Exercícios de Matemática Sequêcias ) (FUVEST-009) A soma dos cico rimeiros termos de uma PG, de razão egativa, é. Além disso, a difereça etre o sétimo termo e o segudo termo da PG é igual a. Nessas codições, determie: a) A razão da PG. A soma dos três rimeiros termos da PG. Se T rereseta o -ésimo úmero triagular, etão T, T, T 6, T 4 0, e assim or diate. Dado que T satisfaz a relação T T - +, ara,,4,..., ode-se deduzir que T 00 é igual a a) 5.050. 4.950. c).87. d).458. e) 79. 5) (UFSCar-008) Observe o adrão de formação das figuras umeradas. ) (UFSCar-009) Uma artícula se move ao logo do rimeiro quadrate do lao cartesiao ortogoal a artir do oto (0, 0), coforme idica o gráfico a seguir. a) Sabedo-se que as figuras, e são formadas, resectivamete, or 5, e 5 quadrados de área cm, calcule a área da figura 0 da seqüêcia idicada. Seja x o úmero da figura x, e f(x) o úmero de quadrados de cm que comõem essa mesma figura. Em relação à fução f, determie sua lei de formação e seus cojutos domíio e imagem. Matido o mesmo adrão de movimeto, a artícula atigirá o oto (50, 50), a artir do iício do deslocameto, em exatas a) 4 horas e meia. 8 horas. c) 6 horas e meia. d) 7 horas. e) 9 horas e meia. ) (UNIFESP-007) As medidas dos âgulos iteros de um olígoo covexo de lados formam uma rogressão aritmética em que o rimeiro termo é a e a razão é r > 0. a) Se a 5º e se r 0º, obteha o valor máximo ossível ara as codições euciadas. Se o maior âgulo mede 60º e a razão é igual a 5º, obteha o úico valor ossível ara. 4) (UNIFESP-008) Números triagulares são úmeros que odem ser reresetados or otos arrajados a forma de triâgulos eqüiláteros. É coveiete defiir como o rimeiro úmero triagular. Aresetamos a seguir os rimeiros úmeros triagulares. 6) (UFC-007) A seqüêcia (a ) tem seus termos dados ela fórmula a. Calcule a soma dos dez rimeiros termos da seqüêcia (b ), ode b ara. a 7) (FUVEST-007) Em uma rogressão aritmética a, a,..., a,... a soma dos rimeiros termos é dada or S b. +, sedo b um úmero real. Sabedo-se que a 7, determie a) o valor de b e a razão da rogressão aritmética. o 0º termo da rogressão. c) a soma dos 0 rimeiros termos da rogressão. 8) (ESPM-006) De 995 a 004, a oulação de uma cidade vem aumetado aualmete em rogressão aritmética. Em 004 costatou-se que o úmero de habitates era 8% maior que o ao aterior. Pode-se cocluir que, de 995 a 004, a oulação dessa cidade aumetou em: a) 00% 80% c) 60% d) 00% e) 80% Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com
9) (UFV-005) O iterior de uma jarra é um cilidro circular reto e cotém V litros de água. Se fosse retirado litro desta água, o raio, o diâmetro e a altura da água, esta ordem, formariam uma rogressão aritmética. Se, ao cotrário, fosse adicioado litro de água a jarra, essas gradezas, a mesma ordem, formariam uma rogressão geométrica. O valor de V é: a) 6 4 c) 9 d) 7 e) 5 0) (UFC-006) Seja f uma fução oliomial de rimeiro grau, crescete e tal que f(f(x)) 9x + 8, ara todo x real. Sabedo-se que, 5, 8,..., 44 é uma rogressão aritmética de razão, o valor umérico de f() + f(5) + f(8) +... + f(44) é: a) 00 065 c) 0 d) 85 e) 60 ) (UERJ-005) A figura acima areseta 5 retâgulos. Observe que quatro desses retâgulos cotêm úmeros e um deles, a letra. 