Processameto Digital de Siais Prof. Luciao Leoel Medes S. Mitra, Digital Sigal Processig A computer-based approach, 2 d editio.
Capítulo Siais e Processameto de Siais Sial é uma fução de uma variável idepedete, como tempo, distâcia, temperatura, etc. Exemplos: - Música, que represeta a variação da pressão do ar ao logo do tempo em um poto do espaço. - Foto P&B, que represeta a variação da itesidade da luz ao logo de duas coordeadas espaciais. - Vídeo, que represeta a variação de itesidade de luz ao logo das coordeadas X e Y e também ao logo do tempo. Todo sial carrega algum tipo de iformação e o objetivo do processameto do sial é extrair ou modificar a iformação cotida o sial. 2
Classificação de Siais Classificação quato à cotiuidade - Siais cotíuos são aqueles que são defiidos para todo e qualquer valor da variável idepedete. Exemplo: a voz humaa. - Siais discretos são aqueles cuja amplitude é defiida apeas para valores específicos da variável idepedete. Exemplo: temperatura do esopado tomada de tempos em tempos pela coziheira. Quado as amostras do sial discreto podem assumir um úmero fiito de valores, etão o sial é classificado como digital. Classificação quato à atureza das amostras - Siais reais são aqueles cujas amostras são todas reais. - Siais complexos são aqueles cuja uma ou mais amostras são complexas. 3
Classificação de Siais Classificação quato ao úmero de fotes - Siais escalares são aqueles proveietes de uma úica fote. Exemplo: sial de áudio moo. - Siais vetoriais são aqueles proveietes de duas ou mais fotes. Exemplo: sial de áudio estéreo. Classificação quato à dimesão - Siais uidimesioais são aqueles que são fução de uma úica variável idepedete. Exemplo: sial de áudio. - Siais M-dimesioais são aqueles que são fução de M variáveis idepedetes. Exemplo: sial de vídeo P&B. Classificação quato a aleatoridades - Siais determiísticos são aqueles cujo o valor das amostras podem ser previstos. São fuções matemáticas ou tabelas cohecidas a priori. - Siais aleatórios são aqueles cujo o valor das amostras ão pode ser cohecido previamete. 4
Classificação de Siais 2.5 Sial cotíuo Sial Discreto Sial Digital 0.5 Amplitude 0-0.5 - -.5-2 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 tempo 5
Represetação de Siais Normalmete os siais uidimesioais são fuções do tempo. Sua represetação matemática é dada por: - f(t) para o caso cotíuo. - f[] para o caso discreto, ode é um úmero iteiro. A represetação de siais M-dimesioais é feita listado todas as variáveis idepedetes. - f(x,y) ; f(x,y,t) para o caso cotíuo. - f[,m] ; f[,m,k] para o caso discreto, ode, m e k são iteiros. Siais vetoriais são represetados como um cojuto de siais. ér( x, yt, ) ù u r ( x, yt, ) = ê ú ê g( x, yt, ) ú êë b( x, yt, ) úû érmk [,, ] ù u r [ mk,, ] = ê ê gmk [,, ] ê ú úú ëbmk [,, ] û 6
Operações Básicas com Siais Iicialmete, iremos focar as operações básicas realizadas o domíio do tempo. As operações apresetadas a seguir são válidas para siais cotíuos. O equivalete para siais discretos será apresetado o Capítulo 2. a) Escaloameto: cosiste em multiplicar o sial por uma costate. Exemplo: y(t)=a. x(t) b) Atraso: gera uma réplica deslocada temporalmete do sial origial. Exemplo: y(t)=x(t-t) Note que se T for egativo, etão o processo cosiste em um avaço temporal. 7
Operações Básicas com Siais c) Soma: cosiste em somar dois siais distitos. Exemplo: w(t)=x(t)+y(t) Esta operação pode ser combiada com o escaloameto para gerar um sial que seja a combiação liear de outros siais. g( t) = d) Produto: cosiste em obter um ovo sial a partir do produto de dois siais cohecidos. Exemplo: w(t)=x(t). y(t) N - å i= 0 a cos( w i ) + b i i si( w ) i Dica importate: o restate do capítulo traz aplicações importates sobre processameto digital de siais. A leitura das demais sessões deste capítulo é recomedada. 8
Capítulo 2 Siais de Tempo Discreto e Sistemas o Domíio do Tempo Sial de tempo discreto: correspode a uma seqüêcia de amostras tomadas a cada T segudos. A amplitude das amostras é cotíua. Represetação o domíio do tempo: as seqüêcias discretas são represetadas como uma seqüêcia de úmeros. A represetação matemática desta seqüêcia é dada por: x[ ] = [0.5, 0.20, - 0., - 0.5] A seta idica a amostra que correspode a =0. Note que a seqüêcia somete é defiida para valores de iteiros. 9
Represetação Gráfica de Seqüêcias A represetação gráfica de uma seqüêcia discreta é feita através de impulsos localizados em valores de iteiros, cuja área é igual à amplitude da amostra. 0.2 0.5 0. 0.05 y[] 0-0.05-0. -0.5-0.2-2 -.5 - -0.5 0 0.5.5 2 2.5 3 0
Pricípios da Amostragem Em muitas aplicações as seqüêcias discretas são obtidas a parir de siais cotíuos. x[ ] = x ( t) = xa ( T) = å xa ( t) d ( t - T) a t= T = - O parâmetro T defie o espaçameto temporal etre as amostras e é chamado de tempo de amostragem. O iverso deste parâmetro é deomiado de freqüêcia de amostragem. f T = T Coforme será visto o capítulo 5, a amostragem de um sial cotíuo com largura de faixa limitada ão itroduz distorções, desde que a freqüêcia de amostragem seja maior do que duas vezes a maior freqüêcia que compõe o sial.
