IUITOS ESSONANTES ENTO FEDEA DE EDUAÇÃO TENOÓGIA DE MINAS GEAIS PÁTIA DE ABOATÓIO DE TEEOMUNIAÇÕES POF: WANDE ODIGUES - 3 o e 4 o MÓDUOS DE EETÔNIA - 003 EPEIÊNIA N o TÍTUO: IUITOS ESSONANTES Os cicuios que apesenam uma vaiação macane em suas caaceísicas de esposa sobe uma faixa de feqüência são chamados de cicuios sinonizados ou cicuios essonanes, e esse fenômeno é conhecido como essonância. Os cicuios sinonizados são usualmene uilizados em odas as siuações onde exisem a necessidade de disciminação ene sinais de difeenes feqüências. Em ádio, ou TV, os cicuios sinonizados são uilizados paa sepaa os sinais das esações ansmissoas. 0 - essonância séie Invesigaemos o ão conhecido fenômeno da essonância séie. eminais ab é: onsidee o cicuio séie da FIG. 0. A impedância da pae à dieia dos Z ab j Equação 0 Em uma feqüência angula w o emo eaivo seá igual a zeo e a impedância, com caaceísica puamene esisiva. Esa condição é conhecida como essonância séie, e w ou w o ou f é a sua feqüência de essonância angula ou fe- EFET-MG
IUITOS ESSONANTES qüência de essonância. Figua 0 - icuio Séie. dos eminais ab, é: Na foma pola, a expessão geal paa a impedância, "olhando" a pai Z ab g Equação 0 e a coene seá: I E ( ) Z g Z ab I g E j ( ) Equação 03 Se a esisência do geado (g 0), enão: I E Z ab Da equação 0 podemos ve que Z ab exibiá uma impedância mínima igual a ohms. Se a fone de impedância g é puamene esisiva, como indicado, enão a coene esá em fase com a ensão aplicada. EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 3 Se g é difeene de zeo ele pode se adicionado a paa fonece um cicuio equivalene oal, como segue: Equação 04 g A feqüência de essonância séie pode se expessa em emos dos paâmeos do cicuio igualando-se o emo eaivo da equação 0 a zeo, como segue: 0 0 Equação 05 o Equação 06 f f f o π Equação 07 Noa-se que w é independene da esisência do cicuio e depende apenas dos valoes de e de. O esiso epesena a esisência oal ene os ponos ab. Iso inclui a esisência do enolameno mais a esisência A que depende das pedas no núcleo e do efeio Skin ou peculia. Uma epesenação da maneia pela qual j, -j e j( - ) vaiam com a feqüência esá mosada na FIG. 0. Paa w, a disância posiiva é igual à disância negaiva, e a eaância esulane é zeo. A maneia pela qual a coene vaia com a feqüência é a conhecida uva de essonância, mosada na FIG. 03. A coene é máxima paa w, poque Z ab é mínima e igual a, se g 0. EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 4 Figua 0 - Vaiação da eaância com a feqüência. Figua 03 - uva de essonância. EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 5 0 - agua de faixa de um cicuio essonane séie Seia ineessane emos algum meio de desceve a inclinação da uva de essonância, uma vez que isso indicaia com que pecisão podeíamos selecionamos uma feqüência desejada dene as feqüências adjacenes. O méodo usado esá baseado nas seguines consideações: Na essonância, a poência dissipada em um cicuio essonane esá em um máximo. Exisião enão duas feqüências, uma de cada lado de f, onde a poência dissipada é a meade da poência na essonância. Essas duas feqüências são chamadas feqüência supeio (f ) e feqüência infeio (f ) de meia poência. embe-se que, quando falamos de poência, esamos nos efeindo à poência eal que é dissipada nos elemenos esisivos. Paa f : P I x P Em f P Todavia, I x I x I I 0, 707 x I De maneia simila podemos mosa que paa f, I I 0, 707 x I Agoa pode se desejável deemina a lagua de faixa do cicuio sinonizado pela inspeção dos paâmeos, ao invés de medidas dieas em um cicuio eal. Podemos facilmene esabelece as popoções seguines, uma vez que emos desenvolvida a elação ene I na feqüência de essonância, I e I na feqüência de meia poência I. O índice é usado paa designa um pono de meia poência EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 