 igurções diferenes pr cd eronve e o empo foi discreizdo em pens 6 uniddes. A formulção pr resolver ese pequeno problem eve 1.368 vriáveis bináris, 17.353 vriáveis conínus e 7.543 resrições. Iso eplic o grnde empo compucionl necessário pr su resolução. [1065]
Figur 2 Solução sub-óim pr o problem simuldo [1066]
4. Conclusões Foi sugerid um formulção pr oimizção dos cusos de um operção ére. N seção dois noss propos foi formlmene inroduzid e n seção rês pôde-se observr, rvés de um eemplo numérico ficício, vibilidde do uso d meodologi sugerid. Apesr do sucesso em ingir o objeivo proposo, o empo compucionl necessário pr solucionr um problem pequeno se mosrou por demsido ecessivo. Trblhos fuuros devem focr no uso de heurísics pr resolução d propos por nós rzid de insncis miores (mis reliss) em empos compucionis mis viáveis. 5. Referêncis Cordeu, J. F., Lpore, G., Povin, J. Y., Svelsbergh, M.W.P. (2007). Trnsporion on Demnd. In: Trnsporion, Hndbooks in Operions Reserch nd Mngemen Science, Volume 14, [edied by C. Brnhr nd G. Lpore], Elsevier, Amserdm, 429-466. Dror, M., G. Lpore, P. Trudeu. (1994). Vehicle rouing wih spli deliveries. Discree Applied Mhemics, 50, 239-254 Dror, M., P. Trudeu. (1989). Svings by spli delivery rouing. Trnsporion Science, 23, 141-145 Dror, M., P. Trudeu. (1990). Spli delivery rouing. Nvl Reserch Logisics, 37, 383-402. Forç Aére Brsileir. (2007). Operções Aéres. Disponível em: hp://www.fb.mil.br/htm/opercoeeres.hm. Acesso em 24 de fevereiro de 2007. Forç Aére Brsileir. (2007b). Cruze III 2006. Disponível em: hp://www.fb.mil.br/fb/opercoere/cruze_2006/inde.hm. Acesso em 24 de fevereiro de 2007. Frizzell, P. W., J. W. Giffin. (1992). The bounded spli delivery vehicle rouing problem wih grid neworks disnces. Asi Pcific Journl of Operionl Reserch, 9, 101-116 Nowk, M., Ergun, O., Whie, C. C. III (2007). Pickup nd Delivery wih Spli Lods. Submied o Trnsporion Science. [1067]