Classificação de Seqüêcias Discretas Classificação quato á atureza das amostras. - Seqüêcias reais: todas as amostras são reais. - Seqüêcias complexas: uma ou mais amostras são complexas. Seqüêcias complexas podem ser represetadas como a soma vetorial de duas seqüêcias reais: x[] = x r []+j x i [] Operações complexas podem ser realizadas esta represetação. Exemplo: o complexo cojugado de x[] é: x*[]= x r []-j x i [] 2
Classificação de Seqüêcias Discretas Seqüêcias digitais: são aquelas cujas amplitudes somete podem assumir um úmero fiito de valores. Quatização é o processo pelo qual uma seqüêcia discreta tora-se uma ^ seqüêcia digital. A seqüêcia digital é expressa por x[]. Classificação quato ao comprimeto - Seqüêcias ifiitas: são aquelas que possuem um úmero ifiito de amostras. Elas são sub-classificadas como: - Seqüêcias direitas: são aquelas que possuem apeas amostras ulas para <N (x[]=0 para <N ). Se N for um úmero positivo, etão esta seqüêcia é chamada de causal....... 3
Classificação de Seqüêcias Discretas Classificação quato ao comprimeto - Seqüêcias ifiitas: - Seqüêcias esquerdas: são aquelas que possuem apeas amostras ulas para >N 2 (x[]=0 para >N 2 ). Se N 2 for um úmero positivo, etão esta seqüêcia é chamada de ati-causal....... - Seqüêcia esquerda-direita: são aquelas cujo valor das amostras está defiido para todos os valores de. 4
Classificação de Seqüêcias Discretas Classificação quato ao comprimeto - Seqüêcias fiitas: são aquelas cujas amplitudes das amostras somete estão defiidas o itervalo [N,N 2 ], ou seja, x[] somete está defiida o itervalo N N 2. A duração de uma seqüêcia fiita é dada por: N=N 2 -N + Seqüêcias fiitas podem ser expressas como sedo seqüêcias ifiitas itroduzido-se zeros o itervalo fora de [N,N 2 ]. Esse processo é deomiado de zero-paddig. 5
Operações com Seqüêcias a) Produto ou Modulação: cosidere duas seqüêcia de mesmo comprimeto. O produto etre essas seqüêcias é dado por: w []=x[]. y[]={x[n ] y[n ],..., x[-] y[-], x[0] y[0],..., x[n 2 ] y[n 2 ]} O esquemático para represetar esta operação é dado por: x[] X w[]=x[]y[] y[] Jaelameto: processo pelo qual uma seqüêcia ifiita é trasformada em uma seqüêcia fiita através da multiplicação por uma seqüêcia de comprimeto N, deomiada de jaela. 6
Operações com Seqüêcias b) Adição: cosidere duas seqüêcia de mesmo comprimeto. A soma etre essas seqüêcias é dada por: w 2 []=x[]+y[]={x[n ]+y[n ],..., x[]+y[], x[2]+y[2],..., x[n 2 ]+y[n 2 ]} O esquemático para represetar esta operação é dado por: x[] w[]=x[]+y[] y[] c) Escaloameto: sedo uma seqüêcia x[], seu escaloameto é dado por: w3[]=a. x[]={a. x[n ],..., a. x[], a. x[2],..., a. x[n 2 ]} x[] a w[]=ax[] 7
Operações com Seqüêcias d) Deslocameto temporal: seja uma seqüêcia x[]. O deslocameto temporal desta seqüêcia é dado por: w 4 []=x[-n] Exemplo: x[]={0.3, 0.4, 0., 0.2, 0.5} a) N=2 à w[]=x[-2]= {0, 0.3, 0.4, 0., 0.2, 0.5} b) N=-2 à w[]=x[+2]={0.3, 0.4, 0., 0.2, 0.5} 0.6 0.6 x[] 0.5 0.4 0.3 0.2 x[-2] 0.5 0.4 0.3 0.2 x[] Z - x[-] Atrasador 0. 0. 0 0-0. -4-3 -2-0 2 3 4 5 6 0.5 0.4-0. -4-3 -2-0 2 3 4 5 6 x[] Z x[+] Adiatador x[+2] 0.3 0.2 0. 0-0. -4-3 -2-0 2 3 4 5 6 8
Operações com Seqüêcias e) Iversão temporal: cosiste em iverter a seqüêcia ao logo do eixo das amostras. w 5 []=x[-] Exemplo: x[]={0.3, 0.4, 0., 0.2, 0.5} w[]=x[-]={0.5, 0.2, 0., 0.4, 0.3} 0.4 x[] 0.2 0-4 -3-2 - 0 2 3 4 0.4 x[-] 0.2 0 9-4 -3-2 - 0 2 3 4
Operações com Seqüêcias f) Alteração a taxa de amostragem: esta operação permite criar uma ova seqüêcia cuja freqüêcia de amostragem é maior (sobre-amostragem) ou meor (sub-amostragem) do que a freqüêcia de amostragem da seqüêcia origial. - A razão de alteração da freqüêcia de amostragem é dada por R=f T /f T - Para R> o processo é chamado de iterpolação. - Para R< o processo é chamado de dizimação. - A sobre-amostragem por um fator iteiro L gera uma ova seqüêcia ode L- amostras ulas são iseridas etre duas amostras da seqüêcia origial, ou seja, y[ ] = ì é ïx í ê ë L ï î 0 ù ú û,, = caso 0, ± L, ± 2L, K cotrário 20
Operações com Seqüêcias - Exemplo de iterpolação com L=4. x[] 9 8 7 6 5 4 3 2 0-4 -3-2 - 0 2 3 4 5 x[/4] 9 8 7 6 5 4 3 2 0-4 -3-2 - 0 2 3 4 5 - Esquemático do iterpolador x[] L x u [] 2
Operações com Seqüêcias - A dizimação por um fator M gera uma ova seqüêcia ode M- amostras são removidas etre duas amostras que são matidas. Logo, y [ ] = x[ M ] - A seqüêcia y[] possui uma freqüêcia de amostragem M vezes meor do que a seqüêcia. - Exemplo: dizimação por M=3. Esquemático do dizimador: x[] M x d [] x[] y[]=x[3] 20 8 6 4 2 0 8 6 4 2 0-4 -2 0 2 4 6 8 0 2 20 9 7 5 3 9 7 5 3 - -4-2 0 2 4 6 8 0 2 22