6 ocoendo em w e w. I I I I E E Equação 08 esolvendo paa a elação ene e, obemos: ± Noamos que a eaância esulane é igual à esisência esulane nos ponos de meia poência. Isso ambém nos mosa que o ângulo de fase é de mais ou menos 45 o. Paa w, o cicuio compoa-se como induivo e o ângulo de fase é 45 o enquano que paa w a eaância esulane é capaciiva e a coene avança 45 o em elação à ensão. A eaância esulane pode se expessa em emos de, e w como segue: ± ± ± 0 EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 7 Poano ± ± 4 Uma vez que o adical é visivelmene muio maio que, o caso onde o adical é pecedido po um sinal negaivo esulaá em uma feqüência negaiva. Uma feqüência negaiva é sem impoância paa nós e nesse caso é desconsideado. om apenas o sinal posiivo anes do adical, emos duas feqüências possíveis: ± 4 As duas aízes são enão: π f 4 π f 4 Temos agoa ês fómulas desenvolvidas, que nos pemiem deemina a feqüência de essonância e as feqüências de meia poência, em emos dos paâmeos do cicuio. A faixa de feqüência ene w e w é denominada agua de Faixa, B w. O que significa que B w w - w. Uma palava de aenção nesa opounidade: a quanidade inclui as esisências do geado e da bobina. A esisência da bobina vaia com a feqüência, devido ao efeio Skin ec., o que significa que devida a ambém vaia com a feqüência. O valo de não seá necessaiamene o mesmo em f, f, ou f. Emboa a esisência A da bobina vaie com a feqüência, a elação ene a eaância e a esisência da bobina pemanece consane apoximadamene deno da lagua de faixa, na maioia dos casos. omo aumena com a feqüên- EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 8 cia, da mesma foma que, a elação de paa pemanece apoximadamene consane. A quanidade / é conhecida como sendo o da bobina, ou e pemie-nos analisa de foma conveniene o cicuio sinonizado. Enquano os fabicanes de bobinas não êm comumene gáficos de vesus feqüência, as cuvas de vesus feqüência são facilmene disponíveis. Vejamos se podemos elaciona as feqüências de essonância e de meia poência dieamene com os paâmeos do cicuio. Se muliplicamos w e w, o esulado é: 4 4 Mas ; Poano Ou f f f. Iso é o mesmo que esceve f f f f Equação 09 O emo lagua de faixa, como emos usado aé agoa, não nos diz ealmene muio, a menos que a feqüência de essonância seja especificada. Po exemplo, se você dissesse que a lagua de faixa de um cicuio essonane séie é de 00 Hz, podeia assegua que o cicuio é ambém de caaceísicas aguda de sinonia? eamene, não. Se f é 500 Hz, 00 Hz seia uma gande pocenagem de f, esulado em uma cuva achaada de esposa, baixa seleividade. Se f fosse MHz, a sinonia seia muio aguda. Poano, o que ealmene necessiamos como um indicado de méio, paa julgamos a seleividade de um cicuio sinonizado, é a elação de lagua de faixa com a feqüência de essonância. Esa elação algumas vezes efeida po unidade de lagua de faixa ou apenas po lagua de faixa EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 9 (B w ). Podemos, assim, defini: f f f po unidade de B w Equação 0 e como lagua de faixa. Poano, vamos desenvolve uma elação simples ene a expessão aneio e os paâmeos do cicuio. Mosamos que: 4 Equação 4 Equação Equação 3 Em geal, f - f é difeene de f - f. Ou seja, as feqüências de meia poência não são igualmene espaçadas em elação à feqüência de essonância. Se odavia, o oal do cicuio () é 0, o eo é despezível e as feqüências de meia poência podem se consideadas igualmene espaçadas de f. Poano se conhecemos o do cicuio, podemos esceve, quando 0: B w Equação 4 B w Equação 5 Se o do cicuio é ceca de 0 ou mais, a ensão aavés de ou seá ambém máxima em w e apesenaá uma cuva de esposa de feqüência simila EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 0 aquela da coene. A mesma lagua de faixa, e ouas elações podem se usadas. Po exemplo, o do cicuio pode se avaliado medindo ponos de ensão igual a 0,707 da ensão máxima. 