Método Ferrz Mhs Solução pr sistem de Equções. Helinton Chrles Mhs Ru: Erio Neumnn, número 33 Cruzeiro São Bento do Sul SC Telefone: 473635 68 Emil: helinton.mhs@gmil.om Cludinei Rodrigues Ferrz Ru: Juselino Kuitshek, número 559 Jrdim Améli Pinhis PR Telefone: 436687865 Emil: ludineifz@hotmil.om
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Resumo O presente rtigo tem omo ojetivo presentr um novo método pr resolução de sistems de equções. Iniilmente é presentd resolução de sistems de equções trvés de métodos já onheidos, omo Regr de Crmer, método d sustituição, método d dição e Método de Guss Jordn Eslonmento, em seguid fz-se um vlidção omprndo o método proposto om os métodos usuis. Finliz-se usndo um situção prolem, resolvid trvés dos ino métodos. liner. Plvr hve: Sistem de equções, equção gerl d ret, álger Astrt This rtile ims to present new method for solving sstems of equtions. First we present nd demonstrte the resolution of sstems of equtions using methods known s Crmer's rule, the sustitution method, ddition method nd Guss Jordn sheduling, nd then we demonstrte the new method presented here with his demonstrtion. At the end we used prolem sitution nd deided the five methods. lger. Ke word: Sstem of equtions, the generl eqution of the stright, liner
Introdução Desde tempos ntigos, o ser humno us inessntemente o onheimento. Foi ssim, que o homem pssou usr o primormento d mtemáti, rindo novos oneitos e métodos, que posteriormente, se tornrim fundmentl pr humnidde. Segundo Adoni Snt Ann, 3 firmr que mtemáti é um disiplin de fáil ompreensão seri um gigntes irrefleão, mtemáti é tod formuld em lingugens rtifiiis om qul miori ds pessos não tem fmiliridde. Neste sentido, usou-se desenvolver um novo método de resolução de sistems de equção, usr lgo inovdor n resolução de sistems de equções, utilizndo omo ferrment pr resolução o álulo do determinnte d mtriz dos oefiientes, lgo que poderá ser trlhdo não só no onteúdo de sistem de equções omo tmém em geometri nlíti no momento em que o estudnte se depr om equção gerl d ret e ondição de linhmento entre três pontos. Com isto o estudnte poderá verifir eistêni de relção entre onteúdos. Métodos eistentes pr resolução de sistems de equções. Segundo Steven J. Leon 998 miori dos prolems mtemátios enontrdos em plições ientifis e industriis envolvem resolução de um sistem liner. Muits vezes podemos utilizr métodos mtemátios e reduzir prolems sofistidos em um únio sistem liner. Começremos verifir s soluções de sistems de equções trvés de métodos já eistentes: Regr de Crmer, método d sustituição, método d dição e Guss Jordn eslonmento. Vle enftizr que eistem vários métodos pr soluionr um sistem liner, qui form presentdos queles utilizdos freqüentemente. Neste estudo sore resolução de um sistem liner de ordem, iniilmente tom-se omo referêni um método onheido omo Regr de Crmer. Segundo Bernrd Kolmn 998 Regr de Crmer pr resolver sistem liner onde A é um mtriz nn, é seguinte: A,
Clul-se o deta. Se det A, regr de Crmer não é pliável. Us-se o método de resolução de Guss-Jordn. det Ai Se det A, então, pr d i, i, onde Ai é mtriz otid de A det A trondo-se su i -ésim olun pel olun, dos termos independentes. Regr de Crmer Considere um sistem de equções lineres om n equções e n inógnits, n su form genéri: Onde os oefiientes são números reis ou ompleos, os termos independentes, são números reis ou ompleos e são s inógnits do sistem nn.. Sej deta o determinnte d mtriz formd pelos oefiientes ds inógnits. Sej det A i o determinnte d mtriz que se otém do sistem ddo, sustituindo olun dos oefiientes d inógnit i i,,3,..., n, pelos termos independentes. Conforme Gelson Iezzi 985, regr de Crmer diz que os vlores ds inógnits de um sistem liner de n equções e n inógnits são ddos por frções ujo denomindor é o determinnte deta dos oefiientes ds inógnits e o numerdor é o determinnte det A i, ou sej: det Ai i. det A Método d sustituição
orrigir tulção deste tópio todo Há um vnço nos prágrfos. O Primeiro já fiz orreção. O método d sustituição onsiste em isolr um ds inógnits deindo- em função de outr. Oserve o so seguir Tom-se primeir equção, isolndo inógnit : Assim enontr-se o vlor pril d inógnit denomind de, dd omo função d outr inógnit, no so. Sustituindo o vlor pril enontrdo de em, otêm-se:, gor pr determinr o vlor de st sustituir o vlor que foi enontrdo pr em.