Cuidados com as Operações com Seqüêcias O úmero de amostras das seqüêcias ão é o úico parâmetro que deve ser observado ao realizar uma operação com seqüêcias. A posição da amostra correspodete à =0 também ifluecia o resultado da operação. Exemplo: Seja x[]={0, 2, 4, 6} e y[]={, 3, 5, 7} a) Ecotre w []=x[]y[] b) Ecotre w 2 []=x[]+y[] Refaça os ites a e b cosiderado agora as seqüêcias abaixo x[]={0, 2, 4, 6} e y[]={, 3, 5, 7} 23
Exercícios Propostos Desevolva um algoritmo o Matlab que permita: a) etrar com duas seqüêcias de comprimeto qualquer. b) defiir qual amostra da seqüêcia correspode à =0. c) realizar o produto das duas seqüêcias. d) realizar a soma das duas seqüêcias. e) traçar as seqüêcias de etrada e os resultados em gráficos distitos. Seja x[]={-2, -, 0,, 2} e y[]=[ 2 3 4 5 6] Ecotre: a) w []=3x[]-2y[] b) w 2 []=x[]-y[-] c) w 3 []=y[]. y[-] d) w 4 []=2x[]-x[-]+3y[-4] 2 ì e) w [ ] = ( i + ) x[ - ] + y[ + i å í = î + þ ýü 0 i ] 5 i 24
Represetação Esquemática As operações com seqüêcias podem ser represetadas a forma esquemática. Exemplo: ecotre a expressão para obter y[] e w[]. x[] y[] x[] w[] b 0 b 0 Z - Z - Z - Z - b Z - b a Z - b 2 b 2 a 2 25
Outras Classificações para Seqüêcias Classificação quato à simetria: - Seqüêcia cojugada simétrica: uma seqüêcia é cosiderada cojugada simétrica se: x[]=x*[-] Uma seqüêcia cojugada simétrica real é também deomiada de seqüêcia par. - Seqüêcia cojugada ati-simétrica: uma seqüêcia é cosiderada cojugada ati-simétrica se: x[]=-x*[-] Uma seqüêcia cojugada ati-simétrica real é também deomiada de seqüêcia ímpar. Se x[] é cojugada atisimétrica, etão x[0] é puramete imagiária. Logo, se x[] for ímpar, etão x[0]=0. 26
Outras Classificações para Seqüêcias Classificação quato à simetria: - Toda seqüêcia complexa x[] possui uma compoete complexa simétrica e uma compoete complexa ati-simétrica, defiidas como: { * x } cs[ ] = x[ ] + x [-] 2 { * x [ ] [ ]} ca[ ] = x -x - 2 - Exercício: prove que x cs [] atede a codição de simetria e que x ca [] atede a codição de ati-simetria. - A seqüêcia origial pode ser obtida através de uma combiação liear de x cs [] e x ca []: x[]= x cs [] +x ca [] 27
Outras Classificações para Seqüêcias Classificação quato à simetria: - Seqüêcias reais podem ser represetadas pela combiação liear de suas compoetes pares e ímpares, defiidas como: x x ev od [ ] = 2 [ ] = 2 { x [ ] + x[ -] } { x [ ]-x[- ]} x [ ] = x [ ] + x [ ] - Seqüêcias fiitas etre [0, N-] podem ser represetadas pela sua compoete cojugada simétrica periódica e pela sua compoete cojugada ati-simétrica periódica. Note que estas seqüêcias apeas existem para os valores de defiidos para x[]. { [ ] [ ] * } { * x [ ] [ ]} pcs[ ] = x + x - = x + x ( N -) -, 0 N- N 2 [ ] { [ ] [ ] * } { * x x x x[ ] x [( N ) ] } pca = - - = - - -, 0 N- N 2 x[ ] = x [ ] + x [ ] pcs pca ev od k N = k modulon 28
Outras Classificações para Seqüêcias Classificação quato à simetria: - Seqüêcias cojugadas simétricas periódicas: são aquelas limitadas a 0 N-que atedem a seguite codição: x[]=x*[n-] - Seqüêcias cojugadas ati-simétricas periódicas: são aquelas limitadas a 0 N-que atedem a seguite codição: Exemplos o quadro! x[]=-x*[n-] 29
Outras Classificações para Seqüêcias Classificação quato à periodicidade - Seqüêcias periódicas: são aquelas que se repetem a cada deslocameto de N amostras, ou seja: ~ ~ x[ ] = x[ - kn ] ode N é um iteiro positivo e k é um iteiro. - Seqüêcias aperiódicas são todas aquelas que ão atedem a codição acima. 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 x ~ [] 0 x[] 0-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-0 5 0 5 20 25 30-0.8-0 5 0 5 20 25 30 30
Outras Classificações para Seqüêcias Classificação quato à eergia e à potêcia - Defiição de eergia de uma seqüêcia: e å = - - Defiição de potêcia média de uma seqüêcia: P P x x = = lim K N N - å = 0 2K + x[ ] 2 K å x =-K = x[ ] 2 para para x[ ] - Siais potêcia: são aqueles que possuem eergia ifiita, mas potêcia média fiita. - Siais eergia: são aqueles que possuem eergia média fiita e potêcia média ula. 2 seqüêcia seqüêcia aperiódica periódica 3
Outras Classificações para Seqüêcias Exercício: classifique as seqüêcias abaixo quato à eergia e potêcia. a) x[] = e -/5 ={0,, 2, 3,...} b) x[] = se(π/4. ) ={..., -3, -2, -, 0,, 2, 3,...} c) x[]=/ ={, 2, 3,...} d) x[] = ta(π/2. ) ={..., -3, -2, -, 0,, 2, 3,...} e) x[] = cos(π. ) ={..., -3, -2, -, 0,, 2, 3,...} f) x[] = (-) ={0,, 2, 3,...} 32
