X A D R E Z C H I N Ê S Aprecid Frncisco d SILVA, Héli Mtiko Yno KODAMA Resumo: As utors buscm mostrr como o uso do jogo xdrez chinês pode tornr-se um recurso enriquecedor especilmente no sentido de propor lgums tividdes motivdors pr o estudo de tópicos de geometri, combintóri ou progressões ritmétics No entnto, destcmos que o uso de jogos em sl de ul deve resultr d reflexão do professor sobre qul jogo usr, como usr, qul o melhor momento de inseri-lo em sl de ul e como explorá-lo educcionlmente, ou sej, com que objetivo Vle destcr que não pretendemos esgotr tods s possibiliddes, pens presentr um conjunto de tividdes recretivs que orgnizmos no desenvolvimento do projeto Jogos no Ensino d Mtemátic, junto o Núcleo de Ensino d UNESP, Câmpus de São José do Rio Preto Plvrs-chve: jogo no ensino; xdrez chinês INTRODUÇÃO No presente rtigo presentmos um seleção de tividdes e conteúdos que podem ser explordos prtir do jogo Xdrez Chinês n form como foi desenvolvido no projeto Jogos no Ensino d Mtemátic, especilmente no que diz respeito às tividdes prtir ds situções do jogo ou de seu tbuleiro e situções problems que podem ser explords No intuito de incentivr o uso deste jogo pelos leitores, presentmos n primeir prte um pequen referênci respeito de su origem e sus regrs N segund prte denomind Aspectos Geris presentmos lgums observções que o professor pode fzer enqunto os lunos jogm e que podem judr o professor vlir compreensão do jogo e mesmo dos conteúdos, pelos lunos N terceir prte presentmos lguns spectos combintórios e um pouco de geometri que pode ser explord prtir do jogo, sus regrs e seu tbuleiro Origem Aprentemente os jogos de tbuleiro surgirm por volt dos nos 600 n Índi Su origem, entretnto, prece estr ligd às fundções ds primeirs ciddes de que se notici, há lguns milhres de nos, ns regiões do ntigo Egito e d Mesopotâmi (hoje Irque), onde form encontrdos em escvções rqueológics objetos e desenhos que precem ser ou fzer referênci A versão preliminr deste rtigo foi elbord pelo grupo de estudos Jogos no Ensino d Mtemátic do IBILCE/UNESP, e s utors grdecem o trblho de digitção d lun Michele R Dornels Instituto de Biociêncis, Letrs e Ciêncis Exts UNESP São José do Rio Preto 9
jogos de tbuleiro Há trços de que mis trde os jogos tenhm precido em vários lugres do mundo ntigo, tis como Índi, Chin, Jpão, Pérsi, Áfric do Norte e Gréci Depois, os jogos de tbuleiro chegrm té Rom, outros píses d Europ e píses árbes Xdrez Chinês tmbém chmdo de Dm Chines, segundo bibliogrfi pesquisd, tem pouco ver com Xdrez e prentemente, não foi inventdo n Chin Tendo surgido no século XIX tornou-se populr em primeiro lugr n Suéci Acredit-se que J Pressmn introduziu o jogo nos USA durnte 98, entretnto, outros mnuftureiros começrm fbricá-lo logo pós, incluindo Milton Brdley quem, sem documento confirmdo, ptenteou o jogo em 9 A primeir ptente foi d Rvensburger, fmos compnhi lemã de jogos Com o nome Stern-Hlm preceu poucos nos pós o Hlm n Alemnh e foi, mis trde, lnçdo no USA com o nome de Xdrez Chinês e est é su form mis conhecid hoje Como jogr O jogo, possui versões pr,, e 6 jogdores (com formtos distintos de tbuleiros) N versão pr jogdores, com formto d Estrel de Dvi cd jogdor começ com peçs, com su cor posiciond n bse d mesm cor (um ds ponts d estrel) O objetivo é simplesmente mover tods s peçs trvés do tbuleiro, pr o ldo oposto Move-se um peç por vez o longo de qulquer linh durnte s jogds e nenhum jogdor poderá ocupr pont que corresponde espço de prtid ou de chegd de outro jogdor, sendo permitido mover peç pr qulquer cs djcente seguindo os segmentos Se cs estiver ocupd por um peç, sej el su ou de um dversário, e cs subseqüente no mesmo segmento estiver vg, pode-se pulr té el Um peç pode dr vários pulos n mesm jogd O jogdor que melhor crir oportuniddes e levr tods s peçs pr o ldo oposto em primeiro lugr, vencerá o jogo Aspectos Geris Apesr do jogo ser indicdo pr crinçs prtir de nos, ele é muito interessnte pr tods s iddes Isso devido à vriedde de ssuntos que podem ser desenvolvidos prtir dele Com crinçs de à 6 nos, pode-se trblhr prte de coordenção motor, diferenç de cores, senso de direção, contgem, form geométric tringulr e noção de conjuntos 9
