UMA PROPOSTA PARA O ESTUDO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NO ENSINO MÉDIO A PARTIR DA CONSTRUÇÃO DE PLANILHAS ELETRÔNICAS

UMA PROPOSTA PARA O ESTUDO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NO ENSINO MÉDIO A PARTIR DA CONSTRUÇÃO DE PLANILHAS ELETRÔNICAS Marcelo Salvador Cóser Flho Uversdade Federal do Ro Grade do Sul Isttuto de Matemátca Programa de Pós-Graduação em Eso de Matemátca mscoser@portoweb.com.br O M-Curso ttulado Uma proposta para o estudo de Matemátca Facera o Eso Médo a partr da costrução de plalhas eletrôcas cosste a dvulgação de uma proposta de trabalho que possblte a compreesão de cocetos relacoados à área em questão, a partr da prátca dos partcpates durate o ecotro. A motvação para o desevolvmeto da proposta surgu durate o ao de 2005, ao estudar algus cocetos de Matemátca Facera com estudates do Segudo Ao do Eso Médo do colégo Motero Lobato, de Porto Alegre - RS. Na ocasão, usouse como referêca o volume 11 da coleção Fudametos de Matemátca Elemetar, publcada pela Atual Edtora, ttulado Matemátca Comercal, Matemátca Facera, Estatístca Descrtva, de Gelso Iezz, Samuel Hazza e Davd Degeszaj. Deu-se prordade ao estudo das fórmulas específcas para cada stuação, sedo elas prmeramete desevolvdas a partr de uma stuação cocreta, para depos justfcá-las formalmete. A segur, foram propostos algus exercícos do mesmo lvro, em geral de aplcação das fórmulas desevolvdas, com algumas varações. Em pratcamete todos os exercícos, o cálculo de ( 1+ ) era ecessáro, e os estudates foram estmulados a trabalharem com calculadoras cetífcas. Quem ão tha uma dspoível, trabalhava de posse de uma tabela de valores. Os exercícos, etão, prorzavam muto mas a mapulação de decmas com város dígtos, abrdo mão de estmular a compreesão do fucoameto de, por exemplo, uma seqüêca de pagametos mesas guas para amortzar uma dívda. Por fm, a memorzação das fórmulas era mprescdível, já que a resolução dos problemas estava totalmete escorada elas. No etato, as fórmulas são muto semelhates, e grade parte dos estudates se cofudam a hora de aplcá-las, usado

2 a fórmula específca para uma dada stuação em outra. Com sso, além de ão compreederem o que estavam fazedo, ada chegavam a um resultado equvocado. E, se eles cometam esses equívocos algus poucos das depos de serem apresetados a tas cocetos, o que eles farão algus aos depos? Ou seja, o estudo de tas cocetos, que estmulou e teressou os estudates devdo a suas evdetes aplcações, ão sera aprovetado em toda sua potecaldade. Cabe ressaltar que os mutos lvros ddátcos aalsados o tema é tratado superfcalmete, abordado o coceto cetral de juros compostos mas ão amplado sua compreesão para aplcações mas complexas de tal coceto, se lmtado ao estudo do cálculo do motate obtdo de um captal aplcado a juros compostos segudo uma dada taxa. No presete texto, será descrto com maores detalhes o método de trabalho a ser utlzado durate o m-curso, e que vem sedo utlzado com estudates do Eso Médo do colégo acma ctado. Bascamete, cosste a costrução de plalhas eletrôcas, fazedo uso de um software específco para sso. Tas plalhas explctarão as prátcas faceras em fução do tempo e de modo recursvo, depededo da stuação cal proposta. Será dada prordade ao estudo das seqüêcas de pagametos e depóstos, uformes ou ão, com as quas é possível compreeder uma sgfcatva parcela dos problemas que são propostos, tato em lvros ddátcos quato em stuações roteras. Tas problemas serão sempre abordados de maera recursva, e tal procedmeto será matematcamete justfcado por cocetos eretes às progressões geométrcas. O Método Os problemas serão todos abordados de maera recursva, destacado a varação observada ao logo do tempo, em detrmeto do smples cálculo de valores. Para maor clareza a descrção do método, serão apresetados exemplos de sua aplcação, todos eles retrados do lvro Progressões e Matemátca Facera, de Augusto César Morgado, Eduardo Wager e Shela C. Za, publcado pela Socedade Braslera de Matemátca em 1993, como parte da Coleção do Professor de Matemátca. É mportate ressaltar aqu que os problemas a segur são obvamete desatualzados, já que datam do começo dos aos 90. Com sso, algus valores podem causar estraheza. No etato, a essêca das movmetações faceras cotua a mesma. O prcpal