Assim, temos os vlores ds inógnits: e Oserve que tnto no vlor enontrdo pr qunto no vlor enontrdo pr o denomindor é o vlor do determinnte d mtriz dos oefiientes ds inógnits. Método d dição Neste método reliz-se dição ns equções que ompõem o sistem. Pr que poss oter somente um inógnit devem-se eliminr s outrs, neste so será elimindo inógnit multiplindo ms s equções pelos oefiientes de, sendo que um dos oefiientes deve ser o seu oposto. Somndo s dus equções resultntes, otém-se: Pode-se fzer o mesmo proesso pr enontrr o vlor de. Neste so fz-se o mesmo proesso já relizdo nteriormente, porém iremos eliminr inógnit. Assim, temos os vlores ds inógnits: e Método de Guss Jordn Eslonmento
Segundo Gelson Iezzi 985, Neste método fz-se mtriz dos oefiientes e dos termos independentes, utilizndo ominções lineres deve-se deir mtriz n form tringulr superior om digonl prinipl ompost pelo elemento unitário. Oserve: L L L L L L L portnto Em seguid sustituir o vlor de n primeir equção do sistem. Assim, temos os vlores ds inógnits: e
Oserve que tnto no vlor enontrdo pr qunto no vlor enontrdo pr o denomindor é o vlor do determinnte d mtriz dos oefiientes ds inógnits. Método Ferrz Mhs o Método proposto Este novo método proposto onsiste em enontrr solução de um sistem de dus equções e dus inógnits trvés do álulo de determinntes. Sistem de dus equções e dus inógnits: Pr enontrr solução de um sistem de dus equções e dus inógnits lul-se o determinnte utilizndo os oefiientes e os termos independentes do sistem, onforme presentdo io, dispondo os oefiientes e os termos independentes n form de mtriz, e lulndo o determinnte, tem-se: Dividindo todos os memros d epressão pelo termo independente tem-se: Isolndo o termo independente e dividindo equção pelo termo independente multiplido por - tem-se epressão io, onde os oefiientes são s soluções do sistem: Assim, tem-se: Est relção pode ser filmente vlidd utilizndo Regr de Crmer:
D D D D D D D Clssifição de um sistem liner Se solução do sistem, presentr oefiientes não nulos e o termo independente for igul um, o sistem é possível e determindo Se solução presentr oefiientes nulos e o termo independente tmém for nulo o sistem é possível e indetermindo Se solução presentr oefiientes não nulos e o termo independente for igul zero o sistem é dito impossível. Eemplo prátio utilizndo os métodos desritos im Aqui serão utilizdos os ino métodos presentdos pr resolução de um mesm situção prolem.