Outras Classificações para Seqüêcias Classificação quato à limitação da amplitude das amostras - Seqüêcias limitadas são aquelas que atedem a seguite codição: x[] B< para qualquer Classificação quato à somatória. - Seqüêcias absolutamete somáveis são aquelas que atedem a seguite codição: å = - x [ ] < - Seqüêcias quadráticas-somáveis são aquelas que atedem a seguite codição: å - = x[ ] 2 < 33
Seqüêcias Fudametais Seqüêcia Impulso Uitário: esta seqüêcia é útil para caracterizar sistemas de tempo discreto. Sua defiição é: d[ ] = ì = 0 í î0 c.c. -5-4 -3-2 - 0 2 3 4 5 Seqüêcia Degrau Uitário: esta seqüêcia é defiida por ì u[ ] = í î0 ³ 0 < 0 - Note que: u[ ] = åd[ k] d[ ] = k=- u[ ] -u[ -] -5-4 -3-2 - 0 2 3 4 5 34
Seqüêcias Fudametais Seqüêcia Seoidal: esta seqüêcia é dada por: x[]=a. se(w 0 +f) para - << - A seqüêcia seoidal também pode ser expressa como: ode x i []=A. se(f)cos(w 0 ) x q []=A. cos(f)se(w 0 ) x[] x re [] - -2 x[]=x re []+x im [] 3 2 0-3 -20-5 -0-5 0 5 0 5 20 3 2 0 - -2-3 -20-5 -0-5 0 5 0 5 20 3 2 x im [] 0 - -2-3 -20-5 -0-5 0 5 0 5 20 35
Seqüêcias Fudametais Periodicidade de seqüêcias seoidais: - Período fudametal: se N. w 0 =2pr,ode r é um iteiro etão a seóide discreta irá se repetir a cada N amostras. N é o período fudametal da seqüêcia. - Se 2p/w 0 for um úmero racioal, etão o período da seqüêcia será múltiplo de 2p/w 0. O período da seqüêcia será igual à 2pk/w 0, quado está divisão for um úmero iteiro. k deve ser um iteiro. - Se 2p/w 0 for um úmero irracioal, etão a seqüêcia será aperiódica. 36
Seqüêcias Fudametais Propriedades iteressates de seóides discretas: - A freqüêcia agular é dada em radiaos ou radiaos/amostra - Se w =w 2 +2pk, etão se(w )=se(w 2 ) - A maior freqüêcia que uma seqüêcia seoidal pode apresetar é ± p. Logo, cos(ap)=cos[(2-a)p] As freqüêcias em toro de ± 2pk são deomiadas de freqüêcias baixas. As freqüêcias em toro de ± (2k+)p são deomiadas de freqüêcias altas. 37
Seqüêcias Fudametais Seqüêcias Expoeciais: são seqüêcias expressas a forma x[ ] = Aa ode A e a podem ser úmeros reais ou complexos e k é um úmero real. Fazedo-se A= A e jq e a=exp(s 0 +jw 0 ), etão tem-se: x[]=a exp[(s 0 +jw 0 )] = A exp(jq) exp[(s 0 +jw 0 )] x[]= A exp(s 0 )cos(w 0 +q)+j A exp(s 0 )se(w 0 +q) k 4 4 2 2 x re [] 0 x im [] 0-2 -2-4 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45-4 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 38
Processo de Amostragem Processo pelo qual uma seqüêcia discreta é formada a partir de um sial cotíuo. x[]= x a (t )=x a (T) Portato, as amostras somete serão defiidas para os istates t =T=/F T =2p/W T ode T é o tempo etre as amostras, F T é a freqüêcia de amostragem e W T = 2pF T é a freqüêcia agular de amostragem. Amostragem de um sial seoidal: x a (t)=cos(w 0 t+q), portato x[]=cos(w 0 T+q) = cos(2pw 0 /W T +q) = cos(w 0 +q) ode w 0 = 2pW 0 /W T = w 0 é a freqüêcia agular digital do sial, dada em radiaos ou radiaos/amostra. 39
Alisig Alisig é o feômeo que ocorre quado há ambigüidade a represetação por seqüêcia discreta de dois ou mais siais cotíuos. Exemplo o Quadro! Todos os siais cotíuos das seguites famílias: x( t) x( t) = = cos cos [( W ) ] 0 + kwt t + q para k = 0, ±, ± 2,... [( kw - W ) t + q ] para k = 0, ±, ± 2,... T 0 são represetados pela mesma seqüêcia discreta: x[ ] æ W ö 0 = cos( w + q = ç p + q 0 ) cos 2 è WT ø Exercício proposto: prove que a afirmação acima é verdadeira. e 40
Alisig Exemplo: ecotre a seqüêcia discreta para represetar o sial: x( t) = 6 cos(60p t) + 3si(300pt) + 2 cos(340pt) + 5 cos(500pt) + 0 si(660pt) sabedo que a freqüêcia de amostragem é de 200Hz. Recupere o sial aalógico a partir da seqüêcia discreta. Refaça o exemplo aterior com uma freqüêcia de amostragem igual à khz. Este exemplo deixa claro que para que ão ocorra alisig é ecessário que as freqüêcias agulares da seqüêcia digital devem estar limitadas a faixa 0 w p. Portato, para que um sial cotíuo seja represetado por suas amostras sem ambigüidade é ecessário que F T 2f max W T 2W max 4
Sistemas de Tempo Discreto Sistemas de Tempo Discreto (STD) processam uma seqüêcia de etrada para forecer uma seqüêcia de saída. As amostras de saída são processadas segudo o ídice de tempo de etrada,, ou seja, a saída é sempre seqüêcial. Em termos práticos, sistemas discretos sempre operam com seqüêcias digitais e, por isso, são comumete deomiados de filtros digitais. x[] Sistema de Tempo Discreto y[] 42
