Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios Júlio Cezar dos Satos Patrício Cosiderações Prelimiares O objeto do presete estudo, que ão tem a pretesão de esgotar o assuto, é oferecer base aos empresários e estudates que desejem implemetar iiciativas que evolvam o estudo da remueração dos capitais, e os fluxos de recursos o tempo. Todo o coteúdo do presete trabalho será visto de maeira simples, trazedo exercícios que permitam a melhor fixação de apredizagem, valorizado o apredizado e a efetiva aplicação dos assutos aqui tratados. UNIDADE I - Itrodução - Juros Simples: *Matemática Fiaceira, trata em essêcia, do estudo do valor do diheiro ao logo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar aálises e comparações dos vários fluxos de etrada e saída de diheiro do caixa verificados em diferetes mometos. Capital (Valor Atual, Pricipal ou Valor Presete), defiições: Riqueza ou valores dispoíveis; Fudo de diheiro ou Patrimôio duma Empresa; (Eco.) Cojuto de bes produzidos pelo homem e que participam da produção de outros bes.. Juros São valores que devem ser pagos pelo direito de se dispor temporariamete de um capital. É a remueração exigida a utilização do Capital de terceiros. Juros recebidos = remueração. (ivestidor) Juros pagos = custos. (tomador de empréstimos) Os Juros iduzem o adiameto do cosumo, permitido a formação de poupaça e de ovos ivestimetos a ecoomia. Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios.2 Taxa de Juros: - É a razão etre o valor de juro recebido (ou pago) o fial de um certo período de tempo e o Capital iicialmete aplicado (ou emprestado)..i = J C - Avaliação da Taxa de Remueração: Risco" perda do diheiro aplicado, icerteza. Despesa iclui todas as despesas operacioais, cotratuais e tributárias para formar o empréstimo e efetivar a cobraça. Iflação" ídice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda, previsto para o prazo de empréstimo. Gaho (ou lucro)" custo de oportuidade é estabelecido pela privação do Capital em outras oportuidades por um determiado período de tempo. A Taxa de Juros o mercado de Capitais é fixada pela iteração etre as forças que regem a oferta de fudos e a procura de créditos. Oferta de Fudos é o ível de riqueza das pessoas, suas preferêcias temporais e o valor da taxa de juros. Procura de fudos a retabilidade das aplicações existetes a ecoomia e a preferêcia temporal das pessoas. As Taxas de Juros sempre se referem a uma uidade de tempo (mês, bimestre, trimestre, semestre, ao, etc...) e podem ser represetadas equivaletemete de duas maeiras: taxa percetual e taxa uitária. Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 2
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios Forma Percetual Trasformação Forma Uitária 0% 0/00 0,0 6% 6/00 0,06 % /00 0,0,5%,5/00 0,05 Nas fórmulas de Matemática Fiaceira todos os cálculos são efetuados utilizado-se a taxa uitária de juros. Os euciados e as respostas dos exercícios ormalmete utiliza-se a taxa percetual..3 Diagrama do Fluxo de Caixa (Diagrama de Capital o Tempo) É uma represetação que se usa os problemas fiaceiros em que se idica o fluxo (etradas e saídas) de diheiro o tempo. 0 500 400 400 Etradas (+) 2 3 5 6 300 Saídas (-) 000 * Coveções empregadas: #$A reta horizotal é uma escala de tempo; #$Flechas sigificam etradas ou saídas de diheiro, sedo que a flecha para cima é etrada e se associa valor positivo e a flecha para baixo é saída e se associa valor egativo..4 Regra Básica: Nas fórmulas de Matemática Fiaceira, tato o prazo de operação como a taxa de juros deve ecessariamete estar expressas a mesma uidade de tempo. Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 3
