Journal of Mcrowaves and Optoelectroncs, Vol. 1, No. 1, May 1997. 3 SPLHMNTO LTROMGNÉTICO POR CORPOS DILÉTRICOS USNDO FUNÇÕS D BS SOLNOIDIS TRIDIMNSIONIS Sérgo. Carvalho e Leonardo S. Mendes DCOM/F/UNICMP Caxa Postal 611 138-97 Campnas SP FX:(192) 39-1395 antenor@decom.fee.uncamp.br lmendes@decom.fee.uncamp.br bstract In ths work we use a volume formulaton to analyse the problem of electromagnetc scatterng from homogeneous delectrc bodes. The method of moments s appled to solve the ntegral equatons wth the use of trdmensonal solenodal bass functons. These functons do not generate spurous charges nsde the delectrc body so we can apply ths method to the scatterng by delectrc bodes wth hgh values of the delectrc constant. Resumo Neste trabalho usamos uma formulação volumétrca para analsar o problema de espalhamento eletromagnétco por corpos delétrcos homogêneos. equação ntegral é resolvda pelo método dos momentos com o uso de funções de base solenodas trdmensonas. stas funções de base não geram cargas espúras dentro do corpo, o que permte aplcar a corpos delétrcos com altos valores de constante delétrca. 1. Introdução análse de espalhadores delétrcos é de mportânca teórca e de grande nteresse prátco em mutos problemas de engenhara. lguns exemplos são: o espalhamento eletromagnétco e a radar cross secton de objetos delétrcos como função do seu tamanho, forma e característca elétrca; nteração eletromagnétca com sstemas bológcos; acoplamento eletromagnétco entre antenas de comuncação e corpos delétrcos próxmos. Neste trabalho estudamos o espalhamento eletromagnétco pôr corpos delétrcos usando funções de base volumétrcas solenodas. O motvo para se usar funções solenodas é que as abordagens volumétrcas sofrem problemas de convergênca para corpos com altos valores de constante delétrca [1]. fonte para o problema de convergênca está nas cargas espúras no nteror do volume [2], geradas pelo uso de uma função de base não solenodal. Com o objetvo de resolver este problema no caso bdmensonal, foram propostas [3] funções
Journal of Mcrowaves and Optoelectroncs, Vol. 1, No. 1, May 1997. 31 de base solenodas em duas dmensões, defndas sobre regões trangulares e que deram bons resultados. Para o caso trdmensonal foram propostas [4] funções de base solenodas em três dmensões, defndas sobre tetraedros, o que permte uma dscretzação bastante precsa do corpo. 2. Formulação Teórca Nesta seção apresentaremos a formulação volumétrca para o caso trdmensonal. Seja o campo total produzdo pela fonte na presença do objeto delétrco. O campo espalhado s é a dferença entre o campo total e o campo ncdente, assm s = + (1) Da aplcação do prncípo equvalente de volume [5] temos que o campo espalhado pelo objeto é gerado pela densdade de corrente de volume elétrca J, que exste na regão do objeto e está radando no espaço lvre. sta densdade de corrente é dada por J = jω ε ε e substtundo em (1) obtemos ( ) ( ) [ s] ω ε ε (2) J = j + onde ε é a constante delétrca do objeto. O campo espalhado s é dado por [5] = ω φ s j jω µ 4π 4π ε = JG dv v v ρ G dv (3) onde G é a função de Green do espaço lvre, que em três dmensões é dada por G = exp ( jκ r - r ) r - r (4) onde r é o vetor que defne as coordenadas do campo, r defne as coordenadas da fonte e k = ω µ ε é a constante de propagação. ntegração em (3) é sobre todo o volume da regão delétrca. densdade de carga ρ, que está assocada a corrente J, exste somente na
Journal of Mcrowaves and Optoelectroncs, Vol. 1, No. 1, May 1997. 32 nterface entre regões, assm a segunda ntegral em (3) pode ser substtuda por uma ntegral de superfíce com a densdade de carga ρ dada por ( n J ) 1 ρ = j ω (5) onde n é a normal a superfíce do objeto apontando para fora. Substtundo (5) e (2) em (3) obtemos a equação ntegral relaconando a desconhecda corrente J com o conhecdo campo ncdente, dada por = J jω ε ( ε ) jω µ + JG dv + 4π jω 4π ε v s ( ) n J G ds (6) 3. Solução numérca da equação ntegral Para resolver a equação (6) aplcaremos o método dos momentos, que consste em se aproxmar a corrente por uma sére fnta em termos de funções de base. função de base proposta [4] é defnda sobre tetraedros, o que permte dscretzar objetos com mas efcênca. Consderemos quatro tetraedros com uma aresta comum B, conforme mostrado na fgura 1. função de base defnda pela aresta B é dada por DC CF F D J B = em T1, em T2, em T3, em T4 (7) V V V V 1 2 3 4 onde V k é o volume do tetraedro T k assocado à aresta B e DC, CF, F e D são vetores apontando no sentdo do 1 o para o 2 o nó. m [4] fo mostrado que J = para as arestas nternas ao corpo, para arestas na nterface entre meos não haverá a crculação completa da função de base, assm dando orgem a uma dstrbução superfcal de cargas dada pela equação (6). expansão de J em termos das funções de base é dada por N = α J J (8)