03 - AUMENTO DA TENSÃO ESSONANTE: Um fenômeno ineessane e úil elacionado com os cicuios essonanes séie é o gande aumeno da ensão que ocoe aavés de e paa w quando é gande. Podemos pova ese fao da seguine maneia. A ampliude da ensão aavés do capacio é E c I., mas na essonância I I E/. Poano, E c E. /, mas paa w, ou E E / E, Equação 6 onde é o do cicuio na essonância. Noavelmene, a ensão no induo ou capacio na essonância pode se vezes maio do que a ensão aplicada. Se uma ensão de 0 Vols é aplicada a um cicuio essonane séie endo um 00, a ensão no induo ou capacio seá de 000 Vols. uando cicuios desse ipo são pojeados, a ensão de abalho do capacio deve se deeminada nessa base. ealmene, w não é exaamene a feqüência paa a qual E ou E c é um máximo, mas a difeença é pequena, se é maio ou igual a 0. A feqüência exaa paa a qual E c é um máximo é: Equação 7 que esula apoximadamene abaixo de w. Se 0, essa feqüência é essencialmene a mesma que w e a ensão máxima do capacio seá apoximadamene igual à ensão do capacio na essonância. EFET-MG
IUITOS ESSONANTES A ensão aavés da bobina na essonância ( E ) é complicada pelo fao que em uma esisência ( ) associada. Poano, usaemos Z ao invés de. Z ( ) uma vez que não é usualmene especificada, mas é especificada, podemos esceve: Z Z E I Z E E E E E quando 0 Equação 8 A feqüência exaa paa a qual a ensão da bobina é máxima é ligeiamene supeio a e é dada po: Equação 9 oua vez, se é maio ou igual a 0, a ensão da bobina pode se consideada máxima paa w. Uma noa de alea: Sempe que você fize qualque cálculos envolvendo o da bobina nas poximidades de w, eseja ceo de usa o valo de coespon- EFET-MG
IUITOS ESSONANTES dendo a w. pode vaia lagamene sobe uma gande faixa de feqüências, e poano, é melho medi o da bobina paa a feqüência de ineesse, ou usa os dados do fabicane, que podem epesena vesus feqüência. 04 ANTI-ESSONÂNIA PAAEA Invesigaemos, em seguida, o fenômeno da essonância paalela, ou ani-essonância, como ele é algumas vezes chamado. O cicuio da FIG. 04 ilusa compleamene um cicuio geal ani-essonane. A impedância visa, olhando a pai dos eminais de enada pode vaia muio, dependendo do dos cicuios induivos e capaciivos. Paa feqüências abaixo da feqüência de essonância, a impedância do amo induivo é pequena e uma gande coene fluiá aavés da bobina. A coene aavés do amo capaciivo seá pequena, poque é gande paa baixas feqüências. A coene da linha fluindo nos eminais é, poano, gande. Em alas feqüências, o amo induivo ofeece uma ala impedância, mas o amo capaciivo em uma baixa impedância, novamene, a coene da linha é elaivamene ala. ualque feqüência inemediáia, a impedância de enada seá maio e a coene da linha seá mínima. Essa não é necessaiamene a mesma feqüência paa a qual a coene esá em fase com a ensão aplicada. Se fo baixo, da odem de 5, mesmo assim, o eo esá em ono de,0 % e, poano, a impedância máxima seá consideada como que ocoendo à mesma feqüência, que esula em um fao de poência uniáio. Enão paa uma deeminada feqüência que nós definimos como a feqüência ani - essonane (f a ), a impedância visa a pai dos eminais de enada é puamene esisiva. Nosso pimeio objeivo é deemina como esa feqüência esá elacionada com os paâmeos do cicuio. EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 3 EFET-MG Figua 04 - icuio essonane paalelo. Uma vez que esamos aando com um cicuio paalelo, é mais conveniene abalha com as admiâncias. en en j j Z Z Z Y acionalizando cada emo, obemos: l en j j Y Sepaando, e enão agupando as componenes esisivas e eaiva, en j Y Paa Y en se puamene esisiva, a componene eaiva (suscepância) de Y en deve se nula. Poano, vamos iguala a suscepância a zeo e esolve paa aquele valo de w, paa o qual a afimação aneio é vedadeia.