.5 Critérios de Capitalização dos Juros: Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios #$Regime de Capitalização simples comporta-se como P.A. - Ex. Capital =.000,00, prazo = 5 aos, taxa = 0% ªª = 500,00. #$Regime de Capitalização composta " icorpora-se ao Capital os juros referetes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados. - Ex. Capital =.000,00, prazo = 5 aos, taxa = 0% ªª = 60,5. OBS: Quado as operações evolvem um só período de juros (também chamados de período de capitalização), é idiferete o uso do regime de capitalização, pois ambos produzem os mesmos resultados. Aplicações práticas dos juros simples e compostos. #$Juros Simples tem aplicações praticas bastates limitadas (prazos reduzidos). #$Juros Compostos é adotado quase que itegralmete pelo Sistema Fiaceiro, outras aplicações: estudo do crescimeto demográfico, comportameto dos ídices de preços da ecoomia, evolução do faturameto e de outros idicadores empresariais de desempeho. UNIDADE II Juros Simples e Juros Compostos Objetivos: Coceituar juros simples e compostos. Compreeder difereças etre juros simples e juros compostos. Represetar graficamete um fluxo de caixa. Utilizar a calculadora HP-2C. Juros Simples No regime de Juros Simples, a taxa icide sobre o capital iicial aplicado, sedo proporcioal ao seu valor e ao tempo de aplicação. J = PV.i. Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 4
Motate Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios FV = PV + J ou FV = PV. ( + i) Juros Compostos No regime de juros compostos, os juros obtidos a cada ovo período são icorporados ao capital, formado um motate que passará a participar da geração de juros o período seguite, e assim sucessivamete. Dessa forma, ão apeas o capital iicial rede juros, mas estes são devidos a cada período de forma cumulativa. Daí serem chamados juros capitalizados. Exemplo: Calcular o motate (FV) de um capital (PV) = $.000,00 aplicado durate 4 aos à taxa de 20% ao ao. Fórmula do Motate (FV) retirada da resolução do exemplo acima. FV = PV. ( + Uidade III Taxas de juros e suas relações: Objetivos: #$Coceituar taxas; #$Calcular as taxas: proporcioal; equivalete; omial, efetiva, prefixada ou aparete, pós-fixada ou real e uificada. Coceito de taxa: É a uidade de medida pela qual os juros são fixados a remueração de um capital um determiado período de tempo (dias, meses, aos, etc..). Taxa proporcioal: i / i2 = / 2 Diz-se que duas taxas são proporcioais quado se verifica que a razão etre elas é a mesma que a razão etre seus períodos. Exemplos: 3% ªm. é proporcioal a 36% ª.ao. 0,4% ª dia é proporcioal a 2% ª mês. Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 5
Taxa equivalete (iq). Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios Duas taxas expressas em períodos diferetes são equivaletes quado, aplicadas a um mesmo capital PV e um mesmo itervalo de tempo, produzem o mesmo motate FV. iq = ( + it) q/t iq = taxa que quero cohecer; it = taxa que teho, taxa cohecida; q = período da taxa que quero; t = período da taxa que teho. Exercícios: ) Calcule a taxa semestral equivalete a 5,3% ª m. R = 36,32% ª s. 2) Determiar a taxa diária equivalete a 5 % ª m. R = 0,47% ª d. 3) Qual a taxa de juros aual equivalete a % ª m. R = 2,68% ª a. 4) Qual a taxa de juros diária equivalete a 30% ªm. R = 0,8784 ª d. 5) Qual a taxa de juros que equivale, em 02 dias, a uma taxa de 8%ª ª. R = 24,7% em 02 dias. Taxa omial x Taxa efetiva Taxa omial é uma taxa referete a um período que ão coicide com o período de capitalização dos juros. A taxa omial ão correspode, de fato, ao gaho/custo fiaceiro do egócio. Geralmete, tem periodicidade aual e aparece em cotratos fiaceiros. Exemplo: 35% ª ao, com capitalização mesal; 6% ª ao, com capitalização semestral; 8% ª mês, com capitalização diária. Taxa efetiva (if) é a que correspode, de fato, ao gaho/custo fiaceiro do egócio. Toda taxa, cuja uidade de tempo coicide com o período de capitalização dos juros, é uma taxa efetiva. Exemplos: 40% ª ao, com capitalização aual; 8% ao semestre, com capitalização semestral; Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 6