Sistemas de Tempo Discreto Exemplos de Sistemas de Tempo Discreto: Acumulador. y[ ] = å x[ k] = x[ ] + å k =- x[ k] = x[ ] + y[ -] Para sistemas causais, y[-] pode ser visto como um valor iicial para o acumulador. Assim, pode-se escrever que: y[ ] = - k =- å x[ k] = å x[ k] + åx[ k] = y[ -] + å k =- ode o segudo termo da expressão acima é deomiado de acumulador causal. - Exercício proposto: escreva um código em MATLAB para implemetar o acumulador. O programa deve permitir a etrada de qualquer seqüêcia discreta. - k = - k = 0 k = 0 x[] x[ k] S y[] Z - y[-] 43
Sistemas de Tempo Discreto Exemplos de Sistemas de Tempo Discreto: Média Movete. Este sistema realiza a média em uma jaela de M amostras. y[ ] = M M å - k = 0 x[ - k ] A média movete pode ser utilizada para filtrar siais de baixa freqüêcia que estejam cotamiados com ruídos de alta /M freqüêcia. x[] S y[] Exercício proposto: desevolva um programa em MATLAB que permita filtrar uma seqüêcia qualquer utilizado média movete de M amostras. x[-] x[-2] Z - Z -... x[-m+] Z - 44
Classificação de Sistemas de Tempo Discreto Sistema Liear: é aquele em que o pricípio da superposição é válido, ou seja, se etão, x[]=ax []+bx 2 [] y[]=ay []+by 2 [] Assim, a resposta de um sistema liear a uma seqüêcia de etrada pode ser expressa como uma combiação liear da resposta de cada uma das compoetes do sial de etrada. - Exemplo: acumulador. 45
Classificação de Sistemas de Tempo Discreto Sistema Ivariate ao Deslocameto ou Ivariates o Tempo: - São aqueles em que o istate o qual a seqüêcia de etrada é aplicada ão afeta o resultado da saída. - Se y[] é a resposta de um sistema ID ou IT à uma seqüêcia x[], etão a resposta para uma seqüêcia x []=x[-n 0 ] é simplesmete y []=y[-n 0 ] Sistemas Discretos Lieares e Ivariates o Tempo (LIT): são aqueles que, ao mesmo tempo, são lieares e ivariates o tempo. - A maior parte dos sistemas em discussão este curso são classificados como LIT. - Exercício proposto: prove que um iterpolador ão é um sistema ivariate o tempo. 46
Classificação de Sistemas de Tempo Discreto Sistema Causal: é aquele cuja uma amostra de saída somete depede das amostras passadas e ão depede das amostras futuras. Ou seja, y[ 0 ] somete depede das amostras cujo ídice é meor que 0. Sistema Estável: é aquele que se a etrada for limitada em amplitude, etão a saída também será. Assim, se x[] <B x, etão y[] <B y, qualquer que seja. Este tipo de estabilidade é deomiado de estabilidade BIBO (Bouded Iput Bouded Output). Sistema Passivo e Sistema Sem Perdas: Um sistema é passivo se a eergia do sial de saída é meor ou igual à eergia do sial de etrada. Se a igualdade for satisfeita, etão o sistema é classificado como sem perdas. E Exemplo: y[]=ax[-n] ode N>0. y = å =- 2 2 2 2 y[ ] = a å x[ ] = a E =- x Se a<, o sistema é classificado como passivo. Se a=, o sistema é sem perdas. 47
Caracterização de Sistemas Discretos Reposta ao Impulso: um filtro digital LIT pode ser caracterizado pela sua resposta ao impulso, que é a seqüêcia que aparece a saída do filtro quado a seqüêcia impulso uitário é aplicada a sua etrada. d[] Sistema Discreto h[] - Exemplo: ecotre a resposta ao impulso do sistema discreto acumulador e sistema discreto de média movete. Resposta ao Degrau: um filtro LIT pode ser caracterizado pela sua reposta ao degrau uitário, que é a seqüêcia que aparece a saída do filtro quado o degrau uitário é aplicado a etrada. - Exercício proposto: ecotre a resposta ao degrau do sistema discreto acumulador e sistema discreto de média movete. 48
Caracterização de Sistemas Discretos Uma seqüêcia pode ser represetada por uma soma poderada de fuções impulso: å k= - x [ ] = x[ k] d[ -k] Assim, um sistema LIT (ode o pricípio da superposição é válido) pode ter a saída expressa como sedo uma combiação liear das respostas ao impulsos poderadas e deslocadas ao logo do tempo. y [ ] = x[ k] h[ -k] å k = - A expressão acima pode ser reescrita a forma å k = - y [ ] = x[ -k] h[ k] que é cohecida como covolução discreta. Logo y [ ] = x[ ] * h[ ] 49
Caracterização de Sistemas Discretos Exercícios propostos: ) Prove que a covolução discreta atede as seguites propriedades: a) Associação b) Distribuição c) Comutação 2) Ecotre a seqüêcia de saída para os seguites casos: a) x[]=[2 4-0 -2] e h[]=[3 2 ] b) x[]=exp(-0.) para -<<5 e h[]= para -<<4 c) x[]=cos(0.2p) para -5<<5 e h[]=[-0.6 0.3 0 0.3 0.6] 50
Itercoexões de Sistemas LIT Coexão em Cascata: ocorre quado a saída de um sistema é coectado a etrada de outro sistema. d[] h [] h [] h 2 [] h [] h 2 [] * - A resposta ao impulso do sistema como um todo é dada pela covolução etre as respostas ao impulso dos sistemas idividuais. - A coexão em cascata de dois sistemas estáveis BIBO resulta em um sistema estável BIBO e a coexão em cascata de dois sistemas passivos (ou sem-perdas) resulta em um sistema passivo (sem-perdas). Sistemas iversos: dois sistemas são ditos iversos se: h [] * h 2 []=d[] Exemplo o quadro: ecotre o sistema iverso de um acumulador. 5
