Itegrção Numéric Aálise Numéric Artur Miguel Cruz Escol Superior de Tecologi Istituto Politécico de Setúbl 015/016 1 1 versão 13 de Juho de 017
1 Itrodução Clculr itegris é muito mis difícil do que clculr derivds. O cálculo ds derivds pode ser sistemtizdo com recurso à regr d derivção d fução compost. Nos itegris tl sistemtizção ão é possível e são cohecidos diversos itegris que ão se coseguem clculr com recurso às primitivs: e x Distribuição Norml (Probbiliddes) t 3 dt Modelo de Debye (Termodiâmic). e t 1 A itegrção uméric proxim o vlor do itegrl trvés de técics de álise uméric, omedmete pr o cálculo do itegrl defiido f (x). O objectivo é proximr fução f por um fução p simples de primitivr (usulmete um fução poliomil): f (x) p(x). O erro bsoluto que se comete com tl proximção é b E = f (x)d p(x) = [f (x) p(x)]. No osso estudo, ir-se-á ver os csos em que se proxim fução itegrd f por poliómios e em que se usm s técics de iterpolção poliomil. Regrs dos rectâgulos A regr dos rectâgulos proxim fução itegrd por um costte (um poliómio de gru 0). Regr do rectâgulo à esquerd f (x) f () = (b )f ().
Note-se que se f é difereciável em [,b], etão f (x) = f ()+f (c)() pr um certo c ],x[ (Teorem de Lgrge). Logo, f (x) f () = f (c)() mx f (x) x [,b] [ = mx x [,b] f (x) () () = 1 (b ) mx x [,b] f (x). Ou sej, um mjorte do erro cometido o plicr regr do rectâgulo à esquerd é ddo por Regr do rectâgulo à direit E L 1 (b ) mx x [,b] f (x). f (x) f (b) = (b )f (b). ] b.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5.0.5 3.0 Com um demostrção álog à d regr do rectâgulo à esquerd, prov-se que um mjorte do erro cometido o cso de se plicr regr do rectâgulo à direit é Regr do poto médio f (x) E R 1 (b ) mx x [,b] f (x). +b f = (b )f ( +b ). 3
Pr obter um mjorte do erro cometido o plicr regr do poto médio, utilizse fórmul de Tylor de f, em +b, com resto de ordem um, desde que f C ([,b]). +b f (x) = f +f ( +b pr um certo c ],x[. Etão, [ ] +b +b b f (x) f = f Logo, [ f (x) f = f ( +b ( +b = f + f (c) )( +b ( +b ) [ ( +b ) +f (c) ) ] b ) [ b +b +b ( +b ) ) + f (c) + ( +b f (c) ) ], +b +b +b 1 [ = f (b ) ( b) ] b + f (c) +b = f (c). ] +b = f (c) mx x [,b] f (x) = mx f (x) x [,b] +b +b [( +b 6 ) 3 ] b +b ou sej, [ f (x) f ] +b 1 4 (b )3 mx x [,b] f (x). 4
Regrs de itegrção composts Com vist reduzir o erro cometido plicção ds regrs teriores, o itervlo de itegrção pode ser subdividido em diferetes subitervlos, hbitulmete de idêtico comprimeto, de form repetidmete se plicrem os lgoritmos de itegrção e ssim obter s chmds regrs de itegrção composts. Supoh-se que [, b] se ecotr subdividido em subitervlos de idêtico comprimeto h Assim, h = x i+1 x i = b, i = 0,..., 1. x i = +ih, i = 0,..., e regr do rectâgulo à esquerd compost é 1 f (x) = xi +h x i 1 f (x) h f (x i ). O mjorte do erro cometido o cálculo de cd itegrl E Ri 1 ( b xi +h ) mx x [x i,x i +h] f (x), i = 0,..., 1. x i f (x), é ddo por Assim, um mjorte E C R do erro totl cometido será 1 ER C 1 ( b mx x [,b] f (x) 1 mx x [x i,x i +h] f (x) b = 1 (b ) mx f (x). x [,b] Alogmete deduz-se s outrs regrs de itegrção composts. Pr subitervlos, h = b, tem-se que: Regr do rectâgulo à esquerd compost 1 f (x) h f (x i ) Se f difereciável em [,b] : ER C 1 (b ) mx f (x). x [,b] 5
Regr do rectâgulo à direit compost f (x) h f (x i ) Se f difereciável em [,b] : ER C 1 (b ) mx x [,b] f (x). i=1 Regr do poto médio compost 1 f (x) h f ( x i + h ) Se f é de clsse C em [,b] : EM C 1 (b ) 3 mx f (x). 4 x [,b] Exemplo. Estime-se o vlor de 1 0 se x plicdo regr do poto médio utilizdo 5 itervlos de igul comprimeto e obteh-se um mjorte do erro cometido. Tem-se que, h = 1 5 e x 0 = 0, x 1 = 1 5, x = 5, x 3 = 3 5 e x 4 = 4 5. Logo, 1 0 sex 1 5 4 = 1 [ se 5 0.46046 ( se x i + 1 ) 10 1 10 ] 3 5 7 9 +se +se +se +se 10 10 10 10 e EM C 1 (1 0) 3 0.85 1.4167 10 3. 4 5 6