IUITOS ESSONANTES 4 EFET-MG 0 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 0 4 Faoando w foa de cada emo, emos: ( ) 0 Expandindo e coleando os emos, 0 ( ) A Equação0 Noa-se que a feqüência ani-essonane paalela é ealmene dependene das esisências do cicuio. Nos cicuios séie, a feqüência de essonância ea independene das esisências do cicuio. A equação 0 é basane ineessane. Ela indica que a essonância pode se esabelecida não apenas vaiando w, ou, mas ambém pelo conole de ou. Isso, eneano, aamene é feio na páica, viso que e endem a deeioa a seleividade do cicuio.
IUITOS ESSONANTES 5 Na maioia dos cicuios paa comunicações, a esisência no amo capaciivo é despezível e a do amo induivo é pequena se o da bobina é azoavelmene alo. Enão, seá usualmene maio do que eduz a: ou, e a equação 0 se A que é a mesma do cicuio essonane séie. Se ou foem maioes do que, a quanidade sob o adical seá negaiva, o que esula em um valo imagináio de w A. Iso é alguma coisa que não podemos gea fisicamene e poano, não em ouo significado, a não se o de que não exisiá a condição de essonância em qualque feqüência. Se, a quanidade sob o adical é igual a e, poano, A paa ese caso. Se iguala a e ambém iguala a, w A é indeeminado e o cicuio apaece esisivo paa odas as feqüências. Em cicuios ani-essonanes páicos, a esisência no amo capaciivo é usualmene despezível e a equação 0 eduz-se a: A que pode se manipulada em: A EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 6 Elevando ao quadado ambos os lados e subsiuindo a feqüência essonane séie w po, obeemos: A A e desde que, emos: A Equação que indica que as feqüências essonanes séie e paalela são quase idênicas quando é gande nas poximidades da essonância. Noe que o valo de na equação esá baseado no da bobina paa w e não paa w A. Uma expessão ligeiamene difeene paa w A é obida se o da bobina paa w A é inoduzido. Elevando ao quadado ambos os lados emos: A Subsiuindo po e sepaando o emo ene paêneses em dois emos, a Muliplicando numeado e denominado do emo po A EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 7 A A A A A onde agoa é o da bobina deeminado paa w A. esolvendo paa w A, obemos A Equação ompaando as equações e, vemos que, emboa o da bobina paa w possa difei daquele paa w A, a feqüência ani-essonane w A é ainda essencialmene igual a w se esá em ono de 0 ou mais. Uma inepeação física das condições do cicuio paa w A pode se obida da figua 04. A coene em cada amo é deeminada pela impedância dese amo. A coene no amo capaciivo (I ) adianaá da ensão aplicada de um ângulo q. Podemos ambém esolve I aavés de uma componene em fase e oua em quadaua. I.cos q e I.sen q, especivamene. Paa w A, as ampliudes e os ângulos de fase de I e I não pecisam se os mesmos, uma vez que e podem se difeenes. As componenes em quadaua I.sen q e I.sen q se cancelam, o que esula em uma coene oal em fase de I.cos q mais I.cos q. A impedância visa "olhando" a pai dos eminais de enada da figua 04 paa w A é enão uma quanidade finia igual à ensão aplicada dividida pela coene esulane em fase. uando o de cada amo é alo, de foma que a eaância do amo é muio maio que a esisência no mesmo amo do cicuio, as coenes em quadaua seão muio maioes que as coenes em fase. Isso esá ilusado na figua 05, EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 8 diagamas de coene. A coene esulane em fase paa w A é eneano baixa, o que significa que a impedância de enada na ani-essonância é mais ala que o mais alo do cicuio. Paa w A, as coenes do cicuio podem se basane gandes, mas a sua soma veoial, se é alo, esula em uma coene de linha pequena. Figua 05 - Diagamas de oene. 05 - IUITO ANTI-ESSOANTE PÁTIO A FIG. 06 ilusa um cicuio ani-essonane páico comumene usado em abalhos de comunicação. Temos desenvolvido a equação, que expessa a feqüência essonane da FIG. 04. Iso, com 0, é o mesmo que a FIG. 06 uma vez que de nossos objeivos pimáios é obe expeiências na manipulação e inepeação das equações com númeos complexos, vamos inicia de leve a nossa análise da FIG. 06. Vamos pimeio veifica a equação. EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 9 EFET-MG Figua 06 - icuio ani-essonane páico en en j j Z Y en j j Y en j Y jb G Y en ( ) _ en j Y Equação 3 Paa Z en se puamene esisiva, a componene eaiva de Y en deve se igual a zeo. Iso é: ( ) 0 a expessão aneio é vedadeia quando o numeado é zeo ou
IUITOS ESSONANTES 0 EFET-MG 0 esolvendo paa o valo de w que faz a expessão igual a zeo, 0 A Iso pode se manipulado na foma da equação se fazemos novamene e. A A A que veifica a equação.