3 motvo que levou à escolha desses problemas fo a possbldade de realzar uma comparação etre a resolução proposta pelos autores o lvro com o método a ser apresetado a segur. 1) Crsta toma um empréstmo de 150 u.m. a juros de 12% ao mês. Qual será a dívda de Crsta três meses depos? 0 A resolução proposta pelos autores é dada após justfcarem a cohecda relação ( ) C = C 1+, ode C é o motate obtdo de um captal cal C 0 em períodos de tempo, o regme de juros compostos de taxa. No caso, 3 ( ) 3 C = 150 1+ 0,12 210, 74. O problema é respoddo com correção. No etato, ão se tem oção da varação da dívda ao logo desses três meses. Tal problema sera resolvdo com a segute plalha, tedo como úco poto de partda o fato de que % de uma dada quata C 0 pode ser calculado por C0 100 : Icalmete, Crsta deva 150 u.m.. Em um prmero mometo, ão há cobraça de juros. É mportate destacar um fato: a célula D2 está sedo defda como de mesmo valor que B2 + C2. Desse modo, o software está sedo programado a calcular a dívda ao fal do mês como sedo sempre o resultado da soma da dívda ateror com os juros a serem pagos o mês. É a célula B3 que, ao ser defda como de mesmo valor que D2, mplemeta o caráter recursvo do método. De modo geral, o caso, BN = D(N-1). O software é programado a calcular o valor dos juros do mês a partr da dívda o íco do período.

4 Agora, toda a plalha está costruída a partr dos valores cas do problema: o captal a ser reajustado e a taxa usada. Dessa maera, é possível solctar ao software que esteda sua programação até a data desejada. No caso, até o fal do tercero mês. O problema, etão, é resolvdo a partr da obteção da plalha que lustra toda a movmetação o período. A vsualzação de toda a movmetação permte ao estudate acompahar e pratcar a dfereça prcpal etre os juros smples e os juros compostos, que resde a captalzação do valor cal e do valor medatamete ateror. Ada, permte ao estudate extrapolar o problema: por exemplo, se Crsta tvesse se comprometdo de pagar a dívda em três meses, mas resolvesse lqudá-la em dos meses, qual devera ser a quata dspoível a data? Tal stuação estmula a capacdade do aluo de adaptar o problema, e traspor tal adaptação para outras stuações. Com sso, é desevolvda a capacdade do aluo de tomar decsões, já que ele cosegue obter dados que torem tal decsão vável. 02) Geraldo tomou um empréstmo de 300 u.m. a juros mesas de 15%. Dos meses após, Gerado pagou 150 u.m. e, um mês após esse pagameto, lqudou seu débto. Qual o valor desse últmo pagameto?

5 A resolução proposta pelos autores é dada a partr da déa de que, para obter o valor atual de um captal, basta dvdr o futuro por ( 1+ ). Dessa forma, a parcela de 150 u.m. e parcela P desejada têm seus valores calculados a mesma época que o 150 P empréstmo de 300 u.m.. Assm, 300 = + P 284 u.m.. 2 3 1+ 0,15 1+ 0,15 ( ) ( ) É possível costrur uma plalha que explcte a varação da dívda da mesma maera que a efetuada o exemplo ateror: É precso serr uma colua para os pagametos, que rão ocorrer a partr do segudo mês. A célula EN está sedo defda como BN + CN - DN, de modo que do saldo devedor seja descotado o pagameto efetuado o mês em questão. A plalha é costruída com os mesmos cudados do exemplo ateror. No segudo mês, é feto o pagameto de 150 u.m.. A dívda, etão, é somada com os juros do tercero mês, e é precsamete esse o valor a ser pago a últma parcela. Mas uma vez, é mportate destacar como a vsualzação da movmetação traz muto mas formações do que o smples cálculo da parcela a ser paga. 03) Um bem, cujo preço à vsta é 120 u.m., é veddo em 8 prestações mesas guas, a prmera sedo paga um mês após a compra. Se os juros são de 8% ao mês, determe o valor das prestações.

