INE5403 - Fundmentos de Mtemátic Discret pr Computção 6) Relções de Ordenmento 6.1) Conjuntos Prcilmente Ordendos (Posets( Posets) 6.2) Extremos de Posets 6.3) Reticuldos 6.4) Álgers Boolens Finits 6.5) Funções Boolens
Elementos extremos de posets Definição: : Considere o poset (A, ) ) com ordem prcil.. Então: ) Um elemento A é chmdo de um elemento mximl de A se não existe c A c A tl que <c ( c, c). ) Um elemento A é chmdo de um elemento miniml de A se não existe c A c A tl que c< (c, c ). c Exemplos: 1. (Z( +, ): elemento miniml: : 1, mximl: : não tem 2. (R, ): elemento miniml: : não tem, mximl: : não tem 3. ({1,2,3,4}, ): elemento miniml: : 1, mximl: : 4 4. ({1,2,3,4}, ): elemento miniml: : 4, mximl: : 1
Elementos extremos de posets Exemplo: : Considere o poset A com o digrm de Hsse ixo: 3 1 2 1 2 3 1, 2 e 3 são elementos mximis de A 1, 2 e 3 são elementos minimis de A
Elementos extremos de posets Exemplo: : Quis elementos do poset ({2,4,5,10,12,20,25}, ) são mximis e quis são minimis? 12 20 4 10 25 2 5 Elementos mximis: : 12, 20 e 25. Elementos minimis: : 2 e 5. Note que um poset pode ter mis do que um elemento mximl e mis do que um elemento miniml.
Elementos extremos de posets Teorem: : Sej (A, ) ) um poset finito e não vzio com ordem prcil.. Então A tem pelo menos um elemento mximl e o menos um elemento miniml. Prov: Sej A. Se não é mximl,, então pode-se chr 1 A com < 1. Se 1 não é mximl então pode-se chr 2 A A com 1 < 2. Este rgumento não pode ser continudo indefinidmente, pois o conjunto A é finito. Assim, eventulmente será formd seguinte cdei: < 1 < 2 < 3 <... < k-1 < k Não é possível encontrr mis lgum A A tl que k <. Logo, k é um elemento mximl de (A, ). 5
Algoritmo pr ordenção topológic de posets Com o conceito de elementos minimis,, pode-se estelecer um lgoritmo pr encontrr um ordenção topológic de um ddo poset finito (A, ). O lgoritmo ixo produz um vetor chmdo SORT que stisfz: SORT[1] < SORT[2] <... A relção < sore A definid dest form é um ordenção topológic de (A, ). Algoritmo SORT: 1. I 1 2. S A 3. Enqunto S. Escolh um elemento miniml do conjunto S. SORT[I] c. I I+1 d. S S - {}
Algoritmo pr ordenção topológic de posets Exemplo: : Sej A={,,c,d,e} e sej o digrm de Hsse de sore A ddo por: c SORT d e
Algoritmo pr ordenção topológic de posets Exemplo (cont.): : Sej A={,,c,d,e} e sej o digrm de Hsse de sore A ddo por: Psso 1: c e d SORT
Algoritmo pr ordenção topológic de posets Exemplo (cont.): : Sej A={,,c,d,e} e sej o digrm de Hsse de sore A ddo por: Psso 2: c d e SORT
Algoritmo pr ordenção topológic de posets Exemplo (cont.): : Sej A={,,c,d,e} e sej o digrm de Hsse de sore A ddo por: Psso 3: SORT d e c 10
Algoritmo pr ordenção topológic de posets Exemplo (cont.): : Sej A={,,c,d,e} e sej o digrm de Hsse de sore A ddo por: Psso 4: SORT d e c
Algoritmo pr ordenção topológic de posets Exemplo (cont.): : Sej A={,,c,d,e} e sej o digrm de Hsse de sore A ddo por: Psso 5: SORT d e c c e d
Elementos extremos de posets Definição: : Sej o poset (A, ). Então: 1) Um elemento A é chmdo de um mior elemento de A se pr todo A 2) Um elemento A é chmdo de um menor elemento de A se pr todo A. Not: : Ddo um poset (A, ), um elemento A é um mior (ou menor) elemento se e somente se ele é um menor (mior) elemento do poset dul (A, ).
Elementos extremos de posets Exemplo: : Determine se os posets representdos por cd um dos digrms de Hsse ixo possuem um mior elemento e um menor elemento. c d d (A) (B) (C) (D) e d d e c c c (A): menor elemento é, não tem mior elemento (B): não tem menor nem mior elemento (C): não tem menor elemento, mior elemento é d (D): menor elemento é, mior elemento é d
Elementos extremos em posets Exemplo: : Sej A um conjunto. Determine se há um mior elemento e um menor elemento no poset (P(A), ). ). Solução: O menor elemento é o conjunto vzio, pois T pr qulquer suconjunto T de A. O próprio prio conjunto A é o mior elemento deste poset,, pois T A sempre que T é um suconjunto de A. Exemplo: : Há um mior elemento e um menor elemento no poset (Z +, )? Solução: o inteiro 1 é o menor elemento, pois 1 n sempre que n é um inteiro positivo. Não há mior elemento, pois não existe inteiro que sej divisível l por todos os inteiros positivos. 15
Elementos extremos em posets Definição: : Sejm um poset (A, ) e um suconjunto B A. Então: ) um elemento A é chmdo de um cot superior ( upper ound ) ) de B, se:, pr todo B ) um elemento A é chmdo de um cot inferior ( lower ound ) ) de B, se:, pr todo B.