0 65 75 0 Podem ser escritos, em todos os outros retâgulos, úmeros iteiros ositivos, de modo que, em cada liha e em cada colua, sejam formadas rogressões aritméticas de cico termos. Calcule: a) a soma dos elemetos da quarta liha da figura; o úmero que deve ser escrito o lugar de. ) (ITA-005) Seja a, a,... uma rogressão aritmética ifiita tal que ak k +., ara IN* Determie o rimeiro termo e a razão da rogressão. 4) (UERJ-998) Geraldo cotraiu uma dívida que deveria ser aga em restações mesais e iguais de R$ 500,00 cada uma, sem icidêcia de juros ou qualquer outro tio de correção moetária. Um mês aós cotrair essa dívida, Geraldo agou a ª restação e decidiu que o valor de cada uma das demais restações seria semre igual ao da aterior, acrescido de uma arcela costate de K reais, sedo K um úmero atural. Assim, a dívida oderia ser liquidada a metade do temo iicialmete revisto. a) Cosiderado t o temo, em meses, iicialmete revisto, t > e t - como um divisor ar de 000, 000 demostre que K t. Se a dívida de Geraldo for igual a R$ 9000,00, calcule o valor da costate K. 5) (Fatec-996) Num certo jogo de azar, aostado-se uma quatia X, tem-se uma das duas ossibilidades seguites: ) erde-se a quatia X aostada; ) recebe-se a quatia X. Uma essoa jogou vezes da seguite maeira: a rimeira vez, aostou cetavo; a seguda vez, aostou cetavos, a terceira vez, aostou 4 cetavos e assim or diate, aostado em cada vez o dobro do que havia aostado a vez aterior. Nas 0 rimeiras vezes, ela erdeu. Na ª vez, ela gahou. Comaradose a quatia total T or ela desembolsada e a quatia Q recebida a ª jogada, tem-se que Q é igual a: a) T T c) T d) T- e) T+ 6) (FGV-004) Seja a seqüêcia (a, a, a, a, ) tal que a log0 -, em que N*. O valor de a) 4 950 4 850 c) 5 050 d) 4 750 e) 4 650 00 a é: ) (UFRJ-999) Uma rogressão geométrica de 8 termos tem rimeiro termo igual a 0. O logaritmo decimal do roduto de seus termos vale 6. Ache a razão da rogressão. 7) (FGV-004) Dois amigos, Alfredo e Bruo, combiam disutar a osse de um objeto um jogo de "cara ou coroa". Alfredo laça moedas e Bruo moedas, simultaeamete. Vece o jogo e, coseqüetemete, fica com o objeto, aquele que coseguir o maior úmero de caras. Ocorredo emate, Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com
a exeriêcia será reetida, tatas vezes quatas forem ecessárias, até que haja um vecedor. Calcule: a) a robabilidade de que Alfredo veça a disuta a rimeira exeriêcia. a robabilidade de que Alfredo veça a disuta. 8) (Vues-004) Cosidere os úmeros comlexos w i e z ( + i). Determie: a) z e (w z + w), ode z idica o cojugado de z. z e w. Mostre que a seqüêcia (, z, w, zw, w ) é uma rogressão geométrica, determiado todos os seus termos e a sua razão. 9) (CPCAR-00) Um cadidato do CPCAR 00, rearado-se ara o teste de atidão física, exercita-se uma esteira ercorredo,8 km or dia. Para um treiameto meos casativo, ele iicia corredo a uma velocidade de km/h e a cada 0 miutos ele reduz a velocidade ela metade. É correto afirmar que a) o cadidato comleta o ercurso de,8 km em meos de 45 miutos. ara ercorrer a metade do ercurso de,8 km ele gasta mais de 0 miutos. c) aós 0 miutos, a velocidade atigida é de 6 km/h o míimo. d) aos 40 miutos ele ercorreu,5 km exatamete. 