6 ( ) 1 1+ Para tal stuação, é deduzda a relação A = P, ode A tem o mesmo valor, a data cal, que pagametos guas a P, sedo a taxa de juros. Dessa forma, ( ) 8 1 1+ 0, 08 120 = P P 20,88. 0,08 Mas uma vez, a resolução se lmta a destacar o valor da parcela, mas ão permte ao estudate cotemplar a varação da dívda ao logo do tempo. Como dto aterormete, a vsualzação do deserolar do processo é mportate para estmular a capacdade de tomar decsões e cotrbur para uma melhor compreesão do sgfcado da operação facera efetuada. Costruremos a segute plalha, os moldes do que fo feto até agora: Não é efetuado ehum pagameto como etrada, e ão há cdêca de juros durate o prmero período. Aqu, os deparamos com um problema. A costrução da plalha depede do cohecmeto de elemetos crucas para a recursão: a taxa de juros, para o cálculo dos mesmos, e a parcela a ser paga, para debtarmos da dívda cal. No etato, a parcela é descohecda. Mas ada, é exatamete seu valor que é ecessáro calcular. Para cotuar, remos supor um valor qualquer para a parcela. Supodo 30 u.m. para o valor da parcela, é possível costrur a plalha recursvamete, e observar a varação da dívda até o otavo pagameto.

7 Pagado 30 u.m. por mês, após oto pagametos o saldo devedor é de -96,99, o que sgfca que a parcela a ser paga é meor do que 30 u.m.. Mas ada, é possível coclur que, o caso, após cco pagametos a dívda está pratcamete zerada. Para chegar até o valor desejado de 20,88 u.m., é possível alterar o valor da célula D3 para valores meores que 30 u.m., de modo que o valor da célula E10 seja o mas próxmo possível de zero. De fato, a dívda precsa ser paga em 8 parcelas. No caso, valores postvos para E10 sgfcam a exstêca de saldo devedor, e o valor da parcela precsa ser maor. Nesse poto, é precso destacar as vatages de resolver um problema para o qual exste uma fórmula (já dfudda e precsa) de maera baseada a suposção de valores até atgr um determado objetvo (o caso, saldo devedor ulo). Como dto, a motvação para o desevolvmeto e aplcação do método surgu após um período, durate o ao de 2005, trabalhado com turmas de segudo ao do Eso Médo usado tas fórmulas para a resolução. Em prmero lugar, o cohecmeto da fórmula tora-se mprescdível, e é precso sempre tê-la em mete para trabalhar. Ada, é fudametal o uso de calculadora, e de preferêca uma calculadora cetífca. Acotece que as fórmulas para tal stuação e para uma seqüêca uforme de depóstos são de

8 dfícl memorzação. Além dsso, ecobrem o racocío facero que a vsualzação da varação do saldo devedor evdeca. Corre-se o rsco de reduzr o trabalho com Matemátca Facera a uma decsão sobre qual fórmula utlzar. Por outro lado, a costrução da plalha possblta que o aluo compreeda o papel dos juros, das parcelas, o que sgfca o pagameto ou ão de etrada. Possblta que o aluo se qualfque para tomar decsões (por exemplo: qutar a dívda ates do otavo pagameto). Ada, é possível vsualzar o quato de cada parcela é usado para amortzar a dívda e o quato é usado somete para pagar juros. No caso, uma parcela de 10 u.m. mal cosegue pagar os juros do prmero mês, o que sgfca uma baxa amortzação da dívda. Tal dscussão pode ser amplada, por exemplo, para o pagameto da dívda extera braslera. 04) Ivestdo todo mês 12 u.m. em um fudo de vestmetos, o motate medatamete após o 10º depósto é de 150 u.m.. Qual a taxa mesal de juros que redeu o vestmeto? Para tal stuação, é deduzda a fórmula ( ) 1+ 1 F = P, ode F é o valor futuro a ser obtdo após depóstos, supodo uma taxa de juros. No caso, ( ) ( ) 10 10 1+ 1 1+ 1 0,1 150 = 12 12, 5 = = ( 12, 5 + 1) 1. Para resolver o problema, são propostas pelos autores quatro alteratvas: - Procurar uma tabela de valores específca para ( 1+ ) 1 em, segudo os autores, um lvro da prmera metade do século. Nelas, temos que para = 4,75% o valor é