Já com fix etári de 7 à 0 nos, podem ser explords s outrs forms geométrics existentes no tbuleiro lém do triângulo, condições de linhmento (o se locomover), noção de segmento, quntidde e s diferentes estrtégis Ns iddes mis vnçds, poderão ser trblhdos esses mesmos conceitos, profundndo-os e tmbém explorr o conceito de semelhnç de figurs plns, pvimentção do plno, grfos e combintóri N perspectiv d resolução de problems, o professor formulrá questões proveitndo s situções do jogo e discutirá, o finl, os vários conceitos que precerm e precem nturlmente durnte s jogds Como é importnte conhecer os mteriis do jogo e promover todo tipo de situção que possibilite seu conhecimento e ssimilção ds regrs, sugerimos s seguintes questões: - Como é o mteril que você observou? Descrev-o - Como é orgnizção ds peçs no tbuleiro ntes do início d prtid? - Qul é o objetivo do jogo? - Quis s condições pr que se poss relizr um psse (movimento) longo? - É possível chegr o resultdo por um cminho diferente? 6- Conhece lgum jogo nálogo? 7- Como vê o jogo? Poderi imginr um jogo nálogo mis simples? Desenvolver esse hábito de questionmentos, contribui pr o estbelecimento de titudes que enltecem observção como um dos principis recursos pr prendizgem contecer Além disso, o professor deverá observr seus lunos, respeito de sus ções e rciocínio Por exemplo, podem ser observdos durnte o jogo os seguintes spectos: - Como o luno se orgniz no espço? Lev um peç de cd vez pr o outro ldo do tbuleiro? - O luno tem domínio do espço do tbuleiro em termos de sentido e direção? - Explorção do tbuleiro: o luno explor todos os lugres possíveis pr o deslocmento ds peçs? - Estrtégi: o luno é cpz de considerr o dversário pr coordenr os movimentos ou fic tento somente em sus própris peçs? Consegue relizr séries de pulos, coordenndo váris direções e sentidos o mesmo tempo? Observção: Ests situções não estão selecionds por iddes Cbe o professor selecionr quels que se encixm n fix etári ou relidde do grupo em que estiver trblhndo 9
Aspectos Combintórios Anlisndo o tbuleiro do jogo podemos estudr lguns elementos de contgem Por exemplo, lguns dos chmdos números figurdos precem nturlmente o se explorr o tbuleiro Estes, como diz o próprio nome, resultm d distribuição de pontos de mneir formr figurs geométrics Os números tringulres e os hexgonis podem serem explordos prtir do tbuleiro d seguinte form: I) Tringulres: Considerndo um dos triângulos miores e indicndo por T n o n-ésimo número tringulr temos: T T T 6 T 0 e de modo gerl, T n T n- n T n n n(n) 96
Esses triângulos podem ser trnsformdos ( prtir do º) d seguinte form: T : T : 6 0 T : T 6 : 7 T 7 : 7 8 97
Observemos que o deslocrmos o triângulo indicdo estmos completndo um prlelogrmo, com seguinte propriedde: ) Se n é ímpr conservmos linh básic n e s demis ficm (n-), (n-),, ( n ) ( n ) n, ou sej, teremos gerl, ( n ) n pontos em T n ( n ) linhs tods com n pontos o que nos dá, em ) Se n é pr formmos o prlelogrmo com n linhs onde s linhs têm (n), (n-),, n n n n pontos, ou sej, no totl teremos ( n ) pontos II) Números Hexgonis: H n 98
hexgonis: Observndo o centro do tbuleiro, tmbém podemos perceber os números H H 6 H 9 H 9 8 Observmos que pr obter os números hexgonis H n crescentmos pontos que serão os novos vértices, linhdos com os demis (fig ) e crescentmos cd novo ldo obtido outros novos pontos Fig pssgem de H pr H 99
Agor pergunt: como clculr H n pr n qulquer? (Observe que qui se present um situção problem que pode ser explord pr introdução do conceito ds Progressões Aritmétics) Pr respondê-l podemos questionr os lunos: - Quntos pontos crescentmos em cd psso? - Como podemos orgnizr esse resultdo? Vej o que segue: H H H H {pontos interiores pr completr os ldos:} H 9 H H {pontos interiores pr completr os ldos()} H H H {pontos interiores pr completr os ldos()} H 7 H 6 H {pontos interiores pr completr os ldos()} H Denotndo por b n, n, o número de pontos que crescentmos em cd pssgem temos: b (-) (-) b (-) b (-) b (-) de modo gerl, bn (n-) n-8 n - Ms os H n s são s soms dos b j s pr j n, ou sej, H n 9(n-) Pr obtê-l de modo gerl, em função de n como podemos preceder? 90