Itercoexões de Sistemas LIT Coexão Paralela: se dois sistemas recebem a mesma seqüêcia de etrada e as saídas destes sistemas são somadas para se obter uma úica saída, etão estes sistemas estão ligados em coexão paralela. h [] h [] d[] + h []+h 2 [] h 2 [] - Exercício proposto: prove que dois sistemas estáveis em paralelo resulta também em um sistema estável. - Exercício proposto: prove que dois sistemas passivos ou semperdas em paralelo pode ão resultar em um sistema passivo ou sem-perda. h 2 [] 52
Itercoexões de Sistemas LIT Exemplo: ecotre a resposta ao impulso do sistema abaixo. h [] h 2 [] + h 3 [] h [ ] = 2d [ ] - 0.52d [ - 2] h [ ] = -d[ ] + 0.d [ -] 2 h [ ] = d[ -] + d[ - 2] 3 53
Classificação em termos da Resposta ao Impulso Um sistema BIBO estável deve ter resposta ao impulso que ateda a seguite codição: å = - h [ ] = S < Para que um sistema seja causal, é ecessário que a sua resposta ao impulso seja causal, ou seja: - Prova o quadro! h[]=0 para <0 54
Sistemas LTI com Dimesão Fiita Cosidere um sistema LIT caracterizado pela seguite equação difereça: N å k = 0 d k y [ - k] = å p [ - ] kx k ode x[] é a etrada, y[] é a saída, p k e d k são coeficietes costates. A ordem deste sistema. A ordem deste sistema é L=max(N,M) Como a soma dos elemetos de etrada e saída é fiita, podese implemetar este sistema a prática, mesmo que em geral a resposta ao impulso seja ifiita. A saída deste sistema é dada por: N M d å k p = - - + å k y[ ] y[ k] x[ -k] d d k = 0 M k = 0 k = 0 0 55
Sistemas LTI com Dimesão Fiita Esquemático de um sistema LTI com dimesão fiita: x[] p 0 S y[] Z - Z - p d Z - Z - p 2 d 2 Z - Z -... Z - Z - pm d N 56
57 Sistemas LTI com Dimesão Fiita A solução para a equação difereça para determiar y[] é similar à solução da equação diferecial de um sistema cotíuo, ode a solução é a soma de um termo particular (y p []) e de um termo homogêeo (y c []). y[]=y c []+y p [] Solução homogêea: é obtida quado x[]=0, ou seja A solução desta equação pode ser obtida assumido que y c []=l Etão, pode-se escrever que que é a equação poliomial característica do sistema discreto, ode l é a -ésima raíz do poliômio, o que sigifica que a solução homogêea é da forma: ode a i são costates que depedem das codições iiciais. å = = - N k k k y d 0 0 ] [ ( ) å å = - - - - - = + + + + + = = - N k N N N N N N k k N k k d d d d d d k y d 0 2 0 0 ] [ l l l l l l L N N N N c y l a l a l a l a + + + + = - - 2 2 ] [ L
58 Sistemas LTI com Dimesão Fiita Quado a equação poliomial possui raízes iguais, y c [] assume a forma: Para determiar a solução particular, assume-se que y p [] possui a mesma forma que x[]. Exemplo: ecotre a solução completa para um sistema caracterizado pela seguite equação difereça: y[]+y[-]-6y[-2]=8u[] sabedo que y[-2]=- e y[-]=. L N N L L L c y - + - + + + + + + + = l a l a l a l a l a l a L L 2 2 3 2 ] [
Zero-Iput e Zero-State Resposes Outra maeira de obter a solução para a equação difereça é calcular a Zero-Iput respose (y zi []) e Zero-State respose (y zs []). y zi [] é obtida resolvedo-se a equação poliomial característica para x[]=0. y zs [] é obtida resolvedo-se a equação poliomial característica para a etrada específica e fazedo todas as codições iiciais serem ulas. Exemplo: utilize o método descrito acima para ecotrar a solução da equação difereça do exemplo aterior. 59
Resposta ao Impulso de Sistemas Causais A equação difereça pode ser utilizada para calcular a resposta ao impulso de um sistema causal. Para isto, basta calcular a solução homogêea, já que x[]=0 para >0 e, portato, y p []=0. As codições iiciais estão restritas à h[0]=, já que o sistema é causal, ou seja, h[]=0 para <0. Note que a resposta ao impulso de sistemas descritos a forma N N å k= 0 d k y [ -k] = p x[ -k] å k= 0 apreseta uma resposta ao impulso de comprimeto ifiito, a meos que d 0 = e d k =0 para k>0. k Exemplo: ecotre a resposta ao impulso do exemplo aterior. 60
Estabilidade BIBO de um Sistema LIT Em via geral, se h[]à0 quado à etão o sistema é BIBO estável. No etato, é impossível afirmar a estabilidade a partir apeas de algumas amostras de h[]. A codição úica e suficiete para determiar a estabilidade de um sistema está presete as raízes da equação poliomial característica. Se l i < para qualquer valor de i, etão o sistema é BIBO estável. Caso l i > para um valor específico de i, etão o sistema é BIBO istável. Exercício proposto: prove a afirmação acima. 6