IUITOS ESSONANTES EFET-MG 06 - IMPEDÂNIA DE ENTADA NA ESSONÂNIA A impedância paa w A, "visa" olhando a pai dos eminais de enada da FIG. 05, é facilmene deeminada examinando-se a equação 3. Paa w A, a componene eaiva de Y en é zeo, o que faz a admiância de enada igual a G. Po ouo lado, Z en Z A A /G; onde A é a impedância ani-essonane. A Todas as eaâncias são omadas paa w A. A Equação 4 se é gande, digamos 0 ou mais, a Podemos expessa A em emos de esolvendo a equação do cicuio páico ani-essonane paa em emos de e podemos, em conseqüência, obe: 0 Equação 6
IUITOS ESSONANTES Da equação 6 vemos que não pode mais iguala a em w A, mas a difeença é pequena se é gande. esolvendo paa a equação 6, obemos: Equação 7 e subsiuindo na equação 4, esula Equação 8 A A equação 8 pode se usada paa expessa A dieamene em emos dos paâmeos do cicuio como segue: a A a Equação 9 Da equação 9, fomas adicionais úeis expessando A podem se deivadas, po exemplo: A Equação 30 Se a esisência esá pesene no amo capaciivo, ela podeia se adicionada a quando deeminamos A. Po exemplo, A ( ) Equação 3 A equação 3 não é exaa, mas é suficienemene pecisa quando os faoes de méio do cicuio são em ono de 0 ou mais. EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 3 O oal do cicuio paalelo quando a esisência esá' pesene em ambos os amos pode se omado como: oal Equação 3 quando é 0 ou mais. om a ajuda das váias expessões paa A pode se mosado que as coenes dos amos são apoximadamene vezes a coene da linha paa w A. Façamos I s igual à coene de linha foçada po alguma fone E g a pai dos eminais de enada da FIG. 05. Podemos esceve as seguines expessões: E g I g A E g I g Z se é alo, poano, I I g Z A Equação 33 Desde que paa w A, quando é gande, vemos que: I I g Equação 34 EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 4 Obsevações Pessoais: EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 5 uesionáio da Exp. N o 0 Nome: N o Tuma: 0 - Dado o cicuio séie abaixo, deemine: a feqüência de essonância, a lagua de faixa, a coene na essonância se a ensão de enada é de 5/0 o V, e a poência dissipada no esiso de 60 Ω na essonância. EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 6 0 - Dado o cicuio essonane abaixo, deemine: a feqüência de essonância, a coene na essonância e as duas feqüências de meia poência. EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 7 03- Dado o cicuio sinonizado paalelo abaixo, deemine: a feqüência de aniessonância, a ensão de saída, a coene na induância, a poência dissipada no cicuio anque, a lagua de faixa e o fao de méio do cicuio. EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 8 04 - Paa o cicuio sinonizado paalelo, deemine: a feqüência de essonância, a coene no geado na essonância, a lagua de faixa e o fao de méio do cicuio, a ensão de saída e a poência dissipada no cicuio. EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 9 05 - epesene "eo" vesus "feqüência" paa o cicuio abaixo. Explique a função do cicuio. onsidee: 0, µf 0,0 µf H 0,6H EFET-MG
IUITOS ESSONANTES 30 06- Pojee um cicuio de filo que selecione a feqüência de 0kHz e faça o bloqueio da segunda hamônica, uilizando o pincípio da essonância. EFET-MG
Guias de Telecomunicações Wande odigues EFET MG 003