0) (UEL-00) A figura costruída segudo a seqüêcia abaixo é deomiada Esoja de Sieriski ou Esoja de Meger. Rereseta um fractal gerado a artir de um cubo. Partido-se do cubo iicial, obtêm-se outros cubos meores, com arestas iguais a da aresta a) c) d) e) 8 9 8 9 9 8 0 9 0 0 7 7 0 9 9 deste. O cubo cetral e os cubos do cetro de cada face são removidos. O rocedimeto se reete em cada um dos cubos meores restates. O rocesso é iterado ifiitas vezes, gerado a Esoja. Suodo que a medida da aresta do cubo iicial seja igual a m, qual é a área, em m, de uma face da figura 0? ) (Uicam-00) Cosidere o cojuto S { IN: 0 500}. a) Quatos elemetos de S são múltilos de e de 7? Escolhedo-se ao acaso um elemeto de S, qual a robabilidade de o mesmo ser um múltilo de ou de 7? ) (IME-996) Calcule a soma a seguir:....4 4.7 7.0 998.00 j (j ) ) (FGV-00) a) calcule. Obteha o 0 o termo da rogressão geométrica x x,,,... 4. 60 Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com
4) (PUC-SP-00) Os termos da seqüêcia (0, 8,, 9,, 0,,...) obedecem a uma lei de formação. Se a, em que seqüêcia, etão a 0 + a 55 é igual a a) 58 59 c) 60 d) 6 e) 6 5) (Uicam-994) Dada uma seqüêcia qualquer a 0, a, a,...,a, tem-se: j a 0 a (a (a 0 a ) + (a a ) +... + (a a ) j a j ) No caso em que a J j, essa idetidade assume a forma: ) j j (j 0 Use esta idetidade ara mostrar que: j j + +... + 6) (Uicam-994) Seja - um úmero comlexo tal que, ode é um úmero iteiro ositivo. Prove que, se for ar, a exressão - + - +... + (-) é igual a ; e, se for ímar, essa exressão é igual a. 7) (Fuvest-00) No lao cartesiao, os comrimetos de segmetos cosecutivos da oligoal, que começa a origem 0 e termia em B (ver figura), formam uma rogressão geométrica de razão, com 0 < <. Dois segmetos cosecutivos são semre erediculares. Etão, se OA, a abscissa x do oto B (x, y) vale: a) c) d) 4 6 6 6 e) 0 4 8) (Olimíada de Matemática Argetia-988) Dados os úmeros 7 e 5 determiar um terceiro úmero ositivo tal que, ao se efetuar de todas as maeiras ossíveis a soma de dois quaisquer deles multilicada elo restate se obteham três úmeros em rogressão aritmética. Idique todas as soluções. 9) (OMU-00) Cosidere as seqüêcias S + +... + e T. +. +... + ( + ). Calcule S 4, T 4 e T 4 - S 4. Ache tal que T - S 0. 0) (Uicam-998) Cosidere uma rogressão geométrica de termos ão-ulos, a qual cada termo, a artir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamete ateriores. a) Calcule os dois valores ossíveis ara a razão q dessa rogressão. 5 Suodo que o rimeiro termo seja e q > 0, calcule a soma dos três rimeiros termos dessa rogressão. ) (Uicam-990) Costruir "fractais o comutador corresode a um rocedimeto como o descrito a seguir. A artir de um triâgulo eqüilátero, de área A, acrescetamos o meio de cada lado um outro triâgulo eqüilátero de lado igual á um terço do aterior; aos lados livres destes triâgulos acrescetamos triâgulos de lados iguais a um terço dos ateriores e assim sucessivamete costruímos uma figura com uma ifiidade de triâgulos (veja o deseho). Calcule a área, em termos de A, da região determiada or esse rocesso. 4 Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com
) (Uirio-995) Dado um triâgulo retâgulo cujos catetos medem cm, costruímos um segudo triâgulo retâgulo ode um dos catetos está aoiado a hioteusa do rimeiro e o outro cateto mede cm. Costruímos um terceiro triâgulo com um dos catetos medido cm e o outro aoiado a hioteusa do segudo triâgulo. Se cotiuarmos a costruir triâgulos semre da mesma forma, a hioteusa do 5 o triâgulo medirá: a) 5cm. 5 cm. c) 4cm. d) 8cm. e) 8 cm. ) (Mack-996) Num araleleíedo retâgulo a soma das medidas de todas as arestas é 5 e a diagoal mede 9. Se as medidas das arestas estão em rogressão geométrica, etão o seu volume é: a) 6. 