Classificação de Sistemas LIT Classificação quato ao comprimeto da resposta ao impulso - Resposta ao impulso fiita: um sistema cuja resposta ao impulso seja ula para >N 2 e < N, sedo N 2 >N é classificado como FIR. - A saída deste sistema é dada por y[ ] å = 2 k= N h[ k] x[ -k] - Note que a saída é formada por uma soma fiita de amostras de etrada, torado a implemetação simples. - Resposta ao impulso ifiita: um sistema cuja resposta ao impulso possui um úmero ifiito de amostras é classificado como IIR. - No caso de um sistema causal, a saída é dada por: y[ ] = N å k = 0 x[ k] h[ -k] - Note que a medida em que aumeta, há um aumeto o úmero de amostras de etrada evolvidas o computo da amostra de saída. Se for muito grade, a implemetação pode-se torar iviável. 62
Classificação de Sistemas LIT Classificação quato ao processo de cálculo da saída: - Sistemas ão recursivos: são aqueles cuja amostra de saída atual pode ser calculada seqüecialmete em fução apeas da amostra presete e das amostras passadas da etrada. - Sistemas recursivos: são aqueles cuja amostra de saída atual pode ser calculada seqüecialmete em fução das amostras de saída passadas, da amostra atual de etrada e das amostras passadas de etrada. - Exercício proposto: mostre que é possível represetar um filtro acumulador tato a forma recursiva quato a forma ão-recursiva. 63
Classificação de Sistemas LIT Classificação quato à atureza dos coeficietes: - Sistema de tempo discreto real: é aquele cuja resposta ao impulso possui todas as amostras reais. - Sistema de tempo discreto complexo: é aquele cuja resposta ao impulso possui um ou mais amostras complexas. 64
Correlação de Siais Correlação é a medida de similaridade etre dois siais. - Exemplos: radar, sistemas de recepção digital, recohecimeto de padrões. Correlação cruzada: é o grau de similaridade etre dois siais de eergia, dada por r xy [ l] = å x[ ] y[ -l] para l = 0, ±, ± 2, ± 3,L = - ode l idica um atraso etre as duas seqüêcias. - Exemplo: prove que r yx [l]=r xy [-l] 65
Correlação de Siais Fução de auto-correlação: é uma medida de similaridade etre uma seqüêcia e sua versão atrasada de l amostras. r [ ] = å xx l x[ ] x[ -l] para l = 0, ±, ± 2, ± 3,L = - - Note que: a) r xx [0]=E x b) r xx [l]=r xx [-l], o que sigifica que a fução de auto-correlação é par. Exercício proposto: ecotre a fução de auto-correlação e correlação cruzada das seguites seqüêcias: a) 3cos(0.p) b) 0.3se(0.p) 66
Correlação de Siais A fução de correlação pode ser expressa a forma de covolução. Compare as expressões a seguir: x[ ] * r xy [ l] = y[ ] = å å x[ k] y[ -k] x[ ] y[ -l] paral = 0, ±, ± 2, ± 3,L Claramete, pode-se escrever que =- k =- r xy [ l] = x[ l] * y[ -l] Exercício proposto: desevolva o Matlab uma fução que realize a correlação de duas seqüêcias quaisquer de etrada utilizado a fução de covolução. Note que as bases de tempo das seqüêcias de etrada devem ser levadas em cosideração. 67
Propriedades da Fução Correlação Limitação da fução de auto-correlação. r xx[ l] rxx[0] - Prova o quadro. Limitação da fução de correlação: se y[]=+/-bx[-n], etão - br xx[ 0] rxy [ l] brxx[0] - Prova o quadro. Forma ormalizada da correlação r rxx[ l] = r r [ l] = xy xx xx [ l] [0] r xx r xy [ l] [0] r yy [0] - Qual é o máximo valor de r xx [l] e r xy [l]? 68
69 Propriedades da Fução Correlação Correlação e auto-correlação para siais de potêcia. Correlação e auto-correlação para siais periódicos - A periodicidade da fução de correlação é igual à periodicidade das seqüêcias evolvidas. å å =- =- - + = - + = K K k xx K K k xy l x x K l r l y x K l r ] [ ] [ 2 lim ] [ ] [ ] [ 2 lim ] [ å å - = - = - = - = 0 ~ ~ 0 ~ ~ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ~ ~ ~ ~ N x x N y x l x x N l r l y x N l r
Capítulo 3 Siais Discretos o Domíio da Freqüêcia A trasformada de Fourier é uma represetação cotíua o domíio da freqüêcia de uma seqüêcia discreta o domíio do tempo. Como a DTFT é periódica com um período de 2p radiaos, etão apeas N amostras desta trasformada são suficietes para represetar uma seqüêcia discreta de N potos, coforme será mostrado posteriormete. Esta represetação é deomiada de trasformada discreta de Fourier DFT. Outra maeira de represetar seqüêcias discretas o domíio da freqüêcia é utilizar uma geeralização da DFT, deomiada de trasformada z, ode z é uma variável complexa. 70