Elementos extremos em posets Exemplo: : Sej o poset A={,,c,d,e,f,g,h} com o digrm de Hsse ixo. Ache tods s cots superiores e inferiores dos seguintes suconjuntos de A: ) B 1 = {,} ) B 2 = {c,d,e} f h g B 1 não tem cots inferiores sus cots superiores são: c,d,e,f,g,h d c e s cots superiores de B 2 são: f,g,h sus cots inferiores são: c,,
Elementos extremos em posets Exercício: : Encontre s cots superiores e inferiores dos suconjuntos {,,c},{j,h} e {,c,d,f} no poset cujo digrm de Hsse é ddo por: g d h j f e c cots superiores de {,,c}: e,f,j,h únic cot inferior: não há cots superiores de {j,h} sus cots inferiores são:,,c,d,e,f cots superiores de {,c,d,f}: f,h,j su cot inferior é:
Elementos extremos em posets Oservções: Note que um suconjunto B de um poset pode ou não ter cots inferiores ou superiores (em A). Além isto, um cot superior ou inferior de B pode ou não pertencer o próprio B.
Menor cot superior / Mior cot inferior Definição (1): Um elemento x é chmdo de Menor Cot Superior (LUB - Lest Upper Bound ) de um suconjunto A se x é um cot superior menor do que qulquer outr cot superior de A. ou sej, x será menor cot superior de A se: x pr todo A A e x z pr todo z que sej um cot superior de A Definição (2): Um elemento y é chmdo de Mior Cot Inferior (GLB - Gretst Lower Bound ) de A se y é um cot inferior de A e z y pr todo z que sej um cot inferior de A 20
Menor cot superior / Mior cot inferior Exemplo: : Sej o poset A={,,c,d,e,f,g,h} com o digrm de Hsse ixo. Ache todos os LUBs e GLBs de: ) B 1 = {,} ) B 2 = {c,d,e} f h g Como B 1 não tem cots inferiores, tmém não terá GLBs LUB(B 1 ) = c d c e Como s cots inferiores de B 2 são c,,, temos que GLB(B 2 ) = c As cots superiores de B 2 são f,g,h - então, como f não é comprável com g, concluímos que B 2 não tem LUB
Menor cot superior / Mior cot inferior Exercício: : Encontre LUB e GLB de {,d,g}, se els existirem, no poset cujo digrm de Hsse é: g d h j f e s cots superiores de {,d,g} são: g,h então, como g<h, g é menor cot superior (LUB) c s cots inferiores de {,d,g} são:, então, como <, é mior cot inferior (GLB)
Menor cot superior / Mior cot inferior Exemplo: : Encontre menor cot superior e mior cot inferior dos conjuntos {3,9,12} e {1,2,4,5,10}, se els existirem, no poset (Z +, ). Solução: GLBs (miores cots inferiores): um inteiro é um cot inferior de {3,9,12} se 3,9, e 12 forem divisíveis por este inteiro os únicos inteiros deste tipo são 1 e 3 então, como 1 3, 3 é mior cot inferior de {3,9,12} únic cot inferior do conjunto {1,2,4,5,10} é o 1 portnto, 1 é mior cot inferior pr {1,2,4,5,10}
Menor cot superior / Mior cot inferior Exemplo (cont.): : Encontre menor cot superior e mior cot inferior dos conjuntos {3,9,12} e {1,2,4,5,10}, se els existirem, no poset (Z +, ). LUBs (menores cots superiores): um inteiro é um cot superior de {3,9,12} sse ele for divisível por 3, 9 e 12. os inteiros com est propriedde são queles divisíveis veis pelo mmc de 3, 9 e 12, que é 36. então, 36 é menor cot superior de {3,9,12} um inteiro é um cot superior pr o conjunto {1,2,4,5,10} sse ele for divisível vel por 1,2,4,5,10 os inteiros com est propriedde são queles divisíveis veis pelo mmc de 1,2,4,5,10, que é 20. então, 20 é menor cot superior de {1,2,4,5,10}
Elementos extremos de posets Teorem: : Sej (A, ) ) um poset.. Então um suconjunto B qulquer de A tem no máximo m um LUB e um GLB. Teorem: : Suponh que (A, ) ) e (A, ) ) são posets isomorfos so o isomorfismo f:a A.. Então tem-se que: ) se é um elemento mximl (miniml)) de (A, ), então f() é um elemento mximl (miniml)) de (A, ); ) se é o mior (menor) elemento de (A, ), então f() é o mior (menor) elemento de (A, ); c) se é um cot superior (inferior) de um suconjunto B de A, então f() é um cot superior (inferior) do suconjunto f(b) de A A d) se todo suconjunto de (A, ) ) tem LUB (GLB), então todo suconjunto de (A, ) ) tem um LUB (GLB). 25
Elementos extremos de posets Exemplo: : Mostre que os posets (A, ) ) e (A, ), cujos digrms de Hsse estão mostrdos ixo, não são isomórficos rficos. ' ' c c' Solução: : Os 2 posets não são isomórficos porque (A, ) ) possui um mior elemento, enqunto que (A, ) ) não possui um mior elemento. Tmém m se pode rgumentr que eles não são isomórficos porque (A, ) ) não tem um menor elemento enqunto que (A, ) ) tem.