08. c) 8. d) 64. e) 7. geométrica cuja razão é q. Sabe-se que a b 7. Neste caso: a) Determie o rimeiro termo b em fução de q. Existe algum valor de ara o qual a b? c) Que codição e m devem satisfazer ara que a b m? 8) (Fuvest-998) 500 moedas são distribuídas etre três essoas A, B e C, setadas em círculo, da seguite maeira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cico, C seis, A sete, e assim or diate, até ão haver mais moedas suficietes ara cotiuar o rocesso. A essoa seguite, etão, receberá as moedas restates. a) Quatas foram as moedas restates e quem as recebeu? (Deixe exlícito como você obteve a resosta.) Quatas moedas recebeu cada uma das três essoas? 9) (Fuvest-998) A soma das frações irredutíveis, ositivas, meores do que 0, de deomiador 4, é: a) 0 0 c) 60 d) 80 e) 00 4) (UFC-996) Cosidere a seqüêcia (a ), a qual o roduto a.a.....a.! Determie a soma a + a +... +a 8. 5) (Uicam-modificada-990) Costruir "fractais o comutador corresode a um rocedimeto como o descrito a seguir. A artir de um triâgulo eqüilátero, de área A, acrescetamos o meio de cada lado um outro triâgulo eqüilátero de lado igual á um terço do aterior; aos segmetos livres destes triâgulos acrescetamos triâgulos de lados iguais a um terço dos ateriores e assim sucessivamete costruímos uma figura com uma ifiidade de triâgulos (veja o deseho). Calcule a área, em termos de A, da região determiada or esse rocesso. 6) (UFRS-0) Para e q iteiros e ositivos, a soma dos 00 rimeiros múltilos de é A e a soma dos 00 rimeiros múltilos de q é B. O valor de (A+B) é: a) 00q 00(+q) c) 500(+q) d) 5050(+q) e) 505q 7) (Fuvest-999) Seja (a ) uma rogressão geométrica de o termo a e razão q, ode q é um úmero iteiro maior que. Seja (b ) uma rogressão 40) (Fuvest-997) Do cojuto de todos os úmeros aturais, 00, retiram-se os múltilos de 5 e, em seguida, os múltilos de 6. Calcule a soma dos úmeros que ermaecem o cojuto. 4) (Fuvest-004) Um úmero racioal r tem reresetação decimal da forma r a a,a ode a 9, 0 a 9, 0 a 9. Suodo-se que:» a arte iteira de r é o quádrulo de a,» a, a, a estão em rogressão aritmética,» a é divisível or, etão a vale: a) c) 4 d) 6 e) 9 4) (UFBA-996) Em um araleleíedo retâgulo P, a altura h, a diagoal da base d e a diagoal D são, essa ordem, os termos cosecutivos de uma rogressão aritmética de razão r. Sedo a base do araleleíedo P um quadrado, ode-se afirmar: (0) h.d.d 60 cm (0) O volume de P é V 6 cm (04) A área total de P é S 4(4+ ) cm 5 Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com
(08) A área do círculo iscrito a base de P é S cm (6) O erímetro do triâgulo cujos lados coicidem com h, d, D é cm A resosta é a soma dos otos das alterativas corretas 4) (Fuvest-994) Na figura a seguir, A B, B A. Calcule a soma dos ifiitos segmetos: A B +B A +A B +B A +... 6 Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com
Gabarito ) a) - ) Alterativa: A ) a) 8 9 4) Alterativa: A 5) a) A área é cm. f(x) x + x +, x IN* Domíio: D IN* Cojuto imagem: Im {5,, 5,, x + x +, }, x IN* 6) S 0 6 ( + ) 6 7) a) b e r 5 5 a 0 9 5 c) S 0 500 8) Alterativa: A 9) Alterativa: D 0) Alterativa: B ) a) Soma dos elemetos da 4ª liha 5.75 75 65 x y 0 x z 75 0 x 75 z Na 4ª liha Na ª colua 6075 900 5 45 65 0 55 5 0 05 y 65 z x 75 65 x 65 x 5 ) O rimeiro termo é -, e a razão é. ) Razão 0 4) a) Dívida origial em t restações valor total 500t Com a mudaça em t restações valor total 500 + t K 500 + K + 500 + K + 500 + K+... + 500 + (t )K 50.t 8 000 Igualado os totais, obtemos: K t 000 500t 9000 t 8, etão K 8 5 5) Alterativa: E 6) Alterativa: A 7) a) 8 + 8. 4 + 8. 4 0 0 +. + ( ). +... (soma ifiita de PG) Na ª liha 65 x 0 x 4r r 65 x 65 x y x 8 8) a) i e -4 + 6i 7 Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com