Journal of Mcrowaves and Optoelectroncs, Vol. 1, No. 1, May 1997. 33 D D T 4 T 1 C B B C T 3 B T 2 B F F Fgura 1 - lemento de volume assocado à aresta B. O próxmo passo na aplcação do método dos momentos é seleconar um procedmento de teste que levará a N equações ndependentes para os desconhecdos coefcentes α. scolhemos para as funções de teste as mesmas funções de base, o que é um caso partcular do método dos momentos, conhecdo como método de Gallerkn. O produto nterno é defndo por J, J = J J dv (9) m m v Substtundo (8) em (6) e testando com J m encontramos N = 1 α J j ω ε ( ε ), J m + j ω ( J), J m + φ( J), J m =, J m = 1,..., N (1)
Journal of Mcrowaves and Optoelectroncs, Vol. 1, No. 1, May 1997. 34 4. Resultados numércos θ = 18 $ Nas fguras 2 e 3 temos um cubo delétrco sobre o qual ncde um campo a um ângulo com ntensdade x = 377 V/m. s componentes do campo espalhado θ e φ são calculadas nos planos φ = $ e φ = 9 $, respectvamente. aresta do cubo é. 2λ e a frequênca do campo é de 3 MHz. Os campos são calculados para ε r = 4.. m ambas as fguras, os resultados são comparados com aqueles apresentados em [5]. Podemos ver que os resultados obtdos com a utlzação das funções de base solenodas concordam muto bem com os resultados obtdos usando funções pulso [5]. nossa dscretzação usou 384 tetraedros que geraram 478 funções de base, sto é, 478 ncógntas. m [5] foram usados 512 cubos que geraram 1536 ncógntas. fgura 5 apresenta uma esfera homogênea delétrca, de.1λ de dâmetro, sujeta à ncdênca de uma onda plana lnearmente polarzada. fgura 6 mostra os campos nternos gerados por esta ncdênca para o caso da constante delétrca da esfera ser gual a 4. e o comprmento de onda da onda ncdente ser gual a 2π. x φ θ r H H O z jkz = 377e a x y Fgura 2 - Campo elétrco ncdente sobre objeto delétrco homogêneo trdmensonal.
Journal of Mcrowaves and Optoelectroncs, Vol. 1, No. 1, May 1997. 35-5 -1-15 -2 solenodal (97) + surface (576) -25-3 -35-4 -45-5 2 4 6 8 1 12 14 16 18 Fgura 3 - Componente θ do campo espalhado por um cubo delétrco homogêneo com εr=4 e.2λ de lado: a lnha contínua mostra a formulação volumétrca enquanto os marcadores mostram a formulação superfcal [5]. usando funções solenodas, 478 ncógntas referênca [6], 1536 ncógntas -.5-1 -1.5-2 -2.5 solenodal (97) pulse (1536) + surface (576) -3-3.5-4 2 4 6 8 1 12 14 16 18 Fgura 4 - Componente φ do campo espalhado por um cubo delétrco homogêneo com εr=4 e.2λ de lado: a lnha contínua mostra a formulação volumétrca enquanto os marcadores mostram a formulação superfcal [5]. usando funções solenodas, 478 ncógntas referênca [6], 1536 ncógntas
Journal of Mcrowaves and Optoelectroncs, Vol. 1, No. 1, May 1997. 36 x H z y Fgura 5 - sfera delétrca mergulhada no campo de uma onda plana lnearmente polarzada..55.5 x.45... Me Seres solenodal functons.4 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 number of tetrahedron error (%) 5 4 3 2 1-1 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 number of tetrahedron Fgura 6 - Campos nternos nduzdos na esfera homogênea com εr = 4., κ = 1..
Journal of Mcrowaves and Optoelectroncs, Vol. 1, No. 1, May 1997. 37 5. Conclusões Neste trabalho foram apresentados resultados de cálculo de espalhamento usando funções de base solenodas trdmensonas, que foram usadas para expandr a corrente equvalente em um objeto delétrco homogêneo. Os resultados obtdos concordam muto bem com resultados publcados usando-se funções pulso. vabldade do uso da função proposta fo demonstrada e os próxmos casos a consderar são: cálculo do campo nterno a um corpo; aplcação a objetos não homogêneos e nteração eletromagnétca com sstemas bológcos. 6. Referêncas [1] J. M. Jn, Volaks e V. V. Lepa, Moment Method Soluton of a Volume-Surface Integral quaton Usng Isoparametrc lements and Pont Matchng, I Trans. Mcrowave Theory Tech., vol. 37, N 1, pp. 1641-1645, Outubro 1989. [2] D. R. Wlton e R. Mttra, New Numercal proach to the Calculaton of lectromagnetc Scatterng Propertes of Two Dmensonal Bodes of rbtrary Cross Secton, I Trans. ntennas Propagat., vol. P-2, pp. 31-317, Mao 1972. [3] L. S. Mendes e. rvas, T-scatterng from dense homogeneous delectrc cylnders of arbtrary cross secton, I Trans. Magnetcs, vol. 27, N 5, pp. 4295-4298, Setembro 1991. [4] L. S. Mendes, Funções de Base Solenodas para plcação em Problemas de spalhamento por Objetos Trdmensonas, 11 Smpóso Braslero de Telecomuncações, vol. II, pp. 741-744, Setembro 1993. [5] T. K. Sarkar, rcument rvas e Sala Ponnapall, lectromagnetc Scaterrng from Delectrc Bodes, I Trans. ntennas Propagat., vol. P-37, pp. 673-676, Mao 1989.