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios 4% ao mês, com capitalização mesal. i = taxa omial; if = ( + i ) q i = i / q q = úmero de capitalizações cotidas o período da taxa omial. Exercícios: ) Determiar a taxa efetiva mesal equivalete a uma taxa omial de 7,5% ª m. com capitalização diária. R = 7,78% ª m. 2) Obter a taxa efetiva aual equivalete a uma taxa omial de 78,0% ª ª com capitalização semestral. R = 93,22% ª a. 3) Foi aplicado R$ 0.000,00 à taxa de 60% ª m. capitalizada diariamete. Determie o motate resgatado ao fial de 4 dias. R = R$ 0.824,32. Taxa prefixada ou aparete bruta é a que apreseta a iflação ou idexadores embutidos. Taxa posfixada ou real é a taxa pura sem iflação. A taxa prefixada ou aparete é formada pela taxa real agregada da iflação o período a que ela se, refere. ( + = ( + r).( + I) i = taxa aparete; r = taxa real; I = taxa de iflação ou idexador. Exercícios: ) Qual a taxa prefixada correspodete a IGP-DI de 0% ª ª, supodo que o ídice sofra uma variação de 20% ª ª R = 32% ª ª. 2) Qual a taxa real de juros cotida uma taxa prefixada de 32%ªª, supodo que a iflação aual IGP-DI teha uma variação de 20% ªª R = 0% ªª 3) Qual a expectativa de iflação cotida uma taxa prefixada de 32% ªa, supodo que a taxa real de juros seja de 0% ªª R = 20% ªa,. Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 7
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios Taxas uificadas: sua utilização é freqüete em regimes de ecoomia iflacioária, ode vários idexadores, a verdade taxas de correção moetária, são colocadas o mercado (IGPM, UFIR, TR, etc.) para tetar zerar ou equilibrar a perda moetária provocada pela iflação. O problema ecotrado é quado se tem duas taxas (i, i2) tora-las taxa úica iu de forma que provoque o mesmo gaho/custo fiaceiro, se aplicada isoladamete uma sobre a outra. Observação importate e muito cuidado! Uificar duas ou mais taxas ão sigifica soma-las. iu é diferete de i + i2 ( + iu) = ( + i).( + i2).( + i3) EXERCÍCIOS: ) Ecotrar a taxa uificada referete à atualização moetária de 5% e taxa de juros de,3% icidetes sobre o mesmo capital. R = 6,50% 2) Uificar as seguites taxas: a) 30% e 2% R= 32,60% b) 5% e 0% R= 36,50% c) 3%, 2%, 5%, 4% R= 38,20% 3) Ecotrar a taxa que atija um reajuste total de 80%, dado em duas parcelas, sedo a primeira de 40%. R= 28,57% 4) Qual é o percetual de reajuste que falta para atigir o aumeto salarial de 35%, em duas parcelas, sedo que a primeira foi de 0%? R= 22,73% 5) Cosiderado que o Baco deseja gahar juros reais de 6% ao ao, calculados e capitalizados mesalmete e, aida, que a correção moetária projetada seja de 7% ao ao, pede-se determiar o quatum (%) deverá ser cobrado de ecargos, ao fial de um ao. Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 8