9 Vejmos: Um form de fcilitr este processo é obter os números hexgonis em função dos tringulres Pr tnto observe distribuição com setores coloridos
9 Distribuindo convenientemente s peçs destcds obtemos: H : H : H : H : H : H 6:
Assim, temos: H T H T H T H T De modo gerl, obtemos: H n T n- n Como sbemos que T n- (n-)n temos: H n (n-)n n (n-)nn [(n-)]n (n-)n n(n-) Tmbém podemos explorr o número de triângulos do tbuleiro Em cd região tringulr colorid (vermelho, verde e zul) podemos perceber que os triângulos são distribuídos de modo formr um PA (Progressão Aritmétic) de rzão como veremos Indicndo por i o número de triângulos compreendidos entre (i-)-ésim linh e i-ésim linh prtir de um dos vértices do tbuleiro, temos: N linh seguinte temos triângulos como pode ser visto n figur, ou sej, Podemos resumir estes ddos d seguinte form: 7 9
Assim, o termo gerl é: n n r Agor, reescrevendo os termos, temos: ( ) n n- (n-) n Ao observrmos os triângulos, podemos contbilizr o número totl de triângulos pequenos em que esse foi decomposto: Se cd triângulo juntrmos um outro congruente o primeiro de form conveniente podemos trnsformr s pilhs tringulres de triângulos em prlelogrmos decomposto em triângulos Cd fil do prlelogrmo é formd pelo mesmo números de triângulos Assim podemos observr que e obtemos seguinte propriedde de PA som de termos eqüidistntes é constnte, e, prtir dí inferirmos fórmul pr som dos termos de um PA Observção ) Ao trblhrmos com lunos do ensino médio podemos formlizr este resultdo d seguinte form: 9
A prtir dest propriedde n n-, deduzimos fórmul d som finit (S n ) dos n primeiros termos de um PA, d seguinte mneir: S n n S n n n- S n ( n ) ( n ) ( n ) S n n( n ) Portnto, nprcels No exemplo cim, temos: S n ( n )n ( 7) S 6 O número de ponts d estrel em todo tbuleiro é 6 Sendo T c o número de triângulos pequenos coloridos temos: T c 6 S 66 96 Vejmos no que segue o número totl de triângulos pequenos no tbuleiro Podemos dividir região hexgonl em regiões trpezoidis Observemos, primeirmente, um dels 9
Como podemos observr n figur, ª linh é o º termo d PA nterior, renomendo por b,b 6 e ssim por dinte, temos: b r b 7 9 Clculndo o n-ésimo termo, temos: b b (n )r b 9 ( ) 9 6 n Logo, som dos termos, que vmos chmr de S n ( b b ) n n é no exemplo: (9 ) 96 S 8 Portnto, se H é o número de triângulos n região hexgonl, temos: H S 8 96 O cálculo do número de triângulos pequenos será ddo pel som de Tc e H, ou sej: T c H 96 96 9 Portnto, o tbuleiro possui 9 triângulos pequenos Cálculo do número de pontos No cálculo do número de pontos do tbuleiro, um PA surge nturlmente, d seguinte mneir: Dividindo o tbuleiro obtemos dois trpézios e dois triângulos Clculemos então, o número de pontos em cd um desss regiões obtids 96
97 No trpézio, temos que os pontos formm um PA de rzão (r ), de termos: 0 0 9 9 c c c c c Logo, som dos termos S, é: ) (9 ) ( S c c S Como firmmos nteriormente, há dois trpézios e i c indic os pontos comuns os dois Indicndo por P o número de pontos ns regiões trpezoidis, temos: 0 9 0 9 P c S P O mesmo ocorre com os triângulos, cujos termos são: r r r c i
Assim, som dos termos: S ( ) S ( ) 0 0 tringulres teremos: Como dissemos, há dois triângulos, então, se P v indic o totl de pontos ns regiões P v S 0 Portnto, o número totl de pontos do tbuleiro é: P P v 0 0 BIBLIOGRAFIA Dolce, Osvldo e Pompeo, José Nicolu Fundmentos d Mtemátic Elementr - Vol 9 Editor Atul, 00 Mcedo, L e outros Aprender com jogos e situções-problem Artmed, 000 http://wwwtrdgmesorguk/gmes/hlmhtm http://wwwludomnicombr/trdicionis/jogos$_{t}$rdicionishtml http://wwwptwikipediorg/ http://wwwtrctorpt/mt/numeros/hexgonis 98