7 Trasformada de Fourier de Tempo Discreto A DTFT cosiste a represetação da seqüêcia x[] em termos de e -jw, ode w é a freqüêcia. Nem todas as seqüêcias possuem uma trasformada, mas quado possuem essa trasformada é úica. Para recuperar a seqüêcia origial a partir da sua trasformada, basta aplicar a IDTFT. A DTFT de uma seqüêcia é dada por A DTFT é, ormalmete, uma fução complexa que pode ser escrita a forma å - = - = j j e x e X w w ] [ ) ( ø ö ç ç è æ = = + = ) ( ) ( arcta ) ( ode ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( w w w q w q w w w w w re im j j j j im j re j X X e e X e X e X e X e X
Trasformada de Fourier de Tempo Discreto A fase da trasformada é limitada por -p q(w) +p. Caso a fase ultrapasse o valor p, a mesma será represetada como p. Essa descotiuidade pode ser elimiada utilizado a uwrapped phase, ou seja, permitido que a fase assuma qualquer valor. Neste caso, a fase é represetada por q c (w). Exercício: mostre que X re (e jw ) é uma fução par equato que X im (e jw ) é uma fução ímpar. Exemplo: ecotre a DTFT de: a) x[]=d[] b) x[]=a u[] 72
Trasformada de Fourier de Tempo Discreto A fase da trasformada é limitada por -p q(w) +p. Caso a fase ultrapasse o valor p, a mesma será represetada como p. Essa descotiuidade pode ser elimiada utilizado a uwrapped phase, ou seja, permitido que a fase assuma qualquer valor. Neste caso, a fase é represetada por q c (w). Exercício: mostre que X re (e jw ) é uma fução par equato que X im (e jw ) é uma fução ímpar. Exemplo: ecotre a DTFT de: a) x[]=d[] b) x[]=a u[] Prove que X(e jw ) é periódica a cada 2p radiaos. 73
Trasformada de Fourier de Tempo Discreto As amostras de x[] podem ser obtidas a partir de X(e jw ) através da IDTFT: x[ ] = 2 p Exercício: prove que a expressão acima é verdadeira. p ò -p X ( e jw ) e + jw dw Codição de covergêcia: para que a DTFT de uma seqüêcia possa ser calculada, a mesma deve ser covergete, ou seja, deve possuir eergia fiita. Todas as seqüêcias absolutamete somáveis são covergetes. Nem todas as seqüêcias covergetes são absolutamete somáveis. Veja Exemplo 3.3 da págia 2. 74
Trasformada de Fourier de Tempo Discreto Algumas seqüêcias ilimitadas possuem TFTD. 75
Trasformada de Fourier de Tempo Discreto Largura de faixa de siais discretos: Um sial discreto pode ser classificado como: a) Sial de bada cheia: quado seu espectro ocupa toda a bada, ou seja 0 w p. b) Sial limitado em faixa: podem ser sub-divididos em: ) Siais passa-baixa: são aqueles cujo espectro está limitado em 0 w w p <p, sedo w p a largura de faixa do sial. 2) Siais passa-faixa: são aqueles cujo espectro está limitado em 0<w L w w H <p, ode wh-wl é a largura de faixa do sial. 76
Propriedades da TFTD Liearidade: se y[]= ax[]+bg[], etão Y(e jw )=ax(e jw )+bg(e jw ) Prova o quadro. Deslocameto temporal: se y[]=x[-o], etão Prova o quadro. Y(e jw )=e -jwo X(e jw ) Deslocameto a freqüêcia: se y[]=e jwo x[], etão Prova o quadro. Y(e jw )=X(e j(w-wo) ) 77
Propriedades da TFTD Derivação a freqüêcia: se y[]=x[], etão Prova o quadro. d dw ( jw ) ( jw e j X e ) Y = Covolução: se y[]=x[] * g[], etão Y(e jw )=X(e jw ). G(e jw ) Prova: exercício proposto. Modulação: se y[]=x[]g[], etão Y Prova: exercício proposto ( jw ) ( jq ) ( jq e X e G e ) dq = 2 p + p ò -p 78
Propriedades da TFTD Propriedades das seqüêcias simétricas complexas. Propriedades das seqüêcias simétricas reais. 79
Desidade Espectral de Eergia Teorema de Parseval ou Teorema da Coservação da Eergia: p * å ( jw ) *( jw g[ ] h [ ] = ò G e H e ) dw 2p -p =- Caso iteressate: se h[]=g[], o que estabelece o Teorema de Parseval? Desidade espectral de eergia de uma seqüêcia: Note que e x xx ( e jw ) G( e jw ) 2 S = = 2 p p ò - p S xx ( jw e ) dw 80
Relação etre a desidade espectral de eergia a a fução de correlação. Prova o quadro. Desidade Espectral de Eergia S S xx xy ( jw e ) = å l=- ( jw ) - jwl e = r ( l) e å l=- Exercício: ecotre a fução desidade espectral de eergia da seguite seqüêcia: r xx xy ( l) e x[] = u[] - jwl Proposto: faça um programa em Matlab que compute a TFTD de uma seqüêcia qualquer. 8
Trasformada Discreta de Fourier DFT A DFT somete é defiida para seqüêcias fiitas. Uma seqüêcia com N potos é completamete caracterizada por N potos da TFTD, em freqüêcias w k, ode 0 k N-, ode w k são amostras igualmete espaçadas de w. X[k] = X e j! j w=2¼k=n = Sedo W N = 2¼ N, et~ao X[k] = N X =0 N =0 x[]w k N A trasformada iversa é dada por x[] = N X X[k]W k N N k=0 Prova o quadro! 2¼k j x[]e N 82
Trasformada Discreta de Fourier DFT Exemplo: ecotre a DFT das seguites seqüêcias: ½ = 0 x[] = 0 N ³ x[] = cos 2¼r 0 N N 83
. Trasformada Discreta de Fourier DFT 84