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios UNIDADE IV Descotos Estudaremos as operações de descoto comercial, também chamado de descoto por fora, por ser mais praticado o mercado. No descoto por fora, a taxa de descoto icide sobre o valor omial. D= VN. i. VN=FV= Vale omial, valor futuro, motate D=FV. i. i= Taxa omial de descoto = Período de atecipação. Valor líquido (VL) que é o valor a ser creditado ou obtido pela difereça etre o valor omial (VN) e o descoto (D). VL=VN D PV= FV D VL=PV Valor líquido, valor presete, valor atual. Taxa efetiva de descoto é aquela que, remuera efetivamete uma operação de descoto. ( Fórmulas para os cálculos da Taxa Efetiva de Descoto (ie) e da Taxa Nomial de Descoto i i' d e = i e Taxa efetiva para o prazo da operação de descoto. i' d i i e ' d = i' i ie ) e =. i d Taxa de descoto para o prazo da operação. EXERCÍCIOS:. Numa operação de descoto: para 34 dias, a uma taxa fixada em 6,30% a.m., qual é a taxa efetiva da operação? R= 7,69% 2. Qual o valor da (N) ota promissória o papagaio para 35 dias partido-se de um valor líquido de R$78.000,00, a uma taxa de 5,30% a.m.? R= R$83.40,88 3. Qual é a taxa efetiva de uma operação de descoto para 33 dias, cuja taxa é 7,50% a.m.? R= 8,99% para 33 dias. Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 9
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios 4. Calcular o valor da ota promissória o papagaio para 35 dias à taxa de 3,70% a.m., partido-se de um valor líquido de R$32.50,00. R= R$38,694,70 5. Qual é a taxa efetiva de descoto, referete a uma operação para 7 dias, cuja taxa egociada seja de 3,2% a.m.? R= 8,03% para 7 dias. 6. Qual é a taxa de descoto mesal correspodete a uma taxa efetiva de 6,2% para 33 dias? R= 2,62% a.m. 7. Partido-se de uma taxa efetiva de descoto de 4,5% para 30 dias, calcule a taxa omial. R= 2,40% a.m. 8. Que cliete propõe ao Baco que lhe seja liberada a quatia de R$00.000,00, através de uma operação de descoto. Sedo a taxa de descoto de 3% ao mês e IOF de 0,004% ao dia, determiar: a) Valor de uma Nota Promissória para um prazo de 90 dias; R= R$0.337,52 b) A taxa mesal efetiva paga pelo cliete. R= 3,33348% a.m. 9. Uma empresa emitiu uma duplicata o valor de R$5.000,00, com vecimeto para 0/06/X2. No dia 20/03/X2 efetuou o descoto desta duplicata juto ao Baco Itaú S.A. à taxa de descoto de 4% ao mês. Pede-se: a) Qual foi o valor recebido pela empresa? Qual a taxa de juros efetiva ao mês (custo) paga a operação? R= a) R$3.360,00; b) i ef = 4,327% a.m. 0. Uma empresa descotou uma Nota Promissória com prazo de vecimeto em 93 dias, à taxa de descoto de 4% a.m. Sabe-se que o IOF é de 0,004% ao dia e icide sobre o valor omial, sedo cobrado o ato da liberação do diheiro. Qual o custo efetivo mesal da operação? R= i = 4,5% a.m. Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 0
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios UNIDADE V Equivalêcia de Capitais Data focal: é a data que se cosidera como base de comparação dos valores referidos a datas deferetes. Capitais equivaletes: dois ou mais capitais, com datas de vecimeto determiadas, são equivaletes quado, levados para uma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. FV FV 2 FV 3 0 2 3 FV Taxa= i PV = FV = FV 2 = FV = = FV 2 3 3 EXERCÍCIO: Verificar se os capitais do quadro abaixo são equivaletes, a data focal zero. Cosiderar taxa de 0% a.a. CAPITAL (R$) VENCIMENTO (ANOS).00,00.20,00 2.33,00 3.464,0 4 PV = Valor atual de um cojuto de capitais: FV + FV 2 2 + FV + + FV 2 3 3 Exercício: Calcular o valor atual do cojuto de capitais abaixo, a data focal zero com a taxa de 3% a.m. CAPITAL (R$) VENCIMENTO (MÊS).000,00 6 2.000,00 2 5.000,00 5 Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br
R= R$5.449,55 Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios Cojutos equivaletes de capitais quado os valores atualizados de cada cojuto são iguais. Exercício: Verificar se os cojutos abaixo são equivaletes, a taxa de 0% a.a. º CONJUNTO 2º CONJUNTO CAPITAL VENCIMENTO CAPITAL VENCIMENTO.00,00 ao 2.200.00 ao 2.420,00 2 ao.20,00 2 aos.996,50 3 ao 665,50 3 ao 732,05 4 ao 2.96,5 4 ao * Lista de exercícios III; * Lista de exercícios sobre equivalêcia de Fluxo de Caixa. Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 2