3 Regr do trpézio A regr do trpézio proxim fução itegrd por um fução poliomil de gru um, ou sej f (b) f () f (x) p(x) = f ()+ () b em que Logo f (x) [ p() = f () p(b) = f (b). [ ] f (b) f () f ()+ () b f ()x+ f (b) f () b () f (b) f ()(b ) f ()(b )+ b f ()+f (b) (b ). Se f C ([,b]), um mjorte do erro cometido é: E T 1 1 (b )3 mx f (x). x [,b] No cso de plicr-se repetidmete regr do trpézio subitervlos de [,b] com mplitude h = b, obtém-se Regr do trpézio compost e correspodete fórmul de mjorção do erro cometido: Regr do trpézio compost f (x) h [f (x 0)+f (x 1 )+ +f (x 1 )+f (x )], Se f é de clsse C em [,b] : ET C 1 (b ) 3 mx 1 x [,b] f (x). ] b 7
4 Regr de Simpso N regr de Simpso fução itegrd é proximd por um fução poliomil de gru. Note-se que pr determir este poliómio o itervlo [, b] usm-se os ós, +b e b. Ou sej, o itervlo de itegrção se ecotr prticiodo em dois subitervlos de idêtico comprimeto (h = b ). Etão, f (x) b [ ] +b f ()+4f +f (b). 6 Se f C 4 ([,b]), um mjorte do erro cometido é ddo por E S (b )5 880 mx f (4) (x). x [,b] Ao plicr-se regr de Simpso um úmero pr de subitervlos de [,b], de mplitude h = b, obtém-se Regr de Simpso compost: Regr de Simpso compost f (x) h 3 [f (x 0)+4f (x 1 )+f (x )+4f (x 3 )+ +f (x )+4f (x 1 )+f (x )], Se f é de clsse C 4 em [,b] : E C S (b )5 mx f (4) (x). 180 4 x [,b] Note-se que em cd itervlo defiem-se os três potos de iterpolção ecessários. Neste gráfico usrm-se 8 itervlos em vez dos 15 itervlos usdos os gráficos teriores. 8
Exemplo. Clcule-se 5 1 x x+1 plicdo regr dos trpézios e regr de Simpso utilizdo 4 itervlos equidisttes. Estime mjortes dos erros cometidos. Com 4 itervlos equidisttes result: x i = 1+hi com i = 0,...,4 e h = 1. Assim, pel regr do trpézio: 5 Pel regr de Simpso: Note-se que 1 5 1 x x+1 h [f (x 0)+f (x 1 )+f (x )+f (x 3 )+f (x 4 )] = 1 ( 1 + 4 3 + 6 4 + 8 5 + 5 ) 6 = 173 60.8833. x x+1 h 3 [f (x 0)+4f (x 1 )+f (x )+4f (x 3 )+f (x 4 )] = 1 ( 1 3 + 8 3 + 3 + 16 5 + 5 ) 6 = 9 10 =.9. ( ) x x+1 (4) x x+1 = = (x+1) 3, 4 (x+1) 5. Como qulquer um dests fuções é decrescete (o itervlo idicdo) o respectivo máximo ocorre em x = 1. Assim, os mjortes são e E C T E C S (5 1)3 1 4 3 8.4 10 (1+1) (5 1)5 180 4 4 4 (1+1) 5 1.7 10. 9
5 Fórmuls de Newto-Cotes As fórmuls de itegrção uméric em que se substitui fução por um poliómio e em que se utilizm os potos igulmetes espçdos, deomim-se por fórmuls de Newto-Cotes e são crcterizds por expressões do tipo f (x) A k f (x k ). Os coeficietes A k, k = 0,...,, chmm-se de coeficietes de poderção. Ests fórmuls, tmbém cohecids como fórmuls de qudrtur, podem ser deduzids recorredo o poliómio iterpoldor de Lgrge P (x) = k=0 L k (x)f (x k ) k=0 o itervlo [,b] e os +1 ós equidisttes Dest form, com I = = x 0 < x 1 <... < x = b. = = k=0 f (x) P (x) f (x k ) L k (x) A k f (x k ), k=0 A k = L k (x). Como exemplo, demostre-se regr de Simpso. Deduz-se o poliómio iterpoldor de gru meor ou igul dois que tem seguite árvore de suporte: ( ) +b +b (,f ()),,f e (b,f (b)). Os correspodetes poliómios de Lgrge são +b (b) L 0 (x) = +b ( b) ()(b) L 1 (x) = ( +b )( +b b ) L (x) = () +b (b ). b +b 10
Logo, A 0 = A 1 = A = L 0 (x) = L 1 (x) = L (x) = +b (b) = 1 +b ( b) 6 (b ) ()(b) ( +b )( +b () +b b ) = 3 (b ) (b ) ( b +b ) = 1 6 (b ) e regr de Simpso é f (x) 1 6 (b )f ()+ +b 3 (b )f + 1 (b )f (b), 6 isto é, f (x) 1 +b [f 6 (b ) ()+4f ] +f (b). 11