9 12,4321 e que, para = 5%, o valor é 12,5779. Va terpolação lear, 4,9%. A desvatagem, ada segudo os autores, é de que ão exstem tabelas protas capazes de resolver qualquer problema de cálculo da data de juros. - Formar uma seqüêca de aproxmações ( k ) de modo que ( ) 0,1 k 1 k = 12,5 + + 1 1, até obter k = k+ 1 =, começado arbtraramete com 0 = 0,1. Dessa forma, obtém-se a taxa aproxmadamete gual a 4,9%. - Aplcar o método de Newto para resolução de F(x) = 0, formado uma seqüêca ( x k ), ode x x ( k ) ( ) F x = k+ 1 k F x, até obter k+ 1 k k x x =. No caso, ( ) ( )10 F = 1+ 12,5 1 e F ( ) = 10 ( 1+ ) 9 12, 5. Começado com 0 = 0,5, obtém-se a taxa aproxmada de 4,9%. - Por tetatvas, de modo que G ( ) = ( 1+ ) 10 12,5 seja gual a 1. Supodo aleatoramete valores para, observa-se que G(0,049) = 1,001 e G(0,0485) = 0,9995. Para ecerrar, os autores cometam que exstem calculadoras, dtas faceras, que cotêm programas protos para o cálculo de taxas de juros. Ou seja, exstem mutos problemas em Matemátca Facera que ão são resolvdos smplesmete aplcado a fórmula adequada. A suposção de valores é um hábto ormal ao ldar com certos problemas, como exemplfcado acma: ehuma resolução chega ao resultado dretamete da substtução de valores a fórmula. Iremos, agora, resolver o mesmo problema, costrudo a plalha a partr de uma suposção cal para a taxa de juros e observado a varação do motate acumulado: Aqu, o saldo cal é zero e, ao fal do prmero mês, só está dspoível o depósto efetuado.

10 A plalha será costruída tedo como suposção cal uma taxa de 3% ao mês, aplcada ao saldo do mês ateror. O saldo ao fal do mês é costtuído pela soma do saldo cal, dos juros e do depósto. Costruída a plalha, pode se observar que uma taxa mesal de 5% é sufcete para que, ao fal de 10 depóstos de 12 u.m., o saldo seja de 150 u.m.. Fca claro, portato, que para alcaçar tal objetvo é ecessáro buscar uma taxa mas elevada. Com uma taxa mesal de 4,9%, o objetvo é atgdo. Mas uma vez, fca claro que a costrução da plalha forma muto mas sobre a movmetação do que o smples cálculo da taxa. Por exemplo, podese acompahar o quão vatajoso pode ser um plaejameto: o redmeto mesal começa em 0,59 u.m., ao fal do 1º mês, e, ao fal dos 10 depóstos, já é de 6,46 u.m.. Ou seja, os depóstos são costates, mas a ecooma mesal é crescete.

11 Já foram destacadas, ao logo da descrção do método, váras vatages da costrução de uma plalha se comparada com a aplcação das fórmulas específcas. Para falzar, o que tora mprescdível o uso de um software de plalhas eletrôcas é o fato de a mapulação dos dados ser comparavelmete mas ágl do que se tal método fosse aplcado maualmete. Em especal, a suposção dos valores para a aproxmação do resultado desejado sera uma tarefa das mas trabalhosas, para ão dzer que sera vablzada. Fudametação Matemátca O método proposto dfere em estrutura do racocío usualmete aplcado para resolver os problemas em questão. Geralmete, os valores são comparados todos em uma mesma data, e a partr daí são deduzdas as fórmulas usuas. Assm, uma preocupação medata é se o método pode ser fudametado matematcamete, sedo as dfereças percebdas a estruturação da resolução, porém goradas os resultados obtdos. No presete texto, o método será justfcado para relacoar o motate M obtdo a partr de uma seqüêca uforme de depóstos guas a D, com uma taxa de juros captalzados o mesmo tervalo de tempo etre os depóstos, e para relacoar uma dívda V amortzada a prazo em parcelas guas a P, com uma taxa de juros (captalzados o mesmo período de tempo etre as parcelas) e sem etrada. Começamos pela seqüêca de depóstos. Podemos observar que, em um total de depóstos, o prmero depósto é captalzado -1 vezes: o prmero período ele é adcoado ao saldo, e, os - 1 períodos segutes, é acrescdo de juros. Dessa forma, ao fal dos depóstos, o depósto cal vale ( ) D 1 1 segudo depósto valerá ( ) D 1+ 2, o tercero valerá ( ) D 1 3 k-ésmo ( k ) valerá ( ) D 1 k +. De modo aálogo, o +, e, de modo geral, o +. Assm, o motate M obtdo será o resultado da soma dos depóstos captalzados ao fal dos depóstos: 1 2 ( ) ( ) ( ) M = D 1+ + D 1+ + + D 1+ + D. Cada termo da seqüêca de depóstos é parte de uma progressão geométrca de termos, sedo o prmero termo (( ) ) ( ) ( ) D 1+ 1 1+ 1 gual a D e a razão gual a 1 +. Com sso, M = = D. 1+ 1 Agora, o mesmo problema será resolvdo a partr da costrução de uma plalha.