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios UNIDADE VI Séries Uiformes de Pagametos Objetivos: %$Coceituar séries uiformes %$Calcular os compoetes (PV,, i, PMT, FV) das séries uiformes, postecipadas e atecipadas. Coceito: Diz-se que uma série é uiforme quado todos os seus termos (pagametos ou recebimetos ou desembolsos) são iguais e é feita em períodos homogêeos ou sucessivos (a cada dia, mês, bimestre, semestre, ao, etc.) Série de pagametos: PV 0 2 3 4 5 Termos iguais Série de desembolsos: FV 0 2 3 4 Termos iguais As séries de pagametos/desembolsos com etrada são cohecidas como atecipadas. As SP sem etrada chamam-se vecidas ou postecipadas. - Séries de pagametos iguais com termos vecidos ou postecipados.. Fator de acumulação de capital (FAC) ou fator de valor futuro (FFV). - Exemplo: Determiar o valor do motate, o fial do 5º mês, de uma série de 5 aplicações mesais, iguais e cosecutivas, o valor de R$00,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabedose que a primeira parcela é aplicada o fial do primeiro mês, ou seja, a 30 dias da data tomada como base ( mometo zero ), e que a última, o fial do 5º mês, é coicidete com o mometo em que é pedido o motate. Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 3
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios FV = PMT. i ou FV= PMT. FAC (i,) 2. Fator de formação de capital (FFC) i PMT = FV. ou PMT= FV. FFC (i,) 3. Fator de valor atual (FVA) ou fator de valor presete (FVP) PV = PMT. ou PV= PMT. FVA (i,) xi 4. Fator de recuperação de capital (FRC) xi PMT = PV. ou PMT= PV. FRC (i,) Séries de pagametos iguais, com termos atecipados ( +. Fator de acumulação de capital (FAC) 2 FV = PMT. ou FV= PMT. (+. FAC (i,) i 2. Fator de formação de capital (FFC) PMT = FV.. ou PMT= FV. ( + i ) 3. Fator de valor atual (FVA) i. FFC (i,) PV = PMT. ou PV= PMT. (+. FVA (i,) xi 4. Fator de recuperação de capital (FRC) xi PMT = PV.. ou Lista de Exercícios IV PMT = PV.. FRC( i, ) Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 4
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios UNIDADE VII Sistemas de Amortização Objetivos: #$Coceituar sistemas de amortização #$Cohecer os sistemas de amortização mais utilizados o mercado. #$Calcular e motar plailhas dos sistemas SAC e PRICE utilizado a HP-2C. Coceito: Amortização: é o processo de liquidação de uma dívida através de pagametos periódicos. A amortização de uma dívida pode ser processada de várias formas, depededo das codições pactuadas. Vejamos algumas situações:. Pagameto da dívida em prestações periódicas, represetadas por parcelas de juros mais capital; 2. Prestações costituídas exclusivamete de juros, ficado o capital pagável de uma só vez, o vecimeto da dívida; 3. Juros capitalizados para pagameto, juto com o capital, ao fial da dívida. Em razão disso, são cohecidos diversos sistemas de amortização, sedo os mais utilizados, o SAC e o Price. Termiologias utilizadas os Sistemas de Amortização: o Prazo de Utilização: é o itervalo de tempo durate o qual o empréstimo é trasferido do credor para o devedor. o Prazo de Carêcia: é o período compreedido etre o prazo de utilização e o pagameto da primeira amortização. Durate esse período, os juros calculados poderão ser pagos ou icorporados ao saldo devedor; o Prazo de Amortização: é o itervalo de tempo durate o qual são pagos as amortizações; o Prazo Total do Fiaciameto: correspode à soma do prazo de carêcia com o prazo de amortização; Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 5