Situção prolem Um litro de álool ust R$,5 e um litro de gsolin ust R$,5. Se um litro de um mistur de álool e gsolin ust R$,, qunto de álool ontem litro dest mistur? O primeiro psso é reesrever o prolem n form de um sistem de equção, supondo que e sejm, respetivmente, s frções de álool e de gsolin que ompõem litro d mistur. Assim:,5,5 Resolvendo por: Crmer det D,5.,5.,5,5 det D,5..,5,5 det D.,5.,5,5 D,5 D,5,5,5 D D Portnto, mistur será ompost de,5 litro de álool e,5 litro de gsolin. Método d Sustituição,5,5,5,5 i, sustituindo-se i em ii, teremos: ii
,5,5,5,5,5,5, logo:,5,5 Portnto, mistur será ompost de,5 litro de álool e,5 litro de gsolin. Método d Adição *,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 Sustituindo o vlor de n primeir equção temos:,5,5 Portnto, mistur será ompost de,5 litro de álool e,5 litro de gsolin. Método Guss Jordn Eslonmento,5,5 Esrevendo Mtriz mplid do sistem, tem-se: L,5 L L L L,5,5 L,5,5,5 Reesrevendo o sistem, tem-se:,5,5,5,5 Portnto, mistur será ompost de,5 litro de álool e,5 litro de gsolin. Método Ferrz-Mhs Esrevendo o determinnte de tereir ordem, onde: primeir linh é formd por, por e por ; segund linh é formd pelos oefiientes e pelo termo independente d primeir equção;
tereir linh é formd pelos oefiientes e pelo termo independente d segund equção. Fzendo o determinnte formdo igul zero tem-se plição do Método proposto.,5,5,5,5,5 5,, 5 5,, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,5 Os oefiientes são s soluções do sistem logo,5 e,5. Portnto, mistur será ompost de,5 litro de álool e,5 litro de gsolin. Comprndo os métodos Dentre os métodos eistentes, o novo método proposto presentdo possui um mneir práti e mis rápid pr resolução de sistems de equções pernte os demis métodos, om isto gnh-se tempo nests resoluções fzendo que o prtinte do novo método dedique mior tempo n resolução do que se é proposto e um tempo menor no lgoritmo empregdo. Comprndo um um. i Método de Crmer e Ferrz Mhs: Enqunto que Regr de Crmer fz o álulo de três determinntes pr um sistem om dus equções e dus inógnits o método Ferrz Mhs reliz um únio álulo de determinnte. ii Método d Sustituição e Ferrz Mhs: O método d sustituição possui mior ompleidde nos sos em que se é neessári utilizção de um lgoritmo de progrmção pr resolução de sistems lineres, enqunto que em váris lingugens de progrmção já possuem iliotes pronts om o álulo do determinnte, que é se d resolução do método Ferrz Mhs. iii Método d Adição e Ferrz Mhs: No método d dição é neessário eliminr um ds inógnits, portnto multipli-se s linhs pelo oefiiente de um ds inógnits d outr linh sendo
que um dos vlores dos oefiientes ser multiplido deve ser oposto dele próprio, e em seguid reliz-se som ds equções. O que pode oorrer de ompleidde neste método é que som dos oefiientes d inógnit que não foi elimind pode se tornr um número rionl o que difiult prtiidde do álulo mentl, lgo que não oorre no método Ferrz Mhs. iv Eliminção de Guss Jordm e Ferrz Mhs Assim omo no método d Adição em lguns sos pode oorrer questão de se deprr om números rionis o que difiult prtiidde do álulo mentl. 6. CONCLUSÃO Trlh-se muito questão d didáti d mtemáti pr o ensino d mesm, porém pouos trlhos são presentdos sore novs mneirs de resoluções o que pode ter um grnde ontriuição pr ompreensão e o prendizdo do edundo. Este trlho mostrou lgo novo sore perspetiv de resolução de sistems de equções om dus equções e dus inógnits, lgo que inentiv prendizgem já que evideni que eistem váris mneirs de soluionr mesm questão tomndo minhos diferentes. O método proposto lrividêni su prtiidde e filidde de resolução pernte os métodos trdiionis, tornndo-o um ferrment útil ser empregd em livro didátios serem utilizdos em sl de ul no momento em que o edundo pss ter o primeiro ontto om um sistem de equções. Qundo questão de onheimento prévio de álulo de determinntes não se oserv neessidde do onheimento implíito de determinntes e sim somente o desenvolvimento do lgoritmo de resolução, lgo que tmém é proveitoso, pois qundo o edundo se deprr om determinntes, no ensino médio, já onheerá o lgoritmo pr solução do mesmo. 7. REFERÈNCIA BIBLIOGRÁFICA IEZZI, Gelson e HAZZAN Smuel. Fundmentos de Mtemáti Elementr volume 4. São Pulo, Atul, 985.
IEZZI, Gelson. Fundmentos de Mtemáti Elementr volume 7. São Pulo, Atul, 985. PAIVA, Mnoel. Mtemáti volume. São Pulo, Modern, 995. BOLDRINI, José Luiz,et. l. Álger Liner. 3ed, São Pulo, Hrr, 98. KOLMAN, Bernrd. Introdução à álger liner: om plições. 6 ed. Rio de Jneiro: PHB. 998. LEON, Steven J. Álger Liner om plições. 5ed, São Pulo, LCT, 998. SANT ANNA, Adoni. ÁO que é um iom. Mnole, Brueri, 3.