z, w e a seqüêcia é (,,,, 4), que é uma rogressão geométrica de razão. 9) Alterativa: A 0) Alterativa: B ) a) os múltilos de e de 7 são múltilos de : são múltilos são (500 9 48) 48 úmeros o esaço amostral; desses, 60 são múltilos de ; 69 são múltilos de 7 e são múltilos comus de e 7, ou seja, temos (60 + 69 06) 06 úmeros o eveto edido. 06 Assim, P 48 000 ) Res: 00 Resolução: Observe que:.4 4 4.7 7.0... 4 7 7 0 998.00 998 00 A soma edida fica:....4 4.7 7.0 998.00 4 + 4 7 +...+ 998 00... 4 4 7 7 0 998 00 000 000 00 00 00 ) a) S + +... + 9 600 x 9 9 4) Alterativa: B Suodo que os termos de ordem ímar formem uma PA(0,,...) e o de ordem ar, formem outra PA(8, 9, 0,...) etão a 0 e a 55 7. Assim a soma é 59 OBS: Não há garatias que a seqüêcia aresetada seja formada or duas PA itercaladas. Isso foi assumido como a rovável iteção do autor da questão. Mas, a rigor, a seqüêcia aresetada oderia ter qualquer úmero como a 0 e a 55...e etão a questão ficaria sem resosta. 5) Seja S o somatório edido: S j Do euciado, temos que ) j j j (j 0 Etão, (j ) j j j) j j j j j j j + j j j j j j (j + j j + j - S + (+++...+) ( ) (++...+) S + Isolado S, temos S 6) - + - +... + (-) é a soma dos + rimeiros termos da PG de a e q -, ortato - + - +... + (-) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Assim, se for ar, e ( ) ( ) ( ) ( ) se for ímar, 7) Alterativa: D 8) Seja x o terceiro úmero, temos etão seis ossibilidades: 8 Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com
) x 7(x + 5) 5(x + 7), etão a razão, calculado a difereça etre os últimos termos, seria 8x, or outro lado, calculado etre os dois rimeiros, seria 05-5x, logo 05-5x 8x, e x 05/. ) 7(x + 5) x 5(x + 7), etão or um lado a razão deveria ser 05-7x, e or outro 5x - 05, assim 05-7x 5x - 05, etão x 05/. ) 7(x + 5) 5(x + 7) x, etão teríamos elo mesmo argumeto 7x - 05 8x, logo x -05, que ão covém. 9) a) S 4 + 4 + 9 + 6 0. T 4 + 6 + + 0 40. T 4 - S 4 0. ( ) T S (i )i i i i i. Assim + - 40 0, logo ( - 0)( + ) 0, assim 0. sim, 5 c) m 5 8) a) B recebeu as 4 moedas restates. A: 76 B: 59 C: 65 9) Alterativa: E 40) S 000-400 - 66 + 60 64 4) Alterativa: E Se a aarte iteira de r é o quádrulo de a, etão 0a + a 4.a. Cosiderado que a, a,a estão em PA, etão a a + a. Isolado a a a equação e substituido a a, temos que a a. Etão, a é ar, e, coforme o euciado, divisível or. Assim, a 6 e a 9. 4) V - F - F - V - V + 8 + 6 5 5 0) a) q S -- 5 5 ou q 4) Temos PGs ifiitas de razão 4/9, uma iiciado em A B e eglobado aeas os segmetos verticais e outra iiciado em B A eglobado os icliados. A soma das duas PGs resulta em S 9. ) Excetuado-se o o triâgulo (de área A), as áreas dos demais formam uma PG ifiita de razão /9 e cuja soma ifiita é A/7. Desta forma, a soma total das áreas é A+ A/7 0A/7 ) Alterativa: D ) Alterativa: E 4) a, a 4, a 6,...a 8 6, ortato a soma a +...+a 8 7 5) Excetuado-se o o triâgulo (de área A), as áreas dos demais formam uma PG ifiita de razão 9 4 e cuja soma ifiita é 5 A. Desta forma, a soma total das áreas é A+ 5 A 8 5 A. 6) Alterativa: D A +++4+...+00 (+++...+00) (00).00 5005 B q+q+q+4q+ +00q q(+++ +00) 5005q A+B 5005(+q) 7) a) b q 4 9 Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com