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios o Saldo Devedor: correspode ao valor da dívida em um determiado istate do período total do fiaciameto; o Parcelas de Amortização: correspode às partes de devolução do pricipal (capital emprestado); o Prestação ou Parcela: é a soma da amortização acrescido de juros; o Plailha do Fiaciameto: é um quadro demostrativo dos valores referetes ao empréstimo, ou seja, um croograma dos valores recebidos e dos valores a serem pagos. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO OU TABELA PRICE %$Cosiste em um plao de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, detro do coceito de termos vecidos, em que o valor de cada prestação, ou pagameto, é composto por duas parcelas distitas: uma de juros e outra de capital (amortização). %$O valor das prestações é determiado por: xi PMT = PVx ou PMT= PV x FRC (i,) %$A parcela de juros: I= i. PV %$Valor da parcela de amortização: (A) A = PMT J SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC). %$Cosiste em um plao de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescetes em progressão aritmética, detro do coceito de termos vecidos. %$Amortização costate A = PVo Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 6
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios UNIDADE VIII Aálise de Fluxo de Caixa e Aálise de Ivestimeto Objetivos: %$Coceituar fluxo de caixa. %$Idetificar, com base o cálculo do valor presete líquido e de taxa itera de retoro, o melhor ivestimeto. A aálise de fluxo de caixa é cosiderada por muitos como o pricipal objetivo de matemática fiaceira. O fluxo de caixa de um ivestimeto, empréstimo ou fiaciameto, ou mesmo de uma empresa, é o ome dado ao cojuto das etradas e saídas de diheiro ao logo do tempo. Os métodos de avaliação de fluxo de caixa mais cohecidos e largamete utilizados as aálises de aplicações fiaceiras e de projetos de ivestimetos são os seguites: VPL Valor presete líquido = NPV Net preset value TIR Taxa itera de retoro = IRR - Iteral rate retur VPL = NPV = FCj FCo = FC FC = + FC j 2 ( + j= + 2 FCo %$O VPL = NPV é a soma das etradas e saídas, descapitalizadas, uma a uma, até o mometo zero. %$Quado o VPL é positivo (VPL > 0), sigifica que o ivestimeto deverá ser realizado, pois a taxa efetiva de retoro é maior que a taxa míima fixada. %$Quado o VPL é egativo (VPL < 0), sigifica que o ivestimeto ão deverá ser realizado, pois a taxa efetiva de retoro é meor que a taxa míima fixada. TAXA INTERNA DE RETORNO A taxa itera de retoro é a taxa que equaliza o valor presete de um ou mais pagametos (saídas de caixa) com o valor, presete de um ou mais recebimetos (etrada de caixa), ou é a taxa que tora ulo o VPL de um fluxo de caixa. FCo FC ( j= + j j FCo j= FC j j = 0 Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 7
Matemática Fiaceira para Gestão de Negócios Bibliografia: CASAROTTO FILHO, Nelso e KOPITTKE, Bruo Hartmut. Aálise de Ivestimetos. 9 a edição Editora Atlas. São Paulo 2.000. CRESPO, Atoio Arot. Matemática Comercial e Fiaceira. 3 a edição. Editora Saraiva 999. HIRSCHFELD, Herique. Egeharia Ecoômica. São Paulo, Editora Atlas. MATHIAS, Washigto Fraco e GOMES, José Maria. Matemática Fiaceira. São Paulo. Atlas, 989. NETO, Alexadre Assaf. Matemática Fiaceira e suas Aplicações. São Paulo. Editora Atlas. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Fiaceira Objetiva e Aplicada. 6 a edição. Editora Saraiva 999. SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Fiaceira. Editora Atlas. Júlio Cezar dos Satos Patrício é Professor Uiversitário -! juliot@amazo.com.br 8