12 O motate em cada período é obtdo recursvamete a partr da captalzação do motate ateror e o acréscmo do depósto D. Substtudo, calmete, M 1 = D em M = M ( 1+ ) + D, obtém-se ( ) 2 1 2 = ( + ) +, obtém-se ( ) ( ) M M 1 D 3 2 captalzado pela seguda vez, já que ( ) 2 M = D 1+ + D. Substtudo M 2 em 2 M = D 1+ + D 1+ + D. Observe que M 1 = D é 3 ( ) ( ) M = D 1+ + D 1+ + D. Com sso, em M temos que M 1 é captalzado - 1 vezes, M 2 é captalzado - 2 vezes, e assm sucessvamete. 1 1 Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) 1+ 1 M = D 1+ + D 1+ + + D 1+ + D = D, que é o mesmo resultado obtdo aterormete. De modo semelhate, para relacoar a dívda V que será paga em parcelas guas, basta comparar o valor da dívda após períodos. Pelo racocío ateror, o pagameto de parcelas guas a P e captalzadas a cada período de tempo segudo uma taxa de juros obtém um motate gual a P ( ) 1+ 1. A dívda V, após períodos, vale V ( 1+ ). Como a sucessão de parcelas deve amortzar a dívda, temos que ( ) ( ) 1+ 1 V 1+ = P. Logo, ( ) ( ) 1+ 1. V = P 1 + Abaxo, a plalha que equvale à mesma stuação.

13 O saldo devedor em cada período é obtdo recursvamete a partr da captalzação do saldo devedor ateror e o decréscmo da parcela P. Substtudo, calmete, V = V ( 1+ ) P em ( ) 2 1 V = V 1+ P, obtém-se 2 1 2 = ( + ) ( + ). Substtudo V 2 em ( ) V V 1 P 1 P 3 3 2 ( ) ( ) ( ) V = V 1+ P, obtém-se 3 2 V = V 1+ P 1+ P 1+ P. De modo aálogo ao realzado aterormete, é possível afrmar que o saldo devedor após parcelas é dado por 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) V = V 1+ P 1+ P 1+ P 1+ P. Como a dívda precsa ser amortzada após pagametos, temos que V = 0. Dessa forma, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1+ 1 1+ 1 V 1 + = P 1 + + P 1 + + + P = P V= P, que é 1+ o mesmo resultado obtdo ao comparar a dívda e todas as parcelas o período. Estrutura do M-Curso No m-curso, será apresetada aos partcpates a proposta descrta aterormete. Dessa forma, pretede-se cosoldar um método de resolução fazedo uso de recursos tecológcos dgtas de cálculo, e, com ele, o caráter recursvo dos cálculos da matemátca facera. A partr das relações de referêca das plalhas eletrôcas, pretede-se que a recursão erete aos problemas (por exemplo, juros compostos são calculados com relação ao mês medatamete ateror) seja efetvamete posta em prátca e ão surja somete o mometo de dedução das fórmulas, como habtualmete é feto. Com sso, o uso de um software específco é mprescdível para a aplcação adequada da proposta.

14 Serão estudados os cocetos e problemas referetes a juros compostos e, amplado o escopo da proposta, seqüêcas de depóstos e pagametos. Ao fal, será dscutda a aplcabldade da proposta o Eso Médo. Bblografa MORGADO, Augusto C., WAGNER, Eduardo, ZANI, Shela C.. Progressões e Matemátca Facera. Ro de Jaero: SBM, 1993. IEZZI, Gelso, HAZZAN, Samuel, DEGENSZAJN, Davd. Fudametos de Matemátca Elemetar, Volume 11 - Matemátca Comercal, Matemátca Facera e Estatístca Descrtva. São Paulo: Atual Edtora, 2004.